数学：第二十九章相似形教案（冀教版九年级上）

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第二十九章 相似形
【概述】
1． 通过丰富的实例，经历认识相似形的过程，并通过观察与思考、操作、交流、类比、归纳等活动，进一步培养学生的空间观念．
2． 了解线段的比的概念，了解成比例线段以及比例的基本性质，通过建筑、艺术等方面的实例了解黄金分割．
3． 通过观察、操作使学生了解相似三角形的概念，经历两个三角形相似条件的探索过程，掌握两个三角形相似的条件，会利用两个三角形相似的条件判断两个三角形相似．
4． 经历探索相似三角形性质的过程，掌握相似三角形的性质，会利用相似三角形的性质解决一些实际问题．
5． 了解相似多边形，经历探索相似多边形性质的过程，知道相似多边形的对应边成比例，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
6． 了解图形的位似，会利用尺规，根据作位似图形的方法将一个图形放大或缩小，以及利用图形的位似解决一些实际问题．
29．1 形状相同的图形
[学习目标解读]
1．通过对丰富实例的观察、思考，经历认识形状相同的图形的过程．
2．在学习活动中，通过学生主动观察、操作、比较、归纳，以及相互交流，提高他们的数学思考，发展探索精神和与他人合作的意识．
[重点问题解析]
例 1．下列图形中形状相同的图形是（　　）．
　
A．　　　　　　　　 B．　　　　　　　　 C．　　　　　　　 D．
答：A
2．把你认为形状相同的图形用线连起来．
[综合能力测评]
1.在如图所示的四组图形中，哪些组的两个图形看上去形状相同？
2．我们学过很多几何图形，你认为哪些类型的图形一定都是形状相同的呢？例：所有的等边三角形都是形状相同的图形.请你再举出几个这样的例子.
3．从望远镜中看到的物体与原来的实物的形状相同吗？
4.你看到过哈哈镜吗？你在哈哈镜中的形象与你本人是否相同？
5.如图，在ΔABC中，取AB的中点D，取AC的中点E，连结DE，得到ΔADE，那么ΔADE与ΔABC的形状相同吗？若再分别取AD、AE的中点M、N，连结MN,得到ΔAMN，那么ΔAMN与ΔABC的形状相同吗？请画出图形观察后回答.
6.在图中，找出你认为形状相同的图形，用线连起来.
[实践活动探究]
1.在图的直角坐标系中，描出下列各点：A（4，0）、B（7，0）、C（5，4）、D（2，4）.
(1)用线段顺次连结A，B，C，D，A，得到一个图形.(2)把上面四个点的横、纵坐标都乘，描出对应的点，再用线段顺次连结各对应点，得到一个图形.(3)这两个图形的形状是否相同？
2.如图,在格点图中有一个四边形，请你在此格点图中画一个与该四边形形状相同的四边形，并和你的同伴交流一下，怎样画才能做到又快又好？
29．2 比例线段
[学习目标解读]
1． 了解线段的比和成比例线段的概念，知道两条线段的比与所采用的度量单位
无关．
2．理解并掌握比例的基本性质，了解比例中项的概念．
3．了解黄金分割，会利用比例的基本性质解决一些简单的问题．
[重点问题解析]
例 如图：平面图得比例尺是1∶5000，根据图中所示的尺寸（单位：厘米），求围墙的长度
解：设围墙的实际长度为 x cm，∵围墙的图上长度是：2+4+2.6+4.5=13.1
根据题意： 1 ： 5000=13.1 ： x ∴ 解得 x=65500
答：围墙的实际长度是 655 米．
[课堂自我测评]
1． 填空题
1．若5，3，10的第四比例项是x，则x的值是 .
2．、、的第四比例项是 .
3.a、b、c、的第四比例项是 .
4.线段AB=12cm,点C在线段AB上，且AC=40mm,则AC：AB= .
5.已知：a=4、b=5 ，则a、b的比例中项是 .
6.若=，则= .
7.如果=，那么= ；如果==，那么= .
2． 选择题
1.下列各组线段中，不成比例的是( )
A．a=6mm,b=8mm,c=15mm,d=10mm
B．a=7cm,b=4cm,c=0.7cm,d=0.4mm
C．a=5dm,b=3dm,c=5dm,d=3dm
D．a=0.3m,b=1.5m,c=0.6m,d=3m
2.丽水市第一座横跨瓯江的单塔斜拉式大桥——紫金大桥正在建造中，在比例尺为1：500的图纸上，大桥的长度约为1.04米，则大桥的实际长度是（ ）
A.104米 B.1040米 C.5200米 D.520米
3.把长度为10cm的线段黄金分割后，其中较短的线段的长度是（ ）
A. B.10-5 C.15-5 D.15-10
4.若=，且2y-x=5,则x+y的值为
（ ）A.3 B.5 C.7 D.9
5.如果==≠0，那么的值是（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
6.已知，在RT△ABC中，∠BAC=90。，D为BC的中点，则AD:BC等于 （ ）
A.1：2 B.1：3 C.2：3 D.不能确定
7.等边三角形的一边与这一边上的高的比是 （ ）
A.：2 B.:1 C.2： D.1：
8.若三角形三边长为2、3、4，它个边上的高依次是x、y、r，则x：y：r等于 （ ）
A.1：2：3 B.2：3：4 C.3：4：6 D.6：4：3
9.正方形ABCD中，E是AB上任意一点，作EF⊥BD于F，则EF：BE为 （ ）
A.1：2 B.1: C.： D.不能确定
10.若k===，则k的值为（ ）
A.或-1 B. C.-1 D.
