课时分层作业(四) 空间向量基本定理
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共106分
一、选择题
1．(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，能构成空间的一个基底的一组向量为( )
A．
C．
2．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，O是BD1与B1D的交点，以{a，b，c}为空间的一个基底，则直线OA1的一个方向向量为( )
A．(－a－b＋c) B．(a＋b＋c)
C．a＋b＋c D．－a－b＋c
3．(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，BC的中点，G，H分别在线段CC1，A1D1上，且满足＝2＝2，设＝a，＝b，＝c，则下列结论正确的是( )
A．＝－a＋b＋c
B．＝a－b－c
C．＝a－b＋c
D．＝a＋b＋c
4．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB＝AC＝BC＝1，M是B1C1的中点，则AM＝( )
A．
C．
5．(多选)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等，则下列结论中正确的是( )
A．A1M∥D1P
B．A1M∥B1Q
C．A1M∥平面DCC1D1
D．A1M∥平面D1PQB1
二、填空题
6．已知三棱锥O-ABC，M，N分别是棱OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，设＝a，＝b，＝c，则＝________．(用基底{a，b，c}表示)
7．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若存在实数x，y，z，使向量＝x＋y＋z，则x＋2y＋3z＝________．
8．正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC，AB的中点，则异面直线DM与CN所成角的余弦值为________．
三、解答题
9．如图所示，在三棱锥O-ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA＝1，OB＝2，OC＝3，E，F，P分别为AC，BC，EF的中点，以方向上的单位向量为基底，求OP的长度．
10．(多选)下列关于空间向量的命题中，正确的有( )
A．若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则a∥b
B．若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则有a∥c
C．若{}是空间的一个基底，且＝，则A，B，C，D四点共面
D．若{a，b，c}是空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}也是空间的一个基底
11．(多选)在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2，则下列说法正确的是( )
A．EG⊥PG B．EG⊥BC
C．FG∥BC D．FG⊥EF
12．化学中，将构成粒子(原子、离子或分子)在空间按一定规律呈周期性重复排列构成的固体物质称为晶体．在结构化学中，可将晶体结构截分为一个个包含等同内容的基本单位，这个基本单位叫做晶胞．已知钙、钛、氧可以形成如图所示的立方体晶胞(其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在顶点位置，O原子位于棱的中点)．则图中原子连线BF与B1E所成角的余弦值为________．
13．棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与AB所成角的大小是________，线段EF的长度为________．
14．在四面体ABCD中，AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝2，AD＝3，E是BC的中点，F是AD上靠近点A的三等分点，设＝a，＝b，＝c．
(1)试用向量a，b，c表示向量；
(2)证明：FE⊥CD．
15．如图，在三棱锥P-ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM＝3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若＝m＝n＝t，求证：为定值，并求出该定值．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(四)
1．AC [画出正方体ABCD A1B1C1D1如图所示．
对于A，直线AB，AC所在的平面是ABCD，而AA1与平面ABCD相交，
所以不共面，故这组向量可以成为基底，故选项A正确；
对于B，，
所以这三个向量共面，这组向量不可以成为基底，故选项B错误；
对于C，直线AC1，BD1所在的平面是ABC1D1，而CB与平面ABC1D1相交，
所以不共面，这组向量可以成为基底，故选项C正确；
对于D，因为，所以共面，这组向量不可以成为基底，故选项D错误．
故选AC．]
2．A [由题意可知，O为平行六面体体对角线的交点，
＝a，＝b，＝c，则＝－a，＝－b，
故()＝(－a－b＋c)，
所以直线OA1的一个方向向量为(－a－b＋c)．
故选A．]
3．AD [对于A，c，故A正确；
对于B，a－b－c，故B错误；
对于C，c＝a－b＋c，故C错误；
对于D，a＋b＋c＋a＝a＋b＋c，故D正确．故选AD．]
4．C [如图所示，()＝，
故|，则AM＝．]
5．ACD [依题意可知PQ∥BD∥B1D1，所以P，Q，B1，D1四点共面．因为，所以，则A1M∥D1P，结合线面平行的判定定理可知A，C，D正确．而B1Q与D1P不平行，所以B不正确．故选ACD．]
