课时分层作业(六)
1．B [因为a＝(1，2，2)，b＝(1，4，t)，
所以a·b＝1＋8＋2t＝1，解得t＝－4．
故选B．]
2．A [因为点B(1，1，2)，又点C与点B关于平面Ozx对称，可得C(1，－1，2)，
则向量＝(－1，0，1)，所以|．
故选A．]
3．AD [对于A，∵向量a＝(1，1，1)，b＝(－1，0，2)，
∴a＋b＝(0，1，3)，故A正确；
对于B，|a|＝，故B错误；
对于C，a＝(1，1，1)，b＝(－1，0，2)，
由数量积的定义得a·b＝1×(－1)＋1×0＋1×2＝1，故C错误；
对于D，|b|＝，
∴cos
＝，故D正确．故选AD．]
4．D [由题意得a－b＝(－1－t，2－2t，0)，
∴|a－b|＝＝≥，
当且仅当t＝时取等号，∴|a－b|的最小值为．
故选D．]
5．D [由题意知：＝(－1，1，0)，＝(0，2，2)，
设＝(0，2λ，2λ)(λ∈R)，∴＝(1，2λ－1，2λ)，
∵AH⊥OB，∴·＝0＋2(2λ－1)＋4λ＝0，解得λ＝，
∴，又O(0，0，0)，∴H．故选D．]
6． [因为a＝(2，x，－1)，b＝(1，2，0)，a·b＝2，
所以2＋2x＝2，解得x＝0，
所以|a|＝．]
7． [因为a＝(－1，2，3)，b＝(1，－2，－1)，
则a2＝(－1)2＋22＋32＝14，a·b＝(－1)×1＋2×(－2)＋3×(－1)＝－8，因为a⊥(a＋λb)，
所以a·(a＋λb)＝a2＋λa·b＝14－8λ＝0，
解得λ＝，所以实数λ的值为．]
8．3 [因为A(1，2，1)，B(1，0，2)，C(－1，1，4)，
则＝(－2，－1，3)，＝(0，－2，1)，
故·＝5，|，|，
，
因为CD为△ABC的边AB上的高，
则在Rt△ADC中，CD＝＝3．]
9．解：(1)∵向量a＝(x，1，2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3，1，z)，且a∥b，b⊥c，
∴解得x＝－1，y＝－1，z＝1，
∴向量a＝(－1，1，2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3，1，1)．
(2)∵a＋c＝(2，2，3)，b＋c＝(4，0，－1)，
∴(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5，
|a＋c|＝，|b＋c|＝，
∴a＋c与b＋c所成角的余弦值为
cos θ＝．
10．ACD [因为＝(－2，1，4)，＝(1，－2，1)，＝(4，2，0)，
对于A，由·＝－2×1＋1×(－2)＋4×1＝0，所以⊥，即AP⊥AB，选项A正确；
对于B，由＝(3，－3，－3)，可得·＝3×1＋(－3)×(－2)＋(－3)×1＝6≠0，
所以不垂直，即AP与BP不垂直，选项B错误；
对于C，由＝(6，1，－4)，可得|，即BC＝，选项C正确；
对于D，由·＝1×6＋(－2)×1＋1×(－4)＝0，所以⊥，即AP⊥BC，选项D正确．
故选ACD．]
11．AC [对于A，因为a＝(1，1，－1)，c＝，所以a＝－c，且|c|＝＝1，选项A正确；
对于B，由|a|＝，|b|＝，得|a|＝|b|，选项B错误；
对于C，由a·b＝1－1－，得cos＝，可得向量a，b的夹角的大小为，选项C正确；
对于D，由m＝xa＋yb，即(3，1，－2)＝x(1，1，－1)＋y(1，－1，)，即解得x＝2，y＝1，所以x－y＝1，选项D错误．故选AC．]
12．(1) (2)－22或－12或8(写出其中任意一个即可) [(1)当x＝2时，c＝(2，4，z)，
因为a＝(－1，2，4)，b＝(1，－4，2)，
所以a＋2b＝(1，－6，8)，
因为(a＋2b)⊥c，所以(a＋2b)·c＝1×2－6×4＋8z＝0，
解得z＝．
(2)因为a，b，c共面，
所以由空间向量基本定理可知，c＝λa＋μb，
选①x＝1，则(1，4，z)＝(－λ，2λ，4λ)＋(μ，－4μ，2μ)＝(－λ＋μ，2λ－4μ，4λ＋2μ)，
故解得z＝－22．
选②x＝0，则(0，4，z)＝(－λ，2λ，4λ)＋(μ，－4μ，2μ)＝(－λ＋μ，2λ－4μ，4λ＋2μ)，
故解得z＝－12．
选③x＝－2，则(－2，4，z)＝(－λ，2λ，4λ)＋(μ，－4μ，2μ)＝(－λ＋μ，2λ－4μ，4λ＋2μ)，
故解得z＝8．
综上所述，z的值可以为－22或－12或8．]
13．解：
(1)由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(，0，0)，C(，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，2)，E，从而＝(，1，0)，＝(，0，－2)．
设所成的夹角为θ，则
cos θ＝．
∴AC与PB所成角的余弦值为．
(2)由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x，0，z)，则，
由NE⊥平面PAC，可得
即
化简得∴
即N点的坐标为时，NE⊥平面PAC．
14．解：∵PA⊥平面ABCD，且AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥AD．
∵AB⊥AD，∴AP，AB，AD两两垂直．
∴以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz．
在平面ABCD内，作CE∥AB交AD于点E，则CE⊥AD．
在Rt△CDE中，DE＝CD·cos 45°＝1，CE＝CD·sin 45°＝1．
设AB＝AP＝t，则B(t，0，0)，P(0，0，t)．
由AB＋AD＝4，得AD＝4－t，
∴E(0，3－t，0)，C(1，3－t，0)，D(0，4－t，0)．
假设在线段AD上存在一点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等．
