第5章　函数应用 1.1　利用函数性质判定方程解的存在性--北师大版高中数学必修第一册课件（共47页PPT）

(共47张PPT)
第五章
1.1　利用函数性质判定方程解的存在性
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
目录索引
课程标准 1.了解函数零点的定义,并会求简单函数的零点.
2.了解函数的零点与方程解的关系.
3.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1　函数的零点
1.代数定义:使得f(x0)=0的数　　　　称为方程f(x)=0的解,也称为函数f(x)的零点.
2.几何定义:f(x)的零点就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的　　　　　　.
名师点睛
1.并不是所有的函数都有零点,如f(x)=1,f(x)=x2+1就没有零点.
2.若函数有零点,则零点一定在函数的定义域内.
3.函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的解,也就是函数y1=f(x)与y2=g(x)的图象交点的横坐标.
x0
横坐标
思考辨析
1.函数的零点个数、函数的图象与x轴的交点个数、方程f(x)=0解的个数有什么关系
提示 相等.
2.在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,当b2-4ac满足什么条件时没有零点
提示 当b2-4ac<0时没有零点.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)函数的零点是一个点.(　　)
(2)函数的零点是一个点的坐标.(　　)
×
×
2.函数y=1+ 的零点是(　　)　　　　　　　　　　　　　
A.(-1,0) B.-1
C.1 D.0
B
3.[人教B版教材例题]如图所示是函数y=f(x)的图象,分别写出f(x)=0,f(x)>0,f(x)≤0的解集.
解 由图可知,f(x)=0的解集为{-5,-3,-1,2,4,6}.
f(x)>0的解集为(-5,-3)∪(2,4)∪(4,6).
f(x)≤0的解集为[-6,-5]∪[-3,2]∪{4,6}.
知识点2　零点存在定理
若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且在区间端点的函数值一正一负,即f(a)·f(b)<0,则在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点.即在区间(a,b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解.

f(a)·f(b)<0是在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点的充分但不必要条件
名师点睛
1.定理要求具备两个条件:(1)函数在区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线;(2)f(a)·f(b)<0.这两个条件缺一不可.
2.若函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上是一条连续的曲线,则由f(a)·f(b)<0可以推出函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点.
3.如果单调函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有唯一的零点,即存在唯一的x0∈(a,b),使得f(x0)=0,这个x0也就是方程f(x)=0的解.
思考辨析
若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,则一定有f(a)f(b)<0吗
提示 不一定,如函数f(x)=|x|在区间(-1,1)内有零点0,但是f(-1)f(1)>0.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)设f(x)= ,由于f(-1)f(1)<0,所以f(x)= 在(-1,1)内有零点.(　　)
(2)若函数f(x)在(a,b)内有零点,则f(a)f(b)<0.(　　)
(3)若f(a)f(b)>0,则f(x)在[a,b]上无零点.(　　)
(4)若f(x)在[a,b]上具有单调性,且f(a)f(b)<0,则f(x)在(a,b)内有且只有一个零点.(　　)
×
×
×
√
2.[人教B版教材例题]求证:函数f(x)=x3-2x+2至少有一个零点.
证明因为f(0)=2>0,f(-2)=-8+4+2=-2<0,所以f(-2)f(0)<0,因此 x0∈(-2,0), f(x0)=0,即结论成立.
3.[人教A版教材例题]求方程ln x+2x-6=0的实数解的个数.
解 设函数f(x)=ln x+2x-6,利用计算工具,列出函数y=f(x)的对应值表,并画出图象.
x y
1 -4
2 -1.306 9
3 1.098 6
4 3.386 3
5 5.609 4
6 7.791 8
7 9.945 9
8 12.079 4
9 14.197 2
由表和图可知,f(2)<0,f(3)>0,则f(2)f(3)<0.由函数零点存在定理可知,函数f(x)=ln x+2x-6在区间(2,3)内至少有一个零点.容易证明,函数f(x)=ln x+2x-6,x∈(0,+∞)是增函数,所以它只有一个零点,即相应方程ln x+2x-6=0只有一个实数解.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　求函数的零点
【例1】 判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出零点.
(1)f(x)=-8x2+7x+1;
(2)f(x)=1+log3x;
(3)f(x)=4x-16.
(3)存在.令4x-16=0,
即4x=42,解得x=2.
所以函数的零点为2.
