广东省广州市白云区九年级数学2025年中考二模试题
1．（2025·白云模拟）“杨辉三角”、“洛书”、“赵爽弦图”和“中国七巧板”均是中国古代数学的重要成就，至今仍在数学教育、智力训练和文化传承中发挥影响．观察以下代表四者的标志性图形，其中属于中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、B、D选项中的图形，绕某点旋转180°后不能与本身重合，故不是中心对称图形，故A、B、D选项不符合题意；
C选项中的图形，绕某点旋转180°后能与本身重合，故是中心对称图形，故C选项符合题意.
故答案为：C．
【分析】平面内，将一个图形绕某点旋转180°后能与本身重合，这样的图形叫做中心对称图形，这个点就叫做旋转中心，据此逐一判断得出答案.
2．（2025·白云模拟）科学家通过观测宇宙背景辐射的温度变化来推测光的传播方式以及宇宙的形状．在宇宙中，宇宙背景辐射分布的非常均匀，但不同区域的宇宙背景辐射仍存在微小的温度差异，热点和冷点之间的温差约为.0.0002用科学记数法记为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：C．
【分析】用科学记数法表示大于0且小于1的数，一般表示成a×10-n的形式，其中1≤a＜10，n等原数左边第一个非0数字前面所有0的个数，包括小数点前面的那个0，据此解答即可.
3．（2025·白云模拟）如图，A是某公园的进口，B，C，D，E，F是不同的出口，若小华从A处进入公园，随机选择出口离开公园，则恰好从北面出口离开的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵共有5个出口，其中北面有B，C两个出口，
∴恰好从北面出口离开的概率为，
故答案为：D．
【分析】共有5个出口，故小华离开公园共有5种等可能的情况数，其中北面有两个出口，故选择从北面离开公园共有2种等可能的情况数，从而直接利用概率公式得出答案．
4．（2025·白云模拟）下列各式，计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、不是同类项，不能合并，原选项计算错误，不符合题意；
B、，原选项计算错误，不符合题意；
C、，原选项计算正确，符合题意；
D、，原选项计算错误，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断B选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断C选项；由幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断D选项.
5．（2025·白云模拟）若的整数部分为a，小数部分为b，则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：，，，
，即
的整数部分，小数部分，
原式
，
故答案为：B．
【分析】根据估算无理数大小的方法（被开方数越大，其算术平方根就越大）可得，从而即可得出a、b的值，然后将a、b的值代入待求式子，利用平方差公式及二次根式性质化简，再利用有理数的减法法则计算可得答案.
6．（2025·白云模拟）如图，内接于是的一条弦，，连接，若，则的度数为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
【答案】C
【知识点】圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：，且，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】由同弧所对的圆周角相等得∠A=∠D=30°，由等边对等角及三角形的内角和定理可求出∠ABC=75°，∠DBC=∠D=30°，最后根据∠ABD=∠ABC-∠DBC列式计算即可.
7．（2025·白云模拟）如图，梯子，梯子与地面的夹角为，则两梯脚之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【分析】
过点作于点，可由等腰三角形三线合一得到，再解即可表示，即可求解．
8．（2025·白云模拟）如图，四边形为菱形，垂直平分，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：四边形为菱形，
，
设，则，
垂直平分，
，
在中，
中，，
，
，
∴
∴，
故答案为：A．
【分析】根据菱形的四边相等得到，设，则，在Rt△ABE与Rt△ADE中，分别利用勾股定理表示出表示出AE2，然后根据用两个不同的式子表示同一个量，则这两个式子相等，可得关于字母x的方程，求解得出x的值，进而利用勾股定理算出AE，再根据AC=2AE可得答案.
9．（2025·白云模拟）已知a是方程的实数根，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：函数和的大致位置如图：
根据图形可得函数和交点的横坐标，
∴的解，
∵a是方程的实数根，
∴，
故答案为：A ．
【分析】从图象角度看，求方程的实数根的取值范围，就是求函数和图象交点横坐标的取值范围，故利用描点法画出函数和的大致图象，结合函数交点位置判断即可.
10．（2025·白云模拟）观察图中数字的排列规律．按照此规律继续排列，若数字2025出现在第m列第n行的位置，则m和n的值分别是（ ）
第1列 第2列 第3列 第4列 …
第1行 1 2 9 10 …
第2行 4 3 8 11 …
第3行 5 6 7 12 …
第4行 16 15 14 13 …
第5行 17 … … …
…
A．1，45 B．45，1 C．44，2 D．2，44
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】解：由表格得，奇数的平方位于第1行对应奇数列，偶数的平方位于对应偶数行的第1列；
例如，32=9位于第1行第3列，42=16位于第4行第1列；
因45为奇数，452=2025位于第1行第45列，
，
故答案为：B．
【分析】观察数字排列规律，发现每一个奇数的平方位于第1行对应奇数列，偶数的平方对应偶数行的第1列，而2025是45的平方（奇数），从而得其位置在第1行第45列.
11．（2025·白云模拟）已知3是一元二次方程x2﹣2x+a＝0的一个根，则a= ．
【答案】-3
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：将代入x2﹣2x+a＝0得：
，
解得：，
故答案为：-3．
【分析】根据一元二次方程解的定义“使一元二次方程的左边等于右边的未知数的值就是一元二次方程的解”把代入x2﹣2x+a＝0可得关于字母a的方程，求解该方程即可求得答案.
12．（2025·白云模拟）如果a－b＝2，ab＝3，那么a2b－ab2＝ ；
【答案】6
【知识点】因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵ a－b＝2，ab＝3，
∴ a2b－ab2＝ ab(a-b)=3×2=6.
故答案为：6.
【分析】将待求式子利用提取公因式法分解因式后，再整体代入计算可得答案.
13．（2025·白云模拟）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，如图1，孩子出生后的天数（天），请根据图2，计算孩子自出生后的天数是 天．
【答案】123
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：由题意得，图2，计算孩子自出生后的天数，
故答案为：123．
【分析】由题干提供的信息可得， 从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一 ，所以从右到左的书分别为4，3×71和2×72，然后把它们加起来，按含乘方的有理数的混合运算的运算顺序计算可得答案.