11. 已知：线段a＝3，b＝6，c＝4，那么下面说法正确的是（ 　 ）
A.a、b、c的第四比例项是a＋b　　B.a、b、c的第四比例项是（2a＋3b）　
C.a、b的比例中项是c　 D.线段2a是线段b、c的比例中项。
[综合能力测评]
1.如图,在RtΔABC中，∠C=90°，∠A=45°，斜边AB=2，求，，.
2.延长线段AB到C，使BC=2AB，求(1)AC：AB； (2)AB：BC； (3)BC：AC.
3.A、B两地的实际距离AB=250m,画在图上的距离A B =5cm,则图上的距离与实际距离的比是多少？
4.在比例尺是1：25的图纸上画出一个零件的长度是20mm，请你求这个零件的实际长度是多少mm？
5.已知两数4和8，试写出第三个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项.第三个数可能是多少？
[实践活动探究]
1.已知：线段a=1，b=，c=.试说明b是a、c的比例中项.
2.已知C是线段AB的黄金分割点，≈0.618,求的近似值.
29．3 相似三角形
[学习目标解读]
1．经历相似三角形、相似比概念的形成过程，了解相似三角形的含义．
2．了解表示两个相似三角形的方法，体会成比例线段与相似三角形之间的内在联系
3．在学习活动中，注意引导学生主动观察、操作、归纳，发展他们的概括能力，提高他们
进行数学思考的意识和能力．
[重点问题解析]
例 一个钢筋三角架的三边长为40cm，100cm，120cm，现要做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm、50cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，问有几种不同截法？试说出来.
解：当30cm的钢筋为最长边时，设其余两边的长分别为xcm、ycm，由相似三角形的定义可知：==，∴x=10（cm），y=25（cm）.
当30cm的钢筋为次长边时，设其余两边的长分别为xcm、ycm，则 ==， ∴x=12（cm），y=36（cm）.
[课堂自我测评]
1． 填空题
三角形甲的各边之比为2：5：6，和它相似的一个三角形乙的最长边为24，则三角形乙的最短边为 ，周长为 .
2． 选择题
1．已知：△ABC∽△A＇B＇C＇，∠A=45°∠B=105°,则∠C＇的度数是（ ）
A．30。 B．45。 C．30。或45。 D．75。
2.△ABC∽△A1B1C1且相似比为，△A1B1C1∽△A2B2C2且相似比为，则△ABC与△A2B2C2的相似比为（ ）
A． B． C．或 D．
[综合能力测评]
1.如图，△ABC中，D为边AB上任一点，作DE∥BC，交边AC与E，用刻度尺量一量，判断△ADE和△ABC是否相似.
2.在右图中，AB∥CF,根据图中标出的数据判断△ABE和△FCE是否相似。
3.已知：ΔABC的三边长分别为5、12、15，和ΔABC相似的ΔA B C 的最大边长为30，求ΔA B C 的另两条边长和周长.
4. 如图,ΔABC∽ΔADE，AD=7，AB=10.5，DE=4，求BC的长.
5.如图,△ABC中，AB的中点为D，AC的中点为E，连结ED， 则△AED与△ABC的相似吗？请说明理由.若相似，相似比是多少？
6. 如图，，已知ΔADE∽ΔABC，且AB=16，AD=10，BC=14，求DE的长.
7.已知ΔABC∽ΔA1B1C1，ΔA1B1C1∽ΔA2B2C2.试说明ΔABC∽ΔA2B2C2.
[实践活动探究]
如图，已知ΔAEF∽ΔABC，ΔCDF∽ΔCBA.(1)试说明四边形EBDF为平行四边形.
(2)若AE=1.8厘米，BE=1.2厘米，CD=1.4厘米，求BD的长.
29．4 三角形相似的条件(一)
[学习目标解读]
经历两个三角形相似条件的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力，培养善于观察、动手操作、猜想、研究问题的习惯．
[重点问题解析]
例 （1）如图①，可以算出一个正方形的对角线长为，求两个正方形并排拼成的矩形的对角线长，n个呢？
（2）根据图②，求证：△BCE∽△BED
（3）由图③，在下列所给的三个结论中，通过合情推理选出一个正确的结论加以证明：
①∠BEC+∠BDE=45°；②∠BEC+∠BED=45°③∠BEC+∠DFE=45°．
解：1）n个正方形时，对角线长为
（2）因为BE=，BC=1，BD=2，所以．
又∠EBC=∠DBE，所以△BCE∽△BED．
（3）②∠BEC+∠BED=45°③∠BEC+∠DFE=45°都正确．
选②证明如下．由△BCE∽△BED得∠BED=∠BCE，
∠BCE+∠BEC=∠ABE=45°，所以∠BEC+∠BED=45°．
[课堂自我测评]
一.判断题：
(1)三个角对应相等的两个三角形必相似.( )
(2)有一个角相等的两个等腰三角形相似. ( )
(3)有一个底角相等的两个等腰三角形相似. ( )
(4)有一个角是100°的两个等腰三角形相似.( )
(5)一个角等于其它两个角之和的两个等腰三角形相似. ( )
(6)在△ABC和△A＇B＇C＇中，若∠B=∠B＇=75°、∠C=50°、∠ A＇=55°，
则△ABC∽△A＇B＇C＇. ( )
(7)三角形的一条中位线截出的三角形与原三角形相似.( )
二．填空题
1. 如图，在RtΔABC中，CD是斜边上的高，则 ∽ ∽ .
