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资源详情
高中数学
人教A版(2019)
选择性必修 第一册
第二章 直线和圆的方程
2.5 直线与圆、圆与圆的位置
人教A版高中数学选择性必修第一册第二章直线和圆的方程2.5.1第1课时直线与圆的位置关系课件+学案+练习(含答案)
文档属性
名称
人教A版高中数学选择性必修第一册第二章直线和圆的方程2.5.1第1课时直线与圆的位置关系课件+学案+练习(含答案)
格式
zip
文件大小
8.1MB
资源类型
试卷
版本资源
人教A版(2019)
科目
数学
更新时间
2025-06-30 16:28:58
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文档简介
课时分层作业(二十二) 直线与圆的位置关系
说明:单项选择题每题5分,多项选择题每题6分,填空题每题5分,本试卷共90分
一、选择题
1.已知直线l:x+2y-3=0与圆M:x2+y2-2ax-4y+5=0相离,则实数a的取值范围为( )
A. B.(-2,-1)
C.(1,2) D.
故选D.]
2.如果直线mx+ny-4=0与圆C:x2+y2=4有两个不同的交点,则点M(m,n)与圆C的位置关系为( )
A.M在圆C上
B.M在圆C外
C.M在圆C内
D.M与圆C的位置不确定
3.(多选)已知圆(x-1)2+(y-2)2=4与直线x+my-m-2=0,下列选项正确的是( )
A.直线过定点(-2,1)
B.圆的圆心坐标为(1,2)
C.直线与圆相交
D.直线与圆相交所截最短弦长为2
4.(多选)若圆x2+y2-2x-6y+a=0(a∈R)上至多存在一点,使得该点到直线3x+4y+5=0的距离为2,则实数a可能为( )
A.5 B.6
C.7 D.10
5.下列关于直线l:y=kx+b与圆C:x2+y2=1的说法不正确的是( )
A.若直线l与圆C相切,则b2-k2为定值
B.若4b2-k2=1,则直线l被圆C截得的弦长为定值
C.若4b2-k2=1,则圆上仅有两个点到直线l的距离相等
D.当b=时,直线与圆相交
二、填空题
6.过点(1,1)的直线l被圆C:x2+y2=4截得的弦长最短,则直线l的斜率为________.
7.直线l:(m+2)x+(m-1)y+m-1=0与圆C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,则|AB|的最小值为________.
8.已知直线l过点P(2,4),且与圆O:x2+y2=4相切,则直线l的方程为________.
三、解答题
9.在平面直角坐标系中,直线x+y+3=0与圆C相切,圆心C的坐标为(1,-1).
(1)求圆C的方程;
(2)设直线y=x+m与圆C交于M,N两点,且OM⊥ON,求m的值.
10.已知直线l过点P(2,5),且与圆C:x2+y2-6x-4y-3=0交于A,B两点,当△ABC面积最大时,l的方程为( )
A.x-3y+13=0
B.x-3y-13=0或x-3y-17=0
C.x-y+3=0
D.x-y+3=0或x+7y-37=0
11.过点P(-2,0)作圆x2+y2-4y=1的两条切线,设切点分别为A,B,则△PAB的面积为( )
A.
C.
12.圆心在直线y=-x+1上,且与直线l:x+y-2=0相切于点P(1,1)的圆的方程是________.
13.已知点A(-1,0),B(0,2),圆C的方程为x2+y2-4x+4y+4=0,过点B的直线l与圆C相切,点P为圆C上的动点.
(1)求直线l的方程;
(2)求△PAB面积的最大值.
14.在平面直角坐标系Oxy中,过点A(0,-3)的直线l与圆C:x2+(y-2)2=9交于M,N两点,若S△AON=S△ACM,则直线l的斜率为________.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系
第1课时 直线与圆的位置关系
[学习目标] 1.掌握直线与圆的三种位置关系:相交、相切、相离.(直观想象) 2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系.(逻辑推理、数学运算) 3.能用直线与圆的方程解决一些简单的数学问题.(逻辑推理、数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1.如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系?
问题2.用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点?
