吉林省松原市前郭县2025年初中学业水平考试四模数学试题
1．（2025·松原模拟）根据有理数加法法则，计算过程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：；
，故A选项错误不符合题意；
，故B选项错误不符合题意；
，故C选项错误不符合题意；
，故D选项正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据有理数的加法逐项进行判断即可求出答案.
2．（2025·松原模拟）2025年第一季度，比亚迪的滚装船已成功运载超25000辆新能源汽车，跨越重洋，将绿色出行的理念传递至世界各地．数据25000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意可得：
数据25000用科学记数法表示为
故答案为：D
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
3．（2025·松原模拟）如图所示，一个圆柱体和长方体按如图所示的方式摆放，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由图可知，主视图为：
故故答案为：B．
【分析】根据组合体的三视图即可求出答案.
4．（2025·松原模拟）斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．某数学兴趣小组为了验证斑马线是由密若干条平行线组成的，在保证安全的前提下，按照如图方式分别测出，这种验证方法依据的基本事实是（ ）
A．内错角相等，两直线平行 B．同位角相等，两直线平行
C．两直线平行，内错角相等 D．两直线平行，同位角相等
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：，且为同位角，
根据同位角相等，两直线平行，判定直线是平行的，
故答案为：B．
【分析】根据直线平行判定定理即可求出答案.
5．（2025·松原模拟）如图，在中，．顶点A的坐标为，以为边向的外侧作正方形，点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：如图，过点作轴于，
，
顶点的坐标为，
，
在中，，，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
∵轴，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
故选：A．
【分析】过点作轴于，根据两点间距离可得，根据勾股定理可得，则，根据正方形性质可得，，根据补角可得∠DAH，再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，，代值计算可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
6．（2025·松原模拟）如图，是⊙的直径，点为⊙上一点，连接，过点作交⊙于点，连接、，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：是⊙的直径，
，
，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】根据圆周角定理可得，再根据三角形内角和定理可得∠ACB，再根据直线平行性质可得，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
7．（2025·松原模拟）计算： ．
【答案】
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】利用积的乘方法则和幂的乘方法则进行计算即可.
8．（2025·松原模拟）不等式组的最小整数解为 ．
【答案】0
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组的解集为，
最小整数解是0，
故答案为：0．
【分析】求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可求出最小整数解．
9．（2025·松原模拟）如图所示，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是5cm、8cm、14cm，若，则等于 cm．
【答案】8
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：8．
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求出答案.
10．（2025·松原模拟）如图①是某创意图书馆设计的一款壁灯图案的设计图，象征着欣欣向荣，代表一种生机盎然的自然和谐美．图②是从图①图案中提取的图形，已知正八边形被分割成两个正方形和四个菱形，则 °．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，
由正八边形被分割成两个正方形和四个菱形，得：
，
得．
故答案为：．
【分析】由图可得，然后根据周角解题即可．
11．（2025·松原模拟）苏州砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气．图①是一块扇面形的苏州砖雕作品《兰》，图②是它的设计图，其中扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角．已知，，则该砖雕的面积为 ．（结果保留）
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵圆心角，，，
∴阴影部分的面积是
故答案为：．
【分析】根据扇形面积即可求出答案.
12．（2025·松原模拟）先化简，再求值：，并从0，1，3中选一个合适数代入求值．
【答案】解：原式
；
∵
∴当时，则原式．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再根据分式有意义的条件代值计算即可求出答案.
13．（2025·松原模拟）七年级六班的同学去参加科技体验活动，第一组有3人选择“九天揽月”活动，2人选择“深海探幽”活动，共花费120元；第二组有2人选择“九天揽月”活动，4人选择“深海探幽”活动，共花费160元，求每张“九天揽月”和“深海探幽”活动的票价分别为多少元？
【答案】解：设每张“九天揽月”活动的票价为元，每张“深海探幽”活动的票价为元，由题意，得
解得
答：每张“九天揽月”活动的票价为20元，每张“深海探幽”活动的票价为30元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】先设每张“九天揽月”活动的票价为元，每张“深海探幽”活动的票价为元，再根据费用相等列出二元一次方程组，解方程组即可求出答案.
14．（2025·松原模拟）百度推出了“文心一言”聊天机器人（简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（简称乙款），在（简称丙款）推出后更引发了广泛关注．现有甲、乙、丙三款聊天机器人．
（1）若随机选择其中一款进行体验测评，抽到丙款的概率是________；
（2）小明从甲、乙、丙三款聊天机器人中随机选择其中一款，小红从乙、丙两款聊天机器人中随机选择其中一款进行体验测评．求两人选择的聊天机器人互不相同的概率．
【答案】（1）抽到丙款的概率是
（2）解：画树状图，如图，
共有6种等可能的结果数，其中两人选择的聊天机器人互不相同的有4种，
∴两人选择的聊天机器人互不相同的概率是
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：∵有甲、乙、丙三款聊天机器人，
∴随机选择其中一款进行体验测评，抽到丙款的概率是；
【分析】（1）根据概率公式即可求出答案.
