(共87张PPT)
第一章
空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第1课时 用空间向量研究距离问题
[学习目标] 能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题．(直观想象、数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．空间点到直线、点到平面的距离的向量计算公式是什么？
问题2．相互平行的直线、平面间的距离可分别转化为什么距离求解？
问题3．用向量解决空间线面距离问题的一般步骤是什么？
探究建构 关键能力达成
探究1 点到直线的距离
问题1 给定一条直线l和直线l外一点P，如何用向量的方法求点P到直线l的距离？
[提示] 取直线l上一点A，它的单位方向向量用u表示，过P作PQ⊥l(图略)，点Q为垂足．这样，要解决的问题是：利用直线l上的点A，直线的单位方向向量u和直线外的一点P，求线段PQ的长度．
问题2 为了求线段PQ的长度，如何将“问题1”中的条件与线段PQ联系起来？
【教用·微提醒】 点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题．
[典例讲评] 1．如图所示，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3．用向量的方法求点B到直线A′C的距离．
反思领悟 1．用向量法求点到直线的距离的一般步骤
(1)求直线的单位方向向量．
(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度．
(3)利用勾股定理求解．
2．平行线间的距离转化为点线距求解．
√
(教材原题·P42习题1.4T6)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形A1ABB1的中心，E为BC的中点，求点O到直线A1E的距离．
探究2 点、直线、平面到平面的距离
问题3 你能类比点到直线的距离公式的推导过程，推导出点到平面的距离公式吗？
[典例讲评] 【链接教材P34例6】
2．如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．
(1)求点D到平面PEF的距离；
(2)求直线AC到平面PEF的距离．
[分析] 根据条件建立空间直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的方向向量和平面的法向量，再利用有关公式，通过坐标运算得出相应的距离．
【教材原题·P34例6】
例6 如图1.4-18，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，
E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点．
(1)求点B到直线AC1的距离；
(2)求直线FC到平面AEC1的距离．
图1.4-18
发现规律 试写出用向量法求点到平面的距离的步骤．
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应用迁移 随堂评估自测
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4．已知AB∥平面α，平面α的一个法向量为n＝(1，0，1)，平面α内一点C的坐标为(0，0，1)，直线AB上的点A的坐标为(1，2，1)，则直线AB到平面α的距离为________．
1．知识链：
2．方法链：向量法、几何法、转化法．
3．警示牌：(1)求两条平行线之间的距离，在其中一条直线上找到一点，转化为点到直线的距离．
(2)求直线与平面之间的距离、两个平行平面之间的距离，在直线或其中一个平面上找到一点，转化为点到平面的距离．
(3)应注意点要选取适当，以方便求解为主．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．用空间向量求点到直线的距离的方法是什么？
2．用空间向量求点到平面的距离的方法是什么？
3．如何用空间向量求直线和平面、平面和平面间的距离？
[提示] 先证明直线和平面平行，平面和平面平行，然后把所求距离转化为点到平面的距离，最后利用点到平面的距离公式求解．
异面直线间的距离
设直线a，b异面，向量a，b分别为它们的一个方向向量，如何求出这两条异面直线间的距离呢？
如图1所示，过直线a上任意一点A作b′∥b，过直
线b上任意一点B作a′∥a，则a∩b′＝A，a′∩b＝B，于
是a与b′，a′与b均可确定一个平面，依次记作α，β．
由立体几何的知识可以证明：平面α，β均由直线a，
阅读材料 拓展数学视野
章末综合测评(一) 动量守恒定律
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课时分层作业(十) 用空间向量研究距离问题
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二、填空题
6．已知空间中A，B，C三点的坐标分别为(1，1，－1)，(0，0，1)，(－1，1，0)，则点C到直线AB的距离为________．
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三、解答题
9．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点．
(1)求点A1到直线B1E的距离；
(2)求直线FC1到直线AE的距离；
(3)求点A1到平面AB1E的距离．
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12．在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________．
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13．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD间的距离为________．
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[解] (1)证明：因为△PAD是正三角形，O是AD的中点，所以PO⊥AD，
