(共85张PPT)
第一章
空间向量与立体几何
第2课时 用空间向量研究夹角问题
1.4 空间向量的应用
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
[学习目标]
1．会用向量法求线线、线面、面面夹角．(直观想象、数学运算)
2．能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系．(逻辑推理、数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．思考空间中的角与向量夹角的区别？
问题2．如何用向量方法研究空间中的角的问题？
探究建构 关键能力达成
探究1 两异面直线所成的角
问题1 如何借助两个向量的夹角来求两异面直线所成的角？
[提示] 可转化为两条异面直线的方向向量的夹角问题来解决．
[典例讲评] 1．(源自北师大版教材)如图所示，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A′B′C′D′，AB＝2，BC＝1，AA′＝3．求AC′与A′D所成角的余弦值．
反思领悟 求异面直线所成角的步骤
(1)确定两条异面直线的方向向量．
(2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值．
(3)得出两条异面直线所成的角．
√
【教材原题·P36例7】
例7 如图1.4-19，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值．
探究2 直线与平面所成的角
问题2 直线的方向向量与平面的法向量所成的角是直线与平面所成的角吗？
[提示] 不是．
[解] (1)证明：连接BD，由直四棱柱ABCD-A1B1C1D1知，B1B⊥平面ABCD，∵AC 平面ABCD，∴B1B⊥AC，又∵AC⊥DB1，DB1∩B1B＝B1，DB1 平面DBB1，BB1 平面DBB1，∴AC⊥平面DBB1，∴AC⊥BD，∵四边形ABCD是矩形，对角线AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形．
[学以致用] 2．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F分别为C1C，BC的中点．求A1B与平面AEF所成角的正弦值．
探究3 两平面的夹角
问题3 两个平面的夹角与两平面的法向量的夹角有何关系？
[提示] 两平面的夹角是两平面的法向量的夹角或其补角．
问题4 如图，图中有几个二面角？两个平面的夹角与这两个平面形成的二面角有什么关系？
[提示] 图中有四个二面角，夹角与二面角相等或互补．
不大于90°
[典例讲评] 【链接教材P37例8】
3．已知四棱锥P-ABCD，AD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝3，DE＝PE＝2，E是AD上一点，PE⊥AD．若AB⊥平面PED，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．
[解] 连接CE，因为ED＝2，故AE＝1，又AD∥BC，AB＝BC＝1，所以AE∥BC，AE＝BC，
故四边形AECB为平行四边形，故CE∥AB，又AB⊥平面PAD，所以CE⊥平面PAD，
而PE，ED 平面PAD，故CE⊥PE，CE⊥ED，而PE⊥ED，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
【教材原题·P37例8】
例8 如图1.4-22，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝CB＝2，AA1＝3，∠ACB＝90°，P为BC的中点，点Q，R分别在棱AA1，BB1上，A1Q＝2AQ，BR＝2RB1．求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值．
[分析] 因为平面PQR与平面A1B1C1的夹角可以转化为平面PQR与平面A1B1C1的法向量的夹角，所以只需要求出这两个平面的法向量的夹角即可．
[解] 化为向量问题
以C1为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图1.4-22所示的空间直角坐标系．设平面A1B1C1的法向量为n1，平面PQR的法向量为n2，则平面PQR与平面A1B1C1的夹角就是n1与n2的夹角或其补角．
反思领悟 利用向量法求两个平面夹角的步骤
(1)建立空间直角坐标系．
(2)分别求出两个面所在平面的法向量．
(3)求两个法向量的夹角．
(4)确定两平面夹角的大小．
[学以致用] 3．如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形，AA1＝2AB，E，F分别为CC1，A1B1的中点．求二面角A1-BE-F的正弦值．
【教用·备选题】 (2023·新高考Ⅱ卷)如图，三棱锥A-BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点．
[解] (1)证明：如图，连接DE，AE，
因为DC＝DB，且E为BC的中点，所以DE⊥BC．
因为∠ADB＝∠ADC＝60°，DA＝DA，DC＝DB，
所以△ADB≌△ADC(SAS)．
可得AC＝AB，故AE⊥BC．
因为DE∩AE＝E，DE，AE 平面ADE，所以BC⊥平面ADE．
又DA 平面ADE，所以BC⊥DA．
应用迁移 随堂评估自测
1．已知空间两异面直线所成的角的取值集合为A，直线与平面所成角的取值集合为B，则( )
A．A＝B B．A B
C．B A D．A∩B＝
√
√
√
1．知识链：
2．方法链：向量法、转化与化归．
3．警示牌：混淆两个向量的夹角和空间角的关系，不能正确理解空间角的概念、把握空间角的范围．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．用向量语言表述两条异面直线所成的角．
2．用向量语言表述直线和平面所成的角．
3．用向量语言表述平面和平面的夹角．
4．试总结用向量法求两平面的夹角的步骤．
