第1章　2.1　第2课时　习题课　充分条件与必要条件的综合应用--北师大版高中数学必修第一册课件（共24页PPT）

(共24张PPT)
第一章
2.1　第2课时　习题课　充分条件与必要条件的综合应用
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
目录索引
重难探究·能力素养速提升
探究点一　充要条件的证明
【例1】求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
证明 充分性:因为a+b+c=0,所以c=-a-b,
代入方程ax2+bx+c=0中,得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0,
所以方程有一个根为1,充分性成立.
必要性:因为方程ax2+bx+c=0有一个根为1,
所以x=1满足方程ax2+bx+c=0,
所以有a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.
必要性成立.
综上所述,方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
变式探究 将本例的条件“有一个根为1”改为“有一个正根和一个负根”,“a+b+c=0”改为“ac<0”,如何判断
证明 充分性:因为ac<0,所以Δ=b2-4ac>0,方程ax2+bx+c=0中有两个不等实根,
由根与系数关系可知这两个根的积为 <0,所以方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根,充分性成立.
必要性:因为方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根,由根与系数关系可知这两个根的积为 <0,所以ac<0,必要性成立.
综上,方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.
规律方法　充要条件的证明
(1)根据充要条件的定义,证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明:一般地,证明“p成立的充要条件为q”①充分性:把q当作已知条件,结合命题的前提条件,推出p;②必要性:把p当作已知条件,结合命题的前提条件,推出q.解题的关键是分清哪个是条件,哪个是结论,然后确定推出方向,至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求.
(2)在证明过程中,若能保证每一步推理都满足等价性( ),也可以直接证明充要性.
探究点二　根据充分条件、必要条件求参数的取值范围
【例2】 (1)若“xA.{a|a≥3} B.{a|a≤-1}
C.{a|-1≤a≤3} D.{a|a≤3}
B
解析 因为“x(2)若“x>2”是“x>m”的必要不充分条件,则实数m的取值范围是　　　　　　　.
{m|m>2}
解析 因为“x>2”是“x>m”的必要不充分条件,所以{x|x>m}是{x|x>2}的真子集,所以m>2.
规律方法　根据充分条件与必要条件求参数取值范围的步骤如下:
(1)记集合M={x|p(x)},N={x|q(x)};
(2)根据以下表格确定集合M与N的包含关系:
条件类别 集合M与N的关系
p是q的充分不必要条件 M N
p是q的必要不充分条件 M N
p是q的充要条件 M=N
p是q的充分条件 M N
p是q的必要条件 M N
(3)根据集合M与N的包含关系建立关于参数的不等式(组);
(4)解不等式(组)求出参数的取值范围.
变式训练1(1)一次函数 的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是(　　)
A.m>1,且n<1 B.mn<0
C.m>0,且n<0 D.m<0,且n<0
B
★(2)[2024山东泰安高一期末](多选题)一元二次方程ax2+4x+3=0有一个正根和一个负根的充分不必要条件是(　　)
A.a<0 B.a<-1
C.a<1 D.-3BD
探究点三　由传递性判断命题间的关系
【例3】 已知p,q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件,那么:
(1)s是q的什么条件
(2)r是q的什么条件
(3)p是q的什么条件
解 (1)∵q是s的充分条件,∴q s.
∵q是r的必要条件,∴r q.
∵s是r的充分条件,∴s r.
∴s r q s.即s是q的充要条件.
(2)由r q,q s r,知r是q的充要条件.
(3)∵p是r的必要条件,∴r p,∴q r p.
∴p是q的必要不充分条件.
规律方法　解决传递性问题的关键是画出推出的结构图,也可以考虑命题之间的关系.
变式训练2如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,那么(　　)
A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件
B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件
C.丙是甲的充要条件
D.丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件
A
解析 如图所示,∵甲是乙的必要条件,
∴乙 甲.
∵丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,∴丙 乙,但乙不能推出丙.
综上,有丙 乙 甲,即丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)充要条件概念的理解;
(2)充要条件的证明;
(3)根据条件求参数范围.
2.方法归纳:等价转化法、特例法.
3.常见误区:条件和结论辨别不清.
学以致用·随堂检测促达标
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1.在四边形ABCD中,“四边形ABCD为平行四边形”是“AB与CD平行且相等”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要的条件
C
解析 四边形ABCD为平行四边形等价于AB与CD平行且相等.故选C.
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2.(多选题)在下列各选项中,p是q的充要条件的是(　　)
A.p:A B,q:A∩B=A
B.p:a=b,q:|a|=|b|
C.p:|x|+|y|=0,q:x=y=0
D.p:a,b都是偶数,q:a+b是偶数
AC
解析A,C中,p都是q的充要条件;B中,p是q的充分不必要条件;D中,p是q的充分不必要条件.
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3.已知集合A={x|x2+x-6≤0},B={x|3-m≤x≤m+5},若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,则实数m的取值范围为　　　　　.
[6,+∞)
解析 由题得A={x|x2+x-6≤0}={x|-3≤x≤2},因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,
所以实数m的取值范围为[6,+∞).
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4.“有两个角之和为90°的三角形称为直角三角形”是否可以作为直角三角形的定义 为什么
解 可以作为直角三角形的定义.
因为“有两个角之和为90°的三角形” “有一个内角为90°的三角形” “直角三角形”,即“有两个角之和为90°的三角形”是“直角三角形”的充要条件,
故“有两个角之和为90°的三角形称为直角三角形”可以作为直角三角形的定义.
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5.在△ABC中,判断∠B=∠C是否为AC=AB的充要条件.
解 因为“在三角形中,等角对等边”,
所以∠B=∠C AC=AB.
又因为“在三角形中,等边对等角”,
所以AC=AB ∠B=∠C.
因此△ABC中,∠B=∠C是AC=AB的充要条件.
本 课 结 束