广东省东莞市松山湖未来学校2024-2025学年高一上学期9月开学核心素养测评数学试卷(图片版,含详解)

广东省东莞松山湖未来学校 2024-2025 学年高一（人文重点班）上学期 9
月开学核心素养测评数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1．已知集合U 2, 1,0,1,2 ， A = {x∈N 2 < x < 3}，则 U A =（ ）
A． B．{ 2, 1} C．{ 2, 1,0} D．{ 2,2}
2．哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一，即所谓的“1+1”问题.1966年，我国数学家陈景润证明了“1+ 2 ”
成立.哥德巴赫猜想的内容是“每一个大于 2 的偶数都能写成两个质数之和”，则该猜想的否定为（ ）
A．每一个小于 2 的偶数都不能写成两个质数之和
B．存在一个小于 2 的偶数不能写成两个质数之和
C．每一个大于 2 的偶数都不能写成两个质数之和
D．存在一个大于 2 的偶数不能写成两个质数之和
3．设 x∈R ，则“ x(x 4) < 0 ”是“ x 1 <1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若实数a满足 (a + 2023)(a + 2024) = 5，则 (a + 2023)2 + (a + 2024)2 =（ ）
A．5 B．11 C．25 D．26
5 1．函数 f (x) = x + 2 + 2 的定义域是（ ） x 4
A． ( ∞, 2) (2,+∞) B．[ 2,+∞)
C． ( 2,2)∪(2,+∞) D． (2,+∞)
6．已知不等式 x2 + ax + 4 < 0的解集为空集，则 a 的取值范围是（ ）
A． 4 ≤ a ≤ 4 B． 4 < a < 4
C．a ≤ 4或a ≥ 4 D．a < 4或 a > 4
7．下列函数中，与函数 y = x 1是同一函数的是（ ）
A． y = ( x 1)2 B． y = x2 1
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x2C． y = 1 D． y = 3 x3 1
x
8．对于任意集合M , N ，下列关系正确的是（ ）
A．M M N N = M N B． M N (M N ) = ( M N M ) ( M N N )
C．M M N N = M N D． M N (M N ) = ( M N M ) ( M N N )
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9．已知a > b > 0，那么下列不等式一定成立的有（ ）
A b b +1． < B
b a
． + ≥ 2
a a +1 a b
a 1 1C． + > b + D．a + b > ab
a b
10．若正实数a,b满足a + 2b =1，则下列说法正确的是（ ）
1 2
A 1． + 有最小值 9 B．ab有最大值
a b 8
C ab 1
2
． 有最大值 D．a2 + b24 有最小值 5
a, a ≤ b
11 min{a,b} = f (x) = min{x2．定义 ，若函数 3x + 3, | x 3 | +3}，且 f (x)在区间[m, n]b,a b 上的值域为 >
3 , 7 4 4
，则区间[m,n]长度可以是（ ）

7 11
A． B
7
． C． D．1
4 2 4
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5分，共 15分.
12．设一元二次不等式ax2 + bx +1> 0的解集为{x | 1< x < 2}，则ab的值为
3
13 2．“不等式2kx + kx < 0对一切实数 x都成立”，则 k 的取值范围为 .
8
14．已知 x > 0, y > 0，且 x2 + y2 + xy =1，则 x + y 的最大值为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
3 2
15．（本小题满分 13 分）（1）因式分解： x 5x +17x 13 ;
（2）因式分解：2x2 5xy 3y2 + 3x + 5y 2 ;
5 1
（3）解方程： 2 = 0 ; x + x x2 x
（4）化简： 9 4 5 + 3 5 .
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2
16．（本小题满分 15 分）已知P ={x | x 3x + 2 ≤ 0}， S ={x |1 m ≤ x ≤1+m} .
(1)是否存在实数 m，使 x∈P是 x∈S 的充要条件？若存在，求出 m 的取值范围，若不存在，请说明理由；
(2)是否存在实数 m，使 x∈P是 x∈S 的必要条件？若存在，求出 m 的取值范围，若不存在，请说明理由.
17．（本小题满分 15 分）解下列关于 x 的不等式.