探究1 直线与圆位置关系的判定
问题 利用直线和圆的方程,如何判断它们的位置关系呢?
[提示] 转化为判断由它们的方程组成的方程组实数解个数的问题.
[新知生成]
直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 两个 一个 零个
判定 方法 几何法:设圆心到直线的距离d= d<r d=r d>r
代数法:由 消元得到一元二次方程,计算方程的判别式Δ Δ>0 Δ=0 Δ<0
【教用·微提醒】 代数法从方程的角度来考虑,比较直观,但计算较为烦琐;几何法从几何的角度来考虑,方法较为简单,是判断直线与圆的位置关系的常用方法.
[典例讲评] 1.已知圆的方程是x2+y2=2,直线y=x+b,当b为何值时,圆与直线相交、相切、相离?
[解] 法一:由
②代入①,整理得2x2+2bx+b2-2=0,③
方程③的根的判别式
Δ=(2b)2-4×2(b2-2)=-4(b+2)(b-2).
当-2
0,方程组有两组不同的实数解,因此直线与圆有两个公共点,直线与圆相交;当b=2或b=-2时,Δ=0,方程组有一组实数解,因此直线与圆只有一个公共点,直线与圆相切;当b<-2或b>2时,Δ<0,方程组没有实数解,因此直线与圆没有公共点,直线与圆相离.
综上,当-2
2或b<-2时,直线与圆相离.
法二:圆心(0,0)到直线y=x+b的距离为d=,圆的半径r=.
当d
当d=r,即=时,直线与圆相切,∴b=±2.
当d>r,即>时,直线与圆相离,∴b>2或b<-2.
综上,当-2
当b=-2或b=2时,直线与圆相切;
当b>2或b<-2时,直线与圆相离.
判断直线和圆的位置关系有哪些方法?
(1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.
(2)代数法:根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断.
(3)直线系法:若直线恒过定点,可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系.但有一定的局限性,必须是过定点的直线系.
[学以致用] 1.直线l:2x-y-1=0与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关系是( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.不确定
A [圆C:x2+(y-1)2=5的圆心C(0,1),半径r=,
又圆心C到直线l的距离d==<,
所以直线l与圆C相交.故选A.]
2.已知直线ax-y+2=0与圆(x-3)2+y2=9只有一个公共点,则a=( )
A.-
C.-
B [因为直线ax-y+2=0与圆(x-3)2+y2=9只有一个公共点,
所以=3,所以(3a+2)2=9(a2+1),解得a=.故选B.]
【教用·备选题】 已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时,圆与直线:
(1)有两个公共点;
(2)只有一个公共点;
(3)没有公共点.
[解] 法一:将直线mx-y-m-1=0代入圆的方程化简整理得,
(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0,
∵Δ=4m(3m+4).
∴(1)当Δ>0时,
即m>0或m<-时,直线与圆相交,
即直线与圆有两个公共点.
(2)当Δ=0时,即m=0或m=-时,直线与圆相切,
即直线与圆只有一个公共点.
(3)当Δ<0时,即-
法二:圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4,
即圆心为C(2,1),半径r=2.
圆心C(2,1)到直线mx-y-m-1=0的距离
d==.
(1)当d<2,即m>0或m<-时,直线与圆相交,
即直线与圆有两个公共点.
(2)当d=2,即m=0或m=-时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点.
(3)当d>2,即-
即直线与圆没有公共点.
探究2 圆的弦长问题
[典例讲评] 【链接教材P91例1】
2.(源自北师大版教材)已知直线m:3x+4y-2=0与圆P:x2+y2-2x-2y=0.
(1)写出圆P的圆心坐标和半径,并在平面直角坐标系中画出直线m和圆P的图形;
(2)由(1)所画图形,判断直线m与圆P的位置关系,若相交,求直线m被圆P截得的弦长;若相切或相离,给出证明.
[解] (1)将圆的方程化为标准方程,得(x-1)2+(y-1)2=2,即圆P是以点(1,1)为圆心,为半径的圆(如图(1)).
(2)因为圆心P到直线m的距离d==1<,所以直线m与圆P相交.
