中小学教育资源及组卷应用平台
第一章《特殊平行四边形》单元提优验收卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）用边长为1的正方形做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为原正方形面积的（ ）
A． B． C． D．不能确定
2．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE＝5，则AC的长为（ ）
A．10 B．8.5 C．7.5 D．2.5
3．（3分）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ）
A．（1）处可填∠A＝90° B．（2）处可填AD＝AB
C．（3）处可填DC＝CB D．（4）处可填∠B＝∠D
4．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝2，若菱形ABCD的面积为12，则AB的长为（ ）
A．10 B．4 C． D．6
5．（3分）如图，四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，则∠ECB的度数是（ ）
A．15° B．30° C．60° D．75°
6．（3分）如图，在菱形ABCD中，分别以点C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，连接MN．若直线MN恰好过点A且交CD于点E，连接BE，则∠BCD是（ ）
A．∠BCD＝105° B．∠BCD＝110° C．∠BCD＝115° D．∠BCD＝120°
7．（3分）如图，将矩形ABCD对折，使AB与CD边重合，得到折痕MN，再将点A沿过点D的直线折叠到MN上，对应点为A′，折痕为DE，AB＝10，BC＝6，则A′N的长度为（ ）
A． B．4 C． D．3
8．（3分）“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁．李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为6cm的蓝丝带，若∠BAD＝45°，则重叠部分图形形状和面积分别是（ ）
A．平行四边形，
B．平行四边形，36
C．菱形，
D．菱形，
9．（3分）如图，矩形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点E，交AC于点F，连接EF，以点F为圆心，EF长为半径画弧，与弧BE交于点G，射线AG交BC于点H，若AD＝8，BH＝3，则AH的长为（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，对角线AC上的有一动点P，以DP为边作正方形DPFG．下列结论：①在P点运动过程中，F点始终在射线BC上；②在P点运动过程中，∠CPD可能为135°；③若E是DC的中点，连接EG，则EG的最小值为；④△CDP为等腰三角形时，AP的值为2或44．其中结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①③ D．②④
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小芳家有一个菱形中国结装饰．测得BD＝8cm，AC＝6cm，则该菱形的面积为 cm2．
12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，D是斜边AB的中点，连接CD，以CD为边作正方形CDEF，若△ABC的面积是，则正方形CDEF的周长是 ．
13．（4分）如图，在直角坐标系中，菱形OMNP的顶点P坐标是（3，4），则顶点N的坐标是 ．
14．（4分）已知矩形ABCD中（BC＞CD）点M在BC上，BM＝CD，点N在CD上，且DN＝CM，DM与BN交于点P，则DM：BN＝ ．
15．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC边于点E，点F是AE的中点，连接OF，若AB＝OB＝1，则FO的长度为 ．
16．（4分）如图，正方形ABCD的边长为，以AB为腰作等腰△ABF，AB＝AF，AE平分∠DAF交DC于点G，交BF的延长线于点E，连接DE．若BF＝2，则EG＝ ．
三．解答题（共6小题，满分66分）
17．（8分）（1）计算：．
（2）如图，菱形ABCD中，点E，F分别是AB，BC边上的点，BE＝BF，求证：∠DEF＝∠DFE．
18．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BCD：∠DCA＝2：3，E是斜边AB的中点，求∠ECD．
19．（10分）如图，四边形ABCD是矩形（AD＞AB）．
（1）尺规作图：作以AC为对角线，且点E、F分别在BC、AD上的菱形AECF；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）若AB＝2，AD＝8，求菱形AECF的边长．
