广西贺州市八步区2025年中考数学三模练习卷
1．（2025·八步模拟）的相反数为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：∵，2的相反数是-2，
∴的相反数为，
故答案为：B．
【分析】先根据绝对值的代数意义化简绝对值运算，再根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案.
2．（2025·八步模拟）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：选项B、C、D中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项A中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故答案为：A．
【分析】平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点就叫做旋转中心，据此逐一判断得出答案.
3．（2025·八步模拟）下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用积的乘方、幂的乘方、合并通同类项、单项式乘单项式及完全平方公式的计算方法逐项判断即可。
4．（2025·八步模拟）下列关于的方程中，不是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分式方程的概念
【解析】【解答】解：A、B、C项中的方程分母中都含未知数，是分式方程，D项中的方程分母中不含未知数，故不是分式方程．
故答案为：D．
【分析】分母里含有未知数的方程叫做分式方程，据此逐一判断得出答案.
5．（2025·八步模拟）如果，那么下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解： A：∵a＞b，
∴，
∴该选项错误，不符合题意；
B：∵a＞b，
∴，
∴该选项错误，不符合题意；
C：∵a＞b，
∴，
∴该选项错误，不符合题意；
D：∵a＞b，
∴，
∴该选项正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据不等式的性质对每个选项一一判断即可。
6．（2025·八步模拟）将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（三角形），为折痕，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图所示，
∵长方形的两条长边平行，，
∴，，
∴，
由折叠的性质可知，，
∵，
∴，
故答案为：D．
【分析】由二直线平行，内错角相等，可以得到∠1=∠4=∠5=42°，由折叠的性质，得∠2=∠3，然后根据平角的定义即可求出∠2.
7．（2025·八步模拟）在第46个植树节来临之际，某校师生积极践行“绿水青山就是金山银山”理念，开展以小组为单位的植树活动，七个小组植树情况如下：
第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 第七组
数量（棵） 5 6 5 4 6 5 7
则本组数据的众数与中位数分别为（ ）
A．5，4 B．5，5 C．6，4 D．6，5
【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵植树为5棵的小组有3个，小组数最多，
∴众数为5；
把植树数量从低到高排列，处在最中间的植树数量为5棵，
∴中位数为5，
故答案为：B．
【分析】众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可.
8．（2025·八步模拟）如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（ ）
A．125° B．130° C．135° D．140°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接OA，OB，OC，
∵，
∴∠BOC=2∠BDC=100°，
∵，
∴∠BOC=∠AOC=100°，
∴∠ABC=∠AOC=50°，
∴∠ADC=180°-∠ABC=130°.
故答案为：B.
【分析】连接OA，OB，OC，根据圆周角定理得出∠BOC=100°，再根据得到∠AOC，从而得到∠ABC，最后利用圆内接四边形的性质即可求出答案.
9．（2025·八步模拟）已知反比例函数在第二象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由反比例函数的图象可得，由一次函数的图象可得，
，
函数的图象与轴的交点在轴的正半轴，
函数的对称轴为直线，
函数的对称轴在直线的右侧，
故答案为：B．
【分析】反比例函数，当k＞0时，图象的两支分别位于第一、三象限，当k＜0时，图象的两支分别位于第二、四象限，据此结合题意判断出k＜0；一次函数y=ax+b（a≠0），当b＞0时，图象交y轴的正半轴，当b=0时，图象经过坐标原点，当b＜0时，图象交y轴的负半轴，据此结合题意判断出b＞2；然后根据有理数的减法法则判断出1-k＞0，则抛物线y=-x2+bx+1-k的图象交y轴的正半轴，由抛物线的对称轴直线公式判断出抛物线y=-x2+bx+1-k的对称轴直线为，从而即可判断出答案.
10．（2025·八步模拟）如图，的半径是，，则下列各个量不能根据现有条件求出的是（ ）
A．的大小 B．的长度 C．的长度 D．的面积
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵
∴，故A选项不符合题意；
如图所示，过点O作于点D
∵的半径是，
∴
∵
∴AB=2BD，
∴
∴
∴
∴，故B选项不符合题意；
∵，
∴，故C选项不符合题意；
∵，但点C的位置不固定，即点C到AB的距离不固定
∴△BC的面积不能根据现有条件求出，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍即可判断A选项；过点O作OD⊥AB于点D，根据垂径定理得到AB=2BD，由等边对等角及三角形的内角和定理求出∠OBA=30°，根据含30°角直角三角形的性质求出OD的长，进而利用勾股定理可算出AB，据此可判断B选项；根据弧长公式即可求出的长度，进而可判断C；由于点C的位置不固定，即点C到AB的距离不固定，△BC的面积不能根据现有条件求出，据此判断D选项.