14．（2025·白云模拟）在半圆中，C是直径上一点，，，点C关于弦的对称点也在上，那么的值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理；轴对称的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图所示，连接交于E，
由轴对称的性质可得，，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去），
∴，
故答案为：．
【分析】连接CC'交AD于E，由轴对称的性质可得，，由同圆中相等得圆周角所对的弧相等，及等弧所对的弦相等得，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△CAE∽△BAD，由相似三角形对应边成比例可求出，设根据勾股定理用含m的式子表示出DE，进而表示出AE，在Rt△AEC'中，再由勾股定理建立方程，解方程即可求出m，从而即可得到答案．
15．（2025·白云模拟）在温度不变的条件下，通过对汽缸（图1）活塞重复加压，测得汽缸内气体压强与体积成反比例函数关系，其函数图象如图2所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 ．
【答案】90
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设反比例函数关系式为，
∵反比例函数图象经过点，
∴，
解得，
所以反比例函数关系为．
当时，；
当时，，
∴．
所以气体体积压缩了90．
故答案为：90．
【分析】先根据图象给出的点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数关系式，再分别求出P=40kPa与P=100kPa时对应的气体体积V，再求差即可.
16．（2025·白云模拟）如图，将正方形纸片沿折叠，使点C的对称点E落在边上，点D的对称点为点F，交于点G，连接交于点H，连接．下列四个结论中：①；②；③平分；④，正确的是 （填序号即可）．
【答案】①③④．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；圆周角定理；确定圆的条件；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°
由折叠可知：∠GEP=∠BCD=90°，∠F=∠D=90
∴∠BEP+∠AEG=90°，
∵∠A=90°
∴∠AEG+∠AGE=90°，
∴∠BEP=∠AGE，
∵∠FGQ=∠AGE，
∴∠BEP=∠FGQ，
∵∠B=∠F=90，
∴△PBE~△QFG，
故①说法正确，符合题意；
②过点C作CM⊥EG于M，
由折叠可得：∠GEC=∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠BEC=∠DCE，
∴∠BEC=∠GEC，
在△BEC和△MEC中，
∵∠B=∠EMC=90°，∠BEC=∠GEC， CE= CE
∴△BEC≌△MEC(AAS)
∴CB=CM，S△BEC=S△MBC ，
∵CG=CG，
∴Rt△CMG≌Rt△CDG(HL)，
∴S△CMG=S△CDG，
∴S△CEG=S△BEC+S△CDG>S△BEC +S四边形CDQH
∴②说法不正确，不符合题意；
③由折叠可得：∠GEC=∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠BEC=∠DCE，
∴∠BEC=∠GEC，即EC平分∠BEG
∴③说法正确，符合题意；
④连接DH，MH，HE，如图：
∵△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG，
∴∠BCE=∠MCE，∠MCG=∠DCG，
∴∠ECG=∠ECM+∠GCM=∠BCD=45°，
∵EC⊥HP，
∴∠CHP=45°，
∴GHQ=∠CHP=45°，
由折叠可得：∠EHP=∠CHP=45°，
∴EH⊥CG
∴EG2 -EH2=GH2
由折叠可知：EH=CH
∴EG2 -CH2= GH2，
∵CM⊥EG，EH⊥CG，
∴∠EMC=∠EHC=90°，
∴E，M，H，C四点共圆，
∴∠HMC=∠HEC=45°，
在△CMH和△CDH中，
∵CM=CD，∠MCG=∠DCG， CH= CH
∴△CMH≌△CDH(SAS)
∴∠CDH=∠CMH=45 °，
∵∠CDA=90°，
∴∠GDH=45°
∵∠GHQ=∠CHP=45°，
∴∠GHQ=∠GDH=45°，
∵∠HGQ=∠DGH，
∴△GHQ∽△GDH ，
∴，
∴GH2=GQ·GD
∴GE2-CH2=GQ·GD
故④说法正确，符合题意；
综上可得，正确的结论有：①③④
故答案为：①③④．
【分析】①由正方形性质得 ∠A=∠B=∠BCD=∠D=90° ，由折叠得 ∠GEP=∠BCD=90°，∠F=∠D=90 ，由同角的余角相等及对顶角相等可推出 ∠BEP=∠FGQ， 用有两个角对应相等的两个三角形相似得出 △PBE~△QFG， 据此可判断①；
②过点C作CM⊥EG于M，由折叠得∠GEC=∠DCE，由二直线平行，内错角相等得∠BEC=∠DCE，则∠BEC=∠GEC，从而可用AAS判断出△BEC≌△MEC，由全等三角形性质得CB=CM，S△BEC=S△MBC ，用HL判断出 Rt△CMG≌Rt△CDG ，得S△CMG=S△CDG，可得S△CMG=S△CDG，进而推出S△CEG=S△BEC+S△CDG>S△BEC＋S四边形CDQH，据此可判断②；
③由折叠可得∠GEC=∠DCE，由二直线平行，内错角相等得∠BEC=∠DCE，则 ∠BEC=∠GEC， 据此可判断③；
④连接DH，MH，HE，由△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG，得∠BCE=∠MCE，∠MCG=∠DCG，则∠ECG=∠ECM+∠GCM=∠BCD，由于EC⊥HP，则∠CHP=45°，由折叠可得∠EHP=∠CHP=45°，利用勾股定理可得 EG2-EH2=GH2，由垂直定义得得到∠EMC=∠EHC=90°，所以E，M，H，C四点共圆，用SAS判断出△CMH≌△CDH，得∠CDH=∠CMH=45 °，从而用有两组角对应相等的两个三角形相似得△GHQ∽△GDH，由相似三角形对应边成比例建立方程得GH2=GQ·GD，据此可判断④.
17．（2025·白云模拟）解方程： .
【答案】解： x2﹣4x+4=5+4
（x-2）2=9
x﹣2=3或x﹣2=﹣3
x1=5，x2=﹣1；
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】观察方程的特点：二次项系数为1，一次项系数为偶数，因此利用配方法或因式分解法解此方程即可。
18．（2025·白云模拟）如图，点E，F在直线上，，，．求证：．
【答案】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【分析】由二直线平行，内错角相等得∠DFE=∠BCA，由已知及等式性质可推出BC=DF，从而用SAS判断出△BCA≌△DFE，由全等三角形的对应角相等得∠A=∠E，最后由“内错角相等，两直线平行”可得结论.