[提示] (1)建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标；
(2)求出两个平面的法向量；
(3)求出两个法向量的夹角；
(4)两个法向量的夹角或其补角就是两平面的夹角．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
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课时分层作业(十一) 用空间向量研究夹角问题
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3．已知正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
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二、填空题
6．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，CC1＝2AC＝2BC，则直线AB1与直线BC1所成角的余弦值为________．
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7．如图，在三棱锥O-ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA＝OC＝3，OB＝2，则直线OB与平面ABC所成角的正弦值为 ________．
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三、解答题
9．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，E为DD1的中点，F为BD1上靠近B的三等分点．
(1)求异面直线CF与C1E所成角的余弦值；
(2)求直线CF与平面A1C1E所成角的正弦值．
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[解] (1)证明：作CE⊥AB于E，
∵∠BAD＝120°，∴CE与AD必相交，
又∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，CE⊥AB，
∴CE⊥平面PAB，∵PA 平面PAB，
∴CE⊥PA，
又PA⊥AD，CE 平面ABCD，AD 平面ABCD，CE与AD相交，
∴PA⊥平面ABCD．
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[解] (1)证明：因为四边形OBEF为矩形，所以OB⊥BE，
又平面OBEF⊥平面ABCD，平面OBEF∩平面ABCD＝OB，BE 平面OBEF，
所以BE⊥平面ABCD．
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11课时分层作业(十一) 用空间向量研究夹角问题
说明：单项选择题每题5分，填空题每题5分，本试卷共81分
一、选择题
1．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是( )
A．
C．
2．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )
A．
C．
3．已知正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
4．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，△SAB，△SCD是直角圆锥SO的两个轴截面，且cos ∠BOC＝，则异面直线SA与BC所成角的余弦值为( )
A．
C．
5．如图，已知矩形ABCD与矩形ABEF全等，二面角D-AB-E为直二面角，M为AB的中点，FM与BD所成的角为θ，且cos θ＝，则＝( )
A．1 B．
C．
二、填空题
6．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，CC1＝2AC＝2BC，则直线AB1与直线BC1所成角的余弦值为________．
7．如图，在三棱锥O-ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA＝OC＝3，OB＝2，则直线OB与平面ABC所成角的正弦值为 ________．
8．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB，AC，AA1两两垂直，AB＝AC＝AA1＝1，M，N分别是侧棱BB1，CC1上的点，平面AMN与平面ABC所成的(锐)二面角为，则当CN最小时，∠AMB＝________．
三、解答题
9．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，E为DD1的中点，F为BD1上靠近B的三等分点．
(1)求异面直线CF与C1E所成角的余弦值；
(2)求直线CF与平面A1C1E所成角的正弦值．
10．在四棱锥P-ABCD中，BC∥AD，PA⊥AD，平面PAB⊥平面ABCD，∠BAD＝120°，且PA＝AB＝BC＝AD＝2．
(1)求证：PA⊥平面ABCD；
(2)求直线PB与平面PAD所成角的正弦值；
(3)求二面角B-PC-D的余弦值．
11．如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，AB＝BE＝2．
(1)求证：BE⊥平面ABCD；
(2)设H为线段AF上的点，如果直线BH和平面CEF所成角的正弦值为，求AH的长度．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第2课时 用空间向量研究夹角问题
[学习目标]
1．会用向量法求线线、线面、面面夹角．(直观想象、数学运算)
2．能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系．(逻辑推理、数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．思考空间中的角与向量夹角的区别？
