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资源详情
高中数学
人教A版(2019)
选择性必修 第一册
第一章 空间向量与立体几何
本章复习与测试
人教A版高中数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何章末重构拓展课件+学案+练习(含答案)
文档属性
名称
人教A版高中数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何章末重构拓展课件+学案+练习(含答案)
格式
zip
文件大小
9.1MB
资源类型
试卷
版本资源
人教A版(2019)
科目
数学
更新时间
2025-06-30 16:10:28
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文档简介
类型1 空间向量的概念及运算
1.空间向量可以看作是平面向量的推广,有许多概念和运算与平面向量是相同的,如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念,加减法的三角形法则和平行四边形法则,数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等.向量的基底表示和坐标表示是向量运算的基础.
2.向量的运算过程较为繁杂,要注意培养学生数学运算的学科素养.
【例1】 (1)如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=a,=b,=c.M是C1D1的中点,点N是CA1上的点,且CN∶NA1=4∶1.用a,b,c表示以下向量:
①;
②.
(2)如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°.
①求的长;
②求与夹角的余弦值.
[尝试解答]
类型2 利用空间向量证明位置关系
1.用空间向量判断空间中位置关系的类型有:线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直;判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量,利用向量的共线和垂直进行证明.
2.将立体几何的线面关系转化为向量间的关系,可以培养学生的逻辑思维和数学运算的学科素养.
【例2】 如图所示,已知多面体ABC-A1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.证明:AB1⊥平面A1B1C1.
[尝试解答]
类型3 利用空间向量求距离
1.空间距离的计算思路
(1)点P到直线l的距离:已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点,设=a,则向量在直线l上的投影向量为=(a·u)u,则点P到直线l的距离为PQ=(如图1).
(2)点P到平面α的距离:设平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点,则点P到平面α的距离为PQ=(如图2).
2.通过利用向量计算空间的距离,可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算的学科素养.
【例3】 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=2AB=2BC=2,E为DD1的中点,F为BB1的中点.
(1)求点A1到直线B1E的距离;
(2)求点A1到平面AB1E的距离.
[尝试解答]
类型4 利用空间向量求空间角
1.利用空间向量求夹角是空间向量的重要应用,利用向量方法求夹角,可不作出角而求出角的大小,体现了向量方法的优越性.
2.通过利用向量计算空间角,可以培养学生的逻辑推理和数学运算的学科素养.
【例4】 如图所示,四棱锥P-ABCD的底面为矩形,各侧棱及底边BC,DA的长均为a,AB,CD的长为a,记AC与BD的交点为O,过底面对角线AC作与PB平行的平面交PD于点E.
(1)求二面角E-AC-D的正弦值;
(2)求EO与底面ABCD所成角的大小;
(3)求DO与平面EAC所成角的正弦值.
[尝试解答]
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共63张PPT)
章末重构拓展
第一章
空间向量与立体几何
提升层·题型探究
类型1 空间向量的概念及运算
1.空间向量可以看作是平面向量的推广,有许多概念和运算与平面向量是相同的,如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念,加减法的三角形法则和平行四边形法则,数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等.向量的基底表示和坐标表示是向量运算的基础.
2.向量的运算过程较为繁杂,要注意培养学生数学运算的学科素养.
类型2 利用空间向量证明位置关系
1.用空间向量判断空间中位置关系的类型有:线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直;判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量,利用向量的共线和垂直进行证明.
2.将立体几何的线面关系转化为向量间的关系,可以培养学生的逻辑思维和数学运算的学科素养.
【例2】 如图所示,已知多面体ABC-A1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.证明:AB1⊥平面A1B1C1.
2.通过利用向量计算空间的距离,可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算的学科素养.
【例3】 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=2AB=2BC=2,E为DD1的中点,F为BB1的中点.
(1)求点A1到直线B1E的距离;
(2)求点A1到平面AB1E的距离.
类型4 利用空间向量求空间角
1.利用空间向量求夹角是空间向量的重要应用,利用向量方法求夹角,可不作出角而求出角的大小,体现了向量方法的优越性.
2.通过利用向量计算空间角,可以培养学生的逻辑推理和数学运算的学科素养.
[解] (1)因为PB∥平面ACE,平面PBD∩平面ACE=OE,PB 平面PBD,所以PB∥OE.又O是BD的中点,所以E是PD的中点.连接PO,因为四边形ABCD为矩形,所以OA=OC,又PA=PC,所以PO⊥AC,同理可得PO⊥BD,又AC∩BD=O,所以PO⊥底面ABCD.
