课时分层作业(十二) 倾斜角与斜率
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共88分
一、选择题
1．(多选)在下列四个命题中，正确的有( )
A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B．直线的倾斜角的取值范围是[0，π)
C．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为45°
D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90°
2．过两点A(3，y)，B(2，0)的直线的倾斜角为120°，则y＝( )
A．
C．－ D．－
3．已知直线l的斜率的范围为[－1，1]，则直线l的倾斜角α的取值范围为( )
A．0°≤α≤45°或135°≤α≤180°
B．45°≤α≤135°
C．45°＜α＜135°
D．0°≤α≤45°或135°≤α＜180°
4．直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，其图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．k1＞k2＞k3 B．k3＞k1＞k2
C．k2＞k1＞k3 D．k2＞k3＞k1
5．斜拉桥是将梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的桥，它由梁、斜拉索和塔柱三部分组成．如图1，这是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列．如图2，已知拉索上端相邻两个锚的间距|PiPi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均为4 m，拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均为18 m．最短拉索的锚P1，A1满足|OP1|＝84 m，|OA1|＝78 m，以B10A10所在直线为x轴，OP10所在直线为y轴，则最长拉索B10P10所在直线的斜率为( )
A．
C．
二、填空题
6．已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为 ________．
7．已知直线l的方向向量n＝(2，－2)，则直线l的倾斜角为________．
8．已知直线l上一点向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后，仍在该直线上，则直线l的斜率k为________．
三、解答题
9．已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m，1)，问：当m取何值时：
(1)直线l与x轴平行？
(2)直线l与y轴平行？
(3)直线l的一个方向向量的坐标为(3，1)
(4)直线l的倾斜角为45°？
(5)直线l的倾斜角为锐角？
10．(多选)已知直线l1，l2，l3的倾斜角分别为θ1，θ2，θ3，斜率分别是k1，k2，k3，若θ1＜θ2＜θ3，则k1，k2，k3的大小关系可能是( )
A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k2＜k1
C．k3＜k1＜k2 D．k2＜k3＜k1
11．已知两点A(－1，2)，B(m，3)，且m∈，则直线AB的倾斜角α的取值范围是( )
A．
C．
12．已知点A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1，4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，则m的值为________．
13．已知坐标平面内三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，＋1)．
(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；
(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD的斜率k的取值范围．
14．已知A(2，3)，B(－1，2)，若点P(x，y)在线段AB上，则的取值范围是 ________．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(十二)
1．BCD [对于A，当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，
故坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率不成立，故A错误；
对于B，直线的倾斜角的取值范围是[0，π)，故B正确；
对于C，由题意可得直线的倾斜角的正切值为1，所以直线的倾斜角为45°，故C正确；
对于D，与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90°，选项D正确．
故选BCD．]
2．D [设直线斜率为k，则k＝tan 120°＝．故选D．]
3．D [由直线l的斜率的范围为[－1，1]，0°≤α<180°，
故倾斜角α的范围为0°≤α≤45°或135°≤α<180°．故选D．]
4．C [由k＝tan α，结合y＝tan x的函数图象，
直线l3对应的倾斜角为钝角，则k3<0，
直线l1与l2对应的倾斜角都为锐角，且l2的倾斜角大于l1的倾斜角，
则k2>k1>0，故k2>k1>k3．
故选C．]
5．B [如图，根据题意，最短拉索的锚P1，A1满足|OP1|＝84 m，|OA1|＝78 m，
且|PiPi+1|(i＝1，2，3，…，9)均为4 m，拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi+1|(i＝1，2，3，…，9)均为18 m，则|OA10|＝|OA1|＋|A1A10|＝78＋9×18＝240 m，即点A10(240，0)，
同理B10(－240，0)，又|OP10|＝|OP1|＋|P1P10|＝84＋9×4＝120，即点P10(0，120)，
所以，即最长拉索所在直线的斜率为．故选B．]
6．135° [设直线l2的倾斜角为α2，直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1与l2向上的方向所成的角为120°，
所以∠BAC＝120°，故α2＝120°＋α1＝120°＋15°＝135°．]
7． [由于直线l的方向向量n＝(2，－2)，则直线l的斜率为，
设直线l的倾斜角为θ，则tan θ＝－，θ∈[0，π)，∴θ＝．]
8．－ [设点P(a，b)是直线l上的一点，
将点P(a，b)向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点P'(a＋4，b－2)仍在该直线上，则直线l的斜率k＝．]
9．解：(1)若直线l与x轴平行，则直线l的斜率k＝0，即＝0，解得m＝1．
