第1章　2.1　第1课时　必要条件与充分条件--北师大版高中数学必修第一册课件（共51页PPT）

(共51张PPT)
第一章
2.1　第1课时　必要条件与充分条件
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
目录索引
课程标准 1.理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系.
2.理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系.
3.理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系.
4.掌握充分条件、必要条件的判断方法.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1　必要条件与性质定理
1.当命题表示为“若p,则q”时,p是命题的条件,q是命题的结论.当命题“若p,则q”是真命题时,就说由p推出q,记作p q.
“若p,则q”为假命题时,得不出q是p的必要条件
2.一般地,当命题“若p,则q”是真命题时,称q是p的必要条件.也就是说,一旦q不成立,p一定也不成立,即q对于p的成立是必要的.
名师点睛
说条件是必要的,就是说该条件必须要有,是必不可少的.简单地说,就是“有它不一定能成立,但没它一定不成立”.
思考辨析
“若p,则q”与“p q”一样吗
提示 不一样,只有“若p,则q”为真命题时,才有“p q”.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)“x=3”是“x2=9”的必要条件.(　　)
(2)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件.(　　)
(3)q不是p的必要条件时,“p推不出q”成立.(　　)
×
×
√
2.[人教A版教材例题]下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p的必要条件
(1)若四边形为平行四边形,则这个四边形的两组对角分别相等;
(2)若两个三角形相似,则这两个三角形的三边成比例;
(3)若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形是菱形;
(4)若x=1,则x2=1;
(5)若ac=bc,则a=b;
(6)若xy为无理数,则x,y为无理数.
解 (1)这是平行四边形的一条性质定理,p q,所以,q是p的必要条件.
(2)这是三角形相似的一条性质定理,p q,所以,q是p的必要条件.
(3)如图,四边形ABCD的对角线互相垂直,但它不是菱形,
p q,所以,q不是p的必要条件.
(4)显然,p q,所以,q是p的必要条件.
(5)由于(-1)×0=1×0,但-1≠1,p q,所以,q不是p的必要条件.
(6)由于 为无理数,但1, 不全是无理数,p q,所以,q不是p的必要条件.
知识点2　充分条件与判定定理
“若p,则q”为假命题时,得不出p是q的充分条件　　　

一般地,当命题“若p,则q”是真命题时,称p是q的充分条件.
综上,对于真命题“若p,则q”,即p q时,称q是p的必要条件,也称p是q的充分条件.
名师点睛
1.说条件是充分的,也就是说这个条件足以保证结论成立.即要使结论成立,只要有它就可以了.
2.可以把充分条件理解为“有之即可,无之也行”.
思考辨析
我们知道,当“x>1”成立时,能推出“x>0”.那么“x>0”的充分条件是否只能是“x>1”
提示 不是.使结论“x>0”成立的条件并不唯一,如“x>1.2”,“3自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)q是p的必要条件时,p是q的充分条件.(　　)
(2)如果p是q的充分条件,则p是唯一的.(　　)
(3)“x>-1”是“x>1”的充分条件.(　　)
√
×
×
2.[人教A版教材习题]下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件
(1)若平面内点P在线段AB的垂直平分线上,则PA=PB;
(2)若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等,则这两个三角形全等;
(3)若两个三角形相似,则这两个三角形的面积比等于周长比的平方.
解 (1)由线段垂直平分线的性质,p q,p是q的充分条件.
(2)两边及一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等,p q,p不是q的充分条件.
(3)由相似三角形的性质,p q,p是q的充分条件.
3.[人教A版教材习题]如图,直线a与b被直线l所截,分别得到了∠1,∠2,∠3和∠4.请根据这些信息,写出几个“a∥b”的充分条件和必要条件.
解 “a∥b”的充分条件:∠1=∠2或∠1=∠4或∠1+∠3=180°;
“a∥b”的必要条件:∠1=∠2或∠1=∠4或∠1+∠3=180°.
知识点3　充要条件
1.一般地,如果p q,且q p,那么称p是q的充分且必要条件,简称p是q的充要条件,记作p q.
2.p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”,或“p与q等价”.
3.当p是q的充要条件时,q也是p的充要条件.
名师点睛
设集合A={x|p(x)},B={x|q(x)},若x具有性质p,则x∈A;若x具有性质q,则x∈B.
结论 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p与q互为充要条件 p是q的既不充分也不必要的条件
p,q的关系 p q,且q 不能推出p q p,且p 不能推出q p q p不能推出q,且q不能推出p
集合 A B B A A=B A不包含于B且B不包含于A

命题 真假 “若p,则q”是真命题,且“若q,则p”是假命题 “若p,则q”是假命题,且“若q,则p”是真命题 “若p,则q”是真命题,且“若q,则p”是真命题 “若p,则q”是假命题,且“若q,则p”是假命题
思考辨析
1.判断p是q的什么条件时,有哪些可能情况
提示 (1)如果p q,且q不能推出p,则称p是q的充分不必要条件;
(2)如果p不能推出q,且q p,则称p是q的必要不充分条件;
(3)如果p q,且q p,则称p是q的充要条件;
(4)如果p不能推出q,且q不能推出p,则称p是q的既不充分也不必要的条件.