（2）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出 两人选择的聊天机器人互不相同的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：∵有甲、乙、丙三款聊天机器人，
∴随机选择其中一款进行体验测评，抽到丙款的概率是；
（2）解：画树状图，如图，
共有6种等可能的结果数，其中两人选择的聊天机器人互不相同的有4种，
∴两人选择的聊天机器人互不相同的概率是．
15．（2025·松原模拟）图1是外翻窗的示意图，图2是外翻窗的侧面图．当外翻窗从下面打开时，窗的一边沿AB绕点旋转到．已知，旋转角最大为．当最大时，求点到AB的距离．（精确到．参考数据：，，）
【答案】解：作过于点，
在中，，，
∴
∴米．
答：点到AB的最大距离约为米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】作过于点，根据正弦定义即可求出答案.
16．（2025·松原模拟）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图．
（1）如图①，点、、都在格点上．
①作出三角形外接圆的圆心；
②作出的平分线，交于点；
（2）如图②，点和点是与网格线的交点，在上找一点，连接，使．
【答案】（1）解：①如图，取格点、，连接，交于，
由网格特征可知：，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴圆心在上，
由网格可知四边形是矩形，
∴，
∴点即为所求．
②如①图中，由网格可知点为中点，连接并延长，交于，连接，
∵点为中点，
∴平分，
∴，
∴是的角平分线，即为所求
（2）解：如图，根据网格的特点作出直径，连接，则，可知点即为所求
【知识点】圆周角定理；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-作三角形的外接圆
【解析】【分析】（1）①先根据网格特征得出是直角三角形，根据圆周角定理确定圆心在上，利用网格结合矩形性质即可找出圆心；
②利用网格找出中点，利用垂径定理及圆周角定理即可作出；
（2）根据网格的特点作出直径，连接，则，可知点即为所求．
（1）解：①如图，取格点、，连接，交于，
由网格特征可知：，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴圆心在上，
由网格可知四边形是矩形，
∴，
∴点即为所求．
②如①图中，由网格可知点为中点，连接并延长，交于，连接，
∵点为中点，
∴平分，
∴，
∴是的角平分线，即为所求．
（2）如图，根据网格的特点作出直径，连接，则，可知点即为所求
17．（2025·松原模拟）如图，小亮在草稿纸上画了某反比例函数在第一象限内的图象，并把矩形直尺放在上面直尺与反比例函数图象交于点，，并且与轴交于点．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）求直线的函数解析式．
【答案】（1）解：设反比例函数的解析式为，
∵反比例函数的图象经过点
∴，
解得：
∴反比例函数的解析式为
（2）解：设直线的函数解析式为，
把点代入得，，解得，
∴直线的函数解析式为，
由图象可知，直线向上平移3个单位长度得到直线
∴直线的函数解析式为
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）设反比例函数的解析式为，根据待定系数法将点A坐标代入解析式即可求出答案.
（2）设直线的函数解析式为，根据待定系数法将点A坐标代入解析式可得直线的函数解析式为，再根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
（1）解：设反比例函数的解析式为，
∵反比例函数的图象经过点
∴，
解得：
∴反比例函数的解析式为
（2）设直线的函数解析式为，
把点代入得，，解得，
∴直线的函数解析式为，
由图象可知，直线向上平移3个单位长度得到直线
∴直线的函数解析式为，
18．（2025·松原模拟）图①是、两款新能源汽车在2024年6月到12月期间月销售量（单位：辆）的折线统计图，现网上随机调查网友对、两款汽车的外观造型、舒适程度、操控性能和售后服务四个项目进行评分（单位：分），整理评分数据，绘制成条形统计图（图②）．
（1）下列结论中，所有正确结论的序号是_____；
①2024年6月到12月，款汽车月销售量呈上升趋势；
②2024年6月到12月，款汽车的月平均销售量高于款汽车；
③2024年6月到12月，款汽车月销售量的中位数小于款汽车；
④2024年6月到12月，款汽车的月销售量比款汽车的月销售量更稳定．
（2）若将汽车的外观造型、舒适程度、操控性能和售后服务这四个项目的评分按：的比例计算平均得分，求出款汽车的平均得分．
【答案】（1）①③④
（2）解：B 款汽车的平均得分为（分），
答：B 款汽车的平均得分为分
【知识点】条形统计图；折线统计图；加权平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】（1）解：①由折线统计图可知，2024年6月到12月，B款汽车月销量呈上升趋势；故①正确；
②2024年6月到12月，A 款汽车的月平均销量稳定，但不高于 B 款汽车的月平均销量：故②不正确；
③2024年6月到12月，观察图①，排在中间位置的数都是在9月份，即A 款汽车和B汽车月销量中位数都是在9月份，由图可知，A 款汽车月销量中位数小于 B款汽车：故③正确；
④2024年6月到12月，A 款汽车的月销量比B款汽车的月销量更稳定，故④正确．
故答案为：①③④
【分析】（1）根据折线统计图所给信息逐项进行判断即可求出答案.