问题2．如何用向量方法研究空间中的角的问题？
探究1 两异面直线所成的角
问题1 如何借助两个向量的夹角来求两异面直线所成的角？
[提示] 可转化为两条异面直线的方向向量的夹角问题来解决．
[新知生成]
利用向量方法求两条异面直线所成的角
若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝＝．
【教用·微提醒】 两异面直线所成角的范围是，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系．
[典例讲评] 1．(源自北师大版教材)如图所示，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A′B′C′D′，AB＝2，BC＝1，AA′＝3．求AC′与A′D所成角的余弦值．
[解] 设s1，s2分别是AC′和A′D的一个方向向量，取s1＝，s2＝．
因为A(0，0，0)，C′(2，1，3)，A′(0，0，3)，D(0，1，0)，
所以s1＝＝(2，1，3)，s2＝＝(0，1，－3)．
设AC′与A′D所成角为θ，则
cos θ＝|cos 〈s1，s2〉|＝＝＝．
故AC′与A′D所成角的余弦值为．
求异面直线所成角的步骤
(1)确定两条异面直线的方向向量．
(2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值．
(3)得出两条异面直线所成的角．
[学以致用] 【链接教材P36例7】
1．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．在阳马P-ABCD中，若PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝1，异面直线PD与AC所成角的余弦值为，则AD＝( )
A．
C．2 D．3
C [由题意，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图．
设AD＝a＞0，因为PA＝AB＝1，
所以A(0，0，0)，C(1，a，0)，P(0，0，1)，D(0，a，0)，
＝(1，a，0)，＝(0，a，－1)，
设异面直线PD与AC所成角为θ，
则cos θ＝＝＝，
即5a2＝4(a2＋1)，
即a2＝4，因为a＞0，
所以a＝2，即AD＝2．
故选C．]
【教材原题·P36例7】
例7 如图1.4-19，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值．
[分析] 求直线AM和CN夹角的余弦值，可以转化为求向量与夹角的余弦值．为此需要把向量用适当的基底表示出来，进而求得向量夹角的余弦值．
[解] 化为向量问题
如图1.4-19，以{}作为基底，则
＝＝＝)．
设向量与的夹角为θ，则直线AM和CN夹角的余弦值等于|cos θ|．
进行向量运算
＝)·
＝－
＝＝．
又△ABC和△ACD均为等边三角形，
所以||＝||＝．
所以cos θ＝＝＝．
回到图形问题
所以直线AM和CN夹角的余弦值为．
探究2 直线与平面所成的角
问题2 直线的方向向量与平面的法向量所成的角是直线与平面所成的角吗？
[提示] 不是．
[新知生成]
利用向量方法求直线与平面所成的角
直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝＝．
【教用·微提醒】 (1)求直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决．
(2)线面角的范围为．
(3)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角．
[典例讲评] 2．如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD是矩形，AC⊥DB1，AA1＝AB＝2，点P是棱DD1上的一点，且DP＝2PD1．
(1)求证：四边形ABCD是正方形；
(2)求直线AD1与平面PAC所成角的正弦值．
[解] (1)证明：连接BD，由直四棱柱ABCD-A1B1C1D1知，B1B⊥平面ABCD，∵AC 平面ABCD，∴B1B⊥AC，又∵AC⊥DB1，DB1∩B1B＝B1，DB1 平面DBB1，BB1 平面DBB1，∴AC⊥平面DBB1，∴AC⊥BD，∵四边形ABCD是矩形，对角线AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形．
(2)以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则A(，0，0)，C(0，，0)，D1(0，0，2)，P，
所以＝＝＝(－，0，2)，设平面PAC的法向量为n＝(x，y，z)，
则由n⊥，n⊥，
可得令z＝3，可得x＝y＝2，
故平面PAC的一个法向量为n＝(2，2，3)，
设直线AD1与平面PAC所成角的大小为θ，所以sin θ＝|cos 〈n，〉|＝
＝＝，
即直线AD1与平面PAC所成角的正弦值为．
利用向量法求直线与平面所成角的基本步骤
(1)建立空间直角坐标系．
(2)求直线的方向向量．
(3)求平面的法向量n．
(4)计算：设线面角为θ，则sin θ＝|cos 〈n，〉|＝．
[学以致用] 2．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F分别为C1C，BC的中点．求A1B与平面AEF所成角的正弦值．
[解] 以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，B(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，1，0)，所以＝(2，0，－2)，＝(0，2，1)，＝(1，1，0)．
设平面AEF的法向量为n＝(a，b，c)，
由得令a＝1，可得n＝(1，－1，2)为平面AEF的一个法向量．
设A1B与平面AEF所成角为θ，
所以sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝，
即A1B与平面AEF所成角的正弦值为．
