数学：第三十章反比例函数复习学案（冀教版九年级上）

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第三十章反比例函数导学
反比例函数问题大致有求函数的表达式，研究函数的图像与性质，解相关综合题等．本章内容虽说不多，但对知识的理解要求较高，其中还蕴含着丰富的数学思想和方法，请同学们务必认真体会，下面对整章内容作一梳理，希望对同学们有所帮助．
　　一、知识梳理
　　1．理解反比例函数的概念应注意两点：（1）自变量的次数是，（2）比例系数．
　　2．反比例函数自变量的取值范围是，因此在画函数图像时，不要把两个分支连结起来，“两个分支都无限接近但永远不能到达轴和轴”这是由自变量的取值范围所决定的．
　　3．反比例函数的性质可借助下述方法来帮助理解．具有下列条件之一，可推出其他两点：（1），（2）图像的两个分支分别在第一、三象限，（3）在每个象限内，随的增大而减小（对于可作同样的分解帮助理解）．
　　注：（1）反比例函数的增、减一定要强调“在每个象限内”这一前提，因为时函数图像的两个分支分别在第一、三象限，若点在第一象限的图像上，点在第三象限的图像上，虽然，但显然，即随着的增大，
并没有随之变小．
　　（2）该性质记忆时应“数形结合”，切忌死记硬背．
　　4．双曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形．
　　5．一个重要结论．
　　设是反比例函数图像上的任意一点，过点分别作轴、轴的垂线，则所得矩形的面积等于；同理过点向某一坐标轴作垂线，垂足与构成的三角形的面积等于．
　　二、范例分析
　　例1　若点在函数的图像上，则下列结论中正确的是（　　）
　　Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
　　析解：本题既可将各点的横坐标代入表达式，求出的值再进行比较，也可以采用数形结合的方法，画出草图，直观进行比较（草图如图2）．易知选Ｄ．
　　例2　已知函数的图像经过点，下列说法正确的是（　　）
Ａ．随的增大而减小 Ｂ．函数图像只在第一象限
　　Ｃ．当时必有 Ｄ．点不在此函数图像上
　　析解：Ａ缺少前提“在每个象限内”，又因为函数的图像经过点，所以，图像在第一、三象限，当时，，所以点在此函数图像上，所以Ａ，Ｂ，Ｄ错．因为，所以当时的图像在第三象限，所以．故选Ｃ．
　　例3　如图3，点是轴正半轴上一动点，过点作轴的垂
线交双曲线于点，连结，当点沿轴正方向运动时，
的面积（　　）
　　Ａ．逐渐增大　　 Ｂ．逐渐变小
　　Ｃ．保持不变　　 Ｄ．无法确定
　　析解：无论点运动到何位置，点总在双曲线上，总有轴，由前面知识分析知，，故选Ｃ．
　　例4　矩形面积为，当长是宽的函数时，这个函数的图像是（　　）
　　析解：本题是一个实际问题，应根据题意确定自变量的取值范围：．因此函数的图像是双曲线在第一象限的一个分支．故选Ｃ．
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