以O为原点,OP所在直线为z轴,过点O平行于AD的直线为x轴,过点O平行于CD的直线为y轴,建立空间
直角坐标系,如图所示.
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知{a,b,c}是空间的一个基底,则下列各组向量中,不能构成空间的一个基底的是( )
A.a+b,b,c B.a,a-b,c
C.a-c,b-c,a-b D.a,b,a+b+c
章末综合测评(一) 动量守恒定律
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章末综合测评(一) 空间向量与立体几何
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C [对于A,{a,b,c}是空间的一个基底,则a+b,b,c不共面,所以这三个向量能构成空间的一个基底,故A选项不符合题意;
对于B,{a,b,c}是空间的一个基底,则a,a-b,c不共面,所以这三个向量能构成空间的一个基底,故B选项不符合题意;
对于C,a-b=(a-c)-(b-c),则a-c,b-c,a-b共面,所以这三个向量不能构成空间的一个基底,故C选项符合题意;
对于D,{a,b,c}是空间的一个基底,则a,b,a+b+c不共面,所以这三个向量能构成空间的一个基底,故D选项不符合题意.]
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三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.在空间直角坐标系中,已知A(m,n,1),B(3,2,1)关于z轴对称,则m+n=________.
-5 [∵B(3,2,1)关于z轴对称的点的坐标为(-3,-2,1),
又对称点为A(m,n,1),则m=-3,n=-2,∴m+n=-5.]
-5
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13.两个非零向量a,b,定义|a×b|=|a||b|sin 〈a,b〉.若a=(1,0,1),b=(0,2,2),则|a×b|=________.
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16.(15分)如图,正方形ADEF所在平面与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=2,CD=4,M为CE的中点.
(1)求证:BM∥平面ADEF;
(2)求证:BC⊥平面BDE.
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17.(15分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BA⊥BC,BA=BC=BB1=2.
(1)求异面直线AB1与A1C1所成角的大小;
(2)求点B到平面A1B1C的距离.
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19综合测评卷参考答案
章末综合测评(一)
1.C [对于A,{a,b,c}是空间的一个基底,则a+b,b,c不共面,所以这三个向量能构成空间的一个基底,故A选项不符合题意;
对于B,{a,b,c}是空间的一个基底,则a,a-b,c不共面,所以这三个向量能构成空间的一个基底,故B选项不符合题意;
对于C,a-b=(a-c)-(b-c),则a-c,b-c,a-b共面,所以这三个向量不能构成空间的一个基底,故C选项符合题意;
对于D,{a,b,c}是空间的一个基底,则a,b,a+b+c不共面,所以这三个向量能构成空间的一个基底,故D选项不符合题意.]
2.C [由题意,得cos
=,
解得λ=-2或λ=.故选C.]
3.C [由题意知A(1,1,2),B(-1,3,4),C(2,4,4),则D(0,2,3),
所以=(-2,-2,-1),所以|=3.故选C.]
4.D [由已知得=(-2,2,1),又n=(1,0,1),∴点A到平面α的距离为.故选D.]
5.(教材原题·P10习题1.1T5)
A [∵()
=(-)
=(-)
=(-a+b),
∴
=c+(-a+b)=-a+b+c.
故选A.]
6.D [()=,
∴|···×2×2×-2×1×-2×1×=2,∴|.故选D.]
7.C [依题意,以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
因为AB=BC=2,AD=3,PA=2,
则P(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,3,0),
从而=(2,0,-2),=(2,2,-2),=(0,3,-2),
设平面PCD的法向量为n=(a,b,c),
则不妨取c=3,则a=1,b=2,
所以平面PCD的一个法向量为n=(1,2,3),
所以PB与平面PCD所成角的正弦值为
|cos<,n>|=.
故选C.]
8.A [如图,以矩形ABCD的中心O为原点,的方向为x轴正方向建立空间直角坐标系.
∵四边形ABCD为矩形,EF∥AB,△ADE和△BCF都是正三角形,
∴EF Oyz平面,且Oz是线段EF的垂直平分线.
设AB=3,则EF=1,AD=2,D,E,B,F.
∴=(1,1,),=(-1,-1,),
∴·=-1×1+1×(-1)+×=0,
∴⊥,∴异面直线DE与BF所成的角为.故选A.]
