人教A版高中数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何1.1.1第2课时共线向量与共面向量课件+学案+练习(含答案)

文档属性

名称 人教A版高中数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何1.1.1第2课时共线向量与共面向量课件+学案+练习(含答案)
格式 zip
文件大小 7.9MB
资源类型 试卷
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-06-30 16:25:10

文档简介

(共61张PPT)
第一章
空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
第2课时 共线向量与共面向量
[学习目标] 
1.理解向量共线、向量共面的定义.(数学抽象)
2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件.(数学运算、逻辑推理)
3.会证明空间三点共线、四点共面.(逻辑推理)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1.空间向量共线的充要条件和平面向量有区别吗?为什么?
问题2.直线的方向向量和共面向量是如何定义的?
问题3.空间向量共面的充要条件是什么?
问题4.类比三点共线的条件,可得到四点共面的条件是什么?
探究建构 关键能力达成
探究1 空间向量共线的充要条件
问题1 平面向量共线的充要条件是什么?它适用于空间向量吗?
[提示] 对任意两个平面向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb.该充要条件也适用于空间向量.
a=λb
非零向量a
【教用·微提醒】 (1)0与空间任意向量a都是共线向量,这一性质使共线向量不具有传递性.
(2)向量a,b共线时,表示向量a,b的有向线段不一定在同一条直线上.
1
发现规律 证明空间三点共线有哪些方法?
探究2 空间向量共面的充要条件
问题2 空间任意两个向量是共面向量,则空间任意三个向量是否共面?
[提示] 不一定.如图所示,空间中的三个向量不共面.
定义 平行于同一个____的向量
三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a,b共面的充要条件是存在____的有序实数对(x,y),使p=xa+yb
平行于平面α
在平面α内
平面
唯一
【教用·微提醒】 向量p与a,b共面的充要条件是在向量a与b不共线的前提下才成立的,若a与b共线,则不成立.

应用迁移 随堂评估自测
1.对于空间的任意三个向量a,b,2a-b,它们一定是(  )
A.共面向量 B.共线向量
C.不共面向量 D.既不共线也不共面的向量

A [由三个向量共面的充要条件可知,三个向量a,b,2a-b为共面向量.]


4.若a与b不共线,而a+3b与λa-b共线,则实数λ=________.
1.知识链:


2.方法链:类比、转化化归.
3.警示牌:向量共线与线段共线、点共线不同,不要混淆.
回顾本节知识,自主完成以下问题:
1.向量a与b共线,则一定存在λ使得a=λb成立吗?
[提示] 当b=0时,不一定存在λ值.
2.如何证明点P,A,B,C四点共面?
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
课时分层作业(二) 共线向量与共面向量

题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13

题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13



题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13

题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
-8
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13

题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
①③
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13

