浙江省杭州市2025年九年级下学期学业水平模拟测试（一）数学试卷
1．（2025·杭州模拟）亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如下表：
大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲
最低海拔/m -415 -28 -156 -40
其中最低海拔最小的大洲是（ ）
A．亚洲 B．欧洲 C．非洲 D．南美洲
【答案】A
【知识点】正数、负数的实际应用；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵-415<-156<-40<-28
∴海拔最小的大洲是亚洲
故答案为：A.
【分析】根据有理数大小比较方法解答即可.
2．（2025·杭州模拟） 纹样是我国古代艺术中的瑰宝. 下列四幅纹样图形中， 既是轴对称图形， 又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A：该图形既不是轴对称，也不是中心对称，故A错误
B：根据轴对称和中心对称的定义可知，该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故B正确
C：根据轴对称图形的定义，可知，该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B错误
D：根据轴对称图形和中心对称图形的定义，可知，该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故D错误
故答案为： B
【分析】根据轴对称图形和中心对称的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形；把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此即可判断
3．（2025·杭州模拟） 环境监测中 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物. 如果 1 微米 = 0.000001 米，那么 2.5 微米用科学记数法可以表示为（ ）
A． 米 B． 米
C． 米 D． 米
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：根据科学记数法的表达方式，可得
故答案为： C。
【分析】根据科学记数法的标准形式：a×10n。其中，a是一个介于1到10之间的实数，n是一个整数，表示将小数点移动的位置，据此即可求解
4．（2025·杭州模拟）如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意得这个几何体的俯视图是
故答案为：A
【分析】根据由小正方体组成的组合体的三视图结合题意画出其俯视图即可求解。
5．（2025·杭州模拟） 将抛物线 向下平移 2 个单位长度后，所得新抛物线的顶点式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：根据平移的法则，可得
即：
故答案为： A
【分析】根据平移的原则：上加下减，左加右减的平移法则，求出新的抛物线解析式，然后再化为顶点式即可
6．（2025·杭州模拟） 如图， ， E 是 延长线上一点， CE与AD、BD分别交于点G、F. 则下列说法错误的是 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：A：因为，所以，即，因为AB=CD，所以，故A正确；
B：因为，所以，，故B错误；
C：因为，，所以，，即，故C正确；
D：因为，所以，，而，所以，，故D正确。
故答案为： B
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，可知，AG//BC，易得，可得，进而，可得，而AB=CD，故；根据AE//CD，易得，所以，；根据GD//BC，易得，所以，，而，故；根据四边形ABCD是平行四边形，可知，，易得，所以，据此即可判断
7．（2025·杭州模拟） 如图，点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点…，按这样的运动规律，经过第2025次运动后动点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：观察坐标特点，可得
相邻两个坐标的横坐标是按照等差数列规律出现：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，......，故2025次运动后的点P的横坐标为：2025
相邻两个坐标的纵坐标是按照（1，0）、（2，0）、（1，0）......重复出现
所以2025÷2=1012......1
所以2025次运动后的点P的纵坐标为：1
故答案为： .D。
【分析】观察坐标中各个点，可发现，相邻两坐标的横坐标是：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，......；纵坐标是按照1，0；2，0；1，0；2，0，......，1，0；2，0重复出现，用2025除以2，求出周期数，即可求解
8．（2025·杭州模拟） 如图，在四边形纸片ABCD中，，，将纸片沿EF折叠，点A、D对应点为点A'、D'，且A'D'经过点B，F'D'交BC于点G，连接EG，若EG平分，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：∵
∴
由折叠可得，
∵
∴
∴
∴
又∵EG平分
∴
∵
∴
∴在中，
故答案为： C
【分析】根据折叠的原理，可得；又根据，可得，进而可得，即可求出的度数；根据EG平分，可得，根据，可得，在中，利用三角形的内角和公式，即可求解
9．（2025·杭州模拟） 如图，在中，，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB、AC于D、E，连接CD. 若，则CD的长为（ ）
A．4 B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵
∴AE=3，AC=4，
连接BE，
由作图可得：MN是AB的垂直平分线，
∴AE=BE=3，AD=BD
∵∠ACB=90°，
∴
∴
∴，
故答案为：C.
【分析】先求解AE，AC，再连接BE，证明AE=BE，AD=BD，利用勾股定理求解BC，AB，从而可得答案.
10．（2025·杭州模拟） 甲、乙两车同时从 A 地出发，以各自的速度匀速向 B 地行驶，甲车先到 B 地，停车 1 小时，按原速度匀速返回，直到两车相遇. 乙车速度是 60 千米/时，如图是两车之间的距离 y(千米) 与乙车行驶时间 x(时) 之间的函数图象，则下列说法正确的是（ ）
A．A、B 两地相距 150 千米
B．两地相距 150 千米B. 甲车速度是 100 千米/时
C．乙车从出发到与甲车相遇共用 小时
D．点M 的纵坐标为 90
【答案】D
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：A：由图可知5小时两车相距150千米，故①不符合题意；
B：设甲的速度为xkm/h，根据5（x-60）=150，解得，x=90，故甲车A到B的行驶速度为90km/h，故B不符合题意；
C：乙车从出发到与甲车相遇共用的时间为：（小时），故C不符合题意；
D：点M的纵坐标为：，故D符合题意
故答案为：D
【分析】观察函数图象，可知，甲乙两车5小时后相距150千米；设甲的速度为xkm/h，根据追及的公式，用相遇时间乘以追及速度等于150千米，据此解出x的值，即可求出甲车的速度；用甲车的速度乘以相遇时间，再减去乙车乘以乙车出发的时间，然后再除以150，最后再加上6小时，即可求出乙车从出发到与甲车相遇一共用的时间；观察函数图形，用甲车的速度乘以5，再减去乙车的速度乘以6，即可求出M点的纵坐标。
11．（2025·杭州模拟）函数y= 的自变量x的取值范围是 ．
【答案】x≠2
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意得，x﹣2≠0，
解得x≠2．
故答案为：x≠2．
【分析】根据分母不等于0列不等式求解即可．
12．（2025·杭州模拟）把多项式 分解因式的结果是 ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】
故答案为： ．
【分析】先提取公因数y，再利用完全平方公式化简 即可．
13．（2025·杭州模拟） 如图，EA， ED是的切线，切点为A， D，点B， C在上，若，则 .