9.AB [A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),
则=(2,1,0),=(-1,2,1),=(-3,1,1),
故|,故A正确;·=2×(-1)+1×2+0×1=0,
故⊥,故B正确;点C关于Oxy平面对称的点为(-1,3,-1),故C错误;
cos<,故D错误.故选AB.]
10.AB [设=(3λ,-2λ,-λ).
又|,
∴,解得λ=±1,
∴=(3,-2,-1)或=(-3,2,1).
设点P的坐标为(x,y,z),则=(x-1,y,z-3),
∴
故点P的坐标为(4,-2,2)或(-2,2,4).故选AB.]
11.BD [因为PD⊥底面ABCD,所以PD垂直于平面ABCD内的任何一条直线,
因为四边形ABCD是边长为1的菱形,且∠ADC=120°,所以△ABD和△BCD是等边三角形.对于A,()··=0,故A错误;对于B,()···=0+1×1×cos 120°=-,故B正确;
对于C,·=()·()=····,故C错误;对于D,··()=··|cos 120°=-,故D正确.故选BD.]
12.-5 [∵B(3,2,1)关于z轴对称的点的坐标为(-3,-2,1),
又对称点为A(m,n,1),则m=-3,n=-2,∴m+n=-5.]
13.2 [设向量a,b的夹角为θ,∵a=(1,0,1),b=(0,2,2),
∴|a|=,|b|=2,a·b=2,∴cos θ=,
∵θ∈[0,π],∴sin θ=,∴|a×b|=|a||b|sin θ=×2×.]
14. [以A为原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则B(4,0,0),D(0,4,0),E(0,0,2),F(4,2,1),=(0,-4,2),=(4,-2,1),=(-4,4,0),=(0,2,1),=(4,2,-1).
所以cos<,所以sin<,所以点E到直线DF的距离为||·sin<×
=.
记平面BDF的法向量为n=(x,y,z),
则令x=1,得n=(1,1,-2).
所以cos
15.(教材原题·P9练习T3)
解:(1)·|·||·cos 60°=5×4×=10.
(2)=()2=()2=·=25+2×10+16=61,∴|,即AB'的长为.
(3)=()2=+2(···)=16+9+25+2×=85,∴|,即AC'的长为.
16.证明:(1)∵平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,AD⊥ED,ED 平面ADEF,
∴ED⊥平面ABCD.
以D为原点,分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.
则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),E(0,0,2),F(2,0,2).
∵M为EC的中点,∴M(0,2,1),
则=(-2,0,1),=(-2,0,0),=(0,0,2),
∴,故共面.
又BM 平面ADEF,∴BM∥平面ADEF.
(2)=(-2,2,0),=(2,2,0),=(0,0,2),
∵·=-4+4=0,∴BC⊥DB.
又·=0,∴BC⊥DE.
又DE∩DB=D,DE,DB 平面BDE,
∴BC⊥平面BDE.
17.解:(1)在直三棱柱ABC A1B1C1中,BA⊥BC,所以BA,BB1,BC两两互相垂直,
以B为原点,BA,BB1,BC所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,
则B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,0,2),A1(2,2,0),B1(0,2,0),C1(0,2,2),所以=(-2,2,0),=(-2,0,2),
设异面直线AB1与A1C1所成角为θ,θ∈,
所以cos θ=|cos<,
所以θ=,即异面直线AB1与A1C1所成角的大小为.
(2)由(1)知,=(-2,0,0),=(-2,-2,2),=(0,0,2),设平面A1B1C的法向量为n=(x,y,z),
则解得x=0,令y=1,则z=1,所以n=(0,1,1),
所以点B到平面A1B1C的距离为.
18.解:(1)根据题意可得四棱锥S ABCD的体积为VS ABCD=×S直角梯形ABCD×SA=×××1×1=.
(2)根据题意可建立空间直角坐标系如图,
则D,C(1,1,0),S(0,0,1),
∴=(1,1,-1),
设平面SCD的法向量为m=(x,y,z),
则取m=(2,-1,1),
又易知平面SAB的一个法向量为n=(1,0,0),
∴平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值为
|cos
|=.
19.解:(1)证明:在Rt△ABD中,AD=.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC=AD=,CD=AB=1,又A1C=2,
∴A1B2+BC2=A1C2,∴A1B⊥BC,
又A1B⊥BD,BC∩BD=B,
且BC,BD 平面BCD,
∴A1B⊥平面BCD,又A1B 平面A1BD,
∴平面A1BD⊥平面BCD.