19．（2025·白云模拟）如图，为的直径，垂直平分线段，交于点D，交于点C，连接、、．
（1）求证：是等边三角形；
（2）点E在线段的延长线上，且，试判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵垂直平分线段，
∴
又∵
∴
∴是等边三角形；
（2）解：ED与圆O相切，理由如下：
∵是等边三角形
∴
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴与相切．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；切线的判定
【解析】【分析】（1）由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得到AD=OD，然后结合OA=OD，利用“三边相等的三角形是等边三角形”可得结论；
（2）由等边三角形的三个内角都是直角得出∠DAO=∠DOA=60°，然后由等边对等角及三角形外角性质推出∠E=∠ADE=30°，然后由三角形的内角和定理求出∠ODE=90°，根据垂直半径外端点的直线就是圆的切线即可证明出ED与相切．
（1）解：∵垂直平分线段，
∴
又∵
∴
∴是等边三角形；
（2）解：∵是等边三角形
∴
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴与相切．
20．（2025·白云模拟）我校对九年级学生参与“力学”“热学”“光学”“电学”四个类别的物理实验情况进了抽样调查，每位同学仅选其中一个类别，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图（图1），请根据图表提供的信息，解答下列问题：
类别 频数（人数） 频率
力学
热学 10
光学 30
电学 15
（1）直接写出频数分布表中、的值：______，______；
（2）直接写出表示参与“光学”实验的扇形圆心角的度数______°；
（3）参与“电学”实验的同学在做“灯泡亮了”的实验时，提出如下问题：如图2，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，，都可使小灯泡发光．若随机闭合其中的两个开关，用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率．
【答案】（1）45，
（2）108
（3）解：画树状图，如图
共有12种等可能的情况，能使小灯泡发光的有6种情况，则
．
【知识点】频数与频率；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：本次调查的总人数为：（人），
，
∴参与“热学”实验的频率为，
故答案为：45；；
（2）解：参与“光学”实验的扇形圆心角的度数是：；
故答案为：108；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用参与“光学”的人数除以其频率即可得出总人数，再用总人数乘以参与“力学”人数所占的频率即可求出a的值，然后用参与“热学”实验的人数除以总人数即可求出频率b；
（2）用360°乘以参与“光学”实验的人数所占的频率即可得出参与“光学”实验的扇形圆心角的度数；
（3）此题是抽取不放回类型，依据题意先画树状图，由图可知共有12种等可能的情况，能使小灯泡发光的有6种情况，然后根据概率公式求出该事件的概率．
（1）解：（人），
，
∴参与“热学”实验的频率为，
故答案为：45；；
（2）解：参与“光学”实验的扇形圆心角的度数是：；
故答案为：108；
（3）解：画树状图，如图
共有12种等可能的情况，能使小灯泡发光的有6种情况，则
．
21．（2025·白云模拟）电影《哪吒之魔童闹海》成为首部进入全球票房榜前五，登顶全球动画票房榜榜首的亚洲电影！与之相关的周边产品也在市场上热销起来，某书店计划同时购进哪吒磁性书签和金属书签．已知哪吒磁性书签的单价比金属书签的单价多20元，用2400元购买哪吒磁性书签的数量与用800购买金属书签的数量相同．
（1）求哪吒磁性书签和金属书签的单价；
（2）为满足顾客需求，书店老板从厂家一次性购进哪吒磁性书签和金属书签共200个，且购买的费用不超过3600元，求最多可以购进哪吒磁性书签多少个？
【答案】（1）解：设金属书签的单价为x元，则哪吒磁性书签的单价为元，
根据题意得，
解得
经检验，是原方程的解
∴
∴金属书签的单价为10元，则哪吒磁性书签的单价为30元；
（2）解：设最多可以购进哪吒磁性书签m个，则购进金属书签个，
根据题意得，
解得
∴最多可以购进哪吒磁性书签80个．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设金属书签的单价为x元，则哪吒磁性书签的单价为(x+20)元，根据总价除以单价等于数量及“ 用2400元购买哪吒磁性书签的数量与用800购买金属书签的数量相同 ”列出分式方程求解即可；
（2）设最多可以购进哪吒磁性书签m个，则购进金属书签(200-m)个，根据单价乘以数量等于总价及购买m个哪吒磁性书签的费用+购买(200-m)个金属书签的费用 不超过3600元，列出不等式，求出该不等式的最大整数解即可.
（1）设金属书签的单价为x元，则哪吒磁性书签的单价为元
根据题意得，
解得
经检验，是原方程的解
∴
∴金属书签的单价为10元，则哪吒磁性书签的单价为30元；
（2）设最多可以购进哪吒磁性书签m个，则购进金属书签个
根据题意得，
解得
∴最多可以购进哪吒磁性书签80个．
22．（2025·白云模拟）某数学小组开展项目式学习，从生活中搬重物爬楼梯的困难入手，跨学科研究三轮爬梯车（如图①）的设计原理和优化设计．图②是该数学小组设计的一个爬梯车模型，有两个轮子水平放置在地面EF上，图中，和分别代表3个轮子，3个轮子的半径均为，点O为支点，，且，拉杆．
（1）求的长；
（2）在使用爬梯车时，拉杆倾斜，从条件①或条件②这两个条件中选择一个作为已知，求把手D到地面的距离的长．
条件①：与的夹角；
条件②：点O到的距离为．
注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．（参考数据：，，．）
【答案】（1）解：过作于，连接交于，
∵和轮子的半径均为，
∴点和点到地面距离都是，
∴平行地面，
∴，，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过作于，则四边形是矩形，
∴，
选择条件①：与的夹角，
∴，
∵拉杆，
∴，
∴把手D到地面的距离．
选择条件②：点O到的距离为，即
∵，
∴，
∴把手D到地面的距离．
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过作于，连接交于，根据题意可得BC平行地面EF，则，，再由等腰三角形的三线合一可得，，由三角形的内角和定理得，根据30°直角三角形性质可得OM=BC=5，然后利用勾股定理算出BM，即可得到BC的长度；
（2）过作于，由四个内角是直角的四边形是矩形得四边形是矩形，由矩形的对边相等得GE=ON=10，选择条件①，利用∠ODE的余弦函数可求出GD，进而根据DE=DG+EG可算出答案；选择条件②，先用勾股定理算出GD的长，然后根据DE=DG+EG可算出答案.