11．（2025·八步模拟）如图，张老汉想用长为70米的棚栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个面积为640平方米的矩形羊圈，并在边上留一个2米宽的门（建在处，门用其他材料）．设的长为米，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：矩形在边上留一个2米宽的门，设的长为米，共用长为70米的棚栏围成矩形，
∴（米），
∵围成一个面积为640平方米的矩形羊圈，
∴，
故答案为：D．
【分析】当时，可分别得出和的长，注意由于段留有2米长的空隙，所以正确的长应该是，再由矩形面积公式列方程即可．
12．（2025·八步模拟）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①△BDE∽△DPE；②=；③DP2=PH PB；④tan∠DBE=2﹣．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°，
∴∠CPD=∠CDP=75°，
∴∠PDE=15°，
∵∠PBD=∠PBC﹣∠HBC=60°﹣45°=15°，
∴∠EBD=∠EDP，
∵∠DEP=∠DEB，
∴△BDE∽△DPE；故①正确；
∵∠FDP=∠PBD，∠DFP=∠BPC=60°，
∴△DFP∽△BPH，
∴，故②错误；
∵∠PDH=∠PCD=30°，
∵∠DPH=∠DPC，
∴△DPH∽△CDP，
∴，
∴PD2=PH CD，
∵PB=CD，
∴PD2=PH PB，故③正确；
如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，
设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，
∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，
∴∠PCD=30°
∴CM=PN=PB sin60°=4×=2，PM=PC sin30°=2，
∵DE∥PM，
∴∠EDP=∠DPM，
∴∠DBE=∠DPM，
∴tan∠DBE=tan∠DPM===2﹣，故④正确，
综上，正确的有①③④．
故答案为：D．
【分析】根据等边三角形的性质和正方形的性质，得到∠PCD=30°，由等边对等角及三角形的内角和定理得∠CPD=∠CDP=75°，由角的和差证得∠EDP=∠PBD=15°，从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△BDE∽△DPE，故①正确；由有两组角对应相等的两个三角形相似推出△DFP∽△BPH，得到，故②错误；由有两组角对应相等的两个三角形相似推出△DPH∽△CPD，得到，结合PB=CD，等量代换得PD2=PH PB，故③正确；过P作PM⊥CD，PN⊥BC，设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，于是得到∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，求得∠PCD=30°，根据∠PCN的正弦函数及特殊锐角三角函数值可求出PN的长，由∠PCD的正弦函数及特殊锐角三角函数值可求出PM，由平行线的性质得到∠EDP=∠DPM，等量代换得到∠DBE=∠DPM，根据等角的同名三角函数值相等求得==2﹣，故④正确．
13．（2025·八步模拟）100的算术平方根是 ．
【答案】10
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵102=100，
∴=10．
故填10．
【分析】根据算术平方根的定义即可求解．
14．（2025·八步模拟）分解因式： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】xy2+6xy+9x=x(y2+6y+9)=x(y+3)2
故答案为：x(y+3)2。
【分析】先提公因式x，再用完全平方公式分解即可。
15．（2025·八步模拟）已知直线经过第二、四象限，则直线不经过第 象限
【答案】四
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵直线经过第二、四象限，
∴，
∴，
又∵，
∴直线经过第一、二、三象限，
即直线不经过第四象限．
故答案为：四．
【分析】一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限；据此结合题意求解即可.
16．（2025·八步模拟）在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的个黄球和3个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，把它放回袋中，搅匀后，再摸出一球，…，通过多次试验后，发现摸到黑球的频率稳定于，则的值大约是 ．
【答案】7
【知识点】解分式方程；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意可得，，
解得，．
经检验，是原方程的根，
故估计n大约有7个．
故答案为：7．
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此结合概率公式，根据袋中黑色小球的个数比上袋中小球的总个数等于从袋中随机摸出黑球的概率，列出方程，求解即可.
17．（2025·八步模拟）如图是拦水坝的横断面，斜坡的水平宽度为米，斜面坡度为，则斜坡的长为 米．
【答案】13
【知识点】勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，过点B作BC⊥AE于点C，则AC=12，
∵斜面坡度为，
∴，
∴（米），
∴斜坡AB的长为米．
故答案为：13．
【分析】坡面的铅垂高度与水平长度的比叫做坡面的坡度（或坡比），据此可求出BC的长，进而在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AB的长.
18．（2025·八步模拟）如图，在直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数的图象上，D为y轴上一点，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；切线的性质
【解析】【解答】解：∵点C在函数的图象上，
∴，
∵与轴相切于点，
∴轴，
∴轴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据反比例函数k的几何意义可得，再根据切线性质可得轴，再根据三角形的面积即可求出答案.
19．（2025·八步模拟）计算：．
【答案】解：原式-1+3×3
=-1+9
=8．
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】先根据有理数的乘方运算法则得“-1”的奇数次幂等于-1，计算乘方，同时根据绝对值的代数意义“负数的绝对值等于其相反数”化简绝对值，进而计算有理数的乘法，最后计算有理数的加法得出答案.