（2）根据加权平均数列式计算即可求出答案.
（1）解：①由折线统计图可知，2024年6月到12月，B款汽车月销量呈上升趋势；故①正确；
②2024年6月到12月，A 款汽车的月平均销量稳定，但不高于 B 款汽车的月平均销量：故②不正确；
③2024年6月到12月，观察图①，排在中间位置的数都是在9月份，即A 款汽车和B汽车月销量中位数都是在9月份，由图可知，A 款汽车月销量中位数小于 B款汽车：故③正确；
④2024年6月到12月，A 款汽车的月销量比B款汽车的月销量更稳定，故④正确．
故答案为：①③④
（2）解：B 款汽车的平均得分为（分），
答：B 款汽车的平均得分为分．
19．（2025·松原模拟）某小区在旧小区改造过程中，需要为一段路面重新铺设地砖，由小区物业的甲、乙两个小组共同完成．甲小组先单独铺设路面，一段时间后，乙小组也赶来和甲小组一起铺设路面．甲、乙两个小组每小时铺设路面的长度不变，乙小组每小时铺设路面40米．甲、乙两小组铺设路面的总长度y（米）与甲小组铺设路面所用的时间x（时）之间的函数图象如图所示．
（1）甲小组每小时铺设路面______米，m的值为______．
（2）求乙小组加入后，y与x之间的函数关系式．
（3）当铺设完路面总长度的一半时，求甲、乙两个小组各自铺设路面的长度．
【答案】（1）50，150
（2）解：设y与x之间的函数关系式为．
将点，代入，得
由题意，得．
解得．
∴y与x之间的函数关系式为．
（3）解：当时，．
∴（米），
（米）．
∴甲铺设路面的长度为米，乙铺设路面的长度为米．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：由图像可知：甲小组每小时铺设路面米．
，
解得：，
∴甲小组每小时铺设路面米．
故答案为：50，150；
【分析】（1）由图像可知：甲小组每小时铺设路面米，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设y与x之间的函数关系式为，根据待定系数法将点，代入解析式即可求出答案.
（3）根据时，求出x值，再分别求出各自各自铺设路面的长度即可求出答案.
（1）解：由图像可知：甲小组每小时铺设路面米．
，
解得：，
∴甲小组每小时铺设路面米．
故答案为：50，150；
（2）设y与x之间的函数关系式为．
将点，代入，得
由题意，得．
解得．
∴y与x之间的函数关系式为．
（3）当时，．
∴（米），
（米）．
∴甲铺设路面的长度为米，乙铺设路面的长度为米．
20．（2025·松原模拟）【问题提出】
（1）如图1，在中，点D、E分别是的中点，连接，若，则的长为______；
【问题探究】
（2）如图2，和都是等腰直角三角形，，的顶点A在边上，那么与是否相等，请说明理由；
【问题解决】
（3）如图3，四边形是某校的实践基地示意图，其中和是两条小路（点F在边上），在的中点M处有一口灌溉水井（大小忽略不计），现要在边上与点C相距的点E处修建一个蓄水池大小忽略不计，再沿铺设地下水管，已知，，，，且，求铺设地下水管的长．
【答案】（1）5；
（2）相等，
理由：和都是等腰直角三角形，
，，，，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）连接，
，，，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
取中点H，连接，
，
，，，
【知识点】正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）∵点D、E分别是的中点，
，，
是的中位线，
，
，
；
故答案为：5；
【分析】（1）根据线段中点可得，，再根据三角形中位线定理可得，即可求出答案.
（2）根据等腰直角三角形性质可得，，，，再根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）连接，根据角之间的关系可得BE，再根据正方形判定定理可得四边形是正方形，则，，即，再根据全等三角形判定定理可得，则，即，取中点H，连接，再根据勾股定理即可求出答案.