6．c [∵MG＝2GN，∴，
又M，N分别是棱OA，BC的中点，＝a，＝b，＝c，
∴()＝××()＝c．]
7． [由题意知()
＝－，
又，∴x＝－，y＝，z＝1，
∴x＋2y＋3z＝－．]
8． [如图，画出对应的正四面体，设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}构成空间的一个基底．设正四面体ABCD的棱长均为1，因为＝－c＋(a＋b)＝(a＋b－2c)，(a－2b)，
又a·b＝a·c＝b·c＝，
设异面直线DM与CN所成的角为θ，
则cos θ＝＝
＝＝．]
9．解：令方向上的单位向量分别为i，j，k，则{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底．
因为()＋()＋()＋()＝k，
所以|，即OP的长度为．
10．ACD [对于选项A，由空间向量基本定理可知，若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则向量a与b一定共线，故选项A正确；
对于选项B，若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则向量a与c不能确定，可能平行，故选项B错误；
对于选项C，若{}是空间的一个基底，且，则由空间向量基本定理可得A，B，C，D四点共面，故选项C正确；
对于选项D，因为{a，b，c}是空间的一个基底，所以对于空间中的任意一个向量m，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得m＝xa＋yb＋zc＝(a＋b)＋(b＋c)＋(a＋c)，
由空间向量基本定理可知，向量{a＋b，b＋c，c＋a}也可以作为空间的一个基底，故选项D正确．故选ACD．]
11．ABD [如图，设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}是空间的一个正交基底，
则a·b＝a·c＝b·c＝0，取AB的中点H，则×(a＋b)＝a＋b，
()＝c＋b，
a＋b－b－c＝a－b－c，＝c－b，
a＋b－b＝a，
b－c－b，
∴·＝0，A正确；·＝0，B正确；≠λ(λ∈R)，C不正确；·＝0，D正确．故选ABD．]
12． [设该立方体的棱长为a，取{}为空间向量的一个基底，其中<>＝90°，<>＝90°，<>＝90°．
∵，
设BF与B1E所成的角为θ，
则cos θ＝|cos<＝
＝，即BF与B1E所成角的余弦值为．]
13．a [设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}是空间的一个基底，
∴|a|＝|b|＝|c|＝a，a·b＝a·c＝b·c＝a2．
∵(a＋b)－c，
∴·a2＋a·b－a·c＝a2，
|a，
∴cos<，
∴异面直线EF与AB所成的角为．]
14．解：(1)在四面体ABCD中，()－，即c．
(2)证明：＝c－b，
··(c－b)＝a·c＋b·c－c·c－a·b－b·b＋c·b＝0．
所以FE⊥CD．
15．解：连接AG并延长交BC于点H，连接DM(图略)．
由题意，可令{}为空间的一个基底，
()＝×
＝×()＋()＝．
∵点D，E，F，M共面，
∴存在实数λ，μ使得，
即＝λ()＋μ()，
∴＝(1－λ－μ)＝(1－λ－μ)m，
由空间向量基本定理，知＝(1－λ－μ)m，＝λn，＝μt，
∴＝4(1－λ－μ)＋4λ＋4μ＝4，为定值．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.2 空间向量基本定理
[学习目标]
1．了解空间向量基本定理及其意义．(数学抽象)
2．掌握空间向量的正交分解．(直观想象)
3．掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法．(逻辑推理、数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．类比平面向量，思考如何用不共面的三个向量表示空间中的任意向量？
问题2．空间向量分解式是唯一的吗？
问题3．类比平面向量，思考空间向量基本定理的应用．
探究1 空间向量基本定理
问题1 如图，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O．对于任意一个空间向量p＝，p能否用i，j，k表示呢？
[提示] 如图，设为在i，j所确定的平面上的投影向量，则＝．又向量，k共线，因此存在唯一的实数z，使得＝zk，从而＝＋zk．在i，j确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xi＋yj．从而＝＋zk＝xi＋yj＋zk．
问题2 你能证明x，y，z的唯一性吗？
[提示] 假设除(x，y，z)外，还存在有序实数组(x′，y′，z′)，使得p＝x′i＋y′j＋z′k，则x′i＋y′j＋z′k＝xi＋yj＋zk．
不妨设x′≠x，则(x′－x)i＝(y－y′)j＋(z－z′)k．
两边同除以(x′－x)，得i＝j＋k．
由向量共面的充要条件可知，i，j，k共面，这与已知矛盾．所以有序实数组(x，y，z)是唯一的．
[新知生成]
1．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．
2．基底：把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
3．空间向量的正交分解
(1)单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．
(2)向量的正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使得a＝xi＋yj＋zk．像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