【答案】68°
【知识点】三角形内角和定理；圆内接四边形的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接AD，
∵四边形ABCD是 的内接四边形，
∴
∵
∴
∴
∵ EA，ED是的切线，根据切线长定理得，
∴EA=ED，
∴
∴
故答案为： 68°
【分析】连接AD，根据内接圆的性质，可得，再根据，可求出的度数，再根据切线长定理，可得EA=ED，进而可得，在三角形ADE中，利用三角形的内角和公式，即可求解
14．（2025·杭州模拟） 一个不透明的袋子中装有黑球两个，白球三个，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球后，不放回并摇匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球都是黑球的概率为 .
【答案】
【知识点】概率公式；概率的简单应用
【解析】【解答】解：根据题意，可得
故答案为：。
【分析】根据题干可知，第一次摸到黑球的概率为，第二次摸到黑球的概率为，两次都摸出黑球的概率为，即可求解
15．（2025·杭州模拟） 在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度是体积的反比例函数，它的图象如图所示. 当时，气体的密度是 .
【答案】2
【知识点】列反比例函数关系式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设，将，代入，可得，
m=10（kg）
将m=10，v=5，代入，可得
（）
故答案为： 2
【分析】设，将，，代入，求出m的值，然后再根据，将和m的值代入，即可求出的值
16．（2025·杭州模拟） 不等式组的解集是 .
【答案】1≤x＜6
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
2x-1≥3-2x，解得，x≥1
3（1-x）+5x<15，解得，x<6
所以，不等式组的解集为：1≤x＜6
故答案为：1≤x＜6
【分析】分别对两个不等式进行求解，然后再求这两个不等式的公共部分，即可求解
17．（2025·杭州模拟） 一个扇形的面积是，圆心角是，则此扇形的半径是 cm.
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：根据扇形的公式，可得
化简，
解得，（cm）
故答案为：
【分析】根据扇形的面积公式：，可得，，代入数据即可求解
18．（2025·杭州模拟） 对于任意两个不相等的数a， b()，定义一种新运算：，如，则 .
【答案】
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：根据题意，可得
=
=
=
故答案为：
【分析】根据新运算法则： ，代入数据即可求出的值
19．（2025·杭州模拟） 在等边中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且，若的边长为6，，则的面积为 .
【答案】或
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：①当E在线段BA的延长线上，D在线段BC的延长线上时，如图1所示，
过E作EF⊥BD，垂足为F点，可得∠EFB=90°，
∵EC=ED，
∴F为CD的中点，即
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°
∴∠BEF=30°，
∵BE=AB+AE=6+12=18，
∴，
∴
∴CD=2CF=6，
∴BD=BC+CD=12，
∴
②当E在线段AB的延长线上，D在线段CB的延长线上时，如图2所示，
过E作EF⊥BD，垂足为F点，可得∠EFC=90°，
∵EC=ED，
∴F为CD的中点，即
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠EBF=60°，∠BEF=30°，
∵BE=AE-AB=12-6=6，
∴，
∴CF=DF=BC+FB=9
∴
∴
故答案为：或.
【分析】分情况讨论：①当E在线段BA的延长线上，D在线段BC的延长线上时，如图1所示，过E作EF⊥BD，垂足为F点；②当E在线段AB的延长线上，D在线段CB的延长线上时，如图2所示，过E作EF⊥BD，垂足为F点，即可得出结论.
20．（2025·杭州模拟）如图，四边形 ABCD 是矩形，AC 是对角线，点 E 在 CB 的延长线上，点 F 在线段 CD 上，连接 AE、AF、EF，，，，，则线段 AE 的长为 .
【答案】
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：设∠AEF=2a，
∴∠FEC=45°-a.
∴∠AEB=45°+a.
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=∠D=∠ECF=90°，AB=CD，BC=AD.
∴∠ABE=90°.
∴∠EAB=90°-(45°+a)=45°-a.
∴∠EAB=∠FEC.
∵∠ABE=∠ECF，AE=FE，
∴△ABE≌△ECF，
∴BE=CF，AB=EC，
∴EC=DC，
∴EC-BE=DC-FC.
∴BC=DF=AD.
∵AD2+DF2=AF2，
∴
∴，
∵AB2+BC2=AC2，
∴
∴，
∴
∵AE2=BE2+AB2
∴
故答案为：.
【分析】设∠AEF=2a，则∠AEB=45°+a，再根据矩形的性质，易证明△ABE≌△ECF，再根据勾股定理进而可以得出结论.