21．（2025·松原模拟）如图，在中，，，，点从点出发，沿方向以每秒5个单位长度的速度向终点运动，点为边的中点，连接，以和为边作，设点运动的时间为秒．
（1）用含的代数式表示线段的长；
（2）当点落在边上时，求的值；
（3）设与重叠部分图形的面积为，求关于的函数关系式；
（4）作点关于直线的对称点，当点落在内部时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：∵点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动．
，
，
（2）解：当点落在边上时，如图：作的高交于点，
四边形是平行四边形，
，，
∴
∴，
点为边的中点，
∴，
，
∴
（3）解：当时，如图，过点作于，设交于点，
∵，，，
∴
∴
∴
∵点为边的中点，
∴
∵，
∴
∵
∴
又∵，
∴
∴
当时，如图，当与，重叠部分为，过点作于点，
同上可得
∴
综上所述，
（4）
【知识点】相似三角形的判定；解直角三角形；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（4）设交于，
当点落在线段上时，如图：
点、点关于直线对称，
，
由（3）知，
∴，
，
；
点落在线段上时，连接，
点、点关于直线对称，
∴，
，
，
，
，
；
的取值范围为．
【分析】（1）由题意可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）作的高交于点，根据平行四边形性质可得，，再根据相似三角形判定定理可得，则，根据线段中点可得，则，即可求出答案.
（3）分情况讨论：当时，过点作于，设交于点，根据正弦定义可得BC，再根据勾股定理可得AC，根据余弦定义定义可得，根据线段中点可得，再根据正弦定义可得，根据直线平行性质可得，则，再根据梯形面积即可求出答案；当时，如图，当与，重叠部分为，过点作于点，同上可得，根据平行四边形面积即可求出答案.
（4）设交于，分情况讨论：当点落在线段上时，根据对称性质可得，再根据余弦定义可得，建立方程，解方程即可求出答案；点落在线段上时，连接，根据对称性质可得，根据直线平行性质可得，则，建立方程，解方程即可求出答案.
（1）∵点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动．
，
，
；
（2）当点落在边上时，如图：作的高交于点，
四边形是平行四边形，
，，
∴
∴，
点为边的中点，
∴，
，
∴；
（3）当时，如图，过点作于，设交于点，
∵，，，
∴
∴
∴
∵点为边的中点，
∴
∵，
∴
∵
∴
又∵，
∴
∴
当时，如图，当与，重叠部分为，过点作于点，
同上可得
∴
综上所述，
（4）设交于，
当点落在线段上时，如图：
点、点关于直线对称，
，
由（3）知，
∴，
，
；
点落在线段上时，连接，
点、点关于直线对称，
∴，
，
，
，
，
；
的取值范围为．
22．（2025·松原模拟）在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，点是该抛物线上一点，其横坐标为，过点作垂直于轴的直线，点、均在直线上，且点的横坐标为，点的横坐标为，当点、不重合时，以为边向下作正方形．
（1）求该抛物线对应的函数解析式．
（2）当点是该抛物线的顶点时，求正方形的面积．
（3）当点恰好落在正方形的边含顶点上时，求的值．
（4）当正方形的边含顶点与该抛物线恰有两个公共点时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：把、代入，得
解得
所以，抛物线的解析式为：
（2）解：，
抛物线的顶点坐标为：．
．
，．
．
（3）解：当点在上时，
，
解得
，舍去．
当点在上时，
由，得舍去．
当点在上时，
，
解得
，舍去．
当点在上时，
由，得舍去．
综上所述，的值为或
（4）或
【知识点】二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：（4）或，理由如下：
当点与点关于对称轴对称时，
，
解得
．
此时正方形与抛物线只有一个公共点．
当恰好经过抛物线的顶点时，
，
解得
，舍去．
此时正方形与抛物线恰好有三个交点．
在时，此时正方形与抛物线恰有两个公共点．
当点在抛物线上方时，
，
解得
．
此时正方形与抛物线都有两个交点．
综上所述，或时，正方形与抛物线恰有两个公共点．
【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式即可求出答案.
（2）将解析式转换为顶点式，求出顶点坐标为，则．根据两点间距离可得MN，再根据正方形面积即可求出答案.
