微专题强化练(三)
1．D [f (x)在[0，＋∞)上为增函数，所以f (2)＞f (1)，又f (x)为偶函数，所以f (－x)＝f (x)，故f (－2)＝f (2)，f (－1)＝f (1)，所以f (2)＞f (－1)，f (－2)＞f (－1)．综上所述，D正确．]
2．AD [对于选项A，f (x)＝，定义域为{x|x≠±3}，f (－x)＝＝＝f (x)，所以函数f (x)为偶函数，f (x)图象关于y轴对称，故A正确．
对于选项B，因为f (x)定义域为{x|x≠±3}，
所以f (x)在[0，＋∞)上单调递减错误，故B错误．
对于选项C，f (x)＝＝＝，因为x≠±3，所以|x|＋3≥3，且|x|＋3≠6，
所以f (x)的值域为，故C错误．
对于选项D，因为f (x)的值域为，所以f (x)的最大值为，故D正确．故选AD．]
3．C [∵f (x)是R上的奇函数，∴f (0)＝0，令2x－1＝0，解得x＝，此时y＝1，故函数y＝f (2x－1)＋1的图象恒过点．]
4．B [由题意，知f (x)在[0，＋∞)上是减函数，则不等式f (a)≥f (x)对任意的x∈[1，2]恒成立，即不等式f (|a|)≥f (|x|)对任意的x∈[1，2]恒成立，
∴|a|≤|x|对任意的x∈[1，2]恒成立，
∴|a|≤1，即－1≤a≤1，故选B．]
5．ACD [由①知函数f (x)为偶函数，由②知函数f (x)在(0，＋∞)上单调递减，则函数f (x)在(－∞，0)上单调递增．
对于A，f (3)＝f (－3)>f (－4)，故A正确．
对于B，f (m－1)2，解得m∈(3，＋∞)∪(－∞，－1)，故B错误．
对于C，若<0，由题知f (－1)＝f (1)＝0，则当x>0时，f (x)<0，解得x>1；当x<0时，f (x)>0，解得－1对于D，根据函数单调性及函数在R上的图象连续可知，函数f (x)存在最大值f (0)，则只需M≥f (0)，即可满足条件，故D正确．
故选ACD．]
6．－7 [由题意，函数f (x)在[3，6]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为4，最小值为－1，
故f (3)＝－1，f (6)＝4．
∵f (x)是奇函数，
∴2f (－6)＋f (－3)＝－2f (6)－f (3)＝－2×4＋1＝－7．]
7．－33 [因为函数f (x)是奇函数，所以f (－3)＝g(－3)＝－f (3)＝－6，所以f (g(－3))＝f (－6)＝－f (6)＝－33．]
8． [由题意可知，f (x)在[1，＋∞)上单调递增，要使y＝－在[1，2)上单调递增，
则－m<0，即m>0．
要使y＝x2－mx在[2，＋∞)上单调递增，
则m≤2．
又×22－2m≥－m，解得m≤．
综上可知09．解： (1)令x＝y＝1，得f (1)＝2f (1)，故f (1)＝0．
(2)证明：令y＝，得f (1)＝f (x)＋f＝0，
故f＝－f (x)．
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，
则f (x2)－f (x1)＝f (x2)＋f＝f．
由于＞1，故f＞0，从而f (x2)＞f (x1)．
∴f (x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)由于f＝－1，
而f＝－f (3)，
故f (3)＝1．
在f (xy)＝f (x)＋f (y)中，
令x＝y＝3，
得f (9)＝f (3)＋f (3)＝2．
故所给不等式可化为f (x)－f (x－2)≥f (9)，
∴f (x)≥f (9(x－2))，
由(2)得f (x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴x≥9x－18，
∴x≤．
又
∴2＜x≤．
∴x的取值范围是．
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第三章
函数
微专题3 函数性质的综合应用
函数的性质是历年高考命题的热点，主要有判断函数的单调性、奇偶性，根据单调性、奇偶性确定函数值、参数值，奇偶性与单调性相结合解不等式问题等考查方向，有时也与后面将要学习的知识相结合，体现了对逻辑推理、直观想象等核心素养的考查．
√
类型2 函数的奇偶性
【例2】 定义在R上的函数f (x)对任意实数a，b都有f (a＋b)＋f (a－b)＝2f (a)·f (b)成立，且f (0)≠0．
(1)求f (0)的值；
(2)试判断f (x)的奇偶性．
[解] (1)令a＝b＝0，则f (0)＋f (0)＝2f (0)·f (0)，
即f (0)＝f 2(0)．
因为f (0)≠0，所以f (0)＝1．
(2)令a＝0，b＝x，
则f (x)＋f (－x)＝2f (0)·f (x)．
因为f (0)＝1，