因为CD⊥平面PAD，PO 平面PAD，所以CD⊥PO，
又AD∩CD＝D，CD，AD 平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD．
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15课时分层作业(十) 用空间向量研究距离问题
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共94分
一、选择题
1．空间内有三点P(－1，2，3)，E(2，1，1)，F(1，2，2)，则点P到直线EF的距离为( )
A．
C．2 D．2
2．若空间中有三点A(2，0，4)，B(2，4，0)，C(1，4，4)，则点P(0，0，0)到平面ABC的距离为( )
A． B．2
C． D．2
3．(多选)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，M为AA1的中点，则( )
A．C1到直线CE的距离为
B．A1到平面MBD的距离为
C．E到平面ABM的距离为
D．C到直线MD的距离为1
4．已知直线l的方向向量为n＝(1，0，2)，点A(0，1，1)在直线l上，若点P(1，a，2)到直线l的距离为，则a＝( )
A．0 B．2
C．0或2 D．1或2
5．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是等边三角形，AA1＝，AB＝2，则点C到直线AB1的距离为( )
A．
C．
二、填空题
6．已知空间中A，B，C三点的坐标分别为(1，1，－1)，(0，0，1)，(－1，1，0)，则点C到直线AB的距离为________．
7．如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1＝，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，则点B1到平面A1BC的距离为________．
8．已知直线l的方向向量为m＝(1，，－1)，若点P(－1，1，－1)为直线l外一点，A(4，1，－2)为直线l上一点，则P到直线l的距离为________．
三、解答题
9．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点．
(1)求点A1到直线B1E的距离；
(2)求直线FC1到直线AE的距离；
(3)求点A1到平面AB1E的距离．
10．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝，D是棱AC的中点，且AB＝BC＝BB1＝1，则直线AB1到平面BC1D的距离为( )
A．
C．
11．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD＝SA＝SD＝2AB＝2，P为棱AD的中点，且SP⊥AB，＝λ(0≤λ≤1)，若点M到平面SBC的距离为，则实数λ的值为( )
A．
C．
12．在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________．
13．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD间的距离为________．
14．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，CD⊥平面PAD，△PAD是正三角形，E，F，G，O分别为PC，PD，BC，AD的中点．
(1)求证：PO⊥平面ABCD；
(2)求点A到平面EFG的距离；
(3)线段PC上是否存在点M，使得三棱锥M-EFG的体积为，若存在，求的值；若不存在，说明理由．
15．如图，在四棱锥P-ABCD的平面展开图中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ADE是以AD为斜边的等腰直角三角形，∠HDC＝∠FAB＝90°，则四棱锥P-ABCD外接球的球心到平面PBC的距离为( )
A．
C．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第1课时 用空间向量研究距离问题
[学习目标] 能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题．(直观想象、数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．空间点到直线、点到平面的距离的向量计算公式是什么？
问题2．相互平行的直线、平面间的距离可分别转化为什么距离求解？
问题3．用向量解决空间线面距离问题的一般步骤是什么？
探究1 点到直线的距离
问题1 给定一条直线l和直线l外一点P，如何用向量的方法求点P到直线l的距离？
[提示] 取直线l上一点A，它的单位方向向量用u表示，过P作PQ⊥l(图略)，点Q为垂足．这样，要解决的问题是：利用直线l上的点A，直线的单位方向向量u和直线外的一点P，求线段PQ的长度．
问题2 为了求线段PQ的长度，如何将“问题1”中的条件与线段PQ联系起来？
[提示] 作向量(图略)，构造Rt△APQ，通过勾股定理求出线段PQ的长度，即PQ＝．
[新知生成]
点到直线的距离
设直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是l外一点，＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u，点P到直线l的距离PQ＝．
【教用·微提醒】 点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题．
[典例讲评] 1．如图所示，在空间直角坐标系中有长方体ABCD A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3．用向量的方法求点B到直线A′C的距离．
[解] 依题意有A′(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)．
法一：＝(1，2，－3)，＝(0，2，0)，
在方向上的投影向量的模为．
所以点B到直线A'C的距离为
d＝．