（1）解：过作于，连接交于，
∵和轮子的半径均为，
∴点和点到地面距离都是，
∴平行地面，
∴，，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过作于，则四边形是矩形，
∴，
选择条件①：与的夹角，
∴，
∵拉杆，
∴，
∴把手D到地面的距离．
选择条件②：点O到的距离为，即
∵，
∴，
∴把手D到地面的距离．
23．（2025·白云模拟）如图，已知，，
（1）尺规作图：在边求作点D，使得（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接，若，求与的面积比．
【答案】（1）解：如图，点即为所求：
（2）解：∵，
∴，
设，
∴，
∵，，
∴
∴．
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；已知正弦值求边长；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）按照尺规作一个角等于已知角的方法，以AC为一边，点A为顶点，在△ABC内作∠DAC=∠B即可；
（2）先根据正切正切函数定义，求得，设，由勾股定理得，由有两组角对应相等的两个三角形相似得，再由相似三角形面积比等于相似比的平方求解．
（1）解：如图，点即为所求：
（2）解：∵，
∴，
设，
∴，
∵，，
∴
∴．
24．（2025·白云模拟）在中，，边绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作垂足为，连接．
（1）如图1若，时，求及的长；
（2）如图2，当时，求证：；
（3）如图3，当时，按要求重新作图并回答：、、是否依然存在（2）中的等量关系？如果存在，请说明理由．否则，请说明三者存在什么样的关系？并说明理由．
【答案】（1）解：边绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
，
如图所示，、、、四点共圆，
，
，
，，
，
，
，，
，
，，
，
，，
，
在中，，
，；
（2）证明：边绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
，
如图所示，、、、四点共圆，过点作交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
；
（3）解：不存在（2）中的等量关系，存在的关系，理由如下：
根据题意进行作图，将边绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作垂足为，连接，如图所示，过点作交的延长线于点，
边绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
四边形内角和为，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，，
在中，，
．
【知识点】三角形全等及其性质；圆周角定理；确定圆的条件；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）由旋转的性质得∠ABD=90°，AB=AD，由等边对等角及三角形的内角和定理得∠BAD=∠BDA=45°，易得∠ABD=∠AED=90°，由确定圆的条件可得A、D、B、E四点共圆，由同弧所对的圆周角相等推出∠BED=∠BAD=45°，由平角定义推出得∠BEC=45°，由等角对等边得CE=CB=1，在Rt△ABC中，由含30°角直角三角形的性质可得AB=2，进而利用勾股定理得AC、AD、DE的长；
（2）由旋转的性质得∠ABD=90°，AB=AD，由等边对等角及三角形的内角和定理得∠BAD=∠BDA=45°，过点B作BF⊥BE交DE于点F，易得∠ABD=∠AED=90°，由确定圆的条件可得A、D、B、E四点共圆，由同弧所对的圆周角相等得∠BED=∠BAD=45°，由等腰直角三角形性质得BE=BF，由等角的余角相等得∠FBD=∠EBA，从而由SAS判断出△ABE≌△DBF，由全等三角形的对应边相等得AE=DF，通过线段和差可得结论；
（3）根据题意进行作图，将BA边绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为E，连接BE，过点B作BF⊥BE交ED的延长线于点F；由旋转的性质得∠ABD=90°，AB=AD，由四边形内角和为，易得∠BAE+∠BDE=180°，由同角的补角相等得∠BAE=∠BDF，由同角的余角相等得∠FBD=∠EBA，从而用ASA判断出△ABE≌△DBF，由全等三角形的对应边相等得AE=DF，BE=BF，进而根据线段和差及勾股定理可得结论.
（1）解：边绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
，
如图所示，、、、四点共圆，
，
，
，，
，
，
，，
，
，，
，
，，
，
在中，，
，；
（2）证明：边绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
，
如图所示，、、、四点共圆，过点作交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
；
（3）不存在（2）中的等量关系，存在的关系，理由如下：
根据题意进行作图，将边绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作垂足为，连接，如图所示，过点作交的延长线于点，
边绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
四边形内角和为，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，，
在中，，
．
25．（2025·白云模拟）已知一次函数与二次函数（是常数）相交于两点，点是轴上的点，点是轴上的点，点为抛物线的顶点．点在抛物线上，其横坐标为．
（1）求该二次函数解析式及顶点的坐标；
（2）若抛物线在之间的部分（包含两点）最高点与最低点的纵坐标差为时，求的取值范围；
（3）点是直线上的点，且轴，把点往右平移两个单位，再往下平移个单位得到点．是否存在不与点重合的点，使得？若存在，请求出面积相等时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵一次函数与二次函数（b、c是常数）相交于两点，点A是x轴上的点，点B是y轴上的点，
∴对于，当时，；当时，，
∴，，
把，代入，得：
，
解得，
∴二次函数解析式为，
∴，
∴抛物线的顶点C的坐标为；
（2）解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，如图，
根据对称性质得，点关于对称轴对称的点的坐标为，
设P(m，-m2+4m+5)
当时，点是最高点，是最低点，
∴，
解得，（不合题意，舍去）或；
当时，最高点是抛物线的顶点，最低点是，
∴，满足条件；
当时，点是最高点，是最低点，
∴，
解得，或（不合题意，舍去）；
综上，的取值范围是或；
（3）解：设P(m，-m2+4m+5)，
∵点是直线上的点，且轴，
∴，
∴，，
当时，∵
∴
∵，
∴
设把点往右平移两个单位得到，再往下平移个单位得到点．
如图，
∴
∴当时，重合，此时三点共线，不存在三角形，
∴
当时，如图，过作交延长线于点，过作于点，连接，
∴
，
∵，
∴，
∴，（舍去），
∴时，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）分别令直线y=-x+5中的x=0与y=0算出对应的y与x的值，求出A、B两点坐标，将A、B点的坐标分别代入y=-x2+bx+c可得关于字母b、c的二元一次方程组，求解得出b、c的值，求出函数解析式，配方后可得顶点C的坐标；
（2）根据抛物线的对称性可得点B关于对称轴x=2的对称点B'（4，5），根据抛物线上点的坐标特点设P(m，-m2+4m+5)，分、和三种情况结合图象的最高点和最低点讨论得解即可；
（3）先确定，使得，求出，，然后根据，当时，列方程求出的值并检验即可．
（1）解：∵一次函数与二次函数（b、c是常数）相交于两点，点A是x轴上的点，点B是y轴上的点，
∴对于，当时，；当时，，
∴，，
把，代入，得：
，
解得，
∴二次函数解析式为，
∴，
∴抛物线的顶点C的坐标为；
（2）解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线，基点坐标为，如图，
根据对称性质得，点关于对称轴对称的点的坐标为，
设，
当时，点是最高点，是最低点，
∴，
