第2章　函数 1-2 2.1　函数概念--北师大版高中数学必修第一册课件（共53页PPT）

(共53张PPT)
第二章
§1　生活中的变量关系 §2　函数
2.1　函数概念
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
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课程标准 1.在实际问题中找出变量之间的对应关系,深刻理解函数的概念.
2.会用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念.
3.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.
4.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1　函数
1.变量观点的定义
如果在一个变化过程中,有两个变量x和y,对于变量x的每一个值,变量y都有唯一确定的值和它对应,那么y就是x的函数,其中x是自变量,y是因变量.
2.集合语言的定义
　 　建立对应关系f的基础
函数的 概念 给定实数集R中的两个非空数集A和B,如果存在一个对应关系f,使对于集合A中的每一个数x,在集合B中都有 　的数y和它对应,那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数
　　 缺一不可
函数的记法 y=f(x),x∈A
定义域 集合A称为函数的定义域,x称为自变量
值域 与x值对应的y值称为函数值,集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域
注意“{f(x)|x∈A} B”
唯一确定
名师点睛
1.A,B都是非空数集,因此定义域(或值域)为空集的函数不存在.
2.函数定义中强调“三性”,任意性、存在性、唯一性.即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x,在集合B中都有(存在性)唯一(唯一性)确定的元素y与之对应.这“三性”只要有一个不满足,便不能构成函数.
3.符号y=f(x)是“y是x的函数”的数学表示,不能认为“y等于f与x的乘积”,应理解为:x是自变量,f是对应关系(可以是解析式、图象、表格,也可以是文字描述).
4.函数符号f(x)表示的对应关系与字母f无关,也可以用g,F,H等表示;同样,自变量x也可以用t,m,n等表示.
思考辨析
1.若f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,则函数的值域是集合B吗


2.在函数的概念中,如果函数y=f(x)的定义域与对应关系确定,那么函数的值域确定吗
提示 不一定,f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,则函数的值域C是集合B的子集,即C B.
提示 确定.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)人的身高和体重之间是函数关系.(　　)
(2)函数的定义域和值域一定是无限集合.(　　)
×
×
2.[人教A版教材习题]一枚炮弹发射后,经过26 s落到地面击中目标.炮弹的射高为845 m,且炮弹距地面的高度h(单位:m)与时间t(单位:s)的关系为h=130t-5t2.求该式所表示的函数的定义域与值域,并用函数的定义描述这个函数.
解 定义域为A={t|0≤t≤26},值域为B={h|0≤h≤845}.对应关系h=130t-5t2把集合A中的任意一个数t,对应到集合B中唯一确定的数130t-5t2.
3.[人教A版教材习题]集合A,B与对应关系f如下图所示:
f:A→B是否为从集合A到集合B的函数 如果是,那么定义域、值域各是什么
解 f:A→B是从集合A到集合B的函数,定义域为A={1,2,3,4,5},值域为{2,3,4,5}.
知识点2　同一个函数
由函数定义知,由于函数的值域由函数的定义域和对应关系来确定,这样确定一个函数就只需两个要素:定义域和对应关系.因此,定义域和对应关系为“y是x的函数”的两个基本条件,缺一不可.只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才是同一个函数.
名师点睛
自变量和因变量用什么字母表示与函数无关,不影响两个函数的关系.两个函数的关系是通过检验两个函数的定义域和对应关系是否相同来确定的. 这就是说:
(1)定义域不同,两个函数也就不同;
(2)对应关系不同,两个函数也是不同的.
思考辨析
定义域和值域都分别相同的两个函数是同一函数吗
提示 定义域和值域都分别相同的两个函数,也不一定是同一函数,因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应关系,例如y=x+2和y=x就不是同一函数.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)已知定义域和对应关系就可以确定一个函数.(　　)
(2)y=x+1与y=t+1不是同一个函数.(　　)
(3)y=f(x),x∈R与y=f(x+1),x∈R可能是同一个函数.(　　)
√
×
√
2.[人教A版教材习题]判断下列各组中的函数是否为同一个函数,并说明理由:
(1)表示炮弹飞行高度h与时间t关系的函数h=130t-5t2和二次函数
y=130x-5x2;
(2)f(x)=1和g(x)=x0.