21．（2025·杭州模拟） 先化简，再求代数式 的值， 其中 .
【答案】解：原式
当 时，
原式
=
=
=
【知识点】求特殊角的三角函数值；求代数式的值-化简代入求值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先对代数式进行分解，然后再将括号里面的分式进行通分运算，再将除法换算成乘法，最后再进行约分化简；根据特殊角的三角函数值，对a的值进行运算化简，最后再将a的值代入，即可求解
22．（2025·杭州模拟）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形并计算：
⑴在图中画出，其面积为5，且，点E在小正方形的顶点上；
⑵在图中画出以CD为腰的等腰，面积为，点F在小正方形的顶点上；
⑶连接EF，直接写出线段EF的长.
【答案】解：⑴如图；
⑵如图；
⑶如图，
【知识点】三角形的面积；勾股定理；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）根据三角形的面积公式，求出底边和高的乘积，然后再根据 ，因此可画一个以AE为底边，AB为高的等腰直角三角形，根据三角形ABE的面积等于5，据此即可求出AB和AE的长，然后再将A、B、E三点连接起来即可
（2）根据三角形CDF的面积等于 ，可求出底边和高的乘积，然后再结合“点F在小正方形的顶点上”，可先求出底边FC的长，进而再根据勾股定理，求出DC的长，然后再连接CD、FC和FD即可
（3）根据勾股定理和小正方形的边长，即可求出EF的长
23．（2025·杭州模拟）兴才中学为了解九年级学生每周参加科学教育的时间（单位：h），随机调查了该校九年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如图1、图2所示的两幅统计图.
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：a的值为 ，m的值为 ，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为 和 ；
（2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数；
（3）根据样本数据，若兴才中学九年级共有学生900人，估计该校九年级学生每周参加科学教育的时间是9h的人数.
【答案】（1）50；34；8；8
（2）解：，
答：这组数据的平均数是8.36.
（3）解：（人），
答：估计该校九年级学生每周参加科学教育的时间是9h的人数为270人.
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：3+7+17+15+8=50（人）
所以，a=50
=34
所以，m=34
50个学生，中位数是第26和第27个学生，刚好是位于8小时这个时间段，所以，中位数=
各个时间段中，出现次数最多的是8小时这个时间段的学生人数，故众数为：8
故答案为：50；34；8；8。
【分析】（1）将条状图中各个时间段的学生人数相加，即可求出a的值；用8小时的学生人数除以调查的九年级学生总人数，然后乘以100，即可求出m；根据众数和中位数的定义，即可求解
（2）根据加权平均数的计算方法进行计算即可求解
（3）用参加科学教育时间是9小时的人数除以九年级的学生人数，再乘以900，即可求解
24．（2025·杭州模拟）在四边形ABCD中，，点E在边BC上，连接DE，，点F在DE上，连接AF，，且.
（1）如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）如图2，连接AE，若，在不添加任何辅助线及字母的情况下，请直接写出图2中面积等于面积一半的所有三角形.
【答案】（1）证明： ∵，，，
∴
∵，，
∴
∴
∴
∴四边形 ABCD 是平行四边形。
（2）△ABE， △DCE， △AEF， △ADF
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定；面积及等积变换
【解析】【解答】（2）解：因为BE=CE
所以
因为AF=CD
所以
故答案为：△ABE， △DCE， △AEF， △ADF。
【分析】（1）根据外角定理，可得，又根据，可得，易证，进而可得，根据平行四边形的判定定理，即可证明。
（2）根据BE=CE，可得E是BC的中点，根据同高等底的性质，即可判断△ABE=△DCE=；再根据AF=CD，可得F是DE的中点，据此可得△AEF=△ADF=。
25．（2025·杭州模拟）和兴食品加工厂接到一批600袋食品的订单，决定由甲、乙两组共同完成，甲组每天加工的袋数是乙组每天加工的袋数的2倍，乙组单独完成任务比甲组单独完成任务多用10天.
（1）求甲、乙两组每天各能加工多少袋食品；
（2）两组人员同时开工3天后，临时又增加了90袋的任务，为了整个工期不超过7天，两组人员从第4天起各自提高了工作效率，甲组的效率仍是乙组效率的2倍，求乙组提高效率后每天至少加工多少袋食品？
【答案】（1）解：设乙组每天能加工x袋食品，则甲组每天能加工2x袋食品。
由题意，得
解得
经检验是分式方程的解。
答：甲组每天能加工60袋食品，乙组每天能加工30袋食品。
（2）解：设乙组提高效率后每天加工a袋食品。
由题意，得，
解得
答：乙组提高效率后每天至少加工35袋食品。
【知识点】一元一次不等式组的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设乙组每天能加工x袋食品，则甲组每天能加工2x袋食品，根据“甲组每天加工的袋数是乙组每天加工的袋数的2倍，乙组单独完成任务比甲组单独完成任务多用10天”，建立分式方程：，然后再进行求解，最后再将结果进行验证即可
（2）设乙组提高效率后每天加工a袋食品，根据题干信息，建立不等式：，然后再进行求解即可。
26．（2025·杭州模拟）四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是对角线，CA平分∠BCD.
（1） 如图1，求证：AB=AD；
（2） 如图2，点E在线段CD上，连接AE，AB=AE，连接BE，，求证：；
（3） 如图3，在(2)的条件下，作交⊙O于点H，交线段AC于点F，连接CH，请你探究线段DE、线段CH的数量关系，并证明你的结论.