设交点为A,B,圆P的半径为r(如图(2)),易知△PAB是等腰三角形,腰PA,PB的长为圆P的半径长,即PA=PB=r=,底边AB上的高为圆心P到直线m的距离d.
所以由勾股定理,得|AB|=2=2.
故直线m被圆P截得的弦长为2.
【教材原题·P91例1】
例1 已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0,判断直线l与圆C的位置关系;如果相交,求直线l被圆C所截得的弦长.
[分析] 思路1:将判断直线l与圆C的位置关系转化为判断由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解;若相交,可以由方程组解得两交点的坐标,利用两点间的距离公式求得弦长.
思路2:依据圆心到直线的距离与半径的关系,判断直线与圆的位置关系;若相交,则可利用勾股定理求得弦长.
解法1:联立直线l与圆C的方程,得
消去y,得x2-3x+2=0,解得x1=2,x2=1.
所以,直线l与圆C相交,有两个公共点.
把x1=2,x2=1分别代入方程①,得y1=0,y2=3.
所以,直线l与圆C的两个交点是A(2,0),B(1,3).
因此|AB|==.
解法2:圆C的方程x2+y2-2y-4=0可化为x2+(y-1)2=5,因此圆心C的坐标为(0,1),半径为,圆心C(0,1)到直线l的距离
d==<.
所以,直线l与圆C相交,有两个公共点.
如图2.5-1,由垂径定理,得|AB|=2=.
求弦长常用的三种方法
(1)几何法:利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,弦长l之间的关系+d2=r2解题.
(2)交点坐标法:若直线与圆的交点坐标易求出,求出交点坐标后,直接用两点间的距离公式计算弦长.
(3)公式法:设直线y=kx+b,与圆的两交点为(x1,y1),(x2,y2),将直线方程代入圆的方程,消元后利用根与系数的关系得弦长l=|x1-x2|=.
[学以致用] 【链接教材P98习题2.5T3】
3.求直线x-y+2=0被圆x2+y2=4截得的弦长.
[解] 法一:直线x-y+2=0和圆x2+y2=4的公共点坐标就是方程组
的解.
解这个方程组,得
所以公共点的坐标为(-,1),(0,2),
所以直线x-y+2=0被圆x2+y2=4截得的弦长为=2.
法二:如图,设直线x-y+2=0与圆x2+y2=4交于A,B两点,弦AB的中点为M,则OM⊥AB(O为坐标原点),
又|OM|==,所以|AB|=2|AM|=2=2=2.
【教材原题·P98习题2.5T3】求直线l:3x-y-6=0被圆C:x2+y2-2x-4y=0截得的弦AB的长.
[解] 法一:联立
解得或不妨设A(2,0),B(3,3),可得|AB|=.
法二:圆C的方程变形为(x-1)2+(y-2)2=5,半径r=,圆心(1,2)到直线3x-y-6=0的距离d==.
所以|AB|=2=.
探究3 直线与圆相切
[典例讲评] 【链接教材P92例2】
3.已知圆C:x2+y2+4x+2y-11=0,过点P(2,1)作圆C的切线m,则m的方程为( )
A.x=2
B.3x+4y-10=0
C.3x+4y-10=0或x=2
D.3x+4y-10=0或3x-4y-2=0
C [将圆C:x2+y2+4x+2y-11=0化为标准方程(x+2)2+(y+1)2=16,
则圆心C(-2,-1),半径r=4,因为(2+2)2+(1+1)2=20>16,所以P在圆外.
当切线m的斜率不存在时,切线m的方程为x=2,此时直线m与圆C相切;
当切线m的斜率存在时,设切线m的方程为y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0,由题意知,4=,解得k=-.
此时切线m的方程为3x+4y-10=0.
综上,切线m的方程为x=2或3x+4y-10=0.
故选C.]
[母题探究]
1.在本例条件下,求此切线长.
[解] 点P(2,1)到圆心的距离为=,
∴切线长为=2.
2.若本例点P的坐标改为(2,-1),其他条件不变,求切线m的方程.
[解] ∵22+(-1)2+4×2+2×(-1)-11=0,
∴点P在圆上,
∴过点P(2,-1)的切线方程为x=2,
即直线m的方程为x=2.