题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13


题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13

题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13


题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
0
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13课时分层作业(二)
1.A [由题意可得=2a+4b,则,则A,B,D三点共线;=-4a+8b,不存在实数λ满足,则A,B,C三点不共线;
不存在实数λ满足,则B,C,D三点不共线;
不存在实数λ满足,则A,C,D三点不共线.故选A.]
2.B [法一:因为A,B,C,P满足任意三点不共线,但四点共面,所以存在x,y∈R,使得,
因为,所以=x()+y(),即=(1-x-y),
因为,
所以解得m=-2.
法二:根据四点共面的充要条件,若A,B,C,P四点共面,
则(x+y+z=1),
则m+2+1=1,解得m=-2.故选B.]
3.BCD [对于A,=0,A正确;
对于B,当b=0,a≠0时,λ不存在,B错误;
对于C,若共线,则AB,CD可以在同一条直线上,C错误;
对于D,当x+y+z≠1时,P,A,B,C四点不共面,D错误.
故选BCD.]
4.C [根据空间向量共面定理,,若A,B,C不共线,且P,A,B,C共面,则其充要条件是x+y+z=1.
对于A选项,由于1-1+2=2≠1,所以不能得出P,A,B,C共面,故A错误;
对于B选项,由于≠1,所以不能得出P,A,B,C共面,故B错误;
对于C选项,由已知条件:=0,整理得,则为共面向量,所以P,A,B,C共面,故C正确;
对于D选项,=0,整理得,
由于-1-1-2=-4≠1,所以不能得出P,A,B,C共面,故D错误.
故选C.]
5.-8 [因为=e1+3e2,=2e1-e2,所以=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2.因为A,B,D三点共线,所以,所以2e1+ke2=λ(e1-4e2)=λe1-4λe2.因为e1,e2是空间中两个不共线的向量,所以所以k=-8.]
6. [法一:由题意+(1-λ),因为共面,
所以存在唯一实数对(m,n),使得,
即,
所以.
法二:由共面得M,A,B,C四点共面,
则根据四点共面的充要条件可得,+λ=1,即λ=.]
7.①③ [①由共面向量定理知,若存在实数x,y,使p=xa+yb,则p与a,b共面,故正确;
②若a,b共线,且p不与a,b共线,则不存在实数x,y,使p=xa+yb,故错误;
③由共面向量定理知,若存在实数x,y,使,则点P,M,A,B共面,故正确;
④若共线,共线,则不存在实数x,y,使,故错误.]
8.解:(1)=a-c-b.
(2)证明:已知=a,=b,=c,
连接AC(图略).
∵,∴,
∴b,
()=()=c,
∴,
又∵由(1)知=a-b-c,∴,且有公共点E,
∴E,F,B三点共线.
9.ABD [选项A,根据共面向量定理可知,p与x,y共面,所以A选项是正确的;
选项B,根据共面向量定理可知,共面,由于它们有公共点M,则M,P,A,B共面,所以B选项是正确的;
选项C,举反例说明,若是一个正方体同一个顶点O的三条棱所对应的向量,则它们的和向量是以O为起点的体对角线向量,而是该体对角线向量的相反向量,
此时显然四个点A,B,C,D不在同一个平面上,所以C选项是错误的;
选项D,由,可得=1,所以P,A,B,C共面,即D选项是正确的.
故选ABD.]
10.BCD [对于A:当λ=1时,,所以,则∥,即点P在棱CC1上,故A错误;对于B:当μ=1时,,则,则∥,故点P在棱B1C1上,故B正确;对于C:当λ+μ=1时,可得μ=1-λ,所以+(1-λ),即,由于存在线性关系,即点P在线段B1C上,故C正确;对于D:当λ=μ时,=λ()=λ,由于存在线性关系,故点P在线段BC1上,故D正确.故选BCD.]
11.0 [由λ=0,
得.
由A,B,C三点共线知,
-=1,所以λ+m+n=0.]
12.证明:因为点M在BD上,且BM=BD,
所以.
同理,.
所以.
又不共线,根据向量共面的充要条件可知共面.
13.解:由题图知,设(0<λ<1),由已知,得,
所以.因为M,E,F,G四点共面,
所以2λ+3λ+=1,解得λ=.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第2课时 共线向量与共面向量
[学习目标] 
1.理解向量共线、向量共面的定义.(数学抽象)
2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件.(数学运算、逻辑推理)
3.会证明空间三点共线、四点共面.(逻辑推理)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1.空间向量共线的充要条件和平面向量有区别吗?为什么?
问题2.直线的方向向量和共面向量是如何定义的?
问题3.空间向量共面的充要条件是什么?
问题4.类比三点共线的条件,可得到四点共面的条件是什么?
探究1 空间向量共线的充要条件
