【暑假专项培优】专题13 数轴与动点行程问题—小升初奥数思维之典型应用题精讲精练讲义（通用版）
文档属性
| 名称 | 【暑假专项培优】专题13 数轴与动点行程问题—小升初奥数思维之典型应用题精讲精练讲义（通用版） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-26 15:30:59 | ||
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文档简介
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小升初奥数思维之典型应用题精讲精练讲义（通用版）
专题13 数轴与动点行程问题
【第一部分：知识归纳】
一、基本概念
1、数轴与动点行程问题是借助数轴研究点的运动规律的行程问题。
2、特点：
（1）直观性强：运动过程可在数轴上清晰展示
（2）方向明确：正方向表示正向运动，负方向表示反向运动
（3）位置精确：点的位置可用具体数值表示
3、核心要素
（1）原点：数轴的基准点（通常记为0）
（2）动点：在数轴上运动的点
（3）运动方向：向右为正方向，向左为负方向
（4）运动速度：单位时间内移动的单位长度
二、基本公式与关系
1. 位置计算公式
t时刻的位置 = 初始位置 ± 速度 × 时间
（"+"表示正方向运动，"-"表示负方向运动）
2. 相遇条件
两个动点位置相同：P (t) = P (t)
3. 追及条件
同向运动时，后面的点位置赶上前面的点
三、常见题型与解题方法
1. 单动点基础问题
例题：点A从数轴原点出发，以每秒2个单位的速度向右运动。5秒后A点的位置是多少？
解答：位置 = 0 + 2×5 = 10
2. 双动点相遇问题
例题：点P从+3出发以1单位/秒向左运动，点Q从-5出发以2单位/秒向右运动。它们何时相遇？
解答：设t秒后相遇：
3 - 1t = -5 + 2t
8 = 3t
t = 8/3秒 ≈ 2.67秒
3. 动点往返问题
例题：第一阶段：-2 + 3×4 = 10
第二阶段：10 - 2×3 = 4
最终位置：4
四、解题技巧
1、画数轴示意图：标出初始位置和运动方向
2、建立时间轴：记录各时间段运动情况
3、分段计算：对变速运动分段处理
4、代数方法：设未知数列方程求解
5、单位统一：确保时间和速度单位一致
【第二部分：能力提升】
1．一个圆周长70厘米，甲、乙两只爬虫从同一点同时出发，同向爬行。甲以4厘米/秒的速度不停地爬行，乙爬行15厘米后，立即反向爬行，并且速度增加1倍。如果乙在离出发点10厘米处与甲第一次迎面相遇，则乙爬虫原来的速度是多少厘米/秒
2．学习编程的奇奇最近编写了一套程序．让一只电子鼠P从长方形ABCD的点A出发，沿着长方形的边依次向B，C，D以每秒1厘米的速度移动．已知AB＝12厘米，ED＝DA＝6厘米。
（1）电子RP从A点出发几秒后，三角形APE是等腰直角三角形
（2）当电子鼠P到达C时，另一只电子鼠Q以每秒2厘米的速度从A点出发．沿AB向B点移动．
①电子鼠Q从A点出发几秒后，四边形AQPE是梯形
②当∠QPD＝45°时，四边形AQPE的面积是多少平方厘米
3．学习编程的奇奇最近编写了一套程序，让一只电子鼠P从长方形ABCD的点A出发，沿着长方形的边依次向B、C、D以每秒1厘米的速度移动，已知厘米，厘米，
（1）电子鼠P从A点出发几秒后，三角形APE是等腰直角三角形
（2）当电子鼠P到达C时，另一只电子鼠Q以每秒2厘米的速度从A点出发，沿AB向B点移动，
①电子鼠Q从A点出发几秒后，圆边形AQPE是梯形
②当∠QPD=45°时，四边形AQPE的面积是多少平方厘米
4． 两只蚂蚁同时从一个等腰三角形的顶点出发(如右下图)，分别沿两腰爬行，一只蚂蚁每分钟爬行0.2米，另一只蚂蚁每分钟爬行0.25米，经过50分钟，在离底边的一端7.5米的地方相遇。这个地方离底边的另一端有多少米？
5．如图，81个边长为1的小正方形组成正方形ABCD，我们把小正方形的顶点都称为格点。
（1）若在正方形ABCD的四个角处都剪掉四个相等的小正方形后，剩余部分恰好能折叠成一个无盖的正方体，求出该正方体的体积。
（2）蚂蚁要沿着小正方形的边从点A出发爬到点C，只能向右或向上爬，速度是每秒钟爬两个单位，请说明：蚂蚁爬达终点的时间是否会随着爬行路径的不同而发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，求出这个时间。
（3）真真和诚诚利用该正方形ABCD做游戏，规定从A点出发，每次只能沿小正方形的边向右或向上走，每次只能走1个或两个单位长度，谁先到达C点谁获胜。真真先走，诚诚后走。请问：两个同学中谁有必胜把握？怎样操作才能必胜？
6．如图所示，甲从A点出发，在AD之间不断往返行走。乙从B点出发，沿着B—E—C—B围绕等边三角形BEC不断行走，已知AB＝80米，BE＝EC＝CB＝100米，CD＝120米，甲的速度是5米/秒，乙的速度是4米/秒，问：甲第一次从背后追上乙的地点离B点多少米？
7．如图， 在长方形 ABCD中， . 点P从点A出发， 沿A—B—C—D路线运动，到D停止：点P的速度为每秒 1cm，a秒时点P的速度变为每秒 bcm，图②是点P出发x秒后。 的面积 与x(秒) 的关系图象；
（1） 根据图像提供的信息， = 。
（2） 点P出发后几秒， 的面积； 是长方形ABCD 面积的四分之一？
8．学习编程的奇奇最近编写了一套程序，让一只电子鼠P从长方形ABCD的点A 出发，沿着长方形的边依次向B，C，D以每秒1厘米的速度移动. 已知 厘米， 厘米.
（1） 电子鼠P从A点出发几秒后，三角形APE是等腰直角三角形？
（2） 当电子鼠 P到达C时，另一只电子鼠Q以每秒2厘米的速度从A点出发. 沿AB向B点移动.
①电子鼠Q从A 点出发几秒后，四边形AQPE是梯形？
②当 时，四边形AQPE 的面积是多少平方厘米？
9． 在一个边长为108厘米的等边三角形中，甲与乙两只蚂蚁分别从A、C两点同时以4：5的速度，按相反方向出发，第一次相遇后，甲停下10秒后按原速度出发，乙不停留，还增加了的速度出发，第二次刚好在B与C的中点相遇，那么甲的速度是多少？乙的速度是多少？
10．如图，一根木棒放在有刻度的直线上，木棒的左端与点A重合，右端与点B重合。
（1）若将木棒沿直线向右水平移动，则当它的左端移动到B点时，它的右端在直线上所对应的数为20cm；若将木棒沿直线向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在直线上所对应的数为5cm。由此可得到木棒长为 cm。
（2）由题⑴的启发，请你借助这个工具帮助小红解决下列问题：
一天，小红去问爷爷的年龄，爷爷说：我若是你现在这么大，你还要40年体出生，你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了，哈哈!”请求出爷爷现在多少岁
11．如图，在射线OM上有三点A，B，C，满足OA=20cm，AB=60cm，BC=10cm（如图所示），点P从点O出发，沿OM方向以1cm/s的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动，两点同时出发。
（1）当P在线段AB上，且PA=2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点，求点Q运动的速度；
（2）若点Q运动的速度为3cm/s，经过多长时间P、Q两点相距70cm；
（3）当点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E，F，求的值。
12．点M，N在数轴上分别表示有理数m，n且满足(m+4)2+|n-4|=0。现将数轴在点M，N处剪断，再用绳子将它们连接，就可得到如图所示的“拱形数轴"，其中点S为绳子上一点且满足MS=NS，在此数轴上，我们定义任意两点的距离为它们之间折线段的长度之和，如图1，A，两点的距离为线段A的长，记为DAM=AM，记A，B两点的距离为DAB=BN+NS+SM+MA。
（1）请直接写出m= ，n= ；
（2）若MS=6，点B在数轴上表示有理数6，一动点P从点M出发以每秒3个单位长度沿“拱形数轴”
向正方向运动，同时，另一动点Q从点B出发以每秒1个单位长度沿“拱形数轴”向负方向运动，两个点运动到点S处均停止，设运动时间为t秒，请间t取何值时，使得DPN+DQN=DMN-2。
（3）如图2，已知MS=9，动点P从点川出发以每秒2个单位长度沿着“拱形数轴”向正方向运动，同时点Q从点N出发，以每秒1个单位长度沿着“拱形数轴”向负方向运动：两点相遇后，点P速度立即变为原来的一半并沿着“拱形数轴”向负方向运动，同时点Q保持速度不变并沿着“拱形数轴”向正方向运动，设运动时间为t秒，是否存在t使得DPM=3DQN？如果存在，请直接写出出t的值，如果不存在，请说明理由。
13．如图，点M，N分别是边长为4米的正方形ABCD的一组对边AD，BC 的中点，P，Q两个动点同时从M出发，P沿正方形的边逆时针方向运动，速度是1米/秒；Q沿正方形的边顺时针方向运动，速度是2米/秒。求：
（1）第1秒时 的面积；
（2）第15 秒时 的面积；
（3）第2015 秒时 的面积。
14．如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是-1，B点对应的数是8，C是线段AB上一点，满足。
（1）求C点对应的数；
（2） 动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止。在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止.设点N的运动时间为t秒。问当时，求t的值？
15．如图，已知点A、B、C是数轴上三点，点C表示的数为3，BC=2，AB=6．
（1）数轴上点A表示的数为 ，点B表示的数为 ；
（2）动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为AP的中点，点N在线段CQ上，且，设运动时间为秒。
①求数轴上M、N表示的数；（用含t的式子表示）
②当t为何值时，原点O恰好是线段PQ的中点
16．如图，在长方形ABCD 中，AB=12cm，AD-=8cm。点P、Q都从点A同时出发，点P向B点运动，点Q向D点运动，且保持，AP=AQ，在这个变化过程中，图中阴影部分的面积液随之变化，当AP由2cm变到8cm时，图中阴影部分的面积是增加了，还是减少了？增加或减少了多少平方厘米？
17． 一点从数轴上表示-2的点开始移动，第一次先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度：第二次向左移动2个单位长度，向右移动4个单位长度；第三次先向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度……求：
（1）写出第一次移动后点在数轴上对应的数；
（2） 写出第二次移动后点在数轴上对应的数：
（3） 写出第三次移动后点在数轴上对应的数；
（4）按上述规律第次移动后点在数轴上对应的数
18．如图，在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝4cm，动点P从点A出发，以2cm/s速度沿AB—BC—CD—DA的线路运动，同时动点Q从B出发，以1cm/s的速度沿BC—CD的线路运动，设运动的时间为t（s）。（）
（1）当点P在AB—BC上运动时，
①用含t的代数式表示线段BP的长度。
②当BQ＝2BP时，求t的值。
（2）动点M从D点出发，以每秒4cm/s的速度在线段DC上作往返运动，点M与点P同时出发，当点P停止运动时，点M也停止运动，连接PQ，
③当点P与点M第一次重合时，求t的值，并直接写出此时线段DP的长度。
④当点M落在线段PQ上时，直接写出t的取值范围。
19． 如图①， 在长方形 ABCD中， AB=10cm， BC=8cm， 点P从A出发，沿 A→B→C→D路线运动，到D停止； 点P出发时的速度为每秒1cm，a秒时点P的速度变为每秒 bcm，图②是点 P出发x秒后，△APD的面积S（c㎡） 与x（s） 的函数关系图象.
（1）根据题目中提供的信息，求出图②中a，b，c的值；
（2） 设点P运动的路程为 y（cm）
①7s时， y的值为 cm；
②请写出当点P改变速度后，y与x的函数关系式 ；
（3）当点P出发后几秒时，△APD的面积S是长方形 ABCD面积的 ？
20．如图①，在长方形ABCD中，AB=10cm， BC=8cm， 点P从A出发，沿A、B、C、D路线运动，到D停止；点P的速度为每秒1cm，a秒时点P中的速度变为每秒b厘米；图②是点P出发x秒后，△APD的面积S(Cm2)与×(s)的变化关系图象。根据图②中提供的信息，求a、b及图②中c的值。
21．如图，正方形ABCD的边长为2cm，点E是CD边的中点，正方形ABCD边上的一动点P从点A出发（不与点A重合），沿方向运动（不与点E重合），设点P运动路程为xcm，探究：
（1）当点P运动到与点B重合时，三角形APE的面积为 平方厘米。
（2）在正方形ABCD的边上是否存在点P，使三角形APE的面积为平方厘米？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由。
22．如图，在直线上有 A、O、B三点，其中 AO=2cm，B0=6cm，若在点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个厘米1秒的速度向左移动：同时另一小球乙从点B处以2厘米/秒的速度也向左移动，在碰到挡板后(忽略球的大小，可看作一点)以原来速度的 1.5倍向相反的方向运动，设运动的时间为t(秒)，
（1）当t=10时，求甲，乙两小球到0点的距离；
（2）当t为何值时，甲、乙两小球到0点的距离相等.
