浙江省温州市2024-2025学年高一下学期期末考试数学（B）试卷（含解析）

2024-2025学年浙江省温州市高一第二学期期末教学质量统一检测
数学试题(B卷)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数，则z的虚部是( )
A. 1 B. C. 2 D. 2i
2.已知向量，，若与垂直，则实数的值是( )
A. B. C. 1 D. 2
3.已知a，b为空间中不重合的直线，，，为空间中不重合的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
4.下列各组数据中方差最大的一组是( )
A. 5，5，5，5，5 B. 2，2，5，8，8 C. 4，4，5，6，6 D. 3，4，5，6，7
5.已知正六边形ABCDEF的边长为1，则( )
A. B. 1 C. D.
6.如图，四棱锥的底面是正方形，平面ABCD，点E为SC中点，，则异面直线EB与AC所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，观察朝上面的点数.设事件甲=“第一次点数小于3”，事件乙=“第一次点数为偶数”，事件丙=“两次点数之和为8”，事件丁=“两次点数之和是奇数”，则( )
A. 事件乙和事件丙互斥 B. 事件丙和事件丁互为对立
C. 事件甲与事件丙相互独立 D. 事件乙与事件丁相互独立
8.已知正三棱柱的棱长均为1，E，F，G，H分别为棱，，AB，AC的中点，点M为线段EF上的动点，直线AM与平面交于点N，则点N的轨迹长度是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知复数，则下列说法正确的是( )
A. 在复平面内z对应的点位于第四象限 B.
C. D.
10.某电商平台决定对会员进行满意度调查.该平台共有2000名会员，其中女性会员1500人，男性会员500人，采用等比例分层随机抽样的方法抽取容量为80的样本.经计算得女性样本的满意度平均数为9，方差为2，男性样本的满意度平均数为8，方差为1，则( )
A. 男性会员的样本容量为40 B. 每位会员被抽到的概率为
C. 估计该平台会员的满意度平均数为 D. 估计该平台会员满意度的方差为
11.已知点O是平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点B的坐标为，若点C满足，，垂足为D，则( )
A. B. 点C的坐标为
C. 的面积为 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知内角A，B，C的对边为a，b，c，若，，，则 .
13.已知集合，A，B是U的子集，且，则的概率为 .
14.有一个半径为2的四分之一球形状的封闭储物盒，内有一个小球，则小球的最大半径为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
正四棱台的上下底面边长分别为2和4，侧棱长为
求它的表面积;
求它的体积.
16.本小题15分
在等边中，，D，E分别是AB和BC的中点，，设，
用向量，表示，并求
求向量与的夹角的余弦值.
17.本小题15分
为了实现绿色发展，避免能源浪费，某市政府拟推行居民阶梯电价制度，使的用户缴费在第一档最低一档，的用户缴费在第二档，的用户缴费在第三档最高一档为此，相关部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量单位：，并将数据整理后画出如图所示的频率分布直方图.
求直方图中a的值;
请估计月均用电量第一档的范围;
用频率估计概率，在该市中任选3户居民，不同居民的月均用电量相互独立，求恰有1户居民的月均用电量在的概率.
18.本小题17分
如图，在正方体中，，点E为棱AB上的动点不含端点，点H为上一点，直线DH交平面于点
求证平面
若，
ⅰ求证平面
ⅱ当AE为何值时，直线与平面所成角的正弦值为
19.本小题17分
已知内角A，B，C的对边为a，b，c，点M是的内心，若，
求角
延长AM交BC于点D，若，求的周长;
求AM的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：因为，
所以复数的虚部是
2.【答案】A
【解析】解：，，，
，解得
根据得出，进行向量坐标的数量积运算即可求出的值．
本题考查了向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算，考查了计算能力，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：A：若，，可能或a与相交或a与平行，相交也不一定垂直，故A错误；
B：若，，可能或，故B错误；
在C中，若，，则与相交或平行，故C错误；
在D中，若，，则由线面垂直的性质定理得，故D正确．
4.【答案】B
【解析】解：选项A：数据为5，5，5，5，5的平均数，每个数据与平均数的差均为0，
故方差；
选项B：数据为2，2，5，8，8的平均数，
方差为；
选项C：数据为4，4，5，6，6的平均数，
方差为；
选项D：数据为3，4，5，6，7的平均数，
方差为；
比较各组方差：，故方差最大的是选项
5.【答案】C
【解析】解：在边长为1的正六边形ABCDEF中，
是边长为的正，
所以
6.【答案】A
【解析】
解：因为平面ABCD，底面ABCD是正方形，
故以D为原点，分别以DA，DC，DS所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设，则，，，，
因为点E为SC中点，所以，
所以，，
设异面直线EB与AC所成角为，
则
故选
7.【答案】D
【解析】解：抛掷骰子两次，总共有种等可能结果.
