初中数学北师大版九年级下册 第二章 二次函数---二次函数中的动点与图形面积问题（无答案）
文档属性
| 名称 | 初中数学北师大版九年级下册 第二章 二次函数---二次函数中的动点与图形面积问题（无答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 444.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-27 10:26:26 | ||
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文档简介
二次函数中的动点与图形面积问题
【基础训练】
一、单选题
1．如图，抛物线的顶点为P，将抛物线向右平移3个单位后得到新的抛物线，其顶点记为M，设两条抛物线交于点C，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．已知二次函数y＝2x2和一次函数y＝3x﹣1两函数图象交于点A、B，则A、B与二次函数的顶点O组成的△OAB的面积为（ ）
A． B． C． D．1
3．已知二次函数的图象交轴于两点．若其图象上有且只有三点满足，则的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
4．抛物线y＝x ＋2x－3与y轴交于点C，与x轴交于点A，B（A点在B点左侧），点P是抛物线上的动点，当△PAC的面积为下列何值时，满足条件的点P有且只有三个（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点A（a，b）是抛物线上一动点，OB⊥OA交抛物线于点B（c，d）．当点A在抛物线上运动的过程中（点A不与坐标原点O重合），以下结论：①ac为定值；②ac=﹣bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．二次函数y=x2﹣8x+15的图象与x轴相交于M，N两点，点P在该函数的图象上运动，能使△PMN的面积等于的点P共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点D是直线BC上方的抛物线上的一个动点，连结DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．9
二、填空题
8．如图，直线与坐标轴交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点，过点P作轴的平行线交直线于点Q，△OPQ绕点O顺时针旋转45°，边PQ扫过区域（阴影部分）面积的最大值是_____________
9．已知抛物线y＝x2＋2x﹣3的图象与x轴交于A，B两点，在抛物线上存在一点P，使△ABP的面积为10，则点P的坐标为_______________．
10．如图，二次函数y＝﹣x2+x+2交x轴于点A.B（A在B的右侧），与y轴交于点C，D为第一象限抛物线上的动点，则△ACD面积的最大值是_____
11．已知抛物线经过A（﹣4，0）、B（0，﹣4）、C（2，0）三点，若点M为第三象限内抛物线上一动点，△AMB的面积为S，则S的最大值为_____．
三、解答题
12．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过A（﹣4，0），C（2，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
13．如图，抛物线经过A（4，0）、B（1，0）、C（0，-2）三点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点D，当△ACD的面积最大时，求出点D的坐标；
（3）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，已知抛物线y＝ax2＋2x＋c的顶点为A(―1，―4)，与y轴交于点B，与x轴负半轴交于点C．
（1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）点P为第三象限内抛物线上的一动点，连接BC、PC、PB，求△BCP面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）点E为抛物线上的一点，点F为x轴上的一点，若四边形ABEF为平行四边形，请直接写出所有符合条件的点E的坐标．
15．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3，顶点为M．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ＝m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；
(3)探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
16．如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为，顶点C的坐标为．
(1)求二次函数的解析式和直线BD的解析式；
(2)点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；
(3)在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．
17．如图，已知抛物线经过，，三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点为第三象限内抛物线上一动点，点的横坐标为，的面积为．求关于的函数关系式，并求出的最大值．
18．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
(1)求该抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)若P是线段OB上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交BC于点N，设OP＝t时，△BCH的面积为S．求S关于t的函数关系式；若S有最大值，请求出S的最大值，若没有，请说明理由．
(3)若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
19．在平面直角坐标系中，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AB∥x轴，如图1，C(1，0)，且OC：OA＝AC：BC＝1：2．
(1)A点坐标为______，B点坐标为______；
(2)求过A、B、C三点的抛物线表达式；
(3)如图2，抛物线对称轴与AB交于点D，现有一点P从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一点Q从点D与点P同时出发，以每秒5个单位在抛物线对称轴上运动．当点P到达B点时，点P、Q同时停止运动，问点P、Q运动到何处时，△PQB面积最大，试求出最大面积．
20．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为C（3，6），并与y轴交于点B（0，3），点A是对称轴与x轴的交点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP的面积的最大值；
(3)如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
21．已知抛物线与x轴交于，两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接BC，且，如图所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设P是线段CD上的一个动点，过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作交抛物线于点F，连接FB，FC．
①求面积最大值时，点P的坐标；②当面积等于最接近最大值的整数时，直接写出此时点P的坐标．