23．如图为一个阶梯的纵截面，一只老鼠沿长方形的两边A→B→D路线逃跑，一只猫同时沿阶梯(折线)A→C→D的路线去做捉，结果在距离点C点1.5米的D处，猫捉住了老鼠，已知老鼠的速度是猫的，问阶梯A→C的长度是多少米
24．如图，正方形ABCD的边长为2cm，在对称中心O处有一钉子。动点P、Q同时从点A出发，点P沿A~B~C~D方向以每秒2cm的速度运动，到点D停止：点Q沿A~D方向以每秒1cm的速度运动，到点D停止。P、Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋连接，设x秒后橡皮筋扫过的面积为y。
（1）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x的位。
（2）当时y的值。
（3）在橡皮筋从触及钉子到运动停止的过程中，直接写出∠POQ为直角时x的数值。
25．如图①，在长方形ABCD中， AB=10cm， BC=8cm，点P从A出发，沿A、B、C、 D路线运动，到D停止；点P的速度为每秒1cm， a秒时点P中的速度变为每秒b厘米；图②是点P出发x秒后，△APD的面积3(cm2 )与x (s)的变化关系图像。根据图②中提供的信息，求a、 b及图②中c的值。
26．8点 10 分， 有甲乙两人以相同的速度分别从相距 60 米的 两地按顺时针方向沿长方形 ARCD的边走向D点， 如下图， 甲 8 点 20 分到 D点后， 丙、丁两人立即以相同速度从D点出发。丙由D点向A点走去， 8 点24分与乙在E点相遇； 丁由D点向C点走去， 8 点 30 分在 F点被乙追上， 求 的面积？
27．阅读理解：线段上的一点把线段分成相等的两部分，这个点叫作线段的中点。如图①，P点是线段MN的中点，则 如图②，B点是线段AD上的一个动点，从A点到D点以2cm/s的速度运动，C点是线段 BD的中点，
（1）当B点的运动时间是x秒时， cm，BD= cm。
（2）B点的运动时间是x秒，当 时， cm。
（3）如图③，在运动过程中，E点是线段AB的中点。下面小凯的说法正确吗？ 说一说你的想法。
参考答案及试题解析
1．解：离出发点 10 cm有甲爬行10 cm，70-10=60cm，70+10=80cm 三种情况。
（1）当甲爬行10 cm时，甲所用的时间为
乙在此过程中分为两个阶段，第一阶段乙爬行15 cm，第二阶段爬行：
两段速度比为1∶2
两段路程比为3：1
两段时间比为
第一段乙用时 乙原来速度为
（2）当甲爬行60 厘米时，甲所用时间为
乙在此过程中分为两个阶段，第一阶段乙爬行15 cm，第二阶段爬行
两段速度比为1 ：2，两段路程比为：
两段所用时间比 第一阶段乙用
乙原来的速度：
⑶当甲爬行80cm时，甲所用的时间为
乙在此过程中分为两个阶段，第一阶段乙爬行15 cm，第二阶段乙爬行15-10=5（cm）。
两段速度比1：2，路程比为15：5 = 3 ：1。
两段所用时间比 第一阶段乙用了
乙原来的速度为
因此，乙爬虫原来的速度为7cm/s或- 或
【解析】为了解决这个问题，我们需要分析甲和乙的爬行过程，特别是在它们第一次相遇时的情况。由于甲和乙的速度不同，以及乙的速度变化和方向改变，我们需要分情况讨论，分别计算在不同情况下乙的原始速度。
2．（1）解：当电子鼠P爬到和B点重合时，AB=12厘米，故此时需要的时间为12秒。
当爬到CD边的中点时AB=12厘米，BC=DA=6厘米，故此时需要的时间为24秒。
答： 从A点出发12；24秒后
（2）解： ①设电子鼠Q从A点出发x秒后四边形AQPE是梯形。因此当P和Q在同一条直线上时，四边形AQPE成为梯形。此时，AP=12-x，AQ=2x，
12-x=2x
解得：x=4
答： 出发4秒后，四边形AQPE是梯形
②当∠QPD=45度时，PF=FQ=DA=6厘米，PC+AQ=6厘米。AQ=2PC。解这个方程，AQ=4厘米。
四边形AQPE可以分割成一个梯形AQPD和一个三角形PDE，其面积分别为42平方厘米和30平方厘米，因此四边形AQPE的面积为72平方厘米。
答： 四边形AQPE的面积是72平方厘米
【解析】（1）首先要理解等腰直角三角形的定义，然后分析出有两种情况：爬到和B点重合；爬到CD边的中点，进行计算即可。
（2）首先，通过解析电子鼠P的移动路径，确定它何时会与长方形的顶点B、C、D重合，从而计算出等腰直角三角形APE的形成时间。对于第二个问题，首先确定电子鼠Q出发的时间，并分析它在移动过程中四边形AQPE何时会变成梯形。最后，利用几何知识计算出四边形AQPE的面积。
3．（1）解：如图
当电子鼠P爬到和B点重合时，三角形APE第一次成为等腰直角三角形，需要：12+1=12 (秒)
当爬到CD边的中点时，三角形APE第二次成为等腰直角三角形，需要： (12+6+6) +1=24+1=24 (秒)
答：电子鼠P从A点出发12秒后，三角形APE第一次成为等腰直角三角形；经过24秒后，三角形APE第二次成为等腰直角三角形。
（2）解：①如图，
设电子鼠Q从A点出发x秒后四边形AQPE是梯形，
12-x=2x
3x=12
x=4
答：电子鼠Q从A点出发4秒后，四边形AQPE是梯形。
② 如图
图中电子鼠Q从A点向上运动，电子鼠P同时从C点向下运动时，当∠QPD=45°时，PF=6cm，PC+AQ=6cm。又因为电子鼠Q的速度是电子鼠P的
2倍，所以电子鼠Q行驶路程也是电子鼠P的2倍，AQ==4 (cm) 。而四边形AQPE为四边形，可以将其分割成一个梯形AQPD和一个三角形PED，分别求出这两个图形面积是： (4+10) x6+2=42(cm2)
6x10+2=30 (cm2)
所以四边形面积为42+30=72 (cm2) 。
答：四边形AQPE的面积是72平方厘米。
【解析】（1） 电子鼠P从A点出发 ，要使三角形APE是等腰直角三角形，需要分情况讨论：①当电子鼠P爬到和B点重合时，三角形APE第一次成为等腰直角三角形； ② 当爬到CD边的中点时，三角形APE第二次成为等腰直角三角形。分别计算出这两种情况时所需的时间即可
（2）①设电子鼠Q从A点出发x秒后四边形AQPE是梯形，按路线画出图形：
根据路线，列出方程：12-x=2x，即可计算
② 如图，
要使∠QPD=45°，需要分别求出梯形AQPD和一个三角形PED的面积，然后将其相加即可求解
4．解：根据题意及图形所示，可得
较快的蚂蚁比较慢的蚂蚁多走：
（0.25-0.2）×50
=0.05×50
=2.5（米）
这个地方离底边的另一端有：
7.5-2.5=5（米）
答：这个地方离底边的另一端有5米
【解析】先求出较快的蚂蚁比较慢的蚂蚁多行驶的路程，7.5米减去多行驶的路程正好是到另一端的距离。
5．（1）解：根据题意，可得
81=9×9
9=3×3
9-3×2=3
3×3×3=27
答：正方体的体积是27。
（2）解：根据题意，可得
（9+9）÷2
=18÷2
=9（秒）
答：爬到终点的时间不发生变化，始终是9秒。
（3）解：根据题意，可得
9+9=18
18÷（2+1）
=18÷3
=6
答：诚诚必胜，真真走1步，诚诚就走2步，真真走2步，诚诚走1步，诚诚每次和真真走的步数和为3，诚诚肯定先走到C点。
【解析】（1）正方形ABCD由81个边长为1的小正方形组成，每个角处剪掉9个相等的正方形。每个角剪掉的正方形边长为3，因9=3×3。剪掉四个角后，剩余部分的面积为81 4×9=81 36=45。剩余部分可以折叠成一个无盖的正方体。正方体的边长为3，因为45=3×3×5。正方体的体积为3×3×3=27。
（2）蚂蚁从点A到点C需要爬行的总距离为9+9=18个单位。蚂蚁的速度是每秒钟爬两个单位，因此蚂蚁爬到终点的时间为18÷2=9（秒），由于蚂蚁只能向右或向上爬，所有路径的总距离都是18个单位，因此蚂蚁爬到终点的时间不会随着爬行路径的不同而发生变化。
（3）从点A到点C需要走的总步数为9+9=18步。真真和诚诚每次只能走1步或2步，且每次只能走一个或两个单位长度。诚诚每次和真真走的步数和为3，即真真走1步，诚诚就走2步；真真走2步，诚诚就走1步。这样诚诚每次都能保证自己走的步数和真真走的步数和为3。
6．解：100x2÷4=50(秒)
100x3÷4=75(秒)
乙在C到B的时间段是：50--75；125--150；200--225等.
甲在由C到B的方向上，到达C的时间是：
(80+40+120x2)-5=84(秒)；204；324等
204-200=4(秒)
4x4÷(5-4)= 16(秒)
100-16x5=20(米)
答：甲第一次从背后追上乙的地点离B点20米。
【解析】由已知条件和图形可知：甲要从背后追上乙，必须具备2个条件：一是方向是由C向B；二是在同一时间甲到C点而乙过C点不久。
乙在C到B的时间段是：100x2-4=50(秒)---100x3-4=75(秒)；125--150；200--225等等甲在由C到B的方向上，到达C的时间是：(80+40+120x2)-5=84(秒)；204；324等.对照可得，符合要求的时间是204秒，即此时乙刚过C点4秒，距C点是4x4=16(米)，甲追上乙用时是16÷(5-4)=16(秒)，此时甲已离开C的距离是16x5=80米，再求离B距离即可.
7．（1）6
（2）解：∵a=6，b=2，
∴动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式为：y=6+2（x﹣6）=2x﹣6
①当0≤x≤6时
AP=x（cm）
S△APD==4x
②当6＜x≤8时
AP=6+（x﹣6）×2=2x﹣6
S△APD==8x﹣24
③当x运动到C点时
2x﹣6=18解得：x=12
即：8＜x≤12时
S△APD==40
④当12＜x≤17时
DP=2DC+BC﹣（2x﹣6）=﹣2x+34
S△APD==﹣8x+136
综上：S△APD=；
S△APD=
①4x=20时，x=5∈[0，6]，符合
②2x﹣6=20时，x=13（6，8]，舍去
③8＜x≤12时，S△APD=40≠24，舍去
④﹣8x+136=20，x=14.5∈（8，12]，符合
所以点P出发后5秒或14.5秒，△APD的面积S1是长方形ABCD面积的
【解析】解：根据图象可知
S△APD=
∴a=6
故答案为：6
【分析】（1）根据三角形的面积公式可求a的值；
（2）①P在AB上运动时，S△APD=，AP为运动时间t的一次函数；
②P在BC上运动时S△APD=为定值．
③P在DC段上运动时，S△APD=．DP为P点运动时间的一次函数．
先计算△APD的面积，然后将计算出来的数值代入所求函数的不同分段，解出对应的x的值，若解出的x值在对应的分段区间内，则x的值即为所求的解，反之则不是．
8．（1）解：如图：
当电子鼠P爬到和B点重合时，三角形APE第一次成为等腰直角三角形，
需要：12÷1=12（秒）
当爬到CD边的中点时，三角形APE第二次成为等腰直角三角形，
需要：（12+6+6）÷1
=24÷1
=24（秒）
答：电子鼠P从A点出发12秒后，三角形APE第一次成为等腰直角三角形；经过24秒后，三角形APE第二次成为等腰直角三角形。
（2）解： ①如图：
可设电子鼠Q从A点出发x秒后四边形AQPE是梯形，
12-x=2x
3x=12
x=4
答：电子鼠Q从A点出发4秒后，四边形AQPE是梯形。
②如图：
图中电子鼠Q从A点向上运动，电子鼠P同时从C点向下运动时，当∠QPD=45°时，PF=6cm，PC+AQ=6cm。又因为电子鼠Q的速度是电子鼠P的2倍，所以电子鼠Q行驶路程也是电子鼠P的2倍，AQ= 。而四边形AQPE为四边形，可以将其分割成一个梯形AQPD和一个三角形PED，分别求出这两个图形面积是：（4+10）×6÷2=42（cm2）
6×10÷2=30（cm2）
所以四边形面积为42+30=72（cm2）。
答：四边形AQPE的面积是72平方厘米。
【解析】由图可知：当电子鼠P爬到和B点重合时，三角形APE第一次成为等腰直角三角形；当爬到CD边的中点时，三角形APE第二次成为等腰直角三角形；然后求出A点到B点的距离及A点到CD中点的距离，进而根据：路程÷速度=时间，分别解答即可。
（2）①当DP∥AQ时，AQPE就是梯形，可设电子鼠Q从A点出发x秒后四边形AQPE是梯形，列式为12-x=2x，解答即可。
②当∠QPD=45°时，PF=6cm，PC+AQ=6cm。又因为电子鼠Q的速度是电子鼠P 的2倍，所以电子鼠Q行驶路程也是电子鼠P 的2倍，AQ=，然后将其分割成一个梯形AQPD 和一个三角形PED，分别求出这两个图形面积，进一步解答即可。
9．解：如图
开始时，甲乙蚂蚁的速度比是4：5，则路程比也是4：5
所以，甲蚂蚁爬行的路程为108×2÷(4+5)×4=96(厘米)，
乙蚂蚁爬行的路程为108×2 96=120(厘米)，由于第二次甲与乙蚂蚁在BC中点相遇，
则由第一次相遇到第二次相遇甲蚂蚁爬行的路程是120 108÷2=66(厘米)，
乙蚂蚁爬行的路程是96+108+108÷2=258(厘米).
