第1章　1.2　集合的基本关系--北师大版高中数学必修第一册课件（共46页PPT）

(共46张PPT)
第一章
1.2　集合的基本关系
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
目录索引
课程标准 1.理解集合之间包含与相等的含义.
2.能识别给定集合的子集.
3.会判断两个集合间的基本关系.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1　子集
1.Venn图
为了直观地表示集合间的关系,常用平面上封闭曲线的内部表示集合,称为Venn图.
2.子集
概念 一般地,对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都属于集合B,即若a∈A,则a∈B.那么称集合A是集合B的子集 　　　
符号表示 　　　　　　　,读作“A包含于B”(或“B包含A”)
图形表示
性质 ①任何一个集合都是它本身的子集,即A A.
②　　　　是任何集合的子集.也就是说,对于任意一个集合A,都有 A.
③对于集合A,B,C,如果A B,且B C,那么A C
表示所有的意思
A B(或B A)
空集
名师点睛
1.表示集合的Venn图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线.
2.用Venn图表示集合的优点是能够直观地表示集合之间的关系;缺点是集合元素的公共特征不明显.
思考辨析
1.子集定义中“任意一个元素”能否改为“某个或某些元素”

2.符号“ ”与符号“∈”有什么区别
提示 不能.若集合A中存在某个元素,其不为集合B中的元素,则集合A不是集合B的子集.
提示 符号“ ”表示集合与集合之间的包含关系,而符号 “∈”表示元素与集合之间的从属关系.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)1 {1,2,3}.(　　)
(2)若A B,B C,则A C.(　　)
(3)任何一个集合都有子集.(　　)
(4){0,1,2} {2,0,1}.(　　)
×
√
√
√
2.已知集合A={-2,3,6m-6},{6} A,则m=　　　,集合A的子集有　　　个.
3.[人教A版教材习题]写出集合{a,b,c}的所有子集.
2
8
解析 ∵{6} A,∴6m-6=6,∴m=2.集合A的子集有23=8个.
解 ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}.
知识点2　集合相等
概念 对于两个集合A与B,如果集合A是集合B的子集,且集合B也是集合A的子集,那么称集合A与集合B相等
符号表示 若A B,且B A,则　　
图形表示
名师点睛
1.因为A B,所以集合A中的元素都是集合B中的元素;又因为B A,所以集合B中的元素也都是集合A中的元素,也就是说,集合A与B相等,则集合A与B中的元素是完全相同的.
2.证明或判断两个集合相等,只需证A B与B A同时成立即可.
A=B
思考辨析
除了教材中集合相等的定义,你还能找出定义两个集合相等的描述吗
提示 只要组成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)相等集合中的元素一定是有限的.(　　)
(2){0}= .(　　)
(3)若集合A=B,则A B且B A.(　　)
×
×
√
2.若A={1,a,0},B={-1,b,1},且A=B,则a=　　　,b=　　　.
解析 由两个集合相等可知b=0,a=-1.
-1
0
知识点3　真子集
概念 对于两个集合A与B,如果　　　　　　,且　　　　,那么称集合A是集合B的真子集
符号表示 A B(或B A),读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)
图形表示
A B
　A≠B
名师点睛
1.集合A是集合B的真子集,需要满足两个条件:①A B;
②存在元素x,满足x∈B,且x A.
2.如果集合A是集合B的真子集,那么集合A一定是集合B的子集,集合B一定不是集合A的子集.
3.任意集合都一定有子集,但是不一定有真子集.空集没有真子集,一个集合的真子集个数比它的子集个数少1.
思考辨析
1.任何集合都有子集和真子集吗


2.{0}, ,{ }之间有什么区别

提示 空集只有子集没有真子集.
提示 {0}是含有一个元素0的集合, 是不含任何元素的集合,而{ }是含有一个元素 的集合.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)空集是任何集合的真子集.(　　)
(2)任何集合的真子集个数至少有1个.(　　)
(3)若一个集合只有一个真子集,则这个集合是空集.(　　)
×
×
×
2.[人教A版教材习题]指出下列各集合之间的关系,并用Venn图表示:
A={x|x是四边形},B={x|x是平行四边形},C={x|x是矩形},D={x|x是正方形}.
解 (1)A B.(2)B A.(3)A=B.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　写出给定集合的子集
【例1】 (1)写出集合{a,b,c,d}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集;
解 集合{a,b,c,d}所有的子集为:
不含任何元素的子集为 ;含有一个元素的子集为{a},{b},{c},{d};含有两个元素的子集为{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d};含有三个元素的子集为{a,b,c},{a,b,d},{b,c,d},{a,c,d};含有四个元素的子集为{a,b,c,d}.
其中除去集合{a,b,c,d},剩下的都是{a,b,c,d}的真子集.
(2)填写下表,并回答问题:
集合 集合的子集 子集的个数