2.如图，DE∥AC,AD=0.7,AB=2.1,DE=3,则AC= .
3． 选择题
如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，则和ΔABC相似的三角形有（ ）
A.1个 B. 2个 C.3个 D.4个
[综合能力测评]
1. 如图，已知DG∥EH∥FI∥BC，请写出图中所有相似的三角形.
2.判断下列各组中的两个三角形是否相似，并简单说明理由.
(1)在ΔABC中，∠B是直角，∠A=30°；
在ΔA B C 中，∠B 是直角，∠C =60°.
(2)ΔABC与ΔA B C 中，∠B=∠B =75°，∠C=50°，∠A =55°.
　　　　　　　　
3.如图，已知：∠B=∠ADE.试说明ΔADE∽ΔABC.
4.如图，四边形ABCD是老王家的一个养鱼池，已知∠ A=∠C=90°，∠D=120°， AD=54m，DC=36m，为确定放养鱼苗的数量，需先算出它的面积，请你帮他计算一下.(精确到1米2)
5.已知；如图,RtΔABC中，∠C=90°，MN⊥AB于M.
(1)试说明ΔAMN∽ΔACB.
(2)若AM=8cm,AC=AB,求AN的长.
6. 如图，已知：∠BDF=∠CEF，试说明ΔABE∽ΔACD.
7.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB.试说明△ADE∽△EFC．
8. 如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，F是AB上的点，连结DF并延长交CB的延长线于点G，交AC于点E.观察图形，请写出4对以上的相似三角形，并从你所写的相似三角形中任选一对说明理由.
[实践活动探究]
1. 为防水患，在漓江上游修筑了防洪堤，其截面为一梯形，如图,堤的上底宽AD和堤高DF都是6米，其中∠B=∠CDF.(1)求证：ΔABE∽ΔCDF；(2)若AE：BE=2：1，求堤的下底BC的长.
2. 如图，ΔABC中，∠B=∠CAM，MN∥AC.
(1)试说明ΔBMN∽ΔACM；
(2)试说明ΔACM∽ΔBCA；
(3)若BM=10cm，MC=8cm，试求MN的长.
29．4 三角形相似的条件(二)
[学习目标解读]
初步掌握两个三角形相似的判断条件，并能够运用三角形相似的判断方法解决一些简单
的问题，进一步发展学生的合情推理能力和初步的逻辑推理意识．
[重点问题解析]
例 如图，正方形ABCD的边长为2，AE＝EB，MN＝1，线段MN的两端在CB，CD上滑动，请你说明当CM的长为多少时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似？
解：因为，由勾股定理可得：．分两种情况：
（1） 当，即， 时，△AED∽△CMN．
（2），即， 时，△AED∽△CNM．
[课堂自我测评]
1． 填空题
如图，在ΔABC中，点P在AB上，以下给出了四个条件：
①∠ＡＣＰ＝∠B　②∠ＡＰＣ＝∠ＡＣB　
③ＡＣ：ＡＢ＝ＡＰ：ＡＣ④ＰＣ：ＢＣ＝ＡＣ：ＡＢ
条件 能保证△ＡＣＰ∽△ＡＢＣ. 　　　　
2． 选择题
1. 如图，ΔABC中，D、E分别是AB、AC上的点，在下列条件中：
①∠AED=∠B； ②=；
③=，能够判断ΔADE∽ΔABC相似的是（ ）
A．① B．①② C．①③ D．①②③
2. 如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC∽△PQR，则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
3. 如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC上一点，下列条件中，不能推出ΔABP∽ΔECP相似的是（ ）
A．∠APB=∠EPC B．∠APE=90°
C．BP：BC=2：3 D．P是BC的中点.
4.如图，AD∥BC，∠D=90°，DC=7，AD=2，BC=3，若在边DC上有点P使ΔPAD与ΔPBC相似，则这样的点P有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[综合能力测评]
1.根据下列各组条件，判定ΔABC与ΔA B C 是不是相似，并说明理由.
(1)∠A=65°,AB=7厘米，AC=14厘米，∠A =65°，A B =3厘米，A C =6厘米；
(2)AB=12厘米，BC＝15厘米，AC=24厘米，A B =20厘米，B C =15厘米，A C =40厘米．
2.ΔABC中，∠A=47°，AB=1.5cm,AC=2cm,
ΔDEF中，∠E=47°，ED=2.8cm,EF=2.1cm.
这两个三角形相似吗？为什么？如果相似，写出表示式.
3.小明画了如图，的两个三角形，现在想使△ABC∽△AＤE，只能添加一个条件，请你说说你的添加方案和理由。
4. 已知：如图，AB∥DE，BC∥EF，试说明ΔOAC∽ΔODF.
5. 如图，D、E、F分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，试说明ΔDEF∽ΔABC.
6. 如图，已知：AD·AC=AE·AB，试说明ΔAED∽ACB.
