课时分层作业(七) 空间中点、直线和平面的向量表示
说明:单项选择题每题5分,多项选择题每题6分,填空题每题5分,本试卷共87分
一、选择题
1.设空间四点O,A,B,P满足=m+n,其中m+n=1,则( )
A.点P一定在直线AB上
B.点P一定不在直线AB上
C.点P不一定在直线AB上
D.以上都不对
2.在空间直角坐标系Oxyz中,已知平面α={P|n·=0},其中点P0(1,2,3),法向量n=(1,1,1),则下列各点中不在平面α内的是( )
A.(3,2,1) B.(-2,5,4)
C.(-3,4,5) D.(2,-4,8)
3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,以D为原点,{}为单位正交基底,建立空间直角坐标系,则平面A1BC1的一个法向量是( )
A.(1,1,1) B.(-1,1,1)
C.(1,-1,1) D.(1,1,-1)
4.阅读下面材料,在空间直角坐标系Oxyz中,过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为m=(a,b,c)的平面α的方程为a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0,过点P(x0,y0,z0)且方向向量为n=(u,v,w)(uvw≠0)的直线l的方程为==.根据上述材料,解决下面问题:直线l是两个平面x-2y+2=0与2x-z+1=0的交线,则l的一个方向向量是( )
A.(2,1,4) B.(1,3,5)
C.(1,-2,0) D.(2,0,-1)
5.(多选)已知平面α内有一点M(1,-1,1),平面α的一个法向量为n=(4,-1,0),则下列点中不在平面α内的是( )
A.A(2,3,2) B.B(-2,0,1)
C.C(-4,4,0) D.D(3,-3,4)
二、填空题
6.已知直线l的一个方向向量为(-5,3,2),另一个方向向量为(x,y,8),则x=________,y=________.
7.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体.
①直线CC1的一个方向向量为(0,0,1);
②直线BC1的一个方向向量为(0,1,1);
③平面B1C1CB的一个法向量为(-1,0,0);
④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1).
则上述结论正确的是 ________.(填序号)
8.平面α上三个点A(0,0,0),B(1,0,-1),C(-1,2,0),写出平面α的一个法向量为 ________.
三、解答题
9.已知A(2,2,2),B(2,0,0),C(0,2,-2).
(1)写出直线BC的一个方向向量;
(2)设平面α经过点A,且是平面α的法向量,M(x,y,z)是平面α内的任意一点,试写出x,y,z满足的关系式.
10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以D为原点建立空间直角坐标系,E为BB1的中点,F为A1D1的中点,则下列向量中,能作为平面AEF的一个法向量的是( )
A.(1,-2,4) B.(-4,1,-2)
C.(2,-2,1) D.(1,2,-2)
11.已知空间三点坐标分别为A(1,1,1),B(0,3,0),C(-2,-1,4),点P(-3,x,3)在平面ABC内,则实数x的值为( )
A.1 B.-2
C.0 D.-1
12.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E是上底面正方形A1B1C1D1的中心,点F是正方体棱上的点,以点A为坐标原点,分别以AB,AD,AA1所在的直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系,若平面BEF的一个法向量为n=(8,2,3),则点F所在的棱可以是( )
A.AD B.CD
C.CC1 D.DD1
13.在空间直角坐标系Oxyz中,经过点P(x0,y0,z0)且法向量为m=(A,B,C)的平面方程为A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.若平面α的方程为x+2y+z-1=0,则平面α的一个法向量为________.
14.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=3,点E在棱AB上移动.
(1)证明:D1E⊥A1D;
(2)求平面ACD1的法向量.
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1.A [由m+n=1得m=1-n,结合题意知=(1-n)+n()=,
由此可知,A,P,B三点共线.故选A.]
2.B [对于B,若点P(-2,5,4),则=(-3,3,1),则n·=-3+3+1=1≠0,所以点(-2,5,4)不在平面α内.其余选项可逐一验证.故选B.]
3.A [如图,由题可得,B(1,1,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1),
则=(0,1,-1),=(-1,0,1),
设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),
则取z=1,则x=1,y=1,
所以平面A1BC1的一个法向量为n=(1,1,1).
故选A.]
4.A [设直线l的一个方向向量为n0=(x,y,z),
平面x-2y+2=0与2x-z+1=0的一个法向量分别为m1=(1,-2,0)和m2=(2,0,-1),
则
不妨取x=2,则n0=(2,1,4).故选A.]
