课时分层作业(二十)
1．A [由题意可得(1－1)2＋a2<1，即a2<1，解得－1
所以实数a的取值范围是(－1，1)．故选A．]
2．B [由－y＝，则y≤0，故x2＋y2＝1(y≤0)，
所以方程－y＝表示的曲线是x轴下方的半圆．
故选B．]
3．C [因为圆C与x轴相切，圆心在直线2x－y＝0上，且经过点(1，0)，所以设圆心坐标为(a，2a)，
所以圆的方程为(x－a)2＋(y－2a)2＝4a2，
因为点(1，0)在圆C上，所以(1－a)2＋(0－2a)2＝4a2，解得a＝1，
所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4．
故选C．]
4．B [由半径为3的圆经过点(3，4)，可得该圆的圆心轨迹是以A(3，4)为圆心，3为半径的圆，
由两点间的距离公式得|OA|＝＝5，r＝3，
所以圆心到原点距离的最小值是|OA|－r＝5－3＝2．
故选B．]
5．A [根据题意，设圆C2的圆心为(a，b)，
圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝3，其圆心为(－1，1)，半径为，
若圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，
则点C1与C2关于直线x－y－1＝0对称，且圆C2的半径为，
则有
则圆C2的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝3．故选A．]
6．(x＋1)2＋(y－1)2＝25 [由所以l1，l2的交点坐标为(－1，1)，
故所求圆的圆心坐标是(－1，1)，半径r＝＝5，
所以所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝25．]
7．(x－1)2＋y2＝5 [设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，可得(－1－a)2＋(－1－b)2＝r2，①
(－a)2＋(－2－b)2＝r2，②
(3－a)2＋(1－b)2＝r2，③
由①－②得到a－b－1＝0，④
由②－③得到a＋b－1＝0，⑤
由④⑤解得a＝1，b＝0，代入①，得r2＝5，
所以圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝5．]
8．1或5 [根据题意，若圆C与x轴和y轴均相切，则圆心C在直线y＝x或y＝－x上，当圆心C在直线y＝x上时，设圆心C的坐标为(a，a)，此时圆的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2，
将(1，2)代入可得(1－a)2＋(2－a)2＝a2，即a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，此时圆的半径长为1或5；
当圆心C在直线y＝－x上时，
设圆心C的坐标为(a，－a)，
此时圆的标准方程为(x－a)2＋(y＋a)2＝a2，
将(1，2)代入可得(1－a)2＋(2＋a)2＝a2，即a2＋2a＋5＝0，方程无解，
综上所述，圆C的半径长为1或5．]
9．解：(1)设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝R2(R>0)，
代入A(1，1)，B(2，－2)，D(0，2)，
得
所以圆C的标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25．
(2)因为P(a，1)在圆C外，所以|PC|>R＝5，
又因为C(－3，－2)，|PC|＝，
所以>5，解得a>1或a<－7，
所以a的取值范围为(－∞，－7)∪(1，＋∞)．
10．AB [对于A，点(0，0)，(4，0)，(4，2)在圆(x－2)2＋(y－1)2＝5上，故A正确；
对于B，点(0，0)，(4，0)，(－1，1)在圆(x－2)2＋(y－3)2＝13上，故B正确；
对于C，四个点都不在圆＝22上，故C错误；
对于D，点(4，0)，(－1，1)，(4，2)都不在圆＋(y－1)2＝上，故D错误．故选AB．]
11．(x＋2)2＋(y－1)2＝25 [直线AB的斜率为＝7，线段AB的中点为，
线段AB的垂直平分线的方程为y－×，
即y＝－，
联立即圆心坐标为(－2，1)，
半径r＝＝5，所以所求圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝25．]
12．49 [根据题意，x2＋y2＝4表示以O(0，0)为圆心，半径r＝2的圆，
设P(x，y)为圆O上的动点，Q(4，－3)，
可得|PQ|max＝|OQ|＋r＝＋2＝7，
因为|PQ|2＝(x－4)2＋(y＋3)2，所以(x－4)2＋(y＋3)2的最大值是72＝49．]
13．解：(1)因为直线l经过点A(－5，1)，B(3，7)，
所以直线l的斜率k＝，
所以直线l的方程为y－1＝(x＋5)，
即3x－4y＋19＝0．
(2)因为点M(1，0)，N(3，2)，所以直线MN的斜率kMN＝＝1，MN的中点为(2，1)，
所以直线MN的中垂线方程为y－1＝－(x－2)，
即x＋y－3＝0，
由题意可得圆心为两条直线的交点，
联立解得x＝－1，y＝4，即圆心C(－1，4)，且圆C的半径r＝|CM|＝，
所以圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－4)2＝20．
14．
C [由题意可知，点P为过M，N两点且和x轴相切的圆的切点，线段MN的中点坐标为(0，3)，又kMN＝＝1，所以线段MN的垂直平分线方程为y－3＝－x，所以以MN为弦的圆的圆心在直线y－3＝－x上，
故设该圆圆心为C(a，3－a)，又因为该圆与x轴相切，所以圆的半径r＝|3－a|，
又|CN|＝r，所以(a－1)2＋(3－a－4)2＝(3－a)2，解得a＝1或a＝－7，
当a＝－7时，∠MQP是钝角，故舍去．
所以a＝1，此时圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4．
故选C．]
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第二章
直线和圆的方程
2.4 圆的方程
2.4.1 圆的标准方程
[学习目标]
1．会用定义推导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征．(数学抽象)
2．能根据所给条件求圆的标准方程．(数学运算)
3．能准确判断点与圆的位置关系．(数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．圆的标准方程如何推导？
问题2．圆的标准方程是什么？
问题3．如何用待定系数法求圆的标准方程？
问题4．点与圆的位置关系有哪些？如何表示？
探究建构 关键能力达成
探究1 圆的标准方程
问题1 圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？
[提示] 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．确定圆的要素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．