20．（2025·八步模拟）解方程或不等式组：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：，去分母，得，
解得：，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解；
（2）解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为．
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）方程两边同时乘以各个分母的最简公分母“x+2”约去分母，将原方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程根的情况；
（2）分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可.
（1）解：，
去分母，得，
解得：，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解；
（2），
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为．
21．（2025·八步模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，两直角边AC＝8cm，BC＝6cm．
（1）作∠BAC的平分线AD交BC于点D；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）计算△ABD的面积．
【答案】解：（1）作图如下：
AD是∠ABC的平分线．
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AB＝＝＝10，
作DE⊥AB，垂足为E．
∵∠ACB＝90°，AD是∠ABC的平分线，
∴CD＝DE，
设CD＝DE＝x，
∴DB＝6﹣x，
∵∠C＝∠AED＝90°，AD＝AD，DC＝DE，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），
∴AC＝AE＝8，
∴EB＝AB﹣AE＝10﹣8＝2，
在Rt△DBE中由勾股定理得：x2+22＝（6﹣x）2
解方程得x＝，
∴S＝AB DE＝．
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）利用尺规作角平分线的方法作出∠CAB的角平分线即可；
（2）首先利用勾股定理算出AB的长，作DE⊥AB，垂足为E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得CD=DE，设CD＝DE＝x，则DB=6-x，利用那个HL判断出Rt△ADC≌Rt△ADE，由全等三角形的对应边相等得AC=AE=8，在Rt△DEB中，利用勾股定理构建方程，求解得出x的值，即可得到DE的长，进而根据三角形面积计算公式列式计算可得答案.
22．（2025·八步模拟）某校九年级共有540名学生，张老师对该年级学生的升学志愿进行了一次抽样调查，他对随机抽取的一个样本进行了数据整理，绘制了两幅不完整的统计图，见图①和图②，请根据图中提供的信息，解答下列问题．
（1）求张老师抽取的样本容量；
（2）把图①和图②补充或绘制完整；
（3）请估计全年级填报职业高中的学生人数．
【答案】（1）解：张老师抽取的样本容量为；
（2）解：报考普高对应的圆心角，
报考职高的对应的圆心角为，报考职高的人数所占的百分比为，
报考其它的人数为（名），
∴报考其它的对应的圆心角为；报考其它得人数所占的百分比为，
把图甲和图乙补充或绘制完整，如图：
（3）解：全年级填报职业高中的学生人数约为（人）．
答：全年级填报职业高中的学生约225人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据条形图和扇形图提供的信息，用填报就读普高的学生人数除以其所占百分比，即可计算张老师抽取的样本容量；
（2）用填报就读职高的人数除以本次调查的样本容量乘以100％即可求出填报就读职高的人数所占百分比，进而用360°乘以填报就读职高的人数所占的百分比即可得出扇形统计图中其所对应的圆心角的度数；用本次调查的样本容量分别减去报考普高与报考职高的人数即可算出报考其它的人数，进而用填报就读其它的人数除以本次调查的样本容量乘以100％即可求出填报就读其它的人数所占百分比，进而用360°乘以填报就读其它的人数所占的百分比即可得出扇形统计图中其所对应的圆心角的度数，据此可补全统计图；
（3）用该学校九年级学生的总人数乘以样本中填报就读职高的学生人数所占的百分比即可估计全年级填报职业高中的学生人数．
（1）解：张老师抽取的样本容量为．
（2）解：普高人数为30，占，对应的圆心角，
报考职高的对应的圆心角为，
报考其它的人数为（名），
∴报考其它的对应的圆心角为；
把图甲和图乙补充或绘制完整，如图：
（3）解：全年级填报职业高中的学生人数约为（人）．
答：全年级填报职业高中的学生约225人．
23．（2025·八步模拟）如图，在中，，以为直径的交于点P，点Q是线段的中点，连接并延长交的延长线于点D．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，
①求的半径的长；
②求的长．
【答案】（1）证明：连接
是的直径，
，则，
又是的中点，
．
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴直线是的切线；
（2）解：①在中，∵，
∴，
∴，
在中，
∴，
∴的半径长为；
②在中，
∴，
连接，
，
∵是的中点，是的中点，
∴，，，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
解得：．
【知识点】切线的判定；三角形的中位线定理；解直角三角形—边角关系；A字型相似模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据题意连接OP、CP，由直径所对的圆周角是直角得∠BPC=90°，即∠APC=90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得PQ=CQ，由等边对等角得∠QCP=∠QPC，∠OCP=∠OPC，然后根据角的构成及等量代换可推出∠OPQ=90°，从而根据垂直半径外端点的直线就是圆的切线可得结论；
（2）①由∠A的正切函数可求出CP的长然后在Rt△APC中，利用勾股定理算出AC的长，在Rt△ABC中，利用∠A的正切函数求出BC的长即可得出答案；
②连接OQ，在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB的长，由三角形中位线平行第三边且等于第三边的一半得OQ∥AB，OQ=AB，然后根据线段的和差算出BP的长，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△DOQ∽△DBP，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出PD的长.