由于第一次相遇后乙蚂蚁增加了15的速度，所以，相遇后甲乙蚂蚁的速度比为4：(5×15)=2：3，
故甲蚂蚁爬行66厘米路程时，乙蚂蚁爬行的路程是66÷2×3=99(厘米)，
则甲蚂蚁停留的10秒钟，乙蚂蚁爬行的距离是258 99=159(厘米)，
乙最初的爬行速度是159÷10÷(1+15)=13.25(厘米/秒)
甲的速度是13.25÷5×4=10.6(厘米/秒)，
答：甲的速度是10.6厘米/秒，乙的速度是13.25厘米/秒。
【解析】先根据甲乙蚂蚁的速度比求出第一次相遇时，甲乙蚂蚁爬行的路程，再求出第一次相遇后，甲乙蚂蚁的速度比，进而求出甲蚂蚁停留的10秒钟，乙蚂蚁所爬行的路程，即可得出结论．
10．（1）5
（2）解：把小红与爷爷的年龄差看做木棒AB，
类似爷爷比小红大时看做当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为-40，
小红比爷爷大时看做当B点移动到A点时，此时A点所对应的数为125，
∴可知爷爷比小红大[125-（-40）]÷3=55，可知爷爷的年龄为125-55=70．
答：爷爷的年龄是70岁.
【解析】（1）解：由数轴观察知三根木棒长是20-5=15（cm），则此木棒长为：15÷3=5cm，
故答案为：5
【分析】（1）此题关键是正确识图，由数轴观察即可得到木棒长。
（2）借助数轴用数形结合的方法求解．类似爷爷比小红大时看做当A点移动到B点时，求出此时B点所对应的数，小红比爷爷大时看做当B点移动到A点时，求出此时A点所对应的数，可知爷爷的年龄．
11．（1）解：当P在线段AB上时，因为P=2PB，AB=60cm
所以PA=60÷(1+2)×2=40(cm)
OP=0A+20=40+20=60(cm)，
又因为点P 从点O沿OM 方向以1cm/s 的速度勺速运动，
所以60÷1=60(秒)
即点P 运动时间为 60 秒。
若AQ=AB，则BQ=AB=×60=40（cm），CQ=BC+BQ=10+40=50（cm）
点Q的运动速度为：50÷60=（cm/s）
若BQ=AB=×60=20（cm），CQ=BC+BQ=10+20=30（cm）
点Q的运动速度为：30÷60=（cm/s）
答：当P在线段AB上时，点Q运动的速度是cm/s或cm/s。
（2）解：设运动时间为t秒，则：
t+3t=90+70或t+3t=90-70，
解得：t=40或5
因为点Q运动到点O时没法继续运动，所以点Q最多运动30秒。
即t=40(不合题意，舍去)
所以t=5。
QO=CB+BA+AO=10+60+20=90(cm)
90÷3=30(秒)
即当点Q运动 30秒到点O时，点Q没法运动，P，0距离为70cm，即OP=70cm，
70÷1=70(秒)
即运动时间为 70·秒。
故经过5秒或70秒，两点相距70cm。
答：经过5秒或70 秒时P、Q两点相距70cm。
（3）解：如下图所示：
设OP=xcm
点P在线段AB上，因为OA=20cm，AB=60cm
所以20≤x≤80
OB-AP=OA+AB-(OP-OA)=20+60-(x-20)=100-x
EF=OF-OE=OA+AB-OE=20+×60-x=50-x
所以==2
答：的值是2。
【解析】（1）从题中我们可以看出点P及Q是运动的，当PA=2PB时实际上是P正好到了AB的三等分点上，而且PA=40， PB=20.由速度公式就可求出P点的运动时间，也是点Q的运动时间，点Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点，由此就可求出CQ长和点Q的速度.
（2）若点Q运动速度为5cm/s，经过多长时间P、Q两点相距70cm，这也有两种情况即当它们相向而行时，和它们背向而行时，此题可设运动时间为t秒，列方程就可解了.
（3）此题就可把它当成一个静止的线段问题来解决了，但必须借助图形.
12．（1）-4；4
（2）解：∵n=4，
∴点N在数轴上表示有理数4，
∵点B在数轴上表示有理数6，
∴B点位置如图所示，
∵MS=SN=6，
由题意知，DPN=MS+NS-PM=12-3t，DQN=|6-4-t|=|2-t|，DMN=MS+SM=6+6=12，
∵DPN+DQN=DMN-2，
∴12-3t+|2-t|=12-2，
当t≥2时，12-3t+t-2=12-2，
∴t=0（舍去），
当0＜t＜2时，12-3t+2-t=12-2，
∴t=1时，使得DPN+DQN=DMN-2；
（3）解：存在t使得DPM=3DQN；理由如下，
∵MS=SN=9，
∴相遇时，两点各自运动的时间为（9+9）÷（2+1）=6（秒），
动点P从点M出发以每秒2个单位长度沿着“拱形数轴”向正方向运动，同时点Q从点N出发，以每秒1个单位长度沿着“拱形数轴”向负方向运动，
∴当0＜t＜6时，DPM=2t，DQN=t，
∴2t=3t，
∴t=0（舍去），
当t≥6时，DPM=12-（t-6）=18-t，DQN=6-（t-6）=12-t，
∴18-t=3（12-t），
∴t=9，
∴当t=9时，DPM=3DQN．
【解析】解：（1）点M，N在数轴上分别表示有理数m，n且满足（m+4）2+|n-4|=0，
∴m+4=0，n-4=0，
∴m=-4，n=4，
故答案为：-4，4；
【分析】（1）由题中条件，利用平方与绝对值非负性，结合非负式和为0的条件求解即可得到答案；
（2）由含t的代数式表示出DPN，DQN，DMN，再列方程求解即可得到答案；
（3）根据数轴上动点问题，分相遇前0＜t＜6和相遇后t≥6两种情况列方程求解即可得到答案；
根据题意，数形结合列方程求解是解决问题的关键．
13．（1）解：如图1
(平方米)
（2）解：如图2
(平方米)
（3）解：因为16÷1=16，16÷2=8，
所以每经过16秒，点P和点Q 都回到出发点M。
2015÷16=125……15(秒)
第2015 秒点 P、点Q 的位置与第15秒时相同，△NPQ 的面积是6平方米。
【解析】（1）第1秒时，P点移动1米，位于MD中点；Q点移动2米，恰好移动到D点。此时，△NPQ的底为正方形边长4米，高为3米（即MD的长度减去P点移动的距离），因此△NPQ的面积为：3×4÷2=6平方米。
（2）第15秒时，P点移动了15米，Q点移动了30米。由于正方形的周长为16米，P点会在16秒后回到M点，Q点则在8秒后回到M点。所以，第15秒时，P点位于MD中点，Q点位于A点，即Q点与A点重合。此时，△NPQ的底仍为4米，高为3米（与第1秒时相同），面积为：3×4÷2=6平方米。
（3）第2015秒时，P点和Q点的位置与第15秒时相同。由于2015÷16=125...15，表示P、Q完成了125圈循环后，还额外移动了15秒，即回到与第15秒时相同的位置。所以，第2015秒时，△NPQ的面积同样为6平方米。
14．（1）解：已知A点对应的数是 1，B点对应的数是8。
在数轴上，两点间的距离等于右边的点对应的数减去左边的点对应的数，所以AB=8 ( 1)=8+1=9。
因为BCAC =45 ，且AB=AC+BC=9，
设AC=5x，BC=4x，则5x+4x=9，即9x=9，
解得x=1。
所以AC=5×1=5，
BC=4×1=4。
C点在B点左侧，C点对应的数等于B点对应的数减去BC的长度，即8 BC=8 4=4。
答：C点对应的数是4。
（2）解：当M、N未相遇时
此时M在AC上运动，M运动的速度是每秒2个单位长度，运动时间为t秒，那么M表示的数是起始点A对应的数 1加上运动的距离2t，即 1+2t。
N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，运动时间为t秒，所以N表示的数是B点对应的数8减去运动的距离t，即8 t。
因为MN=4，所以N表示的数减去M表示的数等于4，可列方程：
8 t ( 1+2t)=4
解得，t=
当M、N相遇后
M从A点运动到C点所用时间为：，在C点停留2秒，所以M从A点出发到在BC上运动时，总共用时t秒，此时M表示的数是4+2(t 25 2)=4+2(t 29 )=2t 5。
N表示的数依然是8 t。
因为MN=4，所以M表示的数减去N表示的数等于4，可列方程：
2t 5 (8 t)=4
解得，t=
综上所述，t的值为 或。
【解析】（1）根据已知的A、B两点对应的数以及BCAC 的比例关系，求出AC和BC的长度，进而确定C点对应的数。
（2）需要分M、N未相遇和相遇后两种情况，根据M、N在不同时刻表示的数以及MN=4这个条件列出方程求解。
15．（1）解： 点C表示的数为3，BC=2，AB=6 ，OB=3-2=1；AO=6-1=5所以A表示-5；答： 数轴上点A表示的数为 -5.；解：点C表示的数为3，BC=2，OB=3-2=1，所以 B表示 1；答： 点B表示的数为 1.
（2）解：①由题意得，如图：
t秒后，
点p表示的数为：-5+2t，
点Q表示的数为：3-t，
M为AP的中点 ，所以点M表示的数为：，
因为，所以CN=，
所以点N表示的数为：；
②由题意可，如图：P在左侧，Q在右侧时，
OP=5-2t，OQ=3-t，
原点O恰好是线段PQ的中点 ，所以5-2t=3-t；
解得t=2；
如图：Q在左侧，P在右侧时，
OP=2t-5，OQ=t-3，
原点O恰好是线段PQ的中点 ，所以2t-5=t-3；
解得t=2；
当t=2时，P在左侧，不成立，舍去；
综上，t=2时，原点O恰好是线段PQ的中点。
答：点M表示的数为：，点N表示的数为：；t=2时，原点O恰好是线段PQ的中点。
【解析】（1）根据图片A，B，C点的位置，3-2即为B的位置，6-1即为A的位置，由于A在负半轴，所以A为-5；
（2）①根据题意标出点，点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，先求出点p表示的数， M为AP的中点 ，即可求出M， 点Q以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动 ，，先求出点Q表示的数，即可求出点N；
②分点讨论，P在左侧，Q在右侧时，原点O恰好是线段PQ的中点 ，所以5-2t=3-t，解得t=2；Q在左侧，P在右侧时不成立故舍去。
16．解：设AP=AQ=x，阴影部分的面积为S，则S=12×8-12×x2，
即S=96-12x2，
当AP=2cm时，则S=96-12×22=94( cm2)，
当AP=8cm时，则S=96-12×82=64( cm2).
