第1章　1.1　第2课时　集合的表示--北师大版高中数学必修第一册课件（共46页PPT）

(共46张PPT)
第一章
1.1　第2课时　集合的表示
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
目录索引
课程标准 1.掌握集合的两种表示方法:列举法和描述法.
2.了解空集的含义.
3.会用区间表示集合.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1　集合的表示方法
1.列举法
列举法是把集合中的元素　　　　　出来写在花括号“{　}”内表示集合的方法,一般可将集合表示为{a,b,c,…}.
元素与元素之间必须用“,”隔开
2.描述法　
通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法.一般可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件},即在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围,再画一条竖线“|”,在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征.
一一列举
名师点睛
1.用列举法表示集合时,必须注意以下几点:
(1)集合的元素必须是明确的;(2)不必考虑元素出现的先后顺序;(3)集合的元素不能重复;(4)集合的元素可以表示任何事物;(5)对含有较多元素的集合,如果该集合的元素具有明显的规律,可用列举法表示,但是必须把元素间的规律显示清楚后,才能用省略号表示,如N+也可表示为{1,2,3,…,n,…}.
2.描述法的一般形式是{x∈I|p(x)}.其中“x”是集合中元素的一般符号的代表形式,简称代表元素;“I”是x取值范围的一般代表形式;“p(x)”(可以是符号表达式,也可以是文字表述形式)是集合中元素x的共同特征的一般代表形式.通常用于表示无限集,或容易归纳其特征的集合.
3.用描述法表示集合时,若需要多层次描述属性时,可选用“且”与“或”等联结.如集合{x|x<0或x≥3}.
4.元素的取值范围,从上下文关系来看,如果x∈R是明确的,则∈R可以省略不写,如集合D={x∈R|x<9}可以表示为D={x|x<9}.
5.若描述部分出现代表元素以外的字母时,要对该字母说明其含义或指出其取值范围.如{x∈Z|x=2m}中m未被说明,故该集合中元素是不确定的.
6.所有描述的内容都要写在花括号内,如{x∈Z|x=2m,m∈N+},此时m∈N+不能写到花括号外.
思考辨析
1.a与{a}有什么区别

2.使用列举法表示集合时,对于元素之间的排列顺序有什么要求

3.集合A={x|x>5}与B={t|t>5}是否表示同一个集合

提示 a是一个元素,{a}是一个集合.
提示 由于集合中的元素具有无序性,因此使用列举法表示集合时,对于元素之间的排列顺序没有要求.
提示 是.虽然表示代表元素的字母不同,但都表示由大于5的所有实数组成的集合,因而表示同一个集合.
自主诊断
1.[人教A版教材习题]用适当的方法表示下列集合:
(1)由方程x2-9=0的所有实数根组成的集合;
(2)一次函数y=x+3与y=-2x+6图象的交点组成的集合;
(3)不等式4x-5<3的解集.
解 (1){x|x2-9=0}或{-3,3}.
(3){x|4x-5<3}或{x|x<2}.
2.[人教A版教材习题]把下列集合用另一种方法表示出来:
(1){2,4,6,8,10};
(2)由1,2,3这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的一切自然数;
(3){x∈N|3(4)中国古代四大发明.
解 (1){x∈N|x=2k,k=1,2,3,4,5}.
(2){1,2,3,12,21,13,31,23,32,123,132,213,231,312,321}.
(3){4,5,6}.
(4){造纸术,指南针,火药,印刷术}.
知识点2　集合的分类
1.含有　　　　　　　的集合叫作有限集,含有　　　　　　的集合叫作无限集.
2.不含任何元素的集合叫作　　　　,记作　 　.
名师点睛
1.集合的分类是按照集合中元素是有限个还是无限个划分的,不是按元素多少,一个集合中元素有很多,但是个数有限,也属于有限集.
2.空集中不含有任何元素,{0}不是空集,因为它含有元素0.
有限个元素
无限个元素
空集