20．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．延长CB至D，使得BD＝CB，过点A，D分别作AE∥BD，DE∥BA，AE与DE相交于点E．下面是两位同学的对话：
小星：由题目的已知条件，若连接BE，则可证明BE⊥CD． 小红：由题目的已知条件，若连接CE，则可证明CE＝DE．
（1）请你选择一位同学的说法，并进行证明；
（2）连接CE，交AB于点F，试判断BF与DE有怎样的关系，并证明你的结论．
21．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，点E、F分别是AB、CD的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G．
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明；
（3）若BD，求四边形AGCD的面积．
22．（14分）问题引入：
（1）如图①，AB∥CD，AB＞CD，∠ABD＝90°，E是线段AC的中点，连接DE并延长交AB于点F，连接BE．则BE与DE之间的数量关系是 ；
问题延伸：
（2）如图②，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，点G在BC上，P是线段DF的中点，连接PC、PG．
①判断PC与PG之间的数量关系，并说明理由；
②连接CF，若AB＝3，，求CF的长．中小学教育资源及组卷应用平台
第一章《特殊平行四边形》单元提优验收卷
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D C D D A D C C
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）用边长为1的正方形做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为原正方形面积的（ ）
A． B． C． D．不能确定
【思路点拨】读图分析阴影部分与整体的位置关系；易得阴影部分的面积即为△ABC的面积，是原正方形的面积的一半．
【解答】解：读图可得，阴影部分的面积为原正方形的面积的一半，则阴影部分的面积为1×1÷2；是原正方形的面积的一半；故选：A．
【点评】此题主要考查正方形对角线相互垂直平分相等的性质，读图也很关键．
2．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE＝5，则AC的长为（ ）
A．10 B．8.5 C．7.5 D．2.5
【思路点拨】根据题意可知∠ADC＝90°，再由直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵E是AC的中点，
∴，
又∵DE＝5，
∴AC＝10，
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，熟知“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键．
3．（3分）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ）
A．（1）处可填∠A＝90° B．（2）处可填AD＝AB
C．（3）处可填DC＝CB D．（4）处可填∠B＝∠D
【思路点拨】根据正方形、矩形、菱形的判定定理判断即可．
【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，
∴（1）处可填∠A＝90°是正确的，故该选项不符合题意；
B、一组邻边相等的矩形是正方形，
∴（2）处可填AD＝AB是正确的，故该选项不符合题意；
C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，
∴（3）处可填DC＝CB是正确的，故该选项不符合题意；
D、有一个角是直角的菱形是正方形，
∴∠B＝∠D无法判定两角是不是直角，故该选项不符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了矩形的判定，正方形的判定和菱形的判定，熟练掌握特殊四边形的关系是解题的关键．
4．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝2，若菱形ABCD的面积为12，则AB的长为（ ）
A．10 B．4 C． D．6
【思路点拨】由菱形的性质得OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，再求出BD＝4，则OB＝2，然后由菱形面积求出AC＝6，则OA＝3，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∴BD＝2OH，
∵OH＝2，
∴BD＝4，
∴OB＝2，
∵菱形ABCD的面积AC BDAC×4＝12，
∴AC＝6，
∴OA＝3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
5．（3分）如图，四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，则∠ECB的度数是（ ）