所以f (x)＋f (－x)＝2f (x)．
所以f (x)＝f (－x)．
所以f (x)是R上的偶函数．
类型3 抽象函数的单调性
【例4】 设f (x)是定义在R上的函数，对m，n∈R，恒有f (m＋n)＝
f (m)·f (n)(f (m)≠0，f (n)≠0)，且当x>0时，0(1)求证：f (0)＝1；
(2)求证：x∈R时，恒有f (x)>0；
(3)求证：f (x)在R上是减函数．
(3)设任意的x1，x2∈R，且x1则f (x2)＝f (x1＋(x2－x1))．
∴f (x1)－f (x2)＝f (x1)－f (x1＋(x2－x1))＝f (x1)－f (x1)·f (x2－x1)
＝f (x1)[1－f (x2－x1)]．
由(2)知，f (x1)>0．
∵x2－x1>0，
∴0∴f (x1)－f (x2)>0，即f (x1)>f (x2)，
故f (x)在R上是减函数．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
√
一、选择题
1．已知偶函数f (x)在区间[0，＋∞)上的解析式为f (x)＝x＋1，下列大小关系正确的是( )
A．f (1)＞f (2) B．f (1)＞f (－2)
C．f (－1)＞f (－2) D．f (－1)＜f (2)
微专题强化练(三) 函数性质的综合应用
D [f (x)在[0，＋∞)上为增函数，所以f (2)＞f (1)，又f (x)为偶函数，所以f (－x)＝f (x)，故f (－2)＝f (2)，f (－1)＝f (1)，所以f (2)＞
f (－1)，f (－2)＞f (－1)．综上所述，D正确．]
题号
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题号
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题号
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题号
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4．已知函数y＝f (x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若不等式f (a)≥f (x)对任意的x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．[－1，1]
C．(－∞，2] D．[－2，2]
题号
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9
B [由题意，知f (x)在[0，＋∞)上是减函数，则不等式f (a)≥f (x)对任意的x∈[1，2]恒成立，即不等式f (|a|)≥f (|x|)对任意的x∈[1，2]恒成立，
∴|a|≤|x|对任意的x∈[1，2]恒成立，
∴|a|≤1，即－1≤a≤1，故选B．]
题号
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题号
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二、填空题
6．奇函数f (x)在区间[3，6]上是增函数，且在区间[3，6]上的最大值是4，最小值是－1，则2f (－6)＋f (－3)＝________．
题号
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9
－7 [由题意，函数f (x)在[3，6]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为4，最小值为－1，故f (3)＝－1，f (6)＝4．
∵f (x)是奇函数，
∴2f (－6)＋f (－3)＝－2f (6)－f (3)＝－2×4＋1＝－7．]
－7
题号
1
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9
－33 [因为函数f (x)是奇函数，所以f (－3)＝g(－3)＝－f (3)＝－6，所以f (g(－3))＝f (－6)＝－f (6)＝－33．]
－33
题号
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题号
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题号
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9微专题强化练(三) 函数性质的综合应用
说明：单项选择题每题5分，填空题每题5分，本试卷共55分
一、选择题
1．已知偶函数f (x)在区间[0，＋∞)上的解析式为f (x)＝x＋1，下列大小关系正确的是( )