24．（2025·八步模拟）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点，给出如下定义：记，，那么我们把点与点称为点P的一对“和谐点”．
例如，点的一对“和谐点”是点与点
（1）点的一对“和谐点”坐标是______与______；
（2）若点的一对“和谐点”重合，求y的值．
（3）若点C的一个“和谐点”坐标为，求点C的坐标．
【答案】（1），
（2）解：由题意得：，，
∴点的一对“和谐点”坐标是与；
又∵点的一对“和谐点”重合，
∴，
∴，
（3）解：设，
①若点C的一个“和谐点”坐标为，
由题意得，，
∴，；
∴
②若点C的另一个“和谐点”坐标为，
由题意得，，
∴，；
∴
综上，点C的坐标为或．
【知识点】一元一次方程的其他应用；二元一次方程组的其他应用；点的坐标
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
所以点的一对“和谐点”坐标是与；
故答案为：与；
【分析】（1）对于点A（6，3），根据“和谐点”的定义求出对应的a、b的值，从而即可得出其和谐点坐标；
（2）根据“和谐点”的定义求出点的一对“和谐点”，结合“和谐点”重合，意味着两和谐点坐标相同，即a=b，从而可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y的值；
（3）此题分两种情况：①若点C的一个“和谐点”坐标为（-6，4），②若点C的另一个“和谐点”坐标为（4，-6），分别根据“和谐点”的定义，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，进而可得出点C的坐标．
（1）由题意得，
所以点的一对“和谐点”坐标是与；
故答案为：与；
（2）由题意得：，，
所以点的一对“和谐点”坐标是与；
又点的一对“和谐点”重合，
∴，
∴，
（3）设，
①若点C的一个“和谐点”坐标为，
由题意得，，
∴，；
∴
②若点C的另一个“和谐点”坐标为，
由题意得，，
∴，；
∴
综上，点C的坐标为或．
25．（2025·八步模拟）已知二次函数和一次函数．
（1）若二次函数的图像过点，求二次函数的表达式；
（2）若一次函数与二次函数的图像交于x轴上同一点A，且这个点不是原点．
①求证：；
②若的另一个交点B为二次函数的顶点，求b的值．
【答案】（1）解：∵二次函数过，
∴，解得：
∴二次函数的表达式为．
（2）①证明：∵当时，解得：，
∴二次函数与x轴交于和点，
又∵一次函数与二次函数的图像交于x轴上同一点A，且这个点不是原点，
∴一次函数过点，
∴，
∴．
②解：∵，
∴，
∵两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，
∵二次函数的顶点为，
∴过，
∴过，
∴
∵，
∴，解得：．
∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法，求出函数解析式即可．
（2）①先求出二次函数与轴的交点坐标，进而得到一次函数与二次函数的图像的交点坐标，然后再代入一次函数，即可求解；
②利用配方法求得抛物线的顶点坐标，将坐标代入一次函数的解析式，得到关于b的方程，解方程即可得出结论．
26．（2025·八步模拟）综合探究
如图，点B，E是射线上的动点，以为边在射线上方作正方形，连接，作的垂直平分线，垂足为H，分别与直线，，交于点M，F，G，连接交直线于点K．
（1）设，当E恰好是的中点时，求的长；
（2）若，猜想与的数量关系，并证明；
（3）设长为x，的面积为y，若，求y与x的关系式．
【答案】（1）解：连接，在正方形中，，
∵是的中点，
∴，
∵垂直平分，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理可得：，
即：，解得：，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵垂直平分，
∴，，，
∵，
∴，即：是等边三角形，
∴，
∵正方形中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴；
（3）解：当点在边上，∵，，
∴，，
在中，，，
∵，
∴，则，
∴，可得，
∴，
∵
∴，
∵，在正方形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
当在的延长线上时，
∵，，
∴，，
在中，，，
∵，
∴，则，
∴，可得，
∴，
∵
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，
∴，
综上所述，当时，或．
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，根据线段中点可得，再根据垂直平分线性质可得，设，则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（2）根据垂直平分线性质可得，，，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据三角形内角和定理可得，由含30°角的直角三角形性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据勾股定理即可求出答案.
（3）分情况讨论：当点在边上，根据边之间的关系可得，，根据勾股定理可得，，再根据正弦定义建立方程，解方程可得，则，再根据正切定义可得，根据直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据三角形面积即可求出答案；当在的延长线上时，根据边之间的关系可得，，根据勾股定理可得，， 再根据正弦定义建立方程，解方程可得，则，再根据正切定义可得，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，则，再根据三角形面积即可求出答案.