【教用·微提醒】 (1)基底中不能有零向量．
(2)空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
(3)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示．
[典例讲评] 1．{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{}能否作为空间的一个基底．
[解] 假设共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使＝x＋y成立，
∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)，
即e1＋2e2－e3＝(y－3x)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3，
∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，∴e1，e2，e3不共面．
∴此方程组无解．
即不存在实数x，y使得＝x＋y，
所以不共面．
所以{}能作为空间的一个基底．
基底的判断思路
(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为空间的一个基底．
(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．
[学以致用] 1．若{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是( )
A．b＋2c，b，b－2c B．a，a＋2b，a－2b
C．a＋b，a－b，c D．a＋b，a＋b＋c，c
C [对于A，b＝(b＋2c)＋(b－2c)，三个向量不能构成基底，故A错误；
对于B，a＝(a＋2b)＋(a－2b)，三个向量不能构成基底，故B错误；
对于C，a＋b，a－b，c，三个向量不能互相表示，能构成空间的一个基底，故C正确；
对于D，a＋b＋c＝c＋(a＋b)，三个向量不能构成基底，故D错误．故选C．]
探究2 用基底表示空间向量
[典例讲评] 2．(源自北师大版教材)如图所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，点M是 A′B′C′D′的对角线的交点，点N是棱BC的中点．如果＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示．
[解] 因为点M为 A′B′C′D′的对角线的交点，
所以＝－＝－)＝－(b＋a)．
又＝－c，＝a，＝＝b，
所以＝＝－(b＋a)－c＋a＋b＝a－c．
[母题探究] 若把本例中“＝a”改为“＝a”，其他条件不变，则结果是什么？
[解] 因为点M为 A′B′C′D′的对角线的交点，
所以＝＝－c＋a，
所以＝(a－c)．
又＝b，所以＝－b，
所以＝＝(a－c)－c－b＝a－b－c．
【教材原题·P12例1】
例1 如图1.2-2，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN＝ON，AP＝AN，用向量表示．
[分析] 是三个不共面的向量，它们构成空间的一个基底{}，可以用基底{}表示出来．
[解] ＝＝＝)
＝＝
＝．
用基底表示向量时应注意的两点
(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．
(2)若没给定基底，首先选择基底，选择时要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是保证基向量的模及其夹角已知或易求．
[学以致用] 2．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点M为棱AB的中点，点N为上底面A1B1C1的中心，用空间的一个基底{}表示，则( )
A．＝
B．＝－
C．＝－
D．＝
B [已知在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点M为棱AB的中点，点N为上底面A1B1C1的中心，取下底面ABC的中心Q，连接NQ，CM(图略)，则＝－，∴＝＝－＝－)＋＝－．
故选B．]
探究3 空间向量基本定理的初步应用
[典例讲评] 【链接教材P13例2、例3】
3．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝CD．
(1)证明：EF⊥B1C；
(2)求EF与C1G所成角的余弦值．
[解] (1)证明：设＝i，＝j，＝k，则{i，j，k}构成空间的一个正交基底．
∴＝＝－k＋)＝i＋j－k，＝＝－k－i，
∴＝·(－k－i)
＝－|i|2＋|k|2＝0，∴⊥，
即EF⊥B1C．
(2)∵＝i＋j－k，＝＝－k－j，
∴||2＝＝|i|2＋|j|2＋|k|2＝3，即||＝，
||2＝＝|k|2＋|j|2＝4＋＝，即||＝，
∴cos 〈〉＝＝＝＝．
即EF与C1G所成角的余弦值为．
[母题探究] 若本例条件不变，M为A1B的中点，证明：MF∥B1C．
[证明] 设＝i，＝j，＝k，
则＝＝－k－i，
＝＝)－)＝
＝
＝－i－k＝(－i－k)＝，所以∥，又MF，B1C无公共点，所以MF∥B1C．
【教材原题·P13例2、例3】
例2 如图1.2-3，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分别为D1C1，C1B1的中点．求证MN⊥AC1．
图1.2-3
[分析] 要证MN⊥AC1，只需证明＝0．由已知，{}可构成空间的一个基底．把和分别用基底表示，然后计算即可．
[证明] 设＝a，＝b，＝c，这三个向量不共面，{a，b，c}构成空间的一个基底，我们用它们表示，则＝＝a－b，
＝＝a＋b＋c，
所以＝·(a＋b＋c)
＝a·a＋a·b＋a·c－b·a－b·b－b·c