(2)如图,过点B作BD的垂线,以点B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则B(0,0,0),A1(0,0,1),D(0,,0),C(1,,0),=(1,,0),=(0,-,1),
|cos<,∴异面直线BC与A1D所成角的余弦值为.
(3)=(1,0,0),=(-1,-,1).
设,0≤λ≤1,则=(1-λ,-λ,λ),
易知平面BCD的一个法向量为n=(0,0,1).
设DE与平面BCD所成的角为θ,则
sin θ=|cos<,n>|=,
解得λ=或λ=-1(舍去),∴,即CE=.
∴当线段CE的长为时,DE与平面BCD所成角的正弦值为.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)类型1 空间向量的概念及运算
1.空间向量可以看作是平面向量的推广,有许多概念和运算与平面向量是相同的,如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念,加减法的三角形法则和平行四边形法则,数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等.向量的基底表示和坐标表示是向量运算的基础.
2.向量的运算过程较为繁杂,要注意培养学生数学运算的学科素养.
【例1】 (1)如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=a,=b,=c.M是C1D1的中点,点N是CA1上的点,且CN∶NA1=4∶1.用a,b,c表示以下向量:
①;
②.
(2)如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°.
①求的长;
②求与夹角的余弦值.
[解] (1)①=)
=[()+()]
=+2+2)
=a+b+c.
②=
=)
=
=a+b+c.
(2)记=a,=b,=c,
则|a|=|b|=|c|=1,
〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,
∴a·b=b·c=c·a=.
①||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)
=1+1+1+2×=6,
∴||=.
②=b+c-a,=a+b,
∴||=,||=,
=(b+c-a)·(a+b)
=b2-a2+a·c+b·c=1,
∴cos 〈〉==.
类型2 利用空间向量证明位置关系
1.用空间向量判断空间中位置关系的类型有:线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直;判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量,利用向量的共线和垂直进行证明.
2.将立体几何的线面关系转化为向量间的关系,可以培养学生的逻辑思维和数学运算的学科素养.
【例2】 如图所示,已知多面体ABC-A1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.证明:AB1⊥平面A1B1C1.
[证明] 法一:由AB=2,AA1=4,BB1=2,AA1⊥AB,BB1⊥AB,得AB1=A1B1=2,所以=,故AB1⊥A1B1.
由BC=2,BB1=2,CC1=1,BB1⊥BC,CC1⊥BC,
得B1C1=,
由AB=BC=2,∠ABC=120°,得AC=2,
连接AC1(图略),由CC1⊥AC,得AC1=,所以=,故AB1⊥B1C1.
又A1B1∩B1C1=B1,A1B1,B1C1 平面A1B1C1,所以AB1⊥平面A1B1C1.
法二:如图所示,以AC的中点O为坐标原点,建立空间直角坐标系Oxyz.
由题意知,A(0,-,0),A1(0,-,4),B1(1,0,2),C1(0,,1),则=(1,,2),=(1,,-2),=(0,2,-3).
由=0,得AB1⊥A1B1.
由=0,得AB1⊥A1C1.
又A1B1∩A1C1=A1,A1B1,A1C1 平面A1B1C1,所以AB1⊥平面A1B1C1.
法三:如法二建立空间直角坐标系,则A,A1,B1,C1,的坐标同法二.
设m=(x,y,z)是平面A1B1C1的法向量,
则
即令z=1,得m=是平面A1B1C1的一个法向量,因为=2m,所以AB1⊥平面A1B1C1.
类型3 利用空间向量求距离
1.空间距离的计算思路
(1)点P到直线l的距离:已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点,设=a,则向量在直线l上的投影向量为=(a·u)u,则点P到直线l的距离为PQ=(如图1).
(2)点P到平面α的距离:设平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点,则点P到平面α的距离为PQ=(如图2).
2.通过利用向量计算空间的距离,可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算的学科素养.
【例3】 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=2AB=2BC=2,E为DD1的中点,F为BB1的中点.
(1)求点A1到直线B1E的距离;
(2)求点A1到平面AB1E的距离.
[解] (1)建立如图所示的空间直角坐标系.
则A1(0,0,2),B1(1,0,2),E(0,1,1),
所以=(-1,1,-1),=(-1,0,0),
所以点A1到直线B1E的距离
d===.