解得，（不合题意，舍去）或；
当时，最高点是抛物线的顶点，最低点是，
∴，满足条件；
当时，点是最高点，是最低点，
∴，
解得，或（不合题意，舍去）；
综上，的取值范围是或；
（3）解：设，
∵点是直线上的点，且轴，
∴，
∴，，
当时，∵
∴
∵，
∴
设把点往右平移两个单位得到，再往下平移个单位得到点．
如图，
∴
∴当时，重合，此时三点共线，不存在三角形，
∴
当时，如图，过作交延长线于点，过作于点，连接，
∴
，
∵，
∴，
∴，（舍去），
∴时，．
1 / 1广东省广州市白云区九年级数学2025年中考二模试题
1．（2025·白云模拟）“杨辉三角”、“洛书”、“赵爽弦图”和“中国七巧板”均是中国古代数学的重要成就，至今仍在数学教育、智力训练和文化传承中发挥影响．观察以下代表四者的标志性图形，其中属于中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·白云模拟）科学家通过观测宇宙背景辐射的温度变化来推测光的传播方式以及宇宙的形状．在宇宙中，宇宙背景辐射分布的非常均匀，但不同区域的宇宙背景辐射仍存在微小的温度差异，热点和冷点之间的温差约为.0.0002用科学记数法记为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·白云模拟）如图，A是某公园的进口，B，C，D，E，F是不同的出口，若小华从A处进入公园，随机选择出口离开公园，则恰好从北面出口离开的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·白云模拟）下列各式，计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·白云模拟）若的整数部分为a，小数部分为b，则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
6．（2025·白云模拟）如图，内接于是的一条弦，，连接，若，则的度数为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
7．（2025·白云模拟）如图，梯子，梯子与地面的夹角为，则两梯脚之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·白云模拟）如图，四边形为菱形，垂直平分，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·白云模拟）已知a是方程的实数根，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．不能确定
10．（2025·白云模拟）观察图中数字的排列规律．按照此规律继续排列，若数字2025出现在第m列第n行的位置，则m和n的值分别是（ ）
第1列 第2列 第3列 第4列 …
第1行 1 2 9 10 …
第2行 4 3 8 11 …
第3行 5 6 7 12 …
第4行 16 15 14 13 …
第5行 17 … … …
…
A．1，45 B．45，1 C．44，2 D．2，44
11．（2025·白云模拟）已知3是一元二次方程x2﹣2x+a＝0的一个根，则a= ．
12．（2025·白云模拟）如果a－b＝2，ab＝3，那么a2b－ab2＝ ；
13．（2025·白云模拟）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，如图1，孩子出生后的天数（天），请根据图2，计算孩子自出生后的天数是 天．
14．（2025·白云模拟）在半圆中，C是直径上一点，，，点C关于弦的对称点也在上，那么的值为 ．
15．（2025·白云模拟）在温度不变的条件下，通过对汽缸（图1）活塞重复加压，测得汽缸内气体压强与体积成反比例函数关系，其函数图象如图2所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 ．
16．（2025·白云模拟）如图，将正方形纸片沿折叠，使点C的对称点E落在边上，点D的对称点为点F，交于点G，连接交于点H，连接．下列四个结论中：①；②；③平分；④，正确的是 （填序号即可）．
17．（2025·白云模拟）解方程： .
18．（2025·白云模拟）如图，点E，F在直线上，，，．求证：．
19．（2025·白云模拟）如图，为的直径，垂直平分线段，交于点D，交于点C，连接、、．
（1）求证：是等边三角形；
（2）点E在线段的延长线上，且，试判断与的位置关系，并说明理由．
20．（2025·白云模拟）我校对九年级学生参与“力学”“热学”“光学”“电学”四个类别的物理实验情况进了抽样调查，每位同学仅选其中一个类别，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图（图1），请根据图表提供的信息，解答下列问题：
类别 频数（人数） 频率
力学
热学 10
光学 30
电学 15
（1）直接写出频数分布表中、的值：______，______；
（2）直接写出表示参与“光学”实验的扇形圆心角的度数______°；
（3）参与“电学”实验的同学在做“灯泡亮了”的实验时，提出如下问题：如图2，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，，都可使小灯泡发光．若随机闭合其中的两个开关，用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率．
21．（2025·白云模拟）电影《哪吒之魔童闹海》成为首部进入全球票房榜前五，登顶全球动画票房榜榜首的亚洲电影！与之相关的周边产品也在市场上热销起来，某书店计划同时购进哪吒磁性书签和金属书签．已知哪吒磁性书签的单价比金属书签的单价多20元，用2400元购买哪吒磁性书签的数量与用800购买金属书签的数量相同．
（1）求哪吒磁性书签和金属书签的单价；
（2）为满足顾客需求，书店老板从厂家一次性购进哪吒磁性书签和金属书签共200个，且购买的费用不超过3600元，求最多可以购进哪吒磁性书签多少个？
22．（2025·白云模拟）某数学小组开展项目式学习，从生活中搬重物爬楼梯的困难入手，跨学科研究三轮爬梯车（如图①）的设计原理和优化设计．图②是该数学小组设计的一个爬梯车模型，有两个轮子水平放置在地面EF上，图中，和分别代表3个轮子，3个轮子的半径均为，点O为支点，，且，拉杆．
（1）求的长；
（2）在使用爬梯车时，拉杆倾斜，从条件①或条件②这两个条件中选择一个作为已知，求把手D到地面的距离的长．
条件①：与的夹角；
条件②：点O到的距离为．
注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．（参考数据：，，．）
23．（2025·白云模拟）如图，已知，，
（1）尺规作图：在边求作点D，使得（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接，若，求与的面积比．
24．（2025·白云模拟）在中，，边绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作垂足为，连接．
（1）如图1若，时，求及的长；
（2）如图2，当时，求证：；
（3）如图3，当时，按要求重新作图并回答：、、是否依然存在（2）中的等量关系？如果存在，请说明理由．否则，请说明三者存在什么样的关系？并说明理由．
25．（2025·白云模拟）已知一次函数与二次函数（是常数）相交于两点，点是轴上的点，点是轴上的点，点为抛物线的顶点．点在抛物线上，其横坐标为．
（1）求该二次函数解析式及顶点的坐标；
（2）若抛物线在之间的部分（包含两点）最高点与最低点的纵坐标差为时，求的取值范围；
（3）点是直线上的点，且轴，把点往右平移两个单位，再往下平移个单位得到点．是否存在不与点重合的点，使得？若存在，请求出面积相等时的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、B、D选项中的图形，绕某点旋转180°后不能与本身重合，故不是中心对称图形，故A、B、D选项不符合题意；
C选项中的图形，绕某点旋转180°后能与本身重合，故是中心对称图形，故C选项符合题意.
故答案为：C．
【分析】平面内，将一个图形绕某点旋转180°后能与本身重合，这样的图形叫做中心对称图形，这个点就叫做旋转中心，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：C．
【分析】用科学记数法表示大于0且小于1的数，一般表示成a×10-n的形式，其中1≤a＜10，n等原数左边第一个非0数字前面所有0的个数，包括小数点前面的那个0，据此解答即可.
