第7章　概率 4　事件的独立性--北师大版高中数学必修第一册课件（共40页PPT）

(共40张PPT)
第七章
§4　事件的独立性
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
目录索引
学以致用·随堂检测促达标
课程标准 1.在具体情境中,了解两个事件相互独立的概念.
2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题.
3.综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解决一些问题.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1　相互独立事件
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫作相互独立事件.
名师点睛
相互独立事件与互斥事件、对立事件的区别与联系
名称 区别 联系
定义 事件个数 互斥事件 在一次试验中不能同时发生的事件 两个或两个以上 ①两事件互斥,但不一定对立;两事件对立,则一定互斥.
②两事件相互独立,则不一定互斥(或对立)
对立事件 在一次试验中不能同时发生但必有一个发生 两个 独立事件 一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响 两个或两个以上 思考辨析
相互独立事件是对立事件吗
提示 不是.相互独立事件是指事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,是以它们能够同时发生为前提;而对立事件首先应是互斥事件,是指不可能同时发生的两个事件.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)必然事件与任何一个事件相互独立.(　　)
(2)不可能事件与任何一个事件相互独立.(　　)
(3)如果两个事件是互斥事件,那么它们一定是相互独立事件.(　　)
√
√
×
2.[人教A版教材例题]一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个球,除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”,事件B=“第二次摸出球的标号小于3”,那么事件A与事件B是否相互独立
解 因为样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4},且m≠n},
A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)},
B={(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},
此时P(AB)≠P(A)P(B),因此,事件A与事件B不独立.
知识点2　相互独立事件同时发生的概率
两个相互独立事件同时发生的概率等于这两个事件发生的概率的积,即P(AB)=P(A)P(B).
思考辨析
已知两人打靶,甲击中的概率为0.8,乙击中的概率为0.7,若两人同时射击一目标,则它们都中靶的概率能否用公式P(AB)=P(A)P(B)求解
提示 因为甲击中和乙击中是相互独立事件,因此可利用P(AB)=P(A)P(B)求解,得P(AB)=0.8×0.7=0.56.
自主诊断
1.[人教A版教材例题]甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,已知甲每轮猜对的概率为 ,乙每轮猜对的概率为 .在每轮活动中,甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响.求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.
解 设A1,A2分别表示甲两轮猜对1个,2个成语的事件,B1,B2分别表示乙两轮猜对1个,2个成语的事件.
设A=“两轮活动‘星队’猜对3个成语”,则A=A1B2∪A2B1,且A1B2与A2B1互斥,A1与B2,A2与B1分别相互独立,所以P(A)=P(A1B2)+P(A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=
因此,“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是
2.[人教B版教材例题]已知甲运动员的投篮命中率为0.7,乙运动员的投篮命中率为0.8.
(1)若甲、乙各投篮一次,则都命中的概率为多少
(2)若甲投篮两次,则恰好投中一次的概率为多少
解 (1)记事件A:甲投中,B:乙投中,因为A与B相互独立,所以P(AB)=P(A)P(B)=0.7×0.8=0.56,即都命中的概率为0.56.
(2)记事件Ai:甲第i次投中,其中i=1,2,则P(A1)=P(A2)=0.7.
恰好投中一次,可能是第一次投中且第二次没投中,也可能是第一次没投中且第二次投中,即
=P(A1)[1-P(A2)]+[1-P(A1)]P(A2)
=0.7×(1-0.7)+(1-0.7)×0.7
=0.42.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　事件独立性的判断
【例1】 (多选题)下列事件中,A,B是相互独立事件的是(　　)
A.一枚硬币掷两次,A表示“第一次为正面”,B表示“第二次为反面”
B.袋中有2个白球、2个黑球,不放回地摸两球,A表示“第一次摸到白球”,B表示“第二次摸到白球”
C.掷一枚骰子,A表示“出现点数为奇数”,B表示“出现点数为3或4”
D.掷一枚骰子,A表示“出现点数为奇数”,B表示“出现点数为偶数”
AC
解析 把一枚硬币掷两次,对于每次而言是相互独立的,其结果不受先后次序的影响,故A中A,B事件是相互独立事件;B中是不放回地摸球,显然A事件与B事件不相互独立;对于C,A事件为出现1,3,5点,P(A)= ,P(B)= ,事件AB为出现3点,P(AB)= ,P(AB)=P(A)P(B),事件A,B相互独立;D中两事件是互斥事件,不是相互独立事件.
规律方法　1.两个事件是否相互独立的判断
(1)定义法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.