思考辨析
空集是有限集还是无限集
提示 空集可以看成包含0个元素的集合,所以空集是有限集.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)大于1的整数所构成的集合可以用列举法表示,属于有限集.(　　)
(2)一元二次方程实数解的集合可以是空集.(　　)
×
√
2.[人教A版教材习题]下列集合中,哪些是有限集 哪些是无限集
(1)使得式子 有意义的所有实数组成的集合;
(2)使得式子 有意义的所有自然数组成的集合;
(3)方程x2=-1的所有实数解组成的集合.
解 (2)(3)中的集合是有限集,(1)中的集合是无限集.
知识点3　区间及其表示
1.设a,b是两个实数,且a此条件不能省略
集合表示 符号表示 数轴表示
{x|a≤x≤b} [a,b]
{x|a{x|a≤x{x|a这里的实数a,b称为区间的端点.在数轴上表示区间时,用实心点表示
　　　　区间的端点,用空心点表示　　　　　区间的端点.
属于
不属于
2.实数集R也可用区间表示为(-∞,+∞),符号“∞”读作“　　　　”,“-∞”读作“负无穷大”,“+∞”读作“正无穷大”.还可把满足x≥a,x>a,x≤b,x　　　　　　
集合表示 符号表示 数轴表示
{x|x≥a} [a,+∞)
{x|x>a} (a,+∞)
{x|x≤b} (-∞,b]
{x|x　“∞”处一定要用开区间符号
无穷大
3.[a,b]称为闭区间,(a,b),(a,+∞),(-∞,b)称为开区间,[a,b),(a,b],[a,+∞),(-∞,b]称为半开半闭区间.
名师点睛
1.区间只能表示数集.
2.区间符号中的两个端点(字母或数字)之间只能用“,”隔开.
思考辨析
区间是数集的另一种表示方法,那么任何数集都能用区间表示吗
提示 不是任何数集都能用区间表示,如集合{0,1,2}就不能用区间表示.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)集合{1}可用区间[1,1]表示.(　　)
(2)区间可以表示空集.(　　)
(3)有的集合和区间可以互化.(　　)
×
×
√
2.用区间表示下列集合:
(1){x|-1≤x≤3};(2){x|0(3){x|2≤x<5};(4){x|0(5){x|x<3};(6){x|x≥2}.
解 (1)[-1,3].(2)(0,1].(3)[2,5).(4)(0,2).(5)(-∞,3).(6)[2,+∞).
重难探究·能力素养速提升
探究点一　集合的表示
角度1用列举法表示集合
【例1】 用列举法表示下列集合:
(1)小于10的所有自然数组成的集合;
(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合;
(3)由20以内的所有质数组成的集合.
解 (1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
(2)设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B,那么B={0,1}.
(3)设由20以内的所有质数组成的集合为C,那么C={2,3,5,7,11,13,17,19}.
规律方法　1.使用列举法表示集合时,应注意以下几点:
(1)在元素个数较少或元素间有明显规律时可用列举法表示集合;
(2)“{}”表示“所有”的含义,不能省略,且元素无先后顺序,满足无序性.
2.用列举法表示集合时,要分清该集合是数集、点集,还是其他集合.
变式训练1用列举法表示下列集合:
(1)直线x+y=3与x-y=1的交点组成的集合;
(2)不大于10的非负奇数集;
故所求集合为{(2,1)}.
(2)不大于10的非负奇数集为{1,3,5,7,9}.
(3)由题可知4-x的值为1,2,3,6,从而可以得到x的值为3,2,1,-2,
所以A={-2,1,2,3}.
角度2用描述法表示集合
【例2】 用描述法表示下列集合:
(1)函数y=-x的图象上的点组成的集合;
(2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合;
(3)不等式x-2<3的解组成的集合.
解 (1){(x,y)|y=-x}.
(2){(x)||x|>3}.
(3)不等式x-2<3的解是x<5,则不等式x-2<3的解组成的集合用描述法表示为{x|x<5}.
规律方法　1.用描述法表示集合时应弄清楚集合的属性,即它是数集、点集还是其他的类型.一般地,数集用一个字母代表其元素,点集用一个有序实数对代表其元素.
2.若描述部分出现代表元素以外的字母,则要说明新字母含义或指出其取值范围.
变式训练2用描述法表示下列集合:
(1)平面直角坐标系中x轴上的点组成的集合;
(2)曲线y=x2-4上的点组成的集合;
(3)使函数 有意义的实数x组成的集合.
解 (1){(x,y)|x∈R,y=0}.
(2){(x,y)|y=x2-4}.
(3){x|x≠1}.
以下是两位同学的答案,你认为哪一个正确 请说明理由.
学生甲:由 得x=0或x=1,故A={0,1};
