第2节 振动的描述(赋能课——精细培优科学思维)
课标要求 学习目标
能用公式和图像描述简谐运动。 1.知道振幅、周期和频率的概念,了解固有周期和固有频率。 2.掌握简谐运动图像的物理意义和应用。 3.掌握简谐运动的位移公式,了解相位的概念。
一、振动特征的描述
1.振幅(A)
(1)定义:振动物体离开 的最大距离,用A表示。
(2)物理意义:表示振动 的物理量,是标量。
2.全振动
物体从某一初始状态开始到第一次回到这一状态的过程。
3.周期(T)和频率(f)
(1)周期(T):振动物体完成 所经历的时间。
(2)频率(f):在一段时间内,物体完成全振动的次数与这段 之比。
(3)固有周期(或固有频率):物体在自由状态下的振动周期(或频率),是振动系统本身的属性,与物体是否振动 。
(4)物理意义:周期和频率都是表示物体 的物理量,周期越短,频率越高,表示物体振动越快。
(5)周期与频率的关系: (用公式表示)。
[微点拨]
1.振幅是标量,没有负值,也无方向,它等于振子最大位移的大小。
2.周期T与频率f的大小由振动系统本身决定,与振幅无关。
[情境思考]
如图,O点为弹簧振子的平衡位置,M、M'为平衡位置两端弹簧振子到达最远的位置,测得MM'的距离为d。
(1)弹簧振子振动的振幅是多少
(2)弹簧振子从O点开始振动,经过1个周期通过的路程是多少
二、简谐运动的位移图像
1.坐标系的建立
以横轴表示做简谐运动的物体运动的 ,纵轴表示做简谐运动的物体运动过程中相对于 的位移x。
2.图像的特点
简谐运动的振动图像是一条 (或余弦)曲线,如图所示。
3.图像意义:表示做简谐运动的物体在任意时刻相对于平衡位置的 。
[情境思考]
如图所示是某质点做简谐运动的振动图像,根据图像中的信息,回答下列问题:
(1)质点离平衡位置的最大距离有多大
(2)在1.5 s和2.5 s两个时刻,质点向哪个方向运动
(3)质点在2 s末的位移是多少
三、简谐运动的位移公式
1.简谐运动的位移公式
(1)从沿x轴正方向运动到平衡位置开始计时的表达式:x= 。
(2)一般表达式:x= 。
2.表达式中各物理量的意义
(1)x表示振动物体偏离 的位移。
(2)A表示简谐运动的 。
(3)ω是一个与频率成正比的量,称为简谐运动的圆频率,表示简谐运动振动的快慢,ω= =2πf。
(4) 代表简谐运动的相位,φ0是t=0时的相位,叫作 ,或初相。
[质疑辨析]
判断下列说法是否正确。
(1)简谐运动表达式x=Asin(ωt+φ)中,ωt是相位,φ是初相位。 ( )
(2)简谐运动表达式x=Asin(ωt+φ)中,ω表示振动的快慢,ω越大,振动的周期越小。 ( )
(3)简谐运动xa=Asin(ωt)和简谐运动xb=Asin(ωt+)的相位差是。 ( )
强化点(一) 描述简谐运动的物理量
任务驱动
如图所示为弹簧振子,O为它的平衡位置,将振子拉到A点由静止释放,观察振子的振动;然后将振子拉到B点由静止释放,再观察振子的振动。
(1)两次振动有什么差别 用什么物理量来描述这种差别
(2)用秒表分别记录完成50次往复运动所用的时间,两种情况下是否相同 每完成一次往复运动所用时间是否相同 这个时间有什么物理意义
[要点释解明]
1.对全振动的理解
(1)振动过程:如图所示,从O点开始,一次全振动的完整过程为O→A→O→A'→O;从A点开始,一次全振动的完整过程为A→O→A'→O→A。
(2)物理量特征:位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。
(3)时间特征:历时一个周期。
(4)路程特征:振幅的4倍。
2.简谐运动中振幅和几个
常见量的关系
(1)振幅和振动系统能量的关系:对一个确定的振动系统来说,系统能量仅由振幅决定,振幅越大,振动系统能量越大。
(2)振幅与位移的关系
①在同一简谐运动中振幅是不变的,而位移却时刻变化。
②振幅是标量,位移是矢量,位移方向是由平衡位置指向振动物体所在位置。
③振幅在数值上等于位移的最大值。
(3)振幅与路程的关系:振动中的路程是标量,随时间不断增大。其中常用的定量关系是:一个周期内的路程为4倍的振幅,半个周期内的路程为2倍的振幅。
(4)振幅与周期的关系:在简谐运动中,一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的,与振幅无关。
[典例] 弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动,B、C相距20 cm。某时刻振子处于O点正向右运动。经过0.5 s,振子首次到达B点,取向右为正方向,求:
(1)振动的频率f和振幅A;
(2)振子在5.5 s内通过的路程及位移。
尝试解答:
[思维建模]
振动物体路程的计算方法
(1)振动物体在一个周期内通过的路程一定为四倍振幅,则在n个周期内通过的路程必为n·4A。
(2)振动物体在半个周期内通过的路程一定为两倍振幅。
(3)振动物体在内通过的路程可能等于一倍振幅,还可能大于或小于一倍振幅,只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时,内通过的路程才等于一倍振幅。
[题点全练清]
1.关于描述简谐运动的物理量,下列说法正确的是 ( )
A.振幅等于四分之一个周期内的路程
B.周期是指振动物体从任一位置出发又回到这个位置所用的时间
C.一个全振动过程中,振子的位移大小等于振幅的四倍
D.频率是50 Hz时,1 s内振动物体速度方向改变100次
2.(双选)质点a、b的振动图像分别如图中实线和虚线所示,下列说法正确的是 ( )
A.质点a、b振动的振幅均为20 cm
B.质点a、b振动的频率之比为1∶2
C.质点a、b振动的周期之比为2∶1
D.质点a、b在0.2 s内运动的路程之比为2∶1
3.(2025·厦门阶段检测)如图,一弹簧振子沿x轴做简谐运动,振子零时刻向右经过A点,2 s 后第一次到达B点,已知振子经过A、B两点时的速度大小相等,2 s内经过的路程为5.6 m。该弹簧振子的周期为 s,振幅为 m。
强化点(二) 简谐运动的图像
[要点释解明]
1.图像的意义:图像反映了做简谐运动的质点位移随时间的变化规律,并不表示质点运动的轨迹。如弹簧振子运动的轨迹为直线,但其x t图像是一条正弦(或余弦)曲线。
2.由图像可以得出的物理量
(1)任意时刻质点位移的大小和方向:如图甲所示,质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和-x2。
(2)任意时刻质点的振动方向:看下一时刻质点的位置。如图乙中a点,下一时刻离平衡位置更远,故a点此刻向正方向振动;图乙中b点,下一时刻离平衡位置更近,故b点此刻向正方向振动。
(3)某段时间内位移、速度、加速度的变化情况判断:先判断质点在这段时间内的振动方向,从而确定各物理量的变化。如图甲所示,质点在t1时刻到t0时刻这段时间内,离平衡位置的位移变小,故质点正向平衡位置运动,速度增大,位移和加速度都变小;t2时刻,质点从负位移处远离平衡位置运动,则速度为负值且减小,位移、加速度增大。