探究3 两平面的夹角
问题3 两个平面的夹角与两平面的法向量的夹角有何关系？
[提示] 两平面的夹角是两平面的法向量的夹角或其补角．
问题4 如图，图中有几个二面角？两个平面的夹角与这两个平面形成的二面角有什么关系？
[提示] 图中有四个二面角，夹角与二面角相等或互补．
[新知生成]
利用向量方法求两个平面的夹角
(1)两个平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．
(2)若平面α，β的法向量分别是n1和n2，设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝．
【教用·微提醒】 (1)求两平面的夹角问题可转化为两平面法向量的夹角问题．
(2)两平面的夹角的范围是，二面角的范围是[0，π]．
(3)二面角与两平面的夹角不是相同的概念．
[典例讲评] 【链接教材P37例8】
3．已知四棱锥P-ABCD，AD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝3，DE＝PE＝2，E是AD上一点，PE⊥AD．若AB⊥平面PED，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．
[解] 连接CE，因为ED＝2，故AE＝1，又AD∥BC，AB＝BC＝1，所以AE∥BC，AE＝BC，
故四边形AECB为平行四边形，故CE∥AB，又AB⊥平面PAD，所以CE⊥平面PAD，
而PE，ED 平面PAD，故CE⊥PE，CE⊥ED，而PE⊥ED，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
则A，B，C，D(0，2，0)，P(0，0，2)，
则＝＝＝＝，
设平面PAB的法向量为m＝，
则由 可得
取m＝，
设平面PCD的法向量为n＝，
则由可得取n＝，设平面PAB与平面PCD的夹角为θ，
故cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝＝，
故平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为．
【教材原题·P37例8】
例8 如图1.4-22，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝CB＝2，AA1＝3，∠ACB＝90°，P为BC的中点，点Q，R分别在棱AA1，BB1上，A1Q＝2AQ，BR＝2RB1．求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值．
[分析] 因为平面PQR与平面A1B1C1的夹角可以转化为平面PQR与平面A1B1C1的法向量的夹角，所以只需要求出这两个平面的法向量的夹角即可．
[解] 化为向量问题
以C1为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图1.4-22所示的空间直角坐标系．设平面A1B1C1的法向量为n1，平面PQR的法向量为n2，则平面PQR与平面A1B1C1的夹角就是n1与n2的夹角或其补角．
进行向量运算
因为C1C⊥平面A1B1C1，所以平面A1B1C1的一个法向量为n1＝(0，0，1)．
根据所建立的空间直角坐标系，可知P(0，1，3)，Q(2，0，2)，R(0，2，1)．
所以＝(2，－1，－1)，＝(0，1，－2)．
设n2＝(x，y，z)，则
所以所以
取n2＝(3，4，2)，则
cos 〈n1，n2〉＝＝＝．
回到图形问题
设平面PQR与平面A1B1C1的夹角为θ，则
cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝．
即平面PQR与平面A1B1C1的夹角的余弦值为．
利用向量法求两个平面夹角的步骤
(1)建立空间直角坐标系．
(2)分别求出两个面所在平面的法向量．
(3)求两个法向量的夹角．
(4)确定两平面夹角的大小．
[学以致用] 3．如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形，AA1＝2AB，E，F分别为CC1，A1B1的中点．求二面角A1-BE-F的正弦值．
[解] 以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图，
设AA1＝2AB＝4，则A1(2，0，4)，B(2，2，0)，E(0，2，2)，F(2，1，4)，
＝(0，2，－4)，＝(－2，2，－2)，＝(0，－1，4)，＝(－2，0，2)，
设平面A1BE的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则即令y1＝2，则z1＝1，x1＝1，∴n1＝(1，2，1)，
设平面BEF的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则即令z2＝1，则y2＝4，x2＝＝(1，4，1)，
∴|cos 〈n1，n2〉|＝＝＝，
∴＝，
即二面角A1-BE-F的正弦值为．
【教用·备选题】 (2023·新高考Ⅱ卷)如图，三棱锥A-BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点．
(1)证明：BC⊥DA；
(2)点F满足＝，求二面角D-AB-F的正弦值．
[解] (1)证明：如图，连接DE，AE，
因为DC＝DB，且E为BC的中点，所以DE⊥BC．
因为∠ADB＝∠ADC＝60°，DA＝DA，DC＝DB，
所以△ADB≌△ADC(SAS)．
可得AC＝AB，故AE⊥BC．
因为DE∩AE＝E，DE，AE 平面ADE，所以BC⊥平面ADE．
又DA 平面ADE，所以BC⊥DA．
(2)由(1)知，DE⊥BC，AE⊥BC．
不妨设DA＝DB＝DC＝2，因为∠ADB＝∠ADC＝60°，所以AB＝AC＝2．
由题可知△DBC为等腰直角三角形，故DE＝EB＝EC＝．
因为AE⊥BC，所以AE＝＝．
在△ADE中，AE2＋ED2＝AD2，所以AE⊥ED．
以E为坐标原点，ED所在直线为x轴，EB所在直线为y轴，EA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，则D(，0，0)，B(0，，0)，A(0，0，)，＝(－，0，)，＝(0，－)．