5.BCD [对于A,=(-1,-4,-1),n·=4×(-1)+(-1)×(-4)+0=0,所以n⊥,又因为M∈平面α,所以A∈平面α;对于B,=(3,-1,0),n·=4×3+(-1)×(-1)+0=13,所以n与不垂直,又因为M∈平面α,所以B 平面α;对于C,=(5,-5,1),n·=4×5+(-1)×(-5)+0=25,所以n与不垂直,又因为M∈平面α,所以C 平面α;对于D,=(-2,2,-3),n·=4×(-2)+(-1)×2+0=-10,所以n与不垂直,又因为M∈平面α,所以D 平面α.故选BCD.]
6.-20 12 [∵直线的方向向量平行,∴,∴x=-20,y=12.]
7.①②③ [根据题意,不妨设正方体的棱长为1,
则C(1,1,0),C1(1,1,1),B(1,0,0),
对于①,=(0,0,1),则直线CC1的一个方向向量为(0,0,1),正确;
对于②,=(0,1,1),则直线BC1的一个方向向量为(0,1,1),正确;
对于③,因AB⊥平面B1C1CB,而=(1,0,0),
故 (-1,0,0)可作为平面B1C1CB的一个法向量,即③正确;
对于④,在正方体ABCD A1B1C1D1中,因为CD⊥平面B1C1CB,BC1 平面B1C1CB,
则BC1⊥CD,易得BC1⊥B1C,又CD∩B1C=C,且CD,B1C 平面B1CD,故BC1⊥平面B1CD,
而=(0,1,1),即可作为平面B1CD的一个法向量,故④错误.
故答案为①②③.]
8.(2,1,2)(答案不唯一) [根据题意,设平面α的法向量为m=(x,y,z),
由于A(0,0,0),B(1,0,-1),C(-1,2,0),则=(1,0,-1),=(-1,2,0),
则有令x=2,可得y=1,z=2,
故m=(2,1,2).
故平面α的一个法向量为(2,1,2).
故答案为(2,1,2)(答案不唯一).]
9.解:(1)∵B(2,0,0),C(0,2,-2),
∴=(-2,2,-2),即(-2,2,-2)为直线BC的一个方向向量.(答案不唯一)
(2)由题意得=(x-2,y-2,z-2),
∵⊥平面α,AM α,
∴⊥,则·=0,
∴(-2,2,-2)·(x-2,y-2,z-2)=0,
∴-2(x-2)+2(y-2)-2(z-2)=0,
化简得x-y+z-2=0.
10.B [设AB=2,由题意知A(2,0,0),E(2,2,1),F(1,0,2),=(0,2,1),=(-1,0,2).
设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),
则取y=1,得n=(-4,1,-2).故选B.]
11.A [=(1,-2,1),=(-2,-4,4),=(-3,x-3,3),设平面ABC的法向量为n=(a,b,c),则
即
①+②得-4b+3c=0,
令c=4,则b=3,a=2,∴n=(2,3,4).
∵n⊥,∴n·=0,即-3×2+3(x-3)+3×4=0,
∴x=1.]
12.B [由题可得,B(2,0,0),E(1,1,2),设F(x,y,z),0≤x,y,z≤2,
所以=(-1,1,2),=(x-2,y,z).
因为平面BEF的一个法向量为n=(8,2,3),
所以即8x+2y+3z-16=0,
若F在AD上,则x=0,z=0,y=8,不符合题意,故F不在AD上;
若F在CD上,则x=,y=2,z=0,符合题意,故F在CD上;
若F在CC1上,则x=2,y=2,z=-,不符合题意,故F不在CC1上;
若F在DD1上,则x=0,y=2,z=4,不符合题意,故F不在DD1上.故选B.]
13.(1,2,1)(答案不唯一) [根据题意,平面α的方程为x+2y+z-1=0,即1(x-0)+2(y-0)+1(z-1)=0,
则平面α的一个法向量为(1,2,1).]
14.解:(1)证明:以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系,
则D1(0,0,1),A1(1,0,1),设E(1,t,0),0≤t≤3,
所以·=(1,t,-1)·(1,0,1)=1-1=0,
所以⊥,
所以D1E⊥A1D.
(2)A(1,0,0),C(0,3,0),D1(0,0,1),=(-1,3,0),=(0,-3,1),设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z),
则取y=1,则n=(3,1,3).
所以平面ACD1的一个法向量为n=(3,1,3).(答案不唯一)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示
[学习目标]
1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.(数学抽象)
2.会求一个平面的法向量.(数学运算、逻辑推理)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1.空间点的位置向量、直线的方向向量、平面的法向量是如何定义的?
问题2.空间一条直线的方向向量唯一吗?它们有什么共同特征?
探究1 空间中点和直线的向量表示
问题1 在空间中,如何确定一条直线?