事件甲第一次点数小于：第一次为1或2，共种结果，
事件乙第一次点数为偶数：第一次为2、4、6，共种结果，
事件丙两次点数之和为：可能的组合为，共5种结果，
事件丁两次点数之和为奇数：需一次奇一次偶，共种结果，
选项A：乙包含第一次为偶数的结果如，丙包含和为8的结果如，两者有交集，不互斥，A错误;
选项B：丙是和为偶数，丁是和为奇数，两者互斥但并集不为整个样本空间存在和为偶数但非8的情况，非对立，B错误;
选项C：甲∩丙仅含第一次为2，和为，共1种结果，；而，不相等，不独立，C错误;
选项D：乙∩丁为第一次偶数且第二次奇数和为奇数，共种结果，；而，相等，事件乙与事件丁相互独立，D正确.
故选
8.【答案】C
【解析】解：连接AE，AF，分别交，于点P，Q，因为点M在线段EF上运动，故AM在平面AEF内，又因为线AM与平面交于点N，故点N的轨迹为平面AEF与平面的交线，即线段PQ，
在，，中，可得，
，F分别为棱AC，的中点，故≌，，
，，即，
，，，
同理，，故，且，故此题选
9.【答案】ACD
【解析】解：选项A：复数在复平面内对应的点为，实部，虚部，因此位于第四象限，A正确；
选项B：共轭复数，则，与选项中不符，B错误；
选项C：复数的模长，共轭复数的模长与原复数相等，
故，C正确；
选项D：计算，有理化分母得：，D正确.
故选
10.【答案】BCD
【解析】解：选项A：等比例分层抽样中，男性样本容量为，故A错误；
选项B：每位会员被抽到的概率为，故B正确；
选项C：总体满意度平均数估计为各层平均数按比例加权平均，女性占比，男性占比，则总体平均数为，故C正确；
选项D：总体方差估计需计算各层方差与层间差异的加权和.
设总体平均数，女性层：比例，方差，平均数，
则，贡献为；
男性层：比例，方差，平均数，
则，贡献为，
总体方差为，故D正确.
故选
11.【答案】ACD
【解析】解：选项A：点，点，
则，故A正确；
选项B：设，由得，
即方程组： ，解得，，
故，与选项C的不符，B错误；
选项C：向量，，
，
所以，则，
所以，故C正确；
选项D：因D在OA上，OA方向向量为，
可设，则，由得，
即： ，
故，即，D正确。
12.【答案】
【解析】解：在中，
由正弦定理可得：
13.【答案】
【解析】解：确定全集U的子集：，其子集有，，，，共4个.
满足的组合数;
当时，B必须为种；
当时，B需包含2，即或种；
当时，B需包含1，即或种；
当时，B可为任意子集种；
总共有种符合条件的组合.
满足的组合数;
，符合；
，符合；
，符合；
，符合；共4种符合条件的组合.
所以的概率为
14.【答案】
【解析】解：设半径为2的四分之一球的球心为O，其内部小球的球心为C，
当内部小球与四分之一球的两个平面部分与一个球面部分都相切时，小球半径取最大，
设内部小球半径的最大值为r，四分之一球的半径为，
则，
又，
即，解得
故答案为
15.【答案】解：如图
正四棱台由四个全等的等腰梯形和两个正方形组成，
易知等腰梯形的高为，则等腰梯形的面积为，
所以正四棱台表面积为，
在正四棱台中，点，O分别为上、下底面的中心，连接OA，，，
则由题意可知底面ABCD，，，
过点作交AO于点E，则底面ABCD，
进而得四边形为矩形，，
所以，
又因为，
所以，即正四棱台的高为，
所以正四棱台的体积为
16.【答案】解：，
，
则，
由于为等边三角形，则，且与的夹角为，
故，
则，
因此；
，故，
因此，
， ，
设向量与的夹角为，

17.【答案】解：，
解得：
由题意可知：月均用电量在的频率为，
月均用电量在的频率为，
月均用电量在的频率为，
因为，
设月均用电量第一档的范围为，则
则，
解得：
故月均用电量第一档的范围为
记事件“第一户的月均用电量在”，“第二户的月均用电量在”，“第三户的月均用电量在”，“3户中恰有1户居民的月均用电量在”.
用频率估计概率，得，
根据概率的加法公式和事件独立性的定义，得
18.【答案】证明：，，M，E，D四点共面，
平面平面ABCD，平面平面，平面平面，
，
平面，平面，平面；
证明：连接，
平面，平面，，
又，，平面，，
平面，
平面，
，
又，，平面，，
平面
ⅱ解：设，作交于点N，
，，，，平面，
平面，
即为所求，
平面，
，
平面，平面，
，，
，平面，
当时，直线与平面所成角的正弦值为
19.【答案】解：由正弦定理，，即，
将其代入已知条件，得 ，
两边约去得：，
即因，故
因为点M是的内心，所以，
设的内切圆半径为r，则，
，，，
又因为，，所以
由可得，
因为AD是的角平分线，所以，且
，，，
则，
又，所以，即
由余弦定理可得
将代入上式得
设，则，解得，
因为，所以
所以的周长为
记内切圆的半径为r，由等面积思想，
可得，，
由余弦定理得可知，，
则，
又因为，
解得，
所以