[实践活动探究]
1. 如图，已知∠ACB=∠CBD=90°，AC=b,CB=a,当BD与a、b之间满足怎样的关系时，ΔACB∽ΔCBD
2. 如图，正方形ABCD边长是2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端在CD、AD上滑动，当DM等于多少时，ΔABE与以D、M、N为顶点的三角形相似
29．5 相似三角形的性质
[学习目标解读]
1． 经历探索相似三角形性质的过程，理解并掌握两个相似三角形周长的比等于它们的相似
比；对应高的比等于它们的相似比；面积的比等于它们相似比的平方．
2． 能利用相似三角形的性质解决一些简单的问题．
3．在探究相似三角形性质的过程中发展学生积极的情感、态度，体会前后知识的联系及解决问题的多样性．
[重点问题解析]
例 如图1，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，四边形DEFG为△ABC的内接正方形，若设正方形的边长为x，容易算出x的长为．
探究与计算：
（1）如图2，若三角形内有并排的两个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，则正方形的边长为 ；
（2）如图3，若三角形内有并排的三个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，则正方形的边长为 ．
猜想与证明：
如图4，若三角形内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，请你猜想正方形的边长是多少？并对你的猜想进行证明．
解：探究与计算：（1）；（2）．猜想与证明：若
三角形内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内
接于△ABC，正方形的边长是．证明如下：
如图5，过点C作CN⊥AB，垂足为N，交GF于点
M．设小正方形的边长为x．∵四边形GDEF为矩形，
∴GF∥AB． CM⊥GF．容易算出．∴．
即．∴x=．即小正方形的边长是．
[课堂自我测评]
1． 填空题
1.相似三角形的周长比等于 ；对应高的比等于 ；对应中线的比等于 ；对应角平分线的比等于 ；面积比等于 ；
2．如果两个相似三角形对应高分别是2cm,3cm,那么它们的面积比是 .
3.两个相似三角形的面积比是4:25，那么它们的周长比为： .
4．如图，铁道口栏杆的短臂长为1.2m，长臂长为8m，当短臂端点下降0.6m时，长臂端点升高 m（杆的粗细忽略不计）。
5.在ΔABC和ΔBED中,===，且ΔABC和ΔBED的周长之差为10cm,则ΔABC的周长为 cm.
6.如图,Rt△ABC中, ∠ACB=90°，CD⊥AB。(1)此图中共有三个三角形相似，它们是 .
(2)当△ABC∽△ACD时，= ，所以AC2= 。
(3)当△ABC∽△CBD时，有：BC2= .
(4)当△ACD∽△CBD时，有：CD2= .
7. 在△ABC中，若D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，AD=1，DB=2，则△ADE与△ABC的面积比为________.
2． 选择题
1.如果两个等腰直角三角形斜边的比是1：2，那么它们面积的比是( )
A.1：1 B.1： C.1：2 D.1：4
2．如图，DE是ΔABC的中位线，则ΔADE与ΔABC的面积之比是（ ）
A．1:1 B．1:2 C．1:3 D．1:4
3.厨房角柜的台面是三角形，如图，如果把各边中点连线围成的三角形铺成黑色大理石，其余部分铺成白色大理石，那么黑色大理石的面积与白色大理石的面积比是（ ）
A.1：4 B.4：1 C.1：3 D.3：4
4．如图, 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D， 若AD=1，BD=4，则CD=( )
A．2 B.4 C. D.3
[综合能力测评]
1.古时候，有赵、李两个庄主，赵庄主的土地大约是李庄主的4倍，土地的形状都接近正方形，有一天两个庄主打赌，李庄主说：“我骑马围着自己的土地跑一圈，要一个半小时，围你的土地跑一圈三个半小时足够”。赵庄主不信，说：“如果你三个半小时前跑回来，我这个庄园归你，如果你三个半小时跑不回来，那么你的庄园归我”。李庄主说：“一言为定”。然后就催马而去，你知道谁是胜利者吗？请说说理由.
2.两个相似三角形的一对对边长分别是35厘米和14厘米，它们的周长相差60厘米，求这两个三角形的周长.
3. 如图,D为△ABC中AB边上一点，∠ACD＝∠ABC.
试说明：AC2＝AD·AB
[实践活动探究]
1.已知：如图，ΔCDE是等边三角形，∠ACB=120°.
(1)求证：ΔACD∽ΔBCE
(2)AD·EB=DE2.
2.已知如图，E是四边形ABCD的对角线上的一点，且AB︰AE＝AC︰AD，∠１＝∠２，试说明∠ＡＢＣ＝∠ＡＥＤ．
29．6 相似多边形及其性质
[学习目标解读]
1． 了解相似多边形的概念，知道相似多边形的对应角相等、对应边成比例，以及表示两个
相似多边形的方法．
2． 经历探究相似多边形性质的过程，知道相似多边形周长的比等于它们的相似比，面积的
比等于它们的相似比的平方．
3．理解并初步掌握相似多边形的性质，并能用来解决一些简单的问题．
[重点问题解析]
例 一矩形ABCD花坛四周修筑小路，使得相对两条小路的宽均相等，如果花坛AB=20米，AD=30米，试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使得小路四周所围成的矩形A1B1C1D1能与矩形ABCD相似？请说明理由
解：两个矩形相似只需对应边成比例，由题意得：
所以20（30+2x）=30(30+2y)
解得
[课堂自我测评]
1． 填空题
一个多边形的边长依次为1、2、3、4、5、6，与它相似的另一个多边形的最大边为8，那么另一个多边形的周长为 .
2． 选择题
1.下列说法正确的是（　　　）
A.　所有的矩形都相似　　 B. 所有的菱形都相似　　
C. 所有的等腰梯形都相似　　D. 所有的正方形都相似
2.若作业本的一页纸整张和半张是相似的，则作业本的长和宽的比是（ ）
A．2：1 B．4：1 C．：1 D．1.5:1
[综合能力测评]
1. 如图，正方形的边长a=10,菱形的边长b=5，它们相似吗？请说明理由.