(1) 1 2x 1≤ ≤1；
3x + 2
2
(2) 2x 3x 52 ≥1； 3x 13x + 4
2
(3) (x 1) (x +1)(x 2) < 0；
x + 4
18．（本小题满分 17 分）设 f (x) = mx2 mx 6+m .
(1)若对于m∈[ 2, 2]， f (x) < 0恒成立，求实数 x的取值范围；
(2)若对于 x∈[1,3]， f (x) < 0恒成立，求实数m 的取值范围.
(3)解关于 x的不等式mx2 + (1 m)x +m 2 < m 1(m∈R) .
19．（本小题满分 17 分）整数集的符号Z取自德文整数单词的首字母，这是为了纪念德国女数学家艾米·诺
特对整数理论的重大贡献，她的代表著作《整环的理想理论》大幅推动了现代数学抽象代数理论的发展.数
环的定义为：设 A 是非空数集，如果对 x, y∈ A，都有 x + y∈ A, x y∈ A，且 xy∈ A成立，称 A 是个数环.
(1)分别判断下列 3 个集合是否是一个数环，并说明理由：N，Q，{x∈R∣x = m + 2n, m∈Z, n∈Z}
(2)求证：任何数环都有元素 0：
(3)求证：若M N 是数环，则M ∩ N 是数环.
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答案及解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
选项 B D B B C A D B AB AB AD
1. B【解析】因为 A = {x∈N 2 < x < 3} = {0,1,2}，所以 U A = { 2, 1}，故选 B.
2. D【解析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，A，C 错误;哥德巴赫猜想的否定为“存在一个大于 2
的偶数不能写成两个质数之和”.故选 D.
3. B 【解析】解不等式 x(x 4) < 0得0 < x < 4，不等式 x 1 <1化为 1< x 1<1，所以0 < x < 2，因为
{x 0 < x < 2}为{x 0 < x < 4}的真子集，所以“ x(x 4) < 0 ”是“ x 1 <1”的必要不充分条件.故选 B.
4. B【解析】设a + 2023 = m，a + 2024 = n，∴n m = a + 2024 (a + 2023) =1，
(a + 2023)(a + 2024) = 5，∴mn = 5，
∴(a + 2023)2 + (a + 2024)2 = m2 + n2 = (n m)2 + 2mn =1+ 2×5 =11.故选B .
x + 2 ≥ 0
5. C 1【解析】解：函数 f (x) = x + 2 + 2 的定义域满足： 2 解得 x ≥ 2x 4 0 ，且
x ≠ ±2，
x 4 ≠
∴函数 f (x)的定义域为 ( 2,2)∪(2,+∞) .故选 C.
6. A 【解析】由不等式 x2 + ax + 4 < 0的解集为空集，根据二次函数的性质，则满足 = a2 4×4 ≤ 0，解得
4 ≤ a ≤ 4 .即实数a的取值范围是[ 4,4] .故选 A.
7. D【解析】由函数 y = x 1的定义域为R ；
对于 A 中，函数 y = ( x 1)2定义域为[1,+∞)，与 y = x 1定义域不同，所以不是同一函数；
2 x 1, x ≥ 0
对于 B 中，函数 y = x 1= x 1= y = x 1x 1, x 0，与函数 的对应关系不同，所以不是同一函数；
<
2
对于 C 中，函数 y x= 1定义域为{x | x ≠ 0}，与 y = x 1定义域不同，所以不是同一函数；
x
对于 D 中，函数 y = 3 x3 1= x 1与 y = x 1的定义域都是R ，且对应关系都相同，所以是同一函数.故选 D.