【教材原题·P92例2】
例2 过点P(2,1)作圆O:x2+y2=1的切线l,求切线l的方程.
[分析] 如图2.5-2,容易知道,点P(2,1)位于圆O:x2+y2=1外,经过圆外一点有两条直线与这个圆相切.我们设切线方程为y-1=k(x-2),k为斜率,由直线与圆相切可求出k的值.
解法1:设切线l的斜率为k,则切线l的方程为y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0.
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1,得
=1,解得k=0或.
因此,所求切线l的方程为y=1,或4x-3y-5=0.
解法2:设切线l的斜率为k,则切线l的方程为y-1=k(x-2).
因为直线l与圆相切,所以方程组
只有一组解.
消元,得(k2+1)x2+(2k-4k2)x+4k2-4k=0.①
因为方程①只有一个解,所以
Δ=4k2(1-2k)2-16k(k2+1)(k-1)=0,
解得k=0或.
所以,所求切线l的方程为y=1,或4x-3y-5=0.
求过某一点的圆的切线方程
(1)过圆上一点(x0,y0)的圆的切线方程的求法
①若切线斜率存在且不为0,则先求切点和圆心连线所在直线的斜率k(k≠0),由垂直关系得切线的斜率为-,由点斜式方程可得切线方程.
②若切线斜率为零或不存在,则由图形可直接得切线方程y=y0或x=x0.
(2)过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程的求法
①若切线斜率存在,设切线的斜率为k,则切线方程为y-y0=k(x-x0),由圆心到直线的距离等于半径建立方程,可求得k,也就得切线方程.
②当切线斜率不存在时要加以验证.
③过圆外一点的切线有两条.
[学以致用] 4.过点(-1,0)与圆x2+y2-4x-m=0相切的两条直线垂直,则m=( )
A.- B.-1
C.1 D.
D [圆x2+y2-4x-m=0化为标准方程为(x-2)2+y2=4+m,圆心(2,0),半径r=,
∵过点(-1,0)与圆x2+y2-4x-m=0相切的两条直线垂直,∴点(-1,0)到圆心的距离是r,即3=,解得m=.故选D.]
1.(教材P93练习T1(1)改编)直线l:y=x+1与圆C:(x-1)2+y2=4的位置关系是( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.都有可能
A [圆C的圆心坐标为(1,0),半径为2,直线l的方程为x-y+1=0,
圆心到直线l的距离为=<2,
所以直线l与圆C的位置关系是相交.故选A.]
2.已知直线l:x+my+1=0和圆E:x2+y2-4x+3=0,则圆E上的点P到直线l的距离的最大值为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
C [由题知,圆E:(x-2)2+y2=1,其中圆心E(2,0),半径为1,直线l过定点(-1,0),所以点P到直线l的距离的最大值为(-1,0)到圆心的距离加上圆的半径,即3+1=4.故选C.]
3.圆心在y轴上的圆C与直线x-y=1相切于点A(1,0),则圆心C的纵坐标为( )
A.2 B.
C.1 D.0
C [圆心在y轴上的圆C与直线x-y=1相切于点A(1,0),可知圆的圆心在直线y=-(x-1)上,x=0时,y=1,所以圆心C的纵坐标为1.故选C.]
4.直线3x+y+a=0截圆(x+1)2+(y-2)2=5所得的弦长为2,则a的值为________.
1 [圆(x+1)2+(y-2)2=5的圆心为(-1,2),半径为,因为直线3x+y+a=0截圆(x+1)2+(y-2)2=5所得的弦长为2,
所以直线3x+y+a=0经过圆的圆心(-1,2),
所以-3+2+a=0,解得a=1.]
1.知识链:
2.方法链:几何法、代数法.
3.警示牌:求直线方程时易忽略直线斜率不存在的情况.
回顾本节知识,自主完成以下问题:
1.判断直线与圆的位置关系有哪些方法?
[提示] (1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.
(2)代数法:根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.
2.如何求过圆外一点或圆上一点的圆的切线?