(2)若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，所以m＝－1．
(3)直线l的一个方向向量的坐标为(3，1)，故k＝，即，解得m＝．
(4)由题意可知，直线l的斜率k＝1，即＝1，解得m＝0．
(5)由题意可知，直线l的斜率k>0，即>0，解得－110．ACD [由k＝tan x在上分别单调递增，
且当x∈时，k>0；当x∈时，k<0，
若0<θ1<θ2<θ3<，或<θ1<θ2<θ3<π，则k1若0<θ1<θ2<<θ3<π，则k3若0<θ1<<θ2<θ3<π，则k2故选ACD．]
11．D [因为两点A(－1，2)，B(m，3)，且m∈，
当m＝－1时，m＝－1∈，此时直线的倾斜角为．
当m≠－1时，直线的斜率k＝，
可得m＋1∈，可得k＝≥或k≤－，即tan α≥或tan α≤－，可得α∈或α∈．
综上所述，直线的倾斜角α∈．
故选D．]
12．4 [由题意知直线AC的斜率存在，即m≠－1，
所以kAC＝，kBC＝，
所以＝3×，
整理，得－m－1＝(m－5)(m＋1)，即(m＋1)(m－4)＝0，
解得m＝4或m＝－1(舍去)，所以m＝4．]
13．解：(1)由斜率公式得，kAB＝＝0，
kBC＝，kAC＝，∴直线AB的倾斜角为0°，直线BC的倾斜角为60°，直线AC的倾斜角为30°．
(2)如图，当直线CD由CA逆时针旋转到CB时，
直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kAC增大到kBC，∴k的取值范围为．
14．(－∞，－1]∪[3，＋∞) [由题意，表示点P(x，y)与点Q(1，0)连线的斜率，
因为点P(x，y)在线段AB上，A(2，3)，B(－1，2)，
所以kAQ＝＝3，kBQ＝＝－1，kPQ＝，
所以kPQ＝∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
即的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．]
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.1 直线的倾斜角与斜率
2.1.1 倾斜角与斜率
[学习目标]
1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素．(数学抽象、直观想象)
2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程．(数学抽象)
3．掌握过两点的直线斜率的计算公式．(数学运算)
探究1 直线的倾斜角
问题1 观察下图，在平面直角坐标系中，经过一点P可以作无数条直线l1，l2，l3，…，它们组成一个直线束，这些直线的区别是什么？
[新知生成]
1．倾斜角的定义
(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴______________与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°．
2．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围为______________．
[学以致用] 1．(多选)下列命题中，正确的是( )
A．任意一条直线都有唯一的倾斜角
B．一条直线的倾斜角可以为－30°
C．若直线l向上的方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为60°或120°
D．若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1)
2．(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为( )
A．α＋45° B．α－135°
C．135°－α D．α－45°
探究2 直线的斜率
问题2 如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，(x1≠x2)，那么直线l的倾斜角α与P1，P2的坐标有什么关系？当直线l与x轴平行或重合时，还成立吗？
[新知生成]
1．斜率的定义：一条直线的倾斜角α的______________叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝______________．
2．斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝．当x1＝x2时，直线P1P2的斜率不存在．
3．直线的方向向量与斜率的关系
(1)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线，其方向向量为＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1)·，因此，当直线的斜率k存在时，直线的一个方向向量为(1，k)．
(2)当直线的一个方向向量的坐标为(x，y)(x≠0)时，直线的斜率k＝．
[典例讲评] 【链接教材P54例1】
1．(1)经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角．
①A(2，3)，B(4，5)；
②C(－2，3)，D(2，－1)；
③P(－3，1)，Q(－3，10)；
④M(2，4)，N(－3，4)．
(2)求经过两点A(2m，1)，B(m，2)(m∈R)的直线l的斜率．
[尝试解答]
1．直线斜率的基本求法
(1)利用两点坐标求直线的斜率，即k＝(x1≠x2)，用此法时要注意两点的横坐标不能相等，同时要注意横、纵坐标必须对应．
(2)利用倾斜角求斜率，即k＝tan α，用此法时一定注意倾斜角为90°时，直线的斜率不存在．
2．利用斜率公式求直线的斜率时，如果点的坐标中含有参数，需要先对直线斜率是否存在作出判断，即对参数进行分类讨论．
[学以致用] 3．已知经过点A(1，2)，B(m，4)的直线l的斜率为2，则m的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
4．根据下列条件，求直线l的倾斜角：
(1)斜率为－；
(2)经过A(－2，0)，B(－5，3)两点；
(3)一个方向向量为＝．
[尝试解答]
探究3 倾斜角和斜率的应用
问题3 当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°，其斜率如何变化？
[新知生成]
1．设直线的倾斜角为α，斜率为k．
α的大小 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜180°
k的范围 k＝0 k＞0 不存在 k＜0
k的增减性 随α的增大而______________ 随α的增大而______________
2．下面特殊角的正切值要熟记：
倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150°
斜率k 0 1 ______________ －1 ______