2. 已知：四边形ABCD∽四边形A B C D ，且AB=4cm, A B =7cm, 四边形A B C D 的周长和面积分别为56 cm和147 cm2，求四边形ABCD的周长和面积.
3.已知：五边形ABCDE∽五边形A B C D E ，它们的面积比为4：9，周长的和是200厘米，求这两个五边形的周长.
4.已知：六边形ABCDEF∽六边形A B C D E F ，它们的相似比为3：2，面积之差是25，求这两个六边形的面积.
5.已知：如图,四边形ABCD相似于四边形EFGH，求未知边ｘ、ｙ的长度和角度α的大小。
6.已知：如图,四边形ABCD相似于四边形EFGH，求四边形EFGH的周长.
[实践活动探究]
已知：如图,四边形ABCD相似于四边形EFGH.求(1)∠A； (2)EF.
29．7 位似图形
[学习目标解读]
1．了解位似图形及其有关的概念，知道位似图形是具有特殊位置关系的相似图形．
2．能够利用位似图形选择恰当的方法将一个图形进行放大或缩小．
3．能够利用图形的位似解决一些简单的实际问题，发展学生的数学应用意识，培养学生的动手操作能力．
[重点问题解析]
例 如图：印刷一张矩形张贴广告，它的印刷面积是32dm2，上下空白各1dm，两边空白各0.5dm，设印刷部分从上到下的长是xdm，四周空白处的面积为Sdm2，
（1）求S与x的关系式；
（2）当要求四周空白处的面积为18dm2时，用来印刷这张广告的纸张的长和宽各是多少？
（3）在第第二问的条件下，内、外两个矩形是位似图形吗？请说明理由
解：（1）
（2）=18
解得
∴这张广告纸的长是10dm，宽是5dm．
（3）是位似图形．
因为外面的矩形与里面矩形的长、宽之比均为2，所以两矩形相似，且知四对顶点的连线都过矩形中心（显然两矩形中心重合）．
[课堂自我测评]
1． 填空题
把一个位似图形放大到原来图形的２倍（边长），则原图形与新图形的相似比是 ．
2． 选择题
用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置须选在（ ）
A.原图形的外部 B.原图形的内部
C.原图形的边上 D.任意位置
[综合能力测评]
1.任意画一个四边形，并按下列要求画出这个四边形的位似图形。
(1)位似中心在原四边形的与新四边形的之间，且相似比是３︰２。
(2)位似中心在原四边形的一条边的中点，且新图与原图的相似比是１︰２。
2.小兵放学回到家，看到妈妈望着一张图愁眉苦脸，问妈妈是怎么回事，原来妈妈正在看的是一张刚设计的玩具图，可是上面的六边形(如图)太大了，她想把它缩小到原来的一半（边长），手里只有刻度尺，正发愁不知怎么画。假如你是小兵，你能帮妈妈画好此图吗？请你动手画一画。
3.用直尺画出如图的位似图形的位似中心。
[实践活动探究]
如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每对对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个三角形叫做位似三角形，它们的相似比又称为位似比，这个点叫做位似中心．利用三角形的位似可以将一个三角形缩小或放大．
(1)选择：如图1，点O是等边三角形PQR的中心，P′、Q′、R′分别是OP、OQ、OR的中点，则△P′Q′R′与△PQR是位似三角形．此时，△P′Q′R′与△PQR的位似比、位似中心分别为（ ）．
A．2、点P B．、点P
C．2、点O D．、点O
(2)如图2,用下面的方法可以画ΔABC的内接等边三角形．阅读后证明相应问题．
画法：①在△AOB内画等边三角形CDE，使点C在OA上，点D在OB上；
②连结OE并延长，交AB于点E′，过点E′作E′C′∥EC，交OA于点C′，
作E′D′∥ED，交OB于点D′；
③连结C′D′．则△C′D′E′是△AOB的内接三角形．
求证：△C′D′E′是等边三角形．
29．8 相似三角形的应用(一)
[学习目标解读]
1． 通过解决一些实际问题，使学生认识到相似三角形的有关知识在实际生产、生活中有着
广泛地应用．
2． 发展学生的数学应用意识，利用相似三角形的有关性质，计算出一些不能直接测量的高度或距离.进一步加深对相似三角形的理解和认识．
[重点问题解析]
例 如图，ΔABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
解： ∵PN∥BC，易知△APN ∽△ ABC∴ = 设 PN ＝ x (mm)
解得：x ＝ 48
答：这个正方形零件的边长为 48 mm ．
[课堂自我测评]
一．选择题
1.李立的身高是1.6米，他的影长是2米，同一时刻古塔的影长是18米，则古塔的高是（　　）
A.22.5米　B.14.4米　C.16米　 D.20米
2.如图所示，小芳在打网球时，为使球恰好能过网（网高0.8米），且落在对方区域离网5米的位置上，已知她的击球高度是2.4米，则她最远应站在离网的（ ）
A.15米处 B.10米处 C.8米处 D.7.5米处
3．如图，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3.2m ,CA=0.8m, 则树的高度为（ ）
A.4.8m B.6.4m C.8m D.10m
[综合能力测评]
1．在太阳光下同一时刻物高与影长对应成比例，如果某中学的教学楼在地面上的影长为10米，同时高为1米的测杆的影长为50厘米，那么教学楼的高是多少米？
2.已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱.AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m.
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长.