设G(0，m，0)(其中0≤m≤4－t)，则＝(1，3－t－m，0)，＝(0，4－t－m，0)，＝(0，－m，t)，＝(t，－m，0)．
由||，得12＋(3－t－m)2＝(4－t－m)2，即t＝3－m．①
由||，得(4－t－m)2＝m2＋t2．②
由①②消去t，化简得m2－3m＋4＝0．③
由于方程③没有实数根，所以在线段AD上不存在一点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.3.2 空间向量运算的坐标表示
[学习目标]
1．掌握空间向量运算的坐标表示．(数学运算)
2．掌握空间两点间的距离公式，并会用向量的坐标解决一些简单的几何问题．(数学运算、逻辑推理)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．如何用坐标来表示空间向量的运算？
问题2．如何用坐标来表示空间向量平行和垂直的条件、模和夹角的计算公式？
问题3．空间两点间的距离公式是什么？
探究1 空间向量的坐标运算
问题1 你能类比平面向量运算的坐标表示得出空间向量运算的坐标表示吗？若能，请尝试证明．
[提示] 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
则a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3．
证明如下：设{i，j，k}为空间的一个单位正交基底，则a＝a1i＋a2j＋a3k，b＝b1i＋b2j＋b3k，所以a±b＝(a1±b1)i＋(a2±b2)j＋(a3±b3)k＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)，
λa＝λ(a1i＋a2j＋a3k)＝λa1i＋λa2j＋λa3k＝(λa1，λa2，λa3)，
a·b＝(a1i＋a2j＋a3k)·(b1i＋b2j＋b3k)＝a1b1＋a2b2＋a3b3
(由数量积的分配律及i·i＝j·j＝k·k＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0得)．
[新知生成]
1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a＋b (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法 a－b (a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘 λa (λa1，λa2，λa3)
数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
2．设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．
【教用·微提醒】 (1)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．
(2)向量线性运算的结果仍是向量；数量积的结果为数量．
[典例讲评] 1．在△ABC中，A(2，－5，3)，＝(4，1，2)，＝(3，－2，5)．
(1)求顶点B，C的坐标；
(2)求；
(3)若点P在AC上，且＝，求点P的坐标．
[解] (1)设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)，
所以＝(x－2，y＋5，z－3)，
＝(x1－x，y1－y，z1－z)．
因为＝(4，1，2)，
所以 解得
所以点B的坐标为(6，－4，5)．
因为＝(3，－2，5)，
所以 解得
所以点C的坐标为(9，－6，10)．
(2)因为＝(－7，1，－7)，
所以＝－21－2－35＝－58．
(3)设P(x2，y2，z2)，
则＝(x2－2，y2＋5，z2－3)，
＝(9－x2，－6－y2，10－z2)，
于是有(x2－2，y2＋5，z2－3)
＝(9－x2，－6－y2，10－z2)，
所以 解得
故点P的坐标为．
空间向量坐标运算的规律
(1)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算．
(2)由条件求向量或点的坐标：把向量或点的坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标．
[学以致用] 1．已知向量a＝(2，－3，1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，0，2)，则a·(2b－c)＝( )
A．12 B．－12
C．9 D．－9
A [2b－c＝2×(2，0，3)－(0，0，2)＝(4，0，4)，
则a·(2b－c)＝(2，－3，1)·(4，0，4)＝8＋4＝12．
故选A．]
2．已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别是(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)，求点P的坐标，使：
(1)＝)；(2)＝)．
[解] (1)∵＝(2，6，－3)，＝(－4，3，1)，
∴＝(6，3，－4)．
＝×(6，3，－4)＝，则点P的坐标为．
(2)设点P的坐标为(x，y，z)，则＝(x－2，y＋1，z－2)．
∵)＝＝，∴x＝5，y＝，z＝0，
则点P的坐标为．
探究2 空间向量平行、垂直的坐标表示及应用
问题2 设平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b，a⊥b的充要条件分别是什么？对于空间向量是不是也有类似的结论？
[提示] a∥b x1y2－x2y1＝0；a⊥b x1x2＋y1y2＝0．对于空间向量也有类似结论．
[新知生成]
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
平行(a∥b) a∥b(b≠0) a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
