黑龙江省齐齐哈尔市部分学校2025届九年级下学期中考四模数学试卷（含解析）

2025年黑龙江省齐齐哈尔市部分学校中考四模数学试题
一、单选题
1．﹣5的绝对值是（ ）
A．5 B．﹣5 C． D．
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
6．下列说法错误的是（ ）
A．张票中有张奖票，人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大
B．从，，，，中随机抽取一个数，取得奇数的可能性较大
C．小明一次掷出颗质地均匀的骰子，颗全是点朝上是随机事件
D．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币次不一定有次正面朝上
7．已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
8．在数学知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，班级计划用100元钱购买甲，乙，丙三种奖品，三种奖品都要购买，甲种奖品每个5元，乙种奖品每个10元，丙种奖品每个15元，在丙种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（ ）
A．12种 B．15种 C．16种 D．14种
9．如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．已知抛物线（是常数）的顶点为．小赵同学得出以下结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④若的一个根为3，则；⑤抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中结论正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
11．截至月日，电影《哪吒》全球总票房突破亿元，长沙万象城影院某天《哪吒》的票房累计约元，数字用科学记数法表示为 ．
12．在函数中，自变量的取值范围是 ．
13．一个圆锥的高为4，底面半径为3，它的侧面展开图的面积是 ．
14．如图，在三角形中，以点为圆心画弧，交线段于点和点，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，直线交线段于点．若，，则的长为 ．
15．如图，将抛物线沿向下平移，使平移后的抛物线经过原点，且平移后的抛物线的对称轴与原抛物线交于点，则经过点的反比例函数的解析式为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，，点A的坐标为，点，在轴上，将绕顶点A旋转，得到，则点的坐标为 ．
17．2024年巴黎奥运会的吉祥物是“弗里热”．“弗里热”可以看作是数学中常见的三角形，数学活动小组将这个三角形置于平面直角坐标系中，如图，以所在直线为轴，点为坐标原点，建立平面直角坐标系，，将沿轴正半轴无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为按此规律，滚动2025次后停止滚动，则点的坐标为 ．
三、解答题
18．（1）计算：；
（2）分解因式：．
19．解方程：．
20．齐齐哈尔市为了推广新能源汽车，对市民购买新能源汽车的意愿进行了调查．调查结束后，统计部门根据收集到的数据，绘制了关于市民购买新能源汽车意愿的条形统计图和扇形统计图．请根据以下信息，解答下列问题：
(1)此次调查共涉及了___________名市民；
(2)补全条形统计图；
(3)扇形统计图中“不愿意”所在扇形的圆心角度数为___________度；
(4)如果该城市有100万名市民，请根据调查结果估计有多少万名市民对购买新能源汽车的意愿为“愿意”．
21．如图，已知是的外接圆，．分别是的中点，连接并延长至点，使，连接．
(1)求证：与相切；
(2)若，求的半径．
22．一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地．甲、乙两车之间的路程与两车行驶时间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题：
(1)甲车行驶的速度是_____，并在图中括号内填上正确的数；
(2)求图中线段所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)请直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．
23．在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动
【操作判断】
操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平；
操作二：如图②，在边上选一点E，沿折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕；
操作三：如图③，在边上选一点F，沿折叠，使边与边重合，得到折痕把正方形纸片展平，得图④，折痕与的交点分别为G、H．
根据以上操作，得________．
【探究证明】
（1）如图⑤，连接，试判断的形状并证明；
（2）如图⑥，连接，过点G作的垂线，分别交于点P、Q、M．求证：．
【深入研究】
若，请求出的值（用含k的代数式表示）．
24．综合与探究
如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点是抛物线顶点．
(1)求抛物线的解析式并直接写出点的坐标；
(2)若是第一象限内抛物线上的任意一点．
①过点作轴，过点作轴，则___________
②连接，交于点，连接，记的面积为的面积为，求的最大值；
(3)如图②，为轴上一条定线段且，则的最小值为___________．
参考答案
1．A
解：|﹣5|=5．
故选A．
2．B
解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：B．
3．C
解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、 ，原计算错误，不符合题意；
C、 ，原计算正确，符合题意；
D、 ，原计算错误，不符合题意；
故选：C．
4．B
解：∵，
∴，
∵，，
∴，
故选：B．
5．A
解：由图可知：几何体的主视图为：
故选A．
6．A
解：A. 张票中有张奖票，人去摸，每个人摸到奖票的概率一样，故该选项不正确，符合题意；
B. 从，，，，中随机抽取一个数，取得奇数的可能性较大，故该选项正确，不符合题意；
C. 小明一次掷出颗质地均匀的骰子，颗全是点朝上是随机事件，故该选项正确，不符合题意；