（3）分情况讨论：当点在上时，当点在上时，当点在上时，当点在上时，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（4）分情况讨论：当点与点关于对称轴对称时，建立方程，解方程可得，此时正方形与抛物线只有一个公共点，当恰好经过抛物线的顶点时，建立方程，解方程可得，此时正方形与抛物线恰好有三个交点，则时，此时正方形与抛物线恰有两个公共点；当点在抛物线上方时，建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）把、代入，得
解得
所以，抛物线的解析式为：．
（2），
抛物线的顶点坐标为：．
．
，．
．
．
（3）当点在上时，
，
解得
，舍去．
当点在上时，
由，得舍去．
当点在上时，
，
解得
，舍去．
当点在上时，
由，得舍去．
综上所述，的值为或．
（4）或，理由如下：
当点与点关于对称轴对称时，
，
解得
．
此时正方形与抛物线只有一个公共点．
当恰好经过抛物线的顶点时，
，
解得
，舍去．
此时正方形与抛物线恰好有三个交点．
在时，此时正方形与抛物线恰有两个公共点．
当点在抛物线上方时，
，
解得
．
此时正方形与抛物线都有两个交点．
综上所述，或时，正方形与抛物线恰有两个公共点．
1 / 1吉林省松原市前郭县2025年初中学业水平考试四模数学试题
1．（2025·松原模拟）根据有理数加法法则，计算过程正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·松原模拟）2025年第一季度，比亚迪的滚装船已成功运载超25000辆新能源汽车，跨越重洋，将绿色出行的理念传递至世界各地．数据25000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·松原模拟）如图所示，一个圆柱体和长方体按如图所示的方式摆放，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·松原模拟）斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．某数学兴趣小组为了验证斑马线是由密若干条平行线组成的，在保证安全的前提下，按照如图方式分别测出，这种验证方法依据的基本事实是（ ）
A．内错角相等，两直线平行 B．同位角相等，两直线平行
C．两直线平行，内错角相等 D．两直线平行，同位角相等
5．（2025·松原模拟）如图，在中，．顶点A的坐标为，以为边向的外侧作正方形，点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·松原模拟）如图，是⊙的直径，点为⊙上一点，连接，过点作交⊙于点，连接、，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·松原模拟）计算： ．
8．（2025·松原模拟）不等式组的最小整数解为 ．
9．（2025·松原模拟）如图所示，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是5cm、8cm、14cm，若，则等于 cm．
10．（2025·松原模拟）如图①是某创意图书馆设计的一款壁灯图案的设计图，象征着欣欣向荣，代表一种生机盎然的自然和谐美．图②是从图①图案中提取的图形，已知正八边形被分割成两个正方形和四个菱形，则 °．
11．（2025·松原模拟）苏州砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气．图①是一块扇面形的苏州砖雕作品《兰》，图②是它的设计图，其中扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角．已知，，则该砖雕的面积为 ．（结果保留）
12．（2025·松原模拟）先化简，再求值：，并从0，1，3中选一个合适数代入求值．
13．（2025·松原模拟）七年级六班的同学去参加科技体验活动，第一组有3人选择“九天揽月”活动，2人选择“深海探幽”活动，共花费120元；第二组有2人选择“九天揽月”活动，4人选择“深海探幽”活动，共花费160元，求每张“九天揽月”和“深海探幽”活动的票价分别为多少元？
14．（2025·松原模拟）百度推出了“文心一言”聊天机器人（简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（简称乙款），在（简称丙款）推出后更引发了广泛关注．现有甲、乙、丙三款聊天机器人．
（1）若随机选择其中一款进行体验测评，抽到丙款的概率是________；
（2）小明从甲、乙、丙三款聊天机器人中随机选择其中一款，小红从乙、丙两款聊天机器人中随机选择其中一款进行体验测评．求两人选择的聊天机器人互不相同的概率．
15．（2025·松原模拟）图1是外翻窗的示意图，图2是外翻窗的侧面图．当外翻窗从下面打开时，窗的一边沿AB绕点旋转到．已知，旋转角最大为．当最大时，求点到AB的距离．（精确到．参考数据：，，）
16．（2025·松原模拟）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图．
（1）如图①，点、、都在格点上．
①作出三角形外接圆的圆心；
②作出的平分线，交于点；
（2）如图②，点和点是与网格线的交点，在上找一点，连接，使．
17．（2025·松原模拟）如图，小亮在草稿纸上画了某反比例函数在第一象限内的图象，并把矩形直尺放在上面直尺与反比例函数图象交于点，，并且与轴交于点．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）求直线的函数解析式．
18．（2025·松原模拟）图①是、两款新能源汽车在2024年6月到12月期间月销售量（单位：辆）的折线统计图，现网上随机调查网友对、两款汽车的外观造型、舒适程度、操控性能和售后服务四个项目进行评分（单位：分），整理评分数据，绘制成条形统计图（图②）．
（1）下列结论中，所有正确结论的序号是_____；
①2024年6月到12月，款汽车月销售量呈上升趋势；
②2024年6月到12月，款汽车的月平均销售量高于款汽车；
③2024年6月到12月，款汽车月销售量的中位数小于款汽车；
④2024年6月到12月，款汽车的月销售量比款汽车的月销售量更稳定．
（2）若将汽车的外观造型、舒适程度、操控性能和售后服务这四个项目的评分按：的比例计算平均得分，求出款汽车的平均得分．
19．（2025·松原模拟）某小区在旧小区改造过程中，需要为一段路面重新铺设地砖，由小区物业的甲、乙两个小组共同完成．甲小组先单独铺设路面，一段时间后，乙小组也赶来和甲小组一起铺设路面．甲、乙两个小组每小时铺设路面的长度不变，乙小组每小时铺设路面40米．甲、乙两小组铺设路面的总长度y（米）与甲小组铺设路面所用的时间x（时）之间的函数图象如图所示．
（1）甲小组每小时铺设路面______米，m的值为______．
（2）求乙小组加入后，y与x之间的函数关系式．
（3）当铺设完路面总长度的一半时，求甲、乙两个小组各自铺设路面的长度．
20．（2025·松原模拟）【问题提出】