[提示] 两点可以确定一条直线;直线上的一点及这条直线的方向也可以确定一条直线.
[新知生成]
1.点的位置向量
在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示,我们把向量称为点P的位置向量.
2.空间直线的向量表示式
设A是直线l上一点,a是直线l的方向向量,在直线l上取=a,设P是直线l上任意一点,
(1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使得=ta,即=t.
(2)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使=+ta,即=+t.
(3)性质:空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
【教用·微提醒】 (1)空间中,一个向量成为直线l的方向向量,必须具备以下两个条件:①是非零向量;②向量所在的直线与l平行或重合.
(2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线l的方向向量,且直线l的方向向量有无数个.
[典例讲评] 1.(源自湘教版教材)如图所示,已知长方体ABCD-A′B′C′D′的棱长AB=2,AD=4,AA′=3.以点D为原点,分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向,并均以1为单位长度,建立空间直角坐标系,求下列直线的一个方向向量:
(1)AA′;(2)BD′.
[解] 由已知可得,长方体顶点A,B,A′,D′的坐标分别为A(4,0,0),B(4,2,0),A′(4,0,3),D′(0,0,3).
(1)因为向量=(0,0,3),所以直线AA′的一个方向向量为(0,0,3).(答案不唯一)
(2)因为向量=(-4,-2,3),所以直线BD′的一个方向向量为(-4,-2,3).(答案不唯一)
理解直线方向向量的概念
(1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量.
(2)直线的方向向量不唯一.
[学以致用] 1.在如图所示的空间直角坐标系中,四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体,棱长为1,则直线DD1的一个方向向量为________,直线BC1的一个方向向量为________.
(0,0,1) (0,1,1)(答案不唯一) [∵DD1∥AA1,=(0,0,1),
故直线DD1的一个方向向量为(0,0,1).
∵BC1∥AD1,=(0,1,1),
故直线BC1的一个方向向量为(0,1,1).]
探究2 空间中平面的向量表示
问题2 向量p与不共线向量a,b共面的充要条件是什么?
[提示] 存在唯一的有序实数对(x,y),使得p=xa+yb.
问题3 如何用向量表示点P在平面ABC内的充要条件?
[提示] 存在有序实数对(x,y),使得=x+y.
[新知生成]
1.如图,设两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为a和b,P为平面α内任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对(x,y),使得=xa+yb.
2.如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使=+x+y.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式.空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
3.如图,直线l⊥α,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P|a·=0}.
【教用·微提醒】 (1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量.
(2)一个平面的法向量有无数多个,它们相互平行.
[典例讲评] 【链接教材P28例1】
2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,AB=AP=1,AD=,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面ACE的一个法向量.
[解] 因为PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直.
如图,以A为坐标原点,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),P(0,0,1),D(0,,0),E,C(1,,0),于是==(1,,0).
设n=(x,y,z)为平面ACE的法向量,
则即
所以
令y=-1,则x=z=.
所以平面ACE的一个法向量为n=(,-1,).(答案不唯一)
[母题探究] 本例条件不变,试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量.
[解] 以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1),C(1,,0),所以=(1,,-1)即为直线PC的一个方向向量.
因为D(0,,0),所以=(0,,-1).
设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),
则即所以令y=1,则z=.
所以平面PCD的一个法向量为n=(0,1,).(答案不唯一)
【教材原题·P28例1】
例1 如图1.4-7,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2,M是AB的中点.以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求平面BCC1B1的法向量;
(2)求平面MCA1的法向量.
[分析] (1)平面BCC1B1与y轴垂直,其法向量可以直接写出;(2)平面MCA1可以看成由中的两个向量所确定,运用法向量与它们的垂直关系,可转化为数量积运算求得法向量.
[解] (1)因为y轴垂直于平面BCC1B1,所以n1=(0,1,0)是平面BCC1B1的一个法向量.
(2)因为AB=4,BC=3,CC1=2,M是AB的中点,所以M,C,A1的坐标分别为(3,2,0),(0,4,0),(3,0,2).因此
=(-3,2,0),=(0,-2,2).
设n2=(x,y,z)是平面MCA1的法向量,则
n2⊥,n2⊥.
所以所以
取z=3,则x=2,y=3.于是n2=(2,3,3)是平面MCA1的一个法向量.
如何确定平面的法向量?
[提示] 按如下步骤求平面的法向量:
(1)设向量:设平面的法向量为n=(x,y,z).
(2)选向量:在平面内选取两个不共线向量.
(3)列方程组:由列出方程组,并求解.
(4)赋非零值:取x,y,z其中一个为非零值(常取±1).