垂直(a⊥b) a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)
【教用·微提醒】 (1)要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb(b≠0)．
(2)当b的坐标中b1，b2，b3都不等于0时，a与b平行的条件还可以表示为a∥b ＝＝．
由平行、垂直关系求参数
[典例讲评] 2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱D1D的中点，点P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值．
[解] 如图所示，以点D为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则A(1，0，0)，E，B(1，1，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，D(0，0，0)，由题意，可设点P的坐标为(a，a，1)，因为3＝，所以3(a－1，a－1，0)＝(－a，－a，0)，所以3a－3＝－a，解得a＝，所以点P的坐标为．由题意可设点Q的坐标为(b，b，0)，因为PQ⊥AE，所以＝0，所以＝0，即－＝0，解得b＝，所以点Q的坐标为．因为＝λ，所以(－1，－1，0)＝λ，所以＝－1，故λ＝－4．
[母题探究]
1．若本例中删掉3＝，将“PQ⊥AE”改为“B1Q⊥EQ”，其他条件不变，结果如何？
[解] 以点D为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，设正方体棱长为1，点Q的坐标为(c，c，0)，因为B1Q⊥EQ，所以＝0，所以(c－1，c－1，－1)·＝0，即c(c－1)＋c(c－1)＋＝0，4c2－4c＋1＝0，解得c＝，所以点Q的坐标为，所以点Q是线段BD的中点，所以＝－2，故λ＝－2．
2．本例中，若点G是A1D的中点，点H在平面Dxy上，且GH∥BD1，试判断点H的位置．
[解] 以点D为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，
因为点G是A1D的中点，
所以点G的坐标为，
因为点H在平面Dxy上，
设点H的坐标为(m，n，0)，
因为＝＝(－1，－1，1)，
且GH∥BD1，所以＝＝，解得m＝1，n＝．
所以点H的坐标为，所以点H为线段AB的中点．
判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解．
[学以致用] 3．已知p＝(1，1，a)(a＞0)，q＝(2，b，1)，r＝(c，1，0)(c＞0)．
(1)若(p＋q)∥(p－q)，求a，b的值；
(2)若|r|＝且(p－2q)⊥(p－r)，求a，c的值．
[解] (1)已知p＝(1，1，a)(a＞0)，q＝(2，b，1)，r＝(c，1，0)(c＞0)，
则p＋q＝(3，1＋b，a＋1)，p－q＝(－1，1－b，a－1)，∵(p＋q)∥(p－q)，
∴
解得a＝，b＝2．
(2)由题意得，p－2q＝(－3，1－2b，a－2)，p－r＝(1－c，0，a)，
∵|r|＝且(p－2q)⊥(p－r)，
∴
解得a＝2，c＝1．
向量的平行、垂直关系在立体几何证明中的应用
[典例讲评] 【链接教材P20例2】
3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是CC1，BC，CD和A1C1的中点．
求证：(1)AB1∥GE，AB1⊥EH；
(2)A1G⊥平面EFD．
[证明] 如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(1，1，1)．由中点坐标公式，得E，F，G，H．
(1)＝(1，0，1)，＝，＝．
因为＝2＝1×＋1×＝0，
所以∥⊥，即⊥EH．
(2)＝＝，＝．
因为＝＋0＝0，
＝＋0－＝0，
所以⊥⊥，所以A1G⊥DF，A1G⊥DE，
因为DF∩DE＝D，所以A1G⊥平面EFD．
【教材原题·P20例2】
例2 如图1.3-8，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证EF⊥DA1．
[分析] 要证明EF⊥DA1，只要证明⊥，即证＝0．我们只要用坐标表示，并进行数量积运算即可．
[证明] 不妨设正方体的棱长为1，建立如图1.3-8所示的空间直角坐标系Oxyz，则
E，F，所以＝．
又A1(1，0，1)，D(0，0，0)，所以＝(1，0，1)．
所以＝·(1，0，1)＝0．
所以⊥，即EF⊥DA1．
利用向量的坐标运算证明平行或垂直，要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明．
[学以致用] 4．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．
求证：(1)AM∥平面BDE；
(2)AM⊥平面BDF．
[证明] (1)如图，建立空间直角坐标系，
设AC∩BD＝N，连接NE，
则点N，E的坐标分别为，(0，0，1)．
∴＝．
又点A，M的坐标分别是(，0)，，
∴＝．∴＝．又NE与AM不共线，
∴NE∥AM．
又∵NE 平面BDE，AM 平面BDE，∴AM∥平面BDE．
(2)由(1)知＝．∵D(，0，0)，F(，1)，
∴＝(0，，1)，∴＝0，∴⊥，即AM⊥DF．
同理，⊥，即AM⊥BF．
又DF∩BF＝F，且DF 平面BDF，BF 平面BDF，∴AM⊥平面BDF．
探究3 夹角和距离的计算
问题3 我们已经知道||＝是点A(a1，a2，a3)到原点O(0，0，0)的距离．如图所示，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，你能猜想出这两点之间的距离公式吗？为什么？
[提示] 由|OA|＝||＝＝，
可以类比猜想得出|P1P2|＝||＝．