8. B 【解析】
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对于A ：如图所知， M N N 为区域①，所以M ∪ M∪N N = M ，故A 错误；
对于B： M∪N (M ∩ N )为区域①和③；( M∪N M )为区域③，( M∪N N )为区域①，则 ( M∪N M )∪( M∪N N )也为
为区域①和③；两边相等，故B正确；
对于C ： ( M∪N N )为区域①，M ∩ M∪N N 为区域①，不等于区域②（区域②为M ∩ N ），故C 错误；
对于D ： M∪N (M ∩ N )为区域①和③；而 ( M∪N M )为区域③，( M∪N N )为区域①，所以 ( M∪N M )∩( M∪N N )
为空集，所以D 错误；故选B .
b b +1 b (a +1) a (b +1) b a b b +1 b a
9. AB【解析】A 选项： = =a a ，由 a > b > 0，可知
= < 0 ，
+1 a (a +1) a (a +1) a a +1 a (a +1)
b b +1
即 < 成立，A 选项正确；
a a +1
B a b a
b a b a
选项： > b > 0 b a 2 b a， + ≥ = 2，当且仅当 = a = b + > 2 + ≥ 2
a b a b a b
，即 时取等号，所以 ，即 成
a b a b
立，B 选项正确；
C a
1
+
1
选项： b + = a
1 1 1
b + = (a b) 1

，又a > b > 0，所以a b 0，
a b a b ab
1 1 1 1 1
当 ab >1
1 1
时，1 > 0，即a + > b + ，当ab =1时，1 = 0，即a + = b + ，当 ab <1时，1 < 0ab ，a b ab a b ab
1 1
即 a + < b +a b ，
C 选项错误；
D 选项：当a = 2，b = 3时，a + b = 5，ab = 6，此时 a + b < ab ，D 选项错误；故选 AB.
10. AB 1 2 1 2 (a 2b) 5 2b 2a 5 2 2b 2a 2b 2a 1【解析】 + = + + = + + ≥ + = 9，当且仅当 = a = b = 时等
a b a b a b a b a b 3
A 1 1 1号成立，故 对；a + 2b =1≥ 2 2ab ，则 ab ≤ ，当且仅当a = 2b，即a = ,b = 时等号成立，故 B 对 C8 2 4
2 2 1 1 1 2
错；由a = 1 2b ，则a2 + b2 = 5b2 4b +1= 5 b

+ ，而0 < b < a
2
，所以 + b2 ≥ ，当且仅当b = 时
5 5 2 5 5
等号成立，故 D 错.故选 AB.
11.AD 2【解析】令 x 3x + 3 ≤ x 3 + 3①，
当 x ≥ 3时，不等式可整理为 x2 2x 3 ≤ 0，解得 1≤ x ≤ 3，故 x = 3符合要求，
当 x < 3时，不等式可整理为 x2 4x + 3 ≤ 0，解得1≤ x ≤ 3，故1≤ x < 3，
所以不等式①的解为1≤ x ≤ 3；
2
由上可得，不等式 x 3x + 3 > x 3 + 3的解为 x <1或 x > 3，
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2
x 3x + 3,1≤ x ≤ 3f (x) = 3 3 x2 3x + 3 = x = x2 7 5 1所以 x 3 3, x 1 x 3，令 ，解得 ，令 3x + 3 = ，解得 x = 或 ，令 + 或 4 2 4 2 2
x 3 3 3 3 21 7 7 + = 17，解得 x = 或 ，令 x 3 + 3 =4 ，解得 x = 或 ， 4 4 4 4 4
7
所以区间[m,n]的最小长度为 1，最大长度为 .故选 AD.
4
1
12. 【解析】 一元二次不等式 ax2 + bx +1> 0的解集为{x | 1< x < 2}，∴方程
4 ax
2 + bx +1= 0的解为 1，
1 1 1
2 b 1，∴ 1+ 2 = ， ( 1)× 2 = ∴a = ，b = ，∴ab = ． a a 2 2 4
1
故答案为： ．
4
3 3
13. 3 < k ≤ 0 k = 0 2【解析】当 时，不等式 2kx + kx < 0 < 0对一切实数 x都成立，
8 8
k < 0,

所以 k = 0成立；当 k ≠ 0时，由题意得 3 解得： 3 < k < 0 .
Δ = k
2 4 (2k) ( ) < 0,
8
14. 2 3 【解析】因为 x > 0, y > 0，所以 x2 + y2 + xy = (x + y)2 xy =1，
3
2 x + y 2 2 x + y即 (x + y) 1 = xy 2，由基本不等式得 xy ≤ ( ) ，则 (x + y) 1≤ ( ) ，
2 2
x 2 3 3 2 3解得 + y ≤ ，当且仅当 x = y = 取等号.所以 x + y 的最大值为 .