[新知生成]
确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径．
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
x2＋y2＝r2
【教用·微提醒】 (1)当圆心在原点(0，0)，半径长r＝1时，圆的方程为x2＋y2＝1，称为单位圆．
(2)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的．
[典例讲评] 1．(源自北师大版教材)已知两点A(1，2)和B(3，－2)．
(1)求以点A为圆心，且经过点B的圆的方程；
(2)求以AB为直径的圆的方程．
[解] (1)根据已知条件，设圆A的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝r2．
由圆A经过点B(3，－2)，得(3－1)2＋(－2－2)2＝r2．解得r2＝20．
所以圆A的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝20．
反思领悟 直接法求圆的标准方程的策略
确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．
[学以致用] 1．求满足下列条件的圆的标准方程：
(1)圆心是(4，0)，且过点(2，2)；
(2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)．
[解] (1)r2＝(4－2)2＋(0－2)2＝8，
∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8．
(2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
∴b＝0或b＝－8，∴圆心为(0，0)或(0，－8)，又r＝5，
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25．
探究2 点与圆的位置关系
问题2 平面内的点M(a，b)与圆O：x2＋y2＝r2有几种位置关系？如何判定？
[提示] 3种，分别是M在圆O内，在圆O上，在圆O外，可以用|OM|与r作比较来判定．
位置关系 d与r的大小 点P的坐标的特点
点在圆外 d>r _______________________
点在圆上 d＝r _______________________
点在圆内 d(x0－a)2＋(y0－b)2>r2
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
(x0－a)2＋(y0－b)2【教用·微提醒】 由点与圆的位置关系确定参数的范围时，可以根据点与圆的位置关系将方程中的等号变为“＜”“＞”或“＝”，还可以用点到圆心的距离与圆的半径的大小关系来求解．
[典例讲评] 【链接教材P83例1】
2．(多选)已知圆M的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25，则下列说法正确的是( )
A．圆M的圆心为(4，－3)
B．点(1，0)在圆内
C．圆M的半径为5
D．点(－3，1)在圆内
√
√
√
ABC [根据题意，依次分析选项：
对于A，圆M的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25，其圆心为(4，－3)，
A正确；
对于B，由于(1－4)2＋(0＋3)2＜25，点(1，0)在圆内，B正确；
对于C，圆M的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25，其半径为5，C正确；
对于D，由于(－3－4)2＋(1＋3)2＞25，点(－3，1)在圆外，D错误．故选ABC．]
【教材原题·P83例1】
例1 求圆心为A(2，－3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点M1(5，－7)，M2(－2，－1)是否在这个圆上．
[分析] 根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在圆上．
[解] 圆心为A(2，－3)，半径为5的圆的标准方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝25．
把点M1(5，－7)的坐标代入方程(x－2)2＋(y＋3)2＝25的左边，得(5－2)2＋(－7＋3)2＝25，左右两边相等，点M1的坐标满足圆的方程，所以点M1在这个圆上．
把点M2(－2，－1)的坐标代入方程(x－2)2＋(y＋3)2＝25的左边，得(－2－2)2＋(－1＋3)2＝20，左右两边不相等，点M2的坐标不满足圆的方程，所以点M2不在这个圆上(图2.4-2)．
发现规律 试总结点与圆的位置关系的判断方法．
[提示] (1)几何法：比较点到圆心的距离与半径的大小．
(2)代数法：将点的坐标代入圆的标准方程的左边，比较与r2的大小．
－2或－6
(－∞，－6)∪(－2，＋∞)
【教材原题·P85练习T2】已知圆的标准方程是(x－3)2＋(y＋2)2＝16，借助计算工具计算，判断下列各点在圆上、圆外，还是在圆内．
(1)M1(4.30，－5.72)；
(2)M2(5.70，1.08)；
(3)M3(3，－6)．
[答案] (1)点M1在圆内；(2)点M2在圆外；(3)点M3在圆上．
探究3 求圆的标准方程
[典例讲评] 【链接教材P84例3】
3．求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程．
[解] 法一(直接法)：设点C为圆心，
∵点C在直线x－2y－3＝0上，
∴可设点C的坐标为(2a＋3，a)．
[母题探究] 求过A(2，－3)，B(－2，－5)两点，面积最小的圆的标准方程．
【教材原题·P84例3】
例3 已知圆心为C的圆经过A(1，1)，B(2，－2)两点，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，求此圆的标准方程．
[分析] 设圆心C的坐标为(a，b)．由已知条件可知，|CA|＝|CB|，且a－b＋1＝0．由此可求出圆心坐标和半径．
另外，因为线段AB是圆的一条弦，根据平面几何知识，AB的中点与圆心C的连线垂直于AB，由此可得到另一种解法．
【教材原题·P83例2】
例2 △ABC的三个顶点分别是A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)，求△ABC的外接圆的标准方程．
[分析] 不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．显然已知的三个点不在同一条直线上．只要确定了a，b，r，圆的标准方程就确定了．
反思领悟 求圆的标准方程的两种方法
(1)几何法：利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，从而得到圆的标准方程．
(2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程．