解 (1)不是同一个函数.因为前者的定义域为[0,26],而后者的定义域为R.
(2)不是同一个函数.因为前者的定义域为R,而后者的定义域为
(-∞,0)∪(0,+∞).
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探究点一　函数关系的判断
【例1】 (1)设M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图形,其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有(　　)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
B
解析 ①错误,当x=2时,在N中无元素与之对应;②正确;③错误,当x=2时,对应元素y=3 N;④错误,当x=1时,在N中有两个元素与之对应.
(2)已知集合A={x|0≤x≤8},集合B={x|0≤x≤4},则下列对应关系中,不能看作是从A到B的函数关系的是(　　)
D
解析 根据函数的定义,对于D,对于集合A中的部分元素,集合B中没有元素与它对应,故不正确.
规律方法　1.根据图形判断对应是否为函数的方法
(1)任取一条垂直于x轴的直线l;
(2)在定义域内平行移动直线l;
(3)若直线l与图形有且只有一个交点,则是函数;若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点,则不是函数.
2.判断一个对应是否为函数的方法
变式训练1(1)若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是(　　)
B
解析 A中的定义域不是[-2,2],C中图形不满足唯一性,D中的值域不是[0,2].故选B.
(2)已知集合M={-1,1,2,4},N={1,2,4},其中能构成从M到N的函数的是(　　)
A.y=x2 B.y=x+1
C.y=x-1 D.y=|x|
D
解析 只有y=|x|是符合题意的对应关系.故选D.
探究点二　求函数的定义域
【例2】 求下列函数的定义域:
解 (1)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足
解得x<0,且x≠-2.
故原函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,0).
(2)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足
故原函数的定义域为(-∞,1)∪(1,4].
规律方法　求函数的定义域时,常有以下四种情况:
一 如果函数f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R
二 如果函数f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数组成的集合
三 如果函数f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数组成的集合
四 如果函数f(x)是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成的,那么函数的定义域是使各式子都有意义的自变量的取值集合(即求各式子自变量取值集合的交集)
变式训练2[人教B版教材例题]求下列函数的定义域:
探究点三　求抽象函数、复合函数的定义域
【例3】 (1)若函数f(x)的定义域为(-1,2),则函数f(2x+1)的定义域为　　　　.
(-1, )
(2)若函数f(2x+1)的定义域为(-1,2),则函数f(x)的定义域为　　　　.
(-1,5)
解析 由-1∴f(x)的定义域为(-1,5).
(3)若函数f(2x+1)的定义域为(-1,2),则函数f(x-1)的定义域为　　　　.
(0,6)
解析由(2)知f(x)的定义域为(-1,5),由-1规律方法　求复合函数或抽象函数的定义域应明确以下几点:
(1)函数f(x)的定义域是指x的取值范围所组成的集合.
(2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围,而不是φ(x)的取值范围.
(3)f(t),f(φ(x)),f(h(x))三个函数中的t,φ(x),h(x)在对应关系f下的取值范围相同.
(4)已知f(x)的定义域为A,求f(φ(x))的定义域,其实质是已知φ(x)的取值范围为A,求出x的取值范围.
(5)已知f(φ(x))的定义域为B,求f(x)的定义域,其实质是已知f(φ(x))中的x的取值范围为B,求出φ(x)的取值范围,此取值范围就是f(x)的定义域.
变式训练3已知函数f(x)的定义域为[-1,2],则函数 的定义域为　　　　　　　　.
探究点四　函数的求值问题
【例4】 已知函数f(x)=x2+x-1.