3 3 3
15.【解】（1） x3 5x2 +17x 13
= x3 5x2 + 4x +13x 13
= x (x2 5x + 4) +13(x 1)
= x (x 4)(x 1) +13(x 1)
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= (x 1)(x2 4x +13)；
（2）令2x2 5xy 3y2 + 3x + 5y 2 = (2x + y + a)(x 3y + b)
则原式= 2x2 5xy 3y2 + (a + 2b) x + (b 3a) y + ab ,
于是a + 2b = 3,b 3a = 5, ab = 2 ,得a = 1,b = 2 ,
2x2所以 5xy 3y2 + 3x + 5y 2 = (2x + y 1)(x 3y + 2)；
5 1 5 1
（3）由 = 0得 = 0
x2 + x x2 x x (1+ x) x (x 1) ,
去分母得5(x 1) (x +1) = 0 ,且 x ≠ 0, x ≠ 1, x ≠1
3
去括号得5x 5 x 1= 0 ,解得 x = ；
2
2 6 2 5
（4） 9 4 5 + 3 5 = ( 5 2) + 2
( 5 1)2
= 5 2 +
2
5 1
= 5 2+
2
10 2
= 5 2+ .
2 2
16.【解】（1）P ={x | x2 3x + 2 ≤ 0}={x |1≤ x ≤ 2}，
1 m =1
要使 x∈P是 x∈S 的充要条件，则P = S ，即
1+m 2
，此方程无解，
=
则不存在实数 m，使 x∈P是 x∈S 的充要条件；
（2）要使 x∈P是 x∈S 的必要条件，则 S P，
当 S = 时，1 m >1+m，得m < 0；
1 m ≥1
当 S ≠ 时，1 m ≤1+m，得m ≥ 0，要使 S P，则有 m ≤ 0 m = 0
1
，得 ，故 ，
+m ≤ 2
综上所述，当实数m ≤ 0时， x∈P是 x∈S 的必要条件.
17. 1 1 2x 1
2x 1
【解】（ ）由 ≤ ≤1可得 ≤1 (2x 1)2 ≤ (3x + 2)2 (3x + 2 ≠ 0)，
3x + 2 3x + 2
即 (x + 3)(5x +1) ≥ 0(3x + 2 ≠ 0) 1，解得 x ≤ 3或 x ≥ ，
5
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( ∞ , 3] 1所以不等式的解集为 ∪ ,+∞
.
5
2 2x
2 3x 5 1 2x
2 3x 5 21 0 , x 10x + 9（ ）原不等式 2 ≥ 可化为 2 ≥ 即 2 ≤ 0， 3x 13x + 4 3x 13x + 4 3x 13x + 4
即 (x2 10x + 9)(3x2 13x + 4) ≤ 0且3x2 13x + 4 ≠ 0，
1
由图可知，原不等式的解集为 ,1 ∪(4,9]． 3
3 (x 1)
2 (x +1)(x 2) 2
（ ）由 < 0可得 (x 1) (x +1)(x 2)(x + 4) < 0，
x + 4
由数轴穿根法可知， x< 4或 1< x <1或1< x < 2，
所以不等式的解集为 ( ∞ , 4)∪( 1,1)∪(1, 2) .
18. 2 2【解】（1）设 f (x) = g (m) = mx mx 6+m = m (x x +1) 6
2
则 g (m)是关于m 1 3的一次函数，且一次项系数为 x2 x +1= x + > 0，
2 4
所以 g (m)在[ 2,2]上单调递增．
所以 g (m) < 0等价于 g (2) = 2(x2 x +1) 6 < 0，解得 1< x < 2，
故实数 x的取值范围为 ( 1, 2) .