【答案】（1）证明： ∵CA平分，
∴.
连接BD.
∵，
∴.
∵，，
∴，
∴.
（2）证明：∵，
∴.
设.
∴，.
∵，
∴.
∴.
∴.
∴.
∴四边形 ABCD 内接于 ，
∴
∴
∴。
（3）解：
证明：连接 DH，
∵，
∴∠BHD=∠BCD=90°，
∵BH⊥AB，
∴∠ABH=90°，
∴四边形 ABHD 是矩形，
∵AB=AD，
∴矩形ABCD 是正方形，
∴AD=BH，，
∴AB =DH，
∴∠ACB=∠DCH，
又∵∠ACB=∠BCD =45°，
∴∠DCH=45°，
∴∠BCH=135°，
过C作CK⊥CH，且CH=CK，连接 HK，BK，
∴∠HCK=90°
∴∠BCK=360°-90°-135°=135°，
∴∠BCK=∠BCH，
∵BC=BC，
∴△BCH≌△BCK，
∴∠CBK=∠CBH，BH=BK，
又∵，
∴∠CDH=∠CBH，
∴∠ADE=90°-∠CDH，
∴∠DAE=180°-2(90°-∠CDH)=2∠CDH，
∴∠DAE=∠HBK，
又∵AD=AE=BH=BK，
∴△ADE≌△BHK，
∴DE=HK，
又∵∠HCK=90°，
∴HK2=CH2+HK2，
∴HK=CH，
∴
【知识点】勾股定理的应用；正方形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线，可得，连接BD，根据相同的弧所对的圆周角相等，可得，，据此可得
（2）根据等边对等角，可得，，可得，，根据题意，易得，由此可得，代入数据即可求出，又因为，代入数据，易证得四边形 ABCD 内接于，进而可得，即可证明
（3）连接 DH，易证矩形ABCD 是正方形，易求得∠BCH的角度，过C作CK⊥CH，且CH=CK，连接 HK，BK，易证△BCH≌△BCK，根据等弧对等角，可得∠CDH=∠CBH，进而可得∠DAE=2∠CDH，易得△ADE≌△BHK，然后再根据勾股定理，可得HK2=CH2+HK2，即可证明
27．（2025·杭州模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线CD交x轴于点D，交y轴于点C，交直线AB于点E，，.
（1） 求直线CD的解析式.
（2） 点P在第三象限的直线AB上，轴交直线CD于点Q，点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式，直接写出自变量t的取值范围.
（3） 在(2)的条件下，点F在第四象限的内部，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转至EG(点F的对应点为G)，旋转角等于，直线FG交线段PQ于点H，连接FQ，PF，，，的面积为8，求的面积.
【答案】（1）解：. 当 时， .
当 时，，
.
.
.
. .
.
.
.
设直线 CD 的解析式为 .
把 D(4， 0)， C()代入，得
直线 CD 的解析式为.
（2）
（3）解：连接CQ，设EQ与FG的交点为R，
∵，
∴.
∵， ，
∴.
∴， ， .
∴，
∴.
∴， .
∵， ， ，
∴∠EPQ = ∠EQP = ∠EGF = ∠EFG.
∵∠ERG = ∠HRQ，
∴.
过 P 作 PM HG 于点 M， 过 Q 作QT HG 于点 T.
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∴.
∴， .
∵， ，
∴.
∴，.
∵，
∴，.
∴.
设
∴
∴
∴.
∴，
∴8=m2，
∴或（舍去），
∴.
∴.
∴.
∴.
∴.
即的面积为.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数中的动态几何问题；一次函数中的面积问题；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（2）解：过 E 作 于点 K， 延长 EK 交 PQ 于 W，
联立， .
，.
.
.
.
.
，
.
.
.
.
.
点 W 的横坐标为 1.
由题意，得 .
.
.
，点 P， W 在 P Q 上，
点 W 的纵坐标与点 P 纵坐标相同.
即 . .