设F(xF，yF，zF)，因为＝，所以(xF，yF，zF)＝(－，0，)，可得F(－，0，)．
所以＝(，0，0)．
设平面DAB的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则即取x1＝1，则y1＝z1＝1，m＝(1，1，1)．
设平面ABF的法向量为n＝(x2，y2，z2)，
则即得x2＝0，取y2＝1，则z2＝1，n＝(0，1，1)．
所以cos 〈m，n〉＝＝＝．
记二面角D-AB-F的大小为θ，则sin θ＝＝＝，
故二面角D-AB-F的正弦值为．
1．已知空间两异面直线所成的角的取值集合为A，直线与平面所成角的取值集合为B，则( )
A．A＝B B．A B
C．B A D．A∩B＝
B [两异面直线所成的角的取值集合为A＝，而直线与平面所成角的取值集合为B＝，则ACD错误，B正确．
故选B．]
2．若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2，0，4)，则异面直线l1与l2所成角的余弦值等于( )
A．－
C．－
B [异面直线l1，l2 的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2，0，4)，
则a·b＝0×2＋(－2)×0＋(－1)×4＝－4，|a|＝，|b|＝2，
则cos 〈a，b〉＝＝＝－，则异面直线l1与l2所成角的余弦值等于．故选B．]
3．(教材P43习题1.4T10(3)改编)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为( )
A．
C．
C [设该正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系．
则D(0，0，0)，B(1，1，0)，B1(1，1，1)，＝(0，0，1)，
易知平面ACD1的一个法向量为＝(1，1，1)．
设BB1与平面ACD1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈〉|＝＝＝．
故选C．]
4．如图所示，点A，B，C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，＝(0，0，2)，平面ABC的一个法向量为n＝(2，1，2)，平面ABC与平面ABO的夹角为θ，则cos θ＝________．
[cos θ＝＝＝．]
1．知识链：
2．方法链：向量法、转化与化归．
3．警示牌：混淆两个向量的夹角和空间角的关系，不能正确理解空间角的概念、把握空间角的范围．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．用向量语言表述两条异面直线所成的角．
[提示] 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝．
2．用向量语言表述直线和平面所成的角．
[提示] 设直线l和平面α所成的角为θ，直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝．
3．用向量语言表述平面和平面的夹角．
[提示] 设平面α与平面β的夹角为θ，其法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝．
4．试总结用向量法求两平面的夹角的步骤．
[提示] (1)建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标；
(2)求出两个平面的法向量；
(3)求出两个法向量的夹角；
(4)两个法向量的夹角或其补角就是两平面的夹角．
课时分层作业(十一) 用空间向量研究夹角问题
一、选择题
1．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是( )
A．
C．
D [以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建系(图略)，设棱长为1，则A1(1，0，1)，M，D(0，0，0)，N，则＝＝，cos 〈〉＝＝0，
∴〈〉＝．]
2．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )
A．
C．
D [如图所示，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，
∴＝(－2，0，1)．
连接AC，易证AC⊥平面BB1D1D，
∴平面BB1D1D的一个法向量为＝(－2，2，0)．
∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为
|cos 〈〉|＝＝＝．]
3．已知正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
B [如图所示，建立空间直角坐标系，
设PA＝AB＝1，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)．
于是＝(0，1，0)，取PD的中点E，
则E，
∴＝，易知是平面PAB的一个法向量，是平面PCD的一个法向量，设平面PAB与平面PCD的夹角为θ，
则cos θ＝|cos 〈〉|＝，
∴平面PAB与平面PCD的夹角为45°．]
4．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，△SAB，△SCD是直角圆锥SO的两个轴截面，且cos ∠BOC＝，则异面直线SA与BC所成角的余弦值为( )
A．
C．
B [以O为坐标原点，OB，OS所在直线分别为y，z轴，过点O且垂直于平面SAB的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝6，则A(0，－3，0)，B(0，3，0)，S(0，0，3)，因为cos ∠BOC＝，
所以C(－2，1，0)，
所以＝(0，－3，－3)，＝(－2，－2，0)，
所以cos 〈〉＝＝＝，
所以异面直线SA与BC所成角的余弦值为．