[提示] (1)过圆上一点(x0,y0)的圆的切线方程的求法
①若切线斜率存在且不为0,则先求切点和圆心连线所在直线的斜率k(k≠0),由垂直关系得切线的斜率为-,由点斜式方程可得切线方程.
②若切线斜率为零或不存在,则由图形可直接得切线方程y=y0或x=x0.
(2)过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程的求法
①若切线斜率存在,设切线的斜率为k,则切线方程为y-y0=k(x-x0),由圆心到直线的距离等于半径建立方程,可求得k,也就得切线方程.
②当切线斜率不存在时要加以验证.
③过圆外一点的切线有两条.
3.直线与圆相交时,如何求弦长?
[提示] (1)利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,弦长l之间的关系+d2=r2解题.
(2)利用交点坐标,若直线与圆的交点坐标易求出,求出交点坐标后,直接用两点间距离公式计算弦长.
课时分层作业(二十二) 直线与圆的位置关系
一、选择题
1.已知直线l:x+2y-3=0与圆M:x2+y2-2ax-4y+5=0相离,则实数a的取值范围为( )
A. B.(-2,-1)
C.(1,2) D.
D [已知直线l:x+2y-3=0与圆M:x2+y2-2ax-4y+5=0相离,
将圆M的方程化为标准方程为(x-a)2+(y-2)2=a2-1,
则a2-1>0,解得a<-1或a>1,圆心为M(a,2),半径为r=,
因为直线l与圆M相离,则d==>,
整理可得2a2-a-3<0,即(a+1)(2a-3)<0,解得-1<a<,则实数a的取值范围是.
故选D.]
2.如果直线mx+ny-4=0与圆C:x2+y2=4有两个不同的交点,则点M(m,n)与圆C的位置关系为( )
A.M在圆C上
B.M在圆C外
C.M在圆C内
D.M与圆C的位置不确定
B [根据题意,可得x2+y2=4的圆心为C(0,0),半径r=2.
因为直线mx+ny-4=0与圆C:x2+y2=4有两个不同的交点,
所以C到直线mx+ny-4=0的距离d<r,即<2,整理得m2+n2>4,所以点M(m,n)到C(0,0)的距离|MC|=>2,
即|MC|>r,可知点M在圆C:x2+y2=4的外部.
故选B.]
3.(多选)已知圆(x-1)2+(y-2)2=4与直线x+my-m-2=0,下列选项正确的是( )
A.直线过定点(-2,1)
B.圆的圆心坐标为(1,2)
C.直线与圆相交
D.直线与圆相交所截最短弦长为2
BCD [对于A,直线x+my-m-2=0可化为(x-2)+m(y-1)=0,
所以直线经过x-2=0与y-1=0的交点(2,1),故A项不正确;
对于B,圆(x-1)2+(y-2)2=4表示以(1,2)为圆心,半径r=2的圆,故B项正确;
对于C,圆心(1,2)到点(2,1)的距离d==,
由d<r,可得点(2,1)在圆内,结合直线x+my-m-2=0经过点(2,1),可知直线与圆相交,故C项正确;
对于D,设圆心M(1,2),定点N(2,1),
由C的分析,可知当x+my-m-2=0与MN垂直时,直线与圆相交所截弦长最短.
因为|MN|=d=,所以最短弦长为
2=2=2,故D项正确.
故选BCD.]
4.(多选)若圆x2+y2-2x-6y+a=0(a∈R)上至多存在一点,使得该点到直线3x+4y+5=0的距离为2,则实数a可能为( )
A.5 B.6
C.7 D.10
BC [根据题意,圆x2+y2-2x-6y+a=0变形可得(x-1)2+(y-3)2=10-a,则有10-a>0,即a<10,其圆心为(1,3),半径r=,
圆心到直线3x+4y+5=0的距离d==4,
若圆x2+y2-2x-6y+a=0(a∈R)上至多存在一点,使得该点到直线3x+4y+5=0的距离为2,则+2≤4,解得a≥6,
而a<10,即a的取值范围为[6,10).
故选BC.]