（1）如图1，在中，点D、E分别是的中点，连接，若，则的长为______；
【问题探究】
（2）如图2，和都是等腰直角三角形，，的顶点A在边上，那么与是否相等，请说明理由；
【问题解决】
（3）如图3，四边形是某校的实践基地示意图，其中和是两条小路（点F在边上），在的中点M处有一口灌溉水井（大小忽略不计），现要在边上与点C相距的点E处修建一个蓄水池大小忽略不计，再沿铺设地下水管，已知，，，，且，求铺设地下水管的长．
21．（2025·松原模拟）如图，在中，，，，点从点出发，沿方向以每秒5个单位长度的速度向终点运动，点为边的中点，连接，以和为边作，设点运动的时间为秒．
（1）用含的代数式表示线段的长；
（2）当点落在边上时，求的值；
（3）设与重叠部分图形的面积为，求关于的函数关系式；
（4）作点关于直线的对称点，当点落在内部时，直接写出的取值范围．
22．（2025·松原模拟）在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，点是该抛物线上一点，其横坐标为，过点作垂直于轴的直线，点、均在直线上，且点的横坐标为，点的横坐标为，当点、不重合时，以为边向下作正方形．
（1）求该抛物线对应的函数解析式．
（2）当点是该抛物线的顶点时，求正方形的面积．
（3）当点恰好落在正方形的边含顶点上时，求的值．
（4）当正方形的边含顶点与该抛物线恰有两个公共点时，直接写出的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：；
，故A选项错误不符合题意；
，故B选项错误不符合题意；
，故C选项错误不符合题意；
，故D选项正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据有理数的加法逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意可得：
数据25000用科学记数法表示为
故答案为：D
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
3．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由图可知，主视图为：
故故答案为：B．
【分析】根据组合体的三视图即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：，且为同位角，
根据同位角相等，两直线平行，判定直线是平行的，
故答案为：B．
【分析】根据直线平行判定定理即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：如图，过点作轴于，
，
顶点的坐标为，
，
在中，，，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
∵轴，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
故选：A．
【分析】过点作轴于，根据两点间距离可得，根据勾股定理可得，则，根据正方形性质可得，，根据补角可得∠DAH，再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，，代值计算可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：是⊙的直径，
，
，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】根据圆周角定理可得，再根据三角形内角和定理可得∠ACB，再根据直线平行性质可得，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
7．【答案】
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】利用积的乘方法则和幂的乘方法则进行计算即可.
8．【答案】0
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组的解集为，
最小整数解是0，
故答案为：0．
【分析】求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可求出最小整数解．
9．【答案】8
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：8．
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求出答案.
10．【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，
由正八边形被分割成两个正方形和四个菱形，得：
，
得．
故答案为：．
【分析】由图可得，然后根据周角解题即可．
11．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵圆心角，，，
∴阴影部分的面积是
故答案为：．
【分析】根据扇形面积即可求出答案.
12．【答案】解：原式
；
∵
∴当时，则原式．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再根据分式有意义的条件代值计算即可求出答案.
13．【答案】解：设每张“九天揽月”活动的票价为元，每张“深海探幽”活动的票价为元，由题意，得
解得
答：每张“九天揽月”活动的票价为20元，每张“深海探幽”活动的票价为30元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】先设每张“九天揽月”活动的票价为元，每张“深海探幽”活动的票价为元，再根据费用相等列出二元一次方程组，解方程组即可求出答案.
14．【答案】（1）抽到丙款的概率是
（2）解：画树状图，如图，
共有6种等可能的结果数，其中两人选择的聊天机器人互不相同的有4种，
∴两人选择的聊天机器人互不相同的概率是
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：∵有甲、乙、丙三款聊天机器人，
∴随机选择其中一款进行体验测评，抽到丙款的概率是；
【分析】（1）根据概率公式即可求出答案.
（2）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出 两人选择的聊天机器人互不相同的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：∵有甲、乙、丙三款聊天机器人，
∴随机选择其中一款进行体验测评，抽到丙款的概率是；
（2）解：画树状图，如图，
共有6种等可能的结果数，其中两人选择的聊天机器人互不相同的有4种，
∴两人选择的聊天机器人互不相同的概率是．
15．【答案】解：作过于点，
在中，，，
∴
∴米．
答：点到AB的最大距离约为米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】作过于点，根据正弦定义即可求出答案.