[典例] 如图所示为一质点做简谐运动的振动图像,在0~0.8 s时间内,下列说法正确的是 ( )
A.质点在0和0.8 s时刻具有正向最大速度
B.质点在0.2 s时刻具有负向最大加速度
C.0~0.4 s时间内,质点位移先增大后减小,先指向x轴负方向再指向x轴正方向
D.在0.2~0.4 s时间内,加速度方向和速度方向相同
听课记录:
[思维建模]
简谐运动图像的应用
(1)分析图像问题时,要把图像与物体的振动过程联系起来,图像上的一个点表示振动中的一个状态,图像上的一段图线对应振动中的一个过程。
(2)从图像中可直接读出质点的最大位移、某时刻质点的位移大小和方向;可判断某时刻质点的速度方向及一段时间内速度大小的变化情况。
[题点全练清]
1.如图所示,一个弹簧振子在A、B间做简谐运动,O点是平衡位置,以某时刻作为计时零点(t=0),经过周期,振子具有正方向的最大速度。那么下列四幅图像中能够正确反映振子的振动情况的是 ( )
2.(2024·福建高考)如图(a),装有砂粒的试管竖直静浮于水中,将其提起一小段距离后释放,一段时间内试管在竖直方向的振动可视为简谐运动。取竖直向上为正方向,以某时刻作为计时起点,试管振动图像如图(b)所示,则试管 ( )
A.振幅为2.0 cm
B.振动频率为2.5 Hz
C.在t=0.1 s时速度为零
D.在t=0.2 s时加速度方向竖直向下
强化点(三) 简谐运动的位移表达式
任务驱动
我们借用匀速圆周运动来推导简谐运动的公式:如图所示小球P在绕O点以角速度ω做圆周运动,小球在x轴上的投影的运动等效为振动,以小球P在顶点的时刻作为计时零点,A为小球到圆心的距离。
(1)小球在x轴上投影的最大距离可等效为描述振动的哪个物理量,大小是多少
(2)经过时间t小球投影的位移大小是多少
[要点释解明]
1.简谐运动的位移公式:x=Asin(ωt+φ0)
式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移;t表示振动的时间;A表示振动质点偏离平衡位置的最大距离,即振幅。
2.ω与φ0的物理意义
(1)ω:圆频率,表示做简谐运动的质点振动的快慢。与周期T及频率f的关系:ω==2πf。
(2)φ0:表示t=0时做简谐运动的质点所处的状态,称为初相位或初相。
(3)ωt+φ0:代表做简谐运动的质点在t时刻处在一个运动周期中的状态,称为简谐运动的相位。
3.从振动方程中得到的物理量:根据振动方程x=Asin(ωt+φ0),结合ω==2πf,可确定简谐运动的振幅为A、周期为、频率为、初相位为φ0。
提醒:①写振动方程首先要确定三个物理量:振幅A、圆频率ω=和初相位φ0。
②由于振动具有周期性,振动问题往往具有多解性,解决有关振动问题时,要注意多解问题,避免漏解。
[典例] 某质点做简谐运动,其位移随时间变化的关系式为x=3sincm,则下列结论正确的是 ( )
A.质点的振幅为3 m
B.质点的振动周期为 s
C.t=0.75 s时,质点到达距平衡位置最远处
D.质点前2 s内的位移为-4.5 cm
听课记录:
[思维建模]
计算质点位移的两点提醒
(1)质点在某时刻的位移是以平衡位置为参考点,其大小由位移表达式得出。
(2)质点在某段时间内的位移由这段时间的初位置指向末位置,其大小为两个时刻的位移之差。
[题点全练清]
1.如图所示,一质点在B、C两点之间做简谐运动,BC=10 cm,BC的中点O为平衡位置(即位移为零的位置),取向右为正方向,质点的位移—时间关系式为x=5cos(10πt)cm,则 ( )
A.t=0.1 s时,质点在O点
B.t=0.2 s时,质点的加速度为0
C.0~0.1 s内,质点的加速度方向与速度方向始终相同
D.t=0.12 s时,质点正向右运动
2.(2024·三明高二检测)如图,弹簧振子的平衡位置为O点,在B、C两点之间做简谐运动, B、C相距20 cm。小球经过B点时开始计时,经过1.5 s第二次到达C点。下列说法正确的是 ( )
A.小球振动的周期为3 s
B.小球振动的振幅为20 cm
C.5 s末小球的位移为0
D.小球的位移表达式为x=0.1sinm
第2节 振动的描述
课前预知教材
一、1.(1)平衡位置 (2)强弱 3.(1)一次全振动 (2)时间
(3)无关 (4)振动快慢 (5)f=
[情境思考]
提示:(1)振幅A=。
(2)一个周期通过的路程s=4A=2d。
二、1.时间t 平衡位置 2.正弦 3.位移
[情境思考]
提示:(1)由题图知,质点离平衡位置的最大距离为10 cm。
(2)在1.5 s以后的一小段时间内质点位移减小,因此质点向平衡位置运动;在2.5 s以后的一小段时间内质点位移增大,因此质点背离平衡位置运动。
(3)2 s末质点在平衡位置,因此位移为零。
三、1.(1)Asin ωt (2)Asin(ωt+φ0) 2.(1)平衡位置 (2)振幅 (3) (4)ωt+φ0 初相位
[质疑辨析]
(1)× (2)√ (3)√
课堂精析重难
强化点(一)
[任务驱动] 提示:(1)第二次振动的幅度比第一次振动的幅度大,用振幅来描述振动幅度的大小。
(2)两种情况下所用的时间是相同的。每完成一次往复运动所用的时间是相同的。这个时间表示振动的快慢。
[典例] 解析:(1)设振幅为A,由题意BC=2A=20 cm,所以A=10 cm
振子从O到B所用时间t=0.5 s,为周期T的,
所以T=2.0 s,f==0.5 Hz。
(2)振子从平衡位置开始运动,在1个周期内通过的路程为4A,故在t'=5.5 s=T内通过的路程
s=×4A=110 cm
5.5 s内振子振动了个周期,所以5.5 s末振子到达C点,位移为-10 cm。
答案:(1)0.5 Hz 10 cm (2)110 cm -10 cm
[题点全练清]
1.选D 由于在平衡位置附近速度较大,在最大位移位置附近速度较小,因此四分之一个周期内走过的路程不一定等于振幅,A错误;周期指发生一次全振动所用的时间,B错误;一个全振动过程中,振子位移为0,C错误;一个周期内速度方向改变2次,频率为50 Hz时,1 s内速度方向改变100次,D正确。
2.选AD 由题图可知质点a、b振动的振幅均为20 cm,故A正确;质点a的周期为0.2 s,质点b的周期为0.4 s,则a、b振动的周期之比为1∶2,频率之比为2∶1,故B、C错误;质点a在0.2 s内运动的路程为80 cm,质点b在0.2 s内运动的路程为40 cm,则运动的路程之比为2∶1,故D正确。
3.解析:根据简谐运动的对称性可知,A、B两点关于平衡位置对称,振子经过了半个周期的振动,则周期为T=2t=4 s。从A到B经过了半个周期的振动,路程为s=5.6 m,而经过一个完整的周期路程为2s,等于4个振幅,有4A=2s,解得振幅为A=2.8 m。
答案:4 2.8
强化点(二)
[典例] 选D 质点在0和0.8 s时刻,位移为零,正通过平衡位置,速度最大,图像的斜率为负,说明速度为负向,即质点在0和0.8 s 时刻具有负向最大速度,故A错误;质点在0.2 s时刻具有负向最大位移,由a=-,知加速度为正向最大,故B错误;0~0.4 s 时间内,质点的位移始终指向x轴负方向,故C错误;在0.2~0.4 s 时间内质点位移方向为负,由a=-,加速度方向为正,图像斜率为正,所以速度方向为正,故D正确。