A．15° B．30° C．60° D．75°
【思路点拨】由正方形的性质和等边三角形的性质可得CD＝AD＝DE，∠BAD＝∠CBA＝90°，∠AED＝60°，可求∠DEC＝∠DCE＝15°，∠ECB＝∠DCB﹣∠ECB即可求解．
【解答】解：∵△ADE是等边三角形，四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AD＝DE，∠BAD＝∠CBA＝90°，∠AED＝60°，
∴∠DEC＝∠DCE＝15°，
∵∠DCB＝90°，
∴∠ECB＝∠DCB﹣∠ECB＝75°，
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，掌握正方形的性质是本题的关键．
6．（3分）如图，在菱形ABCD中，分别以点C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，连接MN．若直线MN恰好过点A且交CD于点E，连接BE，则∠BCD是（ ）
A．∠BCD＝105° B．∠BCD＝110° C．∠BCD＝115° D．∠BCD＝120°
【思路点拨】连接AC．由菱形的性质和线段垂直平分线的性质证得△ACD为等边三角形，得到∠D＝60°，根据平行线的性质即可求得答案．
【解答】解：连接AC．
由作法得MN垂直平分CD，
∴AD＝AC，
∵四边形ABCD为菱形，
∴DC＝AD，AD∥BC，
∴DC＝AD＝AC，∠D+∠BCD＝180°，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠D＝60°，
∴∠BCD＝120°．
故选：D．
【点评】本题考查线段的垂直平分线、线段垂直平分线的性质、菱形的性质，等边三角形的性质和判定等知识点，灵活运用菱形的性质和垂直平分线的性质是解答本题的关键．
7．（3分）如图，将矩形ABCD对折，使AB与CD边重合，得到折痕MN，再将点A沿过点D的直线折叠到MN上，对应点为A′，折痕为DE，AB＝10，BC＝6，则A′N的长度为（ ）
A． B．4 C． D．3
【思路点拨】由折叠的性质得，AM＝DM，∠DMA'＝∠AMA'＝90°，AD＝A'D，由勾股定理求出A'M的长，再证四边形ABNM是矩形，即可求出A′N的长．
【解答】解：由折叠的性质得，AM＝DM，∠DMA'＝∠AMA'＝90°，AD＝A'D，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠A＝∠B＝90°，
∵BC＝6，
∴AD＝6，
∴DM＝3，
在Rt△DMA'中，由勾股定理得A'M，
∵∠A＝∠B＝∠AMA'＝90°，
∴四边形ABNM是矩形，
∴MN＝AB＝10，
∴A′N＝MN﹣A'M＝10，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质，折叠问题，勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
8．（3分）“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁．李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为6cm的蓝丝带，若∠BAD＝45°，则重叠部分图形形状和面积分别是（ ）
A．平行四边形，
B．平行四边形，36
C．菱形，
D．菱形，
【思路点拨】由两线条的边沿是平行线，得四边形ABCD是平行四边形，分别过B，D作BE⊥CD于点E，DF⊥CB于点F，由两纸条的宽度相等，通过解直角三角形得，CB＝CD，进而根据菱形的定义得四边形ABCD是菱形；由等腰直角三角形的性质得出CF＝DF＝6cm，由勾股定理求出CD＝6，由菱形的面积公式可得出答案．
【解答】解：分别过B，D作BE⊥CD于点E，DF⊥CB于点F，如图，
∴∠BEC＝∠DFC＝90°，
∵两纸条等宽，
∴BE＝DF＝6，
∵∠BCE＝∠DCF＝45°，
∴BC＝CD＝6，
∵两纸条都是矩形，
∴AB∥CD，BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵BC＝DC，
∴四边形ABCD是菱形；
∵∠BEC＝∠DFC＝90°，BE＝DF＝6cm，∠BCD＝45°，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴CF＝DF＝6cm，
∴CDDF＝6（cm），
∴S菱形ABCD＝CD×BE＝66＝36（cm2），
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质，证明四边形ABCD为菱形是解题的关键．
9．（3分）如图，矩形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点E，交AC于点F，连接EF，以点F为圆心，EF长为半径画弧，与弧BE交于点G，射线AG交BC于点H，若AD＝8，BH＝3，则AH的长为（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