2.若p是q的充分条件,p是唯一的吗 q是唯一的吗
提示 不一定唯一,凡是能使结论q成立的条件都是它的充分条件,如“x>2” “x>5”“x>10”等都是x>1的充分条件;凡是能由条件p推出的结论都是它的必要条件,如“同位角相等”“内错角相等”“同旁同角互补”等都是“两直线平行”的必要条件.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)“x=0”是“(2x-1)x=0”的充分不必要条件.(　　)
(2)若p是q的充要条件,则条件p和q是两个相互等价的条件.(　　)
√
√
2.已知A,B,C是△ABC的三个内角,则“A+C=2B”是“B=60°”的(　　)
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
C
3.[人教A版教材习题]分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件.
解 “两个三角形全等”的充要条件如下:
①三边对应相等;②两边及其夹角对应相等;③两角及其夹边对应相等;④两角及一角的对边对应相等.
“两个三角形相似”的充要条件如下:
①三个内角对应相等(或两个内角对应相等);②三边对应成比例;③两边对应成比例且夹角相等.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　必要条件与充分条件的判断
角度1必要条件的判断
【例1-1】 指出下列哪些命题中q是p的必要条件
(1)p:一个四边形是矩形,q:四边形的对角线相等;
(2)p:A B,q:A∩B=A;
(3)p:-2≤x≤5,q:-1≤x≤5.
解 (1)因为矩形的对角线相等,即p q,所以q是p的必要条件.
(2)因为p q,所以q是p的必要条件.
(3)因为p推不出q,所以q不是p的必要条件.
规律方法　必要条件的两种判断方法
(1)定义法:
(2)命题判断方法:
如果命题:“若p,则q”是真命题,则q是p的必要条件;
如果命题:“若p,则q”是假命题,则q不是p的必要条件.
变式训练1下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p的必要条件
(1)若|x|=|y|,则x=y;
(2)若△ABC是直角三角形,则△ABC是等腰三角形;
(3)p:三角形是等边三角形,q:三角形是等腰三角形.

解 (1)若|x|=|y|,则x=y或x=-y,因此p推不出q,所以q不是p的必要条件.
(2)直角三角形不一定是等腰三角形,因此p推不出q,所以q不是p的必要条件.
(3)等边三角形一定是等腰三角形,所以p q,所以q是p的必要条件.
角度2充分条件的判断
【例1-2】 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件
(1)若a∈Q,则a∈R;
(2)在△ABC中,若∠A>∠B,则BC>AC;
(3)已知a,b∈R,若a2+b2=0,则a=b=0.
解 (1)由于Q R,所以p q,所以p是q的充分条件.
(2)由三角形中大角对大边可知,若∠A>∠B,则BC>AC,因此p q,所以p是q的充分条件.
(3)因为a,b∈R,所以a2≥0,b2≥0,由a2+b2=0,可推出a=b=0,即p q,所以p是q的充分条件.
规律方法　充分条件的两种判断方法
(1)定义法:
(2)命题判断方法:
如果命题:“若p,则q”是真命题,则p是q的充分条件;
如果命题:“若p,则q”是假命题,则p不是q的充分条件.
变式训练2下列命题中,p是q的充分条件的是　　　　　　　.(填序号)
①p:(x-2)(x-3)=0,q:x-2=0;
②p:a是自然数,q:a是正整数;
③p:m<-2,q:方程x2-x-m=0无实根.
③
解析 ①∵(x-2)(x-3)=0,
∴x=2或x=3,不能推出x-2=0.
∴p不是q的充分条件.
②0是自然数,但是0不是正整数,
∴p推不出q,
∴p不是q的充分条件.
③∵m<-2,∴1+4m<0,∴方程x2-x-m=0无实根,
∴p是q的充分条件.
角度3充要条件的判断
【例1—3】 指出p是q的什么条件(充分不必要条件,必要不充分条件,充要条件,既不充分也不必要条件).
(1)p:数a能被6整除,q:数a能被3整除;
(2)p:x>1,q:x2>1;
(3)p:△ABC有两个角相等,q:△ABC是正三角形;
(4)p:|ab|=ab,q:ab>0.
解 (1)∵p q,q不能推出p,∴p是q的充分不必要条件.
(2)∵p q,q不能推出p,∴p是q的充分不必要条件.
(3)∵p不能推出q,q p,∴p是q的必要不充分条件.