{a}
{a,b}
{a,b,c}
由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是多少

1
,{a}
2
,{a},{b},{a,b}
4
,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}
8
由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是2n.
规律方法　1.分类讨论是写出所有子集的有效方法,一般按集合中元素个数的多少来划分,遵循由少到多的原则,做到不重不漏.
2.若集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集,有(2n-1)个真子集,有(2n-1)个非空子集,有(2n-2)个非空真子集,该结论可在选择题或填空题中直接使用.
★变式训练1(1)[人教B版教材例题]写出集合A={6,7,8}的所有子集和真子集.
解 集合A的所有子集是 ,{6},{7},{8},{6,7},{6,8},{7,8},{6,7,8}.在上述子集中,除去集合A本身,即{6,7,8},剩下的都是A的真子集.
(2)已知集合M满足{1,2} M {1,2,5,6,7},试求符合条件的集合M.
解 根据子集的定义,可得集合M必定含有1,2两个元素,而且含有5,6,7中的至多两个元素,因此,满足条件{1,2} M {1,2,5,6,7}的集合M有{1,2},{1,2,5},{1,2,6},{1,2,7},{1,2,5,6},{1,2,5,7},{1,2,6,7}.
探究点二　集合之间关系的判断
【例2】 (1)已知集合A={x|1≤x<6},B={x|x+3≥4},则A与B的关系是(　　)
A.A B B.A=B
C.B A D.B A
A
解析 由题意知,B={x|x≥1},将A,B表示在数轴上,如图所示.由数轴可以看出,集合A中元素全部在集合B中,且B中至少存在一个元素不属于集合A,所以A B.
A B
规律方法　集合间基本关系判定的两种方法和一个关键
★变式训练2(1)已知集合A={x∈N|x2-2<0},则以下关系正确的是(　　)
A.2∈A B.0 A
C.{0,1} A D.{-1,1}=A
C
解析 由题意得集合A={0,1}.2 A,故A不正确;0∈A,故B不正确;{0,1} A,故C正确;{-1,1}≠A,故D不正确,故选C.
A B=C
∵当a∈Z时,6a+1表示被6除余1的数;当b∈Z时,3b-2表示被3除余1的数;当c∈Z时,3c+1表示被3除余1的数,∴A B=C.
探究点三　集合相等关系的应用
【例3】 已知集合A={2,x,y},B={2x,2,y2},且A=B,求实数x,y的值.
变式探究 若将本例已知条件改为“集合A={x,xy,x-y},集合B={0,|x|,y},且A=B”,求实数x,y的值.
解 ∵0∈B,A=B,∴0∈A.
又由集合中元素的互异性,可知|x|≠0,y≠0,
∴x≠0,xy≠0,故x-y=0,即x=y.
又|x|≠y,∴x<0,|x|=-x,∴A={x,x2,0},B={0,-x,x},∴x2=-x,解得x=-1或x=0(舍去),∴x=y=-1.
规律方法　集合相等则元素相同,但要注意集合中元素的互异性,防止错解.
探究点四　由集合间的关系求参数的范围
【例4】 已知集合A={x|-5(1)若a=-1,试判断集合A,B之间是否存在包含关系;
(2)若B A,求实数a的取值范围.
解 (1)若a=-1,则B={x|-5如图在数轴上标出集合A,B.
由图可知,B A.
(2)当B= 时,2a-3≥a-2,解得a≥1.
当B≠ 时,2a-3又因为a<1,所以实数a的取值范围为[-1,1).
综上,实数a的取值范围为[-1,+∞).
变式探究1例4(2)中,是否存在实数a,使得A B 若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.
解 不存在.因为A={x|-5变式探究2若集合A={x|x<-5,或x>2},B={x|2a-3解①当B= 时,2a-3≥a-2,解得a≥1.显然成立.
②当B≠ 时,2a-3由已知B A,则2a-3≥2,或a-2≤-5,
解得 ,或a≤-3.又因为a<1,所以a≤-3.
综上,实数a的取值范围为{a|a≥1,或a≤-3}.
规律方法　由集合间的关系求参数的范围问题中的两点注意事项
(1)解此类问题通常借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,同时还要注意验证端点值,做到准确无误,一般含“=”用实心
点表示,不含“=”用空心圈表示.
(2)涉及“A B”或“A B,且B≠ ”的问题,一定要分A= 和A≠ 两种情况进行讨论,其中A= 的情况容易被忽略,应引起重视.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)子集、集合相等、真子集的概念;
(2)集合间关系的判断,求子集、真子集的个数问题;
(3)由集合间的关系求参数的值或范围.
2.方法归纳:数形结合、分类讨论.
3.常见误区:易忽略对集合是否为空集的讨论;求参数范围时,端点值能否取到容易出现误判.
学以致用·随堂检测促达标
1
2
3
4
5
1.集合{x,y}的子集个数是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
D
解析 (方法一)集合{x,y}的子集有 ,{x},{y},{x,y},共有4个.
(方法二)集合内有2个元素,子集个数为22=4.
6
1
2
3
4
5
2.下列正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}关系的Venn图是(　　)
6
B
解析 易知N={-1,0},故N M.故选B.
1
2
3
4
5
3.下列关系中正确的是(　　)
A.0∈ B. {0}
C.{0,1} {(0,1)} D.{(a,b)}={(b,a)}
6
B
解析 对于A,0 ,故A错误;对于B, {0},故B正确;对于C,{0,1} {(0,1)},故C错误;对于D,{(a,b)}≠{(b,a)},故D错误.故选B.
1
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5
4.(多选题)已知集合A B,A C,B={2,0,1,8},C={1,9,3,8},则A可以是(　　)
A.{1,8} B.{2,3} C.{1} D.{2}
AC
解析 由题意知A {1,8},故选AC.
6
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5.已知集合A={x,2},集合B={3,y}.若A=B,则x=　　　　　,y=　　　　　.
3
2
解析 ∵A=B,∴A,B中元素相同.∴x=3,y=2.
6
6.已知集合P={x|-2解 Q={x|x-a≥0}={x|x≥a},
由P Q,将集合P,Q在数轴上表示出来,如图.
由图可得a≤-2.故实数a的取值范围是(-∞,-2].
1
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5
6
本 课 结 束