课时分层作业(七) 空间中点、直线和平面的向量表示
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共87分
一、选择题
1．设空间四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则( )
A．点P一定在直线AB上
B．点P一定不在直线AB上
C．点P不一定在直线AB上
D．以上都不对
2．在空间直角坐标系Oxyz中，已知平面α＝{P|n·＝0}，其中点P0(1，2，3)，法向量n＝(1，1，1)，则下列各点中不在平面α内的是( )
A．(3，2，1) B．(－2，5，4)
C．(－3，4，5) D．(2，－4，8)
3．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，以D为原点，{}为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面A1BC1的一个法向量是( )
A．(1，1，1) B．(－1，1，1)
C．(1，－1，1) D．(1，1，－1)
4．阅读下面材料，在空间直角坐标系Oxyz中，过点P(x0，y0，z0)且一个法向量为m＝(a，b，c)的平面α的方程为a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0，过点P(x0，y0，z0)且方向向量为n＝(u，v，w)(uvw≠0)的直线l的方程为＝＝．根据上述材料，解决下面问题：直线l是两个平面x－2y＋2＝0与2x－z＋1＝0的交线，则l的一个方向向量是( )
A．(2，1，4) B．(1，3，5)
C．(1，－2，0) D．(2，0，－1)
5．(多选)已知平面α内有一点M(1，－1，1)，平面α的一个法向量为n＝(4，－1，0)，则下列点中不在平面α内的是( )
A．A(2，3，2) B．B(－2，0，1)
C．C(－4，4，0) D．D(3，－3，4)
二、填空题
6．已知直线l的一个方向向量为(－5，3，2)，另一个方向向量为(x，y，8)，则x＝________，y＝________．
7．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体．
①直线CC1的一个方向向量为(0，0，1)；
②直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)；
③平面B1C1CB的一个法向量为(－1，0，0)；
④平面B1CD的一个法向量为(1，1，1)．
则上述结论正确的是 ________．(填序号)
8．平面α上三个点A(0，0，0)，B(1，0，－1)，C(－1，2，0)，写出平面α的一个法向量为 ________．
三、解答题
9．已知A(2，2，2)，B(2，0，0)，C(0，2，－2)．
(1)写出直线BC的一个方向向量；
(2)设平面α经过点A，且是平面α的法向量，M(x，y，z)是平面α内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式．
10．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的一个法向量的是( )
A．(1，－2，4) B．(－4，1，－2)
C．(2，－2，1) D．(1，2，－2)
11．已知空间三点坐标分别为A(1，1，1)，B(0，3，0)，C(－2，－1，4)，点P(－3，x，3)在平面ABC内，则实数x的值为( )
A．1 B．－2
C．0 D．－1
12．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E是上底面正方形A1B1C1D1的中心，点F是正方体棱上的点，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，若平面BEF的一个法向量为n＝(8，2，3)，则点F所在的棱可以是( )
A．AD B．CD
C．CC1 D．DD1
13．在空间直角坐标系Oxyz中，经过点P(x0，y0，z0)且法向量为m＝(A，B，C)的平面方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0．若平面α的方程为x＋2y＋z－1＝0，则平面α的一个法向量为________．
14．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，点E在棱AB上移动．
(1)证明：D1E⊥A1D；
(2)求平面ACD1的法向量．
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1．A [由m＋n＝1得m＝1－n，结合题意知＝(1－n)＋n()＝，
由此可知，A，P，B三点共线．故选A．]
2．B [对于B，若点P(－2，5，4)，则＝(－3，3，1)，则n·＝－3＋3＋1＝1≠0，所以点(－2，5，4)不在平面α内．其余选项可逐一验证．故选B．]
3．A [如图，由题可得，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，
则＝(0，1，－1)，＝(－1，0，1)，
设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则取z＝1，则x＝1，y＝1，
所以平面A1BC1的一个法向量为n＝(1，1，1)．
故选A．]
4．A [设直线l的一个方向向量为n0＝(x，y，z)，
平面x－2y＋2＝0与2x－z＋1＝0的一个法向量分别为m1＝(1，－2，0)和m2＝(2，0，－1)，
则
不妨取x＝2，则n0＝(2，1，4)．故选A．]
5．BCD [对于A，＝(－1，－4，－1)，n·＝4×(－1)＋(－1)×(－4)＋0＝0，所以n⊥，又因为M∈平面α，所以A∈平面α；对于B，＝(3，－1，0)，n·＝4×3＋(－1)×(－1)＋0＝13，所以n与不垂直，又因为M∈平面α，所以B 平面α；对于C，＝(5，－5，1)，n·＝4×5＋(－1)×(－5)＋0＝25，所以n与不垂直，又因为M∈平面α，所以C 平面α；对于D，＝(－2，2，－3)，n·＝4×(－2)＋(－1)×2＋0＝－10，所以n与不垂直，又因为M∈平面α，所以D 平面α．故选BCD．]