问题1 平面向量共线的充要条件是什么?它适用于空间向量吗?
[提示] 对任意两个平面向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb.该充要条件也适用于空间向量.
[新知生成]
1.空间向量共线的充要条件:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb.
2.方向向量:如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对于直线l上任意一点P,由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知,存在实数λ,使得=λa,把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量,直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示.
【教用·微提醒】 (1)0与空间任意向量a都是共线向量,这一性质使共线向量不具有传递性.
(2)向量a,b共线时,表示向量a,b的有向线段不一定在同一条直线上.
[典例讲评] 1.(1)已知A,B,C三点共线,O为直线外空间任意一点,若=m+n,则m+n=________.
(2)如图,四边形ABCD和ABEF都是平行四边形,且不共面,M,N分别是AC,BF的中点,判断与是否共线.
(1)1 [由于A,B,C三点共线,所以存在实数λ,使得=λ,即=λ(),所以=(1-λ)+λ,所以m=1-λ,n=λ,所以m+n=1.]
(2)[解] 法一:∵M,N分别是AC,BF的中点,且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形,
∴==.①
又∵==-,②
①+②,得2=,
∴∥,即与共线.
法二:∵M,N分别是AC,BF的中点,且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形,
∴==)-
=)-)
=)=)=,
∴∥,即与共线.
 证明空间三点共线有哪些方法?
[提示] 对于空间三点P,A,B,可通过证明下列结论来证明三点共线:
(1)存在实数λ,使=λ成立.
(2)对空间任一点O,有=x+y(x+y=1).
[学以致用] 1.如图,已知四边形ABCD是空间四边形,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边CB,CD上的点,且==.
求证:四边形EFGH是梯形.
[证明] ∵E,H分别是AB,AD的中点,
∴==.
∵===
=)=
=)=,
∴∥,且||=||≠||.
又F不在直线EH上,∴四边形EFGH是梯形.
探究2 空间向量共面的充要条件
问题2 空间任意两个向量是共面向量,则空间任意三个向量是否共面?
[提示] 不一定.如图所示,空间中的三个向量不共面.
[新知生成]
1.向量与平面平行:如果表示向量a的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内,那么称向量a平行于平面α.
2.共面向量
定义 平行于同一个平面的向量
三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb
【教用·微提醒】 向量p与a,b共面的充要条件是在向量a与b不共线的前提下才成立的,若a与b共线,则不成立.
[典例讲评] 【链接教材P5例1】
2.(1)已知P为空间内任意一点,A,B,C,D四点共面,且任意三点不共线,若=+x,则x=(  )
A.
C.
(2)已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,若点M满足=).
①判断三个向量是否共面;
②判断点M是否在平面ABC内.
(1)B [因为=+x,所以+x=1,故x=,故选B.]
(2)[解] ①因为=3,所以=()+(),即==-,所以共面.
②法一:由①知共面且过同一点M,所以M,A,B,C四点共面,从而点M在平面ABC内.
法二:因为=)==1,所以M,A,B,C四点共面,从而点M在平面ABC内.
【教材原题·P5例1】
例1 如图1.1-9,已知平行四边形ABCD,过平面AC外一点O作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,F,G,H,使====k.求证:E,F,G,H四点共面.
[分析] 欲证E,F,G,H四点共面,只需证明共面.而由已知共面,可以利用向量运算由共面的表达式推得共面的表达式.
[证明] 因为====k,所以
=k=k=k=k.
因为四边形ABCD是平行四边形,所以
=.
因此==k-k=k
=k()=k()
==.
由向量共面的充要条件可知,共面,又过同一点E,从而E,F,G,H四点共面.
 向量共面的判定及应用
(1)证明三个向量共面(或四点共面)时,可以通过以下条件进行证明.
①=x+y;
②对于空间任意一点O,=x+y+z(x+y+z=1).
(2)若已知点P在平面ABC内,则有=x+y或=x+y+z (x+y+z=1),然后利用指定向量表示出已知向量,用待定系数法求出参数.
[学以致用] 2.如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,点M,N分别在AC1和BC上,且满足=k=k(0≤k≤1).判断向量是否与向量共面.