故选B．]
5．如图，已知矩形ABCD与矩形ABEF全等，二面角D-AB-E为直二面角，M为AB的中点，FM与BD所成的角为θ，且cos θ＝，则＝( )
A．1 B．
C．
C [不妨设BC＝1，AB＝λ(λ＞0)，则＝λ．记＝a，＝b，＝c，则＝b－a，＝c－b．根据题意，|a|＝|c|＝1，|b|＝λ，a·b＝b·c＝c·a＝0，
∴＝－b2＝－λ2，而||＝，||＝，∴|cos 〈〉|＝＝＝，
得λ＝．故选C．]
二、填空题
6．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，CC1＝2AC＝2BC，则直线AB1与直线BC1所成角的余弦值为________．
[以C为原点，分别以CA，CC1，CB所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
设CC1＝2AC＝2BC＝2，则C(0，0，0)，A(1，0，0)，B1(0，2，1)，B(0，0，1)，C1(0，2，0)，
可得＝(－1，2，1)，＝(0，2，－1)，
故＝4－1＝3，||＝＝，||＝＝，
所以cos 〈〉＝＝，
所以直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为．]
7．如图，在三棱锥O-ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA＝OC＝3，OB＝2，则直线OB与平面ABC所成角的正弦值为 ________．
[如图所示，以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则A(0，0，3)，B(2，0，0)，C(0，3，0)，则＝(2，0，0)，
＝(2，0，－3)，＝(0，3，－3)，
设m＝(x，y，z)是平面ABC的法向量，
则
令z＝1，可得m＝，
∴|cos 〈，m〉|＝＝＝，故直线OB与平面ABC所成角的正弦值为．]
8．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB，AC，AA1两两垂直，AB＝AC＝AA1＝1，M，N分别是侧棱BB1，CC1上的点，平面AMN与平面ABC所成的(锐)二面角为，则当CN最小时，∠AMB＝________．
[建立空间直角坐标系，如图所示．设CN＝b(0≤b≤1)，BM＝a(0≤a≤1)，则M(1，0，a)，A(0，0，0)，N(0，1，b)，所以＝(1，0，a)，＝(0，1，b)，
设平面AMN的法向量为n＝(x，y，z)，则即
令z＝1，则n＝(－a，－b，1)，又平面ABC的一个法向量为m＝(0，0，1)，
所以cos ＝＝＝，即3a2＋3b2＝1，
当CN最小时，b＝0，BM＝a＝，所以tan ∠AMB＝＝，所以∠AMB＝．]
三、解答题
9．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，E为DD1的中点，F为BD1上靠近B的三等分点．
(1)求异面直线CF与C1E所成角的余弦值；
(2)求直线CF与平面A1C1E所成角的正弦值．
[解] (1)以D为原点，分别以方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，C(0，1，0)，E(0，0，1)，A1(1，0，2)，C1(0，1，2)，B(1，1，0)，D1(0，0，2)，
∴＝(1，1，－2)，＝(0，－1，－1)，
设F(x，y，z)，则＝(x，y，z－2)，
∵F为BD1上靠近B的三等分点，∴＝，
∴(x，y，z－2)＝(1，1，－2)＝，
∴x＝，y＝，z＝，∴F，
∴＝，∴＝－，
设异面直线CF与C1E所成角为α且α∈，
则cos α＝＝＝．
(2)由(1)可求得，＝(1，0，1)，＝(0，1，1)，＝，
设n＝(x，y，z)为平面EA1C1的法向量，
则令x＝1，
则y＝1，z＝－1，∴n＝(1，1，－1)，
∴n·＝＝－，
设直线CF与平面A1C1E所成角为β，
则sin β＝|cos 〈n，〉|＝＝＝．
10．在四棱锥P-ABCD中，BC∥AD，PA⊥AD，平面PAB⊥平面ABCD，∠BAD＝120°，且PA＝AB＝BC＝AD＝2．
(1)求证：PA⊥平面ABCD；
(2)求直线PB与平面PAD所成角的正弦值；
(3)求二面角B-PC-D的余弦值．
[解] (1)证明：作CE⊥AB于E，
∵∠BAD＝120°，∴CE与AD必相交，
又∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，CE⊥AB，
∴CE⊥平面PAB，∵PA 平面PAB，
∴CE⊥PA，
又PA⊥AD，CE 平面ABCD，AD 平面ABCD，CE与AD相交，
∴PA⊥平面ABCD．
(2)在平面ABCD内作AF⊥AD交BC于F，则AF，AD，AP两两垂直，
以A为原点，以AF，AD，AP所在直线分别为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则A(0，0，0)，F(，0，0)，B(，－1，0)，P(0，0，2)，
∴＝(，－1，－2)，
∵AF⊥平面PAD，
∴＝(，0，0)为平面PAD的一个法向量，设直线PB与平面PAD所成角为θ，
则sin θ＝|cos 〈〉|＝＝＝．
∴直线PB与平面PAD所成角的正弦值为．
(3)∵C(，1，0)，D(0，4，0)，
∴＝(，1，－2)，＝(－，3，0)，＝(0，2，0)，
设平面PBC的法向量为m＝(x1，y1，z1)，平面PCD的法向量为n＝(x2，y2，z2)，
∴
∴
令x1＝2得m＝(2，0，)，令y2＝1得n＝(，1，2)．
∴|cos 〈m，n〉|＝＝＝．
∵二面角B-PC-D为钝角，
∴二面角B-PC-D的余弦值为－．
11．如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，AB＝BE＝2．
(1)求证：BE⊥平面ABCD；
(2)设H为线段AF上的点，如果直线BH和平面CEF所成角的正弦值为，求AH的长度．
[解] (1)证明：因为四边形OBEF为矩形，所以OB⊥BE，
又平面OBEF⊥平面ABCD，平面OBEF∩平面ABCD＝OB，BE 平面OBEF，