法二：取直线A'C的方向向量＝(1，2，－3)，a＝＝(0，2，0)，u＝，则a2＝4，a·u＝，
所以点B到直线A'C的距离为．
1．用向量法求点到直线的距离的一般步骤
(1)求直线的单位方向向量．
(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度．
(3)利用勾股定理求解．
2．平行线间的距离转化为点线距求解．
[学以致用] 【链接教材P42习题1.4T6】
1．如图，正四棱锥P-ABCD的棱长均为2，M，N分别为AB，BC的中点，则点M到直线PN的距离为( )
A．
C．
A [取底面的中心为O，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则OM＝ON＝AB＝1，PM＝，OP＝＝，所以M(1，0，0)，N(0，1，0)，P(0，0，)，所以＝(－1，1，0)，＝(0，1，－)，故点M到直线PN的距离为＝＝．故选A．]
(教材原题·P42习题1.4T6)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形A1ABB1的中心，E为BC的中点，求点O到直线A1E的距离．
[解] 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A1(1，0，1)，E，O，所以＝＝．可得点O到直线A1E的距离为．
探究2 点、直线、平面到平面的距离
问题3 你能类比点到直线的距离公式的推导过程，推导出点到平面的距离公式吗？
[提示] 第一步，确定平面α的法向量n；
第二步，选择“参考向量”；
第三步，确定向量向法向量n的投影向量；
第四步，求投影向量的模，得到PQ＝＝＝．
[新知生成]
点P到平面α的距离
如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度．因此PQ＝＝＝．
【教用·微提醒】 (1)实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度．
(2)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解．
(3)如果两个平面α，β互相平行，可在其中一个平面α内任取一点P，将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解．
[典例讲评] 【链接教材P34例6】
2．如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．
(1)求点D到平面PEF的距离；
(2)求直线AC到平面PEF的距离．
[解] (1)建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，F，则＝，＝．
设平面PEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则所以即
令y＝2，则n＝(2，2，3)．又＝(0，0，1)，
所以点D到平面PEF的距离d＝＝＝．
(2)由于E，F分别是AB，BC的中点，所以EF∥AC，所以AC∥平面PEF，所以A点到平面PEF的距离即为直线AC到平面PEF的距离．
由于＝，又由(1)知平面PEF的一个法向量为n＝(2，2，3)，
所以点A到平面PEF的距离为＝＝，即直线AC到平面PEF的距离为．
【教材原题·P34例6】
例6 如图1.4-18，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点．
图1.4-18
(1)求点B到直线AC1的距离；
(2)求直线FC到平面AEC1的距离．
[分析] 根据条件建立空间直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的方向向量和平面的法向量，再利用有关公式，通过坐标运算得出相应的距离．
[解] 以D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图1.4-18所示的空间直角坐标系，则A(1，0，1)，B(1，1，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)，E，F，
所以＝(0，1，0)，＝(－1，1，－1)，＝＝＝＝．
(1)取a＝＝(0，1，0)，u＝＝(－1，1，－1)，则a2＝1，a·u＝．
所以，点B到直线AC1的距离为＝＝．
(2)因为＝＝，所以FC∥EC1，所以FC∥平面AEC1．所以点F到平面AEC1的距离即为直线FC到平面AEC1的距离．
设平面AEC1的法向量为n＝(x，y，z)，则
所以所以
令z＝1，则x＝1，y＝2．
所以，n＝(1，2，1)是平面AEC1的一个法向量．
又因为＝，所以点F到平面AEC1的距离为＝＝．
即直线FC到平面AEC1的距离为．
试写出用向量法求点到平面的距离的步骤．
[提示] (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系．
(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．
(3)求向量：求出相关向量的坐标(，α内两不共线向量，平面α的法向量n)．
(4)求距离d＝．
[学以致用] 2．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1，则点C到平面AEC1F的距离为( )
A．
C．
C [以D为原点，分别以DA，DC，DF所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，4，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3)，∴＝(－2，4，3)，＝(0，4，1)．
设平面AEC1F的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令z＝1，得n＝．
又＝(0，0，3)，
∴点C到平面AEC1F的距离d＝＝．
故选C．]
3．如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，求直线A1B1到平面ABE的距离．
[解] ∵A1B1∥AB，A1B1 平面ABE，AB 平面ABE，
∴A1B1∥平面ABE，∴A1B1到平面ABE的距离就是点A1到平面ABE的距离．