[学以致用] 【链接教材P88习题2.4T3】
3．已知圆M经过P(1，1)，Q(－7，－5)两点，且圆心M在直线l：x－2y－1＝0上，则圆M的标准方程是( )
A．(x－2)2＋(y－3)2＝5
B．(x－3)2＋(y－4)2＝13
C．(x＋3)2＋(y＋2)2＝25
D．(x＋3)2＋(y－2)2＝25
√
【教材原题·P88习题2.4T3】已知圆C经过原点和点A(2，1)，并且圆心在直线l：x－2y－1＝0上，求圆C的标准方程．
应用迁移 随堂评估自测
1．已知以点(0，1)为圆心，2为半径的圆C，则点M(1，2)与圆C的位置关系是( )
A．在圆内 B．在圆上
C．在圆外 D．无法判断
√
2．以点C(－1，－5)为圆心，并与x轴相切的圆的标准方程是( )
A．(x＋1)2＋(y＋5)2＝9 B．(x＋1)2＋(y＋5)2＝16
C．(x－1)2＋(y－5)2＝9 D．(x＋1)2＋(y＋5)2＝25
√
D [由题意，圆心坐标为点C(－1，－5)，半径为5，
则圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋5)2＝25．
故选D．]
3．已知点A(8，－6)与圆C：x2＋y2＝25，P是圆C上任意一点，则|AP|的最小值是________．
5
4．(教材P88习题2.4T2(1)改编)以C(1，1)为圆心，且经过M(2，3)的圆的标准方程是________________________．
(x－1)2＋(y－1)2＝5
1．知识链：
2．方法链：直接法、几何法、待定系数法．
3．警示牌：几何法求圆的标准方程出现漏解情况．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．试写出圆的标准方程．
[提示] 圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
2．如何求圆的标准方程？
[提示] 确定圆的标准方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r．
3．如何判断点P(x0，y0)和圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系？
[提示] 法一(代数法)：点P在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2>r2；
点P在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
点P在圆内 (x0－a)2＋(y0－b)2法二(几何法)：判断点P到圆心(a，b)的距离与半径的大小．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
一、选择题
1．若点(1，a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则实数a的取值范围是
( )
A．(－1，1) B．(－∞，1)
C．[0，1) D．(1，＋∞)
课时分层作业(二十) 圆的标准方程
√
A [由题意可得(1－1)2＋a2＜1，即a2＜1，解得－1＜a＜1，
所以实数a的取值范围是(－1，1)．故选A．]
题号
1
3
5
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题号
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√
3．已知圆C与x轴相切，圆心在直线2x－y＝0上，且经过点(1，0)，则圆C的标准方程为( )
A．(x－2)2＋(y－4)2＝16
B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝16
C．(x－1)2＋(y－2)2＝4
D．(x＋1)2＋(y＋2)2＝4
题号
2
1
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13
14
√
C [因为圆C与x轴相切，圆心在直线2x－y＝0上，且经过点(1，0)，
所以设圆心坐标为(a，2a)，
所以圆的方程为(x－a)2＋(y－2a)2＝4a2，
因为点(1，0)在圆C上，所以(1－a)2＋(0－2a)2＝4a2，解得a＝1，
所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4．
故选C．]
题号
2
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14
4．已知半径为3的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
√
题号
2
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5．圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝3，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的标准方程为( )
A．(x－2)2＋(y＋2)2＝3 B．(x＋2)2＋(y＋2)2＝3
C．(x＋2)2＋(y－2)2＝3 D．(x－2)2＋(y－2)2＝3
√
题号
2
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二、填空题
6．已知直线l1：3x－y＋4＝0，l2：x＋2y－1＝0，则以l1，l2的交点为圆心，且经过点A(3，4)的圆的标准方程是____________________．
题号
2
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(x＋1)2＋(y－1)2＝25
7．过点A(－1，－1)，B(0，－2)，C(3，1)三点的圆的标准方程为___________________．
题号
2
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14
(x－1)2＋y2＝5 [设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，可得(－1－a)2＋(－1－b)2＝r2，①
(－a)2＋(－2－b)2＝r2，②
(3－a)2＋(1－b)2＝r2，③
由①－②得到a－b－1＝0，④
由②－③得到a＋b－1＝0，⑤
由④⑤解得a＝1，b＝0，代入①，得r2＝5，所以圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝5．]
(x－1)2＋y2＝5
8．若圆C与x轴和y轴均相切，且过点(1，2)，则圆C的半径长为________．
题号
2
1
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1或5 [根据题意，若圆C与x轴和y轴均相切，则圆心C在直线y＝x或y＝－x上，当圆心C在直线y＝x上时，设圆心C的坐标为(a，a)，
此时圆的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2，