所以阴影部分面积减少了94-64=30(cm2).
答： 图中阴影部分的面积是减少了，减少了30平方厘米.
【解析】分析题目，设AP=AQ=x，阴影部分的面积为S，则由图形可知S=12×8-12×x2，即S=96-12x2；
接下来把AP=2和AP=8分别代入关于S的表达式中进行计算，可得对应的S的值；然后将得出的面积相减，即可得到结果.
17．（1）解：-2-1+2
=-3+1
=-1
答：第一次移动后点在数轴上对应的数为-1。
（2）解：-1-2+4
=-3+4
=1
答：第二次移动后点在数轴上对应的数为1。
（3）解：1-3+6
=-2+6
=4
答：第三次移动后点在数轴上对应的数为4。
（4）解：点P在数轴上的数依次是：-2、-1、1、4，
所以第n次移动后点P在数轴上对应的数是-2+=。
【解析】(1)、(2)、(3)根据左减右加，用开始的点减去向左移动的个数再加上向右移动的个数即可。(4)写出前几个点P的位置，发现第一次移动后的点是-2+1，第二次移动后的点是-2+1+2，第三次移动的点是-2+1+2+3，因此，第n次移动后的点就是-2+1+2+3+……n，据此总结规律即可。
18．（1）解：当点P在AB—BC上运动时，
① 当0当2② 当BQ＝2BP时，
当0当2综上分析可知，当0（2）解：当点M从D点出发，以每秒4cm/s的速度在线段DC上作往返运动时，
当点P运动到点C时，用的时间为：（4+4）÷2=4（s）
此时点M正好运动到点D，当点M与点Q第一次重合时，有：4（t 4）+（t 4）=4
解得：t=
当点M与点P第二次重合时，有：4（t-5）=2+2（t-5）
解得：t=6
此时点P、M都运动到D处，综上分析可知，
当或时，点M落在线段PQ上。
【解析】（1）分析点P和点Q的运动规律，根据它们的速度和初始位置，可以用含t的代数式表示它们在不同时间段内的位置。
根据题目要求，分别求解当点P在AB—BC上运动时，线段BP的长度表示式以及当BQ＝2BP时，t的值。
（2）考虑动点M的运动情况，当点P与点M第一次重合时，我们求解t的值，并直接写出此时线段DP的长度。分析当点M落在线段PQ上时，t的取值范围，通过解方程和不等式，我们得出t的具体取值范围。
19．（1）解：根据图象可知S△APD=AD×AP=×1×a×8=24，
∴a=6
b==2
c=8+(10+8)=17
（2）8；y=2x-6
（3）解：①当0≤x≤6时
AP=x（cm）
S△APD=AD×AP=4x
②当6＜x≤8时
AP=6+（x-6）×2=2x-6
S△APD=AD×AP=8x-24
③当x运动到C点时
2x-6=18解得：x=12
即：8＜x≤12时
S△APD=AD×AB=40
④当12＜x≤17时
DP=2DC+BC-（2x-6）=-2x+34
S△APD=AD×DP=-8x+136
综上：S△APD=
S△APD=s四边形ABCD=AD×AB=20
①4x=20时，x=5∈[0，6]，符合
②2x-6=20时，x=13 （6，8]，舍去
③8＜x≤12时，S△APD=40≠24，舍去
④-8x+136=20，x=14.5∈（8，12]，符合
所以点P出发后5秒或14.5秒，△APD的面积S1是长方形ABCD面积的。
【解析】解：（2）因为a=6，b=2，
所以动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式为：y=6+2（x-6）=2x-6
当x=7时，y=2×7-6=14-6=8
故答案为：（2）8；y=2x-6。
【分析】 （1）根据三角形的面积公式可求a、b及图②中c的值；
（2）确定y与x的等量关系后列出关系式即可；
（3）①P在AB上运动时，S△APD=AD×AP，AP为运动时间t的一次函数；
②P在BC上运动时S△APD=AD×AB为定值．
③P在DC段上运动时，S△APD=AD×DP．DP为P点运动时间的一次函数．
先计算△APD的面积，然后将计算出来的数值代入所求函数的不同分段，解出对应的x的值，若解出的x值在对应的分段区间内，则x的值即为所求的解，反之则不是．
20．解：由图象可知as时有：
×8× AP=24
4AP=24
AP = 6
又因为P的速度为1，所以a=6÷ 1= 6(s)；
当a=8时，S为40，即P点速度变化后到B点用了2s，则
b=(10-6) ÷2
=4÷2
= 2(cm/s)
c=18÷2+8
=9+8
= 17(s)
答： a、b、c的值分别为6、2、17。
【解析】结合图象分析可知APD面积的变化情况：当点P在AB 上运动时，因为三角形高不变，底边增大，所以APD的面积逐渐增大：点P在BC上运动时，因为此时三角形同底等高，所以APD面积不变；点P在CD上运动，因为高不变，底边缩小，所以APD面积逐渐减小。再利用图找出关键点，a秒时，三角形面积是24，即可求出AP长度，a的值可求出；利用动点P改变速度后到B点的时间与路程可求出速度b； c的值为P运动到D点的时间。
21．（1）2
（2）解：存在，有两种情况：
第一种情况：当点P在AB边上时，，
解得：，即
第二种情况：当点 在BC边上时，如图，
设，则，解得：，
所以
答：当x为cm或3cm时，可使三角形APE的面积为。
【解析】解：(1)当点P与点B重合时，如图
即
故答案为：2
【分析】(1)点P运动到点B，连接AE、PE，观察所形成的图形的底边和高与正方形边长的关系，即可求解。
(2)分析题意，要使三角形APE的面积为 ，首先要判断出三角形APE是否为直角三角形，据此可以分两种情况进行讨论：若点P在AB边上时，令△APE的面积为- ，求解即可；若点 在BC边上时，设，令 的面积=，根据关系列方程，即可确定x的值。
22．（1）解：甲小球到原点的距离为：2＋1×10=12cm；
乙小球碰到挡板后返回的速度：2×1.5＝3(厘米/秒)
乙小球到原点的时间为：10-6÷2=7(秒)
乙小球到原点的距离为：7×3=21cm
答：当t=10时，甲小球到原点的距离为12cm；乙小球到原点的距离为21cm.
（2）解：甲球运动的路程为：1×t=t，
∵OA=2
∴甲球到原点的距离为：t+2；
乙球到原点的距离分两种情况：
当0＜t≤3时，乙球运动的路程为：2×t=2t
∵OB=6
∴乙球到原点的距离为：6-2t
由题意得：t+2=6-2t
3t=4
当t＞3时，乙球到原点的距离为：2×1.5×﹙t-6÷2﹚=3﹙t-3﹚
由题意得：t+2=3﹙t-3﹚
t+2=3t-9
2t=11
t=5.5
综上所述，当或t=5.5时，甲、乙两小球到0点的距离相等。
【解析】熟知路程、速度、时间三者之间的等量关系是解题关键。路程、速度、时间三者之间的等量关系为：路程=速度×时间；速度=路程÷时间；时间=路程÷速度；
（1）根据”路程=速度×时间“可知：甲球运动的路程为：1×10=10cm，由OA=2cm，可得：甲小球到原点的距离为：2＋1×10=12cm；乙小球碰到挡板后返回的速度：2×1.5＝3(厘米/秒)；乙小球到原点的时间为：10-6÷2=7(秒)；乙小球到原点的距离为：7×3=21cm，即可得出答案；
（2）根据乙球的运动轨迹，分0＜t≤3和t＞3两种情况讨论，由甲球到原点的距离为：t+2；当0＜t≤3时，乙球到原点的距离为：6-2t；根据甲、乙两小球到0点的距离相等可列出关于t的一元一次方程，解得t的值；当t＞3时，乙球到原点的距离为：2×1.5×﹙t-6÷2﹚=3﹙t-3﹚，根据甲、乙两小球到0点的距离相等可列出关于t的一元一次方程，解得t的值，即可得出答案。
23．解：把楼梯的各条线段进行平移，可得AB+BC=楼梯A→C的总长；
设A→C的路程为x米，则猫行走的路程为x+1.5米，老鼠行走的路程为x-1.5米，
因为猫和老鼠行走的时间相同，且老鼠的速度是猫的，
根据时间一定时，路程与速度成正比的性质可得：
，根据比例的基本性质可得：
解得x=6.5
答：A→C的路程为6.5米．
【解析】 把楼梯的各条线段进行平移，可得到一个长方形ABCE；可得AB+BC=楼梯A→C的总长（即这个长方形周长的一半）；猫捉鼠的路程之和为楼梯A→C的总长+线段CD长；老鼠逃窜的路程为AB+BC-线段CD长；根据时间一定时，所行走的路程与速度成正比的性质即可解决问题．
24．（1）解：当时，橡皮筋刚好触及钉子
，
所以，
（2）解：当时
AQ=x，BP=2x-2，OE=1
即
所以，当 时，
（3）解：x=2
【解析】（1）当橡皮筋触及到钉子时，由于Q在边AD上，且速度为1cm，所以在x秒后，Q移动的距离为xcm。由于正方形边长为2cm，所以当橡皮筋触及到钉子时，点Q已经移动了整个边长，即移动了2cm，因此，有等式：，其中，（2x-2）是点P移动的距离，因为点P从点A开始移动了（2x-2）cm到达边BC，解以上方程即可求解
（2）先求出时，x和y之间的关系式：，代入x即可求解。
（3）当橡皮筋刚好触及钉子时，，停止时，，，，所以，，所以，此时x=2
25．解：当点P运动到B点时，S△APD=AB×AD÷2
=8×10÷2
=40(cm2)；
所以当点P运动a秒时，点P在AB之间，设该点为E
AE×AD÷2=24，即4AE=24，AE=6；
a=6÷1=6(s)；
点P速度变化后到B点用了8-6=2(秒)；
b=EB÷2
=(10-6)÷2
=4÷2
=2(cm/s)；
c=(BC+CD)÷2+8
=(8+10)÷2+8
=9+8
=17(s)
答： 的值分别为 。
【解析】由图可知，当点P运动到B点时，S△APD=AB×AD÷2=40(cm2)，所以当点P运动a秒时，点P在AB之间，设该点为E，根据三角形面积计算公式即可求出AE的长度，再用AE的长度除以点P的速度即可求出a的值。由图象可知，当点P运动8秒时，点P运动到了点B，因此，用8减去a的值求出点P在EB上的运动时间，接着再用EB的长度除以该运动时间即可求出b的值。由图象可知，8到c的这段时间，点P由B点运动到D点，因此，用BC加CD的长度除以b可以求出8到c的这段时间，再加上8即可求出c的值。
26．解：如图，
由题意可知，丙从D到E用4分钟，丁从D到F用10分钟，乙从E经D到F用6分钟，说明甲（或乙）速度是丙（或丁）的：
因为甲走AD用10分钟，所以丙走AD要用，走AE用
因为乙走（BA+AE）用14分钟，所以，丙走AB用
因为AB长60米，所以丙每分钟走
于是求出：
AE=，ED=
DF=，FC=
=
=
=2497.5（平方米）
答： 的面积为2497.5平方米。
【解析】由题意可知，丙从D到E用4分钟，丁从D到F用10分钟，乙从E经D到F用6分钟，说明甲（或乙）速度是丙（或丁）的：
因为甲走AD用10分钟，所以丙走AD要用，走AE用
因为乙走（BA+AE）用14分钟，所以，丙走AB用
因为AB长60米，所以丙每分钟走
于是求出：
AE=，ED=
DF=，FC=
所以，，代入数据即可求出
27．（1）2x；10-2x
（2）3
（3）小凯的说法是错误的，EC的长度不变。因为E点是线段AB 的中点，C点是线段BD的中点，所以AB=2×BE，BD=2×BC，AB+BD=2×(BE+BC)=2×EC=10，所以EC的长度不变，为5cm。
【解析】（1）路程=速度×时间 AB=2x
BD=AD-AB=10-2x
(2)把x=2代入10-2x中，10-2×2=6（cm），BC=BD÷2=6÷2=3（cm）
（3）小凯的说法是错误的，EC的长度不变。因为E点是线段AB 的中点，C点是线段BD的中点，所以AB=2×BE，BD=2×BC，AB+BD=2×(BE+BC)=2×EC=10，所以EC的长度不变，为5cm。
故答案为：（1）2x （2）3
【分析】（1）根据路程=速度x时间，求出AB的长度，然后用AD的长度减去AB的长度就是BD的长度，分别用含有字母x的式子表示即可。（2）把x=2代入式子中，求出BD的长度，再根据C点是线段BD的中点，求出 BC的长度。（3）E点是线段AB的中点，C点是线段BD的中点，所以线段EC的长是AD的一半，EC的长度不变。
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小升初奥数思维之典型应用题精讲精练讲义（通用版）
专题13 数轴与动点行程问题
【第一部分：知识归纳】
一、基本概念
1、数轴与动点行程问题是借助数轴研究点的运动规律的行程问题。
2、特点：
（1）直观性强：运动过程可在数轴上清晰展示
（2）方向明确：正方向表示正向运动，负方向表示反向运动
（3）位置精确：点的位置可用具体数值表示
3、核心要素
（1）原点：数轴的基准点（通常记为0）
（2）动点：在数轴上运动的点
（3）运动方向：向右为正方向，向左为负方向
（4）运动速度：单位时间内移动的单位长度
二、基本公式与关系
1. 位置计算公式