(2)=(1,0,2),=(0,1,1),=(0,0,2),
设平面AB1E的法向量为n=(x,y,z),
则
取x=2,则n=(2,1,-1),
所以点A1到平面AB1E的距离为==.
类型4 利用空间向量求空间角
1.利用空间向量求夹角是空间向量的重要应用,利用向量方法求夹角,可不作出角而求出角的大小,体现了向量方法的优越性.
2.通过利用向量计算空间角,可以培养学生的逻辑推理和数学运算的学科素养.
【例4】 如图所示,四棱锥P-ABCD的底面为矩形,各侧棱及底边BC,DA的长均为a,AB,CD的长为a,记AC与BD的交点为O,过底面对角线AC作与PB平行的平面交PD于点E.
(1)求二面角E-AC-D的正弦值;
(2)求EO与底面ABCD所成角的大小;
(3)求DO与平面EAC所成角的正弦值.
[解] (1)因为PB∥平面ACE,平面PBD∩平面ACE=OE,PB 平面PBD,所以PB∥OE.又O是BD的中点,所以E是PD的中点.连接PO,因为四边形ABCD为矩形,所以OA=OC,又PA=PC,所以PO⊥AC,同理可得PO⊥BD,又AC∩BD=O,所以PO⊥底面ABCD.
以O为原点,OP所在直线为z轴,过点O平行于AD的直线为x轴,过点O平行于CD的直线为y轴,建立空间直角坐标系,如图所示.
易知A,B,C,D,P,E,则=.
显然,是平面ACD的一个法向量,设n=(x,y,z)是平面ACE的法向量,则
即取y=1,可得平面ACE的一个法向量n=(,1,2),
所以|cos 〈n,〉|==.
所以二面角E-AC-D的正弦值为.
(2)设EO与底面ABCD所成的角为θ,
则sin θ=|cos 〈〉|==,
又θ∈,
所以EO与底面ABCD所成角的大小为.
(3)设DO与平面EAC所成的角为β,
则sin β==,
所以DO与平面EAC所成角的正弦值为.
章末综合测评(一) 空间向量与立体几何
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知{a,b,c}是空间的一个基底,则下列各组向量中,不能构成空间的一个基底的是( )
A.a+b,b,c B.a,a-b,c
C.a-c,b-c,a-b D.a,b,a+b+c
C [对于A,{a,b,c}是空间的一个基底,则a+b,b,c不共面,所以这三个向量能构成空间的一个基底,故A选项不符合题意;
对于B,{a,b,c}是空间的一个基底,则a,a-b,c不共面,所以这三个向量能构成空间的一个基底,故B选项不符合题意;
对于C,a-b=(a-c)-(b-c),则a-c,b-c,a-b共面,所以这三个向量不能构成空间的一个基底,故C选项符合题意;
对于D,{a,b,c}是空间的一个基底,则a,b,a+b+c不共面,所以这三个向量能构成空间的一个基底,故D选项不符合题意.]
2.若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),且a与b的夹角的余弦值为,则λ=( )
A.2 B.-2
C.-2或 D.2或-
C [由题意,得cos 〈a,b〉===,
解得λ=-2或λ=.故选C.]
3.已知O是坐标原点,空间向量=(1,1,2),=(-1,3,4),=(2,4,4),若线段AB的中点为D,则||=( )
A.9 B.8
C.3 D.2
C [由题意知A(1,1,2),B(-1,3,4),C(2,4,4),则D(0,2,3),
所以=(-2,-2,-1),所以||==3.故选C.]
4.已知A(1,0,1),n=(1,0,1)是平面α的一个法向量,且B(-1,2,2)是平面α内一点,则点A到平面α的距离为( )
A.
C.
D [由已知得=(-2,2,1),又n=(1,0,1),
∴点A到平面α的距离为==.故选D.]
5.(教材原题·P10习题1.1T5)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD的交点为M.设=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是( )
A.-a+b+c B.a+b+c
C.a-b+c D.-a-b+c
A [∵==)
=(-)
=(-)
=(-a+b),
∴==
=c+(-a+b)=-a+b+c.故选A.]
6.如图,斜三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2,∠A1AB=∠A1AC=,点E,F满足==,则||=( )
A.
C.2 D.
D [==-)=,
∴||2==+++=1+1+1+×2×2×-2×1×-2×1×=2,∴||=.
故选D.]