将(1，2)代入可得(1－a)2＋(2－a)2＝a2，即a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，
1或5
此时圆的半径长为1或5；
当圆心C在直线y＝－x上时，
设圆心C的坐标为(a，－a)，
此时圆的标准方程为(x－a)2＋(y＋a)2＝a2，
将(1，2)代入可得(1－a)2＋(2＋a)2＝a2，即a2＋2a＋5＝0，方程无解，
综上所述，圆C的半径长为1或5．]
题号
2
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三、解答题
9．已知圆心为C的圆经过点A(1，1)，B(2，－2)，D(0，2)．
(1)求圆C的标准方程；
(2)已知P(a，1)在圆C外，求a的取值范围．
题号
2
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14
11．圆心在直线y＝x＋3上，且过点A(2，4)，B(1，－3)的圆的标准方程为______________________．
题号
2
1
3
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10
11
12
13
14
(x＋2)2＋(y－1)2＝25
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
12．实数x，y满足x2＋y2＝4，则(x－4)2＋(y＋3)2的最大值是 ________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
49
13．已知直线l经过点A(－5，1)，B(3，7)．
(1)求直线l的方程；
(2)若圆C经过点M(1，0)，N(3，2)，且圆心在直线l上，求圆C的标准方程．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
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14
题号
2
1
3
4
5
6
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13
14
14．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角∠AQB的一边QA上的两点，试着在边QB上找一点P，使得∠MPN最大”．如图，其结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系Oxy中，给定两点M(－1，2)，N(1，4)，点P在x轴上移动，当∠MPN取得最大值时，该圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－2)2＝2
B．(x＋7)2＋(y－10)2＝100
C．(x－1)2＋(y－2)2＝4
D．(x＋7)2＋(y－10)2＝10
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
又|CN|＝r，所以(a－1)2＋(3－a－4)2＝(3－a)2，解得a＝1或a＝
－7，
当a＝－7时，∠MQP是钝角，故舍去．
所以a＝1，此时圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4．
故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14课时分层作业(二十) 圆的标准方程
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共89分
一、选择题
1．若点(1，a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，1) B．(－∞，1)
C．[0，1) D．(1，＋∞)
2．方程－y＝表示的曲线是( )
A．x轴上方的半圆 B．x轴下方的半圆
C．y轴左侧的半圆 D．y轴右侧的半圆
3．已知圆C与x轴相切，圆心在直线2x－y＝0上，且经过点(1，0)，则圆C的标准方程为( )
A．(x－2)2＋(y－4)2＝16
B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝16
C．(x－1)2＋(y－2)2＝4
D．(x＋1)2＋(y＋2)2＝4
4．已知半径为3的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
5．圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝3，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的标准方程为( )
A．(x－2)2＋(y＋2)2＝3 B．(x＋2)2＋(y＋2)2＝3
C．(x＋2)2＋(y－2)2＝3 D．(x－2)2＋(y－2)2＝3
二、填空题
6．已知直线l1：3x－y＋4＝0，l2：x＋2y－1＝0，则以l1，l2的交点为圆心，且经过点A(3，4)的圆的标准方程是 ________．
7．过点A(－1，－1)，B(0，－2)，C(3，1)三点的圆的标准方程为 ________．
8．若圆C与x轴和y轴均相切，且过点(1，2)，则圆C的半径长为________．
三、解答题
9．已知圆心为C的圆经过点A(1，1)，B(2，－2)，D(0，2)．
(1)求圆C的标准方程；
(2)已知P(a，1)在圆C外，求a的取值范围．
10．(多选)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝5
B．(x－2)2＋(y－3)2＝13
C．＋＝22
D．＋(y－1)2＝
11．圆心在直线y＝x＋3上，且过点A(2，4)，B(1，－3)的圆的标准方程为________．
12．实数x，y满足x2＋y2＝4，则(x－4)2＋(y＋3)2的最大值是 ________．
13．已知直线l经过点A(－5，1)，B(3，7)．
(1)求直线l的方程；
(2)若圆C经过点M(1，0)，N(3，2)，且圆心在直线l上，求圆C的标准方程．
14．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角∠AQB的一边QA上的两点，试着在边QB上找一点P，使得∠MPN最大”．如图，其结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系Oxy中，给定两点M(－1，2)，N(1，4)，点P在x轴上移动，当∠MPN取得最大值时，该圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－2)2＝2
B．(x＋7)2＋(y－10)2＝100
C．(x－1)2＋(y－2)2＝4
D．(x＋7)2＋(y－10)2＝10
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.4 圆的方程
2.4.1 圆的标准方程
[学习目标]
1．会用定义推导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征．(数学抽象)