三点共线问题
[典例讲评] 【链接教材P58习题2.1T4】
2．已知A(－2，－1)，B(0，－3)，C(1，－4)，D(2，－6)，则A，B，C共线吗？A，B，D呢？
[尝试解答]
判断三点共线的方法
对于给定坐标的三点，要判断三点是否共线，先判断任意两点连线的斜率是否存在．(1)若斜率都不存在，则三点共线．(2)若斜率存在，则任意两点连线的斜率相等时，三点才共线．
[学以致用] 5．(1)若三点A(2，－3)，B(4，3)，C(5，k)在同一条直线上，求k的值；
(2)已知点A(－1，－3)，B(0，－1)，C(4，7)，试判断这三点是否共线．
求解范围问题
[典例讲评] 3．已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．
[尝试解答]
涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解．
[学以致用] 6．若直线l的倾斜角为α，且45°≤α≤135°，则直线l斜率的取值范围为( )
A．[1，＋∞)
B．(－∞，－1]
C．[－1，1]
D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
1．(多选)设直线l与x轴交于点A，其倾斜角为α，直线l绕点A顺时针旋转60°后得直线l1，则直线l1的倾斜角可能为( )
A．α＋60° B．α＋120°
C．α－60° D．120°－α
2．(多选)下列说法正确的有( )
A．每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应
B．倾斜角为135°的直线的斜率为1
C．一条直线的倾斜角为α，则其斜率为k＝tan α
D．直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)
3．(教材P58习题2.1T3(2)改编)若经过两点A(3，y＋1)，B(2，－1)的直线的倾斜角为，则y等于( )
A．－1 B．2
C．0 D．－3
1．知识链：
2．方法链：数形结合、分类讨论．
3．警示牌：(1)对直线的斜率与倾斜角理解不透彻，忽略直线的斜率不存在致错．
(2)对直线的方向向量与斜率的关系搞不清楚．
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第二章
直线和圆的方程
2.1 直线的倾斜角与斜率
2.1.1 倾斜角与斜率
[学习目标]
1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素．(数学抽象、直观想象)
2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程．(数学抽象)
3．掌握过两点的直线斜率的计算公式．(数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．直线的倾斜角是如何定义的？它的取值范围如何？
问题2．直线的斜率是如何定义的？直线的斜率一定存在吗？
问题3．若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？所有的直线都有倾斜角吗？
探究建构 关键能力达成
探究1 直线的倾斜角
问题1 观察下图，在平面直角坐标系中，经过一点P可以作无数条直线l1，l2，l3，…，它们组成一个直线束，这些直线的区别是什么？
[提示] 直线的方向不同，相对于x轴的倾斜程度不同．
[新知生成]
1．倾斜角的定义
(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴____与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°．
2．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围为_______________．
正向
0°≤α<180°
【教用·微提醒】 (1)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴绕一定点按逆时针方向旋转到与直线重合时所得到的最小正角(未作旋转时倾斜角为0°)．
(2)倾斜角从“形”的方面体现了直线对x轴的倾斜程度，倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等．
[学以致用] 1．(多选)下列命题中，正确的是( )
A．任意一条直线都有唯一的倾斜角
B．一条直线的倾斜角可以为－30°
C．若直线l向上的方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为60°或120°
D．若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1)
√
√
AC [任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，故A正确，B错误；C中，如图，直线l有两种情况，故直线l的倾斜角为60°或120°，故C正确；
D中，当α＝0°时，sin α＝0；当α＝90°时，sin α＝1，故D错误．]
2．(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为( )
A．α＋45° B．α－135°
C．135°－α D．α－45°
√
√
AB [根据题意，画出图象，如图所示．
通过图象可知，
当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°；
当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°．]
探究2 直线的斜率
问题2 如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，(x1≠x2)，那么直线l的倾斜角α与P1，P2的坐标有什么关系？当直线l与x轴平行或重合时，还成立吗？
[新知生成]
1．斜率的定义：一条直线的倾斜角α的______叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝________．
2．斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝_______．当x1＝x2时，直线P1P2的斜率不存在．
正切值
tan α
【教用·微提醒】 (1)当x1＝x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°．
(2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关．
(3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换．
(4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0．
[典例讲评] 【链接教材P54例1】