6．－20 12 [∵直线的方向向量平行，∴，∴x＝－20，y＝12．]
7．①②③ [根据题意，不妨设正方体的棱长为1，
则C(1，1，0)，C1(1，1，1)，B(1，0，0)，
对于①，＝(0，0，1)，则直线CC1的一个方向向量为(0，0，1)，正确；
对于②，＝(0，1，1)，则直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)，正确；
对于③，因AB⊥平面B1C1CB，而＝(1，0，0)，
故 (－1，0，0)可作为平面B1C1CB的一个法向量，即③正确；
对于④，在正方体ABCD A1B1C1D1中，因为CD⊥平面B1C1CB，BC1 平面B1C1CB，
则BC1⊥CD，易得BC1⊥B1C，又CD∩B1C＝C，且CD，B1C 平面B1CD，故BC1⊥平面B1CD，
而＝(0，1，1)，即可作为平面B1CD的一个法向量，故④错误．
故答案为①②③．]
8．(2，1，2)(答案不唯一) [根据题意，设平面α的法向量为m＝(x，y，z)，
由于A(0，0，0)，B(1，0，－1)，C(－1，2，0)，则＝(1，0，－1)，＝(－1，2，0)，
则有令x＝2，可得y＝1，z＝2，
故m＝(2，1，2)．
故平面α的一个法向量为(2，1，2)．
故答案为(2，1，2)(答案不唯一)．]
9．解：(1)∵B(2，0，0)，C(0，2，－2)，
∴＝(－2，2，－2)，即(－2，2，－2)为直线BC的一个方向向量．(答案不唯一)
(2)由题意得＝(x－2，y－2，z－2)，
∵⊥平面α，AM α，
∴⊥，则·＝0，
∴(－2，2，－2)·(x－2，y－2，z－2)＝0，
∴－2(x－2)＋2(y－2)－2(z－2)＝0，
化简得x－y＋z－2＝0．
10．B [设AB＝2，由题意知A(2，0，0)，E(2，2，1)，F(1，0，2)，＝(0，2，1)，＝(－1，0，2)．
设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则取y＝1，得n＝(－4，1，－2)．故选B．]
11．A [＝(1，－2，1)，＝(－2，－4，4)，＝(－3，x－3，3)，设平面ABC的法向量为n＝(a，b，c)，则
即
①＋②得－4b＋3c＝0，
令c＝4，则b＝3，a＝2，∴n＝(2，3，4)．
∵n⊥，∴n·＝0，即－3×2＋3(x－3)＋3×4＝0，
∴x＝1．]
12．B [由题可得，B(2，0，0)，E(1，1，2)，设F(x，y，z)，0≤x，y，z≤2，
所以＝(－1，1，2)，＝(x－2，y，z)．
因为平面BEF的一个法向量为n＝(8，2，3)，
所以即8x＋2y＋3z－16＝0，
若F在AD上，则x＝0，z＝0，y＝8，不符合题意，故F不在AD上；
若F在CD上，则x＝，y＝2，z＝0，符合题意，故F在CD上；
若F在CC1上，则x＝2，y＝2，z＝－，不符合题意，故F不在CC1上；
若F在DD1上，则x＝0，y＝2，z＝4，不符合题意，故F不在DD1上．故选B．]
13．(1，2，1)(答案不唯一) [根据题意，平面α的方程为x＋2y＋z－1＝0，即1(x－0)＋2(y－0)＋1(z－1)＝0，
则平面α的一个法向量为(1，2，1)．]
14．解：(1)证明：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，设E(1，t，0)，0≤t≤3，
所以·＝(1，t，－1)·(1，0，1)＝1－1＝0，
所以⊥，
所以D1E⊥A1D．
(2)A(1，0，0)，C(0，3，0)，D1(0，0，1)，＝(－1，3，0)，＝(0，－3，1)，设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，
则取y＝1，则n＝(3，1，3)．
所以平面ACD1的一个法向量为n＝(3，1，3)．(答案不唯一)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示
[学习目标]
1．能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量．(数学抽象)
2．会求一个平面的法向量．(数学运算、逻辑推理)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．空间点的位置向量、直线的方向向量、平面的法向量是如何定义的？
问题2．空间一条直线的方向向量唯一吗？它们有什么共同特征？
探究1 空间中点和直线的向量表示
问题1 在空间中，如何确定一条直线？
[提示] 两点可以确定一条直线；直线上的一点及这条直线的方向也可以确定一条直线．
[新知生成]
1．点的位置向量
在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量．
2．空间直线的向量表示式
设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上任意一点，
(1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝t．
(2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，即＝＋t．
(3)性质：空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定．
【教用·微提醒】 (1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合．
(2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个．
[典例讲评] 1．(源自湘教版教材)如图所示，已知长方体ABCD-A′B′C′D′的棱长AB＝2，AD＝4，AA′＝3．以点D为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量：