(5)得结论:得到平面的一个法向量.
[学以致用] 2.已知=(1,1,0),=(0,1,2),写出平面ABC的一个法向量n=________.
(2,-2,1)(答案不唯一) [设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),
则即
取z=1,则y=-2,x=2,
所以n=(2,-2,1)是平面ABC的一个法向量.
故答案为(2,-2,1)(答案不唯一).]
3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=1,AA1=2.以A为原点,建立空间直角坐标系.
(1)求平面BCC1B1的法向量;
(2)求平面A1BC的法向量.
[解] (1)由已知得B(1,0,0),C(0,1,0),B1(1,0,2),A1(0,0,2),
故=(-1,1,0),=(0,0,2).
设平面BCC1B1的法向量为n=(x,y,z),
则
令x=1,则n=(1,1,0),
所以平面BCC1B1的一个法向量为n=(1,1,0).(答案不唯一)
(2)设平面A1BC的法向量为m=(a,b,c).
因为=(1,0,-2),=(-1,1,0),
则令a=1,则m=,
所以平面A1BC的一个法向量为m=.(答案不唯一)
【教用·备选题】 已知四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=90°,AD∥BC,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,试建立恰当的空间直角坐标系,并求出平面SAB、平面SDC的一个法向量.
[解] 由已知得SA,AB,AD两两垂直,
∴以A为坐标原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系(图略).
∵SA=AB=BC=1,AD=,
∴S(0,0,1),A(0,0,0),C(1,1,0),D,∴==(1,1,-1),=.
易知平面SAB的一个法向量为=.
设平面SDC的法向量为m=(x,y,z),
则取z=1,则x=2,y=-1,∴平面SDC的一个法向量为m=(2,-1,1).(答案不唯一)
1.(教材P29练习T2改编)已知点P(0,1,0),Q(-2,0,1),则直线PQ的一个方向向量可以为( )
A.(-2,-1,-1) B.(1,-2,1)
C.(4,2,-2) D.(4,-2,2)
C [=(-2,-1,1),则直线PQ的方向向量为λ=(-2λ,-λ,λ)(λ≠0).
所以C符合题意,故选C.]
2.若n=(2,-3,1)是平面α的一个法向量,则下列向量中能作为平面α法向量的是( )
A.(0,-3,1) B.(2,0,1)
C.(-2,-3,1) D.(-2,3,-1)
D [∵(-2,3,-1)=-(2,-3,1),∴向量(-2,3,-1)与平面α的一个法向量平行,它也是平面的一个法向量.故选D.]
3.已知a=(2,0,2),b=(3,0,0)分别是平面α,β的法向量,则平面α,β交线的方向向量可以是( )
A.(1,0,0) B.(0,1,0)
C.(0,0,1) D.(1,1,1)
B [因为四个选项中,只有a·(0,1,0)=(2,0,2)·(0,1,0)=0,b·(0,1,0)=(3,0,0)·(0,1,0)=0,所以平面α,β交线的方向向量可以是(0,1,0).故选B.]
4.已知平面α经过点O(0,0,0),且e=(1,2,-3)是平面α的一个法向量,M(x,y,z)是平面α内任意一点,则x,y,z满足的关系式是________.
x+2y-3z=0 [由题意得e⊥,则·e=(x,y,z)·(1,2,-3)=0,故x+2y-3z=0.]
1.知识链:
2.方法链:待定系数法、赋值法.
3.警示牌:直线的方向向量和平面的法向量都不能是零向量且不唯一,这无数个方向向量或法向量都分别是共线向量.用代数法求平面的法向量时,设定的某个分坐标一定不能是0.
回顾本节知识,自主完成以下问题:
1.如何求直线l的方向向量?直线的方向向量唯一吗?
[提示] 在直线l或与直线l平行的直线上取两点A,B,则或就是直线l的方向向量.直线的方向向量有无数个,哪个易求求哪个.
2.平面的法向量有无数个,它们是什么关系?
[提示] 共线.
3.如何求一个平面的法向量?
[提示] (1)设法向量n=(x,y,z).
(2)在已知平面内找两个不共线向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
(3)建立方程组
(4)解方程组:用一个未知量表示其他两个未知量,然后对用来表示两未知量的未知量赋以特殊值,从而得到平面的一个法向量.
课时分层作业(七) 空间中点、直线和平面的向量表示
一、选择题
1.设空间四点O,A,B,P满足=m+n,其中m+n=1,则( )
A.点P一定在直线AB上
B.点P一定不在直线AB上
C.点P不一定在直线AB上
D.以上都不对
A [由m+n=1得m=1-n,结合题意知=(1-n)+n=+n()=+n,
由此可知,A,P,B三点共线.故选A.]