16．【答案】（1）解：①如图，取格点、，连接，交于，
由网格特征可知：，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴圆心在上，
由网格可知四边形是矩形，
∴，
∴点即为所求．
②如①图中，由网格可知点为中点，连接并延长，交于，连接，
∵点为中点，
∴平分，
∴，
∴是的角平分线，即为所求
（2）解：如图，根据网格的特点作出直径，连接，则，可知点即为所求
【知识点】圆周角定理；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-作三角形的外接圆
【解析】【分析】（1）①先根据网格特征得出是直角三角形，根据圆周角定理确定圆心在上，利用网格结合矩形性质即可找出圆心；
②利用网格找出中点，利用垂径定理及圆周角定理即可作出；
（2）根据网格的特点作出直径，连接，则，可知点即为所求．
（1）解：①如图，取格点、，连接，交于，
由网格特征可知：，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴圆心在上，
由网格可知四边形是矩形，
∴，
∴点即为所求．
②如①图中，由网格可知点为中点，连接并延长，交于，连接，
∵点为中点，
∴平分，
∴，
∴是的角平分线，即为所求．
（2）如图，根据网格的特点作出直径，连接，则，可知点即为所求
17．【答案】（1）解：设反比例函数的解析式为，
∵反比例函数的图象经过点
∴，
解得：
∴反比例函数的解析式为
（2）解：设直线的函数解析式为，
把点代入得，，解得，
∴直线的函数解析式为，
由图象可知，直线向上平移3个单位长度得到直线
∴直线的函数解析式为
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）设反比例函数的解析式为，根据待定系数法将点A坐标代入解析式即可求出答案.
（2）设直线的函数解析式为，根据待定系数法将点A坐标代入解析式可得直线的函数解析式为，再根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
（1）解：设反比例函数的解析式为，
∵反比例函数的图象经过点
∴，
解得：
∴反比例函数的解析式为
（2）设直线的函数解析式为，
把点代入得，，解得，
∴直线的函数解析式为，
由图象可知，直线向上平移3个单位长度得到直线
∴直线的函数解析式为，
18．【答案】（1）①③④
（2）解：B 款汽车的平均得分为（分），
答：B 款汽车的平均得分为分
【知识点】条形统计图；折线统计图；加权平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】（1）解：①由折线统计图可知，2024年6月到12月，B款汽车月销量呈上升趋势；故①正确；
②2024年6月到12月，A 款汽车的月平均销量稳定，但不高于 B 款汽车的月平均销量：故②不正确；
③2024年6月到12月，观察图①，排在中间位置的数都是在9月份，即A 款汽车和B汽车月销量中位数都是在9月份，由图可知，A 款汽车月销量中位数小于 B款汽车：故③正确；
④2024年6月到12月，A 款汽车的月销量比B款汽车的月销量更稳定，故④正确．
故答案为：①③④
【分析】（1）根据折线统计图所给信息逐项进行判断即可求出答案.
（2）根据加权平均数列式计算即可求出答案.
（1）解：①由折线统计图可知，2024年6月到12月，B款汽车月销量呈上升趋势；故①正确；
②2024年6月到12月，A 款汽车的月平均销量稳定，但不高于 B 款汽车的月平均销量：故②不正确；
③2024年6月到12月，观察图①，排在中间位置的数都是在9月份，即A 款汽车和B汽车月销量中位数都是在9月份，由图可知，A 款汽车月销量中位数小于 B款汽车：故③正确；
④2024年6月到12月，A 款汽车的月销量比B款汽车的月销量更稳定，故④正确．
故答案为：①③④
（2）解：B 款汽车的平均得分为（分），
答：B 款汽车的平均得分为分．
19．【答案】（1）50，150
（2）解：设y与x之间的函数关系式为．
将点，代入，得
由题意，得．
解得．
∴y与x之间的函数关系式为．
（3）解：当时，．
∴（米），
（米）．
∴甲铺设路面的长度为米，乙铺设路面的长度为米．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：由图像可知：甲小组每小时铺设路面米．
，
解得：，
∴甲小组每小时铺设路面米．
故答案为：50，150；
【分析】（1）由图像可知：甲小组每小时铺设路面米，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设y与x之间的函数关系式为，根据待定系数法将点，代入解析式即可求出答案.
（3）根据时，求出x值，再分别求出各自各自铺设路面的长度即可求出答案.
（1）解：由图像可知：甲小组每小时铺设路面米．
，
解得：，
∴甲小组每小时铺设路面米．
故答案为：50，150；
（2）设y与x之间的函数关系式为．
将点，代入，得
由题意，得．
解得．
∴y与x之间的函数关系式为．
（3）当时，．
∴（米），
（米）．
∴甲铺设路面的长度为米，乙铺设路面的长度为米．
20．【答案】（1）5；
（2）相等，
理由：和都是等腰直角三角形，
，，，，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）连接，
，，，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
取中点H，连接，
，
，，，
【知识点】正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）∵点D、E分别是的中点，
，，
是的中位线，
，
，
；
故答案为：5；
【分析】（1）根据线段中点可得，，再根据三角形中位线定理可得，即可求出答案.