【思路点拨】连接FG，根据SSS证明△AGF≌△AEF，得出∠EAF＝∠GAF，再证明HA＝HC，求解即可．
【解答】解：∵以点F为圆心，EF长为半径画弧，与BE交于点G，连接FG，则FG＝FE，
又以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点E，交AC于点F，
∴AB＝AF＝AE＝AG，
在△AGF和△AEF中，
∴△AGF≌△AEF（SSS），
∴∠EAF＝∠GAF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAF＝∠ACB，
∴∠GAF＝∠ACB，即∠HAC＝∠ACH，
∴HA＝HC，
∴HC＝BC﹣BH＝8﹣3＝5，
∴AH＝5，
故选：C．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定以及勾股定理等知识，证明HA＝HC是解答本题的关键．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，对角线AC上的有一动点P，以DP为边作正方形DPFG．下列结论：①在P点运动过程中，F点始终在射线BC上；②在P点运动过程中，∠CPD可能为135°；③若E是DC的中点，连接EG，则EG的最小值为；④△CDP为等腰三角形时，AP的值为2或44．其中结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①③ D．②④
【思路点拨】由“SAS”可证△DPH≌△FPC，可得∠PHD＝∠PCF＝135°，可证点B，点C，点F三点共线，故①正确；由三角形的外角可得∠CPD不可能为135°，故②错误；由△DPN≌△DGE（SAS），可得EG＝PN，当NP⊥AC时，NP有最小值为，即EG有最小值为，故③正确；由等腰三角形的性质可得AP的值为或44或0，故④不正确，即可求解．
【解答】解：如图，连接CF，过点P作PH⊥PC交CD于H，
∵四边形ABCD和四边形DPFG是正方形，
∴PD＝PF，∠DPF＝∠HPC＝90°，∠ACB＝∠ACD＝45°，
∴∠DPH＝∠CPF，∠PCH＝∠PHC＝45°，
∴PH＝PC，∠PHD＝135°，
∴△DPH≌△FPC（SAS），
∴∠PHD＝∠PCF＝135°，
∴∠ACB+∠PCF＝180°，
∴点B，点C，点F三点共线，故①正确；
∵∠CPD＝∠CAD+∠ADP，∠CAD＝45°，∠CPD＝135°，
∴∠ADP＝90°，
则点P与点C重合，
此时∠CPD不存在，故②错误；
如图，取AD的中点N，连接PN，
∵点N是AD的中点，点E是CD中点，
∴AN＝DE＝DN＝2，
∵∠ADC＝∠PDG＝90°，
∴∠ADP＝∠GDE，
又∵DP＝DG，
∴△DPN≌△DGE（SAS），
∴EG＝PN，
∵点P是线段AC上一点，
∴当NP⊥AC时，NP有最小值为，
∴EG有最小值为，故③正确；
∵AD＝CD＝4，
∴ACAD＝4，
当点P是AC中点时，AP＝PD＝PC＝2，则△PCD是等腰三角形，
当CP＝CD＝4时，△PCD是等腰三角形，
∴AP＝44，
当点P是AC起点A的时候，AP＝0，△PCD是等腰三角形，
故④不正确，
故选：C．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小芳家有一个菱形中国结装饰．测得BD＝8cm，AC＝6cm，则该菱形的面积为 24 cm2．
【思路点拨】根据菱形的面积为对角线乘积的一半即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵BD＝8cm，AC＝6cm，
∴S菱形ABCD6×8＝24（cm2），
故答案为：24．
【点评】本题考查菱形的性质，菱形的面积，熟练运用菱形的面积公式是解题的关键．
12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，D是斜边AB的中点，连接CD，以CD为边作正方形CDEF，若△ABC的面积是，则正方形CDEF的周长是 8 ．
【思路点拨】由△ABC的面积先求出BC，进而利用勾股定理求出AB，再直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半求出CD即可求解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝2，△ABC的面积是，
∴，
∴，
∵D是斜边AB的中点，
∴，
∴正方形CDEF的周长为2×4＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半，正方形的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
13．（4分）如图，在直角坐标系中，菱形OMNP的顶点P坐标是（3，4），则顶点N的坐标是 （8，4） ．
【思路点拨】延长NP交y轴于A，根据菱形的性质得到N的纵坐标和P的纵坐标相同，都是4，由勾股定理求出菱形的边长，即可得到N的横坐标，即可得到答案．
【解答】解：延长NP交y轴于A，
∵菱形OMNP，
∴NP∥x轴，OP＝PN，
∵点P坐标是（3，4），