∴
故答案为：
【分析】（1）令，求出y的值，令y=0，求出x的值，进而可求出A和B的坐标，即可求出OA和OB的值，然后再根据DO=2AO，可求出DO的值，即可求出D的坐标，再根据BC=0B，即可求出BC的值，可求出OC的值，进而可求出C点坐标，设直线 CD 的解析式为，将D和C的坐标打入CD的解析式，求出b和k的值，进而可确定CD的解析式。
（2）过 E 作 于点 K， 延长 EK 交 PQ 于 W，联合，求出x和y的值，进而可求出E和K点坐标；，进而可求出OK和EK的值， 易证，根据，可得，进而可得，根据题意，可得，进而，又根据，点 P， W 在 P Q 上，所以， ，，从而得到，由此可得，代入数据，然后化简即可。
（3）连接CQ，设EQ与FG的交点为R，易证；又根据直角三角形互余关系，可得，易得，过 P 作 PM HG 于点 M， 过 Q 作QT HG 于点 T，易证，根据， ，易得，根据，，易得，，设，分别求出PM、TG和FG，然后再根据，代入数据，求出m的值，然后再根据勾股定理，求出PH的值，进而求出PQ的值，则，求出t的值，然后再将t代入（2）中的二次函数中，即可求解。
1 / 1浙江省杭州市2025年九年级下学期学业水平模拟测试（一）数学试卷
1．（2025·杭州模拟）亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如下表：
大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲
最低海拔/m -415 -28 -156 -40
其中最低海拔最小的大洲是（ ）
A．亚洲 B．欧洲 C．非洲 D．南美洲
2．（2025·杭州模拟） 纹样是我国古代艺术中的瑰宝. 下列四幅纹样图形中， 既是轴对称图形， 又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·杭州模拟） 环境监测中 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物. 如果 1 微米 = 0.000001 米，那么 2.5 微米用科学记数法可以表示为（ ）
A． 米 B． 米
C． 米 D． 米
4．（2025·杭州模拟）如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·杭州模拟） 将抛物线 向下平移 2 个单位长度后，所得新抛物线的顶点式为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025·杭州模拟） 如图， ， E 是 延长线上一点， CE与AD、BD分别交于点G、F. 则下列说法错误的是 ( )
A． B． C． D．
7．（2025·杭州模拟） 如图，点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点…，按这样的运动规律，经过第2025次运动后动点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·杭州模拟） 如图，在四边形纸片ABCD中，，，将纸片沿EF折叠，点A、D对应点为点A'、D'，且A'D'经过点B，F'D'交BC于点G，连接EG，若EG平分，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·杭州模拟） 如图，在中，，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB、AC于D、E，连接CD. 若，则CD的长为（ ）
A．4 B．3 C． D．
10．（2025·杭州模拟） 甲、乙两车同时从 A 地出发，以各自的速度匀速向 B 地行驶，甲车先到 B 地，停车 1 小时，按原速度匀速返回，直到两车相遇. 乙车速度是 60 千米/时，如图是两车之间的距离 y(千米) 与乙车行驶时间 x(时) 之间的函数图象，则下列说法正确的是（ ）
A．A、B 两地相距 150 千米
B．两地相距 150 千米B. 甲车速度是 100 千米/时
C．乙车从出发到与甲车相遇共用 小时
D．点M 的纵坐标为 90
11．（2025·杭州模拟）函数y= 的自变量x的取值范围是 ．
12．（2025·杭州模拟）把多项式 分解因式的结果是 ．
13．（2025·杭州模拟） 如图，EA， ED是的切线，切点为A， D，点B， C在上，若，则 .
14．（2025·杭州模拟） 一个不透明的袋子中装有黑球两个，白球三个，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球后，不放回并摇匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球都是黑球的概率为 .
15．（2025·杭州模拟） 在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度是体积的反比例函数，它的图象如图所示. 当时，气体的密度是 .
16．（2025·杭州模拟） 不等式组的解集是 .
17．（2025·杭州模拟） 一个扇形的面积是，圆心角是，则此扇形的半径是 cm.
18．（2025·杭州模拟） 对于任意两个不相等的数a， b()，定义一种新运算：，如，则 .
19．（2025·杭州模拟） 在等边中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且，若的边长为6，，则的面积为 .
20．（2025·杭州模拟）如图，四边形 ABCD 是矩形，AC 是对角线，点 E 在 CB 的延长线上，点 F 在线段 CD 上，连接 AE、AF、EF，，，，，则线段 AE 的长为 .
21．（2025·杭州模拟） 先化简，再求代数式 的值， 其中 .
22．（2025·杭州模拟）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形并计算：
⑴在图中画出，其面积为5，且，点E在小正方形的顶点上；
⑵在图中画出以CD为腰的等腰，面积为，点F在小正方形的顶点上；
⑶连接EF，直接写出线段EF的长.
23．（2025·杭州模拟）兴才中学为了解九年级学生每周参加科学教育的时间（单位：h），随机调查了该校九年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如图1、图2所示的两幅统计图.
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：a的值为 ，m的值为 ，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为 和 ；
（2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数；
（3）根据样本数据，若兴才中学九年级共有学生900人，估计该校九年级学生每周参加科学教育的时间是9h的人数.
24．（2025·杭州模拟）在四边形ABCD中，，点E在边BC上，连接DE，，点F在DE上，连接AF，，且.
（1）如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）如图2，连接AE，若，在不添加任何辅助线及字母的情况下，请直接写出图2中面积等于面积一半的所有三角形.
25．（2025·杭州模拟）和兴食品加工厂接到一批600袋食品的订单，决定由甲、乙两组共同完成，甲组每天加工的袋数是乙组每天加工的袋数的2倍，乙组单独完成任务比甲组单独完成任务多用10天.
（1）求甲、乙两组每天各能加工多少袋食品；
（2）两组人员同时开工3天后，临时又增加了90袋的任务，为了整个工期不超过7天，两组人员从第4天起各自提高了工作效率，甲组的效率仍是乙组效率的2倍，求乙组提高效率后每天至少加工多少袋食品？
26．（2025·杭州模拟）四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是对角线，CA平分∠BCD.
（1） 如图1，求证：AB=AD；
（2） 如图2，点E在线段CD上，连接AE，AB=AE，连接BE，，求证：；
（3） 如图3，在(2)的条件下，作交⊙O于点H，交线段AC于点F，连接CH，请你探究线段DE、线段CH的数量关系，并证明你的结论.
27．（2025·杭州模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线CD交x轴于点D，交y轴于点C，交直线AB于点E，，.
（1） 求直线CD的解析式.
（2） 点P在第三象限的直线AB上，轴交直线CD于点Q，点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式，直接写出自变量t的取值范围.