[题点全练清]
1.选D 由时刻振子具有最大速度可知,时刻振子的位移为0,故A、C错误;由时刻振子具有正方向的最大速度可知,B错误,D正确。
2.选B 根据题图(b)可知,振幅为1.0 cm,周期为T=0.4 s,则振动频率为f== Hz=2.5 Hz,故A错误,B正确;根据题图(b)可知,t=0.1 s时质点处于平衡位置,此时速度最大,故C错误;根据题图(b)可知,t=0.2 s时质点处于负向最大位置处,此时加速度方向竖直向上,故D错误。
强化点(三)
[任务驱动] 提示:(1)振动的振幅,大小为A。
(2)经过时间t小球转过的角度为ωt,所以投影的位移为x=Asin ωt。
[典例] 选D 根据位移随时间变化的关系式x=3sincm,可知质点的振幅为A=3 cm,质点的振动周期为T== s=3 s,故A、B错误;t=0.75 s时,质点的位移为x=3sincm=0,可知此时质点刚好到达平衡位置,故C错误;t=0时,质点的位移为x0=3sincm=3 cm,t=2 s时,质点的位移为x2=3sincm=-1.5 cm,则质点前2 s内的位移为Δx=x2-x0=-4.5 cm,D正确。
[题点全练清]
1.选D t=0.1 s时,有x=5cos(10π×0.1)cm=-5 cm,质点在B点,故A错误;t=0.2 s时,有x=5cos(10π×0.2)cm=5 cm,质点在C点,加速度最大,故B错误;由质点的位移—时间关系式x=5cos(10πt)cm,可知周期T==0.2 s,0~0.1 s内,质点由C点运动到B点,质点的加速度方向与速度方向先相同再相反,故C错误;t=0.12 s时,质点由B点正向O点运动,即质点正向右运动,故D正确。
2.选D 小球经过B点时开始计时,经过1.5 s第二次到达C点,则有1.5 s=T,解得小球振动的周期为T=1 s,故A错误;根据题意有2A=20 cm,可得小球振动的振幅为A=10 cm,故B错误;小球经过B点时开始计时,由于周期为1 s,可知5 s末小球的位移为10 cm,故C错误;小球经过B点时开始计时,小球的位移表达式为x=Asin=0.1sinm,故D正确。
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振动的描述(赋能课——精细培优科学思维)
第 2 节
课标要求 学习目标
能用公式和图像 描述简谐运动。 1.知道振幅、周期和频率的概念，了解固有周期和固有频率。
2.掌握简谐运动图像的物理意义和应用。
3.掌握简谐运动的位移公式，了解相位的概念。
课前预知教材
课堂精析重难
01
02
CONTENTS
目录
课时跟踪检测
03
课前预知教材
一、振动特征的描述
1.振幅(A)
(1)定义：振动物体离开__________的最大距离，用A表示。
(2)物理意义：表示振动_____的物理量，是标量。
2.全振动
物体从某一初始状态开始到第一次回到这一状态的过程。
平衡位置
强弱
3.周期(T)和频率(f)
(1)周期(T)：振动物体完成____________所经历的时间。
(2)频率(f)：在一段时间内，物体完成全振动的次数与这段______之比。
(3)固有周期(或固有频率)：物体在自由状态下的振动周期(或频率)，是振动系统本身的属性，与物体是否振动______。
(4)物理意义：周期和频率都是表示物体__________的物理量，周期越短，频率越高，表示物体振动越快。
(5)周期与频率的关系：______ (用公式表示)。
一次全振动
时间
无关
振动快慢
f=
[微点拨]
1.振幅是标量，没有负值，也无方向，它等于振子最大位移的大小。
2.周期T与频率f的大小由振动系统本身决定，与振幅无关。
[情境思考]
如图，O点为弹簧振子的平衡位置，M、
M'为平衡位置两端弹簧振子到达最远的位置，
测得MM'的距离为d。
(1)弹簧振子振动的振幅是多少
提示：振幅A=。
(2)弹簧振子从O点开始振动，经过1个周期通过的路程是多少
提示：一个周期通过的路程s=4A=2d。
二、简谐运动的位移图像
1.坐标系的建立
以横轴表示做简谐运动的物体运动的______，纵轴表示做简谐运动的物体运动过程中相对于__________的位移x。
2.图像的特点
简谐运动的振动图像是一条______ (或余弦)曲线，
如图所示。
3.图像意义
表示做简谐运动的物体在任意时刻相对于平衡位置的______。
时间t
平衡位置
正弦
位移
[情境思考]
如图所示是某质点做简谐运动的振动图像，
根据图像中的信息，回答下列问题：
(1)质点离平衡位置的最大距离有多大
提示：由题图知，质点离平衡位置的最大距离为10 cm。
(2)在1.5 s和2.5 s两个时刻，质点向哪个方向运动
提示：在1.5 s以后的一小段时间内质点位移减小，因此质点向平衡位置运动； 在2.5 s以后的一小段时间内质点位移增大，因此质点背离平衡位置运动。
(3)质点在2 s末的位移是多少
提示：2 s末质点在平衡位置，因此位移为零。
三、简谐运动的位移公式
1.简谐运动的位移公式
(1)从沿x轴正方向运动到平衡位置开始计时的表达式：x=________。
(2)一般表达式：x=_____________。
Asin ωt
Asin(ωt+φ0)
2.表达式中各物理量的意义
(1)x表示振动物体偏离__________的位移。
(2)A表示简谐运动的______。
(3)ω是一个与频率成正比的量，称为简谐运动的圆频率，表示简谐运动振动的快慢，ω=____=2πf。
(4)______ 代表简谐运动的相位，φ0是t=0时的相位，叫作_______，
或初相。
平衡位置
振幅
ωt+φ0
初相位
[质疑辨析]
判断下列说法是否正确。
(1)简谐运动表达式x=Asin(ωt+φ)中，ωt是相位，φ是初相位。 ( )
(2)简谐运动表达式x=Asin(ωt+φ)中，ω表示振动的快慢，ω越大，振动的周期越小。 ( )
(3)简谐运动xa=Asin(ωt)和简谐运动xb=Asin(ωt+)的相位差是。 ( )
×
√
√
课堂精析重难
强化点(一) 描述简谐运动的物理量
如图所示为弹簧振子，O为它的平衡位置，将振子拉到A点由静止释放，观察振子的振动；然后将振子拉到B点由静止释放，再观察振子的振动。
(1)两次振动有什么差别 用什么物理量来描述这种差别
任务驱动
提示：第二次振动的幅度比第一次振动的幅度大，用振幅来描述振动幅度的大小。
(2)用秒表分别记录完成50次往复运动所用的时间，两种情况下是否相同 每完成一次往复运动所用时间是否相同 这个时间有什么物理意义
提示：两种情况下所用的时间是相同的。每完成一次往复运动所用的时间是相同的。这个时间表示振动的快慢。
1.对全振动的理解
(1)振动过程：如图所示，从O点开始，一次全振
动的完整过程为O→A→O→A'→O；从A点开始，一次
全振动的完整过程为A→O→A‘→O→A。
(2)物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。
(3)时间特征：历时一个周期。
(4)路程特征：振幅的4倍。
要点释解明
2.简谐运动中振幅和几个常见量的关系