1 / 1广西贺州市八步区2025年中考数学三模练习卷
1．（2025·八步模拟）的相反数为（ ）
A．2 B． C． D．
2．（2025·八步模拟）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·八步模拟）下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·八步模拟）下列关于的方程中，不是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·八步模拟）如果，那么下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·八步模拟）将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（三角形），为折痕，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·八步模拟）在第46个植树节来临之际，某校师生积极践行“绿水青山就是金山银山”理念，开展以小组为单位的植树活动，七个小组植树情况如下：
第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 第七组
数量（棵） 5 6 5 4 6 5 7
则本组数据的众数与中位数分别为（ ）
A．5，4 B．5，5 C．6，4 D．6，5
8．（2025·八步模拟）如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（ ）
A．125° B．130° C．135° D．140°
9．（2025·八步模拟）已知反比例函数在第二象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025·八步模拟）如图，的半径是，，则下列各个量不能根据现有条件求出的是（ ）
A．的大小 B．的长度 C．的长度 D．的面积
11．（2025·八步模拟）如图，张老汉想用长为70米的棚栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个面积为640平方米的矩形羊圈，并在边上留一个2米宽的门（建在处，门用其他材料）．设的长为米，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2025·八步模拟）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①△BDE∽△DPE；②=；③DP2=PH PB；④tan∠DBE=2﹣．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③④
13．（2025·八步模拟）100的算术平方根是 ．
14．（2025·八步模拟）分解因式： ．
15．（2025·八步模拟）已知直线经过第二、四象限，则直线不经过第 象限
16．（2025·八步模拟）在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的个黄球和3个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，把它放回袋中，搅匀后，再摸出一球，…，通过多次试验后，发现摸到黑球的频率稳定于，则的值大约是 ．
17．（2025·八步模拟）如图是拦水坝的横断面，斜坡的水平宽度为米，斜面坡度为，则斜坡的长为 米．
18．（2025·八步模拟）如图，在直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数的图象上，D为y轴上一点，则的面积为 ．
19．（2025·八步模拟）计算：．
20．（2025·八步模拟）解方程或不等式组：
（1）；
（2）
21．（2025·八步模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，两直角边AC＝8cm，BC＝6cm．
（1）作∠BAC的平分线AD交BC于点D；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）计算△ABD的面积．
22．（2025·八步模拟）某校九年级共有540名学生，张老师对该年级学生的升学志愿进行了一次抽样调查，他对随机抽取的一个样本进行了数据整理，绘制了两幅不完整的统计图，见图①和图②，请根据图中提供的信息，解答下列问题．
（1）求张老师抽取的样本容量；
（2）把图①和图②补充或绘制完整；
（3）请估计全年级填报职业高中的学生人数．
23．（2025·八步模拟）如图，在中，，以为直径的交于点P，点Q是线段的中点，连接并延长交的延长线于点D．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，
①求的半径的长；
②求的长．
24．（2025·八步模拟）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点，给出如下定义：记，，那么我们把点与点称为点P的一对“和谐点”．
例如，点的一对“和谐点”是点与点
（1）点的一对“和谐点”坐标是______与______；
（2）若点的一对“和谐点”重合，求y的值．
（3）若点C的一个“和谐点”坐标为，求点C的坐标．
25．（2025·八步模拟）已知二次函数和一次函数．
（1）若二次函数的图像过点，求二次函数的表达式；
（2）若一次函数与二次函数的图像交于x轴上同一点A，且这个点不是原点．
①求证：；
②若的另一个交点B为二次函数的顶点，求b的值．
26．（2025·八步模拟）综合探究
如图，点B，E是射线上的动点，以为边在射线上方作正方形，连接，作的垂直平分线，垂足为H，分别与直线，，交于点M，F，G，连接交直线于点K．
（1）设，当E恰好是的中点时，求的长；
（2）若，猜想与的数量关系，并证明；
（3）设长为x，的面积为y，若，求y与x的关系式．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：∵，2的相反数是-2，
∴的相反数为，
故答案为：B．
【分析】先根据绝对值的代数意义化简绝对值运算，再根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案.
2．【答案】A
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：选项B、C、D中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项A中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故答案为：A．
【分析】平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点就叫做旋转中心，据此逐一判断得出答案.
3．【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用积的乘方、幂的乘方、合并通同类项、单项式乘单项式及完全平方公式的计算方法逐项判断即可。
4．【答案】D
【知识点】分式方程的概念
【解析】【解答】解：A、B、C项中的方程分母中都含未知数，是分式方程，D项中的方程分母中不含未知数，故不是分式方程．
故答案为：D．
【分析】分母里含有未知数的方程叫做分式方程，据此逐一判断得出答案.