∴OA＝4，AP＝3，点N的纵坐标为4，
∴，
∴PN＝OP＝5，
∴AN＝3+5＝8，
即N的横坐标是8，
∴N（8，4）．
故答案为：（8，4）．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理等知识点，解此题的关键是，求出菱形的边长．
14．（4分）已知矩形ABCD中（BC＞CD）点M在BC上，BM＝CD，点N在CD上，且DN＝CM，DM与BN交于点P，则DM：BN＝ ．
【思路点拨】设BM＝CD＝a，DN＝CM＝b，利用勾股定理分别表示出DM与BN的值即可解答．
【解答】解：设BM＝CD＝a，DN＝CM＝b，
∴BC＝a+b，NC＝a﹣b，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB＝90°，
在Rt△DCM和Rt△BCN中，由勾股定理得，
，，
∴
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质和勾股定理等知识，关键是设出相等边，利用勾股定理表示出所求边．
15．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC边于点E，点F是AE的中点，连接OF，若AB＝OB＝1，则FO的长度为 ．
【思路点拨】由矩形的性质得OA＝OB，故有OA＝AB＝OB＝1，可证△AOB是等边三角形，通过等边三角形的性质和30°角所对直角边是斜边是斜边的一半可求出AC＝2OB＝2，然后由勾股定理得，然后再求BE＝AB＝1，则，最后通过中位线定理即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴，，∠ABC＝∠BAD＝90°，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∴AB＝OB＝1，
∴OA＝AB＝OB＝1，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠OAB＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∴AC＝2OB＝2，
在Rt△ABC中，，
∵AE平分∠BAD，
∴，
∴∠BAE＝∠BEA＝45°，
∴BE＝AB＝1，
∴，
∵点F是AE的中点，点O是AC的中点，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
16．（4分）如图，正方形ABCD的边长为，以AB为腰作等腰△ABF，AB＝AF，AE平分∠DAF交DC于点G，交BF的延长线于点E，连接DE．若BF＝2，则EG＝ ．
【思路点拨】过点A作AH⊥BE于H，连接DF交AE于点O，根据等腰三角形性质得BH＝FH＝1/2BF＝1，∠FBH＝∠BAH，由勾股定理可求出AH＝7，证明∠EAH∠DAB＝45°得△AHE为等腰直角三角形，则EH＝AH＝7，∠AEH＝45°，EF＝6，再证明△ADO和△ADF全等得OD＝OF，则AO⊥EF，进而得△OEF为等腰直角三角形，再由勾股定理可求出OE＝OF＝OD，AO，设OG＝x，则AG＝AO+OGx，然后在Rt△ODG和Rt△ADG中，由勾股定理列出关于x的方程，解此方程得，则OG，进而根据EG＝OE﹣OG可得出答案．
【解答】解：过点A作AH⊥BE于H，连接DF交AE于点O，如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，且边长为，
∴AB＝AD，∠DAB＝90°，
∵△ABF以AB为腰作等腰三角形，BF＝2，
∴AB＝AF＝AD，BH＝FHBF＝1，∠FBH＝∠BAH，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：AH7，
∵AE平分∠DAF，
∴∠DAE＝∠FAE，
又∵∠FBH＝∠BAH，
∴∠EAH∠DAB＝45°，
∵AH⊥BE，
∴△AHE为等腰直角三角形，
∴EH＝AH＝7，∠AEH＝45°，
∴EF＝EH﹣FH＝6，
在△ADO和△ADF中，
，
∴△ADO≌△ADF（SAS），
∴OD＝OF，
∴AO⊥EF，
∵∠AEH＝45°，
∴△OEF为等腰直角三角形，
∴OE＝OF，
由勾股定理得：OE2+OF2＝EF2，
∴2OE2＝62，
∴OE＝OF，
∴OD＝OF，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO，
设OG＝x，则AG＝AO+OG，
在Rt△ODG中，由勾股定理得：DG2＝OD2+OG2，
在Rt△ADG中，由勾股定理得：DG2＝AG2﹣AD2，
∴，
解得：，则OG，
∴OG＝x，
∴EG＝OE﹣OG．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键．
三．解答题（共6小题，满分66分）
17．（8分）（1）计算：．
（2）如图，菱形ABCD中，点E，F分别是AB，BC边上的点，BE＝BF，求证：∠DEF＝∠DFE．
【思路点拨】（1）tan45°＝1，任何非零数的零次幂等于1，再根据绝对值的性质、算术平方根的性质、实数的运算法则求出原式的值即可；