(1)求f(2),f( ),f(a+1);
(2)若f(x)=5,求x.
解 (1)f(2)=22+2-1=5.
f(a+1)=(a+1)2+(a+1)-1=a2+3a+1.
(2)∵f(x)=x2+x-1=5,∴x2+x-6=0,
解得x=2,或x=-3.
规律方法　函数求值问题的解法
(1)已知函数的解析式求函数值,将自变量的值代入解析式即可求出相应的函数值.当自变量的值为包含字母的代数式时,将代数式作为一个整体代入化简求解.
(2)已知函数解析式及某一函数值,求与函数值对应的自变量的值(或解析式中的参数值),只需将函数值代入解析式,建立关于自变量(或参数)的方程求解即可,注意函数的定义域对自变量取值的限制.
(1)求f(2)和g(2);
(2)求g(f(2)),求f(g(x));
探究点五　同一个函数
【例5】 (1)下列各组函数是同一函数的是　　　　　(填序号).
②③
规律方法　判断两个函数是否表示同一个函数的两个步骤
变式训练5下列各组函数:
⑤汽车匀速运动时,路程与时间的关系函数f(t)=80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)=80x(0≤x≤5).
其中表示同一个函数的是　　　　.(填序号)
⑤
解析 ①f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一个函数;
②f(x)与g(x)的对应关系不同,不是同一个函数;
③f(x)=|x+3|,与g(x)的对应关系不同,不是同一个函数;
④f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一个函数;
⑤f(t)与g(x)的定义域、对应关系都相同,是同一个函数.
探究点六　求函数的值域
【例6】 求下列函数的值域:
(1)y= -1;
(2)y=x2-2x+3,x∈{-2,-1,0,1,2,3};
(2)∵x∈{-2,-1,0,1,2,3},把x=-2,-1,0,1,2,3代入y=x2-2x+3中,得y=11,6,3,2,3,6,∴y=x2-2x+3的值域为{2,3,6,11}.
规律方法　求函数值域的常用方法
(1)观察法:通过对解析式的简单变形和观察,利用熟知的基本函数的值域,求出函数的值域.
(2)配方法:若函数是二次函数形式,即可化为y=ax2+bx+c(a≠0)型的函数,则可通过配方再结合二次函数的性质求值域,但要注意给定区间的二次函数最值的求法.
(3)换元法:通过对函数的解析式进行适当换元,可将复杂的函数化归为简单的函数,再结合基本函数自变量的取值范围求函数的值域.
变式训练6 求下列函数的值域:
(2)y=x2-4x+6(1≤x≤5);
(2)y=x2-4x+6=(x-2)2+2,其中1≤x≤5,由函数图象(图略)可知y∈[2,11].
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)函数的定义;
(2)求函数的定义域、判断是否为同一个函数、求函数值、求函数的值域.
2.方法归纳:数形结合法、数学抽象.
3.常见误区:化简函数的对应关系时要注意定义域的变化.
学以致用·随堂检测促达标
1
2
3
4
1.函数 的定义域是(　　)
A.(-∞,+∞)　　B.(-∞,-1]
C.(-1,0) D.[-1,0)∪(0,+∞)
D
1
2
3
4
2.(多选题)下列四组中的f(x)与g(x)不是同一个函数的是(　 　)
ACD
解析 对于选项A,C,函数的定义域不同;对于选项D,两个函数的对应关系不同.
1
2
3
4
3.若A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤2},下列图形中能表示以A为定义域,B为值域的函数的是(　　)
B
1
2
3
4
解析 A中值域为{y|0≤y≤2},故A错误;C,D中值域为{1,2},故C,D错误;B符合题意.故选B.
1
2
3
4
4.(1)函数y=2x+1,x∈(-1,1]的值域是　　　　　.
(2)函数y=x2+x+2,x∈R的值域是　　　　　　.
(-1,3]
本 课 结 束