通过推理可以得出其正确性：因为＝＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，所以||＝．
[新知生成]
1．空间两点间的距离公式：设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，P1P2＝||＝．
2．空间向量的夹角公式：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则cos 〈a，b〉＝＝．
【教用·微提醒】 (1)空间两直线夹角可转化为两向量的夹角，设直线AB与CD所成的角为θ，cos θ＝|cos 〈〉|．
(2)求空间中线段的长度即对应空间向量的模，因此空间两点间的距离公式就是空间向量模的计算公式．
[典例讲评] 【链接教材P21例3】
4．(源自湘教版教材)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．
(1)求证：EF⊥CF；
(2)求CE的长；
(3)求EF与CG所成角的余弦值．
[解] 如图所示，以D为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，E，C(0，1，0)，F，G．
(1)证明：＝＝．
因为＝×0＝0，
所以⊥，即EF⊥CF．
(2)因为＝，
所以||＝＝．
(3)由＝及(1)得
＝×1＋×0＋＝．
又||＝＝，
||＝＝，
所以cos 〈〉＝＝＝．
因此EF与CG所成角的余弦值为．
【教材原题·P21例3】
例3 如图1.3-9，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1，F1分别在棱A1B1，C1D1上，B1E1＝A1B1，D1F1＝C1D1．
(1)求AM的长．
(2)求BE1与DF1所成角的余弦值．
[分析] (1)利用条件建立适当的空间直角坐标系，写出点A，M的坐标，利用空间两点间的距离公式求出AM的长．(2)BE1与DF1所成的角就是所成的角或它的补角．因此，可以通过的坐标运算得到结果．
[解] (1)建立如图1.3-9所示的空间直角坐标系Oxyz，则点A的坐标为(1，0，0)，点M的坐标为．于是
AM＝＝．
(2)由已知，得
B(1，1，0)，E1，D(0，0，0)，F1，
所以＝－(1，1，0)＝，
＝－(0，0，0)＝，
||＝，||＝．
所以＝0×0＋＋1×1＝．
所以cos 〈〉＝＝＝．
所以，BE1与DF1所成角的余弦值是．
用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题的基本思路是什么？
[提示] (1)根据条件建立适当的空间直角坐标系；
(2)写出相关点的坐标，用向量表示相关元素；
(3)通过向量的坐标运算求夹角和距离．
[学以致用] 5．(源自北师大版教材)如图所示，三棱柱ABC-A′B′C′中，侧棱与底面垂直，CA＝CB＝1，∠BCA＝，棱AA′＝2，点M，N分别是A′B′和A′A的中点．
(1)求||；
(2)求cos 〈〉的值；
(3)求证：⊥．
[解] 如图所示，以点C为原点，CA，CB，CC′所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
(1)由题意，得B(0，1，0)，N(1，0，1)．
则＝(1，－1，1)，||＝＝．
(2)由题意，得B(0，1，0)，C(0，0，0)，A′(1，0，2)，B′(0，1，2)．
因为＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)，
所以||＝＝，||＝＝，
＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3，
cos 〈〉＝＝＝．
故cos 〈〉的值为．
(3)证明：由题意，得A′(1，0，2)，B(0，1，0)，C′(0，0，2)，M．
因为＝(－1，1，－2)，＝，
所以＝(－1)×＋1×＋(－2)×0＝0，即⊥．
1．(教材P22练习T3改编)在y轴上有一点C到点A(1，0，2)的距离是到点B(2，－3，2)的，则点C的坐标为( )
A．(0，－2，0) B．(0，－1，0)
C．(0，1，0) D．(0，2，0)
C [在y轴上有一点C到点A(1，0，2)的距离是到点B(2，－3，2)的，设C(0，a，0)，
可得＝，
解得a＝1，所以点C的坐标为(0，1，0)．
故选C．]
2．已知点B(3，－1，0)，＝(－2，－5，3)，则点A的坐标为( )
A．(1，－6，3) B．(5，4，－3)
C．(－1，6，－3) D．(2，5，－3)
B [设点A(x，y，z)，则＝(3－x，－1－y，－z)，
又因为＝(－2，－5，3)，
所以解得
所以A(5，4，－3)．
故选B．]
3．已知空间向量a＝(－1，m，2)，b＝(－1，2，－1)，若a·b＝－3，则a与b的夹角为( )
A．
C．
C [由于向量a＝(－1，m，2)，b＝(－1，2，－1)，a·b＝1＋2m－2＝－3，则m＝－1．故a＝(－1，－1，2)，b＝(－1，2，－1)，设a与b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝－，由于0≤θ≤π，故θ＝．
故选C．]
4．与a＝(2，－1，2)共线且满足a·b＝－9的向量b＝________．
(－2，1，－2) [∵a与b共线，∴可设b＝λa，
∴a·b＝a·λa＝λ·a2＝λ·|a|2＝λ·()2＝9λ＝－9，
∴λ＝－1．∴b＝－a＝(－2，1，－2)．]
1．知识链：
2．方法链：直接法，类比、转化，待定系数法．
3．警示牌：(1)由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等．
(2)求异面直线所成的角时易忽略范围，讨论向量夹角易忽略向量共线的情况．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何用空间向量的坐标运算表示平行、垂直、模及夹角？