t时刻的位置 = 初始位置 ± 速度 × 时间
（"+"表示正方向运动，"-"表示负方向运动）
2. 相遇条件
两个动点位置相同：P (t) = P (t)
3. 追及条件
同向运动时，后面的点位置赶上前面的点
三、常见题型与解题方法
1. 单动点基础问题
例题：点A从数轴原点出发，以每秒2个单位的速度向右运动。5秒后A点的位置是多少？
解答：位置 = 0 + 2×5 = 10
2. 双动点相遇问题
例题：点P从+3出发以1单位/秒向左运动，点Q从-5出发以2单位/秒向右运动。它们何时相遇？
解答：设t秒后相遇：
3 - 1t = -5 + 2t
8 = 3t
t = 8/3秒 ≈ 2.67秒
3. 动点往返问题
例题：第一阶段：-2 + 3×4 = 10
第二阶段：10 - 2×3 = 4
最终位置：4
四、解题技巧
1、画数轴示意图：标出初始位置和运动方向
2、建立时间轴：记录各时间段运动情况
3、分段计算：对变速运动分段处理
4、代数方法：设未知数列方程求解
5、单位统一：确保时间和速度单位一致
【第二部分：能力提升】
1．一个圆周长70厘米，甲、乙两只爬虫从同一点同时出发，同向爬行。甲以4厘米/秒的速度不停地爬行，乙爬行15厘米后，立即反向爬行，并且速度增加1倍。如果乙在离出发点10厘米处与甲第一次迎面相遇，则乙爬虫原来的速度是多少厘米/秒
2．学习编程的奇奇最近编写了一套程序．让一只电子鼠P从长方形ABCD的点A出发，沿着长方形的边依次向B，C，D以每秒1厘米的速度移动．已知AB＝12厘米，ED＝DA＝6厘米。
（1）电子RP从A点出发几秒后，三角形APE是等腰直角三角形
（2）当电子鼠P到达C时，另一只电子鼠Q以每秒2厘米的速度从A点出发．沿AB向B点移动．
①电子鼠Q从A点出发几秒后，四边形AQPE是梯形
②当∠QPD＝45°时，四边形AQPE的面积是多少平方厘米
3．学习编程的奇奇最近编写了一套程序，让一只电子鼠P从长方形ABCD的点A出发，沿着长方形的边依次向B、C、D以每秒1厘米的速度移动，已知厘米，厘米，
（1）电子鼠P从A点出发几秒后，三角形APE是等腰直角三角形
（2）当电子鼠P到达C时，另一只电子鼠Q以每秒2厘米的速度从A点出发，沿AB向B点移动，
①电子鼠Q从A点出发几秒后，圆边形AQPE是梯形
②当∠QPD=45°时，四边形AQPE的面积是多少平方厘米
4． 两只蚂蚁同时从一个等腰三角形的顶点出发(如右下图)，分别沿两腰爬行，一只蚂蚁每分钟爬行0.2米，另一只蚂蚁每分钟爬行0.25米，经过50分钟，在离底边的一端7.5米的地方相遇。这个地方离底边的另一端有多少米？
5．如图，81个边长为1的小正方形组成正方形ABCD，我们把小正方形的顶点都称为格点。
（1）若在正方形ABCD的四个角处都剪掉四个相等的小正方形后，剩余部分恰好能折叠成一个无盖的正方体，求出该正方体的体积。
（2）蚂蚁要沿着小正方形的边从点A出发爬到点C，只能向右或向上爬，速度是每秒钟爬两个单位，请说明：蚂蚁爬达终点的时间是否会随着爬行路径的不同而发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，求出这个时间。
（3）真真和诚诚利用该正方形ABCD做游戏，规定从A点出发，每次只能沿小正方形的边向右或向上走，每次只能走1个或两个单位长度，谁先到达C点谁获胜。真真先走，诚诚后走。请问：两个同学中谁有必胜把握？怎样操作才能必胜？
6．如图所示，甲从A点出发，在AD之间不断往返行走。乙从B点出发，沿着B—E—C—B围绕等边三角形BEC不断行走，已知AB＝80米，BE＝EC＝CB＝100米，CD＝120米，甲的速度是5米/秒，乙的速度是4米/秒，问：甲第一次从背后追上乙的地点离B点多少米？
7．如图， 在长方形 ABCD中， . 点P从点A出发， 沿A—B—C—D路线运动，到D停止：点P的速度为每秒 1cm，a秒时点P的速度变为每秒 bcm，图②是点P出发x秒后。 的面积 与x(秒) 的关系图象；
（1） 根据图像提供的信息， = 。
（2） 点P出发后几秒， 的面积； 是长方形ABCD 面积的四分之一？
8．学习编程的奇奇最近编写了一套程序，让一只电子鼠P从长方形ABCD的点A 出发，沿着长方形的边依次向B，C，D以每秒1厘米的速度移动. 已知 厘米， 厘米.
（1） 电子鼠P从A点出发几秒后，三角形APE是等腰直角三角形？
（2） 当电子鼠 P到达C时，另一只电子鼠Q以每秒2厘米的速度从A点出发. 沿AB向B点移动.
①电子鼠Q从A 点出发几秒后，四边形AQPE是梯形？
②当 时，四边形AQPE 的面积是多少平方厘米？
9． 在一个边长为108厘米的等边三角形中，甲与乙两只蚂蚁分别从A、C两点同时以4：5的速度，按相反方向出发，第一次相遇后，甲停下10秒后按原速度出发，乙不停留，还增加了的速度出发，第二次刚好在B与C的中点相遇，那么甲的速度是多少？乙的速度是多少？
10．如图，一根木棒放在有刻度的直线上，木棒的左端与点A重合，右端与点B重合。
（1）若将木棒沿直线向右水平移动，则当它的左端移动到B点时，它的右端在直线上所对应的数为20cm；若将木棒沿直线向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在直线上所对应的数为5cm。由此可得到木棒长为 cm。
（2）由题⑴的启发，请你借助这个工具帮助小红解决下列问题：
一天，小红去问爷爷的年龄，爷爷说：我若是你现在这么大，你还要40年体出生，你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了，哈哈!”请求出爷爷现在多少岁
11．如图，在射线OM上有三点A，B，C，满足OA=20cm，AB=60cm，BC=10cm（如图所示），点P从点O出发，沿OM方向以1cm/s的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动，两点同时出发。
（1）当P在线段AB上，且PA=2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点，求点Q运动的速度；
（2）若点Q运动的速度为3cm/s，经过多长时间P、Q两点相距70cm；
（3）当点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E，F，求的值。
12．点M，N在数轴上分别表示有理数m，n且满足(m+4)2+|n-4|=0。现将数轴在点M，N处剪断，再用绳子将它们连接，就可得到如图所示的“拱形数轴"，其中点S为绳子上一点且满足MS=NS，在此数轴上，我们定义任意两点的距离为它们之间折线段的长度之和，如图1，A，两点的距离为线段A的长，记为DAM=AM，记A，B两点的距离为DAB=BN+NS+SM+MA。
（1）请直接写出m= ，n= ；
（2）若MS=6，点B在数轴上表示有理数6，一动点P从点M出发以每秒3个单位长度沿“拱形数轴”
向正方向运动，同时，另一动点Q从点B出发以每秒1个单位长度沿“拱形数轴”向负方向运动，两个点运动到点S处均停止，设运动时间为t秒，请间t取何值时，使得DPN+DQN=DMN-2。
（3）如图2，已知MS=9，动点P从点川出发以每秒2个单位长度沿着“拱形数轴”向正方向运动，同时点Q从点N出发，以每秒1个单位长度沿着“拱形数轴”向负方向运动：两点相遇后，点P速度立即变为原来的一半并沿着“拱形数轴”向负方向运动，同时点Q保持速度不变并沿着“拱形数轴”向正方向运动，设运动时间为t秒，是否存在t使得DPM=3DQN？如果存在，请直接写出出t的值，如果不存在，请说明理由。
13．如图，点M，N分别是边长为4米的正方形ABCD的一组对边AD，BC 的中点，P，Q两个动点同时从M出发，P沿正方形的边逆时针方向运动，速度是1米/秒；Q沿正方形的边顺时针方向运动，速度是2米/秒。求：
（1）第1秒时 的面积；
（2）第15 秒时 的面积；
（3）第2015 秒时 的面积。
14．如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是-1，B点对应的数是8，C是线段AB上一点，满足。
（1）求C点对应的数；
（2） 动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止。在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止.设点N的运动时间为t秒。问当时，求t的值？
15．如图，已知点A、B、C是数轴上三点，点C表示的数为3，BC=2，AB=6．
（1）数轴上点A表示的数为 ，点B表示的数为 ；
（2）动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为AP的中点，点N在线段CQ上，且，设运动时间为秒。
①求数轴上M、N表示的数；（用含t的式子表示）
②当t为何值时，原点O恰好是线段PQ的中点
16．如图，在长方形ABCD 中，AB=12cm，AD-=8cm。点P、Q都从点A同时出发，点P向B点运动，点Q向D点运动，且保持，AP=AQ，在这个变化过程中，图中阴影部分的面积液随之变化，当AP由2cm变到8cm时，图中阴影部分的面积是增加了，还是减少了？增加或减少了多少平方厘米？
17． 一点从数轴上表示-2的点开始移动，第一次先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度：第二次向左移动2个单位长度，向右移动4个单位长度；第三次先向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度……求：
（1）写出第一次移动后点在数轴上对应的数；
（2） 写出第二次移动后点在数轴上对应的数：
（3） 写出第三次移动后点在数轴上对应的数；
（4）按上述规律第次移动后点在数轴上对应的数
18．如图，在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝4cm，动点P从点A出发，以2cm/s速度沿AB—BC—CD—DA的线路运动，同时动点Q从B出发，以1cm/s的速度沿BC—CD的线路运动，设运动的时间为t（s）。（）
（1）当点P在AB—BC上运动时，
①用含t的代数式表示线段BP的长度。
②当BQ＝2BP时，求t的值。
（2）动点M从D点出发，以每秒4cm/s的速度在线段DC上作往返运动，点M与点P同时出发，当点P停止运动时，点M也停止运动，连接PQ，
③当点P与点M第一次重合时，求t的值，并直接写出此时线段DP的长度。
④当点M落在线段PQ上时，直接写出t的取值范围。
19． 如图①， 在长方形 ABCD中， AB=10cm， BC=8cm， 点P从A出发，沿 A→B→C→D路线运动，到D停止； 点P出发时的速度为每秒1cm，a秒时点P的速度变为每秒 bcm，图②是点 P出发x秒后，△APD的面积S（c㎡） 与x（s） 的函数关系图象.
（1）根据题目中提供的信息，求出图②中a，b，c的值；
（2） 设点P运动的路程为 y（cm）
①7s时， y的值为 cm；
②请写出当点P改变速度后，y与x的函数关系式 ；
（3）当点P出发后几秒时，△APD的面积S是长方形 ABCD面积的 ？
20．如图①，在长方形ABCD中，AB=10cm， BC=8cm， 点P从A出发，沿A、B、C、D路线运动，到D停止；点P的速度为每秒1cm，a秒时点P中的速度变为每秒b厘米；图②是点P出发x秒后，△APD的面积S(Cm2)与×(s)的变化关系图象。根据图②中提供的信息，求a、b及图②中c的值。
21．如图，正方形ABCD的边长为2cm，点E是CD边的中点，正方形ABCD边上的一动点P从点A出发（不与点A重合），沿方向运动（不与点E重合），设点P运动路程为xcm，探究：
（1）当点P运动到与点B重合时，三角形APE的面积为 平方厘米。
（2）在正方形ABCD的边上是否存在点P，使三角形APE的面积为平方厘米？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由。
22．如图，在直线上有 A、O、B三点，其中 AO=2cm，B0=6cm，若在点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个厘米1秒的速度向左移动：同时另一小球乙从点B处以2厘米/秒的速度也向左移动，在碰到挡板后(忽略球的大小，可看作一点)以原来速度的 1.5倍向相反的方向运动，设运动的时间为t(秒)，
（1）当t=10时，求甲，乙两小球到0点的距离；
（2）当t为何值时，甲、乙两小球到0点的距离相等.