2.在空间直角坐标系Oxyz中,已知平面α={P|n·=0},其中点P0(1,2,3),法向量n=(1,1,1),则下列各点中不在平面α内的是( )
A.(3,2,1) B.(-2,5,4)
C.(-3,4,5) D.(2,-4,8)
B [对于B,若点P(-2,5,4),则=(-3,3,1),则n·=-3+3+1=1≠0,所以点(-2,5,4)不在平面α内.其余选项可逐一验证.故选B.]
3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,以D为原点,{}为单位正交基底,建立空间直角坐标系,则平面A1BC1的一个法向量是( )
A.(1,1,1) B.(-1,1,1)
C.(1,-1,1) D.(1,1,-1)
A [如图,由题可得,B(1,1,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1),
则=(0,1,-1),=(-1,0,1),
设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),
则取z=1,则x=1,y=1,
所以平面A1BC1的一个法向量为n=(1,1,1).
故选A.]
4.阅读下面材料,在空间直角坐标系Oxyz中,过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为m=(a,b,c)的平面α的方程为a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0,过点P(x0,y0,z0)且方向向量为n=(u,v,w)(uvw≠0)的直线l的方程为==.根据上述材料,解决下面问题:直线l是两个平面x-2y+2=0与2x-z+1=0的交线,则l的一个方向向量是( )
A.(2,1,4) B.(1,3,5)
C.(1,-2,0) D.(2,0,-1)
A [设直线l的一个方向向量为n0=(x,y,z),
平面x-2y+2=0与2x-z+1=0的一个法向量分别为=(1,-2,0)和m2=(2,0,-1),
则
不妨取x=2,则n0=(2,1,4).
故选A.]
5.(多选)已知平面α内有一点M(1,-1,1),平面α的一个法向量为n=(4,-1,0),则下列点中不在平面α内的是( )
A.A(2,3,2) B.B(-2,0,1)
C.C(-4,4,0) D.D(3,-3,4)
BCD [对于A,=(-1,-4,-1),n·=4×(-1)+(-1)×(-4)+0=0,所以n⊥,又因为M∈平面α,所以A∈平面α;对于B,=(3,-1,0),n·=4×3+(-1)×(-1)+0=13,所以n与不垂直,又因为M∈平面α,所以B 平面α;对于C,=(5,-5,1),n·=4×5+(-1)×(-5)+0=25,所以n与不垂直,又因为M∈平面α,所以C 平面α;对于D,=(-2,2,-3),n·=4×(-2)+(-1)×2+0=-10,所以n与不垂直,又因为M∈平面α,所以D 平面α.故选BCD.]
二、填空题
6.已知直线l的一个方向向量为(-5,3,2),另一个方向向量为(x,y,8),则x=________,y=________.
-20 12 [∵直线的方向向量平行,∴==,∴x=-20,y=12.]
7.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体.
①直线CC1的一个方向向量为(0,0,1);
②直线BC1的一个方向向量为(0,1,1);
③平面B1C1CB的一个法向量为(-1,0,0);
④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1).
则上述结论正确的是 ________.(填序号)
①②③ [根据题意,不妨设正方体的棱长为1,
则C(1,1,0),C1(1,1,1),B(1,0,0),
对于①,=(0,0,1),则直线CC1的一个方向向量为(0,0,1),正确;
对于②,=(0,1,1),则直线BC1的一个方向向量为(0,1,1),正确;
对于③,因AB⊥平面B1C1CB,而=(1,0,0),
故 (-1,0,0)可作为平面B1C1CB的一个法向量,即③正确;
对于④,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为CD⊥平面B1C1CB,BC1 平面B1C1CB,
则BC1⊥CD,易得BC1⊥B1C,又CD∩B1C=C,且CD,B1C 平面B1CD,故BC1⊥平面B1CD,
而=(0,1,1),即可作为平面B1CD的一个法向量,故④错误.
故答案为①②③.]
8.平面α上三个点A(0,0,0),B(1,0,-1),C(-1,2,0),写出平面α的一个法向量为 ________.
(2,1,2)(答案不唯一) [根据题意,设平面α的法向量为m=(x,y,z),
由于A(0,0,0),B(1,0,-1),C(-1,2,0),则=(1,0,-1),=(-1,2,0),
则有令x=2,可得y=1,z=2,故m=(2,1,2).
故平面α的一个法向量为(2,1,2).
故答案为(2,1,2)(答案不唯一).]
三、解答题
9.已知A(2,2,2),B(2,0,0),C(0,2,-2).