(1)振幅和振动系统能量的关系：对一个确定的振动系统来说，系统能量仅由振幅决定，振幅越大，振动系统能量越大。
(2)振幅与位移的关系
①在同一简谐运动中振幅是不变的，而位移却时刻变化。
②振幅是标量，位移是矢量，位移方向是由平衡位置指向振动物体所在位置。
③振幅在数值上等于位移的最大值。
(3)振幅与路程的关系：振动中的路程是标量，随时间不断增大。其中常用的定量关系是：一个周期内的路程为4倍的振幅，半个周期内的路程为2倍的振幅。
(4)振幅与周期的关系：在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关。
[典例] 弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动，B、C相距20 cm。某时刻振子处于O点正向右运动。经过0.5 s，振子首次到达B点，取向右为正方向，求：
(1)振动的频率f和振幅A；
[答案] 0.5 Hz 10 cm
[解析] 设振幅为A，由题意BC=2A=20 cm，所以A=10 cm
振子从O到B所用时间t=0.5 s，为周期T的，
所以T=2.0 s，f==0.5 Hz。
(2)振子在5.5 s内通过的路程及位移。
[答案] 110 cm -10 cm
[解析] 振子从平衡位置开始运动，在1个周期内通过的路程为4A，
故在t'=5.5 s=T内通过的路程s=×4A=110 cm
5.5 s内振子振动了个周期，所以5.5 s末振子到达C点，位移为-10 cm。
[思维建模]
振动物体路程的计算方法
(1)振动物体在一个周期内通过的路程一定为四倍振幅，则在n个周期内通过的路程必为n·4A。
(2)振动物体在半个周期内通过的路程一定为两倍振幅。
(3)振动物体在内通过的路程可能等于一倍振幅，还可能大于或小于一倍振幅，只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时，内通过的路程才等于一倍振幅。
1.关于描述简谐运动的物理量，下列说法正确的是 ( )
A.振幅等于四分之一个周期内的路程
B.周期是指振动物体从任一位置出发又回到这个位置所用的时间
C.一个全振动过程中，振子的位移大小等于振幅的四倍
D.频率是50 Hz时，1 s内振动物体速度方向改变100次
题点全练清
√
解析：由于在平衡位置附近速度较大，在最大位移位置附近速度较小，因此四分之一个周期内走过的路程不一定等于振幅，A错误；周期指发生一次全振动所用的时间，B错误；一个全振动过程中，振子位移为0，C错误；一个周期内速度方向改变2次，频率为50 Hz时，1 s内速度方向改变100次，D正确。
2.(双选)质点a、b的振动图像分别如图中实线和虚线所示，下列说法正确的是 ( )
A.质点a、b振动的振幅均为20 cm
B.质点a、b振动的频率之比为1∶2
C.质点a、b振动的周期之比为2∶1
D.质点a、b在0.2 s内运动的路程之比为2∶1
√
√
解析：由题图可知质点a、b振动的振幅均为20 cm，故A正确；质点a的周期为0.2 s，质点b的周期为0.4 s，则a、b振动的周期之比为1∶2，频率之比为2∶1，故B、C错误；质点a在0.2 s内运动的路程为80 cm，质点b在0.2 s内运动的路程为40 cm，则运动的路程之比为2∶1，故D正确。
3.(2025·厦门阶段检测)如图，一弹簧振子沿
x轴做简谐运动，振子零时刻向右经过A点，2 s
后第一次到达B点，已知振子经过A、B两点时的速度大小相等，2 s内经过的路程为5.6 m。该弹簧振子的周期为___s，振幅为_____m。
解析：根据简谐运动的对称性可知，A、B两点关于平衡位置对称，振子经过了半个周期的振动，则周期为T=2t=4 s。从A到B经过了半个周期的振动，路程为s=5.6 m，而经过一个完整的周期路程为2s，等于4个振幅，有4A=2s，解得振幅为A=2.8 m。
4
2.8
强化点(二) 简谐运动的图像
1.图像的意义：图像反映了做简谐运动的质点位移随时间的变化规律，并不表示质点运动的轨迹。如弹簧振子运动的轨迹为直线，但其x t图像是一条正弦(或余弦)曲线。
2.由图像可以得出的物理量
(1)任意时刻质点位移的大小
和方向：如图甲所示，质点在t1、
t2时刻的位移分别为x1和-x2。
要点释解明
(2)任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置。如图乙中a点，下一时刻离平衡位置更远，故a点此刻向正方向振动；图乙中b点，下一时刻离平衡位置更近，故b点此刻向正方向振动。
(3)某段时间内位移、速度、加速度的变化情况判断：先判断质点在这段时间内的振动方向，从而确定各物理量的变化。如图甲所示，质点在t1时刻到t0时刻这段时间内，离平衡位置的位移变小，故质点正向平衡位置运动，速度增大，位移和加速度都变小；t2时刻，质点从负位移处远离平衡位置运动，则速度为负值且减小，位移、加速度增大。
[典例] 如图所示为一质点做简谐运动
的振动图像，在0~0.8 s时间内，下列说法
正确的是 ( )
A.质点在0和0.8 s时刻具有正向最大速度
B.质点在0.2 s时刻具有负向最大加速度
C.0~0.4 s时间内，质点位移先增大后减小，先指向x轴负方向再指向x轴正方向
D.在0.2~0.4 s时间内，加速度方向和速度方向相同
√
[解析] 质点在0和0.8 s时刻，位移为零，正通过平衡位置，速度最大，图像的斜率为负，说明速度为负向，即质点在0和0.8 s时刻具有负向最大速度，故A错误；质点在0.2 s时刻具有负向最大位移，由a=-，知加速度为正向最大，故B错误；0~0.4 s 时间内，质点的位移始终指向x轴负方向，故C错误；在0.2~0.4 s时间内质点位移方向为负，由a=-，加速度方向为正，图像斜率为正，所以速度方向为正，故D正确。
[思维建模]
简谐运动图像的应用
(1)分析图像问题时，要把图像与物体的振动过程联系起来，图像上的一个点表示振动中的一个状态，图像上的一段图线对应振动中的一个过程。
(2)从图像中可直接读出质点的最大位移、某时刻质点的位移大小和方向；可判断某时刻质点的速度方向及一段时间内速度大小的变化情况。
1.如图所示，一个弹簧振子在A、B间做简谐
运动，O点是平衡位置，以某时刻作为计时零点
(t=0)，经过周期，振子具有正方向的最大速度。那么下列四幅图像中能够正确反映振子的振动情况的是( )
题点全练清
√
解析：由时刻振子具有最大速度可知，时刻振子的位移为0，故A、C错误；由时刻振子具有正方向的最大速度可知，B错误，D正确。
2.(2024·福建高考)如图(a)，装有砂粒的试管竖直静浮于水中，将其提起一小段距离后释放，一段时间内试管在竖直方向的振动可视为简谐运动。取竖直向上为正方向，以某时刻作为计时起点，试管振动图像如图(b)所示，则试管 ( )
A.振幅为2.0 cm
B.振动频率为2.5 Hz
C.在t=0.1 s时速度为零
D.在t=0.2 s时加速度方向竖直向下
√
解析：根据题图(b)可知，振幅为1.0 cm，周期为T=0.4 s，则振动频率为f== Hz=2.5 Hz，故A错误，B正确；根据题图(b)可知，t=0.1 s时质点处于平衡位置，此时速度最大，故C错误；根据题图(b)可知，t=0.2 s时质点处于负向最大位置处，此时加速度方向竖直向上，故D错误。
