第1章　总结提升--北师大版高中数学必修第一册课件（共50页PPT）

(共50张PPT)
第一章
本章总结提升
知识网络·整合构建
专题突破·素养提升
目录索引
易错易混·衔接高考
知识网络·整合构建
专题突破·素养提升
专题一　集合的综合运算
1.集合的运算有交、并、补这三种常见的运算,它是集合中的核心内容.在进行集合的运算时,往往由于运算能力差或考虑不全面而出错,此时,数轴分析(或Venn图)是个好帮手,能将复杂问题直观化.在具体应用时要注意检验端点值是否适合题意,以免增解或漏解.
2.掌握集合的基本关系与基本运算,重点提升逻辑推理和数学运算素养.
【例1】 (1)设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|-1-1
2
解析 ∵A={x|-1≤x≤2},B={x|-1★(2)已知集合A={x|x>3a+1},B={x|x2-5x+6>0}.
①当a=3时,求A∩B;
②若A∪B=B,求实数a的取值范围.
解 ①当a=3时,集合A={x|x>10},集合B={x|x2-5x+6>0}={x|x<2,或x>3},
所以A∩B={x|x>10}.
②因为A∪B=B,所以A B,
所以3a+1≥3,解得
所以实数a的取值范围为[ ,+∞).
规律方法　集合运算过程中应力求做到“三化”
(1)意义化:首先分清集合的类型,是表示数集、点集,还是某类图形;是表示函数自变量的取值范围、因变量的取值范围,还是表示方程或不等式的 解集.
(2)具体化:具体求出相关集合中函数的自变量、因变量的取值范围或方程、不等式的解集等;不能具体求出的,也应力求将相关集合转化为最简形式.
(3)直观化:借助数轴、Venn图等将有关集合直观地表示出来,从而借助数形结合思想解决问题.
变式训练1[2024山东威海高一期末]已知集合A={x|a(1)当a=3时,求A∪B;
(2)若A∩B=A,求实数a的取值范围.
解 (1)当a=3时,集合A={x|3所以A∪B={x|1(2)因为A∩B=A,所以A B.
专题二　充分条件、必要条件与充要条件
1.若p q,且q不能推出p,则p是q的充分不必要条件,同时q是p的必要不充分条件;若p q,则p是q的充要条件,同时q是p的充要条件.
2.掌握充要条件的判断和证明,提升逻辑推理和数学运算素养.
★【例2】 (1)[2024云南大理高一期末](多选题)下列条件中,是“2x2>5+3x”的一个充分不必要条件的是(　　)
A.x>3 B.x<-3
C.x>0 D.x<0
AB
(2)设p:实数x满足A={x|x≤3a,或x≥a(a<0)},q:实数x满足
B={x|-4≤x<-2},且q是p的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
解 ∵q是p的充分不必要条件,∴B A,
规律方法　在判定充分条件、必要条件时,要注意既要看由p能否推出q,又要看由q能否推出p,不能顾此失彼.
变式训练2(1)已知集合A={x|-4≤x≤4,x∈R},B={x|x5”是“A B”的
(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
A
解析 A B a>4,而a>5 a>4,且a>4不能推出a>5,所以“a>5”是“A B”的充分不必要条件.
★(2)[2024江苏常州高一月考]已知关于x的一元二次方程①mx2-4x+4=0,②x2-4mx+4m2-4m-5=0,m∈Z且m≠0,求两方程的根都是整数的充要条件.
专题三　全称量词命题与存在量词命题
1.全称量词命题的否定一定是存在量词命题,存在量词命题的否定一定是全称量词命题.含有量词的命题否定时,首先改变量词,把全称量词改为存在量词,把存在量词改为全称量词,然后把判断词加以否定.
2.通过含有量词的命题的否定及利用命题的真假求参数范围等,培养逻辑推理和数学运算素养.