(1)写出直线BC的一个方向向量;
(2)设平面α经过点A,且是平面α的法向量,M(x,y,z)是平面α内的任意一点,试写出x,y,z满足的关系式.
[解] (1)∵B(2,0,0),C(0,2,-2),
∴=(-2,2,-2),即(-2,2,-2)为直线BC的一个方向向量.(答案不唯一)
(2)由题意得=(x-2,y-2,z-2),
∵⊥平面α,AM α,
∴⊥,则=0,
∴(-2,2,-2)·(x-2,y-2,z-2)=0,
∴-2(x-2)+2(y-2)-2(z-2)=0,
化简得x-y+z-2=0.
10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以D为原点建立空间直角坐标系,E为BB1的中点,F为A1D1的中点,则下列向量中,能作为平面AEF的一个法向量的是( )
A.(1,-2,4) B.(-4,1,-2)
C.(2,-2,1) D.(1,2,-2)
B [设AB=2,由题意知A(2,0,0),E(2,2,1),F(1,0,2),=(0,2,1),=(-1,0,2).
设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),
则取y=1,得n=(-4,1,-2).故选B.]
11.已知空间三点坐标分别为A(1,1,1),B(0,3,0),C(-2,-1,4),点P(-3,x,3)在平面ABC内,则实数x的值为( )
A.1 B.-2
C.0 D.-1
A [=(1,-2,1),=(-2,-4,4),=(-3,x-3,3),设平面ABC的法向量为n=(a,b,c),则即
①+②得-4b+3c=0,
令c=4,则b=3,a=2,∴n=(2,3,4).
∵n⊥,∴n·=0,
即-3×2+3(x-3)+3×4=0,
∴x=1.]
12.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E是上底面正方形A1B1C1D1的中心,点F是正方体棱上的点,以点A为坐标原点,分别以AB,AD,AA1所在的直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系,若平面BEF的一个法向量为n=(8,2,3),则点F所在的棱可以是( )
A.AD B.CD
C.CC1 D.DD1
B [由题可得,B(2,0,0),E(1,1,2),设F(x,y,z),0≤x,y,z≤2,
所以=(-1,1,2),=(x-2,y,z).
因为平面BEF的一个法向量为n=(8,2,3),
所以即8x+2y+3z-16=0,
若F在AD上,则x=0,z=0,y=8,不符合题意,故F不在AD上;
若F在CD上,则x=,y=2,z=0,符合题意,故F在CD上;
若F在CC1上,则x=2,y=2,z=-,不符合题意,故F不在CC1上;
若F在DD1上,则x=0,y=2,z=4,不符合题意,故F不在DD1上.
故选B.]
13.在空间直角坐标系Oxyz中,经过点P(x0,y0,z0)且法向量为m=(A,B,C)的平面方程为A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.若平面α的方程为x+2y+z-1=0,则平面α的一个法向量为________.
(1,2,1)(答案不唯一) [根据题意,平面α的方程为x+2y+z-1=0,即1(x-0)+2(y-0)+1(z-1)=0,
则平面α的一个法向量为(1,2,1).]
14.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=3,点E在棱AB上移动.
(1)证明:D1E⊥A1D;
(2)求平面ACD1的法向量.
[解] (1)证明:以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系,
则D1(0,0,1),A1(1,0,1),设E(1,t,0),0≤t≤3,
所以=(1,t,-1)·(1,0,1)=1-1=0,
所以⊥,所以D1E⊥A1D.
(2)A(1,0,0),C(0,3,0),D1(0,0,1),=(-1,3,0),=(0,-3,1),
设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z),
则取y=1,则n=(3,1,3).
所以平面ACD1的一个法向量为n=(3,1,3).(答案不唯一)
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第一章
空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示
[学习目标]
1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.(数学抽象)
2.会求一个平面的法向量.(数学运算、逻辑推理)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1.空间点的位置向量、直线的方向向量、平面的法向量是如何定义的?
问题2.空间一条直线的方向向量唯一吗?它们有什么共同特征?
探究建构 关键能力达成
探究1 空间中点和直线的向量表示
问题1 在空间中,如何确定一条直线?
[提示] 两点可以确定一条直线;直线上的一点及这条直线的方向也可以确定一条直线.
方向向量
【教用·微提醒】 (1)空间中,一个向量成为直线l的方向向量,必须具备以下两个条件:①是非零向量;②向量所在的直线与l平行或重合.
(2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线l的方向向量,且直线l的方向向量有无数个.
反思领悟 理解直线方向向量的概念
(1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量.
(2)直线的方向向量不唯一.