7.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AB⊥AD,BC∥AD,且AB=BC=2,AD=3,PA⊥平面ABCD且PA=2,则PB与平面PCD所成角的正弦值为( )
A.
C.
C [依题意,以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
因为AB=BC=2,AD=3,PA=2,
则P(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,3,0),
从而=(2,0,-2),=(2,2,-2),=(0,3,-2),
设平面PCD的法向量为n=(a,b,c),
则即
不妨取c=3,则a=1,b=2,
所以平面PCD的一个法向量为n=(1,2,3),
所以PB与平面PCD所成角的正弦值为
|cos〈,n〉|==.故选C.]
8.《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著,书中记载了一种名为“刍甍”的五面体(如图所示),其中四边形ABCD为矩形,EF∥AB,若AB=3EF,△ADE和△BCF都是正三角形,且AD=2EF,则异面直线DE与BF所成角的大小为( )
A.
C.
A [如图,以矩形ABCD的中心O为原点,的方向为x轴正方向建立空间直角坐标系.
∵四边形ABCD为矩形,EF∥AB,△ADE和△BCF都是正三角形,∴EF Oyz平面,且Oz是线段EF的垂直平分线.
设AB=3,则EF=1,AD=2,D,E,B,F.
∴=(1,1,),=(-1,-1,),
∴=-1×1+1×(-1)+=0,
∴⊥,∴异面直线DE与BF所成的角为.故选A.]
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),O是坐标原点,则( )
A.||=
B.⊥
C.点C关于Oxy平面对称的点为(1,-3,1)
D.与夹角的余弦值是
AB [A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),
则=(2,1,0),=(-1,2,1),=(-3,1,1),
故||==,故A正确;=2×(-1)+1×2+0×1=0,
故⊥,故B正确;点C关于Oxy平面对称的点为(-1,3,-1),故C错误;
cos 〈〉==-,故D错误.故选AB.]
10.已知空间三点A(1,0,3),B(-1,1,4),C(2,-1,3).若∥,且||=,则点P的坐标为( )
A.(4,-2,2) B.(-2,2,4)
C.(-4,2,-2) D.(2,-2,4)
AB [设=λ=(3λ,-2λ,-λ).
又||=,
∴=,解得λ=±1,
∴=(3,-2,-1)或=(-3,2,1).
设点P的坐标为(x,y,z),则=(x-1,y,z-3),
∴或
解得或
故点P的坐标为(4,-2,2)或(-2,2,4).故选AB.]
11.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,四边形ABCD是边长为1的菱形,且∠ADC=120°,PD=AD,则( )
A.()·=1
B.()·=-
C.=
D.=-
BD [因为PD⊥底面ABCD,所以PD垂直于平面ABCD内的任何一条直线,
因为四边形ABCD是边长为1的菱形,且∠ADC=120°,所以△ABD和△BCD是等边三角形.对于A,()·==0,故A错误;对于B,()·==0+1×1×cos 120°=-,故B正确;
对于C,=()·()=
=-1+=-,故C错误;对于D,=·()=
=||||cos 120°=-,故D正确.故选BD.]
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.在空间直角坐标系中,已知A(m,n,1),B(3,2,1)关于z轴对称,则m+n=________.
-5 [∵B(3,2,1)关于z轴对称的点的坐标为(-3,-2,1),
又对称点为A(m,n,1),则m=-3,n=-2,∴m+n=-5.]
13.两个非零向量a,b,定义|a×b|=|a||b|sin 〈a,b〉.若a=(1,0,1),b=(0,2,2),则|a×b|=________.
2 [设向量a,b的夹角为θ,∵a=(1,0,1),b=(0,2,2),
∴|a|=,|b|=2,a·b=2,∴cos θ===,
∵θ∈[0,π],∴sin θ=,∴|a×b|=|a||b|sin θ=×2=2.]
14.如图所示,在几何体ABCDEF中,AD∥BC,∠BAD=,AB=AD=2BC=4,AE∥CF,AE=2CF=2,AE⊥平面ABCD,则点E到直线DF的距离为________,直线EF与平面BDF所成角的正弦值为________.
[以A为原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则B(4,0,0),D(0,4,0),E(0,0,2),F(4,2,1),=(0,-4,2),=(4,-2,1),=(-4,4,0),=(0,2,1),=(4,2,-1).
所以cos 〈〉==,
所以sin 〈〉=,所以点E到直线DF的距离为||sin 〈〉=2=.