1．(1)经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角．
①A(2，3)，B(4，5)；
②C(－2，3)，D(2，－1)；
③P(－3，1)，Q(－3，10)；
④M(2，4)，N(－3，4)．
(2)求经过两点A(2m，1)，B(m，2)(m∈R)的直线l的斜率．
【教材原题·P54例1】
例1 如图2.1-6，已知A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
[学以致用] 3．已知经过点A(1，2)，B(m，4)的直线l的斜率为2，则m的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
√
探究3 倾斜角和斜率的应用
问题3 当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°，其斜率如何变化？
[提示] 当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大．
[新知生成]
1．设直线的倾斜角为α，斜率为k．
α的大小 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜180°
k的范围 k＝0 k＞0 不存在 k＜0
k的增减性 随α的增大而____ 随α的增大而____
增大
增大
2．下面特殊角的正切值要熟记：
倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150°
斜率k 0 1 ______ －1
【教用·微提醒】 (1)根据正切函数在[0，π)上的图象可知，倾斜角与斜率之间是一一对应的，即可以用k的值判定倾斜角的情况．
(2)正确分析斜率随倾斜角的变化规律，注意90°倾斜角的斜率不存在．
考向1 三点共线问题
[典例讲评] 【链接教材P58习题2.1T4】
2．已知A(－2，－1)，B(0，－3)，C(1，－4)，D(2，－6)，则A，B，C共线吗？A，B，D呢？
【教材原题·P58习题2.1T4】已知A(1，2)，B(－1，0)，C(3，4)三点，这三点是否在同一条直线上？为什么？
[解] A，B，C三点在同一条直线上(kAB＝kBC)．
反思领悟 判断三点共线的方法
对于给定坐标的三点，要判断三点是否共线，先判断任意两点连线的斜率是否存在．(1)若斜率都不存在，则三点共线．(2)若斜率存在，则任意两点连线的斜率相等时，三点才共线．
[学以致用] 5．(1)若三点A(2，－3)，B(4，3)，C(5，k)在同一条直线上，求k的值；
(2)已知点A(－1，－3)，B(0，－1)，C(4，7)，试判断这三点是否共线．
考向2 求解范围问题
[典例讲评] 3．已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．
反思领悟 涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解．
[学以致用] 6．若直线l的倾斜角为α，且45°≤α≤135°，则直线l斜率的取值范围为( )
A．[1，＋∞)
B．(－∞，－1]
C．[－1，1]
D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
√
应用迁移 随堂评估自测
1．(多选)设直线l与x轴交于点A，其倾斜角为α，直线l绕点A顺时针旋转60°后得直线l1，则直线l1的倾斜角可能为( )
A．α＋60° B．α＋120°
C．α－60° D．120°－α
√
√
BC [直线l绕点A顺时针旋转60°后得直线l1，当α≥60°时，直线l1的倾斜角为α－60°，当0°≤α<60°时，直线l1的倾斜角为α－60°＋180°＝120°＋α．]
2．(多选)下列说法正确的有( )
A．每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应
B．倾斜角为135°的直线的斜率为1
C．一条直线的倾斜角为α，则其斜率为k＝tan α
D．直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)
√
√
√
4．已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m，1)，当m＝________时，直线l的斜率是1．
1．知识链：
2．方法链：数形结合、分类讨论．
3．警示牌：(1)对直线的斜率与倾斜角理解不透彻，忽略直线的斜率不存在致错．
(2)对直线的方向向量与斜率的关系搞不清楚．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．直线的倾斜角是如何定义的？其取值范围是什么？
[提示] 当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°，因此，直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°．
2．直线的斜率是如何定义的？直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的斜率公式是什么？
3．直线的斜率k和直线的方向向量有怎样的关系？
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
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5
2
4
6
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9
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12
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一、选择题
1．(多选)在下列四个命题中，正确的有( )
A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B．直线的倾斜角的取值范围是[0，π)
C．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为45°
D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90°
课时分层作业(十二) 倾斜角与斜率
√
√
√
BCD [对于A，当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，
故坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率不成立，故A错误；
对于B，直线的倾斜角的取值范围是[0，π)，故B正确；
对于C，由题意可得直线的倾斜角的正切值为1，所以直线的倾斜角为45°，故C正确；
对于D，与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90°，选项D正确．
故选BCD．]
题号