3.如图，数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高．课外活动时在阳光下他们测得一根长为1米的竹竿的影子是0．9米，但当他们马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，小组同学认为继续测量也可以求出树高．他们测得落在地面的影长为1．1米，台阶总的高度为1．0米，水平总宽度1．6米．请你和他们一起算一下，树高为多少？（假设两次测量时太阳光线是平行的）
[实践活动探究]
1. 如图所示，伊拉克战争中，伊拉克侦察员在距敌方200米的地方发现敌人的一座建筑物，但不知其高度，又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员即将食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住，并测得此时眼睛到食指的距离约为40厘米，食指的长约为8厘米，你能根据上述条件计算出敌方建筑物的高度吗？
2.李明同学想测量旗杆的高度，他在某时刻测得1m长的竹竿竖直放置影长1.5m，在同时测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一栋楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影长为21m，留在墙上的影高为2m，你能求出旗杆的高度吗？
29．8 相似三角形的应用(二)
[学习目标解读]
培养学生的动手操作能力和与他人合作意识，积累数学活动的经验和成功体验，增强学生数学学习的自信心．能灵活利用相似三角形的有关性质，解决生活中的一些实际问题。
[重点问题解析]
例 如图，张明家居住在新华小区的15号楼，开发商计划在15号楼的阳面再建一座高为18的16号楼，两楼之间的距离为20，已知该地冬天太阳高度最低时光线与水平线的夹角为30 ．
(1)试求冬天太阳高度角最低时，16号楼的影子落在15号楼AB上的高度BE的长．
(2)如果让16号楼的影子刚好不影响15号楼，那么两楼之间的距离至少应是多远
解：(1)∵∠CFD=∠EFB,∠EBF=∠CDF∴ΔEBF∽ΔCDF ∴在RtΔCDF中, ∠CFD =30°,CD=18
∴CF=36,
∴ ∴解得
∴16号楼的影子落在15号楼AB上的高度BE 的长是 米
(2)由题意可知, DF长即为所求.∴若16号楼的影子刚好不影响15号楼,那么两楼之间的距离至少应是米.
[课堂自我测评]
一．选择题
如图，A、B两点被池塘隔开，想要测量AB之间的距离，在AB外任选一点C，连结AC、BC，分别取其三等分点M、N，量得 MN＝38m．则AB的长是（ ）
A.152m B.114m C.76m D.104m
[综合能力测评]
1.一条河的两岸有一段是平行的，在河的这岸每隔5米有一棵树，在河的对岸每隔50米有一根电线杆.在这岸离开岸边25米处看对岸，看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两颗树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度.
2.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点Ｂ和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使ＥＣ⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D。此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求河两岸间的大致距离AB。
3．雨后初晴，一学生在运动场上玩，从他前面2米处一块积水，看到旗杆顶端的倒影，如果旗杆底部到积水处的距离是40米，该生眼部的高度是1.５米，那么旗杆的高度是多少？
[实践活动探究]
1.三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远.其中有一题，是数学史上的测量问题.今译如下：如图，要测量海岛上一座山峰A的高度AH，立两根高三丈的标杆BC和DE，两竿相距BD=1000步，D、B、H成一线，从BC退行123步到F，人目着地观察A，A、C、F三点共线；从DE退行127步到G，从G看A，A、E、G三点也共线.试算出山峰的高度AH及HB的距离.(古制1步=6尺，1里=180丈=1800尺=300步.结果用里和步来表示)
2．如图,ΔABC为一块铁板余料，已知BC=160cm,高AD=120cm,要用这块余料裁出一个长方形EFHG，使点 H在AC上，点G在AB上，点E、F在BC上，AD交HG于点M.若要想裁出的长方形EFHG的面积最大，GE应该为多长？最大面积为多少？
第二十九章 全章检测
1． 填空题
1.线段a=3,b=2,c=4,则b、a、c的第四比例项d= .
2.若===，则= ，= .
3. 一根竹竿的长是1.6米，它的影长是２.4米。同一时刻，某塔的影长为180米，则电视塔的高度是＿＿＿．
4.两个相似三角形对应高的比为1：，则它们的周长之比为 ，面积之比为 .
5.如图，在△ABC中，DE∥BC，若，DE＝2，则BC的长为 。
6.两个相似五边形，一组对应边的长分别为2cm和3cm，已知它们的面积之和为78cm2，则较小五边形的面积是 .
7.如图,在RtΔABC中，∠ACB=90°，E是AB的中点，DE⊥AB，AB=10，BC=8，则CE=
，BD= ，SΔBED：SΔABC= .
8.ΔABC中，AB=8，AC=6，点D在AC上，且AD=2，如果要在AB上找一点E，使ΔADE与原三角形相似，那么AE= .