[提示] 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
则当b≠0时，a∥b a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
当a≠0，b≠0时，a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝＝；
cos 〈a，b〉＝＝．
2．如何用空间向量的坐标运算来研究平行、垂直、夹角和距离？
[提示] (1)根据条件建立适当的空间直角坐标系；
(2)求出相关点的坐标，用向量表示相关元素；
(3)通过向量的坐标运算研究平行、垂直、夹角和距离．
课时分层作业(六) 空间向量运算的坐标表示
一、选择题
1．已知a＝(1，2，2)，b＝(1，4，t)，若a·b＝1，则t＝( )
A．－ B．－4
C．4 D．
B [因为a＝(1，2，2)，b＝(1，4，t)，
所以a·b＝1＋8＋2t＝1，解得t＝－4．
故选B．]
2．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A(2，－1，1)，B(1，1，2)，若点C与点B关于平面Ozx对称，则||＝( )
A．
C．
A [因为点B(1，1，2)，又点C与点B关于平面Ozx对称，可得C(1，－1，2)，
则向量＝(－1，0，1)，所以||＝＝．
故选A．]
3．(多选)已知向量a＝(1，1，1)，b＝(－1，0，2)，则下列说法正确的是( )
A．a＋b＝(0，1，3) B．|a|＝3
C．a·b＝2 D．cos 〈a，b〉＝
AD [对于A，∵向量a＝(1，1，1)，b＝(－1，0，2)，
∴a＋b＝(0，1，3)，故A正确；
对于B，|a|＝＝，故B错误；
对于C，a＝(1，1，1)，b＝(－1，0，2)，
由数量积的定义得a·b＝1×(－1)＋1×0＋1×2＝1，故C错误；
对于D，|b|＝＝，
∴cos 〈a，b〉＝＝＝，故D正确．故选AD．]
4．已知a＝(1－t，2－t，t)，b＝(2，t，t)，则|a－b|的最小值为( )
A．
C．
D [由题意得a－b＝(－1－t，2－2t，0)，
∴|a－b|＝
＝＝，
当且仅当t＝时取等号，∴|a－b|的最小值为．
故选D．]
5．已知空间三点O(0，0，0)，A(－1，1，0)，B(0，2，2)，在直线OB上有一点H满足AH⊥OB，则点H的坐标为( )
A．
C．
D [由题意知：＝(－1，1，0)，＝(0，2，2)，
设＝λ＝(0，2λ，2λ)(λ∈R)，∴＝＝(1，2λ－1，2λ)，∵AH⊥OB，∴＝0＋2(2λ－1)＋4λ＝0，解得λ＝，
∴＝，又O(0，0，0)，∴H．故选D．]
二、填空题
6．已知a＝(2，x，－1)，b＝(1，2，0)，a·b＝2，则|a|＝________．
[因为a＝(2，x，－1)，b＝(1，2，0)，a·b＝2，
所以2＋2x＝2，解得x＝0，
所以|a|＝＝．]
7．已知向量a＝(－1，2，3)，b＝(1，－2，－1)，若a⊥(a＋λb)，则实数λ的值为________．
[因为a＝(－1，2，3)，b＝(1，－2，－1)，
则a2＝(－1)2＋22＋32＝14，a·b＝(－1)×1＋2×(－2)＋3×(－1)＝－8，
因为a⊥(a＋λb)，
所以a·(a＋λb)＝a2＋λa·b＝14－8λ＝0，
解得λ＝，
所以实数λ的值为．]
8．在空间直角坐标系中已知A(1，2，1)，B(1，0，2)，C(－1，1，4)，CD为△ABC的边AB上的高，则CD＝________．
3 [因为A(1，2，1)，B(1，0，2)，C(－1，1，4)，
则＝(－2，－1，3)，＝(0，－2，1)，
故＝5，||＝，||＝，
在方向上的投影为＝＝，
因为CD为△ABC的边AB上的高，
则在Rt△ADC中，CD＝＝3.]
三、解答题
9．已知向量a＝(x，1，2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3，1，z)，a∥b，b⊥c.
(1)求向量a，b，c；
(2)求向量a＋c与b＋c所成角θ的余弦值．
[解] (1)∵向量a＝(x，1，2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3，1，z)，且a∥b，b⊥c，
∴解得x＝－1，y＝－1，z＝1，∴向量a＝(－1，1，2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3，1，1)．
(2)∵a＋c＝(2，2，3)，b＋c＝(4，0，－1)，
∴(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5，
|a＋c|＝＝，
∴a＋c与b＋c所成角的余弦值为
cos θ＝.
10．(多选)已知点P是△ABC所在的平面外一点，若＝(－2，1，4)，＝(1，－2，1)，＝(4，2，0)，则( )
A．AP⊥AB B．AP⊥BP
C．BC＝ D．AP⊥BC
ACD [因为＝(－2，1，4)，＝(1，－2，1)，＝(4，2，0)，
对于A，由＝－2×1＋1×(－2)＋4×1＝0，所以⊥，即AP⊥AB，选项A正确；
对于B，由＝＝(3，－3，－3)，可得＝3×1＋(－3)×(－2)＋(－3)×1＝6≠0，
所以与不垂直，即AP与BP不垂直，选项B错误；
对于C，由＝＝(6，1，－4)，可得||＝＝，
即BC＝，选项C正确；
对于D，由＝1×6＋(－2)×1＋1×(－4)＝0，所以⊥，即AP⊥BC，选项D正确．
故选ACD．]
11．(多选)已知向量a＝(1，1，－1)，b＝(1，－1，)，则( )
A．向量c＝是与向量a方向相反的单位向量
B．|a|＝|b|
C．向量a，b的夹角的大小为
D．若向量m＝(3，1，－2)＝xa＋yb(x，y为实数)，则x－y＝－1
AC [对于A，因为a＝(1，1，－1)，c＝，所以a＝－c，且|c|＝＝1，选项A正确；
对于B，由|a|＝＝，|b|＝＝2，得|a|＝|b|，选项B错误；