学生乙:问题转化为求直线y=x与抛物线y=x2的交点,得到A={(0,0),(1,1)}.
解 学生甲正确,学生乙错误.由于集合A的代表元素为x,这是一个数,而不是点.因此满足条件的元素只能为x=0,1;而不是实数对(0,0),(1,1),故学生甲正确.
变式探究若把例3中的集合改为 ,哪位同学解答正确
解 代表元素是点,
所以这是点集,学生乙正确.
探究点二　集合表示方法的选择与转换
【例4】 [2024江西宜春开学检测]试选择适当的方法表示下列集合:
(1)由方程x2-9=0的所有实数根组成的集合;
(2)由小于8的所有素数组成的集合;
(3)一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合;
(4)不等式4x-5<3的解集.
解 (1)∵方程x2-9=0的实数根为-3,3,
∴列举法表示该集合为{-3,3}.
(2)∵小于8的素数为2,3,5,7,
∴列举法表示该集合为{2,3,5,7}.
∴列举法表示该集合为{(1,4)}.
(4)解不等式4x-5<3,得x<2,
∴描述法表示该集合为{x|x<2}.
规律方法　表示集合时,应先根据题意确定符合条件的元素,再根据元素情况选择适当的表示方法.值得注意的是,并不是每一个集合都可以用两种方法表示出来.
变式训练3用另一种方法表示下列集合:
(1){绝对值不大于2的整数};
(2){能被3整除,且小于10的正数};
(3){-3,-1,1,3,5}.
解 (1){-2,-1,0,1,2}.
(2){3,6,9}.
(3){x|x=2k-1,-1≤k≤3,k∈Z}.
探究点三　已知集合中元素个数求参数范围
【例5】 若集合A={x|kx2-8x+16=0}中只有1个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A.
解 当k=0时,原方程为-8x+16=0,解得x=2.
此时集合A={2},满足题意.
当k≠0时,要使关于x的一元二次方程kx2-8x+16=0有两个相等实根,只需Δ=64-64k=0,即k=1.
此时方程的解为x1=x2=4,集合A={4},满足题意.
综上所述,实数k的值为0或1.当k=0时,A={2};当k=1时,A={4}.
变式探究1例5中,若集合A中含有2个元素,试求实数k的取值范围.
解得k<1,且k≠0.故k的取值范围为{k|k<1,且k≠0}.
变式探究2例5中,若集合A中至多有1个元素,试求实数k的取值范围.
解 ①当集合A中含有1个元素时,由例5知,k=0或k=1;
②当集合A中没有元素时,方程kx2-8x+16=0无解,
综上,实数k的取值范围为{k|k=0,或k≥1}.
规律方法　1.解答与描述法有关的问题时,明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点及关键点.
2.本题因不能确定kx2-8x+16=0是否为一元二次方程,因而,需要分为k=0和k≠0两种情况进行讨论,从而做到不重不漏.
3.解答集合与含有参数的方程的综合问题时,一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论,确定方程的根的情况,进而求得结果.需特别关注判别式在讨论一元二次方程的实数根个数中的作用.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)用列举法和描述法表示集合;
(2)两种表示法的综合应用;
(3)区间.
2.方法归纳:等价转化.
3.常见误区:点集与数集的区别.
学以致用·随堂检测促达标
1
2
3
4
5
6
A.{x=3,y=0} B.{3}
C.{(3,0)} D.{(x,y)|(3,0)}
C
解析 方程组解的形式是有序实数对,故可排除A,B,而D不是集合表示的描述法的正确形式,排除D.
1
2
3
4
5
6
2.下列四个集合中,是空集的是(　　)
A.{0}
B.{x|x>8或x<5}
C.{x∈R|x2+1=0}
D.{x∈N|3.5C
解析 选项A,B,D都含有元素,而选项C中无元素,故选C.
1
2
3
4
5
6
3.集合{-1,1}用描述法可以表示为　　　 　　.
答案不唯一,如{x||x|=1}
1
2
3
4
5
6
4.集合A={(x,y)|x+y=6,x,y∈N}用列举法表示为
　　 　　.
A={(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)}
1
2
3
4
5
6
5.集合{x|2≤x≤11}用区间表示为　　　　　.
[2,11]
1
2
3
4
5
6
6.[人教B版教材例题]用适当的方法表示下列集合:
(1)方程x(x-1)=0的所有解组成的集合A;
(2)平面直角坐标系中,第一象限内所有点组成的集合B.
解 (1)因为0和1是方程x(x-1)=0的解,所以A={0,1}.
(2)因为集合B中元素的特征是横坐标与纵坐标都大于零,
所以B={(x,y)|x>0,y>0}.
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