[学以致用] 1.在如图所示的空间直角坐标系中,四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体,棱长为1,则直线DD1的一个方向向量为___________,直线BC1的一个方向向量为____________________.
(0,0,1)
(0,1,1)(答案不唯一)
探究2 空间中平面的向量表示
问题2 向量p与不共线向量a,b共面的充要条件是什么?
[提示] 存在唯一的有序实数对(x,y),使得p=xa+yb.
问题3 如何用向量表示点P在平面ABC内的充要条件?
[新知生成]
1.如图,设两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为a和b,P为平面α内任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对(x,y),使得_______________.
不共线
法向量
【教用·微提醒】 (1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量.
(2)一个平面的法向量有无数多个,它们相互平行.
[母题探究] 本例条件不变,试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量.
【教材原题·P28例1】
例1 如图1.4-7,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2,M是AB的中点.以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求平面BCC1B1的法向量;
(2)求平面MCA1的法向量.
发现规律 如何确定平面的法向量?
(2,-2,1)(答案不唯一)
3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=1,AA1=2.以A为原点,建立空间直角坐标系.
(1)求平面BCC1B1的法向量;
(2)求平面A1BC的法向量.
应用迁移 随堂评估自测
1.(教材P29练习T2改编)已知点P(0,1,0),Q(-2,0,1),则直线PQ的一个方向向量可以为( )
A.(-2,-1,-1) B.(1,-2,1)
C.(4,2,-2) D.(4,-2,2)
√
2.若n=(2,-3,1)是平面α的一个法向量,则下列向量中能作为平面α法向量的是( )
A.(0,-3,1) B.(2,0,1)
C.(-2,-3,1) D.(-2,3,-1)
√
D [∵(-2,3,-1)=-(2,-3,1),∴向量(-2,3,-1)与平面α的一个法向量平行,它也是平面的一个法向量.故选D.]
3.已知a=(2,0,2),b=(3,0,0)分别是平面α,β的法向量,则平面α,β交线的方向向量可以是( )
A.(1,0,0) B.(0,1,0)
C.(0,0,1) D.(1,1,1)
√
B [因为四个选项中,只有a·(0,1,0)=(2,0,2)·(0,1,0)=0,b·(0,1,0)=(3,0,0)·(0,1,0)=0,所以平面α,β交线的方向向量可以是(0,1,0).故选B.]
4.已知平面α经过点O(0,0,0),且e=(1,2,-3)是平面α的一个法向量,M(x,y,z)是平面α内任意一点,则x,y,z满足的关系式是________________.
x+2y-3z=0
1.知识链:
2.方法链:待定系数法、赋值法.
3.警示牌:直线的方向向量和平面的法向量都不能是零向量且不唯一,这无数个方向向量或法向量都分别是共线向量.用代数法求平面的法向量时,设定的某个分坐标一定不能是0.
回顾本节知识,自主完成以下问题:
1.如何求直线l的方向向量?直线的方向向量唯一吗?
2.平面的法向量有无数个,它们是什么关系?
[提示] 共线.
3.如何求一个平面的法向量?
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
课时分层作业(七) 空间中点、直线和平面的向量表示
√
题号
1
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14
5.(多选)已知平面α内有一点M(1,-1,1),平面α的一个法向量为n=(4,-1,0),则下列点中不在平面α内的是( )
A.A(2,3,2) B.B(-2,0,1)
C.C(-4,4,0) D.D(3,-3,4)
√
题号
2
1
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8
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√
√
题号
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13
14
二、填空题
6.已知直线l的一个方向向量为(-5,3,2),另一个方向向量为(x,y,8),则x=________,y=________.
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
-20
12
7.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体.
①直线CC1的一个方向向量为(0,0,1);
②直线BC1的一个方向向量为(0,1,1);
③平面B1C1CB的一个法向量为(-1,0,0);
④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1).
则上述结论正确的是 ________.(填序号)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
①②③
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
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题号
2
1
3
4
5
6
8
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9
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11
12
13
14
8.平面α上三个点A(0,0,0),B(1,0,-1),C(-1,2,0),写出平面α的一个法向量为 _______________________.