(2)充要条件法:事件A,B相互独立的充要条件是P(AB)=P(A)P(B).
2.两个事件独立与互斥的区别
(1)两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生;两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响.
(2)一般地,两个事件不可能既互斥又相互独立,因为互斥事件不可能同时发生,而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提.
变式训练1甲、乙两名射击手同时向一目标射击,设事件A:“甲击中目标”,事件B:“乙击中目标”,则事件A与事件B(　　)
A.相互独立但不互斥
B.互斥但不相互独立
C.相互独立且互斥
D.既不相互独立也不互斥
A
解析 对同一目标射击,甲、乙两射击手是否击中目标是互不影响的,所以事件A与B相互独立;对同一目标射击,甲、乙两射击手可能同时击中目标,也就是说事件A与B可能同时发生,所以事件A与B不是互斥事件.
探究点二　相互独立事件的概率问题
角度1相互独立事件同时发生的概率
【例2】 根据资料统计,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险的概率为0.6,购买甲种保险与购买乙种保险相互独立.
(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率;
(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率.
解 记A表示事件“购买甲种保险”,B表示事件“购买乙种保险”,则由题意得A与B,A与 都是相互独立事件,且P(A)=0.5,P(B)=0.6.
(1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”,则C=AB,所以P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3.
规律方法　求相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)首先确定各事件是相互独立的;
(2)再确定各事件会同时发生;
(3)先求每个事件发生的概率,再求两个概率之积.
变式训练2在奥运知识有奖问答竞赛中,甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题,已知甲答对这道题的概率是 ,甲、乙两人都回答错误的概率是 ,乙、丙两人都回答正确的概率是 .设每人回答问题正确与否是相互独立的.
(1)求乙答对这道题的概率;
(2)求甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题的概率.
解 (1)记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件A,B,C,设乙答对这道题的概率P(B)=x,由于每人回答问题正确与否是相互独立的,因此A,B,C是相互独立事件.
角度2相互独立事件的综合问题
【例3】 小王某天乘火车从重庆到上海去办事,若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求:
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率;
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.
规律方法　与相互独立事件有关的概率问题求解策略
明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.
变式训练3[2024河北承德期末]已知A,B两种奖券的中奖率分别为
(1)若甲购买了A,B两种奖券各一张,求恰有一张奖券中奖的概率;
(2)若甲购买的A,B两种奖券数量相同,为了保证甲中奖的概率大于 ,求甲至少要购买的奖券数量.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)相互独立事件的概念及判断;
(2)相互独立事件同时发生的概率.
2.方法归纳:转化法.
3.常见误区:容易混淆互斥事件与相互独立事件.
学以致用·随堂检测促达标
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1.(多选题)分别抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A是“第一枚为正面”,事件B是“第二枚为正面”,事件C是“两枚结果相同”,则下列事件具有相互独立性的是(　　)
A.A与B B.A与C C.B与C D.都不具有独立性
ABC
解析 利用古典概型概率公式计算可得P(A)=0.5,P(B)=0.5,P(C)=0.5, P(AB)=0.25,P(AC)=0.25,P(BC)=0.25.可以验证P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C).所以根据事件相互独立的定义,事件A与B相互独立,事件B与C相互独立,事件A与C相互独立.
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2.甲、乙两人各进行一次射击,如果两人击中目标的概率都是0.8,则其中恰有一人击中目标的概率为(　　)
A.0.64 B. 0.32 C. 0.56 D. 0.48
B
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3.某班级举办投篮比赛,每人投篮两次.若小明每次投篮命中的概率都是0.6,则他至少投中一次的概率为(　　)
A.0.24 B.0.36 C.0.6 D.0.84
D
解析 由题意知,小明每次投篮不中的概率是1-0.6=0.4,两次投篮都不中的概率是0.42=0.16,
故两次投篮至少投中一次的概率为1-0.16=0.84.
故选D.
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4.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 .假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为　　　　　;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为　　　　　.
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5.[2024四川绵阳月考]设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5,购买乙种商品的概率为0.6,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的.求:
(1)进入商场的1位顾客,甲、乙两种商品都购买的概率;
(2)进入商场的1位顾客只购买甲商品的概率.
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解 记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”,则P(A)=0.5;
记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”,则P(B)=0.6;
记C表示事件“进入商场的1位顾客,甲、乙两种商品都购买”;
记D表示事件“进入商场的1位顾客只购买甲商品”.
(1)由题可得,P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3.
本 课 结 束