初中数学北师大版八年级下册 第一章 三角形的证明---三角形全等之半角模型专题复习（无答案）

半角模型
1、正方形半角模型
【模型条件】
【模型解析】
如图1，正方形中存在一个45°角与正方形共顶点，∠BDC被45°分成三个角，且有∠EDF=∠BDE+∠FDC=45°，这也是半角的意义所在，通过旋转的思想，我们将∠BDE和∠FDC拼接成一个角，即∠FDC。
通过全等三角形的旋转和正方形的性质我们易证。
半角通常的思路就是通过旋转构造半角得全等。
【模型总结】
①；②DF平分∠EAG；③
2、等边三角形半角模型
【模型条件】
【模型解析】
【模型总结】
；②DF平分∠EAG；③
【例1】正方形ABCD中，E,F分别是边BC,CD上的点，且∠EAF=45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，求证：EF=BE+DF.
【例2】如图，正方形ABCD中，∠EAF的两边分别与边BC、CD交于点E、F，AE、AF分别交BD于点G、H，且∠EAF＝45°．
（1）当∠AEB＝55°时，求∠DAH的度数；
（2）设∠AEB＝α，则∠AFD＝　 　（用含α的代数式表示）；
（3）求证：∠AEB＝∠AEF．
【例3】在正方形ABCD中，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN，垂足为H，若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动．
①试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系．
求证：AB＝AH．
【例4】如图（1），在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，点C（0，4），A（4，4），过C点作∠ECF分别交线段AB、OB于E、F两点
（1）若OF+BE＝AB，求证：CF＝CE．
（2）如图（2），且∠ECF＝45°，S△ECF＝6，求S△BEF的值．
【例5】如图，在正方形ABCD中，M、N分别是射线CB和射线DC上的动点，且始终∠MAN＝45°．
（1）如图1，当点M、N分别在线段BC、DC上时，请直接写出线段BM、MN、DN之间的数量关系；
（2）如图2，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；
（3）如图3，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，若CN＝CD＝6，设BD与AM的延长线交于点P，交AN于Q，直接写出AQ、AP的长．
【例6】（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．求证：EF＝BE+FD．
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明．
【例7】如图，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，其中∠ACB＝∠CDE＝90°，AC＝BC，CD＝DE，且BC＝BD，边BD交CE于点F，连接AD．
（1）如图1，连接BE，若AD＝4，求BE的长；
（2）如图2，若点F为BD的中点，求证：AD＝2EF．
【例8】在等边△ABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB,AC上移动时，BM, NC,MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系，
如图1，△ABC是周长为9的等边三角形，则△AMN的周长Q=_______
如图2，当点M,N边AB,AC上，且DM=DN时，BM,NC,MN之间的数量关系是______;=_______点M,N在边AB,AC上，且当DM≠DN时，猜想（2）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明.
【例9】如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D,E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△，当∠DAE=45°时，求证：DE=；在（1）的条件下，猜想：有怎样的数量关系？请写出，并说明理由.