[解] 连接AN(图略),因为==+k()=(1-k)+k,
=k=k(),
所以==(1-k)+k-k-k=(1-k)-k.
所以向量与向量共面.
【教用·备选题】 对于不共线的三点A,B,C和平面ABC外的一点O,空间一点P满足关系式=x+y+z,求证:点P在平面ABC内的充要条件是x+y+z=1.
[证明] ①充分性.
∵=x+y+z可变形为=(1-y-z)+y+z,
∴=y()+z(),
∴=y+z,
∴点P与A,B,C共面.
②必要性.
∵点P在平面ABC内,A,B,C三点不共线,
∴存在有序实数对(m,n),使=m+n,
=m()+n(),
∴=(1-m-n)+m+n,
∵=x+y+z,点O在平面ABC外,
∴不共面,
∴x=1-m-n,y=m,z=n,
∴x+y+z=1.
1.对于空间的任意三个向量a,b,2a-b,它们一定是(  )
A.共面向量
B.共线向量
C.不共面向量
D.既不共线也不共面的向量
A [由三个向量共面的充要条件可知,三个向量a,b,2a-b为共面向量.]
2.下列命题正确的是(  )
A.用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量,则这两个向量一定不共面
B.若存在实数x,y,使得=x+y不共线),则与共面
C.共面的三个向量的起点和终点一定共面
D.若向量a,b共线,且b与c共线,则a与c共线
B [空间中,用有向线段表示的向量仍然是自由向量,而任意两个向量总是共面向量,故A错误;
当与共线时,与共面,当与不共线时,由向量共面的充要条件,可知与共面,B正确;
若其中两个向量是平行向量,第三个向量与其中一个向量有相同的起点,则这三个向量一定是共面向量,但这三个向量的起点和终点却可以不共面,故C错误;
向量a,b共线,且b,c共线,但a与c不一定共线,因为b可以为零向量,故D错误.]
3.(教材P5例1改编)在下列条件中,一定能使空间中的四点M,A,B,C共面的是(  )
A.=2
B.=
C.+2=0
D.=0
C [根据共面向量定理,=x+y+z,
若A,B,C不共线,且A,B,C,M共面,则其充要条件是x+y+z=1,
由此得到选项A,B,D均不正确;
对于C,=-2,∴M,A,B,C四点共面.
故选C.]
4.若a与b不共线,而a+3b与λa-b共线,则实数λ=________.
- [∵a+3b与λa-b共线,∴存在实数k,使k(a+3b)=λa-b,
∴(k-λ)a+(3k+1)b=0.
又a,b不共线,∴k-λ=0且3k+1=0,∴λ=-.]
1.知识链:
2.方法链:类比、转化化归.
3.警示牌:向量共线与线段共线、点共线不同,不要混淆.
回顾本节知识,自主完成以下问题:
1.向量a与b共线,则一定存在λ使得a=λb成立吗?
[提示] 当b=0时,不一定存在λ值.
2.如何证明点P,A,B,C四点共面?
[提示] 可转化为证明向量共面.
课时分层作业(二) 共线向量与共面向量
一、选择题
1.已知非零空间向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是(  )
A.A,B,D B.A,B,C
C.B,C,D D.A,C,D
A [由题意可得==2a+4b,则=2,则A,B,D三点共线;==-4a+8b,不存在实数λ满足=λ,则A,B,C三点不共线;
不存在实数λ满足=λ,则B,C,D三点不共线;
不存在实数λ满足=λ,则A,C,D三点不共线.故选A.]
2.已知O为空间上任意一点,A,B,C,P满足任意三点不共线,但四点共面,且=m+2,则m的值为(  )
A.-1 B.-2
C.-3 D.1
B [法一:因为A,B,C,P满足任意三点不共线,但四点共面,所以存在x,y∈R,使得=x+y,
因为===,所以=x()+y(),即=(1-x-y)+x+y,
因为=m+2,
所以解得m=-2.
法二:根据四点共面的充要条件,若A,B,C,P四点共面,则=x+y+z(x+y+z=1),
则m+2+1=1,解得m=-2.故选B.]
3.(多选)下列说法错误的是(  )
A.若A,B,C,D是空间任意四点,则有=0
B.若a∥b,则存在唯一的实数λ,使得a=λb
C.若共线,则AB∥CD
D.对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C,若=x+y+z(其中x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面
BCD [对于A,==0,A正确;
对于B,当b=0,a≠0时,λ不存在,B错误;
对于C,若共线,则AB,CD可以在同一条直线上,C错误;
对于D,当x+y+z≠1时,P,A,B,C四点不共面,D错误.故选BCD.]
4.在下列条件中,使P与A,B,C一定共面的是(  )
A.=+2
B.=
C.=0
D.+2=0
C [根据空间向量共面定理,=x+y+z,若A,B,C不共线,且P,A,B,C共面,则其充要条件是x+y+z=1.
对于A选项,由于1-1+2=2≠1,所以不能得出P,A,B,C共面,故A错误;
对于B选项,由于≠1,所以不能得出P,A,B,C共面,故B错误;
对于C选项,由已知条件:=0,整理得=,则为共面向量,所以P,A,B,C共面,故C正确;
对于D选项,+2=0,整理得=--2,
由于-1-1-2=-4≠1,所以不能得出P,A,B,C共面,故D错误.
故选C.]
二、填空题
