第2章　函数 1-2 2.2　第1课时　函数的表示法--北师大版高中数学必修第一册课件（共46页PPT）

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第二章
1-2 2.2　第1课时　函数的表示法
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
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学以致用·随堂检测促达标
课程标准 1.掌握函数的三种表示法:解析法、列表法、图象法,以及各自的优缺点.在解析法中尤其要掌握用换元法和代入法求函数的解析式.
2.在实际问题中,能够选择恰当的表示法来表示函数.
3.能利用函数图象求函数的值域,并确定函数值的变化趋势.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1　函数的表示法
常用的函数的表示方法有三种,具体如下.
表示方法 解析法 列表法 图象法
定义 在函数y=f(x)(x∈A)中,f(x)用代数式(或解析式)来表达的方法 通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法 用“图形”表示函数的方法
优点 通过解析式可以求出任意一个自变量所对应的函数值,较便利地利用代数工具研究其性质 可直接通过表格读数,不必通过计算就表示出两个变量之间的对应值,非常直观 可以通过图象直观地显示函数的局部变化规律
表示方法 解析法 列表法 图象法
缺点 用解析式表示函数时容易漏掉其定义域,而且对于一些实际问题很难得到解析式 任何一个表格内标出的数都是有限个,只能表示有限个数值之间的函数关系,若自变量取值有无限多个,则只能给出局部的对应关系 通过图象很难得到每个自变量取值对应的精确函数值,误差较大
名师点睛
由列表法和图象法的概念可知,函数也可以说就是一张表或一张图,根据这张表或这张图,由自变量x的值可查找到和它对应的唯一的函数值y.
思考辨析
某学生离家去学校,一开始跑步前进,跑累了再走余下的路程.你能用纵轴表示离校的距离,用横轴表示出发后的时间,画出较符合该学生走法的图象吗
提示 由题意可知,一开始速度较快,后来速度变慢,所以开始曲线比较陡峭,后来曲线比较平缓,又纵轴表示离校的距离,所以开始时距离最大,最后距离为0.图象如右.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)任何一个函数都可以用列表法表示.(　　)
(2)任何一个函数都可以用解析法表示.(　　)
(3)任何一个函数都可以用图象法表示.(　　)
×
×
×
D
3.[人教A版教材例题]某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数y=f(x).
解 这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}.用解析法可将函数y=f(x)表示为y=5x,x∈{1,2,3,4,5}.
用列表法可将函数y=f(x)表示为
笔记本数x 1 2 3 4 5
钱数y 5 10 15 20 25
用图象法可将函数y=f(x)表示为下图.
知识点2　函数的图象
函数图象的作法
(1)函数图象的特征
函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等.
(2)描点法作函数图象的三个步骤(注意函数的定义域)
(3)利用常见函数图象作出所求函数的图象
已学过的常见函数图象有:①常函数的图象,如f(x)=1的图象为一条平行于x轴的直线;②一次函数的图象,如f(x)=-3x+1的图象是一条经过第一、二、四象限的直线;③一元二次函数的图象,如f(x)=2x2-x+1的图象是一条开口向上的抛物线;④对于反比例函数f(x)= (k≠0,且k为常数),当k>0时,其图象是在第一、三象限内,以原点为对称中心的双曲线,当k<0时,其图象是在第二、四象限内,以原点为对称中心的双曲线.
名师点睛
从理论上来说,要作出一个函数的图象,只需描出所有点即可.但是,很多函数的图象都由无穷多个点组成,描出所有点并不现实.因此,实际作图时,经常先描出函数图象上一些有代表性的点,然后根据有关性质作出函数图象,这称为描点作图法.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)函数y=x2的图象向右平移3个单位长度可得函数y=(x+3)2的图象.(　　)
(2)函数的图象一定是一条连续不断的曲线.(　　)
×
×
2.[人教A版教材习题]画出下列函数的图象,并说出函数的定义域、值域:
(1)y=3x;(2)y= ;(3)y=-4x+5;(4)y=x2-6x+7.
解 (1)定义域为R,值域为R,函数图象如图(1)所示.
(2)定义域为{x|x≠0},值域为{y|y≠0},函数图象如图(2)所示.
(3)定义域为R,值域为R,函数图象如图(3)所示.
(4)定义域为R,值域为{y|y≥-2},函数图象如图(4)所示.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　三种表示法的应用
【例1】 某商场新进了10台彩电,每台售价3 000元,试求售出台数x与收款数y之间的函数关系,分别用列表法、图象法、解析法表示出来.
解 ①列表法:
②图象法:
③解析法:y=3 000x,x∈{0,1,2,3,…,10}.
x/台 0 1 2 3 4 5
y/元 0 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000
x/台 6 7 8 9 10
y/元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
规律方法　函数表示法的注意事项
(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法,无论是哪种方式表示函数,都必须满足函数的概念.
(2)列表法更直观形象,图象法从形的角度描述函数,解析法从数的角度描述函数.
(3)函数的三种表示法互相兼容或补充,许多函数是可以用三种方法表示的,但在实际操作中,仍以解析法为主.
变式训练1将一条长为10 cm的铁丝剪成两段,并用每一段铁丝各做一个正方形.试用解析法、列表法、图象法表示两个正方形的面积之和S与其中一段铁丝长x(x∈N+)的函数关系.
③图象法:
探究点二　求函数的解析式
【例2】 (1)已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x).