2．能根据所给条件求圆的标准方程．(数学运算)
3．能准确判断点与圆的位置关系．(数学运算)
探究1 圆的标准方程
问题1 圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？
[新知生成]
确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径．
[典例讲评] 1．(源自北师大版教材)已知两点A(1，2)和B(3，－2)．
(1)求以点A为圆心，且经过点B的圆的方程；
(2)求以AB为直径的圆的方程．
[尝试解答]
直接法求圆的标准方程的策略
确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．
[学以致用] 1．求满足下列条件的圆的标准方程：
(1)圆心是(4，0)，且过点(2，2)；
(2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)．
探究2 点与圆的位置关系
问题2 平面内的点M(a，b)与圆O：x2＋y2＝r2有几种位置关系？如何判定？
[新知生成]
圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝．
位置关系 d与r的大小 点P的坐标的特点
点在圆外 d>r ______________
点在圆上 d＝r ______________
点在圆内 d[典例讲评] 【链接教材P83例1】
2．(多选)已知圆M的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25，则下列说法正确的是( )
A．圆M的圆心为(4，－3)
B．点(1，0)在圆内
C．圆M的半径为5
D．点(－3，1)在圆内
试总结点与圆的位置关系的判断方法．
[学以致用] 【链接教材P85练习T2】
2．已知点P(2，1)和圆C：＋(y－1)2＝1，若点P在圆C上，则实数a＝________；若点P在圆C外，则实数a的取值范围为________．
探究3 求圆的标准方程
[典例讲评] 【链接教材P84例3】
3．求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程．
[尝试解答]
[母题探究] 求过A(2，－3)，B(－2，－5)两点，面积最小的圆的标准方程．
求圆的标准方程的两种方法
(1)几何法：利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，从而得到圆的标准方程．
(2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程．
[学以致用] 【链接教材P88习题2.4T3】
3．已知圆M经过P(1，1)，Q(－7，－5)两点，且圆心M在直线l：x－2y－1＝0上，则圆M的标准方程是( )
A．(x－2)2＋(y－3)2＝5
B．(x－3)2＋(y－4)2＝13
C．(x＋3)2＋(y＋2)2＝25
D．(x＋3)2＋(y－2)2＝25
1．已知以点(0，1)为圆心，2为半径的圆C，则点M(1，2)与圆C的位置关系是( )
A．在圆内 B．在圆上
C．在圆外 D．无法判断
2．以点C(－1，－5)为圆心，并与x轴相切的圆的标准方程是( )
A．(x＋1)2＋(y＋5)2＝9
B．(x＋1)2＋(y＋5)2＝16
C．(x－1)2＋(y－5)2＝9
D．(x＋1)2＋(y＋5)2＝25
3．已知点A(8，－6)与圆C：x2＋y2＝25，P是圆C上任意一点，则|AP|的最小值是________．
4．(教材P88习题2.4T2(1)改编)以C(1，1)为圆心，且经过M(2，3)的圆的标准方程是________．
1．知识链：
2．方法链：直接法、几何法、待定系数法．
3．警示牌：几何法求圆的标准方程出现漏解情况．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.4 圆的方程
2.4.1 圆的标准方程
[学习目标]
1．会用定义推导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征．(数学抽象)
2．能根据所给条件求圆的标准方程．(数学运算)
3．能准确判断点与圆的位置关系．(数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．圆的标准方程如何推导？
问题2．圆的标准方程是什么？
问题3．如何用待定系数法求圆的标准方程？
问题4．点与圆的位置关系有哪些？如何表示？
探究1 圆的标准方程
问题1 圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？
[提示] 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．确定圆的要素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．
[新知生成]
确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径．
【教用·微提醒】 (1)当圆心在原点(0，0)，半径长r＝1时，圆的方程为x2＋y2＝1，称为单位圆．
(2)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的．
[典例讲评] 1．(源自北师大版教材)已知两点A(1，2)和B(3，－2)．
(1)求以点A为圆心，且经过点B的圆的方程；
(2)求以AB为直径的圆的方程．
[解] (1)根据已知条件，设圆A的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝r2．
由圆A经过点B(3，－2)，得(3－1)2＋(－2－2)2＝r2．解得r2＝20．
所以圆A的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝20．
(2)设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则(a，b)是圆心的坐标．
根据已知条件，得
a＝＝2，b＝＝0．
将点B(3，－2)代入圆的方程(x－2)2＋y2＝r2，解得r2＝(3－2)2＋(－2)2＝5．
所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝5．
直接法求圆的标准方程的策略
确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．
[学以致用] 1．求满足下列条件的圆的标准方程：
(1)圆心是(4，0)，且过点(2，2)；
(2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)．
[解] (1)r2＝(4－2)2＋(0－2)2＝8，
∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8．
(2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
∴b＝0或b＝－8，∴圆心为(0，0)或(0，－8)，又r＝5，