记平面BDF的法向量为n=(x,y,z),
则令x=1,得n=(1,1,-2).
所以cos 〈n,〉===,所以直线EF与平面BDF所成角的正弦值为.]
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)(教材原题·P9练习T3)如图,在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中,AB=4,AD=3,AA′=5,∠BAD=90°,∠BAA′=∠DAA′=60°.求:
(1);(2)AB′的长;(3)AC′的长.
[解] (1)=||·||·cos 60°=5×4×=10.
(2)=()2=()2=+2=25+2×10+16=61,
∴||=,即AB′的长为.
(3)=()2=+++2()=16+9+25+2×=85,∴||=,即AC′的长为.
16.(15分)如图,正方形ADEF所在平面与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=2,CD=4,M为CE的中点.
(1)求证:BM∥平面ADEF;
(2)求证:BC⊥平面BDE.
[证明] (1)∵平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,AD⊥ED,ED 平面ADEF,
∴ED⊥平面ABCD.
以D为原点,分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.
则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),E(0,0,2),F(2,0,2).
∵M为EC的中点,∴M(0,2,1),则=(-2,0,1),=(-2,0,0),=(0,0,2),
∴=,故共面.
又BM 平面ADEF,∴BM∥平面ADEF.
(2)=(-2,2,0),=(2,2,0),=(0,0,2),
∵=-4+4=0,∴BC⊥DB.
又=0,∴BC⊥DE.
又DE∩DB=D,DE,DB 平面BDE,
∴BC⊥平面BDE.
17.(15分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BA⊥BC,BA=BC=BB1=2.
(1)求异面直线AB1与A1C1所成角的大小;
(2)求点B到平面A1B1C的距离.
[解] (1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BA⊥BC,所以BA,BB1,BC两两互相垂直,
以B为原点,BA,BB1,BC所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,
则B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,0,2),A1(2,2,0),B1(0,2,0),C1(0,2,2),所以=(-2,2,0),=(-2,0,2),
设异面直线AB1与A1C1所成角为θ,θ∈,
所以cos θ=|cos 〈〉|===,
所以θ=,即异面直线AB1与A1C1所成角的大小为.
(2)由(1)知,=(-2,0,0),=(-2,-2,2),=(0,0,2),设平面A1B1C的法向量为n=(x,y,z),
则解得x=0,令y=1,则z=1,所以n=(0,1,1),
所以点B到平面A1B1C的距离为==.
18.(17分)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD满足AB⊥AD,AB⊥BC,SA⊥底面ABCD,且SA=AB=BC=1,AD=.
(1)求四棱锥S-ABCD的体积;
(2)求平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值.
[解] (1)根据题意可得四棱锥S-ABCD的体积为VS-ABCD=×S直角梯形ABCD×SA
=×1×1=.
(2)根据题意可建立空间直角坐标系如图,
则D,C(1,1,0),S(0,0,1),
∴==(1,1,-1),
设平面SCD的法向量为m=(x,y,z),
则取m=(2,-1,1),
又易知平面SAB的一个法向量为n=(1,0,0),
∴平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值为
|cos 〈m,n〉|===.
19.(17分)如图,在平行四边形ABCD中,AB=1,BD=,∠ABD=90°,将△ABD沿对角线BD折起,折后的点A变为A1,且A1C=2.
(1)求证:平面A1BD⊥平面BCD;
(2)求异面直线BC与A1D所成角的余弦值;
(3)E为线段A1C上的一个动点,当线段CE的长为多少时,DE与平面BCD所成角的正弦值为?
[解] (1)证明:在Rt△ABD中,AD==.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC=AD=,CD=AB=1,又A1C=2,
∴A1B2+BC2=A1C2,∴A1B⊥BC,
又A1B⊥BD,BC∩BD=B,
且BC,BD 平面BCD,
∴A1B⊥平面BCD,又A1B 平面A1BD,
∴平面A1BD⊥平面BCD.
(2)如图,过点B作BD的垂线,以点B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则B(0,0,0),A1(0,0,1),D(0,,0),C(1,,0),=(1,,0),=(0,-,1),
|cos 〈〉|===,
∴异面直线BC与A1D所成角的余弦值为.
(3)=(1,0,0),=(-1,-,1).
设=λ,0≤λ≤1,则==(1-λ,-λ,λ),
易知平面BCD的一个法向量为n=(0,0,1).