(2)已知f(x)是一元二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式.
(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,求f(x).
解 (1)(方法一)令x+1=t,则x=t-1.
将x=t-1代入f(x+1)=x2-3x+2,
得f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6,
∴f(x)=x2-5x+6.
(方法二)∵f(x+1)=x2-3x+2
=x2+2x+1-5x-5+6=(x+1)2-5(x+1)+6,
∴f(x)=x2-5x+6.
(2)设所求的一元二次函数为f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
∵f(0)=1,∴c=1,则f(x)=ax2+bx+1.
∵f(x+1)-f(x)=2x对任意的x∈R都成立,
∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,
即2ax+a+b=2x,
∴所求一元二次函数为f(x)=x2-x+1.
(3)∵对于任意的x,都有f(x)+2f(-x)=3x-2,
∴将x替换为-x,得f(-x)+2f(x)=-3x-2,联立方程组消去f(-x),可得f(x)=-3x- .
规律方法　求函数解析式的四种常用方法
方法 一 直接法(代入法):已知f(x)的解析式,求f(g(x))的解析式,直接将g(x)代入
方法 二 待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法求解,即由函数类型设出函数解析式,再根据条件列方程(或方程组),通过解方程(或方程组)求出待定系数,进而求出函数解析式
方法 三 换元法(有时可用“配凑法”):已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”),即令g(x)=t,反解出x,然后代入f(g(x))中求出f(t),从而求出f(x)
方法 四 消元法:在已知式子中,含有关于两个不同变量的函数,而这两个变量有着某种关系,这时就要依据两个变量的关系,建立一个新的关于两个变量的式子,由两个式子建立方程组,通过解方程组消去一个变量,得到目标变量的解析式
变式训练2(1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=2x-1,求f(x)的解析式.
探究点三　函数的图象及应用
【例3】 作出下列函数的图象,并求其值域.
(1)y=1-x(x∈Z);
(2)y=2x2-4x-3(0≤x<3).
解 (1)因为x∈Z,所以函数图象为一条直线上的孤立点(如图①),由图象知,y∈Z.
(2)因为x∈[0,3),所以函数图象是抛物线的一段(如图②),由图象知,
y∈[-5,3).
规律方法　1.作函数图象最基本的方法是描点法.主要有三个步骤——列表、描点、连线.作图象时一般先确定函数的定义域,再在定义域内化简函数解析式,最后列表画出图象.
2.函数的图象可能是平滑的曲线,也可能是一群孤立的点,画图时要注意特殊点.如图象与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等,还要分清这些特殊点是实心点还是空心点.
如例3(1)中图象是由一些散点构成的,这里不能将其用平滑曲线连起来;例3(2)中描出两个端点及顶点,依据一元二次函数的图象特征作出函数图象,注意x=3不在定义域内,从而点(3,3)处用空心点.
变式训练3作出下列函数的图象,并写出其值域.
(1)y=2x+1,x∈[0,2];
(2)y= ,x∈[2,+∞).
解 (1)当x=0时,y=1;当x=1时,y=3;当x=2时,y=5.
函数图象过点(0,1),(1,3),(2,5).
图象如图所示.
由图可知,函数的值域为[1,5].
(2)当x=2时,y=1;当x=4时,y= ;当x=6时,y= .
图象如图所示.
由图可知,函数的值域为(0,1].
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)函数的表示法;
(2)求函数解析式;
(3)函数的图象.
2.方法归纳:待定系数法、换元法、配凑法、数形结合法.
3.常见误区:求函数解析式时易忽视定义域.
学以致用·随堂检测促达标
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1.已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1),则该一次函数的解析式为(　　)
A.f(x)=-x B.f(x)=x-1
C.f(x)=x+1 D.f(x)=-x+1
D
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2.某天早上,小明骑车上学,出发时感到时间较紧,然后加速前进,后来发现时间还比较充裕,于是放慢了速度,与以上事件吻合得最好的图象是(　　)
C
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解析 因为选项A,D都有段时间停止不动,不合题意,故排除选项A,D.首先加速前进,然后放慢速度,说明图象上升的速度先快后慢,故选C.
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3.已知函数f(x),g(x)对应值如下表:
x 0 1 -1
f(x) 1 0 -1
x 0 1 -1
g(x) -1 0 1
则g(f(g(-1)))的值为(　　)
A.1 B.0
C.-1 D.无法确定
C
解析 g(-1)=1,则f(g(-1))=f(1)=0,
则g(f(g(-1)))=g(0)=-1.
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4.若一个长方体的高为80 cm,长比宽多10 cm,则这个长方体的体积y(单位:cm3)与长方体的宽x(单位:cm)之间的函数解析式是　　　　　　 　　　　.
y=80x(x+10),x∈(0,+∞)
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5.(1)已知函数f(x+1)=3x+2,求f(x);
解 (方法一　换元法)令x+1=t,∴x=t-1,
∴f(t)=3(t-1)+2=3t-1,∴f(x)=3x-1.
(方法二　配凑法)∵f(x+1)=3x+2=3(x+1)-1,
∴f(x)=3x-1.
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6.[人教B版教材例题]已知函数y= ,指出这个函数的定义域、值域,并作出这个函数的图象.
解 函数的定义域为[0,+∞).由y= 在y≥0时有解可知,函数的值域为[0,+∞).
通过描点作图法,可以作出这个函数的图象,如图所示.
本 课 结 束