5.设e1,e2是空间中两个不共线的向量,已知=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,且A,B,D三点共线,则k的值为________.
-8 [因为=e1+3e2,=2e1-e2,所以==(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2.因为A,B,D三点共线,所以=λ,所以2e1+ke2=λ(e1-4e2)=λe1-4λe2.因为e1,e2是空间中两个不共线的向量,所以所以k=-8.]
6.在四面体OABC中,空间的一点M满足=+λ,若共面,则λ=________.
 [法一:由题意==-λ==--λ==-+(1-λ),因为共面,
所以存在唯一实数对(m,n),使得=m+n,
即-λ=m+n,
所以解得λ=.
法二:由共面得M,A,B,C四点共面,
则根据四点共面的充要条件可得,+λ=1,即λ=.]
7.给出下列四个命题:
①若存在实数x,y,使p=xa+yb,则p与a,b共面;
②若p与a,b共面,则存在实数x,y,使p=xa+yb;
③若存在实数x,y,使=x+y,则点P,M,A,B共面;
④若点P,M,A,B共面,则存在实数x,y,使=x+y.
其中 ________是真命题.(填序号)
①③ [①由共面向量定理知,若存在实数x,y,使p=xa+yb,则p与a,b共面,故正确;
②若a,b共线,且p不与a,b共线,则不存在实数x,y,使p=xa+yb,故错误;
③由共面向量定理知,若存在实数x,y,使=x+y,则点P,M,A,B共面,故正确;
④若共线,不与共线,则不存在实数x,y,使=x+y,故错误.]
三、解答题
8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在A1D1上,且=2,F在对角线A1C上,且=.若=a,=b,=c.
(1)用a,b,c表示;
(2)求证:E,F,B三点共线.
[解] (1)===a-c-b.
(2)证明:已知=a,=b,=c,
连接AC(图略).
∵=2=,∴==,
∴==b,
=)=)=a+b-c,
∴==a-b-c=,
又∵由(1)知=a-b-c,∴=,且有公共点E,
∴E,F,B三点共线.
9.(多选)下列命题正确的是(  )
A.若p=2x+3y,则p与x,y共面
B.若=2+3,则M,P,A,B共面
C.若=0,则A,B,C,D共面
D.若=,则P,A,B,C共面
ABD [选项A,根据共面向量定理可知,p与x,y共面,所以A选项是正确的;
选项B,根据共面向量定理可知,共面,由于它们有公共点M,
则M,P,A,B共面,所以B选项是正确的;
选项C,举反例说明,若是一个正方体同一个顶点O的三条棱所对应的向量,则它们的和向量是以O为起点的体对角线向量,而是该体对角线向量的相反向量,
此时显然四个点A,B,C,D不在同一个平面上,所以C选项是错误的;
选项D,由=,可得=1,所以P,A,B,C共面,即D选项是正确的.
故选ABD.]
10.(多选)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,P为空间一点,且满足=λ+μ,λ,μ∈[0,1],则(  )
A.当λ=1时,点P在棱BB1上
B.当μ=1时,点P在棱B1C1上
C.当λ+μ=1时,点P在线段B1C上
D.当λ=μ时,点P在线段BC1上
BCD [对于A:当λ=1时,=+μ,所以=μ,则∥,即点P在棱CC1上,故A错误;对于B:当μ=1时,=λ,则=λ,则∥,故点P在棱B1C1上,故B正确;对于C:当λ+μ=1时,可得μ=1-λ,所以=λ+(1-λ),即=λ,由于存在线性关系,即点P在线段B1C上,故C正确;对于D:当λ=μ时,=λ()=λ,由于存在线性关系,故点P在线段BC1上,故D正确.故选BCD.]
11.已知A,B,C三点共线,若对空间任一点O,存在三个不为0的实数λ,m,n,使λ+m+n=0,那么λ+m+n的值为________.
0 [由λ+m+n=0,
得=-.
由A,B,C三点共线知,
-=1,所以λ+m+n=0.]
12.如图所示,已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=BD,AN=AE.
求证:向量共面.
[证明] 因为点M在BD上,且BM=BD,
所以==.
同理,=.
所以====.
又与不共线,根据向量共面的充要条件可知共面.
13.如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形,E为棱AB的中点,==2,AC1与平面EFG交于点M,求.
[解] 由题图知,设=λ(0<λ<1),由已知,得==2+3,
所以=2λ+3λ.因为M,E,F,G四点共面,
所以2λ+3λ+=1,解得λ=.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第2课时 共线向量与共面向量
[学习目标] 
1.理解向量共线、向量共面的定义.(数学抽象)
2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件.(数学运算、逻辑推理)
3.会证明空间三点共线、四点共面.(逻辑推理)
探究1 空间向量共线的充要条件
问题1 平面向量共线的充要条件是什么?它适用于空间向量吗?
                                    