（2）根据等腰直角三角形性质可得，，，，再根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）连接，根据角之间的关系可得BE，再根据正方形判定定理可得四边形是正方形，则，，即，再根据全等三角形判定定理可得，则，即，取中点H，连接，再根据勾股定理即可求出答案.
21．【答案】（1）解：∵点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动．
，
，
（2）解：当点落在边上时，如图：作的高交于点，
四边形是平行四边形，
，，
∴
∴，
点为边的中点，
∴，
，
∴
（3）解：当时，如图，过点作于，设交于点，
∵，，，
∴
∴
∴
∵点为边的中点，
∴
∵，
∴
∵
∴
又∵，
∴
∴
当时，如图，当与，重叠部分为，过点作于点，
同上可得
∴
综上所述，
（4）
【知识点】相似三角形的判定；解直角三角形；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（4）设交于，
当点落在线段上时，如图：
点、点关于直线对称，
，
由（3）知，
∴，
，
；
点落在线段上时，连接，
点、点关于直线对称，
∴，
，
，
，
，
；
的取值范围为．
【分析】（1）由题意可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）作的高交于点，根据平行四边形性质可得，，再根据相似三角形判定定理可得，则，根据线段中点可得，则，即可求出答案.
（3）分情况讨论：当时，过点作于，设交于点，根据正弦定义可得BC，再根据勾股定理可得AC，根据余弦定义定义可得，根据线段中点可得，再根据正弦定义可得，根据直线平行性质可得，则，再根据梯形面积即可求出答案；当时，如图，当与，重叠部分为，过点作于点，同上可得，根据平行四边形面积即可求出答案.
（4）设交于，分情况讨论：当点落在线段上时，根据对称性质可得，再根据余弦定义可得，建立方程，解方程即可求出答案；点落在线段上时，连接，根据对称性质可得，根据直线平行性质可得，则，建立方程，解方程即可求出答案.
（1）∵点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动．
，
，
；
（2）当点落在边上时，如图：作的高交于点，
四边形是平行四边形，
，，
∴
∴，
点为边的中点，
∴，
，
∴；
（3）当时，如图，过点作于，设交于点，
∵，，，
∴
∴
∴
∵点为边的中点，
∴
∵，
∴
∵
∴
又∵，
∴
∴
当时，如图，当与，重叠部分为，过点作于点，
同上可得
∴
综上所述，
（4）设交于，
当点落在线段上时，如图：
点、点关于直线对称，
，
由（3）知，
∴，
，
；
点落在线段上时，连接，
点、点关于直线对称，
∴，
，
，
，
，
；
的取值范围为．
22．【答案】（1）解：把、代入，得
解得
所以，抛物线的解析式为：
（2）解：，
抛物线的顶点坐标为：．
．
，．
．
（3）解：当点在上时，
，
解得
，舍去．
当点在上时，
由，得舍去．
当点在上时，
，
解得
，舍去．
当点在上时，
由，得舍去．
综上所述，的值为或
（4）或
【知识点】二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：（4）或，理由如下：
当点与点关于对称轴对称时，
，
解得
．
此时正方形与抛物线只有一个公共点．
当恰好经过抛物线的顶点时，
，
解得
，舍去．
此时正方形与抛物线恰好有三个交点．
在时，此时正方形与抛物线恰有两个公共点．
当点在抛物线上方时，
，
解得
．
此时正方形与抛物线都有两个交点．
综上所述，或时，正方形与抛物线恰有两个公共点．
【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式即可求出答案.
（2）将解析式转换为顶点式，求出顶点坐标为，则．根据两点间距离可得MN，再根据正方形面积即可求出答案.
（3）分情况讨论：当点在上时，当点在上时，当点在上时，当点在上时，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（4）分情况讨论：当点与点关于对称轴对称时，建立方程，解方程可得，此时正方形与抛物线只有一个公共点，当恰好经过抛物线的顶点时，建立方程，解方程可得，此时正方形与抛物线恰好有三个交点，则时，此时正方形与抛物线恰有两个公共点；当点在抛物线上方时，建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）把、代入，得
解得
所以，抛物线的解析式为：．
（2），
抛物线的顶点坐标为：．
．
，．
．
．
（3）当点在上时，
，
解得
，舍去．
当点在上时，
由，得舍去．
当点在上时，
，
解得
，舍去．
当点在上时，
由，得舍去．
综上所述，的值为或．
（4）或，理由如下：
当点与点关于对称轴对称时，
，
解得
．
此时正方形与抛物线只有一个公共点．
当恰好经过抛物线的顶点时，
，
解得
，舍去．
此时正方形与抛物线恰好有三个交点．
在时，此时正方形与抛物线恰有两个公共点．
当点在抛物线上方时，
，
解得
．
此时正方形与抛物线都有两个交点．
综上所述，或时，正方形与抛物线恰有两个公共点．
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