设DE与平面BCD所成的角为θ,则
sin θ=|cos 〈,n〉|===,
解得λ=或λ=-1(舍去),
∴=,即CE=.
∴当线段CE的长为时,DE与平面BCD所成角的正弦值为.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)章末综合测评(一) 空间向量与立体几何
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知{a,b,c}是空间的一个基底,则下列各组向量中,不能构成空间的一个基底的是( )
A.a+b,b,c B.a,a-b,c
C.a-c,b-c,a-b D.a,b,a+b+c
2.若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),且a与b的夹角的余弦值为,则λ=( )
A.2 B.-2
C.-2或 D.2或-
3.已知O是坐标原点,空间向量=(1,1,2),=(-1,3,4),=(2,4,4),若线段AB的中点为D,则||=( )
A.9 B.8
C.3 D.2
4.已知A(1,0,1),n=(1,0,1)是平面α的一个法向量,且B(-1,2,2)是平面α内一点,则点A到平面α的距离为( )
A.
C.
5.(教材原题·P10习题1.1T5)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD的交点为M.设=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是( )
A.-a+b+c B.a+b+c
C.a-b+c D.-a-b+c
6.如图,斜三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2,∠A1AB=∠A1AC=,点E,F满足==,则||=( )
A.
C.2 D.
7.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AB⊥AD,BC∥AD,且AB=BC=2,AD=3,PA⊥平面ABCD且PA=2,则PB与平面PCD所成角的正弦值为( )
A.
C.
8.《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著,书中记载了一种名为“刍甍”的五面体(如图所示),其中四边形ABCD为矩形,EF∥AB,若AB=3EF,△ADE和△BCF都是正三角形,且AD=2EF,则异面直线DE与BF所成角的大小为( )
A.
C.
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),O是坐标原点,则( )
A.||=
B.⊥
C.点C关于Oxy平面对称的点为(1,-3,1)
D.与夹角的余弦值是
10.已知空间三点A(1,0,3),B(-1,1,4),C(2,-1,3).若∥,且||=,则点P的坐标为( )
A.(4,-2,2) B.(-2,2,4)
C.(-4,2,-2) D.(2,-2,4)
11.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,四边形ABCD是边长为1的菱形,且∠ADC=120°,PD=AD,则( )
A.()·=1
B.()·=-
C.=
D.=-
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.在空间直角坐标系中,已知A(m,n,1),B(3,2,1)关于z轴对称,则m+n=________.
13.两个非零向量a,b,定义|a×b|=|a||b|sin 〈a,b〉.若a=(1,0,1),b=(0,2,2),则|a×b|=________.
14.如图所示,在几何体ABCDEF中,AD∥BC,∠BAD=,AB=AD=2BC=4,AE∥CF,AE=2CF=2,AE⊥平面ABCD,则点E到直线DF的距离为________,直线EF与平面BDF所成角的正弦值为________.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)(教材原题·P9练习T3)如图,在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中,AB=4,AD=3,AA′=5,∠BAD=90°,∠BAA′=∠DAA′=60°.求:
(1);(2)AB′的长;(3)AC′的长.
16.(15分)如图,正方形ADEF所在平面与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=2,CD=4,M为CE的中点.
(1)求证:BM∥平面ADEF;
(2)求证:BC⊥平面BDE.
17.(15分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BA⊥BC,BA=BC=BB1=2.
(1)求异面直线AB1与A1C1所成角的大小;
(2)求点B到平面A1B1C的距离.
18.(17分)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD满足AB⊥AD,AB⊥BC,SA⊥底面ABCD,且SA=AB=BC=1,AD=.
(1)求四棱锥S-ABCD的体积;
(2)求平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值.
19.(17分)如图,在平行四边形ABCD中,AB=1,BD=,∠ABD=90°,将△ABD沿对角线BD折起,折后的点A变为A1,且A1C=2.
(1)求证:平面A1BD⊥平面BCD;
(2)求异面直线BC与A1D所成角的余弦值;
(3)E为线段A1C上的一个动点,当线段CE的长为多少时,DE与平面BCD所成角的正弦值为?
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同课章节目录
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.2 空间向量基本定理
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.4 空间向量的应用
第二章 直线和圆的方程
2.1 直线的倾斜角与斜率
2.2 直线的方程
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.4 圆的方程
2.5 直线与圆、圆与圆的位置
第三章 圆锥曲线的方程
3.1 椭圆
3.2 双曲线
3.3 抛物线
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