题号
2
1
3
4
5
6
8
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9
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14
(2,1,2)(答案不唯一)
题号
2
1
3
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12
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题号
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10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以D为原点建立空间直角坐标系,E为BB1的中点,F为A1D1的中点,则下列向量中,能作为平面AEF的一个法向量的是( )
A.(1,-2,4)
B.(-4,1,-2)
C.(2,-2,1)
D.(1,2,-2)
题号
2
1
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4
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题号
2
1
3
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5
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8
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11.已知空间三点坐标分别为A(1,1,1),B(0,3,0),C(-2,-1,4),点P(-3,x,3)在平面ABC内,则实数x的值为( )
A.1 B.-2
C.0 D.-1
题号
2
1
3
4
5
6
8
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2
1
3
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12.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E是上底面正方形A1B1C1D1的中心,点F是正方体棱上的点,以点A为坐标原点,分别以AB,AD,AA1所在的直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系,若平面BEF的一个法向量为n=(8,2,3),则点F所在的棱可以是
( )
A.AD B.CD
C.CC1 D.DD1
题号
2
1
3
4
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6
8
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√
题号
2
1
3
4
5
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8
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9
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13.在空间直角坐标系Oxyz中,经过点P(x0,y0,z0)且法向量为m=(A,B,C)的平面方程为A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.若平面α的方程为x+2y+z-1=0,则平面α的一个法向量为_________________________.
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
(1,2,1)(答案不唯一) [根据题意,平面α的方程为x+2y+z-1=0,即1(x-0)+2(y-0)+1(z-1)=0,
则平面α的一个法向量为(1,2,1).]
(1,2,1)(答案不唯一)
14.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=3,点E在棱AB上移动.
(1)证明:D1E⊥A1D;
(2)求平面ACD1的法向量.
题号
2
1
3
4
5
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题号
2
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13
141.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示
[学习目标]
1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.(数学抽象)
2.会求一个平面的法向量.(数学运算、逻辑推理)
探究1 空间中点和直线的向量表示
问题1 在空间中,如何确定一条直线?
[新知生成]
1.点的位置向量
在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示,我们把向量称为点P的位置向量.
2.空间直线的向量表示式
设A是直线l上一点,a是直线l的方向向量,在直线l上取=a,设P是直线l上任意一点,
(1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使得=ta,即=______________.
(2)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使=+ta,即=.
(3)性质:空间任意直线都可以由直线上一点及直线的______________唯一确定.
[典例讲评] 1.(源自湘教版教材)如图所示,已知长方体ABCD-A′B′C′D′的棱长AB=2,AD=4,AA′=3.以点D为原点,分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向,并均以1为单位长度,建立空间直角坐标系,求下列直线的一个方向向量:
(1)AA′;(2)BD′.
[尝试解答]
理解直线方向向量的概念
(1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量.
(2)直线的方向向量不唯一.
[学以致用] 1.在如图所示的空间直角坐标系中,四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体,棱长为1,则直线DD1的一个方向向量为________,直线BC1的一个方向向量为________.
探究2 空间中平面的向量表示
问题2 向量p与不共线向量a,b共面的充要条件是什么?
问题3 如何用向量表示点P在平面ABC内的充要条件?
[新知生成]
1.如图,设两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为a和b,P为平面α内任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对(x,y),使得______________.
2.如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使=.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式.空间中任意平面由空间一点及两个______________向量唯一确定.
3.如图,直线l⊥α,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面α的______________.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P|a·=0}.
[典例讲评] 【链接教材P28例1】
2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,AB=AP=1,AD=,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面ACE的一个法向量.
[尝试解答]
[母题探究] 本例条件不变,试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量.
如何确定平面的法向量?
[学以致用] 2.已知=(1,1,0),=(0,1,2),写出平面ABC的一个法向量n=________.
3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=1,AA1=2.以A为原点,建立空间直角坐标系.
(1)求平面BCC1B1的法向量;
(2)求平面A1BC的法向量.
1.(教材P29练习T2改编)已知点P(0,1,0),Q(-2,0,1),则直线PQ的一个方向向量可以为( )
A.(-2,-1,-1) B.(1,-2,1)
C.(4,2,-2) D.(4,-2,2)
2.若n=(2,-3,1)是平面α的一个法向量,则下列向量中能作为平面α法向量的是( )
A.(0,-3,1) B.(2,0,1)
C.(-2,-3,1) D.(-2,3,-1)
3.已知a=(2,0,2),b=(3,0,0)分别是平面α,β的法向量,则平面α,β交线的方向向量可以是( )
A.(1,0,0) B.(0,1,0)
C.(0,0,1) D.(1,1,1)
4.已知平面α经过点O(0,0,0),且e=(1,2,-3)是平面α的一个法向量,M(x,y,z)是平面α内任意一点,则x,y,z满足的关系式是________.
1.知识链:
2.方法链:待定系数法、赋值法.
3.警示牌:直线的方向向量和平面的法向量都不能是零向量且不唯一,这无数个方向向量或法向量都分别是共线向量.用代数法求平面的法向量时,设定的某个分坐标一定不能是0.
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