(1)AA′；(2)BD′．
[解] 由已知可得，长方体顶点A，B，A′，D′的坐标分别为A(4，0，0)，B(4，2，0)，A′(4，0，3)，D′(0，0，3)．
(1)因为向量＝(0，0，3)，所以直线AA′的一个方向向量为(0，0，3)．(答案不唯一)
(2)因为向量＝(－4，－2，3)，所以直线BD′的一个方向向量为(－4，－2，3)．(答案不唯一)
理解直线方向向量的概念
(1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．
(2)直线的方向向量不唯一．
[学以致用] 1．在如图所示的空间直角坐标系中，四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为________，直线BC1的一个方向向量为________．
(0，0，1) (0，1，1)(答案不唯一) [∵DD1∥AA1，＝(0，0，1)，
故直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)．
∵BC1∥AD1，＝(0，1，1)，
故直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)．]
探究2 空间中平面的向量表示
问题2 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是什么？
[提示] 存在唯一的有序实数对(x，y)，使得p＝xa＋yb．
问题3 如何用向量表示点P在平面ABC内的充要条件？
[提示] 存在有序实数对(x，y)，使得＝x＋y．
[新知生成]
1．如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb．
2．如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y．我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式．空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
3．如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}．
【教用·微提醒】 (1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量．
(2)一个平面的法向量有无数多个，它们相互平行．
[典例讲评] 【链接教材P28例1】
2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．
[解] 因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．
如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，P(0，0，1)，D(0，，0)，E，C(1，，0)，于是＝＝(1，，0)．
设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，
则即
所以
令y＝－1，则x＝z＝．
所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，)．(答案不唯一)
[母题探究] 本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量．
[解] 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，1)，C(1，，0)，所以＝(1，，－1)即为直线PC的一个方向向量．
因为D(0，，0)，所以＝(0，，－1)．
设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，
则即所以令y＝1，则z＝．
所以平面PCD的一个法向量为n＝(0，1，)．(答案不唯一)
【教材原题·P28例1】
例1 如图1.4-7，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，M是AB的中点．以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)求平面BCC1B1的法向量；
(2)求平面MCA1的法向量．
[分析] (1)平面BCC1B1与y轴垂直，其法向量可以直接写出；(2)平面MCA1可以看成由中的两个向量所确定，运用法向量与它们的垂直关系，可转化为数量积运算求得法向量．
[解] (1)因为y轴垂直于平面BCC1B1，所以n1＝(0，1，0)是平面BCC1B1的一个法向量．
(2)因为AB＝4，BC＝3，CC1＝2，M是AB的中点，所以M，C，A1的坐标分别为(3，2，0)，(0，4，0)，(3，0，2)．因此
＝(－3，2，0)，＝(0，－2，2)．
设n2＝(x，y，z)是平面MCA1的法向量，则
n2⊥，n2⊥．
所以所以
取z＝3，则x＝2，y＝3．于是n2＝(2，3，3)是平面MCA1的一个法向量．
如何确定平面的法向量？
[提示] 按如下步骤求平面的法向量：
(1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)．
(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量．
(3)列方程组：由列出方程组，并求解．
(4)赋非零值：取x，y，z其中一个为非零值(常取±1)．
(5)得结论：得到平面的一个法向量．
[学以致用] 2．已知＝(1，1，0)，＝(0，1，2)，写出平面ABC的一个法向量n＝________．
(2，－2，1)(答案不唯一) [设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
取z＝1，则y＝－2，x＝2，
所以n＝(2，－2，1)是平面ABC的一个法向量．
故答案为(2，－2，1)(答案不唯一)．]
