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第一章《特殊平形四边形》单元基础诊断卷
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A C A B A A A D C
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠BCD的大小（菱形的边长不变）．当∠BCD＝52°时，则∠BAC的度数为（ ）
A．26° B．27° C．28° D．29°
【思路点拔】先根据菱形的对角相等得∠BCD＝∠BAD＝52°，再根据菱形的对角线平分对角即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线，
∴∠BCD＝∠BAD＝52°，AC平分∠BAD，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的对角线平分对角的性质是解题的关键．
2．（3分）某公园的人工湖周边修葺了三条湖畔小径，如图小径MO，NO恰好互相垂直，小径MN的中点P与点O被湖隔开，若测得小径MN的长为1km，则P，O两点间距离为（ ）
A．0.5km B．0.75km C．1km D．2km
【思路点拔】由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得到POMN＝0.5km．
【解答】解：连接OP，
∵MO⊥NO，
∴∠MON＝90°，
∵P是MN中点，
∴POMN1＝0.5（km），
∴P，O两点间距离为0.5km．
故选：A．
【点评】本题考查直角三角形斜边的中线，关键是掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．
3．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．若AC＝8，AD＝5，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．18 B．20 C．24 D．28
【思路点拔】由菱形的性质得AC⊥BD，OB＝OD，利用勾股定理求出OD，则求出BD，则S菱形ABCDAC BD6×8＝24，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，
∴AC⊥BD，OB＝OD，
∵AC＝8，
∴AO＝4，
∴OD3，
∴BD＝2×3＝6，
∴S菱形ABCD6×8＝24，
故选：C．
【点评】此题重点考查菱形的性质，根据转化思想求图形的面积等知识与方法，证明菱形的面积等于它的两条对角线的乘积的一半是解题的关键．
4．（3分）依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据矩形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵AD＝BC＝4，AB＝CD＝3，
∴四边形ABCD是平行四边形，不能判定为矩形，故选项A符合题意；
B、∵∠A＝∠B＝∠D＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵∠A＝∠B＝90°，
∴∠A+∠B＝180°，
∴AD∥BC，
∵AD＝BC＝4，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠A＝90°，
∴平行四边形ABCD为矩形，故选项C不符合题意；
D、∵AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝5，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
5．（3分）如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且AE＝AD，连接DE，则∠CDE的度数为（ ）
A．20° B．22.5° C．25° D．30°
【思路点拔】由正方形的性质可得∠DAE、∠ADC的度数，再由AE＝AD，即可求得∠ADE的度数，从而可求得∠CDE的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，∠DAE＝45°，
∵AE＝AD，
∴，
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣67.5°＝22.5°，
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，掌握这两个性质是解题的关键．
6．（3分）茂名东汇城为了方便司机停泊车辆而设计了平行四边形的停车位，如图，平行四边形ACDF，小车实际占用位置为矩形BCEF，若BC＝5m，CE＝2m，∠D＝45°，则AC至少要多长（ ）
A．7m B． C．m D．
【思路点拔】由平行四边形ACDF得到∠A＝∠D＝45°，由矩形BCEF得到BF＝CE＝2m，∠FBC＝90°，进而求得∠AFB＝45°，从而∠A＝∠AFB，得到AB＝BF＝2m，进而根据线段的和差即可解答．