（3） 在(2)的条件下，点F在第四象限的内部，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转至EG(点F的对应点为G)，旋转角等于，直线FG交线段PQ于点H，连接FQ，PF，，，的面积为8，求的面积.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】正数、负数的实际应用；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵-415<-156<-40<-28
∴海拔最小的大洲是亚洲
故答案为：A.
【分析】根据有理数大小比较方法解答即可.
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A：该图形既不是轴对称，也不是中心对称，故A错误
B：根据轴对称和中心对称的定义可知，该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故B正确
C：根据轴对称图形的定义，可知，该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B错误
D：根据轴对称图形和中心对称图形的定义，可知，该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故D错误
故答案为： B
【分析】根据轴对称图形和中心对称的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形；把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此即可判断
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：根据科学记数法的表达方式，可得
故答案为： C。
【分析】根据科学记数法的标准形式：a×10n。其中，a是一个介于1到10之间的实数，n是一个整数，表示将小数点移动的位置，据此即可求解
4．【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意得这个几何体的俯视图是
故答案为：A
【分析】根据由小正方体组成的组合体的三视图结合题意画出其俯视图即可求解。
5．【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：根据平移的法则，可得
即：
故答案为： A
【分析】根据平移的原则：上加下减，左加右减的平移法则，求出新的抛物线解析式，然后再化为顶点式即可
6．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：A：因为，所以，即，因为AB=CD，所以，故A正确；
B：因为，所以，，故B错误；
C：因为，，所以，，即，故C正确；
D：因为，所以，，而，所以，，故D正确。
故答案为： B
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，可知，AG//BC，易得，可得，进而，可得，而AB=CD，故；根据AE//CD，易得，所以，；根据GD//BC，易得，所以，，而，故；根据四边形ABCD是平行四边形，可知，，易得，所以，据此即可判断
7．【答案】D
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：观察坐标特点，可得
相邻两个坐标的横坐标是按照等差数列规律出现：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，......，故2025次运动后的点P的横坐标为：2025
相邻两个坐标的纵坐标是按照（1，0）、（2，0）、（1，0）......重复出现
所以2025÷2=1012......1
所以2025次运动后的点P的纵坐标为：1
故答案为： .D。
【分析】观察坐标中各个点，可发现，相邻两坐标的横坐标是：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，......；纵坐标是按照1，0；2，0；1，0；2，0，......，1，0；2，0重复出现，用2025除以2，求出周期数，即可求解
8．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：∵
∴
由折叠可得，
∵
∴
∴
∴
又∵EG平分
∴
∵
∴
∴在中，
故答案为： C
【分析】根据折叠的原理，可得；又根据，可得，进而可得，即可求出的度数；根据EG平分，可得，根据，可得，在中，利用三角形的内角和公式，即可求解
9．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵
∴AE=3，AC=4，
连接BE，
由作图可得：MN是AB的垂直平分线，
∴AE=BE=3，AD=BD
∵∠ACB=90°，
∴
∴
∴，
故答案为：C.
【分析】先求解AE，AC，再连接BE，证明AE=BE，AD=BD，利用勾股定理求解BC，AB，从而可得答案.
10．【答案】D
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：A：由图可知5小时两车相距150千米，故①不符合题意；
B：设甲的速度为xkm/h，根据5（x-60）=150，解得，x=90，故甲车A到B的行驶速度为90km/h，故B不符合题意；
C：乙车从出发到与甲车相遇共用的时间为：（小时），故C不符合题意；
D：点M的纵坐标为：，故D符合题意
故答案为：D
【分析】观察函数图象，可知，甲乙两车5小时后相距150千米；设甲的速度为xkm/h，根据追及的公式，用相遇时间乘以追及速度等于150千米，据此解出x的值，即可求出甲车的速度；用甲车的速度乘以相遇时间，再减去乙车乘以乙车出发的时间，然后再除以150，最后再加上6小时，即可求出乙车从出发到与甲车相遇一共用的时间；观察函数图形，用甲车的速度乘以5，再减去乙车的速度乘以6，即可求出M点的纵坐标。
11．【答案】x≠2
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意得，x﹣2≠0，
解得x≠2．
故答案为：x≠2．
【分析】根据分母不等于0列不等式求解即可．
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】
故答案为： ．
【分析】先提取公因数y，再利用完全平方公式化简 即可．
13．【答案】68°
【知识点】三角形内角和定理；圆内接四边形的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接AD，
∵四边形ABCD是 的内接四边形，
∴
∵
∴
∴
∵ EA，ED是的切线，根据切线长定理得，
∴EA=ED，
∴
∴
故答案为： 68°
【分析】连接AD，根据内接圆的性质，可得，再根据，可求出的度数，再根据切线长定理，可得EA=ED，进而可得，在三角形ADE中，利用三角形的内角和公式，即可求解
14．【答案】
【知识点】概率公式；概率的简单应用
【解析】【解答】解：根据题意，可得
故答案为：。
【分析】根据题干可知，第一次摸到黑球的概率为，第二次摸到黑球的概率为，两次都摸出黑球的概率为，即可求解
15．【答案】2
【知识点】列反比例函数关系式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设，将，代入，可得，
m=10（kg）
将m=10，v=5，代入，可得
（）
故答案为： 2
【分析】设，将，，代入，求出m的值，然后再根据，将和m的值代入，即可求出的值
16．【答案】1≤x＜6
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
2x-1≥3-2x，解得，x≥1
3（1-x）+5x<15，解得，x<6
所以，不等式组的解集为：1≤x＜6
故答案为：1≤x＜6
【分析】分别对两个不等式进行求解，然后再求这两个不等式的公共部分，即可求解
17．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：根据扇形的公式，可得
化简，
解得，（cm）
故答案为：
【分析】根据扇形的面积公式：，可得，，代入数据即可求解
18．【答案】
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：根据题意，可得
=
=
=
故答案为：
【分析】根据新运算法则： ，代入数据即可求出的值
19．【答案】或
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：①当E在线段BA的延长线上，D在线段BC的延长线上时，如图1所示，
过E作EF⊥BD，垂足为F点，可得∠EFB=90°，
∵EC=ED，
∴F为CD的中点，即
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°
∴∠BEF=30°，
∵BE=AB+AE=6+12=18，
∴，
∴
∴CD=2CF=6，
∴BD=BC+CD=12，
∴
②当E在线段AB的延长线上，D在线段CB的延长线上时，如图2所示，
过E作EF⊥BD，垂足为F点，可得∠EFC=90°，
∵EC=ED，
∴F为CD的中点，即
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠EBF=60°，∠BEF=30°，
∵BE=AE-AB=12-6=6，
∴，
∴CF=DF=BC+FB=9
∴
∴
故答案为：或.