3．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝1，AA1＝2．以A为原点，建立空间直角坐标系．
(1)求平面BCC1B1的法向量；
(2)求平面A1BC的法向量．
[解] (1)由已知得B(1，0，0)，C(0，1，0)，B1(1，0，2)，A1(0，0，2)，
故＝(－1，1，0)，＝(0，0，2)．
设平面BCC1B1的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令x＝1，则n＝(1，1，0)，
所以平面BCC1B1的一个法向量为n＝(1，1，0)．(答案不唯一)
(2)设平面A1BC的法向量为m＝(a，b，c)．
因为＝(1，0，－2)，＝(－1，1，0)，
则令a＝1，则m＝，
所以平面A1BC的一个法向量为m＝．(答案不唯一)
【教用·备选题】 已知四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝90°，AD∥BC，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，并求出平面SAB、平面SDC的一个法向量．
[解] 由已知得SA，AB，AD两两垂直，
∴以A为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)．
∵SA＝AB＝BC＝1，AD＝，
∴S(0，0，1)，A(0，0，0)，C(1，1，0)，D，∴＝＝(1，1，－1)，＝．
易知平面SAB的一个法向量为＝．
设平面SDC的法向量为m＝(x，y，z)，
则取z＝1，则x＝2，y＝－1，∴平面SDC的一个法向量为m＝(2，－1，1)．(答案不唯一)
1．(教材P29练习T2改编)已知点P(0，1，0)，Q(－2，0，1)，则直线PQ的一个方向向量可以为( )
A．(－2，－1，－1) B．(1，－2，1)
C．(4，2，－2) D．(4，－2，2)
C [＝(－2，－1，1)，则直线PQ的方向向量为λ＝(－2λ，－λ，λ)(λ≠0)．
所以C符合题意，故选C．]
2．若n＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α法向量的是( )
A．(0，－3，1) B．(2，0，1)
C．(－2，－3，1) D．(－2，3，－1)
D [∵(－2，3，－1)＝－(2，－3，1)，∴向量(－2，3，－1)与平面α的一个法向量平行，它也是平面的一个法向量．故选D．]
3．已知a＝(2，0，2)，b＝(3，0，0)分别是平面α，β的法向量，则平面α，β交线的方向向量可以是( )
A．(1，0，0) B．(0，1，0)
C．(0，0，1) D．(1，1，1)
B [因为四个选项中，只有a·(0，1，0)＝(2，0，2)·(0，1，0)＝0，b·(0，1，0)＝(3，0，0)·(0，1，0)＝0，所以平面α，β交线的方向向量可以是(0，1，0)．故选B．]
4．已知平面α经过点O(0，0，0)，且e＝(1，2，－3)是平面α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是________．
x＋2y－3z＝0 [由题意得e⊥，则·e＝(x，y，z)·(1，2，－3)＝0，故x＋2y－3z＝0．]
1．知识链：
2．方法链：待定系数法、赋值法．
3．警示牌：直线的方向向量和平面的法向量都不能是零向量且不唯一，这无数个方向向量或法向量都分别是共线向量．用代数法求平面的法向量时，设定的某个分坐标一定不能是0．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何求直线l的方向向量？直线的方向向量唯一吗？
[提示] 在直线l或与直线l平行的直线上取两点A，B，则或就是直线l的方向向量．直线的方向向量有无数个，哪个易求求哪个．
2．平面的法向量有无数个，它们是什么关系？
[提示] 共线．
3．如何求一个平面的法向量？
[提示] (1)设法向量n＝(x，y，z)．
(2)在已知平面内找两个不共线向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
(3)建立方程组
(4)解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两未知量的未知量赋以特殊值，从而得到平面的一个法向量．
课时分层作业(七) 空间中点、直线和平面的向量表示
一、选择题
1．设空间四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则( )
A．点P一定在直线AB上
B．点P一定不在直线AB上
C．点P不一定在直线AB上
D．以上都不对
A [由m＋n＝1得m＝1－n，结合题意知＝(1－n)＋n＝＋n()＝＋n，
由此可知，A，P，B三点共线．故选A．]
2．在空间直角坐标系Oxyz中，已知平面α＝{P|n·＝0}，其中点P0(1，2，3)，法向量n＝(1，1，1)，则下列各点中不在平面α内的是( )
A．(3，2，1) B．(－2，5，4)
C．(－3，4，5) D．(2，－4，8)
B [对于B，若点P(－2，5，4)，则＝(－3，3，1)，则n·＝－3＋3＋1＝1≠0，所以点(－2，5，4)不在平面α内．其余选项可逐一验证．故选B．]
3．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，以D为原点，{}为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面A1BC1的一个法向量是( )
A．(1，1，1) B．(－1，1，1)
C．(1，－1，1) D．(1，1，－1)
A [如图，由题可得，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，
则＝(0，1，－1)，＝(－1，0，1)，
设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则取z＝1，则x＝1，y＝1，
所以平面A1BC1的一个法向量为n＝(1，1，1)．
故选A．]