【例3】 (1)命题“ x∈R,x2-2x+1≥0”的否定是(　　)
A. x∈R,x2-2x+1≤0
B. x∈R,x2-2x+1≥0
C. x∈R,x2-2x+1<0
D. x∈R,x2-2x+1<0
C
解析 ∵命题“ x∈R,x2-2x+1≥0”为全称量词命题,
∴命题的否定为: x∈R,x2-2x+1<0.故选C.
(2)若命题p: x∈R,x2-2x+m≠0是真命题,则实数m的取值范围是(　　)
A.[1,+∞) B.(1,+∞)
C.(-∞,1) D.(-∞,1]
B
解析 命题p: x∈R,x2-2x+m≠0是真命题,则m≠-(x2-2x),
∵-(x2-2x)=-(x-1)2+1≤1,∴m>1.故选B.
规律方法　全称量词命题、存在量词命题真假的判断
(1)全称量词命题的真假判定:要判定一个全称量词命题为真,必须对限定集合M中每一个x验证p(x)成立,一般用代数推理的方法加以证明;要判定一个全称量词命题为假,只需举出一个反例即可.
(2)存在量词命题的真假判定:要判定一个存在量词命题为真,只要在限定集合M中,找到一个x,使p(x)成立即可;否则,这一存在量词命题为假.
变式训练3(1) m,n∈Z,使得m2=n2+2 024成立的否定是(　　)
A. m,n∈Z,有m2=n2+2 024
B. m,n∈Z,使得m2≠n2+2 024成立
C. m,n∈Z,有m2≠n2+2 024
D.以上都不对
C
解析 存在量词命题的否定是全称量词命题.
(2)设命题p: x∈R,x2+ax+2<0,若p的否定为真命题,则实数a的取值范围是　　　　　.
R
解析 p的否定: x∈R,x2+ax+2≥0为真命题,
显然a∈R.
专题四　基本不等式及应用
1.基本不等式: (a≥0,b≥0)是每年高考的热点,主要考查实数比较大小、不等式证明以及求最值问题,特别是求最值问题往往与实际问题相结合,同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题,实际上是考查学生恒等变形的技巧,另外,基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现.
2.熟练掌握基本不等式的应用,重点提升数学抽象和数学运算素养.
C
6
规律方法　1.注意寻求已知条件与目标函数之间的联系.
2.利用添项和拆项的配凑方法,使积(或和)产生定值.特别注意“1”的代换.
变式训练4(1)若y=4x+ (x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a=　 .
36
②由①得(a-1)(b-1)=1,
专题五　解一元二次不等式
1.对于不含参数的一元二次不等式首先转化为标准形式,然后能分解因式的变成因式相乘的形式,从而得到不等式的解集.
2.对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论,做到不重不漏.
3.掌握不等式的解法,重点提升逻辑推理和数学运算素养.
【例5】 解关于x的不等式x2-(a+a2)x+a3>0(a∈R).
解 原不等式可化为(x-a)(x-a2)>0.
当a<0时,aa2};
当a=0时,a2=a,原不等式的解集为{x|x≠0};
当0a};
当a=1时,a2=a,原不等式的解集为{x|x≠1};
当a>1时,aa2}.
综上所述,当a<0或a>1时,原不等式的解集为{x|xa2};
当0a};
当a=1时,原不等式的解集为{x|x≠1};
当a=0时,原不等式的解集为{x|x≠0}.
规律方法　对于含参数的一元二次不等式,若二次项系数为常数,则可先考虑分解因式,再对参数进行讨论;若不易分解因式,则可对判别式分类讨论,分类要不重不漏.
变式训练5若一元二次不等式(1-a)·x2-4x+6>0的解集是{x|-3(1)解关于x的不等式(a-2)x2-x-t2+t<0;
(2)若一元二次不等式ax2+bx+3≥0的解集为R,求b的取值范围.
解 (1)由题意知1-a<0,且-3和1是一元二次方程(1-a)x2-4x+6=0的两根,
∴(a-2)x2-x-t2+t<0即为x2-x-t2+t<0,
即(x-t)[x-(1-t)]<0,
令(x-t)[x-(1-t)]=0,解得x1=t,x2=1-t.