                                    
[新知生成]
1.空间向量共线的充要条件:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使______________.
2.方向向量:如图,O是直线l上一点,在直线l上取______________,则对于直线l上任意一点P,由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知,存在实数λ,使得=λa,把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量,直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示.
[典例讲评] 1.(1)已知A,B,C三点共线,O为直线外空间任意一点,若=m+n,则m+n=________.
(2)如图,四边形ABCD和ABEF都是平行四边形,且不共面,M,N分别是AC,BF的中点,判断与是否共线.
[尝试解答]                                     
                                    
                                    
                                    
                                    
 证明空间三点共线有哪些方法?
                                    
                                    
[学以致用] 1.如图,已知四边形ABCD是空间四边形,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边CB,CD上的点,且==.
求证:四边形EFGH是梯形.
                                    
                                    
                                    
                                    
探究2 空间向量共面的充要条件
问题2 空间任意两个向量是共面向量,则空间任意三个向量是否共面?
                                    
                                    
[新知生成]
1.向量与平面平行:如果表示向量a的有向线段所在的直线OA______________或______________,那么称向量a平行于平面α.
2.共面向量
定义 平行于同一个______________的向量
三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a,b共面的充要条件是存在______________的有序实数对(x,y),使p=xa+yb
[典例讲评] 【链接教材P5例1】
2.(1)已知P为空间内任意一点,A,B,C,D四点共面,且任意三点不共线,若=+x,则x=(  )
A.
C.
(2)已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,若点M满足=).
①判断三个向量是否共面;
②判断点M是否在平面ABC内.
[尝试解答]                                     
                                    