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√
3．已知直线l的斜率的范围为[－1，1]，则直线l的倾斜角α的取值范围为( )
A．0°≤α≤45°或135°≤α≤180°
B．45°≤α≤135°
C．45°＜α＜135°
D．0°≤α≤45°或135°≤α＜180°
题号
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D [由直线l的斜率的范围为[－1，1]，0°≤α＜180°，
故倾斜角α的范围为0°≤α≤45°或135°≤α＜180°．故选D．]
4．直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，其图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．k1＞k2＞k3 B．k3＞k1＞k2
C．k2＞k1＞k3 D．k2＞k3＞k1
√
题号
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C [由k＝tan α，结合y＝tan x的函数图象，
直线l3对应的倾斜角为钝角，则k3＜0，
直线l1与l2对应的倾斜角都为锐角，
且l2的倾斜角大于l1的倾斜角，
则k2＞k1＞0，故k2＞k1＞k3．故选C．]
题号
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二、填空题
6．已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为 ________．
题号
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135°
135° [设直线l2的倾斜角为α2，直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1与l2向上的方向所成的角为120°，
所以∠BAC＝120°，故α2＝120°＋α1＝120°＋15°＝135°．]
题号
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8．已知直线l上一点向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后，仍在该直线上，则直线l的斜率k为________．
题号
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三、解答题
9．已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m，1)，问：当m取何值时：
(1)直线l与x轴平行？
(2)直线l与y轴平行？
(3)直线l的一个方向向量的坐标为(3，1)
(4)直线l的倾斜角为45°？
(5)直线l的倾斜角为锐角？
题号
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10．(多选)已知直线l1，l2，l3的倾斜角分别为θ1，θ2，θ3，斜率分别是k1，k2，k3，若θ1＜θ2＜θ3，则k1，k2，k3的大小关系可能是( )
A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k2＜k1
C．k3＜k1＜k2 D．k2＜k3＜k1
题号
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12．已知点A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1，4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，则m的值为________．
题号
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(－∞，－1]∪[3，＋∞)
题号
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142.1 直线的倾斜角与斜率
2.1.1 倾斜角与斜率
[学习目标]
1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素．(数学抽象、直观想象)
2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程．(数学抽象)
3．掌握过两点的直线斜率的计算公式．(数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．直线的倾斜角是如何定义的？它的取值范围如何？
问题2．直线的斜率是如何定义的？直线的斜率一定存在吗？
问题3．若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？所有的直线都有倾斜角吗？
探究1 直线的倾斜角
问题1 观察下图，在平面直角坐标系中，经过一点P可以作无数条直线l1，l2，l3，…，它们组成一个直线束，这些直线的区别是什么？
[提示] 直线的方向不同，相对于x轴的倾斜程度不同．
[新知生成]
1．倾斜角的定义
(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°．
2．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°．
【教用·微提醒】 (1)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴绕一定点按逆时针方向旋转到与直线重合时所得到的最小正角(未作旋转时倾斜角为0°)．
(2)倾斜角从“形”的方面体现了直线对x轴的倾斜程度，倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等．
[学以致用] 1．(多选)下列命题中，正确的是( )
A．任意一条直线都有唯一的倾斜角
B．一条直线的倾斜角可以为－30°
C．若直线l向上的方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为60°或120°
D．若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1)
AC [任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，故A正确，B错误；C中，如图，直线l有两种情况，故直线l的倾斜角为60°或120°，故C正确；
D中，当α＝0°时，sin α＝0；当α＝90°时，sin α＝1，故D错误．
]
2．(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为( )
A．α＋45° B．α－135°
C．135°－α D．α－45°
AB [根据题意，画出图象，如图所示．
通过图象可知，
当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°；