（2 2 2）要使 f (x) = mx mx 6+m = m (x x +1) 6在[1,3]上恒成立，
即m (x2 x +1) < 6， x∈[1,3]，
因为当 x∈[1,3] 2 6时， x x +1∈[1,7]，则有m < 2 在[1,3]上恒成立， x x +1
g (x) 6 6 6= =
x∈[1,3] 2 2
≥ 6
当 ，令 x x +1 7
x
1 3 ，即 g (x) =min ， +
2 4
7

m 6所以 < 2 在[1,3]上恒成立，则m < g (x) ， x x +1 min
6
即m
6
< ，故实数m 的取值范围为 ∞, . 7 7
（3）由mx2 + (1 m) x +m 2 < m 1 2，化简得mx + (1 m) x 1< 0 ，即 (mx +1)(x 1) < 0，
当m = 0时， x 1< 0，解得 < 1.
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1
当 > 0时，对于不等式 (mx +1)(x 1) < 0，解得 < x <1，
m
1
当 1< m < 0时，对于不等式 (mx +1)(x 1) < 0，解得 < 1或 x > ，
m
当m = 1时，对于不等式 (mx +1)(x 1) < 0，解得 < 1或 > 1，
当m < 1时，对于不等式 (mx +1)(x 1) < 0 1，解得 > 1或 x < ，
m
1
综上所述：当m < 1时，关于 x的不等式解为 ∞, ∪(1,+∞)；
m
当m = 1时，关于 x的不等式解为 ( ∞,1)∪(1,+∞)；
1 m 0
1
当 < < 时，关于 x的不等式解为 ( ∞,1)∪ ,+∞ ；
m
当m = 0时，关于 x的不等式解为 ( ∞,1)；
1
当 > 0 时，关于 x的不等式解为 ,1 .
m
【规律方法】（1）分离参数法：结合题意，分离参数将问题转化为函数在给定区间上的最值问题，再利用
函数的性质求得最值，从而得到参数的取值范围；
（2）更换主次元法：结合问题，将问题的变量和参数进行转换，得到关于参数的式子，本题就是得到关于
m 的一次函数 g (m)，利用函数 g (m)的单调性将问题转化为函数的最大值小于0 ，即可得到关于 x的不等
式解得范围．
（3）利用分类讨论，并结合二次函数的性质及一元二次不等式求解，从而可求解.
19.【解】（1）取 x =1, y = 2，则 x, y∈N ，但 x y =1 2 = 1 N，故N不是数环；
取 x
d , y t (c, d , s, t∈Z) d t ds + ct= = ，则 x, y∈Q，则 x + y = + = ，
c s c s cs
c,d , s, t∈Z，∴cs,ds,ct∈Z，∴ x + y∈Q，
同理 x y
d t ds ct d t dt
= = ∈Q， xy = = ∈Q ，故Q是数环；
c s cs c s cs
设 x = m + 2n, y = a + 2b (m,n,a,b∈Z)，∴ x, y∈R ，
则 x + y = m + a + 2(n + b)， m,n,a,b∈Z，∴ x + y∈R ，
x y = m a + 2(n b)，
m, n, a,b∈Z，∴ x y∈R ，
xy = (m + 2n）(a + 2b）= am + 2bn + 2(na + bm)，
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m, n, a,b∈Z，∴am + 2bn∈Z，an + bm∈Z，∴ xy∈R ，
∴{x∈R∣x = m + 2n,m∈Z,n∈Z}是数环.
（2）假设存在一个数环S，它不包含 0，即对于所有a∈S ，都有a ≠ 0，
根据数环定义，对于任意a,b∈S ，有a + b∈S ， a b∈S ，ab∈S ，
特别地，当a = b时，a + b = 0，这与S不包含 0 的假设矛盾，
因此任何数环都有元素 0.
（3）设M N 是数环， 0∈M ,0∈N ，∴0∈M N ，
若 a∈M N ，∴a∈M ,a∈N ， M 是数环，∴对于整数n，有na∈M ，
同理na∈N ，∴na∈M N ，∴M N 是数环.
【名师点拨】集合新定义问题的解题技巧：求解此类题的关键是读懂新定义的意义，在领会新定义的基础
上，可通过举例的办法明晰新定义的内涵和外延，将其运用到新的情境中，进而对结论作出判断.
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