＝×42＋×42×cos 60°＋×4×5×cos 60°－×42×cos 60°－×42－×4×5×cos 60°＝0．
所以MN⊥AC1．
例3 如图1.2-4，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，E，F，G分别为C′D′，A′D′，D′D的中点．
图1.2-4
(1)求证：EF∥AC；
(2)求CE与AG所成角的余弦值．
[分析] (1)要证明EF∥AC，只需证明与共线．设＝i，＝j，＝k，则{i，j，k}构成空间的一个单位正交基底，把和分别用基向量表示，作相应的运算证明它们共线即可．(2)要求CE与AG所成角的余弦值，只需求所成角的余弦值即可．
[解] (1)证明：设＝i，＝j，＝k，则{i，j，k}构成空间的一个单位正交基底．所以
＝＝i－j＝(i－j)，＝＝i－j．
所以＝．所以EF∥AC．
(2)因为＝＝－j＋k，
＝＝－i＋k，
所以cos 〈〉＝＝＝．
所以CE与AG所成角的余弦值为．
(1)证明平行、共面问题的思路
①利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行．
②利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行．
(2)求夹角、证明线线垂直的方法
利用数量积定义可得cos 〈a，b〉＝，求〈a，b〉的大小，进而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况．
[学以致用] 3．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝，AA1＝1，则cos 〈〉＝________ ．
[由题意知，AB1＝，B1C1＝，AC1＝．
＝＝ ＋＝＋0＝1，
所以cos 〈〉＝＝＝．]
4．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，若E，F分别为PC，BD的中点，用向量方法证明：
(1)EF∥平面PAD；
(2)EF⊥平面PCD．
[证明] (1)连接PF(图略)，则＝＝－＝)＝＝，所以向量共面，又EF 平面PAD，DA，PD 平面PAD，所以EF∥平面PAD．
(2)因为底面ABCD是正方形，所以CD⊥AD，又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，CD 平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，又PA 平面PAD，所以CD⊥PA．
因为PA＝PD＝AD，所以PA⊥PD，所以＝)·＝＝0，＝)·＝＝0，所以EF⊥PD，EF⊥CD，又EF 平面PCD，PD，CD 平面PCD，PD∩CD＝D，所以EF⊥平面PCD．
【教用·备选题】 如图，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．
(1)求证：CE⊥A′D；
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．
[解] (1)证明：设＝a，＝b，＝c，根据题意，得|a|＝|b|＝|c|，a·b＝b·c＝c·a＝0．
易知＝b＋c，＝－c＋b－a．
∴＝－c2＋b2＝0．
∴⊥，
即CE⊥A′D．
(2)∵＝－a＋c，∴||＝|a|．
又＝b＋c，∴||＝|a|．
∵＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，
∴cos 〈〉＝＝．
即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为．
1．若p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [空间不共面的三个向量可以作为空间的一个基底，若a，b，c是三个共面的非零向量，则{a，b，c}不能作为空间的一个基底；但若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c不共面，且a，b，c是三个非零向量，所以p是q的必要不充分条件．故选B．]
2．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，且EC＝2PE，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝( )
A．
C．1 D．
D [因为EC＝2PE，所以＝，所以＝＝＝)＝＝)＝，又因为＝x＋y＋z，
所以则x＋y＋z＝．故选D．]
3．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
A．
C．
C [设＝a，＝b，＝c，以{a，b，c}为基底，则＝＝－a＋c，＝＝a＋b＋c．
又||＝2，||＝，
所以cos 〈〉＝＝＝＝．
即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为．]
4．(教材P15习题1.2T7(2)改编)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，＝，点N为B1B的中点，则||＝________．
a [∵＝＝＝)＝，
∴||＝＝＝a．]
1．知识链：
2．方法链：转化化归、数形结合、类比．
3．警示牌：(1)基向量理解错误，不要忽视基向量的条件．
(2)利用基向量表示向量时，没有转化目标．
(3)向量夹角和线线角的范围不同，不要混淆．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c满足什么条件？
[提示] a，b，c不共面．
2．叙述空间向量基本定理的内容．
[提示] 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．
3．如何证明两种位置关系(垂直与平行)