【分析】分情况讨论：①当E在线段BA的延长线上，D在线段BC的延长线上时，如图1所示，过E作EF⊥BD，垂足为F点；②当E在线段AB的延长线上，D在线段CB的延长线上时，如图2所示，过E作EF⊥BD，垂足为F点，即可得出结论.
20．【答案】
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：设∠AEF=2a，
∴∠FEC=45°-a.
∴∠AEB=45°+a.
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=∠D=∠ECF=90°，AB=CD，BC=AD.
∴∠ABE=90°.
∴∠EAB=90°-(45°+a)=45°-a.
∴∠EAB=∠FEC.
∵∠ABE=∠ECF，AE=FE，
∴△ABE≌△ECF，
∴BE=CF，AB=EC，
∴EC=DC，
∴EC-BE=DC-FC.
∴BC=DF=AD.
∵AD2+DF2=AF2，
∴
∴，
∵AB2+BC2=AC2，
∴
∴，
∴
∵AE2=BE2+AB2
∴
故答案为：.
【分析】设∠AEF=2a，则∠AEB=45°+a，再根据矩形的性质，易证明△ABE≌△ECF，再根据勾股定理进而可以得出结论.
21．【答案】解：原式
当 时，
原式
=
=
=
【知识点】求特殊角的三角函数值；求代数式的值-化简代入求值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先对代数式进行分解，然后再将括号里面的分式进行通分运算，再将除法换算成乘法，最后再进行约分化简；根据特殊角的三角函数值，对a的值进行运算化简，最后再将a的值代入，即可求解
22．【答案】解：⑴如图；
⑵如图；
⑶如图，
【知识点】三角形的面积；勾股定理；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）根据三角形的面积公式，求出底边和高的乘积，然后再根据 ，因此可画一个以AE为底边，AB为高的等腰直角三角形，根据三角形ABE的面积等于5，据此即可求出AB和AE的长，然后再将A、B、E三点连接起来即可
（2）根据三角形CDF的面积等于 ，可求出底边和高的乘积，然后再结合“点F在小正方形的顶点上”，可先求出底边FC的长，进而再根据勾股定理，求出DC的长，然后再连接CD、FC和FD即可
（3）根据勾股定理和小正方形的边长，即可求出EF的长
23．【答案】（1）50；34；8；8
（2）解：，
答：这组数据的平均数是8.36.
（3）解：（人），
答：估计该校九年级学生每周参加科学教育的时间是9h的人数为270人.
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：3+7+17+15+8=50（人）
所以，a=50
=34
所以，m=34
50个学生，中位数是第26和第27个学生，刚好是位于8小时这个时间段，所以，中位数=
各个时间段中，出现次数最多的是8小时这个时间段的学生人数，故众数为：8
故答案为：50；34；8；8。
【分析】（1）将条状图中各个时间段的学生人数相加，即可求出a的值；用8小时的学生人数除以调查的九年级学生总人数，然后乘以100，即可求出m；根据众数和中位数的定义，即可求解
（2）根据加权平均数的计算方法进行计算即可求解
（3）用参加科学教育时间是9小时的人数除以九年级的学生人数，再乘以900，即可求解
24．【答案】（1）证明： ∵，，，
∴
∵，，
∴
∴
∴
∴四边形 ABCD 是平行四边形。
（2）△ABE， △DCE， △AEF， △ADF
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定；面积及等积变换
【解析】【解答】（2）解：因为BE=CE
所以
因为AF=CD
所以
故答案为：△ABE， △DCE， △AEF， △ADF。
【分析】（1）根据外角定理，可得，又根据，可得，易证，进而可得，根据平行四边形的判定定理，即可证明。
（2）根据BE=CE，可得E是BC的中点，根据同高等底的性质，即可判断△ABE=△DCE=；再根据AF=CD，可得F是DE的中点，据此可得△AEF=△ADF=。
25．【答案】（1）解：设乙组每天能加工x袋食品，则甲组每天能加工2x袋食品。
由题意，得
解得
经检验是分式方程的解。
答：甲组每天能加工60袋食品，乙组每天能加工30袋食品。
（2）解：设乙组提高效率后每天加工a袋食品。
由题意，得，
解得
答：乙组提高效率后每天至少加工35袋食品。
【知识点】一元一次不等式组的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设乙组每天能加工x袋食品，则甲组每天能加工2x袋食品，根据“甲组每天加工的袋数是乙组每天加工的袋数的2倍，乙组单独完成任务比甲组单独完成任务多用10天”，建立分式方程：，然后再进行求解，最后再将结果进行验证即可
（2）设乙组提高效率后每天加工a袋食品，根据题干信息，建立不等式：，然后再进行求解即可。
26．【答案】（1）证明： ∵CA平分，
∴.