23．如图为一个阶梯的纵截面，一只老鼠沿长方形的两边A→B→D路线逃跑，一只猫同时沿阶梯(折线)A→C→D的路线去做捉，结果在距离点C点1.5米的D处，猫捉住了老鼠，已知老鼠的速度是猫的，问阶梯A→C的长度是多少米
24．如图，正方形ABCD的边长为2cm，在对称中心O处有一钉子。动点P、Q同时从点A出发，点P沿A~B~C~D方向以每秒2cm的速度运动，到点D停止：点Q沿A~D方向以每秒1cm的速度运动，到点D停止。P、Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋连接，设x秒后橡皮筋扫过的面积为y。
（1）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x的位。
（2）当时y的值。
（3）在橡皮筋从触及钉子到运动停止的过程中，直接写出∠POQ为直角时x的数值。
25．如图①，在长方形ABCD中， AB=10cm， BC=8cm，点P从A出发，沿A、B、C、 D路线运动，到D停止；点P的速度为每秒1cm， a秒时点P中的速度变为每秒b厘米；图②是点P出发x秒后，△APD的面积3(cm2 )与x (s)的变化关系图像。根据图②中提供的信息，求a、 b及图②中c的值。
26．8点 10 分， 有甲乙两人以相同的速度分别从相距 60 米的 两地按顺时针方向沿长方形 ARCD的边走向D点， 如下图， 甲 8 点 20 分到 D点后， 丙、丁两人立即以相同速度从D点出发。丙由D点向A点走去， 8 点24分与乙在E点相遇； 丁由D点向C点走去， 8 点 30 分在 F点被乙追上， 求 的面积？
27．阅读理解：线段上的一点把线段分成相等的两部分，这个点叫作线段的中点。如图①，P点是线段MN的中点，则 如图②，B点是线段AD上的一个动点，从A点到D点以2cm/s的速度运动，C点是线段 BD的中点，
（1）当B点的运动时间是x秒时， cm，BD= cm。
（2）B点的运动时间是x秒，当 时， cm。
（3）如图③，在运动过程中，E点是线段AB的中点。下面小凯的说法正确吗？ 说一说你的想法。
参考答案及试题解析
1．解：离出发点 10 cm有甲爬行10 cm，70-10=60cm，70+10=80cm 三种情况。
（1）当甲爬行10 cm时，甲所用的时间为
乙在此过程中分为两个阶段，第一阶段乙爬行15 cm，第二阶段爬行：
两段速度比为1∶2
两段路程比为3：1
两段时间比为
第一段乙用时 乙原来速度为
（2）当甲爬行60 厘米时，甲所用时间为
乙在此过程中分为两个阶段，第一阶段乙爬行15 cm，第二阶段爬行
两段速度比为1 ：2，两段路程比为：
两段所用时间比 第一阶段乙用
乙原来的速度：
⑶当甲爬行80cm时，甲所用的时间为
乙在此过程中分为两个阶段，第一阶段乙爬行15 cm，第二阶段乙爬行15-10=5（cm）。
两段速度比1：2，路程比为15：5 = 3 ：1。
两段所用时间比 第一阶段乙用了
乙原来的速度为
因此，乙爬虫原来的速度为7cm/s或- 或
【解析】为了解决这个问题，我们需要分析甲和乙的爬行过程，特别是在它们第一次相遇时的情况。由于甲和乙的速度不同，以及乙的速度变化和方向改变，我们需要分情况讨论，分别计算在不同情况下乙的原始速度。
2．（1）解：当电子鼠P爬到和B点重合时，AB=12厘米，故此时需要的时间为12秒。
当爬到CD边的中点时AB=12厘米，BC=DA=6厘米，故此时需要的时间为24秒。
答： 从A点出发12；24秒后
（2）解： ①设电子鼠Q从A点出发x秒后四边形AQPE是梯形。因此当P和Q在同一条直线上时，四边形AQPE成为梯形。此时，AP=12-x，AQ=2x，
12-x=2x
解得：x=4
答： 出发4秒后，四边形AQPE是梯形
②当∠QPD=45度时，PF=FQ=DA=6厘米，PC+AQ=6厘米。AQ=2PC。解这个方程，AQ=4厘米。
四边形AQPE可以分割成一个梯形AQPD和一个三角形PDE，其面积分别为42平方厘米和30平方厘米，因此四边形AQPE的面积为72平方厘米。
答： 四边形AQPE的面积是72平方厘米
【解析】（1）首先要理解等腰直角三角形的定义，然后分析出有两种情况：爬到和B点重合；爬到CD边的中点，进行计算即可。
（2）首先，通过解析电子鼠P的移动路径，确定它何时会与长方形的顶点B、C、D重合，从而计算出等腰直角三角形APE的形成时间。对于第二个问题，首先确定电子鼠Q出发的时间，并分析它在移动过程中四边形AQPE何时会变成梯形。最后，利用几何知识计算出四边形AQPE的面积。
3．（1）解：如图
当电子鼠P爬到和B点重合时，三角形APE第一次成为等腰直角三角形，需要：12+1=12 (秒)
当爬到CD边的中点时，三角形APE第二次成为等腰直角三角形，需要： (12+6+6) +1=24+1=24 (秒)
答：电子鼠P从A点出发12秒后，三角形APE第一次成为等腰直角三角形；经过24秒后，三角形APE第二次成为等腰直角三角形。
（2）解：①如图，
设电子鼠Q从A点出发x秒后四边形AQPE是梯形，
12-x=2x
3x=12
x=4
答：电子鼠Q从A点出发4秒后，四边形AQPE是梯形。
② 如图
图中电子鼠Q从A点向上运动，电子鼠P同时从C点向下运动时，当∠QPD=45°时，PF=6cm，PC+AQ=6cm。又因为电子鼠Q的速度是电子鼠P的
2倍，所以电子鼠Q行驶路程也是电子鼠P的2倍，AQ==4 (cm) 。而四边形AQPE为四边形，可以将其分割成一个梯形AQPD和一个三角形PED，分别求出这两个图形面积是： (4+10) x6+2=42(cm2)
6x10+2=30 (cm2)
所以四边形面积为42+30=72 (cm2) 。
答：四边形AQPE的面积是72平方厘米。
【解析】（1） 电子鼠P从A点出发 ，要使三角形APE是等腰直角三角形，需要分情况讨论：①当电子鼠P爬到和B点重合时，三角形APE第一次成为等腰直角三角形； ② 当爬到CD边的中点时，三角形APE第二次成为等腰直角三角形。分别计算出这两种情况时所需的时间即可
（2）①设电子鼠Q从A点出发x秒后四边形AQPE是梯形，按路线画出图形：
根据路线，列出方程：12-x=2x，即可计算
② 如图，
要使∠QPD=45°，需要分别求出梯形AQPD和一个三角形PED的面积，然后将其相加即可求解
4．解：根据题意及图形所示，可得
较快的蚂蚁比较慢的蚂蚁多走：
（0.25-0.2）×50
=0.05×50
=2.5（米）
这个地方离底边的另一端有：
7.5-2.5=5（米）
答：这个地方离底边的另一端有5米
【解析】先求出较快的蚂蚁比较慢的蚂蚁多行驶的路程，7.5米减去多行驶的路程正好是到另一端的距离。
5．（1）解：根据题意，可得
81=9×9
9=3×3
9-3×2=3
3×3×3=27
答：正方体的体积是27。
（2）解：根据题意，可得
（9+9）÷2
=18÷2
=9（秒）
答：爬到终点的时间不发生变化，始终是9秒。
（3）解：根据题意，可得
9+9=18
18÷（2+1）
=18÷3
=6
答：诚诚必胜，真真走1步，诚诚就走2步，真真走2步，诚诚走1步，诚诚每次和真真走的步数和为3，诚诚肯定先走到C点。
【解析】（1）正方形ABCD由81个边长为1的小正方形组成，每个角处剪掉9个相等的正方形。每个角剪掉的正方形边长为3，因9=3×3。剪掉四个角后，剩余部分的面积为81 4×9=81 36=45。剩余部分可以折叠成一个无盖的正方体。正方体的边长为3，因为45=3×3×5。正方体的体积为3×3×3=27。
（2）蚂蚁从点A到点C需要爬行的总距离为9+9=18个单位。蚂蚁的速度是每秒钟爬两个单位，因此蚂蚁爬到终点的时间为18÷2=9（秒），由于蚂蚁只能向右或向上爬，所有路径的总距离都是18个单位，因此蚂蚁爬到终点的时间不会随着爬行路径的不同而发生变化。
（3）从点A到点C需要走的总步数为9+9=18步。真真和诚诚每次只能走1步或2步，且每次只能走一个或两个单位长度。诚诚每次和真真走的步数和为3，即真真走1步，诚诚就走2步；真真走2步，诚诚就走1步。这样诚诚每次都能保证自己走的步数和真真走的步数和为3。
6．解：100x2÷4=50(秒)
100x3÷4=75(秒)
乙在C到B的时间段是：50--75；125--150；200--225等.
甲在由C到B的方向上，到达C的时间是：
(80+40+120x2)-5=84(秒)；204；324等
204-200=4(秒)
4x4÷(5-4)= 16(秒)
100-16x5=20(米)
答：甲第一次从背后追上乙的地点离B点20米。
【解析】由已知条件和图形可知：甲要从背后追上乙，必须具备2个条件：一是方向是由C向B；二是在同一时间甲到C点而乙过C点不久。
乙在C到B的时间段是：100x2-4=50(秒)---100x3-4=75(秒)；125--150；200--225等等甲在由C到B的方向上，到达C的时间是：(80+40+120x2)-5=84(秒)；204；324等.对照可得，符合要求的时间是204秒，即此时乙刚过C点4秒，距C点是4x4=16(米)，甲追上乙用时是16÷(5-4)=16(秒)，此时甲已离开C的距离是16x5=80米，再求离B距离即可.
7．（1）6
（2）解：∵a=6，b=2，
∴动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式为：y=6+2（x﹣6）=2x﹣6
①当0≤x≤6时
AP=x（cm）
S△APD==4x
②当6＜x≤8时
AP=6+（x﹣6）×2=2x﹣6
S△APD==8x﹣24
③当x运动到C点时
2x﹣6=18解得：x=12
即：8＜x≤12时
S△APD==40
④当12＜x≤17时
DP=2DC+BC﹣（2x﹣6）=﹣2x+34
S△APD==﹣8x+136
综上：S△APD=；
S△APD=
①4x=20时，x=5∈[0，6]，符合
②2x﹣6=20时，x=13（6，8]，舍去
③8＜x≤12时，S△APD=40≠24，舍去
④﹣8x+136=20，x=14.5∈（8，12]，符合
所以点P出发后5秒或14.5秒，△APD的面积S1是长方形ABCD面积的
【解析】解：根据图象可知
S△APD=
∴a=6
故答案为：6
【分析】（1）根据三角形的面积公式可求a的值；
（2）①P在AB上运动时，S△APD=，AP为运动时间t的一次函数；
②P在BC上运动时S△APD=为定值．
③P在DC段上运动时，S△APD=．DP为P点运动时间的一次函数．
先计算△APD的面积，然后将计算出来的数值代入所求函数的不同分段，解出对应的x的值，若解出的x值在对应的分段区间内，则x的值即为所求的解，反之则不是．
8．（1）解：如图：
当电子鼠P爬到和B点重合时，三角形APE第一次成为等腰直角三角形，
需要：12÷1=12（秒）
当爬到CD边的中点时，三角形APE第二次成为等腰直角三角形，
需要：（12+6+6）÷1
=24÷1
=24（秒）
答：电子鼠P从A点出发12秒后，三角形APE第一次成为等腰直角三角形；经过24秒后，三角形APE第二次成为等腰直角三角形。
（2）解： ①如图：
可设电子鼠Q从A点出发x秒后四边形AQPE是梯形，
12-x=2x
3x=12
x=4
答：电子鼠Q从A点出发4秒后，四边形AQPE是梯形。
②如图：
图中电子鼠Q从A点向上运动，电子鼠P同时从C点向下运动时，当∠QPD=45°时，PF=6cm，PC+AQ=6cm。又因为电子鼠Q的速度是电子鼠P的2倍，所以电子鼠Q行驶路程也是电子鼠P的2倍，AQ= 。而四边形AQPE为四边形，可以将其分割成一个梯形AQPD和一个三角形PED，分别求出这两个图形面积是：（4+10）×6÷2=42（cm2）
6×10÷2=30（cm2）
所以四边形面积为42+30=72（cm2）。
答：四边形AQPE的面积是72平方厘米。
【解析】由图可知：当电子鼠P爬到和B点重合时，三角形APE第一次成为等腰直角三角形；当爬到CD边的中点时，三角形APE第二次成为等腰直角三角形；然后求出A点到B点的距离及A点到CD中点的距离，进而根据：路程÷速度=时间，分别解答即可。
（2）①当DP∥AQ时，AQPE就是梯形，可设电子鼠Q从A点出发x秒后四边形AQPE是梯形，列式为12-x=2x，解答即可。
②当∠QPD=45°时，PF=6cm，PC+AQ=6cm。又因为电子鼠Q的速度是电子鼠P 的2倍，所以电子鼠Q行驶路程也是电子鼠P 的2倍，AQ=，然后将其分割成一个梯形AQPD 和一个三角形PED，分别求出这两个图形面积，进一步解答即可。
9．解：如图
开始时，甲乙蚂蚁的速度比是4：5，则路程比也是4：5
所以，甲蚂蚁爬行的路程为108×2÷(4+5)×4=96(厘米)，
乙蚂蚁爬行的路程为108×2 96=120(厘米)，由于第二次甲与乙蚂蚁在BC中点相遇，
则由第一次相遇到第二次相遇甲蚂蚁爬行的路程是120 108÷2=66(厘米)，
乙蚂蚁爬行的路程是96+108+108÷2=258(厘米).