[提示] (1)要证两直线垂直，由数量积的性质a⊥b a·b＝0，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可．
(2)要证两直线平行，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量满足a＝λb即可．
课时分层作业(四) 空间向量基本定理
一、选择题
1．(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，能构成空间的一个基底的一组向量为( )
A．
C．
AC [画出正方体ABCD-A1B1C1D1如图所示．
对于A，直线AB，AC所在的平面是ABCD，而AA1与平面ABCD相交，
所以不共面，故这组向量可以成为基底，故选项A正确；
对于B，满足＝，
所以这三个向量共面，这组向量不可以成为基底，故选项B错误；
对于C，直线AC1，BD1所在的平面是ABC1D1，而CB与平面ABC1D1相交，
所以不共面，这组向量可以成为基底，故选项C正确；
对于D，因为＝＝，所以共面，这组向量不可以成为基底，故选项D错误．故选AC．]
2．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，O是BD1与B1D的交点，以{a，b，c}为空间的一个基底，则直线OA1的一个方向向量为( )
A．(－a－b＋c) B．(a＋b＋c)
C．a＋b＋c D．－a－b＋c
A [由题意可知，O为平行六面体体对角线的交点，
＝a，＝b，＝c，
则＝－a，＝－＝－b，
故＝＝)＝(－a－b＋c)，
所以直线OA1的一个方向向量为(－a－b＋c)．
故选A．]
3．(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，BC的中点，G，H分别在线段CC1，A1D1上，且满足＝2＝2，设＝a，＝b，＝c，则下列结论正确的是( )
A．＝－a＋b＋c
B．＝a－b－c
C．＝a－b＋c
D．＝a＋b＋c
AD [对于A，＝＝－＝－＝－a＋b＋c，故A正确；
对于B，＝＝＝＝a－b－c，故B错误；
对于C，＝＝－＝－a＋c＝a－b＋c，故C错误；
对于D，＝＝－＝－a＋b＋c＋a＝a＋b＋c，故D正确．故选AD．]
4．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB＝AC＝BC＝1，M是B1C1的中点，则AM＝( )
A．
C．
C [如图所示，＝＝)＝，
故||2＝＝，则AM＝．]
5．(多选)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等，则下列结论中正确的是( )
A．A1M∥D1P
B．A1M∥B1Q
C．A1M∥平面DCC1D1
D．A1M∥平面D1PQB1
ACD [依题意可知PQ∥BD∥B1D1，所以P，Q，B1，D1四点共面．因为＝＝＝＝，所以＝，则A1M∥D1P，结合线面平行的判定定理可知A，C，D正确．而B1Q与D1P不平行，所以B不正确．故选ACD．]
二、填空题
6．已知三棱锥O-ABC，M，N分别是棱OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，设＝a，＝b，＝c，则＝________．(用基底{a，b，c}表示)
a＋b＋c [∵MG＝2GN，∴＝，
又M，N分别是棱OA，BC的中点，＝a，＝b，＝c，∴＝＝＝)＝＝)＝＝a＋b＋c．]
7．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若存在实数x，y，z，使向量＝x＋y＋z，则x＋2y＋3z＝________．
[由题意知＝＝)＝－，
又＝x＋y＋z，∴x＝－，y＝，z＝1，∴x＋2y＋3z＝－＋1＋3＝．]
8．正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC，AB的中点，则异面直线DM与CN所成角的余弦值为________．
[如图，画出对应的正四面体，设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}构成空间的一个基底．设正四面体ABCD的棱长均为1，因为＝＝－c＋(a＋b)＝(a＋b－2c)，＝＝a－b＝(a－2b)，
又a·b＝a·c＝b·c＝，
设异面直线DM与CN所成的角为θ，
则cos θ＝＝
＝＝＝．]
三、解答题
9．如图所示，在三棱锥O-ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA＝1，OB＝2，OC＝3，E，F，P分别为AC，BC，EF的中点，以方向上的单位向量为基底，求OP的长度．
[解] 令方向上的单位向量分别为i，j，k，则{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底．
因为＝＝)＋＝)＋＝)＋)＝＝i＋j＋k，
所以||＝＝＝，即OP的长度为．
10．(多选)下列关于空间向量的命题中，正确的有( )
A．若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则a∥b
B．若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则有a∥c
C．若{}是空间的一个基底，且＝，则A，B，C，D四点共面
D．若{a，b，c}是空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}也是空间的一个基底
ACD [对于选项A，由空间向量基本定理可知，若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则向量a与b一定共线，故选项A正确；
对于选项B，若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则向量a与c不能确定，可能平行，故选项B错误；