我们借用匀速圆周运动来推导简谐运动的公式：
如图所示小球P在绕O点以角速度ω做圆周运动，小球
在x轴上的投影的运动等效为振动，以小球P在顶点的
时刻作为计时零点，A为小球到圆心的距离。
(1)小球在x轴上投影的最大距离可等效为描述振动的哪个物理量，大小是多少
强化点(三) 简谐运动的位移表达式
任务驱动
提示：振动的振幅，大小为A。
(2)经过时间t小球投影的位移大小是多少
提示：经过时间t小球转过的角度为ωt，所以投影的位移为x=Asin ωt。
1.简谐运动的位移公式：x=Asin(ωt+φ0)
式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移；t表示振动的时间；A表示振动质点偏离平衡位置的最大距离，即振幅。
2.ω与φ0的物理意义
(1)ω：圆频率，表示做简谐运动的质点振动的快慢。与周期T及频率f的关系：ω==2πf。
要点释解明
(2)φ0：表示t=0时做简谐运动的质点所处的状态，称为初相位或初相。
(3)ωt+φ0：代表做简谐运动的质点在t时刻处在一个运动周期中的状态，称为简谐运动的相位。
3.从振动方程中得到的物理量：根据振动方程x=Asin(ωt+φ0)，结合ω==2πf，可确定简谐运动的振幅为A、周期为、频率为、初相位为φ0。
提醒：①写振动方程首先要确定三个物理量：振幅A、圆频率ω=和初相位φ0。
②由于振动具有周期性，振动问题往往具有多解性，解决有关振动问题时，要注意多解问题，避免漏解。
[典例] 某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x=3sincm，则下列结论正确的是( )
A.质点的振幅为3 m
B.质点的振动周期为 s
C.t=0.75 s时，质点到达距平衡位置最远处
D.质点前2 s内的位移为-4.5 cm
√
[解析] 根据位移随时间变化的关系式x=3sincm，可知质点的振幅为A=3 cm，质点的振动周期为T== s=3 s，故A、B错误；t=0.75 s时，质点的位移为x=3sincm=0，可 知此时质点刚好到达平衡位置，故C错误；t=0时，质点的位移为x0=3sincm=3 cm，t=2 s时，质点的位移为x2=3sincm=-1.5 cm，则质点前2 s内的位移为Δx=x2-x0=-4.5 cm，D正确。
[思维建模]
计算质点位移的两点提醒
(1)质点在某时刻的位移是以平衡位置为参考点，其大小由位移表达式得出。
(2)质点在某段时间内的位移由这段时间的初位置指向末位置，其大小为两个时刻的位移之差。
1.如图所示，一质点在B、C两点之间做简谐运动，BC=10 cm，BC的中点O为平衡位置(即位移为零的位置)，取向右为正方向，质点的位移—时间关系式为x=5cos(10πt)cm，则 ( )
A.t=0.1 s时，质点在O点
B.t=0.2 s时，质点的加速度为0
C.0~0.1 s内，质点的加速度方向与速度方向始终相同
D.t=0.12 s时，质点正向右运动
题点全练清
√
解析：t=0.1 s时，有x=5cos(10π×0.1)cm=-5 cm，质点在B点，故A错误；t=0.2 s时，有x=5cos(10π×0.2)cm=5 cm，质点在C点，加速度最大，故B错误；由质点的位移—时间关系式x=5cos(10πt)cm，可知周期T==0.2 s，0~0.1 s内，质点由C点运动到B点，质点的加速度方向与速度方向先相同再相反，故C错误；t=0.12 s时，质点由B点正向O点运动，即质点正向右运动，故D正确。
2.(2024·三明高二检测)如图，弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动， B、C相距20 cm。小球经过B点时开始计时，经过1.5 s第二次到达C点。下列说法正确的是 ( )
A.小球振动的周期为3 s
B.小球振动的振幅为20 cm
C.5 s末小球的位移为0
D.小球的位移表达式为x=0.1sinm
√
解析：小球经过B点时开始计时，经过1.5 s第二次到达C点，则有1.5 s
=T，解得小球振动的周期为T=1 s，故A错误；根据题意有2A=20 cm，可得小球振动的振幅为A=10 cm，故B错误；小球经过B点时开始计时，由于周期为1 s，可知5 s末小球的位移为10 cm，故C错误；小球经过B点时开始计时，小球的位移表达式为x=Asin=0.1sinm，故D正确。
课时跟踪检测
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1.如图，小球通过弹簧悬挂于天花板上，平衡时，小球停在O点。P点位于O点正下方，OP=5 cm。现将小球拉至P点并由静止释放，经0.5 s到O点，此后以O点为对称中心，小球在竖直方向上做简谐运动，则小球的振动周期T和振幅A分别为 ( )
A.T=1 s，A=5 cm
B.T=1 s，A=10 cm
C.T=2 s，A=5 cm
D.T=2 s，A=10 cm
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解析：将小球拉至P点并由静止释放，则小球离开平衡位置O的最大距离，即振幅A=OP=5 cm，从最大距离处到平衡位置的时间为T=0.5 s，所以周期为2 s，A、B、D错误，C正确。
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2.(双选)如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C间振动，不计一切阻力，则 ( )
A.从B→O→C→O→B为一次全振动
B.从O→B→O→C→B为一次全振动
C.从C→O→B→O→C为一次全振动
D.OB不一定等于OC
√
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解析：O点为平衡位置，B、C为两侧最远点，则从B→O→C→
O→B的路程为振幅的4倍，为一次全振动，A正确；从O→B→O→
C→B的路程为振幅的5倍，超过一次全振动，B错误；从C→O→B
→O→C的路程为振幅的4倍，为一次全振动，C正确；因弹簧振子
的阻力不考虑，所以它的振幅一定，OB一定等于OC，D错误。
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3.一个质点做简谐运动，振幅为4 cm，频率为2.5 Hz，该质点从平衡位置起向正方向运动，经过2.5 s，质点的位移和路程分别是 ( )
A.4 cm 24 cm B.-4 cm 100 cm
C.0 100 cm D.4 cm 100 cm
√
解析：周期T==0.4 s，经过t=2.5 s=6.25T，质点的位移为4 cm，路程s=6.25×4A=6.25×4×4 cm=100 cm，故选D。
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4.如图所示，为一做简谐运动的质点的振动图像，由图可得 ( )