∴当1-t>t,即t< 时,不等式的解集为{x|t当1-t=t,即t= 时,(x- )2<0,不等式无解,解集为 ;
当1-t 时,不等式的解集为{x|1-t(2)ax2+bx+3≥0即为3x2+bx+3≥0,
若此不等式的解集为R,
则Δ=b2-4×3×3≤0,∴-6≤b≤6,
∴b的取值范围为[-6,6].
专题六　不等式的实际应用
本专题主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值,构建数学模型是关键,重点培养数学建模和数学运算素养,不等式的应用题常以函数为背景,多是解决现实生活、生产中的优化问题.
【例6】 某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为12万元/辆,年销售量为10 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y(单位:万元)与投入成本增加的比例x的关系式;
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例x应在什么范围内
解 (1)由题意得
y=[12(1+0.75x)-10(1+x)]×10 000(1+0.6x)(0整理得y=-6 000x2+2 000x+20 000(0(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加,
变式训练6某居民小区欲在一块空地上建一面积为1 200 m2的矩形停车场,停车场的四周留有人行通道,设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3 m,东西的人行通道宽4 m,如图所示(图中单位:m),问如何设计停车场的边长,才能使人行通道占地面积最小 最小面积是多少
易错易混·衔接高考
1
2
3
4
5
6
1.[2023全国新高考卷Ⅰ,1]已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},则M∩N=(　　)
A.{-2,-1,0,1}
B.{0,1,2}
C.{-2}
D.{2}
C
解析 由题意,x2-x-6≥0,解得x≤-2或x≥3,N=(-∞,-2]∪[3,+∞).
因为M={-2,-1,0,1,2},所以M∩N={-2}.故选C.
1
2
3
4
5
6
2.[2023全国甲,理1]设全集U=Z,集合M={x|x=3k+1,k∈Z}, N={x|x=3k+2,k∈Z},则 U(M∪N)=(　　)
A.{x|x=3k,k∈Z}
B.{x|x=3k-1,k∈Z}
C.{x|x=3k-2,k∈Z}
D.
A
解析 由题意知集合M表示除以3余1的整数构成的集合,集合N表示除以3余2的整数构成的集合,因为U为整数集,所以 U(M∪N)表示能被3整除的整数构成的集合,即 U(M∪N)={x|x=3k,k∈Z}.故选A.
1
2
3
4
5
6
3.[2023全国新高考卷Ⅱ,2]设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A B,则a=(　　)
A.2 B.1
C. D.-1
B
解析 ∵A B,∴a-2=0或2a-2=0.若a-2=0,则a=2,A={0,-2},B={1,0,2},显然A B;若2a-2=0,则a=1,A={0,-1},B={1,-1,0},A B成立.故选B.
1
2
3
4
5
6
4.[2024山东日照高一期末]若命题“ x∈[-1,2],m≤x2+1”是真命题,则实数m的取值范围是(　　)
A.[1,+∞) B.(-∞,2]
C.(-∞,1] D.(-∞,5]
C
解析 由“ x∈[-1,2],m≤x2+1”是真命题可知,不等式m≤x2+1在x∈[-1,2]上恒成立,因此只需m≤(x2+1)min,x∈[-1,2],易知函数y=x2+1在x∈[-1,2]上的最小值为1,所以m≤1,即实数m的取值范围是(-∞,1].
1
2
3
4
5
6
5.[2024安徽宣城高一期末]设x∈R,不等式x2-6x+5<0成立的一个充分不必要条件是(　　)
A.{x|1B.{x|x>0}
C.{x|x<4}
D.{x|2≤x≤3}
D
解析 解不等式x2-6x+5<0,得11
2
3
4
5
6
6.[2024陕西西安模拟]已知x>0,y>0,xy+2x-y=10,则x+y的最小值为(　　)
D
本 课 结 束