4．阅读下面材料，在空间直角坐标系Oxyz中，过点P(x0，y0，z0)且一个法向量为m＝(a，b，c)的平面α的方程为a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0，过点P(x0，y0，z0)且方向向量为n＝(u，v，w)(uvw≠0)的直线l的方程为＝＝．根据上述材料，解决下面问题：直线l是两个平面x－2y＋2＝0与2x－z＋1＝0的交线，则l的一个方向向量是( )
A．(2，1，4) B．(1，3，5)
C．(1，－2，0) D．(2，0，－1)
A [设直线l的一个方向向量为n0＝(x，y，z)，
平面x－2y＋2＝0与2x－z＋1＝0的一个法向量分别为＝(1，－2，0)和m2＝(2，0，－1)，
则
不妨取x＝2，则n0＝(2，1，4)．
故选A．]
5．(多选)已知平面α内有一点M(1，－1，1)，平面α的一个法向量为n＝(4，－1，0)，则下列点中不在平面α内的是( )
A．A(2，3，2) B．B(－2，0，1)
C．C(－4，4，0) D．D(3，－3，4)
BCD [对于A，＝(－1，－4，－1)，n·＝4×(－1)＋(－1)×(－4)＋0＝0，所以n⊥，又因为M∈平面α，所以A∈平面α；对于B，＝(3，－1，0)，n·＝4×3＋(－1)×(－1)＋0＝13，所以n与不垂直，又因为M∈平面α，所以B 平面α；对于C，＝(5，－5，1)，n·＝4×5＋(－1)×(－5)＋0＝25，所以n与不垂直，又因为M∈平面α，所以C 平面α；对于D，＝(－2，2，－3)，n·＝4×(－2)＋(－1)×2＋0＝－10，所以n与不垂直，又因为M∈平面α，所以D 平面α．故选BCD．]
二、填空题
6．已知直线l的一个方向向量为(－5，3，2)，另一个方向向量为(x，y，8)，则x＝________，y＝________．
－20 12 [∵直线的方向向量平行，∴＝＝，∴x＝－20，y＝12．]
7．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体．
①直线CC1的一个方向向量为(0，0，1)；
②直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)；
③平面B1C1CB的一个法向量为(－1，0，0)；
④平面B1CD的一个法向量为(1，1，1)．
则上述结论正确的是 ________．(填序号)
①②③ [根据题意，不妨设正方体的棱长为1，
则C(1，1，0)，C1(1，1，1)，B(1，0，0)，
对于①，＝(0，0，1)，则直线CC1的一个方向向量为(0，0，1)，正确；
对于②，＝(0，1，1)，则直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)，正确；
对于③，因AB⊥平面B1C1CB，而＝(1，0，0)，
故 (－1，0，0)可作为平面B1C1CB的一个法向量，即③正确；
对于④，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为CD⊥平面B1C1CB，BC1 平面B1C1CB，
则BC1⊥CD，易得BC1⊥B1C，又CD∩B1C＝C，且CD，B1C 平面B1CD，故BC1⊥平面B1CD，
而＝(0，1，1)，即可作为平面B1CD的一个法向量，故④错误．
故答案为①②③．]
8．平面α上三个点A(0，0，0)，B(1，0，－1)，C(－1，2，0)，写出平面α的一个法向量为 ________．
(2，1，2)(答案不唯一) [根据题意，设平面α的法向量为m＝(x，y，z)，
由于A(0，0，0)，B(1，0，－1)，C(－1，2，0)，则＝(1，0，－1)，＝(－1，2，0)，
则有令x＝2，可得y＝1，z＝2，故m＝(2，1，2)．
故平面α的一个法向量为(2，1，2)．
故答案为(2，1，2)(答案不唯一)．]
三、解答题
9．已知A(2，2，2)，B(2，0，0)，C(0，2，－2)．
(1)写出直线BC的一个方向向量；
(2)设平面α经过点A，且是平面α的法向量，M(x，y，z)是平面α内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式．
[解] (1)∵B(2，0，0)，C(0，2，－2)，
∴＝(－2，2，－2)，即(－2，2，－2)为直线BC的一个方向向量．(答案不唯一)
(2)由题意得＝(x－2，y－2，z－2)，
∵⊥平面α，AM α，
∴⊥，则＝0，
∴(－2，2，－2)·(x－2，y－2，z－2)＝0，
∴－2(x－2)＋2(y－2)－2(z－2)＝0，
化简得x－y＋z－2＝0．
10．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的一个法向量的是( )
A．(1，－2，4) B．(－4，1，－2)
C．(2，－2，1) D．(1，2，－2)
B [设AB＝2，由题意知A(2，0，0)，E(2，2，1)，F(1，0，2)，＝(0，2，1)，＝(－1，0，2)．
设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则取y＝1，得n＝(－4，1，－2)．故选B．]
11．已知空间三点坐标分别为A(1，1，1)，B(0，3，0)，C(－2，－1，4)，点P(－3，x，3)在平面ABC内，则实数x的值为( )
A．1 B．－2
C．0 D．－1
A [＝(1，－2，1)，＝(－2，－4，4)，＝(－3，x－3，3)，设平面ABC的法向量为n＝(a，b，c)，则即
①＋②得－4b＋3c＝0，
令c＝4，则b＝3，a＝2，∴n＝(2，3，4)．
∵n⊥，∴n·＝0，
即－3×2＋3(x－3)＋3×4＝0，
∴x＝1．]
12．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E是上底面正方形A1B1C1D1的中心，点F是正方体棱上的点，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，若平面BEF的一个法向量为n＝(8，2，3)，则点F所在的棱可以是( )
A．AD B．CD