以D为坐标原点，
分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1(1，0，2)，A(1，0，0)，E(0，，1)，C(0，，0)．
过点C作AB的垂线交AB于点F，易得BF＝，
∴B(1，2，0)，∴＝(0，2，0)，＝(－1，－，1)．
设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
∴y＝0，x＝z，不妨取n＝(1，0，1)．
∵＝(0，0，2)，
∴点A1到平面ABE的距离
d＝＝＝．
∵直线A1B1到平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离，
∴直线A1B1到平面ABE的距离为．
【教用·备选题】 如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PB⊥底面ABCD，AB＝BC＝3，BP＝3，CF＝CP，DE＝DA．
(1)证明：直线EF∥平面ABP；
(2)求点P到平面ADF的距离．
[解] (1)证明：由PB⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，
以B为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
则B(0，0，0)，A(3，0，0)，C(0，3，0)，D(3，3，0)，P(0，0，3)，
由CF＝CP，得＝，则F(0，2，1)，
同理可得E(3，2，0)，∴＝(－3，0，1)，
易知平面ABP的一个法向量为n＝(0，1，0)，
∴·n＝0，又EF 平面ABP，
∴直线EF∥平面ABP．
(2)设平面ADF的法向量为m＝(x，y，z)，＝(0，3，0)，＝(－3，－1，1)，
由
∴y＝0，z＝3x，不妨取m＝(1，0，3)，又＝(－3，0，3)，∴点P到平面ADF的距离d＝＝．
1．(教材P35练习T2(1)改编)如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A1B1C1D1，已知AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为( )
A．
C． D．1
B [由题意知A1(0，0，3)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，＝(1，2，－3)，＝(0，2，0)，方向上的单位向量为μ＝，所以点B到直线A1C的距离为．故选B．]
2．(教材P35练习T2(3)改编)若正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则点O到平面ABC1D1的距离为( )
A． B．
C． D．
B [建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0，0，0)，A(1，0，1)，B(1，1，1)，O，C1(0，1，0)，＝(1，0，1)，＝(0，1，0)，．设平面ABC1D1的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，得n＝(1，0，－1)为平面ABC1D1的一个法向量，故点O到平面ABC1D1的距离d＝．故选B．
]
3．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量为n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是( )
A．
C． D．3
B [∵两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，＝(2，1，1)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，∴两平面间的距离d＝＝＝．故选B．]
4．已知AB∥平面α，平面α的一个法向量为n＝(1，0，1)，平面α内一点C的坐标为(0，0，1)，直线AB上的点A的坐标为(1，2，1)，则直线AB到平面α的距离为________．
[因为AB∥平面α，所以直线AB到平面α的距离可转化为点A到平面α的距离，易知＝(1，2，0)，所以点A到平面α的距离d＝＝＝，即直线AB到平面α的距离为．]
1．知识链：
2．方法链：向量法、几何法、转化法．
3．警示牌：(1)求两条平行线之间的距离，在其中一条直线上找到一点，转化为点到直线的距离．
(2)求直线与平面之间的距离、两个平行平面之间的距离，在直线或其中一个平面上找到一点，转化为点到平面的距离．
(3)应注意点要选取适当，以方便求解为主．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．用空间向量求点到直线的距离的方法是什么？
[提示] 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，则点P到直线l的距离为．
2．用空间向量求点到平面的距离的方法是什么？
[提示] 已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离是．
3．如何用空间向量求直线和平面、平面和平面间的距离？
[提示] 先证明直线和平面平行，平面和平面平行，然后把所求距离转化为点到平面的距离，最后利用点到平面的距离公式求解．
异面直线间的距离
设直线a，b异面，向量a，b分别为它们的一个方向向量，如何求出这两条异面直线间的距离呢？
如图1所示，过直线a上任意一点A作b′∥b，过直线b上任意一点B作a′∥a，则a∩b′＝A，a′∩b＝B，于是a与b′，a′与b均可确定一个平面，依次记作α，β．由立体几何的知识可以证明：平面α，β均由直线a，b唯一确定，与点A，B的位置无关，且α∥β．于是，异面直线a，b间的距离就转化为平行平面α，β间的距离，故只需先求出这两个平行平面的法向量，再求在此法向量上的投影向量的长度即可．
如何求这两个平行平面的法向量呢？
设n是平行平面α，β的一个法向量，显然有n⊥a，n⊥b．因为向量a，b不共线，所以满足这个条件的所有向量都平行．也就是说，只需找到与向量a，b均垂直的向量即可．
如图2所示，设点A，B分别是异面直线a，b上任意一点，向量a，b分别是直线a，b的方向向量，向量n是与向量a，b均垂直的向量，则异面直线a，b间的距离为d＝．