A.该简谐运动的振幅为10 cm
B.该简谐运动的表达式为x=5sint(cm)
C.该质点在第10 s末时的位移为5 cm
D.该质点在前12 s内的路程为90 cm
√
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解析：由题图可知，振幅A=5 cm，周期T=4 s，则有ω== rad/s，则该简谐运动的表达式为x=5sint(cm)，故A错误，B正确；当t=10 s时，位移为x=5sin(cm)=0，故C错误；1个周期内，路程为5×4 cm
=20 cm，前12 s是3个周期，则路程为s=3×20 cm=60 cm，故D错误。
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5.一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x=0.1sin 2.5πt，位移x的单位为m，时间t的单位为s，则 ( )
A.弹簧振子A的振幅为0.2 m
B.弹簧振子A的周期为1.25 s
C.在t=0.2 s时，振子A的运动速度为0
D.若另一弹簧振子B的位移x随时间t变化的关系式为x=0.2sin，则B的振幅和周期分别是A的振幅和周期的2倍
√
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解析：根据x=0.1sin 2.5πt，可知弹簧振子A的振幅为0.1 m，周期为TA= s
=0.8 s，则A、B错误；在t=0.2 s时，振子A的位移为x=0.1sin (2.5π×0.2)m=
0.1 m，可知此时振子A处于最大位移位置，振子A的运动速度为0，故C正确；若另一弹簧振子B的位移x随时间t变化的关系式为x=0.2sin，则B的振幅为0.2 m，周期为TB= s=0.8 s，则B的振幅是A的振幅的2倍，B的周期等于A的周期，故D错误。
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6.一弹簧振子做简谐运动，它所受的回复力F
随时间t变化的图线为正弦曲线，如图所示，下列
说法正确的是 ( )
A.在0~2 s时间内，弹簧振子做加速运动
B.在t1=3 s和t2=5 s时刻，弹簧振子的速度大小相等、方向相反
C.在t2=5 s和t3=7 s时刻，弹簧振子的位移大小相等、方向相同
D.在0~4 s时间内，t=2 s时刻弹簧振子所受回复力做功的功率最大
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解析：由F=-kx，根据F t图像知，在0~2 s 时间内，弹簧振子位移变大，离开平衡位置做减速运动，故A错误；在t1=3 s和t2=5 s时，图像斜率相同，说明弹簧振子的速度大小相等、方向相同，故B错误；根据图像可知，在t2=5 s和t3=7 s时，回复力大小、方向都相同，则位移大小相等、方向相同，故C正确；在0~4 s时间内，t=2 s时刻弹簧振子回复力最大，在最大位移位置，振子的速度为零，则回复力做功的功率为零，故D错误。
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7.如图所示，用一轻弹簧把质量分别是m=2 kg和M=1 kg的甲、乙两块物体连接起来，放置在水平地面上。用F=30 N 的力竖直向下作用在上方的物体上。已知弹簧的劲度系数k=100 N/m，g取10 m/s2。现突然撤销外力F，以下说法正确的是 ( )
A.甲物体上升的最大高度为0.3 m
B.甲物体做简谐运动，振幅A=0.3 m
C.地面受到的最小压力不为零
D.甲物体运动到最高点时，弹簧的伸长量为0.2 m
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解析：甲物体位于最低点有F=ma，甲物体位于最高点时，地面受到的压力最小，有mg+F弹=ma，解得F弹=10 N，对乙物体受力分析得F弹+N=Mg，可得N=0，根据牛顿第三定律可知地面受到的最小压力为零，故C错误；根据上述分析可知，乙物体静止不动，甲物体受重力和弹簧弹力的合力为回复力，故甲物体做简谐运动，平衡位置有mg=kx0，可得x0=0.2 m，甲物体位于最低点有kx1-mg=F，可得x1=0.5 m，振幅为A=x1-x0=0.3 m，故B正确；甲物体上升的最大高度h=2A=0.6 m，故A错误；甲物体运动到最高点时，弹簧的伸长量x2==0.1 m，D错误。
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8.(2024·北京高考)图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是 ( )
A.t=0时，弹簧弹力为0
B.t=0.2 s时，手机位于平衡位置上方
C.从t=0至t=0.2 s，手机的动能增大
D.a随t变化的关系式为a=4sin(2.5πt)m/s2
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解析：由题图乙知，t=0时，手机加速度为0，手机位于平衡位置，由平衡条件得弹簧弹力大小等于手机重力大小，A错误；由题图乙知，t=0.2 s时，手机的加速度为正值，则手机受到的合力向上，手机位于平衡位置下方，B错误；由题图乙知，从t=0至t=0.2 s，手机的加速度增大，手机从平衡位置向最大位移处运动，速度减小，动能减小，C错误；由题图乙知，装置振动的周期T=0.8 s，则圆频率ω==2.5π rad/s，则a随t变化的关系式为a=4sin(2.5πt)m/s2，D正确。
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9.(双选)如图所示，一个轻质弹簧下端挂一小球，小球静止。现将小球向下拉动距离A后由静止释放，并开始计时，小球在竖直方向做简谐运动，周期为T。下列说法正确的是 ( )
A.经时间，小球从最低点向上运动的距离小于
B.在时刻，小球向下运动
C.在时刻，小球的动能最大
D.小球在一个周期内运动的路程为2A
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解析：由题图可知，做简谐运动的小球的位移随时间变化的关系为y=-Acost，则t=时，有y=-Acos=-A，所以经时间，小球从最低点向上运动的距离为Δy=A-A=A<，故A正确；由题图可知，在时刻，小球向上运动，故B错误；由题图可知，在时刻，小球处于平衡位置，此时小球的速度最大，小球的动能最大，故C正确；小球在一个周期内运动的路程为4A，故D错误。