3．【答案】D
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵共有5个出口，其中北面有B，C两个出口，
∴恰好从北面出口离开的概率为，
故答案为：D．
【分析】共有5个出口，故小华离开公园共有5种等可能的情况数，其中北面有两个出口，故选择从北面离开公园共有2种等可能的情况数，从而直接利用概率公式得出答案．
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、不是同类项，不能合并，原选项计算错误，不符合题意；
B、，原选项计算错误，不符合题意；
C、，原选项计算正确，符合题意；
D、，原选项计算错误，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断B选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断C选项；由幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断D选项.
5．【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：，，，
，即
的整数部分，小数部分，
原式
，
故答案为：B．
【分析】根据估算无理数大小的方法（被开方数越大，其算术平方根就越大）可得，从而即可得出a、b的值，然后将a、b的值代入待求式子，利用平方差公式及二次根式性质化简，再利用有理数的减法法则计算可得答案.
6．【答案】C
【知识点】圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：，且，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】由同弧所对的圆周角相等得∠A=∠D=30°，由等边对等角及三角形的内角和定理可求出∠ABC=75°，∠DBC=∠D=30°，最后根据∠ABD=∠ABC-∠DBC列式计算即可.
7．【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【分析】
过点作于点，可由等腰三角形三线合一得到，再解即可表示，即可求解．
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：四边形为菱形，
，
设，则，
垂直平分，
，
在中，
中，，
，
，
∴
∴，
故答案为：A．
【分析】根据菱形的四边相等得到，设，则，在Rt△ABE与Rt△ADE中，分别利用勾股定理表示出表示出AE2，然后根据用两个不同的式子表示同一个量，则这两个式子相等，可得关于字母x的方程，求解得出x的值，进而利用勾股定理算出AE，再根据AC=2AE可得答案.
9．【答案】A
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：函数和的大致位置如图：
根据图形可得函数和交点的横坐标，
∴的解，
∵a是方程的实数根，
∴，
故答案为：A ．
【分析】从图象角度看，求方程的实数根的取值范围，就是求函数和图象交点横坐标的取值范围，故利用描点法画出函数和的大致图象，结合函数交点位置判断即可.
10．【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】解：由表格得，奇数的平方位于第1行对应奇数列，偶数的平方位于对应偶数行的第1列；
例如，32=9位于第1行第3列，42=16位于第4行第1列；
因45为奇数，452=2025位于第1行第45列，
，
故答案为：B．
【分析】观察数字排列规律，发现每一个奇数的平方位于第1行对应奇数列，偶数的平方对应偶数行的第1列，而2025是45的平方（奇数），从而得其位置在第1行第45列.
11．【答案】-3
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：将代入x2﹣2x+a＝0得：
，
解得：，
故答案为：-3．
【分析】根据一元二次方程解的定义“使一元二次方程的左边等于右边的未知数的值就是一元二次方程的解”把代入x2﹣2x+a＝0可得关于字母a的方程，求解该方程即可求得答案.
12．【答案】6
【知识点】因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵ a－b＝2，ab＝3，
∴ a2b－ab2＝ ab(a-b)=3×2=6.
故答案为：6.
【分析】将待求式子利用提取公因式法分解因式后，再整体代入计算可得答案.
13．【答案】123
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：由题意得，图2，计算孩子自出生后的天数，
故答案为：123．
【分析】由题干提供的信息可得， 从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一 ，所以从右到左的书分别为4，3×71和2×72，然后把它们加起来，按含乘方的有理数的混合运算的运算顺序计算可得答案.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理；轴对称的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图所示，连接交于E，
由轴对称的性质可得，，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去），
∴，
故答案为：．
【分析】连接CC'交AD于E，由轴对称的性质可得，，由同圆中相等得圆周角所对的弧相等，及等弧所对的弦相等得，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△CAE∽△BAD，由相似三角形对应边成比例可求出，设根据勾股定理用含m的式子表示出DE，进而表示出AE，在Rt△AEC'中，再由勾股定理建立方程，解方程即可求出m，从而即可得到答案．
15．【答案】90
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设反比例函数关系式为，
∵反比例函数图象经过点，
∴，
解得，
所以反比例函数关系为．
当时，；
当时，，
∴．
所以气体体积压缩了90．
故答案为：90．
【分析】先根据图象给出的点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数关系式，再分别求出P=40kPa与P=100kPa时对应的气体体积V，再求差即可.
16．【答案】①③④．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；圆周角定理；确定圆的条件；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°
由折叠可知：∠GEP=∠BCD=90°，∠F=∠D=90
∴∠BEP+∠AEG=90°，
∵∠A=90°
∴∠AEG+∠AGE=90°，
∴∠BEP=∠AGE，
∵∠FGQ=∠AGE，
∴∠BEP=∠FGQ，
∵∠B=∠F=90，
∴△PBE~△QFG，
故①说法正确，符合题意；
②过点C作CM⊥EG于M，
由折叠可得：∠GEC=∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠BEC=∠DCE，
∴∠BEC=∠GEC，
在△BEC和△MEC中，
∵∠B=∠EMC=90°，∠BEC=∠GEC， CE= CE
∴△BEC≌△MEC(AAS)
∴CB=CM，S△BEC=S△MBC ，
∵CG=CG，
∴Rt△CMG≌Rt△CDG(HL)，
∴S△CMG=S△CDG，
∴S△CEG=S△BEC+S△CDG>S△BEC +S四边形CDQH
∴②说法不正确，不符合题意；
③由折叠可得：∠GEC=∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠BEC=∠DCE，
∴∠BEC=∠GEC，即EC平分∠BEG
∴③说法正确，符合题意；
④连接DH，MH，HE，如图：
∵△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG，
∴∠BCE=∠MCE，∠MCG=∠DCG，
∴∠ECG=∠ECM+∠GCM=∠BCD=45°，
∵EC⊥HP，
∴∠CHP=45°，
∴GHQ=∠CHP=45°，
由折叠可得：∠EHP=∠CHP=45°，
∴EH⊥CG
∴EG2 -EH2=GH2
由折叠可知：EH=CH
∴EG2 -CH2= GH2，
∵CM⊥EG，EH⊥CG，
∴∠EMC=∠EHC=90°，
∴E，M，H，C四点共圆，
∴∠HMC=∠HEC=45°，
在△CMH和△CDH中，
∵CM=CD，∠MCG=∠DCG， CH= CH
∴△CMH≌△CDH(SAS)
∴∠CDH=∠CMH=45 °，
∵∠CDA=90°，
∴∠GDH=45°
∵∠GHQ=∠CHP=45°，
∴∠GHQ=∠GDH=45°，
∵∠HGQ=∠DGH，
∴△GHQ∽△GDH ，
∴，
∴GH2=GQ·GD
∴GE2-CH2=GQ·GD
故④说法正确，符合题意；
综上可得，正确的结论有：①③④
故答案为：①③④．
【分析】①由正方形性质得 ∠A=∠B=∠BCD=∠D=90° ，由折叠得 ∠GEP=∠BCD=90°，∠F=∠D=90 ，由同角的余角相等及对顶角相等可推出 ∠BEP=∠FGQ， 用有两个角对应相等的两个三角形相似得出 △PBE~△QFG， 据此可判断①；
②过点C作CM⊥EG于M，由折叠得∠GEC=∠DCE，由二直线平行，内错角相等得∠BEC=∠DCE，则∠BEC=∠GEC，从而可用AAS判断出△BEC≌△MEC，由全等三角形性质得CB=CM，S△BEC=S△MBC ，用HL判断出 Rt△CMG≌Rt△CDG ，得S△CMG=S△CDG，可得S△CMG=S△CDG，进而推出S△CEG=S△BEC+S△CDG>S△BEC＋S四边形CDQH，据此可判断②；
③由折叠可得∠GEC=∠DCE，由二直线平行，内错角相等得∠BEC=∠DCE，则 ∠BEC=∠GEC， 据此可判断③；
④连接DH，MH，HE，由△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG，得∠BCE=∠MCE，∠MCG=∠DCG，则∠ECG=∠ECM+∠GCM=∠BCD，由于EC⊥HP，则∠CHP=45°，由折叠可得∠EHP=∠CHP=45°，利用勾股定理可得 EG2-EH2=GH2，由垂直定义得得到∠EMC=∠EHC=90°，所以E，M，H，C四点共圆，用SAS判断出△CMH≌△CDH，得∠CDH=∠CMH=45 °，从而用有两组角对应相等的两个三角形相似得△GHQ∽△GDH，由相似三角形对应边成比例建立方程得GH2=GQ·GD，据此可判断④.