A．f (1)＞f (2)
B．f (1)＞f (－2)
C．f (－1)＞f (－2)
D．f (－1)＜f (2)
2．(多选)函数f (x)＝，下列结论正确的是( )
A．f (x)图象关于y轴对称
B．f (x)在[0，＋∞)上单调递减
C．f (x)的值域为
D．f (x)有最大值
3．已知f (x)是R上的奇函数，则函数y＝f (2x－1)＋1的图象恒过点( )
A．(0，0) B．
C． D．(1，0)
4．已知函数y＝f (x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若不等式f (a)≥f (x)对任意的x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．[－1，1]
C．(－∞，2] D．[－2，2]
5．(多选)已知定义在R上的函数f (x)的图象是连续不断的，且满足以下条件：
① x∈R，f (－x)＝f (x)；
② m，n∈(0，＋∞)，当m≠n时，都有<0；
③f (－1)＝0．
则下列选项成立的是( )
A．f (3)>f (－4)
B．若f (m－1)C．若<0，则x∈(－1，0)∪(1，＋∞)
D． x∈R， M∈R，使得f (x)≤M
二、填空题
6．奇函数f (x)在区间[3，6]上是增函数，且在区间[3，6]上的最大值是4，最小值是－1，则2f (－6)＋f (－3)＝________．
7．已知f (x)＝是奇函数，则f (g(－3))＝________．
8．已知函数f (x)＝对于 x1，x2∈[1，＋∞)且x1≠x2，都有(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0，则实数m的取值范围为________．
三、解答题
9．已知函数f (x)的定义域是(0，＋∞)，当x＞1时，f (x)＞0，且f (xy)＝f (x)＋f (y)．
(1)求f (1)；
(2)证明：f (x)在定义域上是增函数；
(3)如果f＝－1，求满足不等式f (x)－f (x－2)≥2的x的取值范围．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)微专题3 函数性质的综合应用
函数的性质是历年高考命题的热点，主要有判断函数的单调性、奇偶性，根据单调性、奇偶性确定函数值、参数值，奇偶性与单调性相结合解不等式问题等考查方向，有时也与后面将要学习的知识相结合，体现了对逻辑推理、直观想象等核心素养的考查．
类型1 分段函数的单调性
【例1】 若函数f (x)＝在R上是增函数，则实数a的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．[4，8)
C．[1，4) D．[2，8)
B [因为函数f (x)在R上是增函数，所以f (x)在(－∞，1]上单调递增，故4－>0，即a<8．当x>1时，f (x)＝x2单调递增，所以f (x)>1．当x≤1时，f (x)＝x－1单调递增，所以f (x)≤3－．又函数f (x)在R上是增函数，所以3－≤1，即a≥4．又a<8，所以4≤a<8．故a的取值范围是[4，8)．]
类型2 函数的奇偶性
【例2】 定义在R上的函数f (x)对任意实数a，b都有f (a＋b)＋f (a－b)＝2f (a)f (b)成立，且f (0)≠0．
(1)求f (0)的值；
(2)试判断f (x)的奇偶性．
[解] (1)令a＝b＝0，
则f (0)＋f (0)＝2f (0)f (0)，
即f (0)＝f2(0)．
因为f (0)≠0，
所以f (0)＝1．
(2)令a＝0，b＝x，
则f (x)＋f (－x)＝2f (0)f (x)．
因为f (0)＝1，
所以f (x)＋f (－x)＝2f (x)．
所以f (x)＝f (－x)．
所以f (x)是R上的偶函数．
【例3】 判断函数f (x)＝的奇偶性．
[解] 由得－2≤x≤2且x≠0，
所以函数的定义域为[－2，0)∪(0，2]，
此时f (x)＝，
有f (－x)＝＝－＝－f (x)，
所以函数f (x)为奇函数．
类型3 抽象函数的单调性
【例4】 设f (x)是定义在R上的函数，对m，n∈R，恒有f (m＋n)＝f (m)f (n)(f (m)≠0，f (n)≠0)，且当x>0时，0(1)求证：f (0)＝1；
(2)求证：x∈R时，恒有f (x)>0；
(3)求证：f (x)在R上是减函数．
[证明] (1)根据题意，令m＝0，可得f (0＋n)＝f (0)f (n)，
∵f (n)≠0，
∴f (0)＝1．
(2)由题意知，当x>0时，0当x＝0时，f (0)＝1>0；
当x<0时，－x>0，
∴0∵f (x＋(－x))＝f (x)f (－x)，
∴f (x)f (－x)＝1．
∴f (x)＝>0．