【解答】解：平行四边形ACDF，小车实际占用位置为矩形BCEF，∠D＝45°，BC＝5m，CE＝2m，
∴∠A＝∠D＝45°，
∴BF＝CE＝2m，∠FBC＝90°，
∴∠AFB＝∠FBC﹣∠A＝90°﹣45°＝45°，
∴∠A＝∠AFB，
∴AB＝BF＝2m，
∴AC＝AB+BC＝2+5＝7（m）．
故选：A．
【点评】本题考查平行四边形的性质，矩形的性质，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形及矩形的性质．
7．（3分）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是CD边的中点，若AB＝8，OM＝3，则线段OB的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【思路点拔】已知OM是△ADC的中位线，再结合已知条件则DC的长可求出，所以利用勾股定理可求出AC的长，由直角三角形斜边上中线的性质则BO的长即可求出．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，AB＝CD＝8，AO＝CO＝BO，
∵M是CD边的中点，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴OM∥AD，OM是△ADC的中位线，
∵OM＝3，
∴AD＝2OM＝6，
∵CD＝AB＝8，
∴，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用以及三角形的中位线的应用，解此题的关键是求出AC的长．
8．（3分）在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，EG，FH交于点O．若四边形ABCD的对角线相等，则线段EG与FH一定满足的关系为（ ）
A．互相垂直平分 B．互相平分且相等
C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等
【思路点拔】根据题意画出示意图，得出中点四边形的形状与原四边形对角线之间的关系即可解决问题．
【解答】解：如图所示，
连接BD，AC，
∵点H和点E分别是AD和AB的中点，
∴HE是△ABD的中位线，
∴HE．
同理可得，GF，
∴HE＝GF，HE∥GF，
∴四边形HEFG是平行四边形．
∵HE，HG，且AC＝BD，
∴HE＝HG，
∴平行四边形HEFG是菱形，
∴EG与HF互相垂直平分．
故选：A．
【点评】本题主要考查了中点四边形、菱形的判定与性质及三角形的中位线定理，能根据三角形的中位线定理得出四边形ABCD的中点四边形是平行四边形及熟知菱形的判定与性质是解题的关键．
9．（3分）如图1，在 ABCD中，AD＞AB，∠ABC为钝角．要在对边BC，AD上分别找点M，N，使四边形ABMN为菱形．现有图2中的甲、乙两种用尺规作图确定点M，N的方案，则可得出结论（ ）
A．只有甲正确 B．只有乙正确
C．甲、乙都不正确 D．甲、乙都正确
【思路点拔】根据作图，分别证明四边形ABMN为菱形．即可求解．
【解答】解：方案甲：根据作图可知AM平分∠DAB，AN＝AB，
∴∠NAM＝∠BAM，
∵在 ABCD中，AD∥CD，
∴∠NAM＝∠AMB，
∴∠BAM＝∠AMB，
∴AB＝BM，
∴AN＝BM，
∴四边形ABMN是平行四边形，
∵AB＝AN，
∴四边形ABMN是菱形，故方案甲正确；
方案乙：根据作图可知BA＝BM，AN＝AB，则AN＝BM，
∵AN∥BM，
∴四边形ABMN是平行四边形，
∵AB＝AN，
∴四边形ABMN是菱形，故方案乙正确；
故选：D．
【点评】本题考查了基本作图，菱形的判定，熟练掌握基本作图以及菱形的判定定理是解题的关键．
10．（3分）如图，点E是正方形ABCD的边CD上的一点，线段AE交BD于点F，连接CF．下列结论一定成立的是（ ）
A．DE＝DF B．FE平分∠DFC
C．∠BFC＝∠DFE D．FC平分∠EFB
【思路点拔】证明△ABF和△CBF全等得∠BFA＝∠BFC，再根据∠BFA＝∠DFE可得出选项C一定成立，然后在讨论其它选项，对于选项A，当AB＝BF时才成立；对于选项C，当∠DAE＝15°时才成立；对于选项D，当∠DAE＝15°时才成立，由此即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，∠ABD＝∠CBF＝45°，
在△ABF和△CBF中，
，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴∠BFA＝∠BFC，
∵∠BFA＝∠DFE，
∴∠BFC＝∠DFE，
故选项C一定成立，符合题意；
对于选项C，当∠DAE＝15°时，FE平分∠DFC成立，理由如下：
∵∠DAE＝15°
∴∠BAF＝75°，
∴∠BFA＝180°﹣∠BAF﹣∠BAD＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∴∠BFC＝∠BFA＝60°，∠DFE＝∠BFA＝60°，
∴∠CFE＝180°﹣∠DFE﹣∠BFC＝60°，