所以BE⊥平面ABCD．
(2)如图，以点B为原点，建立空间直角坐标系，
则A(0，2，0)，C(2，0，0)，E(0，0，2)，F(1，1，2)，
故＝(1，1，0)，＝(2，0，－2)，
＝(1，－1，2)，＝(0，2，0)，
设平面CEF的法向量为n＝(a，b，c)，
则即
可取n＝(1，－1，1)，设AH＝λAF，λ∈[0，1]，
则＝＝＋λ＝(0，2，0)＋λ(1，－1，2)＝(λ，2－λ，2λ)，
故|cos 〈，n〉|＝＝＝，
解得λ＝或λ＝，
所以AH＝或AH＝．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第2课时 用空间向量研究夹角问题
[学习目标]
1．会用向量法求线线、线面、面面夹角．(直观想象、数学运算)
2．能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系．(逻辑推理、数学运算)
探究1 两异面直线所成的角
问题1 如何借助两个向量的夹角来求两异面直线所成的角？
[新知生成]
利用向量方法求两条异面直线所成的角
若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝＝．
[典例讲评] 1．(源自北师大版教材)如图所示，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A′B′C′D′，AB＝2，BC＝1，AA′＝3．求AC′与A′D所成角的余弦值．
[尝试解答]
求异面直线所成角的步骤
(1)确定两条异面直线的方向向量．
(2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值．
(3)得出两条异面直线所成的角．
[学以致用] 【链接教材P36例7】
1．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．在阳马P-ABCD中，若PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝1，异面直线PD与AC所成角的余弦值为，则AD＝( )
A．
C．2 D．3
探究2 直线与平面所成的角
问题2 直线的方向向量与平面的法向量所成的角是直线与平面所成的角吗？
[新知生成]
利用向量方法求直线与平面所成的角
直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝＝．
[典例讲评] 2．如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD是矩形，AC⊥DB1，AA1＝AB＝2，点P是棱DD1上的一点，且DP＝2PD1．
(1)求证：四边形ABCD是正方形；
(2)求直线AD1与平面PAC所成角的正弦值．
[尝试解答]
利用向量法求直线与平面所成角的基本步骤
(1)建立空间直角坐标系．
(2)求直线的方向向量．
(3)求平面的法向量n．
(4)计算：设线面角为θ，则sin θ＝|cos 〈n，〉|＝．
[学以致用] 2．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F分别为C1C，BC的中点．求A1B与平面AEF所成角的正弦值．
[尝试解答]
探究3 两平面的夹角
问题3 两个平面的夹角与两平面的法向量的夹角有何关系？
问题4 如图，图中有几个二面角？两个平面的夹角与这两个平面形成的二面角有什么关系？
[新知生成]
利用向量方法求两个平面的夹角
(1)两个平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中______________的二面角称为平面α与平面β的夹角．
(2)若平面α，β的法向量分别是n1和n2，设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝．
[典例讲评] 【链接教材P37例8】
3．已知四棱锥P-ABCD，AD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝3，DE＝PE＝2，E是AD上一点，PE⊥AD．若AB⊥平面PED，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．
[尝试解答]
利用向量法求两个平面夹角的步骤
(1)建立空间直角坐标系．
(2)分别求出两个面所在平面的法向量．
(3)求两个法向量的夹角．
(4)确定两平面夹角的大小．
[学以致用] 3．如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形，AA1＝2AB，E，F分别为CC1，A1B1的中点．求二面角A1-BE-F的正弦值．
1．已知空间两异面直线所成的角的取值集合为A，直线与平面所成角的取值集合为B，则( )
A．A＝B B．A B
C．B A D．A∩B＝
2．若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2，0，4)，则异面直线l1与l2所成角的余弦值等于( )
A．－
C．－
3．(教材P43习题1.4T10(3)改编)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为( )
A．
C．
4．如图所示，点A，B，C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，＝(0，0，2)，平面ABC的一个法向量为n＝(2，1，2)，平面ABC与平面ABO的夹角为θ，则cos θ＝________．
1．知识链：
2．方法链：向量法、转化与化归．
3．警示牌：混淆两个向量的夹角和空间角的关系，不能正确理解空间角的概念、把握空间角的范围．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(十一)
1．D [以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建系(图略)，设棱长为1，则A1(1，0，1)，M，D(0，0，0)，N，则，cos<＝0，∴<．]