由于第一次相遇后乙蚂蚁增加了15的速度，所以，相遇后甲乙蚂蚁的速度比为4：(5×15)=2：3，
故甲蚂蚁爬行66厘米路程时，乙蚂蚁爬行的路程是66÷2×3=99(厘米)，
则甲蚂蚁停留的10秒钟，乙蚂蚁爬行的距离是258 99=159(厘米)，
乙最初的爬行速度是159÷10÷(1+15)=13.25(厘米/秒)
甲的速度是13.25÷5×4=10.6(厘米/秒)，
答：甲的速度是10.6厘米/秒，乙的速度是13.25厘米/秒。
【解析】先根据甲乙蚂蚁的速度比求出第一次相遇时，甲乙蚂蚁爬行的路程，再求出第一次相遇后，甲乙蚂蚁的速度比，进而求出甲蚂蚁停留的10秒钟，乙蚂蚁所爬行的路程，即可得出结论．
10．（1）5
（2）解：把小红与爷爷的年龄差看做木棒AB，
类似爷爷比小红大时看做当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为-40，
小红比爷爷大时看做当B点移动到A点时，此时A点所对应的数为125，
∴可知爷爷比小红大[125-（-40）]÷3=55，可知爷爷的年龄为125-55=70．
答：爷爷的年龄是70岁.
【解析】（1）解：由数轴观察知三根木棒长是20-5=15（cm），则此木棒长为：15÷3=5cm，
故答案为：5
【分析】（1）此题关键是正确识图，由数轴观察即可得到木棒长。
（2）借助数轴用数形结合的方法求解．类似爷爷比小红大时看做当A点移动到B点时，求出此时B点所对应的数，小红比爷爷大时看做当B点移动到A点时，求出此时A点所对应的数，可知爷爷的年龄．
11．（1）解：当P在线段AB上时，因为P=2PB，AB=60cm
所以PA=60÷(1+2)×2=40(cm)
OP=0A+20=40+20=60(cm)，
又因为点P 从点O沿OM 方向以1cm/s 的速度勺速运动，
所以60÷1=60(秒)
即点P 运动时间为 60 秒。
若AQ=AB，则BQ=AB=×60=40（cm），CQ=BC+BQ=10+40=50（cm）
点Q的运动速度为：50÷60=（cm/s）
若BQ=AB=×60=20（cm），CQ=BC+BQ=10+20=30（cm）
点Q的运动速度为：30÷60=（cm/s）
答：当P在线段AB上时，点Q运动的速度是cm/s或cm/s。
（2）解：设运动时间为t秒，则：
t+3t=90+70或t+3t=90-70，
解得：t=40或5
因为点Q运动到点O时没法继续运动，所以点Q最多运动30秒。
即t=40(不合题意，舍去)
所以t=5。
QO=CB+BA+AO=10+60+20=90(cm)
90÷3=30(秒)
即当点Q运动 30秒到点O时，点Q没法运动，P，0距离为70cm，即OP=70cm，
70÷1=70(秒)
即运动时间为 70·秒。
故经过5秒或70秒，两点相距70cm。
答：经过5秒或70 秒时P、Q两点相距70cm。
（3）解：如下图所示：
设OP=xcm
点P在线段AB上，因为OA=20cm，AB=60cm
所以20≤x≤80
OB-AP=OA+AB-(OP-OA)=20+60-(x-20)=100-x
EF=OF-OE=OA+AB-OE=20+×60-x=50-x
所以==2
答：的值是2。
【解析】（1）从题中我们可以看出点P及Q是运动的，当PA=2PB时实际上是P正好到了AB的三等分点上，而且PA=40， PB=20.由速度公式就可求出P点的运动时间，也是点Q的运动时间，点Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点，由此就可求出CQ长和点Q的速度.
（2）若点Q运动速度为5cm/s，经过多长时间P、Q两点相距70cm，这也有两种情况即当它们相向而行时，和它们背向而行时，此题可设运动时间为t秒，列方程就可解了.
（3）此题就可把它当成一个静止的线段问题来解决了，但必须借助图形.
12．（1）-4；4
（2）解：∵n=4，
∴点N在数轴上表示有理数4，
∵点B在数轴上表示有理数6，
∴B点位置如图所示，
∵MS=SN=6，
由题意知，DPN=MS+NS-PM=12-3t，DQN=|6-4-t|=|2-t|，DMN=MS+SM=6+6=12，
∵DPN+DQN=DMN-2，
∴12-3t+|2-t|=12-2，
当t≥2时，12-3t+t-2=12-2，
∴t=0（舍去），
当0＜t＜2时，12-3t+2-t=12-2，
∴t=1时，使得DPN+DQN=DMN-2；
（3）解：存在t使得DPM=3DQN；理由如下，
∵MS=SN=9，
∴相遇时，两点各自运动的时间为（9+9）÷（2+1）=6（秒），
动点P从点M出发以每秒2个单位长度沿着“拱形数轴”向正方向运动，同时点Q从点N出发，以每秒1个单位长度沿着“拱形数轴”向负方向运动，
∴当0＜t＜6时，DPM=2t，DQN=t，
∴2t=3t，
∴t=0（舍去），
当t≥6时，DPM=12-（t-6）=18-t，DQN=6-（t-6）=12-t，
∴18-t=3（12-t），
∴t=9，
∴当t=9时，DPM=3DQN．
【解析】解：（1）点M，N在数轴上分别表示有理数m，n且满足（m+4）2+|n-4|=0，
∴m+4=0，n-4=0，
∴m=-4，n=4，
故答案为：-4，4；
【分析】（1）由题中条件，利用平方与绝对值非负性，结合非负式和为0的条件求解即可得到答案；
（2）由含t的代数式表示出DPN，DQN，DMN，再列方程求解即可得到答案；
（3）根据数轴上动点问题，分相遇前0＜t＜6和相遇后t≥6两种情况列方程求解即可得到答案；
根据题意，数形结合列方程求解是解决问题的关键．
13．（1）解：如图1
(平方米)
（2）解：如图2
(平方米)
（3）解：因为16÷1=16，16÷2=8，
所以每经过16秒，点P和点Q 都回到出发点M。
2015÷16=125……15(秒)
第2015 秒点 P、点Q 的位置与第15秒时相同，△NPQ 的面积是6平方米。
【解析】（1）第1秒时，P点移动1米，位于MD中点；Q点移动2米，恰好移动到D点。此时，△NPQ的底为正方形边长4米，高为3米（即MD的长度减去P点移动的距离），因此△NPQ的面积为：3×4÷2=6平方米。
（2）第15秒时，P点移动了15米，Q点移动了30米。由于正方形的周长为16米，P点会在16秒后回到M点，Q点则在8秒后回到M点。所以，第15秒时，P点位于MD中点，Q点位于A点，即Q点与A点重合。此时，△NPQ的底仍为4米，高为3米（与第1秒时相同），面积为：3×4÷2=6平方米。
（3）第2015秒时，P点和Q点的位置与第15秒时相同。由于2015÷16=125...15，表示P、Q完成了125圈循环后，还额外移动了15秒，即回到与第15秒时相同的位置。所以，第2015秒时，△NPQ的面积同样为6平方米。
14．（1）解：已知A点对应的数是 1，B点对应的数是8。
在数轴上，两点间的距离等于右边的点对应的数减去左边的点对应的数，所以AB=8 ( 1)=8+1=9。
因为BCAC =45 ，且AB=AC+BC=9，
设AC=5x，BC=4x，则5x+4x=9，即9x=9，
解得x=1。
所以AC=5×1=5，
BC=4×1=4。
C点在B点左侧，C点对应的数等于B点对应的数减去BC的长度，即8 BC=8 4=4。
答：C点对应的数是4。
（2）解：当M、N未相遇时
此时M在AC上运动，M运动的速度是每秒2个单位长度，运动时间为t秒，那么M表示的数是起始点A对应的数 1加上运动的距离2t，即 1+2t。
N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，运动时间为t秒，所以N表示的数是B点对应的数8减去运动的距离t，即8 t。
因为MN=4，所以N表示的数减去M表示的数等于4，可列方程：
8 t ( 1+2t)=4
解得，t=
当M、N相遇后
M从A点运动到C点所用时间为：，在C点停留2秒，所以M从A点出发到在BC上运动时，总共用时t秒，此时M表示的数是4+2(t 25 2)=4+2(t 29 )=2t 5。
N表示的数依然是8 t。
因为MN=4，所以M表示的数减去N表示的数等于4，可列方程：
2t 5 (8 t)=4
解得，t=
综上所述，t的值为 或。
【解析】（1）根据已知的A、B两点对应的数以及BCAC 的比例关系，求出AC和BC的长度，进而确定C点对应的数。
（2）需要分M、N未相遇和相遇后两种情况，根据M、N在不同时刻表示的数以及MN=4这个条件列出方程求解。
15．（1）解： 点C表示的数为3，BC=2，AB=6 ，OB=3-2=1；AO=6-1=5所以A表示-5；答： 数轴上点A表示的数为 -5.；解：点C表示的数为3，BC=2，OB=3-2=1，所以 B表示 1；答： 点B表示的数为 1.
（2）解：①由题意得，如图：
t秒后，
点p表示的数为：-5+2t，
点Q表示的数为：3-t，
M为AP的中点 ，所以点M表示的数为：，
因为，所以CN=，
所以点N表示的数为：；
②由题意可，如图：P在左侧，Q在右侧时，
OP=5-2t，OQ=3-t，
原点O恰好是线段PQ的中点 ，所以5-2t=3-t；
解得t=2；
如图：Q在左侧，P在右侧时，
OP=2t-5，OQ=t-3，
原点O恰好是线段PQ的中点 ，所以2t-5=t-3；
解得t=2；
当t=2时，P在左侧，不成立，舍去；
综上，t=2时，原点O恰好是线段PQ的中点。
答：点M表示的数为：，点N表示的数为：；t=2时，原点O恰好是线段PQ的中点。
【解析】（1）根据图片A，B，C点的位置，3-2即为B的位置，6-1即为A的位置，由于A在负半轴，所以A为-5；
（2）①根据题意标出点，点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，先求出点p表示的数， M为AP的中点 ，即可求出M， 点Q以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动 ，，先求出点Q表示的数，即可求出点N；
②分点讨论，P在左侧，Q在右侧时，原点O恰好是线段PQ的中点 ，所以5-2t=3-t，解得t=2；Q在左侧，P在右侧时不成立故舍去。
16．解：设AP=AQ=x，阴影部分的面积为S，则S=12×8-12×x2，
即S=96-12x2，
当AP=2cm时，则S=96-12×22=94( cm2)，
当AP=8cm时，则S=96-12×82=64( cm2).