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25．
探究2 点与圆的位置关系
问题2 平面内的点M(a，b)与圆O：x2＋y2＝r2有几种位置关系？如何判定？
[提示] 3种，分别是M在圆O内，在圆O上，在圆O外，可以用|OM|与r作比较来判定．
[新知生成]
圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝．
位置关系 d与r的大小 点P的坐标的特点
点在圆外 d>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2
点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点在圆内 d【教用·微提醒】 由点与圆的位置关系确定参数的范围时，可以根据点与圆的位置关系将方程中的等号变为“＜”“＞”或“＝”，还可以用点到圆心的距离与圆的半径的大小关系来求解．
[典例讲评] 【链接教材P83例1】
2．(多选)已知圆M的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25，则下列说法正确的是( )
A．圆M的圆心为(4，－3)
B．点(1，0)在圆内
C．圆M的半径为5
D．点(－3，1)在圆内
ABC [根据题意，依次分析选项：
对于A，圆M的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25，其圆心为(4，－3)，A正确；
对于B，由于(1－4)2＋(0＋3)2＜25，点(1，0)在圆内，B正确；
对于C，圆M的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25，其半径为5，C正确；
对于D，由于(－3－4)2＋(1＋3)2＞25，点(－3，1)在圆外，D错误．故选ABC．]
【教材原题·P83例1】
例1 求圆心为A(2，－3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点M1(5，－7)，M2(－2，－1)是否在这个圆上．
[分析] 根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在圆上．
[解] 圆心为A(2，－3)，半径为5的圆的标准方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝25．
把点M1(5，－7)的坐标代入方程(x－2)2＋(y＋3)2＝25的左边，得(5－2)2＋(－7＋3)2＝25，左右两边相等，点M1的坐标满足圆的方程，所以点M1在这个圆上．
把点M2(－2，－1)的坐标代入方程(x－2)2＋(y＋3)2＝25的左边，得(－2－2)2＋(－1＋3)2＝20，左右两边不相等，点M2的坐标不满足圆的方程，所以点M2不在这个圆上(图2.4-2)．
试总结点与圆的位置关系的判断方法．
[提示] (1)几何法：比较点到圆心的距离与半径的大小．
(2)代数法：将点的坐标代入圆的标准方程的左边，比较与r2的大小．
[学以致用] 【链接教材P85练习T2】
2．已知点P(2，1)和圆C：＋(y－1)2＝1，若点P在圆C上，则实数a＝________；若点P在圆C外，则实数a的取值范围为________．
－2或－6 (－∞，－6)∪(－2，＋∞) [由点P在圆C上得＋(1－1)2＝1，即＝1，
解得a＝－2或a＝－6，
由点P在圆C外得＋(1－1)2＞1，即＞1，解得a＜－6或a＞－2．]
【教材原题·P85练习T2】已知圆的标准方程是(x－3)2＋(y＋2)2＝16，借助计算工具计算，判断下列各点在圆上、圆外，还是在圆内．
(1)M1(4.30，－5.72)；
(2)M2(5.70，1.08)；
(3)M3(3，－6)．
[答案] (1)点M1在圆内；(2)点M2在圆外；(3)点M3在圆上．
探究3 求圆的标准方程
[典例讲评] 【链接教材P84例3】
3．求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程．
[解] 法一(直接法)：设点C为圆心，
∵点C在直线x－2y－3＝0上，
∴可设点C的坐标为(2a＋3，a)．
∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|，
∴＝，
解得a＝－2，
∴圆心为C(－1，－2)，半径r＝．
故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10．
法二(待定系数法)：
设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题设条件知
解得故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10．
法三(几何性质法)：
连接AB(图略)，则线段AB的中点的坐标为(0，－4)，
直线AB的斜率kAB＝＝，
∴弦AB的垂直平分线的斜率为k＝－2，
∴弦AB的垂直平分线的方程为y＋4＝－2x，即2x＋y＋4＝0．
又圆心是直线2x＋y＋4＝0与直线x－2y－3＝0的交点，
由得
∴圆心坐标为(－1，－2)，
∴圆的半径r＝＝，故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10．
[母题探究] 求过A(2，－3)，B(－2，－5)两点，面积最小的圆的标准方程．
[解] 当线段AB为圆的直径时，过A，B的圆的半径最小，从而面积最小．
即所求圆的圆心为(0，－4)，半径为|AB|＝．
故所求圆的标准方程为x2＋(y＋4)2＝5．
【教材原题·P84例3】
例3 已知圆心为C的圆经过A(1，1)，B(2，－2)两点，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，求此圆的标准方程．
[分析] 设圆心C的坐标为(a，b)．由已知条件可知，|CA|＝|CB|，且a－b＋1＝0．由此可求出圆心坐标和半径．
另外，因为线段AB是圆的一条弦，根据平面几何知识，AB的中点与圆心C的连线垂直于AB，由此可得到另一种解法．
解法1：设圆心C的坐标为(a，b)．因为圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，所以
a－b＋1＝0．①
因为A，B是圆上两点，所以|CA|＝|CB|．
根据两点间距离公式，有
＝，
即a－3b－3＝0．②
由①②可得a＝－3，b＝－2．所以圆心C的坐标是(－3，－2)．
圆的半径r＝|AC|＝＝5．
所以，所求圆的标准方程是
(x＋3)2＋(y＋2)2＝25．
解法2：如图2.4-3，设线段AB的中点为D．由A，B两点的坐标为(1，1)，(2，－2)，可得点D的坐标为，直线AB的斜率为kAB＝＝－3．
因此，线段AB的垂直平分线l′的方程是y＋＝，即x－3y－3＝0．
由垂径定理可知，圆心C也在线段AB的垂直平分线上，所以它的坐标是方程组
的解．
解这个方程组，得
所以圆心C的坐标是(－3，－2)．
圆的半径r＝|AC|＝＝5．
所以，所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋2)2＝25．