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10.(3分)(2025·福州阶段检测)如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在光滑水平面上的A、B两点之间做简谐运动。取水平向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，在t=0.2 s 时，振子的加速度为负向______；在t=0.4 s 时，振子的动能_____；在t=0.6 s时，弹簧的弹性势能______。(均选填“最大”或“最小”)
最大
最大
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解析：由图像乙知，t=0.2 s时位移正向最大，根据F=-kx知回复力负向最大，所以振子的加速度为负向最大；由图像乙知，t=0.4 s时图像的斜率最大，速度最大，动能最大；由图像乙知，在t=0.6 s时，弹簧振子的位移最大，则弹簧的弹性势能最大。
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11.(9分)如图甲所示，水平杆上的弹簧振子，在AB范围内做简谐振动，已知AB间的距离为16 cm，振子从A开始运动到第二次经过O的时间为3 s，不计振子与杆间的摩擦，取向右为正方向，求：
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(1)弹簧振子在6 s内通过的路程是多少 (3分)
答案：48 cm
解析：由振子从A开始运动到第二次经过O的时间为3 s，
可知T=3 s，解得T=4 s，
由于t=6 s=1.5T，则弹簧振子在6 s内通过的路程是s=1.5×4A=6× cm=48 cm。
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(2)若从弹簧振子在A处开始计时，弹簧振子在8 s 时的位移是多少 (3分)
答案：-8 cm
解析：由于8 s=2T
则弹簧振子在8 s时仍处于A点，此时位移为-8 cm。
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(3)若从弹簧振子在A处开始计时，请在图乙中作出该振子做简谐运动的x t图像。(3分)
解析：由以上分析可知，振动周期为4 s，振幅为8 cm，作出x t图像如图所示。
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12.(11分) 如图，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块A，
物块沿竖直方向做简谐运动，以竖直向上为正方向，物块做
简谐运动的表达式为y=0.1sin(2.5πt)m。t=0时刻，物块A开始
振动；t1=0.8 s时一小球B从距物块h高处开始自由落下；t2=
1.4 s时，小球B恰好与物块A处于同一高度。取重力加速度的大小g=10 m/s2，求：
(1)简谐运动的周期T；(3分)
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答案：0.8 s
解析：根据物块做简谐运动的表达式
y=0.1sin(2.5πt)m，可知ω=2.5π rad/s
则简谐运动的周期T== s=0.8 s。
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(2)t=1.4 s内物块A运动的路程s；(3分)
解析：t=1.4 s=1.75T
则t=1.4 s内物块A运动的路程s=1.75×4A=1.75×4×0.1 m=0.7 m。
答案：0.7 m
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(3)h的大小。(5分)
答案：1.7 m
解析：t2=1.4 s时，y=0.1sin(2.5πt2)m=
0.1sin(2.5π×1.4)m=-0.1 m
小球B做自由落体运动，有h-y=g(t2-t1)2
解得h=1.7 m。课时跟踪检测(七) 振动的描述
1.如图,小球通过弹簧悬挂于天花板上,平衡时,小球停在O点。P点位于O点正下方,OP=5 cm。现将小球拉至P点并由静止释放,经0.5 s到O点,此后以O点为对称中心,小球在竖直方向上做简谐运动,则小球的振动周期T和振幅A分别为 ( )
A.T=1 s,A=5 cm B.T=1 s,A=10 cm
C.T=2 s,A=5 cm D.T=2 s,A=10 cm
2.(双选)如图所示,弹簧振子以O点为平衡位置,在B、C间振动,不计一切阻力,则 ( )
A.从B→O→C→O→B为一次全振动
B.从O→B→O→C→B为一次全振动
C.从C→O→B→O→C为一次全振动
D.OB不一定等于OC
3.一个质点做简谐运动,振幅为4 cm,频率为2.5 Hz,该质点从平衡位置起向正方向运动,经过2.5 s,质点的位移和路程分别是 ( )
A.4 cm 24 cm B.-4 cm 100 cm
C.0 100 cm D.4 cm 100 cm
4.如图所示,为一做简谐运动的质点的振动图像,由图可得 ( )
A.该简谐运动的振幅为10 cm
B.该简谐运动的表达式为x=5sint(cm)
C.该质点在第10 s末时的位移为5 cm
D.该质点在前12 s内的路程为90 cm
5.一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x=0.1sin 2.5πt,位移x的单位为m,时间t的单位为s,则 ( )
A.弹簧振子A的振幅为0.2 m
B.弹簧振子A的周期为1.25 s
C.在t=0.2 s时,振子A的运动速度为0
D.若另一弹簧振子B的位移x随时间t变化的关系式为x=0.2sin,则B的振幅和周期分别是A的振幅和周期的2倍
6.一弹簧振子做简谐运动,它所受的回复力F随时间t变化的图线为正弦曲线,如图所示,下列说法正确的是 ( )
A.在0~2 s时间内,弹簧振子做加速运动
B.在t1=3 s和t2=5 s时刻,弹簧振子的速度大小相等、方向相反
C.在t2=5 s和t3=7 s时刻,弹簧振子的位移大小相等、方向相同
D.在0~4 s时间内,t=2 s时刻弹簧振子所受回复力做功的功率最大
7.如图所示,用一轻弹簧把质量分别是m=2 kg和M=1 kg的甲、乙两块物体连接起来,放置在水平地面上。用F=30 N 的力竖直向下作用在上方的物体上。已知弹簧的劲度系数k=100 N/m,g取10 m/s2。现突然撤销外力F,以下说法正确的是 ( )
A.甲物体上升的最大高度为0.3 m
B.甲物体做简谐运动,振幅A=0.3 m
C.地面受到的最小压力不为零
D.甲物体运动到最高点时,弹簧的伸长量为0.2 m
8.(2024·北京高考)图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况,以向上为正方向,得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线,如图乙所示。下列说法正确的是 ( )
A.t=0时,弹簧弹力为0
B.t=0.2 s时,手机位于平衡位置上方
C.从t=0至t=0.2 s,手机的动能增大
D.a随t变化的关系式为a=4sin(2.5πt)m/s2
