第4章　对数运算与对数函数 3.1-3.3 第2课时　习题课　对数函数图象和性质的应用--北师大版高中数学必修第一册课件（共32页PPT）

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第四章
3.1-3.3 第2课时　习题课　对数函数图象和性质的应用
重难探究·能力素养速提升
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重难探究·能力素养速提升
探究点一　解对数不等式
【例1】 (1)满足不等式log2(2x-1)(2)若loga <1,则a的取值范围为　 　　　　.
规律方法　对数不等式的三种考查类型及求解方法
(1)形如logax>logab的不等式,借助函数y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0(2)形如logax>b的不等式,应将b化为以a为底数的对数的形式,再借助函数y=logax的单调性求解.
(3)形如logax>logbx的不等式,利用换底公式化为同底的对数进行求解或利用图象求解.
变式训练1(1)已知log0.3(3x)A
★(2)解不等式2loga(x-4)>loga(x-2)(a>0,且a≠1).
探究点二　对数型复合函数的单调性问题
【例2】 (1)求函数 的单调区间.
(2)若函数f(x)=lg(x2+ax-a-1)在区间[2,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.
解 由已知函数f(x)=lg(x2+ax-a-1)在区间[2,+∞)上单调递增,
设t=x2+ax-a-1,其图象为开口向上的抛物线,因而
解得a>-3.
故实数a的取值范围为(-3,+∞).
规律方法　对数型复合函数的单调性的求解方法及注意问题
(1)对数型复合函数一般可分为两类:一类是外层函数为对数函数,即y=logaf(x);另一类是内层函数为对数函数,即y=f(logax).
①对于y=logaf(x)型的函数的单调性,有以下结论:函数y=logaf(x)的单调性与函数u=f(x)(f(x)>0)的单调性在a>1时相同,在0②研究y=f(logax)型复合函数的单调性,一般用换元法,即令t=logax,则只需研究t=logax及y=f(t)的单调性即可.
(2)研究对数型复合函数的单调性,一定要注意先研究函数的定义域,也就是要坚持“定义域优先”的原则.
变式训练2讨论函数 的单调性.
探究点三　对数型复合函数的奇偶性问题
【例3】 已知函数f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1-x)(a>0,且a≠1).
(1)求函数y=f(x)-g(x)的定义域;
(2)判断函数y=f(x)-g(x)的奇偶性.
规律方法　对数型复合函数奇偶性的判断方法
对数函数是非奇非偶函数,但与某些函数复合后,就具有奇偶性了,如y=log2|x|就是偶函数.证明这类函数奇偶性的方法是利用函数奇偶性的定义,并结合对数的运算性质.
为了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数解析式进行化简或应用定义的等价形式:f(-x)=±f(x) f(-x) f(x)
变式训练3若函数 为偶函数,则实数a=　　　　　.
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探究点四　与对数函数有关的值域与最值问题
【例4】 求下列函数的值域:
(1)y=log2(x2+4);
解 (1)y=log2(x2+4)的定义域为R.
∵x2+4≥4,∴log2(x2+4)≥log24=2.
∴y=log2(x2+4)的值域为[2,+∞).
(2)设u=8-2x-x2=-(x+1)2+9≤9,
又u>0,∴0规律方法　与对数函数有关的值域与最值问题的处理策略
策略 一 求解最值问题,一定要注意转化思想的应用,求与对数函数有关的二次函数的最大值、最小值问题,一般要转化为求二次函数的最值问题,求二次函数的最值时常用配方法,配方时注意自变量的取值范围
策略 二 求形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的复合函数值域的步骤:①分解成两个函数y=logau,u=f(x);②求f(x)的定义域;③求u的取值范围;④利用单调性求解y=logau(a>0,且a≠1)的值域
变式训练4已知函数f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求函数y=[f(x)]2+f(x2)的最大值及y取最大值时x的值.
解 ∵f(x)=2+log3x,∴y=[f(x)]2+f(x2)=(2+log3x)2+2+log3x2
=(log3x)2+6log3x+6=(log3x+3)2-3.
∵函数f(x)的定义域为[1,9],
∴要使函数y=[f(x)]2+f(x2)有意义,必须满足
∴1≤x≤3,∴0≤log3x≤1,
∴6≤(log3x+3)2-3≤13,
∴当x=3时,函数y=[f(x)]2+f(x2)取得最大值13.
探究点五　对数函数在实际生活中的应用
【例5】 溶液酸碱度是通过pH刻画的.pH的计算公式为pH=-lg[H+],其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升.
(1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式,说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系;
(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10-7摩尔/升,计算纯净水的pH.
所以随着[H+]的增大,pH值减小,即溶液中氢离子的浓度越大,溶液的酸碱度就越小.
(2)当[H+]=10-7时,pH=-lg 10-7=7,所以纯净水的pH是7.
变式训练5大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数 ,v的单位是m/s,其中Q表示鱼的耗氧量的单位数.
(1)当一条鱼的耗氧量是2 700个单位时,它的游速是多少
(2)计算一条鱼静止时耗氧量的单位数.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)解对数不等式;
(2)对数型复合函数的单调性及奇偶性;
(3)解与对数函数有关的最值问题;
(4)与对数函数有关的实际应用问题.
2.方法归纳:换元法、数形结合法.
3.常见误区:在解对数型复合函数的性质问题时易忽略真数大于0的条件.
学以致用·随堂检测促达标
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1.不等式log2(x-1)>-1的解集是(　　)
D
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2.(多选题)若函数f(x)=loga|x-b|在(-∞,0)上单调递增,则a,b的值可能是(　　)
BD
解析 令t=|x-b|,该函数在(-∞,b)上单调递减,
要使函数f(x)=loga|x-b|在(-∞,0)上单调递增,
则外层函数y=logat是定义域内的减函数,则0由t=|x-b|在(-∞,0)上恒大于0,则b≥0.
故选BD.
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3.函数 (0(-2,0)
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4.函数 的单调递增区间为　　　　　.
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5.已知函数f(x)=ln(2-2x)+ln(2-2-x).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由.
解 (1)由题意知,2-2x>0且2-2-x>0,
解得-1所以f(x)的定义域为(-1,1).
(2)f(x)为偶函数.理由如下:
因为 x∈(-1,1),-x∈(-1,1),
且f(-x)=ln(2-2-x)+ln(2-2x)=f(x),
所以f(x)是偶函数.
本 课 结 束