∴∠DFE＝∠CFE＝60°，
∴FE平分∠DFC，
故选项B不一定成立，不符合题意；
对于选项D，当∠DAE＝15°时，FC平分∠EFB成立，理由如下：
同理可证：∠BFC＝CFE＝60°，
∴FC平分∠EFB，
故选项D不一定成立，不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）已知四边形ABCD的对角线BD平分对角线AC于点O，要使四边形ABCD为菱形，则可添加的条件是 AB＝AD（答案不唯一） （添加一个条件即可，不添加其他的点和线）．
【思路点拔】根据菱形是特殊的平行四边形，只需要增加菱形所特有的性质即可．
【解答】解：∵四边形ABCD的对角线BD平分对角线AC于点O，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴当AB＝AD时， ABCD为菱形，
故答案为：AB＝AD（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查菱形的判定，掌握菱形是特殊的平行四边形是解题的关键．
12．（4分）如图，在矩形ABCD中，E是AD边上一点，EC是∠BED的平分线，∠ABE＝40°，则∠BEC＝ 65 °．
【思路点拔】根据矩形的性质求得∠ABC＝90°，AD∥BC，再求得∠BED＝130°，利用角平分线的定义即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AD∥BC，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝90°﹣40°＝50°，
∵AD∥BC，
∴∠BED＝180°﹣∠EBC＝180°﹣50°＝130°，
∵EC是∠BED的平分线，
∴，
故答案为：65．
【点评】本题考查了矩形的性质．角平分线的定义，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
13．（4分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝2，CE＝5，H是AF的中点，那么CH的长是 ．
【思路点拔】连接AC，CF，根据正方形的性质求出AC，CF的长，∠ACD＝∠GCF＝45°，从而得出∠ACF＝90°，再根据勾股定理求出AF的长，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出CH的长．
【解答】解：如图，连接AC，CF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，∠ACD＝45°，
根据勾股定理得：，
∵四边形CEFG是正方形，
∴EF＝CE＝5，∠CEF＝90°，∠GCF＝45°，
根据勾股定理得：，
∵，
∴，
∵H是AF的中点，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟记这些性质并作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
14．（4分）如图，菱形ABCD的周长为20，面积为24，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于 4.8 ．
【思路点拔】直接利用菱形的性质得出AB＝AD＝10，S△ABD＝12，进而利用三角形面积求法得出答案．
【解答】解：∵菱形ABCD的周长为20，面积为24，
∴AB＝AD＝5，S△ABD＝12，
∵分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，
∴AB×PEPF×AD＝12，
∴5×（PE+PF）＝12，
∴PE+PF＝4.8．
故答案为：4.8．
【点评】此题主要考查了菱形的性质，正确得出AB×PEPF×AD＝S△ABD是解题关键．
15．（4分）如图，从边长为2的正方形ABCD内部取一点G，使它与正方形两个相邻的顶点C，D及点G到边AB的距离都相等，则CG等于 ．
【思路点拔】先根据GC＝GD得到EF垂直平分DC，然后根据勾股定理得到（2﹣x）2+12＝x2，解题即可．
【解答】解：如图，过点G作GE⊥AB于点E，交CD于点F，则GF⊥CD，
∵GC＝GD，∴DF＝CF＝1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠ADF＝∠AEF＝90°，
四边形AEFD是矩形，
∴EF＝AD＝2，
设GC＝GD＝GE＝x，则GF＝2﹣x，
∴（2﹣x）2+12＝x2，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查正方形的性质，勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
16．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点P从B点沿BD向D点移动，若过点P作AB的垂线交AB于E点，过点P作AD的垂线交AD于F点，则EF的长度最小为 .