C．CC1 D．DD1
B [由题可得，B(2，0，0)，E(1，1，2)，设F(x，y，z)，0≤x，y，z≤2，
所以＝(－1，1，2)，＝(x－2，y，z)．
因为平面BEF的一个法向量为n＝(8，2，3)，
所以即8x＋2y＋3z－16＝0，
若F在AD上，则x＝0，z＝0，y＝8，不符合题意，故F不在AD上；
若F在CD上，则x＝，y＝2，z＝0，符合题意，故F在CD上；
若F在CC1上，则x＝2，y＝2，z＝－，不符合题意，故F不在CC1上；
若F在DD1上，则x＝0，y＝2，z＝4，不符合题意，故F不在DD1上．
故选B．]
13．在空间直角坐标系Oxyz中，经过点P(x0，y0，z0)且法向量为m＝(A，B，C)的平面方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0．若平面α的方程为x＋2y＋z－1＝0，则平面α的一个法向量为________．
(1，2，1)(答案不唯一) [根据题意，平面α的方程为x＋2y＋z－1＝0，即1(x－0)＋2(y－0)＋1(z－1)＝0，
则平面α的一个法向量为(1，2，1)．]
14．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，点E在棱AB上移动．
(1)证明：D1E⊥A1D；
(2)求平面ACD1的法向量．
[解] (1)证明：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，设E(1，t，0)，0≤t≤3，
所以＝(1，t，－1)·(1，0，1)＝1－1＝0，
所以⊥，所以D1E⊥A1D．
(2)A(1，0，0)，C(0，3，0)，D1(0，0，1)，＝(－1，3，0)，＝(0，－3，1)，
设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，
则取y＝1，则n＝(3，1，3)．
所以平面ACD1的一个法向量为n＝(3，1，3)．(答案不唯一)
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第一章
空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示
[学习目标]
1．能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量．(数学抽象)
2．会求一个平面的法向量．(数学运算、逻辑推理)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．空间点的位置向量、直线的方向向量、平面的法向量是如何定义的？
问题2．空间一条直线的方向向量唯一吗？它们有什么共同特征？
探究建构 关键能力达成
探究1 空间中点和直线的向量表示
问题1 在空间中，如何确定一条直线？
[提示] 两点可以确定一条直线；直线上的一点及这条直线的方向也可以确定一条直线．
方向向量
【教用·微提醒】 (1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合．
(2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个．
反思领悟 理解直线方向向量的概念
(1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．
(2)直线的方向向量不唯一．
[学以致用] 1．在如图所示的空间直角坐标系中，四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为___________，直线BC1的一个方向向量为____________________．
(0，0，1)
(0，1，1)(答案不唯一)
探究2 空间中平面的向量表示
问题2 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是什么？
[提示] 存在唯一的有序实数对(x，y)，使得p＝xa＋yb．
问题3 如何用向量表示点P在平面ABC内的充要条件？
[新知生成]
1．如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得_______________．
不共线
法向量
【教用·微提醒】 (1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量．
(2)一个平面的法向量有无数多个，它们相互平行．
[母题探究] 本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量．
【教材原题·P28例1】
例1 如图1.4-7，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，M是AB的中点．以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)求平面BCC1B1的法向量；
(2)求平面MCA1的法向量．
发现规律 如何确定平面的法向量？
(2，－2，1)(答案不唯一)
3．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝1，AA1＝2．以A为原点，建立空间直角坐标系．
(1)求平面BCC1B1的法向量；
(2)求平面A1BC的法向量．
应用迁移 随堂评估自测
1．(教材P29练习T2改编)已知点P(0，1，0)，Q(－2，0，1)，则直线PQ的一个方向向量可以为( )
A．(－2，－1，－1) B．(1，－2，1)
C．(4，2，－2) D．(4，－2，2)
√
2．若n＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α法向量的是( )
A．(0，－3，1) B．(2，0，1)
C．(－2，－3，1) D．(－2，3，－1)
√
D [∵(－2，3，－1)＝－(2，－3，1)，∴向量(－2，3，－1)与平面α的一个法向量平行，它也是平面的一个法向量．故选D．]