课时分层作业(十) 用空间向量研究距离问题
一、选择题
1．空间内有三点P(－1，2，3)，E(2，1，1)，F(1，2，2)，则点P到直线EF的距离为( )
A．
C．2 D．2
A [由题意，＝(－1，1，1)，则EF的一个单位方向向量为u＝，
又＝(3，－1，－2)，则．
故选A．]
2．若空间中有三点A(2，0，4)，B(2，4，0)，C(1，4，4)，则点P(0，0，0)到平面ABC的距离为( )
A． B．2
C． D．2
D [＝(0，4，－4)，＝(－1，4，0)，＝(2，0，4)，
设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
由得令y＝1，则z＝1，x＝4，所以n＝(4，1，1)，
则点P(0，0，0)到平面ABC的距离为＝＝2．
故选D．]
3．(多选)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，M为AA1的中点，则( )
A．C1到直线CE的距离为
B．A1到平面MBD的距离为
C．E到平面ABM的距离为
D．C到直线MD的距离为1
ABD [建立空间直角坐标系，
如图所示，则C(1，1，0)，C1(1，1，1)，E，所以＝＝(0，0，1)，所以点C1到直线EC的距离
d＝＝＝，A正确；A1到平面MBD的距离等于A到平面MBD的距离，由VA-MBD＝VM-ABD可得该距离为，B正确；E到平面ABM的距离是EA1＝，C错误；C到直线MD的距离为CD＝1，D正确．故选ABD．]
4．已知直线l的方向向量为n＝(1，0，2)，点A(0，1，1)在直线l上，若点P(1，a，2)到直线l的距离为，则a＝( )
A．0 B．2
C．0或2 D．1或2
C [因为A(0，1，1)，P(1，a，2)，所以＝(1，a－1，1)，
所以·n＝1＋2＝3，||2＝2＋(a－1)2，|n|＝，
所以点P到直线l的距离为＝＝，解得a＝0或a＝2．故选C．]
5．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是等边三角形，AA1＝，AB＝2，则点C到直线AB1的距离为( )
A．
C．
C [取AC的中点O，连接OB，
则BO⊥AC，BO＝，
以OB，OC所在直线分别为x轴、y轴，O与A1C1中点连线所在直线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，－1，0)，B1(，0，)，C(0，1，0)，
所以＝(，1，)，＝(0，－2，0)，
所以在上的投影向量的长度为＝＝，
故点C到直线AB1的距离为d＝＝＝．
故选C．]
二、填空题
6．已知空间中A，B，C三点的坐标分别为(1，1，－1)，(0，0，1)，(－1，1，0)，则点C到直线AB的距离为________．
[由点A(1，1，－1)，B(0，0，1)，C(－1，1，0)，
可得＝(－1，－1，2)，＝(－2，0，1)，
所以点C到直线AB的距离为d＝||·＝＝．]
7．如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1＝，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，则点B1到平面A1BC的距离为________．
[如图所示，建立空间直角坐标系，
则B(0，1，0)，C(0，0，0)，A1(1，0，)，B1(0，1，)，C1(0，0，)，∴＝(－1，1，－)，＝(－1，0，－)，＝(－1，1，0)．
设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令z＝1，得x＝－，y＝0，
∴n＝(－，0，1)．
∴点B1到平面A1BC的距离d＝＝．]
8．已知直线l的方向向量为m＝(1，，－1)，若点P(－1，1，－1)为直线l外一点，A(4，1，－2)为直线l上一点，则P到直线l的距离为________．
[∵P(－1，1，－1)，A(4，1，－2)，
∴＝(5，0，－1)，又m＝(1，，－1)，
∴cos 〈m，〉＝＝＝，
∴sin 〈m，〉＝，又∵||＝，
∴点P(－1，1，－1)到直线l的距离为||sin 〈m，〉＝＝．]
三、解答题
9．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点．
(1)求点A1到直线B1E的距离；
(2)求直线FC1到直线AE的距离；
(3)求点A1到平面AB1E的距离．
[解] 以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，E，F，C1(0，1，1)，A(1，0，0)．
(1)所以＝(0，1，0)，＝，直线B1E的单位方向向量
u＝＝，所以·u＝－，所以点A1到直线B1E的距离为＝＝．
(2)因为＝＝，
所以∥，即AE∥FC1，
所以点F到直线AE的距离即为直线FC1到直线AE的距离，直线AE的单位方向向量
u′＝＝＝·u′＝，所以直线FC1到直线AE的距离为．
(3)设平面AB1E的法向量为n＝(x，y，z)，
＝(0，1，1)，＝(0，0，1)，
由
令z＝2，得n＝(1，－2，2)，设点A1到平面AB1E的距离为d，
则d＝，即点A1到平面AB1E的距离为．
10．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝，D是棱AC的中点，且AB＝BC＝BB1＝1，则直线AB1到平面BC1D的距离为( )
A．
C．
A [以B为原点，BC，BA，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，0，0)，C1(1，0，1)，D，A(0，1，0)，B1(0，0，1)，所以＝(1，0，1)，＝＝(0，－1，1)．
设平面BC1D的法向量为n＝(x，y，z)，
则
即令x＝1，则n＝(1，－1，－1)．因为·n＝0×1＋(－1)×(－1)＋1×(－1)＝0，所以⊥n，又AB1 平面BC1D，所以AB1∥平面BC1D．设直线AB1到平面BC1D的距离为d，因为＝(0，1，0)，所以d＝＝，所以直线AB1到平面BC1D的距离为．故选A．]
11．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD＝SA＝SD＝2AB＝2，P为棱AD的中点，且SP⊥AB，＝λ(0≤λ≤1)，若点M到平面SBC的距离为，则实数λ的值为( )