对于选项C，若{}是空间的一个基底，且＝，则由空间向量基本定理可得A，B，C，D四点共面，故选项C正确；
对于选项D，因为{a，b，c}是空间的一个基底，所以对于空间中的任意一个向量m，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得m＝xa＋yb＋zc＝(a＋b)＋(b＋c)＋(a＋c)，
由空间向量基本定理可知，向量{a＋b，b＋c，c＋a}也可以作为空间的一个基底，故选项D正确．故选ACD．]
11．(多选)在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2，则下列说法正确的是( )
A．EG⊥PG B．EG⊥BC
C．FG∥BC D．FG⊥EF
ABD [如图，设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}是空间的一个正交基底，
则a·b＝a·c＝b·c＝0，取AB的中点H，则＝＝(a＋b)＝a＋b，
＝＝＝)＝c＋b，
＝＝a＋b－b－c＝a－b－c，＝c－b，
＝＝a＋b－b＝a，
＝＝b－＝－c－b，
∴＝0，A正确；＝0，B正确；≠λ(λ∈R)，C不正确；＝0，D正确．故选ABD．]
12．化学中，将构成粒子(原子、离子或分子)在空间按一定规律呈周期性重复排列构成的固体物质称为晶体．在结构化学中，可将晶体结构截分为一个个包含等同内容的基本单位，这个基本单位叫做晶胞．已知钙、钛、氧可以形成如图所示的立方体晶胞(其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在顶点位置，O原子位于棱的中点)．则图中原子连线BF与B1E所成角的余弦值为________．
[设该立方体的棱长为a，取{}为空间向量的一个基底，其中〈〉＝90°，〈〉＝90°，〈〉＝90°．
∵＝＝＝＝＝，
设BF与B1E所成的角为θ，
则cos θ＝|cos 〈〉|＝＝
＝＝，即BF与B1E所成角的余弦值为．]
13．棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与AB所成角的大小是________，线段EF的长度为________．
a [设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}是空间的一个基底，
∴|a|＝|b|＝|c|＝a，a·b＝a·c＝b·c＝a2．
∵＝＝(a＋b)－c，
∴＝a2＋a·b－a·c＝a2，
||＝＝a，
∴cos 〈〉＝＝＝，
∴异面直线EF与AB所成的角为．]
14．在四面体ABCD中，AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝2，AD＝3，E是BC的中点，F是AD上靠近点A的三等分点，设＝a，＝b，＝c．
(1)试用向量a，b，c表示向量；
(2)证明：FE⊥CD．
[解] (1)在四面体ABCD中，＝＝－，即＝a＋b－c．
(2)证明：＝＝c－b，
＝·(c－b)＝a·c＋b·c－c·c－a·b－b·b＋c·b＝0．
所以FE⊥CD．
15．如图，在三棱锥P-ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM＝3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若＝m＝n＝t，求证：为定值，并求出该定值．
[解] 连接AG并延长交BC于点H，连接DM(图略)．
由题意，可令{}为空间的一个基底，
＝＝)＝
＝＝)＋)＝．
∵点D，E，F，M共面，
∴存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，
即＝λ()＋μ()，
∴＝(1－λ－μ)＋λ＋μ
＝(1－λ－μ)m＋λn＋μt，
由空间向量基本定理，知＝(1－λ－μ)m，＝λn，＝μt，
∴＝4(1－λ－μ)＋4λ＋4μ＝4，为定值．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.2 空间向量基本定理
[学习目标]
1．了解空间向量基本定理及其意义．(数学抽象)
2．掌握空间向量的正交分解．(直观想象)
3．掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法．(逻辑推理、数学运算)
探究1 空间向量基本定理
问题1 如图，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O．对于任意一个空间向量p＝，p能否用i，j，k表示呢？
问题2 你能证明x，y，z的唯一性吗？
[新知生成]
1．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝______________．
2．基底：把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
3．空间向量的正交分解
(1)单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量______________，且长度都为______________，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．
(2)向量的正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使得a＝xi＋yj＋zk．像这样，把一个空间向量分解为三个______________的向量，叫做把空间向量进行______________．
[典例讲评] 1．{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{}能否作为空间的一个基底．
[尝试解答]
基底的判断思路
(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为空间的一个基底．