2．D [如图所示，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，
∴＝(－2，0，1)．
连接AC，易证AC⊥平面BB1D1D，
∴平面BB1D1D的一个法向量为＝(－2，2，0)．
∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为
|cos<．]
3．B [如图所示，建立空间直角坐标系，
设PA＝AB＝1，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)．
于是＝(0，1，0)，取PD的中点E，
则E，
∴，易知是平面PAB的一个法向量，是平面PCD的一个法向量，设平面PAB与平面PCD的夹角为θ，
则cos θ＝|cos<，
∴平面PAB与平面PCD的夹角为45°．]
4．B [以O为坐标原点，OB，OS所在直线分别为y，z轴，过点O且垂直于平面SAB的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝6，则A(0，－3，0)，B(0，3，0)，S(0，0，3)，因为cos∠BOC＝，
所以C(－2，1，0)，所以＝(0，－3，－3)，＝(－2，－2，0)，
所以cos <＝，
所以异面直线SA与BC所成角的余弦值为．
故选B．]
5．C [不妨设BC＝1，AB＝λ(λ>0)，则＝a，＝b，＝c，则b－a，＝c－b．根据题意，|a|＝|c|＝1，|b|＝λ，a·b＝b·c＝c·a＝0，
∴·b2＝－λ2，而|，|，∴|cos <，得λ＝．故选C．]
6． [以C为原点，分别以CA，CC1，CB所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
设CC1＝2AC＝2BC＝2，则C(0，0，0)，A(1，0，0)，B1(0，2，1)，B(0，0，1)，C1(0，2，0)，
可得＝(－1，2，1)，＝(0，2，－1)，
故·＝4－1＝3，|，|，
所以cos<，
所以直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为．]
7． [如图所示，以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则A(0，0，3)，B(2，0，0)，C(0，3，0)，则＝(2，0，0)，＝(2，0，－3)，＝(0，3，－3)，
设m＝(x，y，z)是平面ABC的法向量，
则
令z＝1，可得m＝，
∴|cos<，m>|＝，
故直线OB与平面ABC所成角的正弦值为．]
8． [建立空间直角坐标系，如图所示．设CN＝b(0≤b≤1)，BM＝a(0≤a≤1)，则M(1，0，a)，A(0，0，0)，N(0，1，b)，所以＝(1，0，a)，＝(0，1，b)，
设平面AMN的法向量为n＝(x，y，z)，则
令z＝1，则n＝(－a，－b，1)，又平面ABC的一个法向量为m＝(0，0，1)，
所以cos，即3a2＋3b2＝1，
当CN最小时，b＝0，BM＝a＝，所以tan∠AMB＝，所以∠AMB＝．]
9．解：(1)以D为原点，分别以方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，C(0，1，0)，E(0，0，1)，A1(1，0，2)，C1(0，1，2)，B(1，1，0)，D1(0，0，2)，
∴＝(1，1，－2)，＝(0，－1，－1)，
设F(x，y，z)，则＝(x，y，z－2)，
∵F为BD1上靠近B的三等分点，∴，
∴(x，y，z－2)＝(1，1，－2)＝，
∴x＝，y＝，z＝，∴F，
∴，∴·，
设异面直线CF与C1E所成角为α且α∈，
则cos α＝．
(2)由(1)可求得，＝(1，0，1)，＝(0，1，1)，，
设n＝(x，y，z)为平面EA1C1的法向量，
则令x＝1，
则y＝1，z＝－1，∴n＝(1，1，－1)，
∴n·，
设直线CF与平面A1C1E所成角为β，
则sin β＝|cos10．解：(1)证明：作CE⊥AB于E，
∵∠BAD＝120°，∴CE与AD必相交，
又∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，CE⊥AB，
∴CE⊥平面PAB，∵PA 平面PAB，
∴CE⊥PA，
又PA⊥AD，CE 平面ABCD，AD 平面ABCD，CE与AD相交，
∴PA⊥平面ABCD．
(2)在平面ABCD内作AF⊥AD交BC于F，则AF，AD，AP两两垂直，
以A为原点，以AF，AD，AP所在直线分别为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则A(0，0，0)，F(，0，0)，B(，－1，0)，P(0，0，2)，
∴＝(，－1，－2)，
∵AF⊥平面PAD，∴＝(，0，0)为平面PAD的一个法向量，设直线PB与平面PAD所成角为θ，
则sin θ＝|cos<．
∴直线PB与平面PAD所成角的正弦值为．
(3)∵C(，1，0)，D(0，4，0)，
∴＝(，1，－2)，＝(－，3，0)，＝(0，2，0)，
设平面PBC的法向量为m＝(x1，y1，z1)，平面PCD的法向量为n＝(x2，y2，z2)，
∴
∴
令x1＝2得m＝(2，0，)，令y2＝1得n＝(，1，2)．
∴|cos|＝．
∵二面角B PC D为钝角，
∴二面角B PC D的余弦值为－．
11．解：(1)证明：因为四边形OBEF为矩形，所以OB⊥BE，
又平面OBEF⊥平面ABCD，平面OBEF∩平面ABCD＝OB，BE 平面OBEF，
所以BE⊥平面ABCD．
(2)如图，以点B为原点，建立空间直角坐标系，
则A(0，2，0)，C(2，0，0)，E(0，0，2)，F(1，1，2)，
故＝(1，1，0)，＝(2，0，－2)，
＝(1，－1，2)，＝(0，2，0)，
设平面CEF的法向量为n＝(a，b，c)，
则
可取n＝(1，－1，1)，设AH＝λAF，λ∈[0，1]，
则＝(0，2，0)＋λ(1，－1，2)＝(λ，2－λ，2λ)，
故|cos<，n>|＝，
解得λ＝，所以AH＝．
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