A．
C．
A [因为SA＝SD，P为AD中点，所以SP⊥AD，
又SP⊥AB，AB与AD交于点A，AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，所以SP⊥平面ABCD．
以点P为原点，的方向分别为x，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则P(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(－1，1，0)，S(0，0，)，
故＝(0，－1，0)，＝(－1，0，)，
所以＝λ＝(－λ，0，λ)(0≤λ≤1)，
所以＝＝(－λ，－1，λ)，
又＝(1，1，－)，＝(2，0，0)，
设平面SBC的法向量m＝(x，y，z)，
则
令z＝1，则x＝0，y＝，
所以m＝(0，，1)，
点M到平面SBC的距离为d＝＝＝，
解得λ＝或λ＝(舍去)．
故选A．]
12．在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________．
[由AD∥平面PBC知AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离．由已知可得AB，AD，AP两两垂直．以A为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，
则＝(2，0，－2)，＝(0，2，0)．
设平面PBC的法向量为n＝(a，b，c)，
则即
取a＝1，得n＝(1，0，1)，又＝(2，0，0)，
所以d＝＝．]
13．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD间的距离为________．
[如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，
则A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4)．
∴＝(2，2，0)，＝(2，2，0)，
＝(－2，0，4)，＝(－2，0，4)，
∴＝＝，
∴EF∥MN，BF∥AM，EF∩BF＝F，MN∩AM＝M．
∴平面AMN∥平面EFBD．
设n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量，
则
解得
取z＝1，则x＝2，y＝－2，
得n＝(2，－2，1)．
平面AMN与平面EFBD间的距离就是点B到平面AMN的距离．
∵＝(0，4，0)，
∴平面AMN与平面EFBD间的距离d＝＝．]
14．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，CD⊥平面PAD，△PAD是正三角形，E，F，G，O分别为PC，PD，BC，AD的中点．
(1)求证：PO⊥平面ABCD；
(2)求点A到平面EFG的距离；
(3)线段PC上是否存在点M，使得三棱锥M-EFG的体积为，若存在，求的值；若不存在，说明理由．
[解] (1)证明：因为△PAD是正三角形，O是AD的中点，所以PO⊥AD，
因为CD⊥平面PAD，PO 平面PAD，所以CD⊥PO，
又AD∩CD＝D，CD，AD 平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD．
(2)连接OG，因为OA，OG，OP两两互相垂直，故以O为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，4，0)，C(－2，4，0)，D(－2，0，0)，P(0，0，2)，E(－1，2，)，F(－1，0，)，G(0，4，0)，
则＝(0，－2，0)，＝(1，2，－)，
设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)，
则有令z＝1，得n＝(，0，1)，
又＝(－3，2，)，
则点A到平面EFG的距离为d＝＝．
(3)设＝λ＝λ(－2，4，－2)，λ∈，
则M(－2λ，4λ，2－2λ)，＝(1－2λ，4λ－2，－2λ)，
所以点M到平面EFG的距离为d＝＝|1－2λ|，
cos 〈〉＝＝＝－，
S△EFG＝||||sin 〈〉＝2，
故VM-EFG＝S△EFG·d＝d＝|1－2λ|＝，解得λ＝或λ＝．
故的值为或．
15．如图，在四棱锥P-ABCD的平面展开图中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ADE是以AD为斜边的等腰直角三角形，∠HDC＝∠FAB＝90°，则四棱锥P-ABCD外接球的球心到平面PBC的距离为( )
A．
C．
C [该几何体的直观图如图所示，
分别取AD，BC的中点O，M，连接OM，PM，PO，
∵PO＝1，OM＝2，
PM＝＝＝，
∴OP2＋OM2＝PM2，∴OP⊥OM，
又∵PO⊥AD，∴由线面垂直的判定定理得出PO⊥平面ABCD．
以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(－1，2，0)，D(－1，0，0)，P(0，0，1)，
＝(1，2，－1)，＝(－1，2，－1)，
设四棱锥P-ABCD外接球的球心为N(0，1，a)，
∵NP＝NA，∴(－1)2＋(1－a)2＝1＋(－1)2＋(－a)2，解得a＝0．∴＝(0，－1，1)，
设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，
则
取z＝2，则n＝(0，1，2)，
则四棱锥P-ABCD外接球的球心到平面PBC的距离为
d＝＝＝．]
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(十)
1．A [由题意，＝(－1，1，1)，则EF的一个单位方向向量为u＝，
又＝(3，－1，－2)，则．
故选A．]
2．D [＝(0，4，－4)，＝(－1，4，0)，＝(2，0，4)，
设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
由令y＝1，则z＝1，x＝4，所以n＝(4，1，1)，
则点P(0，0，0)到平面ABC的距离为．故选D．]
3．ABD [建立空间直角坐标系，
如图所示，则C(1，1，0)，C1(1，1，1)，E，所以＝(0，0，1)，所以点C1到直线EC的距离