5．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解： A：∵a＞b，
∴，
∴该选项错误，不符合题意；
B：∵a＞b，
∴，
∴该选项错误，不符合题意；
C：∵a＞b，
∴，
∴该选项错误，不符合题意；
D：∵a＞b，
∴，
∴该选项正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据不等式的性质对每个选项一一判断即可。
6．【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图所示，
∵长方形的两条长边平行，，
∴，，
∴，
由折叠的性质可知，，
∵，
∴，
故答案为：D．
【分析】由二直线平行，内错角相等，可以得到∠1=∠4=∠5=42°，由折叠的性质，得∠2=∠3，然后根据平角的定义即可求出∠2.
7．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵植树为5棵的小组有3个，小组数最多，
∴众数为5；
把植树数量从低到高排列，处在最中间的植树数量为5棵，
∴中位数为5，
故答案为：B．
【分析】众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可.
8．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接OA，OB，OC，
∵，
∴∠BOC=2∠BDC=100°，
∵，
∴∠BOC=∠AOC=100°，
∴∠ABC=∠AOC=50°，
∴∠ADC=180°-∠ABC=130°.
故答案为：B.
【分析】连接OA，OB，OC，根据圆周角定理得出∠BOC=100°，再根据得到∠AOC，从而得到∠ABC，最后利用圆内接四边形的性质即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由反比例函数的图象可得，由一次函数的图象可得，
，
函数的图象与轴的交点在轴的正半轴，
函数的对称轴为直线，
函数的对称轴在直线的右侧，
故答案为：B．
【分析】反比例函数，当k＞0时，图象的两支分别位于第一、三象限，当k＜0时，图象的两支分别位于第二、四象限，据此结合题意判断出k＜0；一次函数y=ax+b（a≠0），当b＞0时，图象交y轴的正半轴，当b=0时，图象经过坐标原点，当b＜0时，图象交y轴的负半轴，据此结合题意判断出b＞2；然后根据有理数的减法法则判断出1-k＞0，则抛物线y=-x2+bx+1-k的图象交y轴的正半轴，由抛物线的对称轴直线公式判断出抛物线y=-x2+bx+1-k的对称轴直线为，从而即可判断出答案.
10．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵
∴，故A选项不符合题意；
如图所示，过点O作于点D
∵的半径是，
∴
∵
∴AB=2BD，
∴
∴
∴
∴，故B选项不符合题意；
∵，
∴，故C选项不符合题意；
∵，但点C的位置不固定，即点C到AB的距离不固定
∴△BC的面积不能根据现有条件求出，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍即可判断A选项；过点O作OD⊥AB于点D，根据垂径定理得到AB=2BD，由等边对等角及三角形的内角和定理求出∠OBA=30°，根据含30°角直角三角形的性质求出OD的长，进而利用勾股定理可算出AB，据此可判断B选项；根据弧长公式即可求出的长度，进而可判断C；由于点C的位置不固定，即点C到AB的距离不固定，△BC的面积不能根据现有条件求出，据此判断D选项.
11．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：矩形在边上留一个2米宽的门，设的长为米，共用长为70米的棚栏围成矩形，
∴（米），
∵围成一个面积为640平方米的矩形羊圈，
∴，
故答案为：D．
【分析】当时，可分别得出和的长，注意由于段留有2米长的空隙，所以正确的长应该是，再由矩形面积公式列方程即可．
12．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°，
∴∠CPD=∠CDP=75°，
∴∠PDE=15°，
∵∠PBD=∠PBC﹣∠HBC=60°﹣45°=15°，
∴∠EBD=∠EDP，
∵∠DEP=∠DEB，
∴△BDE∽△DPE；故①正确；
∵∠FDP=∠PBD，∠DFP=∠BPC=60°，
∴△DFP∽△BPH，
∴，故②错误；
∵∠PDH=∠PCD=30°，
∵∠DPH=∠DPC，
∴△DPH∽△CDP，
∴，
∴PD2=PH CD，
∵PB=CD，
∴PD2=PH PB，故③正确；
如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，
设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，
∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，
∴∠PCD=30°
∴CM=PN=PB sin60°=4×=2，PM=PC sin30°=2，
∵DE∥PM，
∴∠EDP=∠DPM，
∴∠DBE=∠DPM，
∴tan∠DBE=tan∠DPM===2﹣，故④正确，
综上，正确的有①③④．
故答案为：D．
【分析】根据等边三角形的性质和正方形的性质，得到∠PCD=30°，由等边对等角及三角形的内角和定理得∠CPD=∠CDP=75°，由角的和差证得∠EDP=∠PBD=15°，从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△BDE∽△DPE，故①正确；由有两组角对应相等的两个三角形相似推出△DFP∽△BPH，得到，故②错误；由有两组角对应相等的两个三角形相似推出△DPH∽△CPD，得到，结合PB=CD，等量代换得PD2=PH PB，故③正确；过P作PM⊥CD，PN⊥BC，设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，于是得到∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，求得∠PCD=30°，根据∠PCN的正弦函数及特殊锐角三角函数值可求出PN的长，由∠PCD的正弦函数及特殊锐角三角函数值可求出PM，由平行线的性质得到∠EDP=∠DPM，等量代换得到∠DBE=∠DPM，根据等角的同名三角函数值相等求得==2﹣，故④正确．
13．【答案】10
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵102=100，
∴=10．
故填10．
【分析】根据算术平方根的定义即可求解．
14．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】xy2+6xy+9x=x(y2+6y+9)=x(y+3)2
故答案为：x(y+3)2。
【分析】先提公因式x，再用完全平方公式分解即可。
15．【答案】四
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵直线经过第二、四象限，
∴，
∴，
又∵，
∴直线经过第一、二、三象限，
即直线不经过第四象限．
故答案为：四．
【分析】一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限；据此结合题意求解即可.