【教材原题·P83例2】
例2 △ABC的三个顶点分别是A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)，求△ABC的外接圆的标准方程．
[分析] 不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．显然已知的三个点不在同一条直线上．只要确定了a，b，r，圆的标准方程就确定了．
[解] 设所求的方程是
(x－a)2＋(y－b)2＝r2．①
因为A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①．于是
即
观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去a2，b2，r2，得到关于a，b的二元一次方程组
解此方程组，得
代入(5－a)2＋(1－b)2＝r2，得r2＝25．
所以，△ABC的外接圆的标准方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝25．
求圆的标准方程的两种方法
(1)几何法：利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，从而得到圆的标准方程．
(2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程．
[学以致用] 【链接教材P88习题2.4T3】
3．已知圆M经过P(1，1)，Q(－7，－5)两点，且圆心M在直线l：x－2y－1＝0上，则圆M的标准方程是( )
A．(x－2)2＋(y－3)2＝5
B．(x－3)2＋(y－4)2＝13
C．(x＋3)2＋(y＋2)2＝25
D．(x＋3)2＋(y－2)2＝25
C [设圆心M(2m＋1，m)，
由题意得|MP|＝|MQ|，
即＝，
解得m＝－2，故圆心M(－3，－2)，半径为＝5，
故圆M的标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25．
故选C．]
【教材原题·P88习题2.4T3】已知圆C经过原点和点A(2，1)，并且圆心在直线l：x－2y－1＝0上，求圆C的标准方程．
[解] 设所求圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
由题设，得
解此方程组，得所以所求圆C的标准方程是＋＝．
1．已知以点(0，1)为圆心，2为半径的圆C，则点M(1，2)与圆C的位置关系是( )
A．在圆内 B．在圆上
C．在圆外 D．无法判断
A [以点(0，1)为圆心，2为半径的圆C的方程为x2＋(y－1)2＝4，
由于点M到圆心C的距离d＝＝＜2，故点M在圆C内部．
故选A．]
2．以点C(－1，－5)为圆心，并与x轴相切的圆的标准方程是( )
A．(x＋1)2＋(y＋5)2＝9
B．(x＋1)2＋(y＋5)2＝16
C．(x－1)2＋(y－5)2＝9
D．(x＋1)2＋(y＋5)2＝25
D [由题意，圆心坐标为点C(－1，－5)，半径为5，
则圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋5)2＝25．
故选D．]
3．已知点A(8，－6)与圆C：x2＋y2＝25，P是圆C上任意一点，则|AP|的最小值是________．
5 [点A(8，－6)与圆C的圆心(0，0)的距离等于＝10，圆C的半径r＝5，
故|AP|min＝10－5＝5．]
4．(教材P88习题2.4T2(1)改编)以C(1，1)为圆心，且经过M(2，3)的圆的标准方程是________．
(x－1)2＋(y－1)2＝5 [以C(1，1)为圆心，且经过M(2，3)的圆的半径为＝，
所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝5．]
1．知识链：
2．方法链：直接法、几何法、待定系数法．
3．警示牌：几何法求圆的标准方程出现漏解情况．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．试写出圆的标准方程．
[提示] 圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
2．如何求圆的标准方程？
[提示] 确定圆的标准方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r．
3．如何判断点P(x0，y0)和圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系？
[提示] 法一(代数法)：点P在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2>r2；
点P在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
点P在圆内 (x0－a)2＋(y0－b)2法二(几何法)：判断点P到圆心(a，b)的距离与半径的大小．
课时分层作业(二十) 圆的标准方程
一、选择题
1．若点(1，a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，1) B．(－∞，1)
C．[0，1) D．(1，＋∞)
A [由题意可得(1－1)2＋a2＜1，即a2＜1，解得－1＜a＜1，
所以实数a的取值范围是(－1，1)．故选A．]
2．方程－y＝表示的曲线是( )
A．x轴上方的半圆 B．x轴下方的半圆
C．y轴左侧的半圆 D．y轴右侧的半圆
B [由－y＝，则y≤0，故x2＋y2＝1(y≤0)，
所以方程－y＝表示的曲线是x轴下方的半圆．
故选B．]
3．已知圆C与x轴相切，圆心在直线2x－y＝0上，且经过点(1，0)，则圆C的标准方程为( )
A．(x－2)2＋(y－4)2＝16
B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝16
C．(x－1)2＋(y－2)2＝4
D．(x＋1)2＋(y＋2)2＝4
C [因为圆C与x轴相切，圆心在直线2x－y＝0上，且经过点(1，0)，
所以设圆心坐标为(a，2a)，
所以圆的方程为(x－a)2＋(y－2a)2＝4a2，
因为点(1，0)在圆C上，所以(1－a)2＋(0－2a)2＝4a2，解得a＝1，
所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4．
故选C．]
4．已知半径为3的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B [由半径为3的圆经过点(3，4)，可得该圆的圆心轨迹是以A(3，4)为圆心，3为半径的圆，
由两点间的距离公式得
|OA|＝＝5，r＝3，
所以圆心到原点距离的最小值是|OA|－r＝5－3＝2．
故选B．]
5．圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝3，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的标准方程为( )
A．(x－2)2＋(y＋2)2＝3 B．(x＋2)2＋(y＋2)2＝3