3．已知a＝(2，0，2)，b＝(3，0，0)分别是平面α，β的法向量，则平面α，β交线的方向向量可以是( )
A．(1，0，0) B．(0，1，0)
C．(0，0，1) D．(1，1，1)
√
B [因为四个选项中，只有a·(0，1，0)＝(2，0，2)·(0，1，0)＝0，b·(0，1，0)＝(3，0，0)·(0，1，0)＝0，所以平面α，β交线的方向向量可以是(0，1，0)．故选B．]
4．已知平面α经过点O(0，0，0)，且e＝(1，2，－3)是平面α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是________________．
x＋2y－3z＝0
1．知识链：
2．方法链：待定系数法、赋值法．
3．警示牌：直线的方向向量和平面的法向量都不能是零向量且不唯一，这无数个方向向量或法向量都分别是共线向量．用代数法求平面的法向量时，设定的某个分坐标一定不能是0．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何求直线l的方向向量？直线的方向向量唯一吗？
2．平面的法向量有无数个，它们是什么关系？
[提示] 共线．
3．如何求一个平面的法向量？
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
课时分层作业(七) 空间中点、直线和平面的向量表示
√
题号
1
3
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14
5．(多选)已知平面α内有一点M(1，－1，1)，平面α的一个法向量为n＝(4，－1，0)，则下列点中不在平面α内的是( )
A．A(2，3，2) B．B(－2，0，1)
C．C(－4，4，0) D．D(3，－3，4)
√
题号
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√
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题号
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二、填空题
6．已知直线l的一个方向向量为(－5，3，2)，另一个方向向量为(x，y，8)，则x＝________，y＝________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
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13
14
－20
12
7．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体．
①直线CC1的一个方向向量为(0，0，1)；
②直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)；
③平面B1C1CB的一个法向量为(－1，0，0)；
④平面B1CD的一个法向量为(1，1，1)．
则上述结论正确的是 ________．(填序号)
题号
2
1
3
4
5
6
8
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13
14
①②③
题号
2
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题号
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14
8．平面α上三个点A(0，0，0)，B(1，0，－1)，C(－1，2，0)，写出平面α的一个法向量为 _______________________．
题号
2
1
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4
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(2，1，2)(答案不唯一)
题号
2
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题号
2
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14
10．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的一个法向量的是( )
A．(1，－2，4)
B．(－4，1，－2)
C．(2，－2，1)
D．(1，2，－2)
题号
2
1
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√
题号
2
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11．已知空间三点坐标分别为A(1，1，1)，B(0，3，0)，C(－2，－1，4)，点P(－3，x，3)在平面ABC内，则实数x的值为( )
A．1 B．－2
C．0 D．－1
题号
2
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12．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E是上底面正方形A1B1C1D1的中心，点F是正方体棱上的点，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，若平面BEF的一个法向量为n＝(8，2，3)，则点F所在的棱可以是
( )
A．AD B．CD
C．CC1 D．DD1
题号
2
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3
4
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题号
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13．在空间直角坐标系Oxyz中，经过点P(x0，y0，z0)且法向量为m＝(A，B，C)的平面方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0．若平面α的方程为x＋2y＋z－1＝0，则平面α的一个法向量为_________________________．