22．如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于点B（1，0）点，与y轴交于点C（0，3），对称轴l与x轴交于点F，点E是直线AC上方抛物线上一动点，连接AE、EC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当四边形AECO面积最大时，求点E的坐标；
(3)在（2）的条件下，连接EF，点P是x轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
23．如图，抛物线y＝ax2＋3ax＋c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），且OC＝3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点A的坐标；
（3）若点D是在第三象限抛物线上的动点，连接AD、OD．设点D的横坐标为m，△ADO面积为s，求s关于m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围；请问当m为何值时，s有最大值？最大值是多少．
24．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，且与直线在第二象限交于点，过点作轴，垂足为点．若是直线上方该抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交于点，连接，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求的面积的最大值；
（3）连接交于点，如图2，线段与能否互相平分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由．
25．如图①，抛物线经过点，点和点，它的对称轴为直线，顶点为．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）如图②，点是直线下方该抛物线上的一个动点，连接、、，当的面积取得最大值时，求点的坐标；
（3）如图③，点是直线下方该抛物线上的一个动点，过点作直线于，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，求点的坐标．
26．如图所示，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．
（1）求点C及顶点M的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得PA+PC的值最小，请求出点P的坐标并求出最小值；
（3）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求面积的最大值及此时点N的坐标．
27．二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为．
（1）求的值；
（2）如图①，是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当的垂直平分线恰好经过点时，求点的坐标；
（3）如图②，是该二次函数图象上的一个动点，连接，取中点，连接，当的面积为时，求点的坐标．
28．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．
（1）求抛物线的解析式及点B坐标；
（2）试探究的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
（3）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求面积 的最大值，并求出此时M点的坐标．
29．如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象交x轴于A．D两点，并经过B点，对称轴交x轴于点C，连接BD，BC，已知A点坐标是（1，0），B点的坐标是（4，3）．
（1）求二次函数的解析式，函数图象的顶点坐标及D点的坐标；
（2）抛物线上有一个动点P，与A．D两点构成△ADP，是否存在S△ADP＝S△BCD？若存在，请写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在．请说明理由．
【基础训练】
一、单选题
1．如图，抛物线的顶点为P，将抛物线向右平移3个单位后得到新的抛物线，其顶点记为M，设两条抛物线交于点C，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．已知二次函数y＝2x2和一次函数y＝3x﹣1两函数图象交于点A、B，则A、B与二次函数的顶点O组成的△OAB的面积为（ ）
A． B． C． D．1
3．已知二次函数的图象交轴于两点．若其图象上有且只有三点满足，则的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
4．抛物线y＝x ＋2x－3与y轴交于点C，与x轴交于点A，B（A点在B点左侧），点P是抛物线上的动点，当△PAC的面积为下列何值时，满足条件的点P有且只有三个（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点A（a，b）是抛物线上一动点，OB⊥OA交抛物线于点B（c，d）．当点A在抛物线上运动的过程中（点A不与坐标原点O重合），以下结论：①ac为定值；②ac=﹣bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．二次函数y=x2﹣8x+15的图象与x轴相交于M，N两点，点P在该函数的图象上运动，能使△PMN的面积等于的点P共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点D是直线BC上方的抛物线上的一个动点，连结DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．9
二、填空题
8．如图，直线与坐标轴交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点，过点P作轴的平行线交直线于点Q，△OPQ绕点O顺时针旋转45°，边PQ扫过区域（阴影部分）面积的最大值是_____________
9．已知抛物线y＝x2＋2x﹣3的图象与x轴交于A，B两点，在抛物线上存在一点P，使△ABP的面积为10，则点P的坐标为_______________．
10．如图，二次函数y＝﹣x2+x+2交x轴于点A.B（A在B的右侧），与y轴交于点C，D为第一象限抛物线上的动点，则△ACD面积的最大值是_____
11．已知抛物线经过A（﹣4，0）、B（0，﹣4）、C（2，0）三点，若点M为第三象限内抛物线上一动点，△AMB的面积为S，则S的最大值为_____．
三、解答题
12．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过A（﹣4，0），C（2，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
13．如图，抛物线经过A（4，0）、B（1，0）、C（0，-2）三点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点D，当△ACD的面积最大时，求出点D的坐标；
（3）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，已知抛物线y＝ax2＋2x＋c的顶点为A(―1，―4)，与y轴交于点B，与x轴负半轴交于点C．
（1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）点P为第三象限内抛物线上的一动点，连接BC、PC、PB，求△BCP面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）点E为抛物线上的一点，点F为x轴上的一点，若四边形ABEF为平行四边形，请直接写出所有符合条件的点E的坐标．