连接BD.
∵，
∴.
∵，，
∴，
∴.
（2）证明：∵，
∴.
设.
∴，.
∵，
∴.
∴.
∴.
∴.
∴四边形 ABCD 内接于 ，
∴
∴
∴。
（3）解：
证明：连接 DH，
∵，
∴∠BHD=∠BCD=90°，
∵BH⊥AB，
∴∠ABH=90°，
∴四边形 ABHD 是矩形，
∵AB=AD，
∴矩形ABCD 是正方形，
∴AD=BH，，
∴AB =DH，
∴∠ACB=∠DCH，
又∵∠ACB=∠BCD =45°，
∴∠DCH=45°，
∴∠BCH=135°，
过C作CK⊥CH，且CH=CK，连接 HK，BK，
∴∠HCK=90°
∴∠BCK=360°-90°-135°=135°，
∴∠BCK=∠BCH，
∵BC=BC，
∴△BCH≌△BCK，
∴∠CBK=∠CBH，BH=BK，
又∵，
∴∠CDH=∠CBH，
∴∠ADE=90°-∠CDH，
∴∠DAE=180°-2(90°-∠CDH)=2∠CDH，
∴∠DAE=∠HBK，
又∵AD=AE=BH=BK，
∴△ADE≌△BHK，
∴DE=HK，
又∵∠HCK=90°，
∴HK2=CH2+HK2，
∴HK=CH，
∴
【知识点】勾股定理的应用；正方形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线，可得，连接BD，根据相同的弧所对的圆周角相等，可得，，据此可得
（2）根据等边对等角，可得，，可得，，根据题意，易得，由此可得，代入数据即可求出，又因为，代入数据，易证得四边形 ABCD 内接于，进而可得，即可证明
（3）连接 DH，易证矩形ABCD 是正方形，易求得∠BCH的角度，过C作CK⊥CH，且CH=CK，连接 HK，BK，易证△BCH≌△BCK，根据等弧对等角，可得∠CDH=∠CBH，进而可得∠DAE=2∠CDH，易得△ADE≌△BHK，然后再根据勾股定理，可得HK2=CH2+HK2，即可证明
27．【答案】（1）解：. 当 时， .
当 时，，
.
.
.
. .
.
.
.
设直线 CD 的解析式为 .
把 D(4， 0)， C()代入，得
直线 CD 的解析式为.
（2）
（3）解：连接CQ，设EQ与FG的交点为R，
∵，
∴.
∵， ，
∴.
∴， ， .
∴，
∴.
∴， .
∵， ， ，
∴∠EPQ = ∠EQP = ∠EGF = ∠EFG.
∵∠ERG = ∠HRQ，
∴.
过 P 作 PM HG 于点 M， 过 Q 作QT HG 于点 T.
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∴.
∴， .
∵， ，
∴.
∴，.
∵，
∴，.
∴.
设
∴
∴
∴.
∴，
∴8=m2，
∴或（舍去），
∴.
∴.
∴.
∴.
∴.
即的面积为.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数中的动态几何问题；一次函数中的面积问题；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（2）解：过 E 作 于点 K， 延长 EK 交 PQ 于 W，
联立， .
，.
.
.
.
.
，
.
.
.
.
.
点 W 的横坐标为 1.
由题意，得 .
.
.
，点 P， W 在 P Q 上，
点 W 的纵坐标与点 P 纵坐标相同.
即 . .
∴
故答案为：
【分析】（1）令，求出y的值，令y=0，求出x的值，进而可求出A和B的坐标，即可求出OA和OB的值，然后再根据DO=2AO，可求出DO的值，即可求出D的坐标，再根据BC=0B，即可求出BC的值，可求出OC的值，进而可求出C点坐标，设直线 CD 的解析式为，将D和C的坐标打入CD的解析式，求出b和k的值，进而可确定CD的解析式。
（2）过 E 作 于点 K， 延长 EK 交 PQ 于 W，联合，求出x和y的值，进而可求出E和K点坐标；，进而可求出OK和EK的值， 易证，根据，可得，进而可得，根据题意，可得，进而，又根据，点 P， W 在 P Q 上，所以， ，，从而得到，由此可得，代入数据，然后化简即可。
（3）连接CQ，设EQ与FG的交点为R，易证；又根据直角三角形互余关系，可得，易得，过 P 作 PM HG 于点 M， 过 Q 作QT HG 于点 T，易证，根据， ，易得，根据，，易得，，设，分别求出PM、TG和FG，然后再根据，代入数据，求出m的值，然后再根据勾股定理，求出PH的值，进而求出PQ的值，则，求出t的值，然后再将t代入（2）中的二次函数中，即可求解。
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