【思路点拔】连接AP、EF，依据PE⊥AB，PF⊥AD，∠A＝90°，可得四边形AEPF为矩形，借助矩形的对角线相等，将求EF的最小值转化成AP的最小值，再结合垂线段最短，将问题转化成求Rt△BAD斜边上的高，利用面积法即可得解．
【解答】解：如图，连接AP、EF，
∵PE⊥AB，PF⊥AD，
∴∠AEP＝∠AFP＝90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°．
∴四边形AEPF为矩形．
∴AP＝EF．
∴要求EF的最小值就是要求AP的最小值．
∵点P从B点沿着BD往D点移动，
∴当AP⊥BD时，AP取最小值．
在Rt△BAD中，
∵∠BAD＝90°，AB＝6，AD＝8，
∴BD10．
∵S△ABDAB ADAP BD，
∴AP．
∴EF的长度最小为：．
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，需要熟练掌握并灵活运用．
三．解答题（共6小题，满分66分）
17．（8分）如图，菱形ABCD的周长为16cm，∠BAD＝120°．对角线AC，BD交于点O．求：
（1）这个菱形的对角线长；
（2）菱形的面积．
【思路点拔】（1）利用已知条件易求AC的长，再由勾股定理可求出BO的长，进而可求对角线BD的长；
（2）利用菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得面积．
【解答】解：（1）在菱形ABCD中，AB＝BC
∵∠BAD＝120°，AB＝4cm，
∴∠BAC＝60°，
∴AC＝AB＝4cm，
∴AO＝2cm，
∵∠AOB＝90°，
∴，
∴
∴菱形的对角线长4cm，．
（2）菱形的面积为．
【点评】本题主要考查的是菱形的性质，菱形的面积公式，熟练掌握菱形的性质并利用公式准确求出菱形的面积是解题的关键．
18．（10分）如图，四边形ABCD是矩形，E为AD上一点，CE＝BC．
（1）尺规作图：过点B作CE的垂线BF，垂足为F（只保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，为了证明BF＝BA，小马同学的想法为：先证明△DCE≌△FBC．再利用矩形性质，得到结论，请根据小马同学的想法完成下面的填空．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB＝CD，∠D＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠BCE＝① ∠DEC ，
∵BF⊥CE，
∴∠BFC＝② 90° ，
又∵∠D＝90°，
∴③ ∠D ，
∵BC＝CE，
∴△DCE≌△FBC（AAS），
∴BF＝④ CD ，
∴BF＝BA．
【思路点拔】（1）如图1，以B为圆心，BE长为半径画弧交CE于M，以E、M为圆心，大于 的长为半径画弧交点为N，连接BN交EC于F，BF即为所求；
（2）按照步骤作答即可．
【解答】（1）解：如图1，以B为圆心，BE长为半径画弧交CE于M，以E、M为圆心，大于 的长为半径画弧交点为N，连接BN交EC于F，BF即为所求；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB＝CD，∠D＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠BCE＝∠DEC，
∵BF⊥CE，
∴∠BFC＝90°，
又∵∠D＝90°，
∴∠BFC＝∠D，
∵BC＝CE，
∴△DCE≌△FBC（AAS），
∴BF＝CD，
∴BF＝BA．
故答案为：∠DEC；90°；∠D；CD．
【点评】本题考查了作垂线，矩形的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握作垂线，矩形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
19．（10分）已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，点O是线段AC的中点．
（1）求证：OB＝OD；
（2）若∠ACD＝30°，OB＝6，求AD的长．
【思路点拔】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质得出OBAC，ODAC，即可求出答案；
（2）求出AC长，根据含30°角的直角三角形的性质求出AD，再求出答案即可．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点O是AC的中点，
∴OBAC，ODAC，
∴OB＝OD；
（2）解：∵∠ABC＝90°，O为AC的中点，
∴AC＝2OB＝12，
∵∠ACD＝30°，∠ADC＝90°，
∴ADAC＝6，
∴AD的长为6．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，含30°角的直角三角形的性质，能根据直角三角形斜边上的中线性质求出OD＝OB是解此题的关键．
20．（12分）如图，AD是平行四边形ABDE的对角线，∠ADE＝90°，延长ED至点C，使DC＝ED，连接AC交BD于点O，连接BC．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）连接OE，若AD＝4，，求OE的长．
【思路点拔】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可得证；
（2）过O作OF⊥CD于F，根据三角线的中位线定理求出OF的长，勾股定理求出OE的长即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB∥DE，AB＝ED，
∵DC＝ED，