9.如图，在直角坐标系中有两点A（４，０）、B（０，２）。如果点C在ｘ轴上（C与A不重合），当点C的坐标为＿＿或＿＿＿ 时，使得由点B、O、C构成的三角形与△AＯB相似（至少找出两个符合条件的点）。
2． 选择题
1.在比例尺是1：38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约7cm,它的实际长度约为（ ）A．0.266km B．2.66km C．26.6km D．266km
2.若ab=mn,则下列比例式错误的是（ ）
A．= B.= C. = D.=
3.如图，在ΔABC中，DE∥BC，且AD：DB=2：3，则SΔADE：S四边形BCED=（ ）
A．2：3 B．4：5 C．4：9 D．4：21
4. 如图，要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先从B处出发向如图方向前进50米到C处，在C处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走10米到D处，在D处转过的角∠CDE＝∠ABC，沿DE方向再走17米，到达E处，使A（目标物），C（标杆）与E在同一直线上，那么可得到A、B的距离是（ ）A．34米 B．51米 C．80米 D．85米
5.如图，ΔABC∽ΔACD，则下列各式中，正确的是（ ）
A．AC2=AB·CD B．AC2=AD·BC C．AC2=CB·CD D．AC2=AB·AD
6.如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于点D，AC=6，AB=9，则AD的长是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
7.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC中点，AE⊥AD交CB延长线于点E，则下列结论正确的是（ ）
A．△AED∽△ACB B．△AEB∽△ACD
C．△BAE∽△ACE D．△AEC∽△DAC
3． 解答题
1.请同学们在图中的同一个直角坐标系中，画出两个形状相同，但面积不等的三角形．
2．假设学生座位到黑板的距离是５㎝，为了使学生看黑板上的字与看相距３０㎝的课本上的字感觉相同，黑板上的字应写多大？（设课本中正文字的大小为0.4㎝×0.35㎝）.
3. 如图,AB是⊙O的直径, ⊙O过BC的中点D,DE⊥AC.
(1)求证: △BDA∽△CED.
(2)从图中你还能找出哪些相似三角形，试着写出来。
4．如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.
（1）填空：∠ABC= °，BC= ；
（2）判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论.
5.某村有两个平面相似的鱼塘，承包金分别为900元和1500元，王老汉准备承包一个，在没有任何测量工具的情况下，不知道承包哪个利润大（假设单位面积的利润一样），他让孙子小刚给他计算一下，于是小刚想了一个办法：以同样的速度绕鱼塘转了一周，分别用了10分钟和15分钟.你知道小刚会给爷爷提出什么建议吗？请说明理由.
6.如图，已知：在□ABCD中,G是DC延长线上一点，AG分别交BD和BC于E、F.试说明AF·AD=AG·BF.
7．如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE．F为AE上一点，且∠BFE＝∠C．
（1）求证：△ABF∽△EAD；
（2）若AB＝4，∠BAE＝30°，求AE的长；
（3）在（1）、（2）的条件下，若AD＝3，求BF的长．（结果可含根号）
8.操作：如图，在正方形ABCD中，P是CD上一动点（与C、D不重合），使三角尺的直角顶点与点P重合，并且一条直角边始终经过点B，另一直角边与正方形的某一边所在直线交于点E．探究：
　　（1）观察操作结果，哪一个三角形与△BPC相似 并证明你的结论；
（2）当点P位于CD的中点时，你找到的三角形与△BPC的周长比是多少
第二十九章 相似形
29．1 形状相同的图形
[综合能力测评]1.(3)、（4）2.略 3.相同 4.不同 5.图形略，ΔADE与ΔABC的形状相同，ΔAMN与ΔABC的形状相同 6.略 [实践活动探究]1.(1)略 (2)略 （3）两个图形的形状相同 2.略
29．2 比例线段
一．填空题1.6 2.3 3. 4.1：3 5.±2 6. 7. ,.二．选择题1.A 2 .D 3.C 4.C 5.C 6.A 7.D 8.D 9.B 10.A 11.B [综合能力测评]1.,,1. 2.(1)3:1；(2)1:2；(3)2:3. 3.1:5000 4.500
5.±4或2或16. [实践活动探究]1.略 2.0.618
29．3 相似三角形
一．填空题8,52 二．选择题1.A 2.A [综合能力测评]1.△ADE∽△ABC 2. △ABE∽△FCE 3. ΔA B C 另两条边长是10、24，周长是6 4 4.6 5.△AED∽△ABC,理由略，相似比是 6.8.75 7.略[实践活动探究](1)略(2)2.1厘米
29．4 三角形相似的条件(一)
一.判断题1.(1)√(2)╳ (3)√ (4)√ (5)√(6)√ (7)√二．填空题1.ΔABC，ΔCBD，ΔACD 2.4.5 三.选择题 D [综合能力测评] 1.ΔADG∽ΔAEH∽ΔAFI∽ΔABC 2.(1)、(2)都相似，理由略. 3.略 4.提示：延长BA、CD交于E.老王家养鱼池的面积约为3461米2. 5.(1)略(2)10cm. 6.略 7.因为DE∥BC，EF∥AB（已知），则∠ADE＝∠B＝∠EFC（两直线平行同位角相等），
∠AED＝∠Ｃ（两直线平行，同位角相等），
所以　△ADE～△EFC（如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似）．8.略 [实践活动探究] 1.(1)略 （2）21米 2.(1)略(2)略(3) 20/3cm.
29．4 三角形相似的条件(二)
一．填空题 ①②③二．选择题1.B 2.C 3.D 4.C [综合能力测评]1.(1) ΔABC∽ΔA B C,理由略，(2) ΔABC∽ΔA B C,理由略.2.相似，理由略，ΔABC∽ΔEFD. 3.添加∠B=∠D或者BC∥DE或者AE：AC=AD：AB等等，理由略.4.略5.略. 6.略. [实践活动探究] 1.当BD=时，ΔACB∽ΔCBD. 2.当DM=或时，ΔABE与以D、M、N为顶点的三角形相似.