D. 抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币次不一定有次正面朝上，故该选项正确，不符合题意；
故选：A．
7．B
解：去分母得：，
解得：，
方程的解为非正数，
，
解得，
又，
，
，
，
的取值范围是．
故选：B．
8．D
解：设购买、、三种奖品分别为个，
根据题意列方程得，
即，
由题意得均为正整数．
①当时，
，
分别取，，，，，，，共种情况时，为正整数；
②当时，
，
可以分别取，，，，，共种情况，为正整数；
综上所述：共有种购买方案．
故选：D．
9．B
解：由图象得：，当时，，此时点P在边上，
设此时，则，，
在中，，
即：，
解得：，
，
故选：B．
10．B
解：∵抛物线的顶点为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即故①正确
∴的符号无法判断，故结论②错误；
∵，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大，故结论③正确；
∵，，
∴，
∵的一个根为，
∴，
∴，故结论④正确；
∵抛物线的顶点为，
∴，
∴将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位得到，故结论⑤错误；
∴正确的是①③④．
故选：B．
11．
解：，
故答案为：．
12．
解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
13．15
∵圆锥的底面半径是3，高是4，
∴圆锥的母线长为=5，
∴这个圆锥的侧面展开图的面积是π×3×5=15π．
故答案为15π．
14．
解：由作图知，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
15．
解：∵将抛物线沿向下平移得到新抛物线，
∴可设将抛物线向下平移t个单位长度，向左平移t个长度可得到新抛物线，
∴新抛物线解析式为，
∵平移后的抛物线经过原点，
∴，
解得或（舍去），
∴平移后的抛物线解析式为，
∴平移后的抛物线对称轴为直线，
在中，当时，，
∴，
设经过点A的反比例函数解析式为，
∴，
∴，
∴经过点A的反比例函数解析式为，
故答案为：．
16．或
∵，，，，
∴，．
在中，
，即，
∴．
情况一：顺时针旋转，
∴，
∴，则．
过作轴于点，
在中，
，，．
∴，．
∵，
∴，
∴坐标为 ．
情况二：逆时针旋转
过作轴于点，
此时，则．
∵，点坐标，
∴的横坐标为，纵坐标为，即坐标为 ．
故答案为：或．
17．
解：如图，过点B作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
根据题中规律可得点的坐标每滚三次一个循环，每个循环横坐标增加，
∵，
，
∴点的坐标为，
故答案为：．
18．（1）1；（2）
解：（1）原式
．
（2）原式
19．
解：，
或
．
20．(1)400
(2)见解析
(3)126
(4)估计有30万名市民对购买新能源汽车的意愿为“愿意”
（1）解：此次调查涉及市民人数为：，
故答案为：400；
（2）解：“非常愿意”人数：，
“不愿意”人数：，
补全条形统计图如下：
（3）解：“不愿意”所在扇形的圆心角度数为：，
故答案为：126；
（4）解：（万）
答：估计有30万名市民对购买新能源汽车的意愿为“愿意”．
21．(1)证明见解析
(2)
（1）证明：如图①，连接，
，为的中点，
，
过圆心，
为的中点，
，
又∵，
，
，
∴，
，
∵为的半径，
为的切线；
（2）解：如图②，过点作于点，连接，
，
设，则，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
设的半径为，则，
在中，，
解得，
的半径为．
22．(1)70，300
(2)
(3)或
（1）解：由图可知，甲车小时行驶的路程为，
甲车行驶的速度是，
∴A、C两地的距离为：，
故答案为：70；300；
（2）解：由图可知E，F的坐标分别为，，
设线段所在直线的函数解析式为，
则，
解得，
线段所在直线的函数解析式为；
（3）解：由题意知，A、C两地的距离为：，
乙车行驶的速度为：，
C、B两地的距离为：，
A、B两地的距离为：，
设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍，
分两种情况，当甲乙相遇前时：
，
解得；
当甲乙相遇后时：
，
解得；
综上可知，两车出发或时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．
23．[操作判断]45；
[探究证明]（1）等腰直角三角形，理由见详解；（2）见详解；
[深入研究]
[操作判断] 解：如图，
由题意得，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
故答案为：45；
[探究证明] 解：（1）如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形；
（2）如图，
由翻折得，，
∵四边形是正方形，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
[深入研究] 解：如图，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵是对角线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴,
∵，
∴设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
24．(1)，
(2)①；②有最大值为
(3)
（1）解：∵抛物线与轴交于点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：
，
∴顶点D的坐标为；
（2）解：①设点M的坐标为，
∵轴，轴，
∴点的坐标为，
∴，
，
∴；
②如图，作轴，轴，分别交直线于点P和点Q，
则，
∴，
根据同高不同底，得，
∴，
把代入得：，
∴，
设直线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
把代入得：，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴
，
∵，，
∴当时，有最大值．
（3）解：作点D关于x轴的对称点，连接，过点C作轴，且，连接，，如图所示：
根据作图可知：，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴当、H、在同一直线上时，最小，即最小，
∵为定值，
∴当最小时，最小，
∵，，
∴，
∴的最小值为．