对于C，由a·b＝1－1－＝－，得cos 〈a，b〉＝＝＝－，可得向量a，b的夹角的大小为，选项C正确；
对于D，由m＝xa＋yb，即(3，1，－2)＝x(1，1，－1)＋y(1，－1，)，
即解得x＝2，y＝1，所以x－y＝1，选项D错误．故选AC．]
12．已知空间向量a＝(－1，2，4)，b＝(1，－4，2)，c＝(x，4，z)．
(1)若(a＋2b)⊥c，且x＝2，则z＝________；
(2)若a，b，c共面，在以下三个条件中①x＝1，②x＝0，③x＝－2选取一个作为已知，则z的值可以为 ________．
(1) (2)－22或－12或8(写出其中任意一个即可) [(1)当x＝2时，c＝(2，4，z)，
因为a＝(－1，2，4)，b＝(1，－4，2)，
所以a＋2b＝(1，－6，8)，
因为(a＋2b)⊥c，所以(a＋2b)·c＝1×2－6×4＋8z＝0，
解得z＝．
(2)因为a，b，c共面，
所以由空间向量基本定理可知，c＝λa＋μb，
选①x＝1，则(1，4，z)＝(－λ，2λ，4λ)＋(μ，－4μ，2μ)＝(－λ＋μ，2λ－4μ，4λ＋2μ)，
故解得z＝－22．
选②x＝0，则(0，4，z)＝(－λ，2λ，4λ)＋(μ，－4μ，2μ)＝(－λ＋μ，2λ－4μ，4λ＋2μ)，
故解得z＝－12．
选③x＝－2，则(－2，4，z)＝(－λ，2λ，4λ)＋(μ，－4μ，2μ)＝(－λ＋μ，2λ－4μ，4λ＋2μ)，
故解得z＝8．
综上所述，z的值可以为－22或－12或8．]
13．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．
(1)求AC与PB所成角的余弦值；
(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，求N点的坐标．
[解] (1)由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(，0，0)，C(，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，2)，E，从而＝(，1，0)，＝(，0，－2)．
设与所成的夹角为θ，则
cos θ＝＝＝．
∴AC与PB所成角的余弦值为．
(2)由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x，0，z)，则＝，
由NE⊥平面PAC，可得
即
化简得
∴
即N点的坐标为时，NE⊥平面PAC．
14．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD．在四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝，∠CDA＝45°．设AB＝AP，在线段AD上是否存在一点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由．
[解] ∵PA⊥平面ABCD，且AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥AD．
∵AB⊥AD，∴AP，AB，AD两两垂直．
∴以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz．
在平面ABCD内，作CE∥AB交AD于点E，则CE⊥AD．
在Rt△CDE中，DE＝CD·cos 45°＝1，CE＝CD·sin 45°＝1．
设AB＝AP＝t，则B(t，0，0)，P(0，0，t)．
由AB＋AD＝4，得AD＝4－t，
∴E(0，3－t，0)，C(1，3－t，0)，D(0，4－t，0)．
假设在线段AD上存在一点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等．
设G(0，m，0)(其中0≤m≤4－t)，则＝(1，3－t－m，0)，＝(0，4－t－m，0)，＝(0，－m，t)，＝(t，－m，0)．
由||＝||，得12＋(3－t－m)2＝(4－t－m)2，即t＝3－m．①
由||＝||，得(4－t－m)2＝m2＋t2．②
由①②消去t，化简得m2－3m＋4＝0．③
由于方程③没有实数根，所以在线段AD上不存在一点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(六) 空间向量运算的坐标表示
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共99分
一、选择题
1．已知a＝(1，2，2)，b＝(1，4，t)，若a·b＝1，则t＝( )
A．－ B．－4
C．4 D．
2．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A(2，－1，1)，B(1，1，2)，若点C与点B关于平面Ozx对称，则||＝( )
A．
C．
3．(多选)已知向量a＝(1，1，1)，b＝(－1，0，2)，则下列说法正确的是( )
A．a＋b＝(0，1，3) B．|a|＝3
C．a·b＝2 D．cos 〈a，b〉＝
4．已知a＝(1－t，2－t，t)，b＝(2，t，t)，则|a－b|的最小值为( )
A．
C．
5．已知空间三点O(0，0，0)，A(－1，1，0)，B(0，2，2)，在直线OB上有一点H满足AH⊥OB，则点H的坐标为( )
A．
C．
二、填空题
6．已知a＝(2，x，－1)，b＝(1，2，0)，a·b＝2，则|a|＝________．
7．已知向量a＝(－1，2，3)，b＝(1，－2，－1)，若a⊥(a＋λb)，则实数λ的值为________．
8．在空间直角坐标系中已知A(1，2，1)，B(1，0，2)，C(－1，1，4)，CD为△ABC的边AB上的高，则CD＝________．
三、解答题
9．已知向量a＝(x，1，2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3，1，z)，a∥b，b⊥c.