∴DC＝AB，DC∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ADE＝90°，
∴∠ADC＝90°
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：过O作OF⊥CD于F，
∵四边形ABCD是矩形，，
∴，OC＝OA＝OB＝OD，
又∵OF⊥CD，
∴，
∴，
∵OC＝OA，DF＝CF，AD＝4，
∴，
∴．
【点评】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形的中位线定理，勾股定理，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形．
21．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）
【思路点拔】（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD＝BD，根据菱形的判定推出即可；
（3）当∠A＝45°，四边形BECD是正方形．
【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD，
∴四边形BECD是菱形；
（3）解：当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，
理由：∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°，
由（2）可知，四边形BECD是菱形，
∴∠ABC＝∠CBE＝45°，
∴∠DBE＝90°，
∴四边形BECD是正方形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，正方形的判定、直角三角形的性质的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．（14分）【课本再现】
（1）如图1，四边形ABCD是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且DE＝CF．要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？
【知识应用】
（2）如图2，若在这个正方形花园的四边各开一个门E，F，G，H，并修建两条路EG和FH，使得EG⊥FH，则这两条路等长吗？为什么？
【拓展延伸】
（3）如图3，将边长为10的正方形纸片沿FH折叠，点D落在BC边上的点N处，DN与FH交于点P，取AD的中点M，连接PM，PC，则PM+PC的最小值为 5 ，此时FH的长度是 5 ．
【思路点拔】（1）证明△BAE≌△ADF（SAS），得出BE＝AF，∠ABE＝∠DAF，证出∠DAF+∠AEB＝90°，则可得出结论；
（2）过点A作AN∥HF，交CD于N，过点D作DM∥EG，交BC于M，DM和AN交于点O，证出四边形AHFN、四边形DMGE是平行四边形，得出AN＝HF，DM＝EG，AN∥HF，DM∥EG，证明△ADN≌△DCM（ASA），得出AN＝DM，则可得出结论；
（3）连接CM，FN，得出当M、P、C共线时，PC+PM最小，最小值为CM的长，由勾股定理可得出答案．
【解答】解：（1）这两条路等长，BE⊥AF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠D＝90°，
∵DE＝CF，
∴AE＝DF，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴BE＝AF，∠ABE＝∠DAF，
∴∠ABE+∠AEB＝∠DAF+∠AEB，
∴∠DAF+∠AEB＝90°，
∴BE⊥AF；
（2）这两条路等长．
理由：如图1，过点A作AN∥HF，交CD于N，过点D作DM∥EG，交BC于M，DM和AN交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，
∴四边形AHFN、四边形DMGE是平行四边形，
∴AN＝HF，DM＝EG，AN∥HF，DM∥EG，
∵EG⊥DM，
∴AN⊥DM，
∴∠DON＝90°，
∴∠NDO+∠AND＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠DAN+∠AND＝90°，
∴∠NDO＝∠DAN，
∴△ADN≌△DCM（ASA），
∴AN＝DM，
∴EG＝HF；
（3）如图3，
连接CM，FN，
∴PC+PM≥CM，
∴当M、P、C共线时，PC+PM最小，最小值为CM的长，
∵∠ADC＝90°，DMAD＝5，CD＝10，
∴CM5，
由对称性可知：DF＝FN，
∵HF⊥PN，
∴PD＝PN，
∵AD∥BC，
∴∠MDP＝∠PNC，∠DMP＝∠PCN，
∴△DMP≌△NCP（AAS），
∴CN＝DM＝5，
∴DN5，
过点A作AK∥HF，
由（2）可知AK＝HF，
∴HF＝DN＝AK＝5，
故答案为：5，5．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．中小学教育资源及组卷应用平台
第一章《特殊平行四边形》单元基础诊断卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠BCD的大小（菱形的边长不变）．当∠BCD＝52°时，则∠BAC的度数为（ ）
A．26° B．27° C．28° D．29°
2．（3分）某公园的人工湖周边修葺了三条湖畔小径，如图小径MO，NO恰好互相垂直，小径MN的中点P与点O被湖隔开，若测得小径MN的长为1km，则P，O两点间距离为（ ）
A．0.5km B．0.75km C．1km D．2km