所以阴影部分面积减少了94-64=30(cm2).
答： 图中阴影部分的面积是减少了，减少了30平方厘米.
【解析】分析题目，设AP=AQ=x，阴影部分的面积为S，则由图形可知S=12×8-12×x2，即S=96-12x2；
接下来把AP=2和AP=8分别代入关于S的表达式中进行计算，可得对应的S的值；然后将得出的面积相减，即可得到结果.
17．（1）解：-2-1+2
=-3+1
=-1
答：第一次移动后点在数轴上对应的数为-1。
（2）解：-1-2+4
=-3+4
=1
答：第二次移动后点在数轴上对应的数为1。
（3）解：1-3+6
=-2+6
=4
答：第三次移动后点在数轴上对应的数为4。
（4）解：点P在数轴上的数依次是：-2、-1、1、4，
所以第n次移动后点P在数轴上对应的数是-2+=。
【解析】(1)、(2)、(3)根据左减右加，用开始的点减去向左移动的个数再加上向右移动的个数即可。(4)写出前几个点P的位置，发现第一次移动后的点是-2+1，第二次移动后的点是-2+1+2，第三次移动的点是-2+1+2+3，因此，第n次移动后的点就是-2+1+2+3+……n，据此总结规律即可。
18．（1）解：当点P在AB—BC上运动时，
① 当0
当0
当点P运动到点C时，用的时间为：（4+4）÷2=4（s）
此时点M正好运动到点D，当点M与点Q第一次重合时，有：4（t 4）+（t 4）=4
解得：t=
当点M与点P第二次重合时，有：4（t-5）=2+2（t-5）
解得：t=6
此时点P、M都运动到D处，综上分析可知，
当或时，点M落在线段PQ上。
【解析】（1）分析点P和点Q的运动规律，根据它们的速度和初始位置，可以用含t的代数式表示它们在不同时间段内的位置。
根据题目要求，分别求解当点P在AB—BC上运动时，线段BP的长度表示式以及当BQ＝2BP时，t的值。
（2）考虑动点M的运动情况，当点P与点M第一次重合时，我们求解t的值，并直接写出此时线段DP的长度。分析当点M落在线段PQ上时，t的取值范围，通过解方程和不等式，我们得出t的具体取值范围。
19．（1）解：根据图象可知S△APD=AD×AP=×1×a×8=24，
∴a=6
b==2
c=8+(10+8)=17
（2）8；y=2x-6
（3）解：①当0≤x≤6时
AP=x（cm）
S△APD=AD×AP=4x
②当6＜x≤8时
AP=6+（x-6）×2=2x-6
S△APD=AD×AP=8x-24
③当x运动到C点时
2x-6=18解得：x=12
即：8＜x≤12时
S△APD=AD×AB=40
④当12＜x≤17时
DP=2DC+BC-（2x-6）=-2x+34
S△APD=AD×DP=-8x+136
综上：S△APD=
S△APD=s四边形ABCD=AD×AB=20
①4x=20时，x=5∈[0，6]，符合
②2x-6=20时，x=13 （6，8]，舍去
③8＜x≤12时，S△APD=40≠24，舍去
④-8x+136=20，x=14.5∈（8，12]，符合
所以点P出发后5秒或14.5秒，△APD的面积S1是长方形ABCD面积的。
【解析】解：（2）因为a=6，b=2，
所以动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式为：y=6+2（x-6）=2x-6
当x=7时，y=2×7-6=14-6=8
故答案为：（2）8；y=2x-6。
【分析】 （1）根据三角形的面积公式可求a、b及图②中c的值；
（2）确定y与x的等量关系后列出关系式即可；
（3）①P在AB上运动时，S△APD=AD×AP，AP为运动时间t的一次函数；
②P在BC上运动时S△APD=AD×AB为定值．
③P在DC段上运动时，S△APD=AD×DP．DP为P点运动时间的一次函数．
先计算△APD的面积，然后将计算出来的数值代入所求函数的不同分段，解出对应的x的值，若解出的x值在对应的分段区间内，则x的值即为所求的解，反之则不是．
20．解：由图象可知as时有：
×8× AP=24
4AP=24
AP = 6
又因为P的速度为1，所以a=6÷ 1= 6(s)；
当a=8时，S为40，即P点速度变化后到B点用了2s，则
b=(10-6) ÷2
=4÷2
= 2(cm/s)
c=18÷2+8
=9+8
= 17(s)
答： a、b、c的值分别为6、2、17。
【解析】结合图象分析可知APD面积的变化情况：当点P在AB 上运动时，因为三角形高不变，底边增大，所以APD的面积逐渐增大：点P在BC上运动时，因为此时三角形同底等高，所以APD面积不变；点P在CD上运动，因为高不变，底边缩小，所以APD面积逐渐减小。再利用图找出关键点，a秒时，三角形面积是24，即可求出AP长度，a的值可求出；利用动点P改变速度后到B点的时间与路程可求出速度b； c的值为P运动到D点的时间。
21．（1）2
（2）解：存在，有两种情况：
第一种情况：当点P在AB边上时，，
解得：，即
第二种情况：当点 在BC边上时，如图，
设，则，解得：，
所以
答：当x为cm或3cm时，可使三角形APE的面积为。
【解析】解：(1)当点P与点B重合时，如图
即
故答案为：2
【分析】(1)点P运动到点B，连接AE、PE，观察所形成的图形的底边和高与正方形边长的关系，即可求解。
(2)分析题意，要使三角形APE的面积为 ，首先要判断出三角形APE是否为直角三角形，据此可以分两种情况进行讨论：若点P在AB边上时，令△APE的面积为- ，求解即可；若点 在BC边上时，设，令 的面积=，根据关系列方程，即可确定x的值。
22．（1）解：甲小球到原点的距离为：2＋1×10=12cm；
乙小球碰到挡板后返回的速度：2×1.5＝3(厘米/秒)
乙小球到原点的时间为：10-6÷2=7(秒)
乙小球到原点的距离为：7×3=21cm
答：当t=10时，甲小球到原点的距离为12cm；乙小球到原点的距离为21cm.
（2）解：甲球运动的路程为：1×t=t，
∵OA=2
∴甲球到原点的距离为：t+2；
乙球到原点的距离分两种情况：
当0＜t≤3时，乙球运动的路程为：2×t=2t
∵OB=6
∴乙球到原点的距离为：6-2t
由题意得：t+2=6-2t
3t=4
当t＞3时，乙球到原点的距离为：2×1.5×﹙t-6÷2﹚=3﹙t-3﹚
由题意得：t+2=3﹙t-3﹚
t+2=3t-9
2t=11
t=5.5
综上所述，当或t=5.5时，甲、乙两小球到0点的距离相等。
【解析】熟知路程、速度、时间三者之间的等量关系是解题关键。路程、速度、时间三者之间的等量关系为：路程=速度×时间；速度=路程÷时间；时间=路程÷速度；
（1）根据”路程=速度×时间“可知：甲球运动的路程为：1×10=10cm，由OA=2cm，可得：甲小球到原点的距离为：2＋1×10=12cm；乙小球碰到挡板后返回的速度：2×1.5＝3(厘米/秒)；乙小球到原点的时间为：10-6÷2=7(秒)；乙小球到原点的距离为：7×3=21cm，即可得出答案；
（2）根据乙球的运动轨迹，分0＜t≤3和t＞3两种情况讨论，由甲球到原点的距离为：t+2；当0＜t≤3时，乙球到原点的距离为：6-2t；根据甲、乙两小球到0点的距离相等可列出关于t的一元一次方程，解得t的值；当t＞3时，乙球到原点的距离为：2×1.5×﹙t-6÷2﹚=3﹙t-3﹚，根据甲、乙两小球到0点的距离相等可列出关于t的一元一次方程，解得t的值，即可得出答案。
23．解：把楼梯的各条线段进行平移，可得AB+BC=楼梯A→C的总长；
设A→C的路程为x米，则猫行走的路程为x+1.5米，老鼠行走的路程为x-1.5米，
因为猫和老鼠行走的时间相同，且老鼠的速度是猫的，
根据时间一定时，路程与速度成正比的性质可得：
，根据比例的基本性质可得：
解得x=6.5
答：A→C的路程为6.5米．
【解析】 把楼梯的各条线段进行平移，可得到一个长方形ABCE；可得AB+BC=楼梯A→C的总长（即这个长方形周长的一半）；猫捉鼠的路程之和为楼梯A→C的总长+线段CD长；老鼠逃窜的路程为AB+BC-线段CD长；根据时间一定时，所行走的路程与速度成正比的性质即可解决问题．
24．（1）解：当时，橡皮筋刚好触及钉子
，
所以，
（2）解：当时
AQ=x，BP=2x-2，OE=1
即
所以，当 时，
（3）解：x=2
【解析】（1）当橡皮筋触及到钉子时，由于Q在边AD上，且速度为1cm，所以在x秒后，Q移动的距离为xcm。由于正方形边长为2cm，所以当橡皮筋触及到钉子时，点Q已经移动了整个边长，即移动了2cm，因此，有等式：，其中，（2x-2）是点P移动的距离，因为点P从点A开始移动了（2x-2）cm到达边BC，解以上方程即可求解
（2）先求出时，x和y之间的关系式：，代入x即可求解。
（3）当橡皮筋刚好触及钉子时，，停止时，，，，所以，，所以，此时x=2
25．解：当点P运动到B点时，S△APD=AB×AD÷2
=8×10÷2
=40(cm2)；
所以当点P运动a秒时，点P在AB之间，设该点为E
AE×AD÷2=24，即4AE=24，AE=6；
a=6÷1=6(s)；
点P速度变化后到B点用了8-6=2(秒)；
b=EB÷2
=(10-6)÷2
=4÷2
=2(cm/s)；
c=(BC+CD)÷2+8
=(8+10)÷2+8
=9+8
=17(s)
答： 的值分别为 。
【解析】由图可知，当点P运动到B点时，S△APD=AB×AD÷2=40(cm2)，所以当点P运动a秒时，点P在AB之间，设该点为E，根据三角形面积计算公式即可求出AE的长度，再用AE的长度除以点P的速度即可求出a的值。由图象可知，当点P运动8秒时，点P运动到了点B，因此，用8减去a的值求出点P在EB上的运动时间，接着再用EB的长度除以该运动时间即可求出b的值。由图象可知，8到c的这段时间，点P由B点运动到D点，因此，用BC加CD的长度除以b可以求出8到c的这段时间，再加上8即可求出c的值。
26．解：如图，
由题意可知，丙从D到E用4分钟，丁从D到F用10分钟，乙从E经D到F用6分钟，说明甲（或乙）速度是丙（或丁）的：
因为甲走AD用10分钟，所以丙走AD要用，走AE用
因为乙走（BA+AE）用14分钟，所以，丙走AB用
因为AB长60米，所以丙每分钟走
于是求出：
AE=，ED=
DF=，FC=
=
=
=2497.5（平方米）
答： 的面积为2497.5平方米。
【解析】由题意可知，丙从D到E用4分钟，丁从D到F用10分钟，乙从E经D到F用6分钟，说明甲（或乙）速度是丙（或丁）的：
因为甲走AD用10分钟，所以丙走AD要用，走AE用
因为乙走（BA+AE）用14分钟，所以，丙走AB用
因为AB长60米，所以丙每分钟走
于是求出：
AE=，ED=
DF=，FC=
所以，，代入数据即可求出
27．（1）2x；10-2x
（2）3
（3）小凯的说法是错误的，EC的长度不变。因为E点是线段AB 的中点，C点是线段BD的中点，所以AB=2×BE，BD=2×BC，AB+BD=2×(BE+BC)=2×EC=10，所以EC的长度不变，为5cm。
【解析】（1）路程=速度×时间 AB=2x
BD=AD-AB=10-2x
(2)把x=2代入10-2x中，10-2×2=6（cm），BC=BD÷2=6÷2=3（cm）
（3）小凯的说法是错误的，EC的长度不变。因为E点是线段AB 的中点，C点是线段BD的中点，所以AB=2×BE，BD=2×BC，AB+BD=2×(BE+BC)=2×EC=10，所以EC的长度不变，为5cm。
故答案为：（1）2x （2）3
【分析】（1）根据路程=速度x时间，求出AB的长度，然后用AD的长度减去AB的长度就是BD的长度，分别用含有字母x的式子表示即可。（2）把x=2代入式子中，求出BD的长度，再根据C点是线段BD的中点，求出 BC的长度。（3）E点是线段AB的中点，C点是线段BD的中点，所以线段EC的长是AD的一半，EC的长度不变。
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