                                    
                                    
                                    
 向量共面的判定及应用
(1)证明三个向量共面(或四点共面)时,可以通过以下条件进行证明.
①=x+y;
②对于空间任意一点O,=x+y+z(x+y+z=1).
(2)若已知点P在平面ABC内,则有=x+y或=x+y+z (x+y+z=1),然后利用指定向量表示出已知向量,用待定系数法求出参数.
[学以致用] 2.如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,点M,N分别在AC1和BC上,且满足=k=k(0≤k≤1).判断向量是否与向量共面.
[尝试解答]                                     
                                    
                                    
                                    
                                    
1.对于空间的任意三个向量a,b,2a-b,它们一定是(  )
A.共面向量
B.共线向量
C.不共面向量
D.既不共线也不共面的向量
2.下列命题正确的是(  )
A.用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量,则这两个向量一定不共面
B.若存在实数x,y,使得=x+y不共线),则与共面
C.共面的三个向量的起点和终点一定共面
D.若向量a,b共线,且b与c共线,则a与c共线
3.(教材P5例1改编)在下列条件中,一定能使空间中的四点M,A,B,C共面的是(  )
A.=2
B.=
C.+2=0
D.=0
4.若a与b不共线,而a+3b与λa-b共线,则实数λ=________.
1.知识链:
2.方法链:类比、转化化归.
3.警示牌:向量共线与线段共线、点共线不同,不要混淆.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(二) 共线向量与共面向量
说明:单项选择题每题5分,多项选择题每题6分,填空题每题5分,本试卷共94分
一、选择题
1.已知非零空间向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是(  )
A.A,B,D B.A,B,C
C.B,C,D D.A,C,D
2.已知O为空间上任意一点,A,B,C,P满足任意三点不共线,但四点共面,且=m+2,则m的值为(  )
A.-1 B.-2
C.-3 D.1
3.(多选)下列说法错误的是(  )
A.若A,B,C,D是空间任意四点,则有=0
B.若a∥b,则存在唯一的实数λ,使得a=λb
C.若共线,则AB∥CD
D.对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C,若=x+y+z(其中x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面
4.在下列条件中,使P与A,B,C一定共面的是(  )
A.=+2
B.=
C.=0
D.+2=0
二、填空题
5.设e1,e2是空间中两个不共线的向量,已知=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,且A,B,D三点共线,则k的值为________.
6.在四面体OABC中,空间的一点M满足=+λ,若共面,则λ=________.
7.给出下列四个命题:
①若存在实数x,y,使p=xa+yb,则p与a,b共面;
②若p与a,b共面,则存在实数x,y,使p=xa+yb;
③若存在实数x,y,使=x+y,则点P,M,A,B共面;
④若点P,M,A,B共面,则存在实数x,y,使=x+y.
其中 ________是真命题.(填序号)
三、解答题
8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在A1D1上,且=2,F在对角线A1C上,且=.若=a,=b,=c.
(1)用a,b,c表示;
(2)求证:E,F,B三点共线.
9.(多选)下列命题正确的是(  )
A.若p=2x+3y,则p与x,y共面
B.若=2+3,则M,P,A,B共面
C.若=0,则A,B,C,D共面
D.若=,则P,A,B,C共面
10.(多选)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,P为空间一点,且满足=λ+μ,λ,μ∈[0,1],则(  )
A.当λ=1时,点P在棱BB1上
B.当μ=1时,点P在棱B1C1上
C.当λ+μ=1时,点P在线段B1C上
D.当λ=μ时,点P在线段BC1上
11.已知A,B,C三点共线,若对空间任一点O,存在三个不为0的实数λ,m,n,使λ+m+n=0,那么λ+m+n的值为________.
12.如图所示,已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=BD,AN=AE.
求证:向量共面.
13.如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形,E为棱AB的中点,==2,AC1与平面EFG交于点M,求.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)