故x∈R时，恒有f (x)>0．
(3)设任意的x1，x2∈R，且x1则f (x2)＝f (x1＋(x2－x1))．
∴f (x1)－f (x2)＝f (x1)－f (x1＋(x2－x1))＝f (x1)－f (x1)f (x2－x1)＝f (x1)[1－f (x2－x1)]．
由(2)知，f (x1)>0．
∵x2－x1>0，
∴0∴f (x1)－f (x2)>0，即f (x1)>f (x2)，
故f (x)在R上是减函数．
类型4 函数性质的综合应用
【例5】 已知函数f (x)＝为偶函数．
(1)判断函数f (x)在(0，＋∞)上的单调性，并加以证明；
(2)当x∈(其中m＞n＞0)时，函数f (x)的值域恰为[3－9m，3－9n]，求正实数m，n的值．
[解] (1)函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增．证明如下：因为函数f (x)＝为偶函数，
所以
而f (1)＝f (－1)，解得a＝－3，
所以f (x)＝＝＝1－．
任取x1>x2>0，
f (x1)－f (x2)＝，
所以f (x1)－f (x2)＝＝＝，
因为x1>x2>0，
所以x1－x2>0，x1＋x2>0，
所以f (x1)－f (x2)>0，
即f (x1)>f (x2)，
故函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增．
(2)由(1)可知，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，因为x∈，函数f (x)的值域恰为[3－9m，3－9n]，
所以
即m，n为方程1－9x2＝3－9x的两根，
整理得，9x2－9x＋2＝0，
解得x1＝，x2＝，
又m>n>0，
所以m＝，n＝．
微专题强化练(三) 函数性质的综合应用
一、选择题
1．已知偶函数f (x)在区间[0，＋∞)上的解析式为f (x)＝x＋1，下列大小关系正确的是( )
A．f (1)＞f (2)
B．f (1)＞f (－2)
C．f (－1)＞f (－2)
D．f (－1)＜f (2)
D [f (x)在[0，＋∞)上为增函数，所以f (2)＞f (1)，又f (x)为偶函数，所以f (－x)＝f (x)，故f (－2)＝f (2)，f (－1)＝f (1)，所以f (2)＞f (－1)，f (－2)＞f (－1)．综上所述，D正确．]
2．(多选)函数f (x)＝，下列结论正确的是( )
A．f (x)图象关于y轴对称
B．f (x)在[0，＋∞)上单调递减
C．f (x)的值域为
D．f (x)有最大值
AD [对于选项A，f (x)＝，定义域为{x|x≠±3}，f (－x)＝＝＝f (x)，所以函数f (x)为偶函数，f (x)图象关于y轴对称，故A正确．
对于选项B，因为f (x)定义域为{x|x≠±3}，
所以f (x)在[0，＋∞)上单调递减错误，故B错误．
对于选项C，f (x)＝＝＝，因为x≠±3，所以|x|＋3≥3，且|x|＋3≠6，
所以f (x)的值域为，故C错误．
对于选项D，因为f (x)的值域为，所以f (x)的最大值为，故D正确．故选AD．]
3．已知f (x)是R上的奇函数，则函数y＝f (2x－1)＋1的图象恒过点( )
A．(0，0) B．
C． D．(1，0)
C [∵f (x)是R上的奇函数，∴f (0)＝0，令2x－1＝0，解得x＝，此时y＝1，故函数y＝f (2x－1)＋1的图象恒过点．]
4．已知函数y＝f (x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若不等式f (a)≥f (x)对任意的x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．[－1，1]
C．(－∞，2] D．[－2，2]
B [由题意，知f (x)在[0，＋∞)上是减函数，则不等式f (a)≥f (x)对任意的x∈[1，2]恒成立，即不等式f (|a|)≥f (|x|)对任意的x∈[1，2]恒成立，
∴|a|≤|x|对任意的x∈[1，2]恒成立，
∴|a|≤1，即－1≤a≤1，故选B．]
5．(多选)已知定义在R上的函数f (x)的图象是连续不断的，且满足以下条件：
① x∈R，f (－x)＝f (x)；
② m，n∈(0，＋∞)，当m≠n时，都有<0；
③f (－1)＝0．
则下列选项成立的是( )
A．f (3)>f (－4)
B．若f (m－1)C．若<0，则x∈(－1，0)∪(1，＋∞)
D． x∈R， M∈R，使得f (x)≤M
ACD [由①知函数f (x)为偶函数，由②知函数f (x)在(0，＋∞)上单调递减，则函数f (x)在(－∞，0)上单调递增．
对于A，f (3)＝f (－3)>f (－4)，故A正确．
对于B，f (m－1)2，解得m∈(3，＋∞)∪(－∞，－1)，故B错误．