16．【答案】7
【知识点】解分式方程；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意可得，，
解得，．
经检验，是原方程的根，
故估计n大约有7个．
故答案为：7．
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此结合概率公式，根据袋中黑色小球的个数比上袋中小球的总个数等于从袋中随机摸出黑球的概率，列出方程，求解即可.
17．【答案】13
【知识点】勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，过点B作BC⊥AE于点C，则AC=12，
∵斜面坡度为，
∴，
∴（米），
∴斜坡AB的长为米．
故答案为：13．
【分析】坡面的铅垂高度与水平长度的比叫做坡面的坡度（或坡比），据此可求出BC的长，进而在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AB的长.
18．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；切线的性质
【解析】【解答】解：∵点C在函数的图象上，
∴，
∵与轴相切于点，
∴轴，
∴轴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据反比例函数k的几何意义可得，再根据切线性质可得轴，再根据三角形的面积即可求出答案.
19．【答案】解：原式-1+3×3
=-1+9
=8．
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】先根据有理数的乘方运算法则得“-1”的奇数次幂等于-1，计算乘方，同时根据绝对值的代数意义“负数的绝对值等于其相反数”化简绝对值，进而计算有理数的乘法，最后计算有理数的加法得出答案.
20．【答案】（1）解：，去分母，得，
解得：，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解；
（2）解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为．
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）方程两边同时乘以各个分母的最简公分母“x+2”约去分母，将原方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程根的情况；
（2）分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可.
（1）解：，
去分母，得，
解得：，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解；
（2），
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为．
21．【答案】解：（1）作图如下：
AD是∠ABC的平分线．
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AB＝＝＝10，
作DE⊥AB，垂足为E．
∵∠ACB＝90°，AD是∠ABC的平分线，
∴CD＝DE，
设CD＝DE＝x，
∴DB＝6﹣x，
∵∠C＝∠AED＝90°，AD＝AD，DC＝DE，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），
∴AC＝AE＝8，
∴EB＝AB﹣AE＝10﹣8＝2，
在Rt△DBE中由勾股定理得：x2+22＝（6﹣x）2
解方程得x＝，
∴S＝AB DE＝．
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）利用尺规作角平分线的方法作出∠CAB的角平分线即可；
（2）首先利用勾股定理算出AB的长，作DE⊥AB，垂足为E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得CD=DE，设CD＝DE＝x，则DB=6-x，利用那个HL判断出Rt△ADC≌Rt△ADE，由全等三角形的对应边相等得AC=AE=8，在Rt△DEB中，利用勾股定理构建方程，求解得出x的值，即可得到DE的长，进而根据三角形面积计算公式列式计算可得答案.
22．【答案】（1）解：张老师抽取的样本容量为；
（2）解：报考普高对应的圆心角，
报考职高的对应的圆心角为，报考职高的人数所占的百分比为，
报考其它的人数为（名），
∴报考其它的对应的圆心角为；报考其它得人数所占的百分比为，
把图甲和图乙补充或绘制完整，如图：
（3）解：全年级填报职业高中的学生人数约为（人）．
答：全年级填报职业高中的学生约225人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据条形图和扇形图提供的信息，用填报就读普高的学生人数除以其所占百分比，即可计算张老师抽取的样本容量；
（2）用填报就读职高的人数除以本次调查的样本容量乘以100％即可求出填报就读职高的人数所占百分比，进而用360°乘以填报就读职高的人数所占的百分比即可得出扇形统计图中其所对应的圆心角的度数；用本次调查的样本容量分别减去报考普高与报考职高的人数即可算出报考其它的人数，进而用填报就读其它的人数除以本次调查的样本容量乘以100％即可求出填报就读其它的人数所占百分比，进而用360°乘以填报就读其它的人数所占的百分比即可得出扇形统计图中其所对应的圆心角的度数，据此可补全统计图；
（3）用该学校九年级学生的总人数乘以样本中填报就读职高的学生人数所占的百分比即可估计全年级填报职业高中的学生人数．
（1）解：张老师抽取的样本容量为．
（2）解：普高人数为30，占，对应的圆心角，
报考职高的对应的圆心角为，
报考其它的人数为（名），
∴报考其它的对应的圆心角为；
把图甲和图乙补充或绘制完整，如图：
（3）解：全年级填报职业高中的学生人数约为（人）．
答：全年级填报职业高中的学生约225人．
23．【答案】（1）证明：连接
是的直径，
，则，
又是的中点，
．
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴直线是的切线；
（2）解：①在中，∵，
∴，
∴，
在中，
∴，
∴的半径长为；
②在中，
∴，
连接，
，
∵是的中点，是的中点，
∴，，，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
解得：．
【知识点】切线的判定；三角形的中位线定理；解直角三角形—边角关系；A字型相似模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据题意连接OP、CP，由直径所对的圆周角是直角得∠BPC=90°，即∠APC=90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得PQ=CQ，由等边对等角得∠QCP=∠QPC，∠OCP=∠OPC，然后根据角的构成及等量代换可推出∠OPQ=90°，从而根据垂直半径外端点的直线就是圆的切线可得结论；
（2）①由∠A的正切函数可求出CP的长然后在Rt△APC中，利用勾股定理算出AC的长，在Rt△ABC中，利用∠A的正切函数求出BC的长即可得出答案；
②连接OQ，在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB的长，由三角形中位线平行第三边且等于第三边的一半得OQ∥AB，OQ=AB，然后根据线段的和差算出BP的长，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△DOQ∽△DBP，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出PD的长.