29．5 相似三角形的性质
一．填空题1.相似比；相似比；相似比；相似比；相似比的平方. 2.4:9 3.2:5 4．4 5.25 6.(1)△ABC ∽△ACD∽△CBD (2) , AD·AB (3)BD·AB (4) AD·BD 7. 1:9二．选择题 1.D 2.D 3.C 4.A [综合能力测评]1.李庄主是胜利者. 2.这两个三角形的周长分别是100厘米和40厘米.3.略 [实践活动探究]1.略2.解：因为　∠１＝∠２（已知），所以∠１＋∠ＥＡＣ＝∠２＋∠ＥＡＣ（等式性质），即∠ＢＡＣ＝∠ＥＡＤ．又因为AB︰AE＝ACAD（已知），
所以△ABC～△AED（如果一个三角形的两边与两一个三角形的两边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似），
所以∠ＡＢＣ＝∠ＡＥＤ（相似三角形的对应角相等）．
29．6 相似多边形及其性质
一．填空题 28二．选择题1.D 2.C [综合能力测评]1.不相似，因为它们只是对应边成比例，但是对应角不相等. 2. 四边形ABCD的周长和面积分别是 32 cm和48 cm2. 3.这两个五边形的周长分别是80厘米和120厘米. 4.这两个六边形的面积分别是45，20. 5.x=31.5,y=27,α=83°. 6.46.8 [实践活动探究](1)130°；(2)8
29．7 位似图形
一．填空题1:2二．选择题D [综合能力测评]1.略 2.略 3.略 [实践活动探究](1)D(2)略
29．8 相似三角形的应用(一)
一．选择题1.B 2.B 3.C [综合能力测评]1.20米 2.解：（1）图略（连接AC，过点D作DE//AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影）
（2）∵AC//DF，∴∠ACB=∠DFE.
∵∠ABC=∠DEF=90°∴△ABC∽△DEF. ∴DE=10（m）.
3．解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，由题意知：EF=1米，FG=0.9米，CD=1.1+1.6=2.7米
∵∠EFG=∠BDC=90°，EG∥BC ∴∠EGF=∠BCD
∴△EFG∽△BDC分 ∴
∴∴米
[实践活动探究]1.敌方建筑物的高度为40米. 2. 旗杆的高度是16m.
29．8 相似三角形的应用(二)
一．选择题 B [综合能力测评]1.37.5米 2. 100米 3.30米[实践活动探究]1.AH＝4里55步，HB＝102里150步 2. GE应该为60cm,最大面积为4800cm2 .
第二十九章 　全章检测
一．填空题1.6 2.，4 3.120米 4. 1：,1:2 5.6 6.24 cm2. 7.5,,25:64. 8.或 9.（－4，0）、（1，0）、（－1，0）(任填两个即可)
二．选择题1.B 2.C 3.D 4.D 5.D 6.C 7.C 三.解答题1.略 2．解:设黑板上的字大小为x㎝×y㎝，则,x＝≈7（㎝）y＝6（㎝）所以黑板上的字大小为7㎝×6㎝. 3.略 4.(1)∠ABC= 135 °, BC=.(2)能判断△ABC与△DEF相似（或△ABC∽△DEF） 这是因为∠ABC =∠DEF = 135 ° ,， ∴△ABC∽△DEF.
5.小刚的建议是承包大的鱼塘.理由：根据以同样速度绕鱼塘转一周，分别用了10分钟和15分钟，可知这两个鱼塘周长的比大约是2：3，由相似的性质知，它们的面积比约为4：9，说明大鱼塘面积超过小鱼塘面积的两倍，而承包金比为3：5，大鱼塘承包金不到小鱼塘承包金的两倍，因此承包大鱼塘的利润大.
6.解答：∵四边形 ABCD是平行四边形 ∴AB∥DC，AD∥BC，
∴△ABF∽△GCF，△GCF∽△GDA， ∴△ABF∽△GDA，
∴， 即AF·AD=AG·BF
7．证明：（1）∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴，．　　又∵ ，，
∴ ． ∴ △ABF∽△EAD．　　
（2）AE=（3）由（1）有：．又，∴ ．　
8. (1)△PDE∽△BCP；(2)周长比是1∶2．
(3)
(4)
(2)
(1)
1题图
5题图
6题图
1题图
2题图
2
4
2．6
4．5
1题图
1题图
2题图
54
20
30
4题图
5题图
6题图
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
①
②
③
2题图
1题图
选择题图
1题图
3题图
4题图
5题图
6题图
7题图
8题图
_
F
_
E
_
D
_
C
_
A
_
G
_
B
A
B
C
D
E
F
1题图
2题图
A
D
N
E
C
B
M
1题图
1题图
2题图
3题图
4题图
3题图
4题图
5题图
6题图
1题图
2题图
图1
A
B
C
D
E
F
G
图2
A
B
C
图3
A
B
C
G
G
F
F
D
D
E
E
图4
A
B
C
G
F
D
E
图5
A
B
C
G
F
D
E
N
M
图5
4题图
6题图
2题图
3题图
（第7题）
4题图
3题图
2题图
1题图
A
A1
B
B1
C
D
C1
D1
y
y
1题图
5题图
6题图
实践活动图
x
1
1
0.5
0.5
印
刷
部
分
2题图
3题图
图2
图1
2题图
5m
0.8m
2.4m
3题图
A
E
D
C
图8
B
2题图
3题图
C
E
F
G
B
A
1题图
15号楼
16号楼
A
B
E
C
D
F
一题图
2题图
1题图
2题图
5题图
A
B
C
E
D
7题图
9题图
4题图
6题图
3题图
5题图
7题图
1题图
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4题图
6题图
7题图
C
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F
G
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A A
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