规律方法　因为函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的解,也是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,所以求函数的零点通常有两种方法:一是代数法,令f(x)=0,通过求方程f(x)=0的解求得函数的零点;二是几何法,画出函数y=f(x)的图象,图象与x轴交点的横坐标即函数的零点.
变式训练1已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数y=logn(mx+1)的零点.
解 由题意知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点为1和2,则1和2是方程x2+3(m+1)x+n=0的解.
所以函数y=logn(mx+1)的解析式为y=log2(-2x+1).
令log2(-2x+1)=0,得x=0.
所以函数y=log2(-2x+1)的零点为0.
探究点二　函数零点个数的判断
【例2】 判断下列函数零点的个数:
(1)f(x)=(x2-4)log2x;
(2)f(x)=x2- ;
(3)f(x)=2x+lg(x+1)-2.
解 (1)令f(x)=0,得(x2-4)log2x=0,因此x2-4=0或log2x=0,解得x=±2或x=1.
又因为函数定义域为(0,+∞),所以-2不是函数的零点,故函数有1和2两个零点.
(方法二)令f(x)=x2- =0,得x2= ,设g(x)=x2,h(x)= (x≠0),在同一坐标系中分别画出函数g(x)和h(x)的图象如图所示.
由图象可知,两个函数图象只有一个交点,故函数f(x)只有一个零点.
(3)(方法一)∵f(0)=1+0-2=-1<0,
f(2)=4+lg 3-2=2+lg 3>0,
∴f(x)在(0,2)内必定存在零点.
又f(x)=2x+lg(x+1)-2在区间(-1,+∞)内单调递增,故f(x)有且只有一个零点.
(方法二)令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1),在同一平面直角坐标系中作出h(x)与g(x)的图象,如图所示.
由图象知g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x的图象有且只有一个公共点,即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.
规律方法　判断函数零点个数的常用方法
(1)解方程f(x)=0,方程f(x)=0解的个数就是函数f(x)零点的个数.
(2)直接作出函数f(x)的图象,图象与x轴交点的个数就是函数f(x)零点的个数.
(3)f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐标系中作出y1=g(x)和y2=h(x)的图象,则两个图象交点的个数就是函数y=f(x)零点的个数.
(4)若证明一个函数的零点唯一,也可先由零点存在定理判断出函数有零点,再证明该函数在定义域内单调.
变式训练2(1)若abc≠0,且b2=ac,则函数f(x)=ax2+bx+c的零点的个数是(　　)
A.0 B.1
C.2 D.1或2
A
解析 ∵b2=ac,且abc≠0,
∴方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac=b2-4b2=-3b2<0.故函数f(x)=ax2+bx+c的零点个数为0.
★(2)判断函数f(x)=x-3+ln x的零点个数.
解 (方法一)令f(x)=x-3+ln x=0,则ln x=3-x.
在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=ln x与y=-x+3的图象,如图所示.由图可知函数y=ln x与y=-x+3的图象只有一个交点,即函数f(x)=x-3+ln x只有一个零点.
(方法二)因为f(3)=ln 3>0,f(2)=-1+ln 2=ln <0,
所以f(3)·f(2)<0,
说明函数f(x)=x-3+ln x在区间(2,3)内有零点.
又f(x)=x-3+ln x在区间(0,+∞)上单调递增,所以原函数只有一个零点.
探究点三　已知零点个数求参数的取值范围
A.(1,2] B.[1,+∞) C.[1,2) D.[1,2]
A
【例4】 已知a是实数,函数f(x)=2·|x-1|+x-a,若函数y=f(x)有且仅有两个零点,则实数a的取值范围是　　　　　.
(1,+∞)
解析 函数f(x)=2|x-1|+x-a有且仅有两个零点,即函数y=2|x-1|+x与y=a的图象有且仅有两个交点.
分别作出函数y=2|x-1|+x与y=a的图象,如图所示.
由图易知,当a>1时,两函数的图象有且仅有
两个不同的交点,故实数a的取值范围是(1,+∞).
规律方法　已知函数有零点(方程有根)求参数的方法
直接法 根据题设条件构建关于参数的不等式(组),通过解不等式(组)确定参数的取值范围
数形 结合法 先对f(x)的解析式变形,将f(x)=0转化为h(x)=g(x)(h(x),g(x)的图象易画出),在同一平面直角坐标系中画出函数h(x),g(x)的图象,然后利用数形结合思想求解
变式训练3(1)已知关于x的函数f(x)=3ax-1-2a(a≠0)在区间(-1,1)内存在零点,则(　　)
C
解析 显然a≠0,∴f(x)=3ax-1-2a在(-1,1)内单调,且存在零点,
∴f(-1)·f(1)<0,即(-3a-1-2a)·(3a-1-2a)=(-5a-1)·(a-1)<0,
∴a>1或a<-
★(2)[2024广西柳州期末]已知函数 方程f(x)=k有两个实数解,则k的取值范围是　　 　　　.