24．【答案】（1），
（2）解：由题意得：，，
∴点的一对“和谐点”坐标是与；
又∵点的一对“和谐点”重合，
∴，
∴，
（3）解：设，
①若点C的一个“和谐点”坐标为，
由题意得，，
∴，；
∴
②若点C的另一个“和谐点”坐标为，
由题意得，，
∴，；
∴
综上，点C的坐标为或．
【知识点】一元一次方程的其他应用；二元一次方程组的其他应用；点的坐标
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
所以点的一对“和谐点”坐标是与；
故答案为：与；
【分析】（1）对于点A（6，3），根据“和谐点”的定义求出对应的a、b的值，从而即可得出其和谐点坐标；
（2）根据“和谐点”的定义求出点的一对“和谐点”，结合“和谐点”重合，意味着两和谐点坐标相同，即a=b，从而可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y的值；
（3）此题分两种情况：①若点C的一个“和谐点”坐标为（-6，4），②若点C的另一个“和谐点”坐标为（4，-6），分别根据“和谐点”的定义，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，进而可得出点C的坐标．
（1）由题意得，
所以点的一对“和谐点”坐标是与；
故答案为：与；
（2）由题意得：，，
所以点的一对“和谐点”坐标是与；
又点的一对“和谐点”重合，
∴，
∴，
（3）设，
①若点C的一个“和谐点”坐标为，
由题意得，，
∴，；
∴
②若点C的另一个“和谐点”坐标为，
由题意得，，
∴，；
∴
综上，点C的坐标为或．
25．【答案】（1）解：∵二次函数过，
∴，解得：
∴二次函数的表达式为．
（2）①证明：∵当时，解得：，
∴二次函数与x轴交于和点，
又∵一次函数与二次函数的图像交于x轴上同一点A，且这个点不是原点，
∴一次函数过点，
∴，
∴．
②解：∵，
∴，
∵两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，
∵二次函数的顶点为，
∴过，
∴过，
∴
∵，
∴，解得：．
∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法，求出函数解析式即可．
（2）①先求出二次函数与轴的交点坐标，进而得到一次函数与二次函数的图像的交点坐标，然后再代入一次函数，即可求解；
②利用配方法求得抛物线的顶点坐标，将坐标代入一次函数的解析式，得到关于b的方程，解方程即可得出结论．
26．【答案】（1）解：连接，在正方形中，，
∵是的中点，
∴，
∵垂直平分，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理可得：，
即：，解得：，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵垂直平分，
∴，，，
∵，
∴，即：是等边三角形，
∴，
∵正方形中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴；
（3）解：当点在边上，∵，，
∴，，
在中，，，
∵，
∴，则，
∴，可得，
∴，
∵
∴，
∵，在正方形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
当在的延长线上时，
∵，，
∴，，
在中，，，
∵，
∴，则，
∴，可得，
∴，
∵
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，
∴，
综上所述，当时，或．
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，根据线段中点可得，再根据垂直平分线性质可得，设，则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（2）根据垂直平分线性质可得，，，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据三角形内角和定理可得，由含30°角的直角三角形性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据勾股定理即可求出答案.
（3）分情况讨论：当点在边上，根据边之间的关系可得，，根据勾股定理可得，，再根据正弦定义建立方程，解方程可得，则，再根据正切定义可得，根据直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据三角形面积即可求出答案；当在的延长线上时，根据边之间的关系可得，，根据勾股定理可得，， 再根据正弦定义建立方程，解方程可得，则，再根据正切定义可得，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，则，再根据三角形面积即可求出答案.
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