(1)求向量a，b，c；
(2)求向量a＋c与b＋c所成角θ的余弦值．
10．(多选)已知点P是△ABC所在的平面外一点，若＝(－2，1，4)，＝(1，－2，1)，＝(4，2，0)，则( )
A．AP⊥AB B．AP⊥BP
C．BC＝ D．AP⊥BC
11．(多选)已知向量a＝(1，1，－1)，b＝(1，－1，)，则( )
A．向量c＝是与向量a方向相反的单位向量
B．|a|＝|b|
C．向量a，b的夹角的大小为
D．若向量m＝(3，1，－2)＝xa＋yb(x，y为实数)，则x－y＝－1
12．已知空间向量a＝(－1，2，4)，b＝(1，－4，2)，c＝(x，4，z)．
(1)若(a＋2b)⊥c，且x＝2，则z＝________；
(2)若a，b，c共面，在以下三个条件中①x＝1，②x＝0，③x＝－2选取一个作为已知，则z的值可以为 ________．
13．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．
(1)求AC与PB所成角的余弦值；
(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，求N点的坐标．
14．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD．在四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝，∠CDA＝45°．设AB＝AP，在线段AD上是否存在一点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由．
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第一章
空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
[学习目标]
1．掌握空间向量运算的坐标表示．(数学运算)
2．掌握空间两点间的距离公式，并会用向量的坐标解决一些简单的几何问题．(数学运算、逻辑推理)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．如何用坐标来表示空间向量的运算？
问题2．如何用坐标来表示空间向量平行和垂直的条件、模和夹角的计算公式？
问题3．空间两点间的距离公式是什么？
探究建构 关键能力达成
探究1 空间向量的坐标运算
问题1 你能类比平面向量运算的坐标表示得出空间向量运算的坐标表示吗？若能，请尝试证明．
[提示] 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
则a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3．
证明如下：设{i，j，k}为空间的一个单位正交基底，则a＝a1i＋a2j＋a3k，b＝b1i＋b2j＋b3k，所以a±b＝(a1±b1)i＋(a2±b2)j＋(a3±b3)k＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)，
λa＝λ(a1i＋a2j＋a3k)＝λa1i＋λa2j＋λa3k＝(λa1，λa2，λa3)，
a·b＝(a1i＋a2j＋a3k)·(b1i＋b2j＋b3k)＝a1b1＋a2b2＋a3b3
(由数量积的分配律及i·i＝j·j＝k·k＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0得)．
[新知生成]
1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a＋b (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法 a－b (a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘 λa (λa1，λa2，λa3)
数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
(x2－x1，y2－y1，z2－z1)
减去
【教用·微提醒】 (1)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．
(2)向量线性运算的结果仍是向量；数量积的结果为数量．
反思领悟 空间向量坐标运算的规律
(1)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算．
(2)由条件求向量或点的坐标：把向量或点的坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标．
[学以致用] 1．已知向量a＝(2，－3，1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，0，2)，则a·(2b－c)＝( )
A．12 B．－12
C．9 D．－9
√
A [2b－c＝2×(2，0，3)－(0，0，2)＝(4，0，4)，
则a·(2b－c)＝(2，－3，1)·(4，0，4)＝8＋4＝12．
故选A．]
探究2 空间向量平行、垂直的坐标表示及应用
问题2 设平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b，a⊥b的充要条件分别是什么？对于空间向量是不是也有类似的结论？
[提示] a∥b x1y2－x2y1＝0；a⊥b x1x2＋y1y2＝0．对于空间向量也有类似结论．
[新知生成]
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
平行(a∥b) a∥b(b≠0) a＝λb ___________________________
垂直(a⊥b) a⊥b a·b＝0 _____________________ (a，b均为非零向量)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
2．本例中，若点G是A1D的中点，点H在平面Dxy上，且GH∥BD1，试判断点H的位置．
反思领悟 判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解．
考向2 向量的平行、垂直关系在立体几何证明中的应用
[典例讲评] 【链接教材P20例2】
3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是CC1，BC，CD和A1C1的中点．
求证：(1)AB1∥GE，AB1⊥EH；
(2)A1G⊥平面EFD．
【教材原题·P20例2】
例2 如图1.3-8，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证EF⊥DA1．
反思领悟 利用向量的坐标运算证明平行或垂直，要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明．
[典例讲评] 【链接教材P21例3】
4．(源自湘教版教材)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．
(1)求证：EF⊥CF；
(2)求CE的长；
(3)求EF与CG所成角的余弦值．
发现规律 用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题的基本思路是什么？
[提示] (1)根据条件建立适当的空间直角坐标系；
(2)写出相关点的坐标，用向量表示相关元素；
(3)通过向量的坐标运算求夹角和距离．
应用迁移 随堂评估自测
√
√
√
4．与a＝(2，－1，2)共线且满足a·b＝－9的向量b＝________________．
(－2，1，－2)
1．知识链：
2．方法链：直接法，类比、转化，待定系数法．
3．警示牌：(1)由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等．
(2)求异面直线所成的角时易忽略范围，讨论向量夹角易忽略向量共线的情况．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何用空间向量的坐标运算表示平行、垂直、模及夹角？
2．如何用空间向量的坐标运算来研究平行、垂直、夹角和距离？
[提示] (1)根据条件建立适当的空间直角坐标系；
(2)求出相关点的坐标，用向量表示相关元素；
(3)通过向量的坐标运算研究平行、垂直、夹角和距离．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
课时分层作业(六) 空间向量运算的坐标表示
√
B [因为a＝(1，2，2)，b＝(1，4，t)，
所以a·b＝1＋8＋2t＝1，解得t＝－4．故选B．]
题号
2
1
3
4
5
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题号
2
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√
√
题号
2
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二、填空题
6．已知a＝(2，x，－1)，b＝(1，2，0)，a·b＝2，则|a|＝________．
题号
2
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3
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7．已知向量a＝(－1，2，3)，b＝(1，－2，－1)，若a⊥(a＋λb)，则实数λ的值为________．
题号
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8．在空间直角坐标系中已知A(1，2，1)，B(1，0，2)，C(－1，1，4)，CD为△ABC的边AB上的高，则CD＝________．
题号
2
1
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14
3
三、解答题
9．已知向量a＝(x，1，2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3，1，z)，a∥b，b⊥c.