3．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．若AC＝8，AD＝5，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．18 B．20 C．24 D．28
4．（3分）依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且AE＝AD，连接DE，则∠CDE的度数为（ ）
A．20° B．22.5° C．25° D．30°
6．（3分）茂名东汇城为了方便司机停泊车辆而设计了平行四边形的停车位，如图，平行四边形ACDF，小车实际占用位置为矩形BCEF，若BC＝5m，CE＝2m，∠D＝45°，则AC至少要多长（ ）
A．7m B． C．m D．
7．（3分）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是CD边的中点，若AB＝8，OM＝3，则线段OB的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．（3分）在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，EG，FH交于点O．若四边形ABCD的对角线相等，则线段EG与FH一定满足的关系为（ ）
A．互相垂直平分 B．互相平分且相等
C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等
9．（3分）如图1，在 ABCD中，AD＞AB，∠ABC为钝角．要在对边BC，AD上分别找点M，N，使四边形ABMN为菱形．现有图2中的甲、乙两种用尺规作图确定点M，N的方案，则可得出结论（ ）
A．只有甲正确 B．只有乙正确
C．甲、乙都不正确 D．甲、乙都正确
10．（3分）如图，点E是正方形ABCD的边CD上的一点，线段AE交BD于点F，连接CF．下列结论一定成立的是（ ）
A．DE＝DF B．FE平分∠DFC
C．∠BFC＝∠DFE D．FC平分∠EFB
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）已知四边形ABCD的对角线BD平分对角线AC于点O，要使四边形ABCD为菱形，则可添加的条件是 （添加一个条件即可，不添加其他的点和线）．
12．（4分）如图，在矩形ABCD中，E是AD边上一点，EC是∠BED的平分线，∠ABE＝40°，则∠BEC＝ °．
13．（4分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝2，CE＝5，H是AF的中点，那么CH的长是 ．
14．（4分）如图，菱形ABCD的周长为20，面积为24，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于 ．
15．（4分）如图，从边长为2的正方形ABCD内部取一点G，使它与正方形两个相邻的顶点C，D及点G到边AB的距离都相等，则CG等于 ．
16．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点P从B点沿BD向D点移动，若过点P作AB的垂线交AB于E点，过点P作AD的垂线交AD于F点，则EF的长度最小为 .
三．解答题（共6小题，满分66分）
17．（8分）如图，菱形ABCD的周长为16cm，∠BAD＝120°．对角线AC，BD交于点O．求：
（1）这个菱形的对角线长；
（2）菱形的面积．
18．（10分）如图，四边形ABCD是矩形，E为AD上一点，CE＝BC．
（1）尺规作图：过点B作CE的垂线BF，垂足为F（只保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，为了证明BF＝BA，小马同学的想法为：先证明△DCE≌△FBC．再利用矩形性质，得到结论，请根据小马同学的想法完成下面的填空．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB＝CD，∠D＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠BCE＝① ，
∵BF⊥CE，
∴∠BFC＝② ，
又∵∠D＝90°，
∴③ ，
∵BC＝CE，
∴△DCE≌△FBC（AAS），
∴BF＝④ ，
∴BF＝BA．
19．（10分）已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，点O是线段AC的中点．
（1）求证：OB＝OD；
（2）若∠ACD＝30°，OB＝6，求AD的长．
20．（12分）如图，AD是平行四边形ABDE的对角线，∠ADE＝90°，延长ED至点C，使DC＝ED，连接AC交BD于点O，连接BC．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）连接OE，若AD＝4，，求OE的长．
21．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）
22．（14分）【课本再现】
（1）如图1，四边形ABCD是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且DE＝CF．要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？
【知识应用】
（2）如图2，若在这个正方形花园的四边各开一个门E，F，G，H，并修建两条路EG和FH，使得EG⊥FH，则这两条路等长吗？为什么？
【拓展延伸】
（3）如图3，将边长为10的正方形纸片沿FH折叠，点D落在BC边上的点N处，DN与FH交于点P，取AD的中点M，连接PM，PC，则PM+PC的最小值为 ，此时FH的长度是 ．