15．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3，顶点为M．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ＝m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；
(3)探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
16．如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为，顶点C的坐标为．
(1)求二次函数的解析式和直线BD的解析式；
(2)点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；
(3)在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．
17．如图，已知抛物线经过，，三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点为第三象限内抛物线上一动点，点的横坐标为，的面积为．求关于的函数关系式，并求出的最大值．
18．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
(1)求该抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)若P是线段OB上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交BC于点N，设OP＝t时，△BCH的面积为S．求S关于t的函数关系式；若S有最大值，请求出S的最大值，若没有，请说明理由．
(3)若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
19．在平面直角坐标系中，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AB∥x轴，如图1，C(1，0)，且OC：OA＝AC：BC＝1：2．
(1)A点坐标为______，B点坐标为______；
(2)求过A、B、C三点的抛物线表达式；
(3)如图2，抛物线对称轴与AB交于点D，现有一点P从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一点Q从点D与点P同时出发，以每秒5个单位在抛物线对称轴上运动．当点P到达B点时，点P、Q同时停止运动，问点P、Q运动到何处时，△PQB面积最大，试求出最大面积．
20．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为C（3，6），并与y轴交于点B（0，3），点A是对称轴与x轴的交点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP的面积的最大值；
(3)如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
21．已知抛物线与x轴交于，两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接BC，且，如图所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设P是线段CD上的一个动点，过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作交抛物线于点F，连接FB，FC．
①求面积最大值时，点P的坐标；②当面积等于最接近最大值的整数时，直接写出此时点P的坐标．
22．如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于点B（1，0）点，与y轴交于点C（0，3），对称轴l与x轴交于点F，点E是直线AC上方抛物线上一动点，连接AE、EC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当四边形AECO面积最大时，求点E的坐标；
(3)在（2）的条件下，连接EF，点P是x轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
23．如图，抛物线y＝ax2＋3ax＋c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），且OC＝3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点A的坐标；
（3）若点D是在第三象限抛物线上的动点，连接AD、OD．设点D的横坐标为m，△ADO面积为s，求s关于m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围；请问当m为何值时，s有最大值？最大值是多少．
24．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，且与直线在第二象限交于点，过点作轴，垂足为点．若是直线上方该抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交于点，连接，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求的面积的最大值；
（3）连接交于点，如图2，线段与能否互相平分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由．
25．如图①，抛物线经过点，点和点，它的对称轴为直线，顶点为．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）如图②，点是直线下方该抛物线上的一个动点，连接、、，当的面积取得最大值时，求点的坐标；
（3）如图③，点是直线下方该抛物线上的一个动点，过点作直线于，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，求点的坐标．
26．如图所示，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．
（1）求点C及顶点M的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得PA+PC的值最小，请求出点P的坐标并求出最小值；
（3）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求面积的最大值及此时点N的坐标．
27．二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为．
（1）求的值；
（2）如图①，是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当的垂直平分线恰好经过点时，求点的坐标；
（3）如图②，是该二次函数图象上的一个动点，连接，取中点，连接，当的面积为时，求点的坐标．
28．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．
（1）求抛物线的解析式及点B坐标；
（2）试探究的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
（3）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求面积 的最大值，并求出此时M点的坐标．
29．如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象交x轴于A．D两点，并经过B点，对称轴交x轴于点C，连接BD，BC，已知A点坐标是（1，0），B点的坐标是（4，3）．
（1）求二次函数的解析式，函数图象的顶点坐标及D点的坐标；
（2）抛物线上有一个动点P，与A．D两点构成△ADP，是否存在S△ADP＝S△BCD？若存在，请写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在．请说明理由．