{k|k=-4或k>-3}
解析 函数f(x)= 的图象如图所示,作出直线y=k,观察图象,当k=-4或k>-3时,直线与f(x)的图象有两个交点,故实数k的取值范围是{k|k=-4或k>-3}.
探究点四　判断函数零点所在的区间
【例5】 (1)二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的部分对应值如下表:
x -3 -1 0 1 2 4
y 6 -4 -6 -6 -4 6
不求a,b,c的值,判断方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根所在区间是(　　)
A.(-3,-1)和(2,4)
B.(-3,-1)和(-1,1)
C.(-1,1)和(1,2)
D.(-∞,-3)和(4,+∞)
A
解析 易知f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条连续不断的曲线,又f(-3)·f(-1) =6×(-4)=-24<0,所以f(x)在(-3,-1)内有零点,即方程ax2+bx+c=0(a≠0)在
(-3,-1)内有根,同理,方程ax2+bx+c=0(a≠0)在(2,4)内有根.
故选A.
★(2)[2024河南洛阳期末]若函数f(x)=log2x+x,则f(x)的零点所在区间是(　 )
C
规律方法　确定函数f(x)零点所在区间的常用方法
(1)解方程法:当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,再看求得的根是否落在给定区间上.
(2)利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(3)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
变式训练4(1)函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是(　　)
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
C
解析 ∵f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,
∴f(0)·f(1)<0,
∴f(x)在(0,1)内有零点.又函数f(x)为单调递增函数,
∴C选项符合条件.
★(2)若方程xlg(x+2)=1的实根在区间(k,k+1)(k∈Z)内,则k=(　　)
A.-2 B.1 C.-2或1 D.0
C
解析 由题意知x≠0,则原方程即为lg(x+2)= ,在同一平面直角坐标系中作出函数y=lg(x+2)与y= 的图象,如图所示.由图象可知原方程有两个根,一个在区间(-2,-1)内,一个在区间(1,2)内,所以k=-2或k=1.故选C.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)求函数的零点;
(2)判断零点个数;
(3)由零点个数求参数范围;
(4)确定函数零点所在的区间.
2.方法归纳:转化法、数形结合法.
3.常见误区:误将零点当作点,零点是数,是图象与x轴交点的横坐标.
学以致用·随堂检测促达标
1
2
3
4
5
1.下列四个函数图象,在区间(-∞,0)内存在零点的是(　　)
B
解析 只有选项B中的函数图象与x轴的负半轴有交点.
1
2
3
4
5
A
1
2
3
4
5
3.已知函数y=ax2-x-1只有一个零点,则实数a的值为　　　　　.
解析 当a=0时,函数为y=-x-1,显然该函数的图象与x轴只有一个交点,即函数只有一个零点.
当a≠0时,函数y=ax2-x-1为二次函数.
∵函数y=ax2-x-1只有一个零点,
∴方程ax2-x-1=0有两个相等的实数解.
∴Δ=1+4a=0,即a=- .
综上可知,a的值为0或- .
1
2
3
4
5
4.若x0是方程ex+x=2的解,则x0属于区间　　　　　(填序号).
①(-2,-1);②(-1,0);③(0,1);④(1,2).
③
解析 构造函数f(x)=ex+x-2,由f(0)=-1,f(1)=e-1>0,显然函数f(x)是增函数,有且只有一个零点,则函数f(x)的零点在区间(0,1)内,所以ex+x=2的解在区间(0,1)内.
1
2
3
4
5
5.判断下列函数在给定区间上是否存在零点,如果存在,求出零点的个数.
(1)f(x)=x2-3x-18,x∈[-4,7];
(2)f(x)=x2+2x+1- ,x∈(0,+∞).
解 (1)令x2-3x-18=0,解得x=-3或x=6.
又-3∈[-4,7],6∈[-4,7],
∴f(x)=x2-3x-18在区间[-4,7]上有两个零点.
1
2
3
4
5
本 课 结 束