d＝，A正确；A1到平面MBD的距离等于A到平面MBD的距离，由VA MBD＝VM ABD可得该距离为，B正确；E到平面ABM的距离是EA1＝，C错误；C到直线MD的距离为CD＝1，D正确．故选ABD．]
4．C [因为A(0，1，1)，P(1，a，2)，所以＝(1，a－1，1)，
所以·n＝1＋2＝3，||2＝2＋(a－1)2，|n|＝，
所以点P到直线l的距离为，解得a＝0或a＝2．故选C．]
5．C [取AC的中点O，连接OB，
则BO⊥AC，BO＝，
以OB，OC所在直线分别为x轴、y轴，O与A1C1中点连线所在直线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，－1，0)，B1(，0，)，C(0，1，0)，
所以＝(，1，)，＝(0，－2，0)，
所以，故点C到直线AB1的距离为d＝．故选C．]
6． [由点A(1，1，－1)，B(0，0，1)，C(－1，1，0)，
可得＝(－1，－1，2)，＝(－2，0，1)，
所以点C到直线AB的距离为d＝||·×．]
7． [如图所示，建立空间直角坐标系，
则B(0，1，0)，C(0，0，0)，A1(1，0，)，B1(0，1，)，C1(0，0，)，∴＝(－1，1，－)，＝(－1，0，－)，＝(－1，1，0)．
设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令z＝1，得x＝－，y＝0，∴n＝(－，0，1)．
∴点B1到平面A1BC的距离d＝．]
8． [∵P(－1，1，－1)，A(4，1，－2)，
∴＝(5，0，－1)，又m＝(1，，－1)，
∴cos∴sin∴点P(－1，1，－1)到直线l的距离为||sin9．解：以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，E，F，C1(0，1，1)，A(1，0，0)．
(1)所以＝(0，1，0)，，
直线B1E的单位方向向量u＝，所以·u＝－，
所以点A1到直线B1E的距离为．
(2)因为，
所以∥，即AE∥FC1，所以点F到直线AE的距离即为直线FC1到直线AE的距离，直线AE的单位方向向量
u'＝·u'＝，
所以直线FC1到直线AE的距离为．
(3)设平面AB1E的法向量为n＝(x，y，z)，
＝(0，1，1)，＝(0，0，1)，
由
令z＝2，得n＝(1，－2，2)，设点A1到平面AB1E的距离为d，
则d＝，即点A1到平面AB1E的距离为．
10．A [以B为原点，BC，BA，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，0，0)，C1(1，0，1)，D，A(0，1，0)，B1(0，0，1)，所以＝(1，0，1)，＝(0，－1，1)．
设平面BC1D的法向量为n＝(x，y，z)，
则即令x＝1，
则n＝(1，－1，－1)．因为n＝0×1＋(－1)×(－1)＋1×(－1)＝0，所以⊥n，又AB1 平面BC1D，所以AB1∥平面BC1D．设直线AB1到平面BC1D的距离为d，因为＝(0，1，0)，所以d＝，所以直线AB1到平面BC1D的距离为．故选A．]
11．A [因为SA＝SD，P为AD中点，所以SP⊥AD，
又SP⊥AB，AB与AD交于点A，AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，所以SP⊥平面ABCD．
以点P为原点，的方向分别为x，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则P(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(－1，1，0)，S(0，0，)，
故＝(0，－1，0)，＝(－1，0，)，
所以＝(－λ，0，λ)(0≤λ≤1)，
所以＝(－λ，－1，λ)，又＝(1，1，－)，＝(2，0，0)，
设平面SBC的法向量m＝(x，y，z)，则
令z＝1，则x＝0，y＝，所以m＝(0，，1)，
点M到平面SBC的距离为d＝，
解得λ＝(舍去)．
故选A．]
12． [由AD∥平面PBC知AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离．由已知可得AB，AD，AP两两垂直．以A为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，
则＝(2，0，－2)，＝(0，2，0)．
设平面PBC的法向量为n＝(a，b，c)，
则
取a＝1，得n＝(1，0，1)，
又＝(2，0，0)，
所以d＝．]
13． [如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，
则A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4)．
∴＝(2，2，0)，＝(2，2，0)，＝(－2，0，4)，＝(－2，0，4)，
∴，
∴EF∥MN，BF∥AM，EF∩BF＝F，MN∩AM＝M．
∴平面AMN∥平面EFBD．
设n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量，
则
取z＝1，则x＝2，y＝－2，
得n＝(2，－2，1)．
平面AMN与平面EFBD间的距离就是点B到平面AMN的距离．
∵＝(0，4，0)，∴平面AMN与平面EFBD间的距离d＝．]
14．解：(1)证明：因为△PAD是正三角形，O是AD的中点，所以PO⊥AD，
因为CD⊥平面PAD，PO 平面PAD，所以CD⊥PO，
又AD∩CD＝D，CD，AD 平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD．
(2)连接OG，因为OA，OG，OP两两互相垂直，故以O为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，4，0)，C(－2，4，0)，D(－2，0，0)，P(0，0，2)，E(－1，2，)，F(－1，0，)，G(0，4，0)，
则＝(0，－2，0)，＝(1，2，－)，
设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)，
则有令z＝1，得n＝(，0，1)，
又＝(－3，2，)，