17．【答案】解： x2﹣4x+4=5+4
（x-2）2=9
x﹣2=3或x﹣2=﹣3
x1=5，x2=﹣1；
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】观察方程的特点：二次项系数为1，一次项系数为偶数，因此利用配方法或因式分解法解此方程即可。
18．【答案】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【分析】由二直线平行，内错角相等得∠DFE=∠BCA，由已知及等式性质可推出BC=DF，从而用SAS判断出△BCA≌△DFE，由全等三角形的对应角相等得∠A=∠E，最后由“内错角相等，两直线平行”可得结论.
19．【答案】（1）解：∵垂直平分线段，
∴
又∵
∴
∴是等边三角形；
（2）解：ED与圆O相切，理由如下：
∵是等边三角形
∴
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴与相切．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；切线的判定
【解析】【分析】（1）由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得到AD=OD，然后结合OA=OD，利用“三边相等的三角形是等边三角形”可得结论；
（2）由等边三角形的三个内角都是直角得出∠DAO=∠DOA=60°，然后由等边对等角及三角形外角性质推出∠E=∠ADE=30°，然后由三角形的内角和定理求出∠ODE=90°，根据垂直半径外端点的直线就是圆的切线即可证明出ED与相切．
（1）解：∵垂直平分线段，
∴
又∵
∴
∴是等边三角形；
（2）解：∵是等边三角形
∴
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴与相切．
20．【答案】（1）45，
（2）108
（3）解：画树状图，如图
共有12种等可能的情况，能使小灯泡发光的有6种情况，则
．
【知识点】频数与频率；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：本次调查的总人数为：（人），
，
∴参与“热学”实验的频率为，
故答案为：45；；
（2）解：参与“光学”实验的扇形圆心角的度数是：；
故答案为：108；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用参与“光学”的人数除以其频率即可得出总人数，再用总人数乘以参与“力学”人数所占的频率即可求出a的值，然后用参与“热学”实验的人数除以总人数即可求出频率b；
（2）用360°乘以参与“光学”实验的人数所占的频率即可得出参与“光学”实验的扇形圆心角的度数；
（3）此题是抽取不放回类型，依据题意先画树状图，由图可知共有12种等可能的情况，能使小灯泡发光的有6种情况，然后根据概率公式求出该事件的概率．
（1）解：（人），
，
∴参与“热学”实验的频率为，
故答案为：45；；
（2）解：参与“光学”实验的扇形圆心角的度数是：；
故答案为：108；
（3）解：画树状图，如图
共有12种等可能的情况，能使小灯泡发光的有6种情况，则
．
21．【答案】（1）解：设金属书签的单价为x元，则哪吒磁性书签的单价为元，
根据题意得，
解得
经检验，是原方程的解
∴
∴金属书签的单价为10元，则哪吒磁性书签的单价为30元；
（2）解：设最多可以购进哪吒磁性书签m个，则购进金属书签个，
根据题意得，
解得
∴最多可以购进哪吒磁性书签80个．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设金属书签的单价为x元，则哪吒磁性书签的单价为(x+20)元，根据总价除以单价等于数量及“ 用2400元购买哪吒磁性书签的数量与用800购买金属书签的数量相同 ”列出分式方程求解即可；
（2）设最多可以购进哪吒磁性书签m个，则购进金属书签(200-m)个，根据单价乘以数量等于总价及购买m个哪吒磁性书签的费用+购买(200-m)个金属书签的费用 不超过3600元，列出不等式，求出该不等式的最大整数解即可.
（1）设金属书签的单价为x元，则哪吒磁性书签的单价为元
根据题意得，
解得
经检验，是原方程的解
∴
∴金属书签的单价为10元，则哪吒磁性书签的单价为30元；
（2）设最多可以购进哪吒磁性书签m个，则购进金属书签个
根据题意得，
解得
∴最多可以购进哪吒磁性书签80个．
22．【答案】（1）解：过作于，连接交于，
∵和轮子的半径均为，
∴点和点到地面距离都是，
∴平行地面，
∴，，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过作于，则四边形是矩形，
∴，
选择条件①：与的夹角，
∴，
∵拉杆，
∴，
∴把手D到地面的距离．
选择条件②：点O到的距离为，即
∵，
∴，
∴把手D到地面的距离．
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过作于，连接交于，根据题意可得BC平行地面EF，则，，再由等腰三角形的三线合一可得，，由三角形的内角和定理得，根据30°直角三角形性质可得OM=BC=5，然后利用勾股定理算出BM，即可得到BC的长度；
（2）过作于，由四个内角是直角的四边形是矩形得四边形是矩形，由矩形的对边相等得GE=ON=10，选择条件①，利用∠ODE的余弦函数可求出GD，进而根据DE=DG+EG可算出答案；选择条件②，先用勾股定理算出GD的长，然后根据DE=DG+EG可算出答案.