（2）由菱形的性质得AB＝CB＝AD＝CD，∠A＝∠C，而BE＝BF，则AE＝CF，可根据“SAS”证明△ADE≌△CDF，得DE＝DF，则∠DEF＝∠DFE．
【解答】（1）解：
＝（1﹣2）0+|﹣1|﹣3
＝1+1﹣3
＝﹣1．
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB＝AD＝CD，∠A＝∠C，
∵BE＝BF，
∴AB﹣BE＝CB﹣BF，
∴AE＝CF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE＝DF，
∴∠DEF＝∠DFE．
【点评】此题重点考查绝对值的性质、特殊角的三角函数值、算术平方根的性质、实数的运算法则、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握和运用这些知识是解题的关键．
18．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BCD：∠DCA＝2：3，E是斜边AB的中点，求∠ECD．
【思路点拨】先根据已知易得：∠BCD＝36°，∠DCA＝54°，再根据垂直定义可得：∠CDA＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得：∠EAC＝36°，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得CE＝AE，从而可得∠ECA＝∠EAC＝36°，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，BCD：∠DCA＝2：3，
∴∠BCD∠ACB＝36°，∠DCA∠ACB＝54°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°，
∴∠EAC＝90°﹣∠DCA＝36°，
∵E是斜边AB 的中点，
∴CE＝AEAB，
∴∠ECA＝∠EAC＝36°，
∴∠ECD＝∠DCA﹣∠ECA＝18°，
∴∠ECD的度数为18°．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
19．（10分）如图，四边形ABCD是矩形（AD＞AB）．
（1）尺规作图：作以AC为对角线，且点E、F分别在BC、AD上的菱形AECF；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）若AB＝2，AD＝8，求菱形AECF的边长．
【思路点拨】（1）作AC的垂直平分线交BC于E点，交AD于F点，通过证明AC与EF互相垂直平分得到四边形AECF为菱形；
（2）设菱形AECF的边长为x，根据菱形的性质得到AE＝CE＝x，BE＝8﹣x，利用勾股定理得到22+（8﹣x）2＝x2，然后解方程即可．
【解答】解：（1）如图，点E、F为所作；
（2）设菱形AECF的边长为x，
∵四边形AECF为菱形，
∴AE＝CE＝x，
∴BE＝8﹣x，
在Rt△ABE中，22+（8﹣x）2＝x2，
解得x，
即菱形AECF的边长为．
【点评】本题考查了考查了菱形的判定与性质和矩形的性质，正确地作出图形是解题的关键．
20．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．延长CB至D，使得BD＝CB，过点A，D分别作AE∥BD，DE∥BA，AE与DE相交于点E．下面是两位同学的对话：
小星：由题目的已知条件，若连接BE，则可证明BE⊥CD． 小红：由题目的已知条件，若连接CE，则可证明CE＝DE．
（1）请你选择一位同学的说法，并进行证明；
（2）连接CE，交AB于点F，试判断BF与DE有怎样的关系，并证明你的结论．
【思路点拨】（1）小星：连接BE，根据平行四边的判定定理得到四边形ABDE是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AE＝BD，推出四边形AEBC是平行四边形，根据矩形性质得到BE⊥CD；小红：连接BE，CE，根据平行四边形的判定和性质以及矩形的判定和性质定理即可得到论；
（2）证明BF是△CDE的中位线即可得到结论．
【解答】（1）证明：选小星：连接BE，
∵AE∥BD，DE∥BA，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，
∵BD＝BC，
∴AE＝BC，
∵AE∥BC，
∴四边形AEBC是平行四边形，
∵∠C＝90°，
∴四边形AEBC是矩形，
∴∠EBC＝90°，
∴BE⊥CD；
选小红：连接CE，
∵AE∥BD，DE∥BA，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，AB＝DE，
∵BD＝BC，
∴AE＝BC，
∵AE∥BC，
∴四边形AEBC是平行四边形，
∵∠C＝90°，
∴四边形AEBC是矩形，
∴AB＝CE，
∴DE＝CE；
（2）BF∥DE， 理由如下：
证明：如图，连接BE，CE，
∵四边形AEBC是矩形，
∴CF＝EF，
∵BD＝BC，
∴BF是△CDE 的中位线
∴BF∥DE，．
