镇海中学 2024学年第二学期期末考试
高一数学
一、单选题:本题共 8小题,每小题 5分,共 40分,每小题只有一个选项符合要求
1. a
已知 = 1,-2,3 , b= -4,x,2 ,且 a⊥ b,则实数 x的值为 ( )
A. - 1 B. 0 C. 1 D. 5
2. “关于 x , y的方程:x2+ y2+mx+ 4y+ 8= 0表示圆”是“m> 4”的 ( )条件
A. 必要不充分 B. 充要 C. 充分不必要 D. 既不充分也不必要
3.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点 E为棱AA1的中点,点 F为棱 CC 上靠近 C的三等分点.若 1
EF = xAB+ yAD+ zAA1 , x , y , z∈R,则 x+ y+ z的值为 ( )
A. 1 B. 116 6 C.
17
6 D. -
1
6
4.有一个质地均匀的骰子,连续投掷两次,A表示事件“第一次投掷正面朝上的点数是 6”,B表示事件“第
二次投掷正面朝上的点数是 5”,C表示事件“两次投掷正面朝上的点数之和是 7”,D表示事件“两次投掷
正面朝上的点数之和是 8”,则以下说法正确的是 ( )
A. P CD =P C P D B. P AD =P A P D
C. P BD =P B P D D. P AC =P A P C
5.已知直三棱柱ABC-A1B1C1 ,ΔABC为等腰直角三角形,AB=AC=AA1= 4,以点B为球心、半径为
4的球与此直三棱柱表面相交,交线为Γ,点P为Γ上的动点,当 PC1 取最小值时,此时B1P BC的值为
( )
A. 16 B. 16 3 C. 32 33 D.
32 2
3
6.若点P 0,2 关于直线 y= kx对称的点Q在圆 x2- 4x+ y2+ 3= 0上,且Q在第一象限内,则实数 k的
值为 ( )
A. 1+ 2 B. 2 C. 8- 15 D. 8+ 157 7
7.已知长方形 ABCD , AB= 2 , AD= 1,将 △ACD沿着 AC折起得到三棱锥 D- ABC,当点D在底面
ABC的投影恰好落在直线AB上时,此时点B到面ACD的距离为 ( )
A. 3 B. 3 15 152 C. 4 D. 5
8. A ,B ,D O : x2+ y2= 16 △AOB 3OD-OA + 1
已知 为圆 上的三个点,且 为正三角形,则 4 OD-OB 的
最小值为 ( )
A. 133 B. 5 5 C. 11 D. 8+ 13
数学试题 第 1 页 共 4 页
二、多选题:本题共 3小题,每小题 6分,共 18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全
部选对的得 6分,部分选对的得部分分,有选错的得 0分。
9. 1 2已知事件A ,B发生的概率分别为P A = 3 ,P B = 3 ,则下列说法正确的是 ( )
A. 事件A与事件B互为对立事件 B. 若A B 1,则P AB = 3
C. 若P AB
1
= 4 ,则P AB =
1 7
12 D. 若P A∪B = 9 ,则事件A与事件B相互独立
10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB= 6 ,AD= 2 3 ,AA1= 4,空间中的点P满足AP= xAD+ yAB+
zAA1 , x , y , z∈R,则下列说法正确的是 ( )
A. 若 x= 1,则点P在平面DCC1D1上
B. 若 y= 1,且 x+ z= 1 21,则AP与面ADD1A1所成角最小值的正切值为 2
C. 若 x+ y+ z= 1,则AP 2 6的最小值为 25
D. 若AP= 4 17,且P在长方体表面上,则P的轨迹长度为 3 π
11.在平面直角坐标系 xOy 中,对于直线 l : ax + by + c = 0 和点 P1 x1,y1 , P2 x2,y2 ,记 η =
ax1+by1+c ax2+by2+c ,若 η< 0,则称点P1 ,P2被直线 l分隔.若曲线C与直线 l没有公共点,且曲
线C上存在点P1 ,P2被直线 l分隔,则称直线 l为曲线C的一条分隔线.则下列选项正确的是 ( )
A. 若A 1,2 ,B -1,0 被直线 x+ y- a= 0分隔,则-1< a< 3
B. 1若直线 y= kx是曲线 y= x+ x 的分割线,则 k≤ 1
C. 曲线C : x4+ y4= 1存在分隔线
D. 曲线E : x4+ x2 y-2 2 = 1,有且仅有一条过原点的分隔线
三、填空题:本题共 3小题,每小题 5分,共 15分
12.已知直线 l1 : x+ ay+ 1= 0 , l2 : a-1 x+ 2y- 2= 0.若 l1 l2,则实数 a的值为 .
13.已知圆O : x-3 2 + y2= r2,一条过点 0,- 3 的直线将圆O分成面积相等的两部分,且该直线在碰到
直线 x= 6后反射,射出的直线恰好和圆O相切,则 r的值为 .
14.已知三棱锥A-BCD ∠ABC= 3π中, 4 , ∠ABD=
π
4 ,BC=BD,则异面直线AB和CD所成角余弦值
的取值范围是 .
四、解答题:本题共 5小题,共 77分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
15. (13分)一个不透明的袋子中有五个大小质地都相同的小球,分别标号 0,1,2,3,4.从中不放回的依次
取出 2个球,分别记录球上的数字为 x , y,记 a= x,y ,且 b= 2,-1 .
(1) 求事件“a b= 0”发生的概率;
(2)求事件“ a > b ”发生的概率.
数学试题 第 2 页 共 4 页
16. (15分)如图,在四面体D-ABC中,AB=BC=CD=DA= 5,AC= 6 ,BD= 4.
(1)求二面角B-AC-D的平面角的大小;
(2)求异面直线AB与CD间的距离.
17. (15分)在平面直角坐标系中.点A 2,4 ,B 6,2 ,直线 l1 : x+ y- 4= 0,l2 : m-1 x+ y+ 2m+ 2= 0
,m∈R.圆C经过A ,B两点,且圆心C在直线 l1上.
(1)求圆C的方程;
(2)当直线 l2与圆C相切时,求实数m的值.
(3)若直线 l2与圆C相交于D ,E两点,当m变化时,是否存在一个定点P,使得 DP EP 为定值?若
存在,求出一个P的坐标;若不存在,请说明理由.
数学试题 第 3 页 共 4 页
18. (17分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为 4的正方形,PA⊥PC.
(1)求四棱锥P-ABCD的体积V的最大值:
(2)在 (1)的条件下,求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;
(3)若PD= 4,求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值的最大值.
19. (17分)已知点O 0,0 ,A 1,0 ,B 4,0 ,动点P到B的距离是P到A点距离的 2倍,记动点P的轨迹
为曲线Γ.
(1)求曲线Γ的轨迹方程;
(2)已知动点Q在直线 l : y= 2x+ 2上,过Q作曲线 Γ的两条切线 l1 , l2分别切于C ,D两点,直线 l3 : y=
2与 l1 , l2分别交于E ,F,连接CF ,DE交于K.
(i)直线CD是否过定点,如果是,求出定点坐标;如果不是,说明理由;
(ii)求 OK 的最小值.
数学试题 第 4 页 共 4 页