当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°．]
探究2 直线的斜率
问题2 如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，(x1≠x2)，那么直线l的倾斜角α与P1，P2的坐标有什么关系？当直线l与x轴平行或重合时，还成立吗？
[提示] tan α＝；成立．
[新知生成]
1．斜率的定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α．
2．斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝．当x1＝x2时，直线P1P2的斜率不存在．
3．直线的方向向量与斜率的关系
(1)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线，其方向向量为＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1)·，因此，当直线的斜率k存在时，直线的一个方向向量为(1，k)．
(2)当直线的一个方向向量的坐标为(x，y)(x≠0)时，直线的斜率k＝．
【教用·微提醒】 (1)当x1＝x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°．
(2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关．
(3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换．
(4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0．
[典例讲评] 【链接教材P54例1】
1．(1)经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角．
①A(2，3)，B(4，5)；
②C(－2，3)，D(2，－1)；
③P(－3，1)，Q(－3，10)；
④M(2，4)，N(－3，4)．
(2)求经过两点A(2m，1)，B(m，2)(m∈R)的直线l的斜率．
[解] (1)①存在．直线AB的斜率kAB＝＝1，
则直线AB的倾斜角α满足tan α＝1，
又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°．
②存在．直线CD的斜率kCD＝＝－1，
则直线CD的倾斜角α满足tan α＝－1，
又0°≤α<180°，
所以倾斜角α＝135°．
③不存在．因为xP＝xQ＝－3，
所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°．
④存在．因为yM＝yN＝4，
所以直线MN的斜率为0，倾斜角α＝0°．
(2)当直线l垂直于x轴，即2m＝m，m＝0时，其斜率不存在；
当2m≠m，即m≠0时，直线l的斜率k＝＝－．
【教材原题·P54例1】
例1 如图2.1-6，已知A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
[解] 直线AB的斜率kAB＝＝；
直线BC的斜率kBC＝＝＝－；
直线CA的斜率kCA＝＝＝1．
由kAB＞0及kCA＞0可知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角；由kBC＜0可知，直线BC的倾斜角为钝角．
1．直线斜率的基本求法
(1)利用两点坐标求直线的斜率，即k＝(x1≠x2)，用此法时要注意两点的横坐标不能相等，同时要注意横、纵坐标必须对应．
(2)利用倾斜角求斜率，即k＝tan α，用此法时一定注意倾斜角为90°时，直线的斜率不存在．
2．利用斜率公式求直线的斜率时，如果点的坐标中含有参数，需要先对直线斜率是否存在作出判断，即对参数进行分类讨论．
[学以致用] 3．已知经过点A(1，2)，B(m，4)的直线l的斜率为2，则m的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
D [由题可得m≠1，且＝2，解得m＝2．
故选D．]
4．根据下列条件，求直线l的倾斜角：
(1)斜率为－；
(2)经过A(－2，0)，B(－5，3)两点；
(3)一个方向向量为＝．
[解] 设直线l的倾斜角为α．
(1)因为直线l的斜率为－，所以tan α＝－．
又因为0≤α<π，所以α＝．
(2)由经过两点的直线斜率的计算公式，可得直线l的斜率k＝＝－1，
又因为0≤α<π，所以α＝．
(3)由直线l的一个方向向量为＝，可得斜率k＝＝，又因为0≤α<π，所以α＝．
探究3 倾斜角和斜率的应用
问题3 当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°，其斜率如何变化？
[提示] 当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大．
[新知生成]
1．设直线的倾斜角为α，斜率为k．
α的大小 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜180°
k的范围 k＝0 k＞0 不存在 k＜0
k的增减性 随α的增大而增大 随α的增大而增大
2．下面特殊角的正切值要熟记：
倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150°
斜率k 0 1 － －1
【教用·微提醒】 (1)根据正切函数在[0，π)上的图象可知，倾斜角与斜率之间是一一对应的，即可以用k的值判定倾斜角的情况．
(2)正确分析斜率随倾斜角的变化规律，注意90°倾斜角的斜率不存在．
三点共线问题
[典例讲评] 【链接教材P58习题2.1T4】
2．已知A(－2，－1)，B(0，－3)，C(1，－4)，D(2，－6)，则A，B，C共线吗？A，B，D呢？
[解] 因为kAB＝＝－1，kAC＝＝－1，kAD＝＝－，
所以kAB＝kAC，kAB≠kAD，因此A，B，C共线，而A，B，D不共线．
【教材原题·P58习题2.1T4】已知A(1，2)，B(－1，0)，C(3，4)三点，这三点是否在同一条直线上？为什么？
[解] A，B，C三点在同一条直线上(kAB＝kBC)．
判断三点共线的方法
对于给定坐标的三点，要判断三点是否共线，先判断任意两点连线的斜率是否存在．(1)若斜率都不存在，则三点共线．(2)若斜率存在，则任意两点连线的斜率相等时，三点才共线．
[学以致用] 5．(1)若三点A(2，－3)，B(4，3)，C(5，k)在同一条直线上，求k的值；
(2)已知点A(－1，－3)，B(0，－1)，C(4，7)，试判断这三点是否共线．
[解] (1)∵点A，B，C在同一条直线上，且三点的横坐标均不相等，kAB＝＝3，∴kAB＝kBC，即3＝，解得k＝6．
(2)∵A，B，C三点的横坐标均不相等，
∴kAB＝＝2，kAC＝＝2，
∴kAB＝kAC．又A为公共点，
∴直线AB与AC重合，∴A，B，C三点共线．
求解范围问题