（1）解：过作于，连接交于，
∵和轮子的半径均为，
∴点和点到地面距离都是，
∴平行地面，
∴，，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过作于，则四边形是矩形，
∴，
选择条件①：与的夹角，
∴，
∵拉杆，
∴，
∴把手D到地面的距离．
选择条件②：点O到的距离为，即
∵，
∴，
∴把手D到地面的距离．
23．【答案】（1）解：如图，点即为所求：
（2）解：∵，
∴，
设，
∴，
∵，，
∴
∴．
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；已知正弦值求边长；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）按照尺规作一个角等于已知角的方法，以AC为一边，点A为顶点，在△ABC内作∠DAC=∠B即可；
（2）先根据正切正切函数定义，求得，设，由勾股定理得，由有两组角对应相等的两个三角形相似得，再由相似三角形面积比等于相似比的平方求解．
（1）解：如图，点即为所求：
（2）解：∵，
∴，
设，
∴，
∵，，
∴
∴．
24．【答案】（1）解：边绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
，
如图所示，、、、四点共圆，
，
，
，，
，
，
，，
，
，，
，
，，
，
在中，，
，；
（2）证明：边绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
，
如图所示，、、、四点共圆，过点作交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
；
（3）解：不存在（2）中的等量关系，存在的关系，理由如下：
根据题意进行作图，将边绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作垂足为，连接，如图所示，过点作交的延长线于点，
边绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
四边形内角和为，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，，
在中，，
．
【知识点】三角形全等及其性质；圆周角定理；确定圆的条件；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）由旋转的性质得∠ABD=90°，AB=AD，由等边对等角及三角形的内角和定理得∠BAD=∠BDA=45°，易得∠ABD=∠AED=90°，由确定圆的条件可得A、D、B、E四点共圆，由同弧所对的圆周角相等推出∠BED=∠BAD=45°，由平角定义推出得∠BEC=45°，由等角对等边得CE=CB=1，在Rt△ABC中，由含30°角直角三角形的性质可得AB=2，进而利用勾股定理得AC、AD、DE的长；
（2）由旋转的性质得∠ABD=90°，AB=AD，由等边对等角及三角形的内角和定理得∠BAD=∠BDA=45°，过点B作BF⊥BE交DE于点F，易得∠ABD=∠AED=90°，由确定圆的条件可得A、D、B、E四点共圆，由同弧所对的圆周角相等得∠BED=∠BAD=45°，由等腰直角三角形性质得BE=BF，由等角的余角相等得∠FBD=∠EBA，从而由SAS判断出△ABE≌△DBF，由全等三角形的对应边相等得AE=DF，通过线段和差可得结论；
（3）根据题意进行作图，将BA边绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为E，连接BE，过点B作BF⊥BE交ED的延长线于点F；由旋转的性质得∠ABD=90°，AB=AD，由四边形内角和为，易得∠BAE+∠BDE=180°，由同角的补角相等得∠BAE=∠BDF，由同角的余角相等得∠FBD=∠EBA，从而用ASA判断出△ABE≌△DBF，由全等三角形的对应边相等得AE=DF，BE=BF，进而根据线段和差及勾股定理可得结论.
（1）解：边绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
，
如图所示，、、、四点共圆，
，
，
，，
，
，
，，
，
，，
，
，，
，
在中，，
，；
（2）证明：边绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
，
如图所示，、、、四点共圆，过点作交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
；
（3）不存在（2）中的等量关系，存在的关系，理由如下：
根据题意进行作图，将边绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作垂足为，连接，如图所示，过点作交的延长线于点，
边绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
四边形内角和为，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，，
在中，，
．
25．【答案】（1）解：∵一次函数与二次函数（b、c是常数）相交于两点，点A是x轴上的点，点B是y轴上的点，
∴对于，当时，；当时，，
∴，，
把，代入，得：
，
解得，
∴二次函数解析式为，
∴，
∴抛物线的顶点C的坐标为；
（2）解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，如图，
根据对称性质得，点关于对称轴对称的点的坐标为，
设P(m，-m2+4m+5)
当时，点是最高点，是最低点，
∴，
解得，（不合题意，舍去）或；
当时，最高点是抛物线的顶点，最低点是，
∴，满足条件；
当时，点是最高点，是最低点，
∴，
解得，或（不合题意，舍去）；
综上，的取值范围是或；
（3）解：设P(m，-m2+4m+5)，
∵点是直线上的点，且轴，
∴，
∴，，
当时，∵
∴
∵，
∴
设把点往右平移两个单位得到，再往下平移个单位得到点．
如图，
∴
∴当时，重合，此时三点共线，不存在三角形，
∴
当时，如图，过作交延长线于点，过作于点，连接，
∴
，
∵，
∴，
∴，（舍去），
∴时，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）分别令直线y=-x+5中的x=0与y=0算出对应的y与x的值，求出A、B两点坐标，将A、B点的坐标分别代入y=-x2+bx+c可得关于字母b、c的二元一次方程组，求解得出b、c的值，求出函数解析式，配方后可得顶点C的坐标；
（2）根据抛物线的对称性可得点B关于对称轴x=2的对称点B'（4，5），根据抛物线上点的坐标特点设P(m，-m2+4m+5)，分、和三种情况结合图象的最高点和最低点讨论得解即可；
（3）先确定，使得，求出，，然后根据，当时，列方程求出的值并检验即可．
（1）解：∵一次函数与二次函数（b、c是常数）相交于两点，点A是x轴上的点，点B是y轴上的点，
∴对于，当时，；当时，，
∴，，
把，代入，得：
，
解得，
∴二次函数解析式为，
∴，
∴抛物线的顶点C的坐标为；
（2）解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线，基点坐标为，如图，
根据对称性质得，点关于对称轴对称的点的坐标为，
设，
当时，点是最高点，是最低点，
∴，
解得，（不合题意，舍去）或；
当时，最高点是抛物线的顶点，最低点是，
∴，满足条件；
当时，点是最高点，是最低点，
∴，
解得，或（不合题意，舍去）；
综上，的取值范围是或；
（3）解：设，
∵点是直线上的点，且轴，
∴，
∴，，
当时，∵
∴
∵，
∴
设把点往右平移两个单位得到，再往下平移个单位得到点．
如图，
∴
∴当时，重合，此时三点共线，不存在三角形，
∴
当时，如图，过作交延长线于点，过作于点，连接，
∴
，
∵，
∴，
∴，（舍去），
∴时，．
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