9.(双选)如图所示,一个轻质弹簧下端挂一小球,小球静止。现将小球向下拉动距离A后由静止释放,并开始计时,小球在竖直方向做简谐运动,周期为T。下列说法正确的是 ( )
A.经时间,小球从最低点向上运动的距离小于
B.在时刻,小球向下运动
C.在时刻,小球的动能最大
D.小球在一个周期内运动的路程为2A
10.(3分)(2025·福州阶段检测)如图甲所示,弹簧振子以O点为平衡位置,在光滑水平面上的A、B两点之间做简谐运动。取水平向右为正方向,振子的位移x随时间t的变化如图乙所示,在t=0.2 s时,振子的加速度为负向 ;在t=0.4 s时,振子的动能 ;在t=0.6 s时,弹簧的弹性势能 。(均选填“最大”或“最小”)
11.(9分)如图甲所示,水平杆上的弹簧振子,在AB范围内做简谐振动,已知AB间的距离为16 cm,振子从A开始运动到第二次经过O的时间为3 s,不计振子与杆间的摩擦,取向右为正方向,求:
(1)弹簧振子在6 s内通过的路程是多少 (3分)
(2)若从弹簧振子在A处开始计时,弹簧振子在8 s 时的位移是多少 (3分)
(3)若从弹簧振子在A处开始计时,请在图乙中作出该振子做简谐运动的x t图像。(3分)
12.(11分)如图,轻弹簧上端固定,下端连接一小物块A,物块沿竖直方向做简谐运动,以竖直向上为正方向,物块做简谐运动的表达式为y=0.1sin(2.5πt)m。t=0时刻,物块A开始振动;t1=0.8 s时一小球B从距物块h高处开始自由落下;t2=1.4 s时,小球B恰好与物块A处于同一高度。取重力加速度的大小 g=10 m/s2,求:
(1)简谐运动的周期T;(3分)
(2)t=1.4 s内物块A运动的路程s;(3分)
(3)h的大小。(5分)
课时跟踪检测(七)
1.选C 将小球拉至P点并由静止释放,则小球离开平衡位置O的最大距离,即振幅A=OP=5 cm,从最大距离处到平衡位置的时间为T=0.5 s,所以周期为2 s,A、B、D错误,C正确。
2.选AC O点为平衡位置,B、C为两侧最远点,则从B→O→C→O→B的路程为振幅的4倍,为一次全振动,A正确;从O→B→O→C→B的路程为振幅的5倍,超过一次全振动,B错误;从C→O→B→O→C的路程为振幅的4倍,为一次全振动,C正确;因弹簧振子的阻力不考虑,所以它的振幅一定,OB一定等于OC,D错误。
3.选D 周期T==0.4 s,经过t=2.5 s=6.25T,质点的位移为4 cm,路程s=6.25×4A=6.25×4×4 cm=100 cm,故选D。
4.选B 由题图可知,振幅A=5 cm,周期T=4 s,则有ω== rad/s,则该简谐运动的表达式为x=5sint(cm),故A错误,B正确;当t=10 s时,位移为x=5sin(cm)=0,故C错误;1个周期内,路程为5×4 cm=20 cm,前12 s是3个周期,则路程为s=3×20 cm=60 cm,故D错误。
5.选C 根据x=0.1sin 2.5πt,可知弹簧振子A的振幅为0.1 m,周期为TA= s=0.8 s,则A、B错误;在t=0.2 s时,振子A的位移为x=0.1sin (2.5π×0.2)m=0.1 m,可知此时振子A处于最大位移位置,振子A的运动速度为0,故C正确;若另一弹簧振子B的位移x随时间t变化的关系式为x=0.2sin,则B的振幅为0.2 m,周期为TB= s=0.8 s,则B的振幅是A的振幅的2倍,B的周期等于A的周期,故D错误。
6.选C 由F=-kx,根据F t图像知,在0~2 s 时间内,弹簧振子位移变大,离开平衡位置做减速运动,故A错误;在t1=3 s和t2=5 s时,图像斜率相同,说明弹簧振子的速度大小相等、方向相同,故B错误;根据图像可知,在t2=5 s和t3=7 s时,回复力大小、方向都相同,则位移大小相等、方向相同,故C正确;在0~4 s时间内,t=2 s时刻弹簧振子回复力最大,在最大位移位置,振子的速度为零,则回复力做功的功率为零,故D错误。
7.选B 甲物体位于最低点有F=ma,甲物体位于最高点时,地面受到的压力最小,有mg+F弹=ma,解得F弹=10 N,对乙物体受力分析得F弹+N=Mg,可得N=0,根据牛顿第三定律可知地面受到的最小压力为零,故C错误;根据上述分析可知,乙物体静止不动,甲物体受重力和弹簧弹力的合力为回复力,故甲物体做简谐运动,平衡位置有mg=kx0,可得x0=0.2 m,甲物体位于最低点有kx1-mg=F,可得x1=0.5 m,振幅为A=x1-x0=0.3 m,故B正确;甲物体上升的最大高度h=2A=0.6 m,故A错误;甲物体运动到最高点时,弹簧的伸长量x2==0.1 m,D错误。
8.选D 由题图乙知,t=0时,手机加速度为0,手机位于平衡位置,由平衡条件得弹簧弹力大小等于手机重力大小,A错误;由题图乙知,t=0.2 s时,手机的加速度为正值,则手机受到的合力向上,手机位于平衡位置下方,B错误;由题图乙知,从t=0至t=0.2 s,手机的加速度增大,手机从平衡位置向最大位移处运动,速度减小,动能减小,C错误;由题图乙知,装置振动的周期T=0.8 s,则圆频率ω==2.5π rad/s,则a随t变化的关系式为a=4sin(2.5πt)m/s2,D正确。
9.选AC 由题图可知,做简谐运动的小球的位移随时间变化的关系为y=-Acost,则t=时,有y=-Acos=-A,所以经时间,小球从最低点向上运动的距离为Δy=A-A=A<,故A正确;由题图可知,在时刻,小球向上运动,故B错误;由题图可知,在时刻,小球处于平衡位置,此时小球的速度最大,小球的动能最大,故C正确;小球在一个周期内运动的路程为4A,故D错误。
10.解析:由图像乙知,t=0.2 s时位移正向最大,根据F=-kx知回复力负向最大,所以振子的加速度为负向最大;由图像乙知,t=0.4 s时图像的斜率最大,速度最大,动能最大;由图像乙知,在t=0.6 s时,弹簧振子的位移最大,则弹簧的弹性势能最大。
答案:最大 最大 最大
11.解析:(1)由振子从A开始运动到第二次经过O的时间为3 s,可知T=3 s,解得T=4 s,由于t=6 s=1.5T,则弹簧振子在6 s 内通过的路程是s=1.5×4A=6× cm=48 cm。
(2)由于8 s=2T,则弹簧振子在8 s时仍处于A点,此时位移为-8 cm。
(3)由以上分析可知,振动周期为4 s,振幅为8 cm,作出x t图像如图所示。
答案:(1)48 cm (2)-8 cm (3)见解析图
12.解析:(1)根据物块做简谐运动的表达式
y=0.1sin(2.5πt)m,可知ω=2.5π rad/s
则简谐运动的周期T== s=0.8 s。
(2)t=1.4 s=1.75T
则t=1.4 s内物块A运动的路程s=1.75×4A=1.75×4×0.1 m=0.7 m。
(3)t2=1.4 s时,y=0.1sin(2.5πt2)m=
0.1sin(2.5π×1.4)m=-0.1 m
小球B做自由落体运动,有h-y=g(t2-t1)2
解得h=1.7 m。
答案:(1)0.8 s (2)0.7 m (3)1.7 m
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