[典例讲评] 3．已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．
[解] 如图，∵过点P的直线l与线段AB有公共点，∴直线l的斜率k≥kPB或k≤kPA，
由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1，
∴直线l的斜率k≥1 或k≤－1，
∴直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解．
[学以致用] 6．若直线l的倾斜角为α，且45°≤α≤135°，则直线l斜率的取值范围为( )
A．[1，＋∞)
B．(－∞，－1]
C．[－1，1]
D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
D [直线倾斜角为45°时，斜率为1，直线倾斜角为135°时，斜率为－1，
当倾斜角为90°时，斜率不存在，因为k＝tan α在上单调递增，在上单调递增，所以当45°≤α≤135°时，k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．故选D．
]
【教用·备选题】 已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，试求的最大值和最小值．
[解] 的几何意义是过点(－2，－3)和曲线y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)上任意一点(x，y)的直线的斜率．
对于y＝x2－2x＋2，当x＝－1时，y＝5；当x＝1时，y＝1．
设点(－1，5)为B，点(1，1)为A，点(－2，－3)为P，如图所示．
由图可知，当直线经过点P(－2，－3)和B(－1，5)时，斜率最大；当直线经过点P(－2，－3)和A(1，1)时，斜率最小．
又kPA＝＝，kPB＝＝8，
所以的最大值为8，最小值为．
1．(多选)设直线l与x轴交于点A，其倾斜角为α，直线l绕点A顺时针旋转60°后得直线l1，则直线l1的倾斜角可能为( )
A．α＋60° B．α＋120°
C．α－60° D．120°－α
BC [直线l绕点A顺时针旋转60°后得直线l1，当α≥60°时，直线l1的倾斜角为α－60°，当0°≤α<60°时，直线l1的倾斜角为α－60°＋180°＝120°＋α．]
2．(多选)下列说法正确的有( )
A．每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应
B．倾斜角为135°的直线的斜率为1
C．一条直线的倾斜角为α，则其斜率为k＝tan α
D．直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)
AD [对于A，每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应，故A正确；
对于B，倾斜角为135°的直线的斜率为－1，故B错误；
对于C，一条直线的倾斜角为α，则其斜率为k＝tan α，故C错误；
对于D，直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)，故D正确．故选AD．]
3．(教材P58习题2.1T3(2)改编)若经过两点A(3，y＋1)，B(2，－1)的直线的倾斜角为，则y等于( )
A．－1 B．2
C．0 D．－3
D [因为经过两点A(3，y＋1)，B(2，－1)的直线的倾斜角为，所以tan ＝＝－1，
解得y＝－3．
故选D．]
4．已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m，1)，当m＝________时，直线l的斜率是1．
[kMN＝＝1，解得m＝．]
1．知识链：
2．方法链：数形结合、分类讨论．
3．警示牌：(1)对直线的斜率与倾斜角理解不透彻，忽略直线的斜率不存在致错．
(2)对直线的方向向量与斜率的关系搞不清楚．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．直线的倾斜角是如何定义的？其取值范围是什么？
[提示] 当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°，因此，直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°．
2．直线的斜率是如何定义的？直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的斜率公式是什么？
[提示] 把一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率，倾斜角是90°的直线的斜率不存在．
直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的斜率公式是k＝．
3．直线的斜率k和直线的方向向量有怎样的关系？
[提示] 若直线的斜率为k，则n＝(1，k)是其方向向量．
反之若直线的方向向量n＝(x，y)，则斜率k＝(x≠0)．
课时分层作业(十二) 倾斜角与斜率
一、选择题
1．(多选)在下列四个命题中，正确的有( )
A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B．直线的倾斜角的取值范围是[0，π)
C．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为45°
D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90°
BCD [对于A，当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，
故坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率不成立，故A错误；
对于B，直线的倾斜角的取值范围是[0，π)，故B正确；
对于C，由题意可得直线的倾斜角的正切值为1，所以直线的倾斜角为45°，故C正确；
对于D，与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90°，选项D正确．
故选BCD．]
2．过两点A(3，y)，B(2，0)的直线的倾斜角为120°，则y＝( )
A．
C．－ D．－
D [设直线斜率为k，则k＝tan 120°＝＝y＝－．故选D．]
3．已知直线l的斜率的范围为[－1，1]，则直线l的倾斜角α的取值范围为( )
A．0°≤α≤45°或135°≤α≤180°
B．45°≤α≤135°
C．45°＜α＜135°
D．0°≤α≤45°或135°≤α＜180°
D [由直线l的斜率的范围为[－1，1]，0°≤α＜180°，
故倾斜角α的范围为0°≤α≤45°或135°≤α＜180°．故选D．]
4．直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，其图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．k1＞k2＞k3 B．k3＞k1＞k2