(1)求向量a，b，c；
(2)求向量a＋c与b＋c所成角θ的余弦值．
题号
2
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√
√
√
题号
2
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题号
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8
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√
√
题号
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12．已知空间向量a＝(－1，2，4)，b＝(1，－4，2)，c＝(x，4，z)．
(1)若(a＋2b)⊥c，且x＝2，则z＝________；
(2)若a，b，c共面，在以下三个条件中①x＝1，②x＝0，③x＝－2选取一个作为已知，则z的值可以为 _____________________________
_________________．
题号
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14
－22或－12或8(写出其中任意一
个即可)
题号
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[解] ∵PA⊥平面ABCD，且AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥AD．
∵AB⊥AD，∴AP，AB，AD两两垂直．
∴以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz．
在平面ABCD内，作CE∥AB交AD于点E，则CE⊥AD．
在Rt△CDE中，DE＝CD·cos 45°＝1，CE＝CD·sin 45°＝1．
题号
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141.3.2 空间向量运算的坐标表示
[学习目标]
1．掌握空间向量运算的坐标表示．(数学运算)
2．掌握空间两点间的距离公式，并会用向量的坐标解决一些简单的几何问题．(数学运算、逻辑推理)
探究1 空间向量的坐标运算
问题1 你能类比平面向量运算的坐标表示得出空间向量运算的坐标表示吗？若能，请尝试证明．
[新知生成]
1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a＋b (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法 a－b (a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘 λa (λa1，λa2，λa3)
数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
2．设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝______________．即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标______________起点坐标．
[典例讲评] 1．在△ABC中，A(2，－5，3)，＝(4，1，2)，＝(3，－2，5)．
(1)求顶点B，C的坐标；
[尝试解答]
(2)求；
(3)若点P在AC上，且＝，求点P的坐标．
[尝试解答]
空间向量坐标运算的规律
(1)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算．
(2)由条件求向量或点的坐标：把向量或点的坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标．
[学以致用] 1．已知向量a＝(2，－3，1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，0，2)，则a·(2b－c)＝( )
A．12 B．－12
C．9 D．－9
2．已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别是(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)，求点P的坐标，使：
(1)＝)；(2)＝)．
探究2 空间向量平行、垂直的坐标表示及应用
问题2 设平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b，a⊥b的充要条件分别是什么？对于空间向量是不是也有类似的结论？
[新知生成]
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
平行(a∥b) a∥b(b≠0) a＝λb ______________
垂直(a⊥b) a⊥b a·b＝0 ______________(a，b均为非零向量)
由平行、垂直关系求参数
[典例讲评] 2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱D1D的中点，点P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值．
[尝试解答]
[母题探究]
1．若本例中删掉3＝，将“PQ⊥AE”改为“B1Q⊥EQ”，其他条件不变，结果如何？
2．本例中，若点G是A1D的中点，点H在平面Dxy上，且GH∥BD1，试判断点H的位置．
判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解．
[学以致用] 3．已知p＝(1，1，a)(a＞0)，q＝(2，b，1)，r＝(c，1，0)(c＞0)．
(1)若(p＋q)∥(p－q)，求a，b的值；
(2)若|r|＝且(p－2q)⊥(p－r)，求a，c的值．
向量的平行、垂直关系在立体几何证明中的应用
[典例讲评] 【链接教材P20例2】
3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是CC1，BC，CD和A1C1的中点．
求证：(1)AB1∥GE，AB1⊥EH；
(2)A1G⊥平面EFD．
[尝试解答]
利用向量的坐标运算证明平行或垂直，要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明．
[学以致用] 4．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．
求证：(1)AM∥平面BDE；
(2)AM⊥平面BDF．
探究3 夹角和距离的计算
问题3 我们已经知道||＝是点A(a1，a2，a3)到原点O(0，0，0)的距离．如图所示，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，你能猜想出这两点之间的距离公式吗？为什么？
[新知生成]
1．空间两点间的距离公式：设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，P1P2＝||＝．
2．空间向量的夹角公式：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则cos 〈a，b〉＝＝．
[典例讲评] 【链接教材P21例3】
4．(源自湘教版教材)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．
(1)求证：EF⊥CF；
(2)求CE的长；
(3)求EF与CG所成角的余弦值．
[尝试解答]
用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题的基本思路是什么？
[学以致用] 5．(源自北师大版教材)如图所示，三棱柱ABC-A′B′C′中，侧棱与底面垂直，CA＝CB＝1，∠BCA＝，棱AA′＝2，点M，N分别是A′B′和A′A的中点．
(1)求||；
(2)求cos 〈〉的值；
(3)求证：⊥．
1．(教材P22练习T3改编)在y轴上有一点C到点A(1，0，2)的距离是到点B(2，－3，2)的，则点C的坐标为( )
A．(0，－2，0) B．(0，－1，0)
C．(0，1，0) D．(0，2，0)
2．已知点B(3，－1，0)，＝(－2，－5，3)，则点A的坐标为( )
A．(1，－6，3) B．(5，4，－3)
C．(－1，6，－3) D．(2，5，－3)
3．已知空间向量a＝(－1，m，2)，b＝(－1，2，－1)，若a·b＝－3，则a与b的夹角为( )
A．
C．
4．与a＝(2，－1，2)共线且满足a·b＝－9的向量b＝________．
1．知识链：
2．方法链：直接法，类比、转化，待定系数法．
3．警示牌：(1)由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等．
(2)求异面直线所成的角时易忽略范围，讨论向量夹角易忽略向量共线的情况．
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