题号
2
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(1，2，1)(答案不唯一) [根据题意，平面α的方程为x＋2y＋z－1＝0，即1(x－0)＋2(y－0)＋1(z－1)＝0，
则平面α的一个法向量为(1，2，1)．]
(1，2，1)(答案不唯一)
14．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，点E在棱AB上移动．
(1)证明：D1E⊥A1D；
(2)求平面ACD1的法向量．
题号
2
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题号
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141.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示
[学习目标]
1．能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量．(数学抽象)
2．会求一个平面的法向量．(数学运算、逻辑推理)
探究1 空间中点和直线的向量表示
问题1 在空间中，如何确定一条直线？
[新知生成]
1．点的位置向量
在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量．
2．空间直线的向量表示式
设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上任意一点，
(1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝______________．
(2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，即＝．
(3)性质：空间任意直线都可以由直线上一点及直线的______________唯一确定．
[典例讲评] 1．(源自湘教版教材)如图所示，已知长方体ABCD-A′B′C′D′的棱长AB＝2，AD＝4，AA′＝3．以点D为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量：
(1)AA′；(2)BD′．
[尝试解答]
理解直线方向向量的概念
(1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．
(2)直线的方向向量不唯一．
[学以致用] 1．在如图所示的空间直角坐标系中，四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为________，直线BC1的一个方向向量为________．
探究2 空间中平面的向量表示
问题2 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是什么？
问题3 如何用向量表示点P在平面ABC内的充要条件？
[新知生成]
1．如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得______________．
2．如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝．我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式．空间中任意平面由空间一点及两个______________向量唯一确定．
3．如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的______________．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}．
[典例讲评] 【链接教材P28例1】
2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．
[尝试解答]
[母题探究] 本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量．
如何确定平面的法向量？
[学以致用] 2．已知＝(1，1，0)，＝(0，1，2)，写出平面ABC的一个法向量n＝________．
3．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝1，AA1＝2．以A为原点，建立空间直角坐标系．
(1)求平面BCC1B1的法向量；
(2)求平面A1BC的法向量．
1．(教材P29练习T2改编)已知点P(0，1，0)，Q(－2，0，1)，则直线PQ的一个方向向量可以为( )
A．(－2，－1，－1) B．(1，－2，1)
C．(4，2，－2) D．(4，－2，2)
2．若n＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α法向量的是( )
A．(0，－3，1) B．(2，0，1)
C．(－2，－3，1) D．(－2，3，－1)
3．已知a＝(2，0，2)，b＝(3，0，0)分别是平面α，β的法向量，则平面α，β交线的方向向量可以是( )
A．(1，0，0) B．(0，1，0)
C．(0，0，1) D．(1，1，1)
4．已知平面α经过点O(0，0，0)，且e＝(1，2，－3)是平面α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是________．
1．知识链：
2．方法链：待定系数法、赋值法．
3．警示牌：直线的方向向量和平面的法向量都不能是零向量且不唯一，这无数个方向向量或法向量都分别是共线向量．用代数法求平面的法向量时，设定的某个分坐标一定不能是0．
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