对于C，若<0，由题知f (－1)＝f (1)＝0，则当x>0时，f (x)<0，解得x>1；当x<0时，f (x)>0，解得－1对于D，根据函数单调性及函数在R上的图象连续可知，函数f (x)存在最大值f (0)，则只需M≥f (0)，即可满足条件，故D正确．
故选ACD．]
二、填空题
6．奇函数f (x)在区间[3，6]上是增函数，且在区间[3，6]上的最大值是4，最小值是－1，则2f (－6)＋f (－3)＝________．
－7 [由题意，函数f (x)在[3，6]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为4，最小值为－1，
故f (3)＝－1，f (6)＝4．
∵f (x)是奇函数，
∴2f (－6)＋f (－3)＝－2f (6)－f (3)＝－2×4＋1＝－7．]
7．已知f (x)＝是奇函数，则f (g(－3))＝________．
－33 [因为函数f (x)是奇函数，所以f (－3)＝g(－3)＝－f (3)＝－6，所以f (g(－3))＝f (－6)＝－f (6)＝－33．]
8．已知函数f (x)＝对于 x1，x2∈[1，＋∞)且x1≠x2，都有(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0，则实数m的取值范围为________．
[由题意可知，f (x)在[1，＋∞)上单调递增，要使y＝－在[1，2)上单调递增，
则－m<0，即m>0．
要使y＝x2－mx在[2，＋∞)上单调递增，
则m≤2．
又×22－2m≥－m，解得m≤．
综上可知0三、解答题
9．已知函数f (x)的定义域是(0，＋∞)，当x＞1时，f (x)＞0，且f (xy)＝f (x)＋f (y)．
(1)求f (1)；
(2)证明：f (x)在定义域上是增函数；
(3)如果f＝－1，求满足不等式f (x)－f (x－2)≥2的x的取值范围．
[解] (1)令x＝y＝1，得f (1)＝2f (1)，故f (1)＝0．
(2)证明：令y＝，得f (1)＝f (x)＋f＝0，
故f＝－f (x)．
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，
则f (x2)－f (x1)＝f (x2)＋f＝f．
由于＞1，故f＞0，从而f (x2)＞f (x1)．
∴f (x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)由于f＝－1，
而f＝－f (3)，
故f (3)＝1．
在f (xy)＝f (x)＋f (y)中，
令x＝y＝3，
得f (9)＝f (3)＋f (3)＝2．
故所给不等式可化为f (x)－f (x－2)≥f (9)，
∴f (x)≥f (9(x－2))，
由(2)得f (x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴x≥9x－18，
∴x≤．
又
∴2＜x≤．
∴x的取值范围是．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)微专题3 函数性质的综合应用
函数的性质是历年高考命题的热点，主要有判断函数的单调性、奇偶性，根据单调性、奇偶性确定函数值、参数值，奇偶性与单调性相结合解不等式问题等考查方向，有时也与后面将要学习的知识相结合，体现了对逻辑推理、直观想象等核心素养的考查．
类型1 分段函数的单调性
【例1】 若函数f (x)＝在R上是增函数，则实数a的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．[4，8)
C．[1，4) D．[2，8)
[尝试解答]
类型2 函数的奇偶性
【例2】 定义在R上的函数f (x)对任意实数a，b都有f (a＋b)＋f (a－b)＝2f (a)f (b)成立，且f (0)≠0．
(1)求f (0)的值；
(2)试判断f (x)的奇偶性．
[尝试解答]
【例3】 判断函数f (x)＝的奇偶性．
[尝试解答]
类型3 抽象函数的单调性
【例4】 设f (x)是定义在R上的函数，对m，n∈R，恒有f (m＋n)＝f (m)f (n)(f (m)≠0，f (n)≠0)，且当x>0时，0(1)求证：f (0)＝1；
(2)求证：x∈R时，恒有f (x)>0；
(3)求证：f (x)在R上是减函数．
[尝试解答]
类型4 函数性质的综合应用
【例5】 已知函数f (x)＝为偶函数．
(1)判断函数f (x)在(0，＋∞)上的单调性，并加以证明；
(2)当x∈(其中m＞n＞0)时，函数f (x)的值域恰为[3－9m，3－9n]，求正实数m，n的值．
[尝试解答]
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