(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．
[学以致用] 1．若{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是( )
A．b＋2c，b，b－2c B．a，a＋2b，a－2b
C．a＋b，a－b，c D．a＋b，a＋b＋c，c
探究2 用基底表示空间向量
[典例讲评] 2．(源自北师大版教材)如图所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，点M是 A′B′C′D′的对角线的交点，点N是棱BC的中点．如果＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示．
[尝试解答]
[母题探究] 若把本例中“＝a”改为“＝a”，其他条件不变，则结果是什么？
用基底表示向量时应注意的两点
(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．
(2)若没给定基底，首先选择基底，选择时要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是保证基向量的模及其夹角已知或易求．
[学以致用] 2．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点M为棱AB的中点，点N为上底面A1B1C1的中心，用空间的一个基底{}表示，则( )
A．＝
B．＝－
C．＝－
D．＝
探究3 空间向量基本定理的初步应用
[典例讲评] 【链接教材P13例2、例3】
3．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝CD．
(1)证明：EF⊥B1C；
[尝试解答]
(2)求EF与C1G所成角的余弦值．
[尝试解答]
[母题探究] 若本例条件不变，M为A1B的中点，证明：MF∥B1C．
(1)证明平行、共面问题的思路
①利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行．
②利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行．
(2)求夹角、证明线线垂直的方法
利用数量积定义可得cos 〈a，b〉＝，求〈a，b〉的大小，进而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况．
[学以致用] 3．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝，AA1＝1，则cos 〈〉＝________ ．
4．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，若E，F分别为PC，BD的中点，用向量方法证明：
(1)EF∥平面PAD；
(2)EF⊥平面PCD．
1．若p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，且EC＝2PE，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝( )
A．
C．1 D．
3．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
A．
C．
4．(教材P15习题1.2T7(2)改编)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，＝，点N为B1B的中点，则||＝________．
1．知识链：
2．方法链：转化化归、数形结合、类比．
3．警示牌：(1)基向量理解错误，不要忽视基向量的条件．
(2)利用基向量表示向量时，没有转化目标．
(3)向量夹角和线线角的范围不同，不要混淆．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共84张PPT)
第一章
空间向量与立体几何
1.2 空间向量基本定理
[学习目标]
1．了解空间向量基本定理及其意义．(数学抽象)
2．掌握空间向量的正交分解．(直观想象)
3．掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法．(逻辑推理、数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．类比平面向量，思考如何用不共面的三个向量表示空间中的任意向量？
问题2．空间向量分解式是唯一的吗？
问题3．类比平面向量，思考空间向量基本定理的应用．
探究建构 关键能力达成
问题2 你能证明x，y，z的唯一性吗？
[新知生成]
1．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝_______________．
2．基底：把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
xa＋yb＋zc
3．空间向量的正交分解
(1)单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量________，且长度都为__，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．
(2)向量的正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使得a＝xi＋yj＋zk．像这样，把一个空间向量分解为三个________的向量，叫做把空间向量进行________．
两两垂直
1
两两垂直
正交分解
【教用·微提醒】 (1)基底中不能有零向量．
(2)空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
(3)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示．