(4)∵当ab=0时,|ab|=ab,∴“|ab|=ab”不能推出“ab>0”,即p不能推出q.又当ab>0时,有|ab|=ab,即q p.∴p是q的必要不充分条件.
规律方法　判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法
(1)定义法:直接判断命题“若p,则q”以及“若q,则p”的真假.
(2)集合法:即利用集合之间的包含关系判断.
(3)传递法:充分条件和必要条件具有传递性,例如由p1 p2 … pn,可得p1 pn;充要条件也有传递性.
变式训练3指出下列各组命题中,p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”).
(1)p:-1≤x≤5,q:x≥-1且x≤5;
(2)p:x+2≠y,q:(x+2)2≠y2;
(3)a是自然数;q:a是正数.
解 (1)∵-1≤x≤5 x≥-1且x≤5,
∴p是q的充要条件.
(2)由q:(x+2)2≠y2,得x+2≠y,且x+2≠-y,故q p,
又当x+2=-y≠y时,(x+2)2=y2,故p不能推出q,
故p是q的必要不充分条件.
(3)0是自然数,但0不是正数,故p不能推出q;又 是正数,但 不是自然数,故q不能推出p,故p是q的既不充分也不必要条件.
探究点二　必要条件、充分条件、充要条件的探求与应用
【例2】 (1)不等式1- >0成立的充分不必要条件是(　　)
A.x>1
B.x>-1
C.x<-1或0D.-10
A
解析由1- >0可得 <1,解得x>1或x<0,结合四个选项可得其成立的充分不必要条件是x>1.
(2)已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
解 因为p是q的必要不充分条件,
所以{x|1-m≤x≤1+m} {x|-2≤x≤10},
又m>0,所以实数m的取值范围为{m|0(3)已知方程x2+(2k-1)x+k2=0,求使方程有两个正实数根的充要条件.
规律方法　1.探究一个命题成立的充分不必要条件以及必要不充分条件时,往往可以先找到其成立的充要条件,然后通过对充要条件的范围放大或缩小,得到相应的充分不必要条件或必要不充分条件.
2.充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用:可利用充分性与必要性进行相关问题的求解,特别是求参数的值或取值范围问题.
(2)方法:先等价转化,再利用充分条件、必要条件、充要条件与集合间的关系,建立关于参数的不等式(组)进行求解.
变式训练4(1)1<2x+2<8的一个必要不充分条件是(　　)
B
★(2)“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的充要条件是(　　)
A.m> B.m<
C.m<1 D.m>1
A
解析 ∵不等式x2-x+m>0在R上恒成立,
∴Δ=1-4m<0,解得m>
又∵m> 时,Δ=1-4m<0,∴“m> ”是“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的充要条件.
★(3)已知条件p:x2+x-6=0,条件q:mx+1=0,且p是q的必要条件,则实数m的取值集合是　　　　　.
解析 令A={x|x2+x-6=0}={-3,2},B={x|mx+1=0},
∵p是q的必要条件,∴B A.∴B= ,或{-3},{2}.
若B= ,则m=0;
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)必要条件、充分条件的概念;
(2)必要性、充分性的判断;
(3)必要条件与性质定理、充分条件与判定定理的关系;
(4)充要条件的概念、判断和证明;
(5)必要条件、充分条件的应用.
2.方法归纳:反例法,等价转化法.
3.常见误区:必要条件、充分条件不唯一;求参数范围能否取到端点值;不能正确理解“倒装”的命题;充要条件中的条件和结论辨别不清.
学以致用·随堂检测促达标
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1.若p是q的充分不必要条件,则q是p的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件
D.充要条件
B
解析 因为p是q的充分不必要条件,所以p q,q推不出p,所以q是p的必要不充分条件.
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2.“两条直线都和第三条直线平行”是“这两条直线互相平行”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
A
解析 由两条直线都和第三条直线平行可得这两条直线互相平行,但由两条直线相互平行不能得出这两条直线都和第三条直线平行.故选A.
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3.设x∈R,则x>2的一个必要不充分条件是(　　)
A.x>1 B.x<1
C.x>3 D.x<3
A
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4.已知a,b是实数,则“a>0,且b>0”是“a+b>0,且ab>0”的　　　　　条件.
充要
解析 a>0,且b>0 a+b>0,且ab>0;a+b>0,且ab>0 a>0,且b>0,故为充要条件.
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5.写出平面内的一个四边形为平行四边形的两个充要条件:
充要条件①　 　 　 　;
充要条件②　 　 　 .
(写出你认为正确的两个充要条件)
两组对边分别平行
一组对边平行且相等
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6.[2024陕西宝鸡高一期末]已知p:x<-2或x>3,q:4x+m<0,若p是q的必要不充分条件,则实数m的取值范围是　　　　　.
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{m|m≥8}
本 课 结 束