C．k2＞k1＞k3 D．k2＞k3＞k1
C [由k＝tan α，结合y＝tan x的函数图象，
直线l3对应的倾斜角为钝角，则k3＜0，
直线l1与l2对应的倾斜角都为锐角，且l2的倾斜角大于l1的倾斜角，
则k2＞k1＞0，故k2＞k1＞k3．故选C．]
5．斜拉桥是将梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的桥，它由梁、斜拉索和塔柱三部分组成．如图1，这是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列．如图2，已知拉索上端相邻两个锚的间距|PiPi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均为4 m，拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均为18 m．最短拉索的锚P1，A1满足|OP1|＝84 m，|OA1|＝78 m，以B10A10所在直线为x轴，OP10所在直线为y轴，则最长拉索B10P10所在直线的斜率为( )
A．
C．
B [如图，
根据题意，最短拉索的锚P1，A1满足|OP1|＝84 m，|OA1|＝78 m，
且|PiPi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均为4 m，拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均为18 m，则|OA10|＝|OA1|＋|A1A10|＝78＋9×18＝240 m，即点A10(240，0)，
同理B10(－240，0)，又|OP10|＝|OP1|＋|P1P10|＝84＋9×4＝120，即点P10(0，120)，
所以＝＝，即最长拉索所在直线的斜率为．故选B．]
二、填空题
6．已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为 ________．
135° [设直线l2的倾斜角为α2，直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1与l2向上的方向所成的角为120°，
所以∠BAC＝120°，故α2＝120°＋α1＝120°＋15°＝135°．]
7．已知直线l的方向向量n＝(2，－2)，则直线l的倾斜角为________．
[由于直线l的方向向量n＝(2，－2)，则直线l的斜率为＝－，
设直线l的倾斜角为θ，则tan θ＝－，θ∈[0，π)，∴θ＝．]
8．已知直线l上一点向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后，仍在该直线上，则直线l的斜率k为________．
－ [设点P(a，b)是直线l上的一点，
将点P(a，b)向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点P′(a＋4，b－2)仍在该直线上，则直线l的斜率k＝＝－．]
三、解答题
9．已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m，1)，问：当m取何值时：
(1)直线l与x轴平行？
(2)直线l与y轴平行？
(3)直线l的一个方向向量的坐标为(3，1)
(4)直线l的倾斜角为45°？
(5)直线l的倾斜角为锐角？
[解] (1)若直线l与x轴平行，则直线l的斜率k＝0，即＝0，解得m＝1．
(2)若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，所以m＝－1．
(3)直线l的一个方向向量的坐标为(3，1)，故k＝，即＝，解得m＝．
(4)由题意可知，直线l的斜率k＝1，即＝1，解得m＝0．
(5)由题意可知，直线l的斜率k>0，即>0，解得－110．(多选)已知直线l1，l2，l3的倾斜角分别为θ1，θ2，θ3，斜率分别是k1，k2，k3，若θ1＜θ2＜θ3，则k1，k2，k3的大小关系可能是( )
A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k2＜k1
C．k3＜k1＜k2 D．k2＜k3＜k1
ACD [由k＝tan x在上分别单调递增，
且当x∈时，k＞0；当x∈时，k＜0，
若0＜θ1＜θ2＜θ3＜，或＜θ1＜θ2＜θ3＜π，则k1＜k2＜k3，故A正确；
若0＜θ1＜θ2＜＜θ3＜π，则k3＜k1＜k2，故C正确；
若0＜θ1＜＜θ2＜θ3＜π，则k2＜k3＜k1，故D正确，无论哪种条件下，B都不成立．故选ACD．]
11．已知两点A(－1，2)，B(m，3)，且m∈，则直线AB的倾斜角α的取值范围是( )
A．
C．
D [因为两点A(－1，2)，B(m，3)，且m∈，
当m＝－1时，m＝－1∈，此时直线的倾斜角为．
当m≠－1时，直线的斜率k＝＝，
可得m＋1∈，可得k＝或k≤－，即tan α≥或tan α≤－，可得α∈或α∈．
综上所述，直线的倾斜角α∈．故选D．]
12．已知点A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1，4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，则m的值为________．
4 [由题意知直线AC的斜率存在，即m≠－1，
所以kAC＝，kBC＝，所以＝3×，
整理，得－m－1＝(m－5)(m＋1)，即(m＋1)(m－4)＝0，
解得m＝4或m＝－1(舍去)，所以m＝4．]
13．已知坐标平面内三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，＋1)．
(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；
(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD的斜率k的取值范围．
[解] (1)由斜率公式得，kAB＝＝0，
kBC＝＝，kAC＝＝，
∴直线AB的倾斜角为0°，直线BC的倾斜角为60°，直线AC的倾斜角为30°．
(2)如图，当直线CD由CA逆时针旋转到CB时，
直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kAC增大到kBC，
∴k的取值范围为．
14．已知A(2，3)，B(－1，2)，若点P(x，y)在线段AB上，则的取值范围是 ________．
(－∞，－1]∪[3，＋∞) [由题意，表示点P(x，y)与点Q(1，0)连线的斜率，因为点P(x，y)在线段AB上，A(2，3)，B(－1，2)，所以kAQ＝＝3，kBQ＝＝－1，kPQ＝，
所以kPQ＝∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
即的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．]
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