反思领悟 基底的判断思路
(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为空间的一个基底．
(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．
[学以致用] 1．若{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是( )
A．b＋2c，b，b－2c B．a，a＋2b，a－2b
C．a＋b，a－b，c D．a＋b，a＋b＋c，c
√
反思领悟 用基底表示向量时应注意的两点
(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．
(2)若没给定基底，首先选择基底，选择时要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是保证基向量的模及其夹角已知或易求．
√
[母题探究] 若本例条件不变，M为A1B的中点，证明：MF∥B1C．
【教材原题·P13例2、例3】
例2 如图1.2-3，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分别为D1C1，C1B1的中点．求证MN⊥AC1．
图1.2-3
例3 如图1.2-4，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，E，F，G分别为C′D′，A′D′，D′D的中点．
(1)求证：EF∥AC；
(2)求CE与AG所成角的余弦值．
图1.2-4
【教用·备选题】 如图，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．
(1)求证：CE⊥A′D；
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．
应用迁移 随堂评估自测
1．若p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
√
B [空间不共面的三个向量可以作为空间的一个基底，若a，b，c是三个共面的非零向量，则{a，b，c}不能作为空间的一个基底；但若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c不共面，且a，b，c是三个非零向量，所以p是q的必要不充分条件．故选B．]
√
√
1．知识链：
2．方法链：转化化归、数形结合、类比．
3．警示牌：(1)基向量理解错误，不要忽视基向量的条件．
(2)利用基向量表示向量时，没有转化目标．
(3)向量夹角和线线角的范围不同，不要混淆．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c满足什么条件？
[提示] a，b，c不共面．
2．叙述空间向量基本定理的内容．
[提示] 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．
3．如何证明两种位置关系(垂直与平行)
[提示] (1)要证两直线垂直，由数量积的性质a⊥b a·b＝0，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可．
(2)要证两直线平行，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量满足a＝λb即可．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
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课时分层作业(四) 空间向量基本定理
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5．(多选)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等，则下列结论中正确的是( )
A．A1M∥D1P
B．A1M∥B1Q
C．A1M∥平面DCC1D1
D．A1M∥平面D1PQB1
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8．正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC，AB的中点，则异面直线DM与CN所成角的余弦值为________．
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11．(多选)在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2，则下列说法正确的是( )
A．EG⊥PG B．EG⊥BC
C．FG∥BC D．FG⊥EF
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12．化学中，将构成粒子(原子、离子或分子)在空间按一定规律呈周期性重复排列构成的固体物质称为晶体．在结构化学中，可将晶体结构截分为一个个包含等同内容的基本单位，这个基本单位叫做晶胞．已知钙、钛、氧可以形成如图所示的立方体晶胞(其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在顶点位置，O原子位于棱的中点)．则图中原子连线BF与B1E所成角的余弦值为________．
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13．棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与AB所成角的大小是________，线段EF的长度为________．
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