C．(x＋2)2＋(y－2)2＝3 D．(x－2)2＋(y－2)2＝3
A [根据题意，设圆C2的圆心为(a，b)，
圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝3，其圆心为(－1，1)，半径为，
若圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，
则点C1与C2关于直线x－y－1＝0对称，且圆C2的半径为，
则有解得
则圆C2的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝3．故选A．]
二、填空题
6．已知直线l1：3x－y＋4＝0，l2：x＋2y－1＝0，则以l1，l2的交点为圆心，且经过点A(3，4)的圆的标准方程是 ________．
(x＋1)2＋(y－1)2＝25 [由解得所以l1，l2的交点坐标为(－1，1)，
故所求圆的圆心坐标是(－1，1)，半径r＝＝5，
所以所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝25．]
7．过点A(－1，－1)，B(0，－2)，C(3，1)三点的圆的标准方程为 ________．
(x－1)2＋y2＝5 [设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，可得(－1－a)2＋(－1－b)2＝r2，①
(－a)2＋(－2－b)2＝r2，②
(3－a)2＋(1－b)2＝r2，③
由①－②得到a－b－1＝0，④
由②－③得到a＋b－1＝0，⑤
由④⑤解得a＝1，b＝0，代入①，得r2＝5，
所以圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝5．]
8．若圆C与x轴和y轴均相切，且过点(1，2)，则圆C的半径长为________．
1或5 [根据题意，若圆C与x轴和y轴均相切，则圆心C在直线y＝x或y＝－x上，当圆心C在直线y＝x上时，设圆心C的坐标为(a，a)，
此时圆的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2，
将(1，2)代入可得(1－a)2＋(2－a)2＝a2，即a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，
此时圆的半径长为1或5；
当圆心C在直线y＝－x上时，
设圆心C的坐标为(a，－a)，
此时圆的标准方程为(x－a)2＋(y＋a)2＝a2，
将(1，2)代入可得(1－a)2＋(2＋a)2＝a2，即a2＋2a＋5＝0，方程无解，
综上所述，圆C的半径长为1或5．]
三、解答题
9．已知圆心为C的圆经过点A(1，1)，B(2，－2)，D(0，2)．
(1)求圆C的标准方程；
(2)已知P(a，1)在圆C外，求a的取值范围．
[解] (1)设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝R2(R＞0)，
代入A(1，1)，B(2，－2)，D(0，2)，
得 解得
所以圆C的标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25．
(2)因为P(a，1)在圆C外，所以|PC|＞R＝5，
又因为C(－3，－2)，|PC|＝，
所以＞5，解得a＞1或a＜－7，
所以a的取值范围为(－∞，－7)∪(1，＋∞)．
10．(多选)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝5
B．(x－2)2＋(y－3)2＝13
C．＋＝22
D．＋(y－1)2＝
AB [对于A，点(0，0)，(4，0)，(4，2)在圆(x－2)2＋(y－1)2＝5上，故A正确；
对于B，点(0，0)，(4，0)，(－1，1)在圆(x－2)2＋(y－3)2＝13上，故B正确；
对于C，四个点都不在圆＋＝22上，故C错误；
对于D，点(4，0)，(－1，1)，(4，2)都不在圆＋(y－1)2＝上，故D错误．
故选AB．]
11．圆心在直线y＝x＋3上，且过点A(2，4)，B(1，－3)的圆的标准方程为________．
(x＋2)2＋(y－1)2＝25 [直线AB的斜率为＝7，线段AB的中点为，
线段AB的垂直平分线的方程为y－＝－，即y＝－x＋，
联立解得即圆心坐标为(－2，1)，半径r＝＝5，所以所求圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝25．]
12．实数x，y满足x2＋y2＝4，则(x－4)2＋(y＋3)2的最大值是 ________．
49 [根据题意，x2＋y2＝4表示以O(0，0)为圆心，半径r＝2的圆，
设P(x，y)为圆O上的动点，Q(4，－3)，
可得|PQ|max＝|OQ|＋r＝＋2＝7，
因为|PQ|2＝(x－4)2＋(y＋3)2，所以(x－4)2＋(y＋3)2的最大值是72＝49．]
13．已知直线l经过点A(－5，1)，B(3，7)．
(1)求直线l的方程；
(2)若圆C经过点M(1，0)，N(3，2)，且圆心在直线l上，求圆C的标准方程．
[解] (1)因为直线l经过点A(－5，1)，B(3，7)，
所以直线l的斜率k＝＝，所以直线l的方程为y－1＝(x＋5)，即3x－4y＋19＝0．
(2)因为点M(1，0)，N(3，2)，所以直线MN的斜率kMN＝＝1，MN的中点为(2，1)，
所以直线MN的中垂线方程为y－1＝－(x－2)，
即x＋y－3＝0，由题意可得圆心为两条直线的交点，联立解得x＝－1，y＝4，即圆心C(－1，4)，且圆C的半径r＝|CM|＝＝2，
所以圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－4)2＝20．
14．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角∠AQB的一边QA上的两点，试着在边QB上找一点P，使得∠MPN最大”．如图，其结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系Oxy中，给定两点M(－1，2)，N(1，4)，点P在x轴上移动，当∠MPN取得最大值时，该圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－2)2＝2
B．(x＋7)2＋(y－10)2＝100
C．(x－1)2＋(y－2)2＝4
D．(x＋7)2＋(y－10)2＝10
C [由题意可知，点P为过M，N两点且和x轴相切的圆的切点，线段MN的中点坐标为(0，3)，又kMN＝＝1，所以线段MN的垂直平分线方程为y－3＝－x，所以以MN为弦的圆的圆心在直线y－3＝－x上，
故设该圆圆心为C(a，3－a)，又因为该圆与x轴相切，所以圆的半径r＝|3－a|，
又|CN|＝r，所以(a－1)2＋(3－a－4)2＝(3－a)2，解得a＝1或a＝－7，
当a＝－7时，∠MQP是钝角，故舍去．
所以a＝1，此时圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4．
故选C．]
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