则点A到平面EFG的距离为d＝．
(3)设＝λ(－2，4，－2)，λ∈∪，
则M(－2λ，4λ，2λ)，＝(1－2λ，4λ－2，λ)，
所以点M到平面EFG的距离为d＝|1－2λ|，
cos<，
S△EFG＝>＝2，
故VM EFG＝S△EFG·d＝×，
解得λ＝．
故．
15．C [该几何体的直观图如图所示，
分别取AD，BC的中点O，M，连接OM，PM，PO，
∵PO＝1，OM＝2，
PM＝，
∴OP2＋OM2＝PM2，∴OP⊥OM，
又∵PO⊥AD，∴由线面垂直的判定定理得出PO⊥平面ABCD．
以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(－1，2，0)，D(－1，0，0)，P(0，0，1)，
＝(1，2，－1)，＝(－1，2，－1)，
设四棱锥P ABCD外接球的球心为N(0，1，a)，
∵NP＝NA，∴(－1)2＋(1－a)2＝1＋(－1)2＋(－a)2，解得a＝0．∴＝(0，－1，1)，
设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，
则
取z＝2，则n＝(0，1，2)，
则四棱锥P ABCD外接球的球心到平面PBC的距离为
d＝．]
21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第1课时 用空间向量研究距离问题
[学习目标] 能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题．(直观想象、数学运算)
探究1 点到直线的距离
问题1 给定一条直线l和直线l外一点P，如何用向量的方法求点P到直线l的距离？
问题2 为了求线段PQ的长度，如何将“问题1”中的条件与线段PQ联系起来？
[新知生成]
点到直线的距离
设直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是l外一点，＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u，点P到直线l的距离PQ＝．
[典例讲评] 1．如图所示，在空间直角坐标系中有长方体ABCD A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3．用向量的方法求点B到直线A′C的距离．
[尝试解答]
1．用向量法求点到直线的距离的一般步骤
(1)求直线的单位方向向量．
(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度．
(3)利用勾股定理求解．
2．平行线间的距离转化为点线距求解．
[学以致用] 【链接教材P42习题1.4T6】
1．如图，正四棱锥P-ABCD的棱长均为2，M，N分别为AB，BC的中点，则点M到直线PN的距离为( )
A．
C．
探究2 点、直线、平面到平面的距离
问题3 你能类比点到直线的距离公式的推导过程，推导出点到平面的距离公式吗？
[新知生成]
点P到平面α的距离
如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度．因此PQ＝＝＝．
[典例讲评] 【链接教材P34例6】
2．如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．
(1)求点D到平面PEF的距离；
(2)求直线AC到平面PEF的距离．
[尝试解答]
试写出用向量法求点到平面的距离的步骤．
[学以致用] 2．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1，则点C到平面AEC1F的距离为( )
A．
C．
3．如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，求直线A1B1到平面ABE的距离．
1．(教材P35练习T2(1)改编)如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A1B1C1D1，已知AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为( )
A．
C． D．1
2．(教材P35练习T2(3)改编)若正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则点O到平面ABC1D1的距离为( )
A． B．
C． D．
3．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量为n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是( )
A．
C． D．3
4．已知AB∥平面α，平面α的一个法向量为n＝(1，0，1)，平面α内一点C的坐标为(0，0，1)，直线AB上的点A的坐标为(1，2，1)，则直线AB到平面α的距离为________．
1．知识链：
2．方法链：向量法、几何法、转化法．
3．警示牌：(1)求两条平行线之间的距离，在其中一条直线上找到一点，转化为点到直线的距离．
(2)求直线与平面之间的距离、两个平行平面之间的距离，在直线或其中一个平面上找到一点，转化为点到平面的距离．
(3)应注意点要选取适当，以方便求解为主．
异面直线间的距离
设直线a，b异面，向量a，b分别为它们的一个方向向量，如何求出这两条异面直线间的距离呢？
如图1所示，过直线a上任意一点A作b′∥b，过直线b上任意一点B作a′∥a，则a∩b′＝A，a′∩b＝B，于是a与b′，a′与b均可确定一个平面，依次记作α，β．由立体几何的知识可以证明：平面α，β均由直线a，b唯一确定，与点A，B的位置无关，且α∥β．于是，异面直线a，b间的距离就转化为平行平面α，β间的距离，故只需先求出这两个平行平面的法向量，再求在此法向量上的投影向量的长度即可．
如何求这两个平行平面的法向量呢？
设n是平行平面α，β的一个法向量，显然有n⊥a，n⊥b．因为向量a，b不共线，所以满足这个条件的所有向量都平行．也就是说，只需找到与向量a，b均垂直的向量即可．
如图2所示，设点A，B分别是异面直线a，b上任意一点，向量a，b分别是直线a，b的方向向量，向量n是与向量a，b均垂直的向量，则异面直线a，b间的距离为d＝．
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