【点评】本题考查了平行四边形 的判定和性质，勾股定理，矩形的判定，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
21．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，点E、F分别是AB、CD的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G．
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明；
（3）若BD，求四边形AGCD的面积．
【思路点拨】（1）利用平行四边形的性质证得△AED是等边三角形，从而证得DE＝BE，问题得证；
（2）利用平行四边形的性质证得∠ADB＝90°，利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可；
（3）由直角三角形的性质得AD＝1，AB＝2，由矩形的性质得AG＝BD，CG＝2AD＝2，∠G＝90°，AD∥BG，由梯形面积公式即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，且点E、F分别是AB、CD的中点，
∴DF∥EB，且DF＝EB
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∠DAB＝60°，，
∴△ADE是等边三角形，即DE＝AE＝AD，
∴DE＝BE，
∴四边形DEBF是菱形；
（2）证明：四边形AGBD是矩形，
理由如下：
∵DB∥AG，AD∥CB∥BG，
∴四边形AGBD是平行四边形，
∵BD为菱形DEBF对角线，
∴∠EDB＝30°，
则∠ADB＝90°，
所以四边形AGBD是矩形；
（3）在Rt△ABD中，AB2﹣AD2＝BD2，
∵AB＝2AD，AD＝1，
∴AB＝2，
∴4﹣1＝BD2，
解得BD，
∴．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定及性质等知识，解题的关键是熟练掌握菱形及矩形的判定方法．
22．（14分）问题引入：
（1）如图①，AB∥CD，AB＞CD，∠ABD＝90°，E是线段AC的中点，连接DE并延长交AB于点F，连接BE．则BE与DE之间的数量关系是 BE＝DE ；
问题延伸：
（2）如图②，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，点G在BC上，P是线段DF的中点，连接PC、PG．
①判断PC与PG之间的数量关系，并说明理由；
②连接CF，若AB＝3，，求CF的长．
【思路点拨】（1）先根据ASA证明△AEF≌△CED，由此可得EF＝DE，即E点是DF的中点，然后在Rt△BDF中，根据“直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半”即可证明BE＝DE．
问题延伸：
（2）①延长GP交CD于点M，由正方形的性质可得CD∥AE∥GF，∠BCD＝90°，先根据ASA证明△DPM≌△FPG，由此可得PM＝PG，即P点是MG的中点．然后在Rt△MCG中，根据“直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半”即可证明PC＝PG．
②根据正方形的性质可得AB＝BC＝CD＝3，BG＝GF＝DM，∠CGF＝90°，
设BG＝GF＝DM＝x，则CM＝CG＝3﹣x．在Rt△MCG中，由，可求出．根据勾股定理列方程求出x的值，即可知GF、GC的长，然后在Rt△CGF中，根据勾股定理即可求出CF的长．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠A＝∠C，
∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
在△AEF和△CED中，
，
∴△AEF≌△CED（ASA），
∴EF＝DE，
∵∠ABD＝90°，
∴BE为Rt△BDF斜边上的中线，
∴EF＝DE＝BE，
∴BE＝DE；
故答案为：BE＝DE；
（2）①PC＝PG；理由如下：
四边形ABCD，四边形BEFG均为正方形，如图②，延长GP交CD于点M，
∴CD∥AE∥GF，∠BCD＝90°，
∴∠CDP＝∠PFG，
∵P为DF的中点，
∴DP＝FP，
在△DPM和△FPG中，
，
∴△DPM≌△FPG（ASA），
∴PM＝PG，GF＝DM，
∵PC为Rt△MCG斜边上的中线，
∴PC＝PG＝PM，
∴PC＝PG；
②四边形ABCD、BEFG为正方形，如图，连接CF，
∴AB＝BC＝CD＝3，BG＝GF＝DM，∠CGF＝90°，
设BG＝GF＝DM＝x，
∴CM＝CG＝3﹣x，
∵，
∴，
在直角三角形MCG中，由勾股定理得：MC2+CG2＝MG2，
∴，
解得：x1＝1，x2＝5（不合题意，舍去），
∴GF＝1，CG＝3﹣1＝2，
在直角三角形CFG中，由勾股定理得：．
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理以及“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．熟练掌握以上知识是解题的关键．