5.下列关于直线l:y=kx+b与圆C:x2+y2=1的说法不正确的是( )
A.若直线l与圆C相切,则b2-k2为定值
B.若4b2-k2=1,则直线l被圆C截得的弦长为定值
C.若4b2-k2=1,则圆上仅有两个点到直线l的距离相等
D.当b=时,直线与圆相交
C [圆C:x2+y2=1的圆心为(0,0),半径为1,对于A选项,若l:y=kx+b与圆C:x2+y2=1相切,则=1,可得b2-k2=1,A正确;
对于B选项,若4b2-k2=1,则圆心到直线的距离为=,此时直线被圆C截得的弦长为2=,B正确;对于C选项,因为4b2-k2=1,圆心到直线的距离为=<1,此时圆上有3个点到直线l的距离相等,C错误;
对于D选项,当b=时,直线l的方程为y=kx+,即直线l过定点,又因为02+<1,可得定点在圆内,故直线与圆相交,D正确.故选C.]
二、填空题
6.过点(1,1)的直线l被圆C:x2+y2=4截得的弦长最短,则直线l的斜率为________.
-1 [由圆x2+y2=4,可得圆心坐标为C(0,0),
根据圆的性质,可得当直线l与过点A(1,1)和圆心C的直线垂直时,此时弦长最短,
因为kAC=1,所以直线l的斜率为k=-1.]
7.直线l:(m+2)x+(m-1)y+m-1=0与圆C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,则|AB|的最小值为________.
2 [直线l:(m+2)x+(m-1)y+m-1=0,即(x+y+1)m+2x-y-1=0,
令解得所以直线l过定点P(0,-1),
圆C:(x-1)2+y2=4的圆心C(1,0),半径r=2,
因为|PC|==<2,所以点P(0,-1)在圆C内,则圆心C到直线l的距离d≤|PC|=(PC⊥l时取等号),
所以|AB|=2≥2=2(PC⊥l时取等号),
所以|AB|的最小值为2.]
8.已知直线l过点P(2,4),且与圆O:x2+y2=4相切,则直线l的方程为________.
x=2或3x-4y+10=0 [由22+42=20>4,得点P在圆外,
当过点P的切线斜率存在时,设所求切线的斜率为k,则切线方程为y-4=k(x-2),即kx-y-2k+4=0,
∴=2,解得k=.
故所求切线方程为3x-4y+10=0.
当过点P的切线斜率不存在时,方程为x=2,也满足条件.
则直线l的方程为x=2或3x-4y+10=0.]
三、解答题
9.在平面直角坐标系中,直线x+y+3=0与圆C相切,圆心C的坐标为(1,-1).
(1)求圆C的方程;
(2)设直线y=x+m与圆C交于M,N两点,且OM⊥ON,求m的值.
[解] (1)∵直线x+y+3=0与圆C相切,且圆心C的坐标为(1,-1),
∴圆C的半径r==3,
则圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=9.
(2)联立
得2x2+2mx+m2+2m-7=0,
由Δ=4m2-8(m2+2m-7)>0,解得-2-3<m<-2+3,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-m,x1x2=,
∵OM⊥ON,∴=x1x2+y1y2=0,
即x1x2+(x1+m)(x2+m)=2x1x2+m(x1+x2)+m2=0,
∴m2+2m-7=0,解得m=-1±2,符合题意,
∴m=-1±2.
10.已知直线l过点P(2,5),且与圆C:x2+y2-6x-4y-3=0交于A,B两点,当△ABC面积最大时,l的方程为( )
A.x-3y+13=0
B.x-3y-13=0或x-3y-17=0
C.x-y+3=0
D.x-y+3=0或x+7y-37=0
D [依题意,圆C:(x-3)2+(y-2)2=16的圆心C(3,2),半径r=4,
显然|PC|=<4=r,即点P(2,5)在圆C内,设AB的中点为D,连接CD,
设|BD|=t,则|CD|=,
∴S△ABC=·2t·==8,
当且仅当t2=16-t2,即t=2时等号成立,
此时,圆心C到直线的距离d==2,
故过点P的直线斜率一定存在,设其方程为y=k(x-2)+5,
则d==2,解得k=1或k=-,
此时直线方程为x-y+3=0或x+7y-37=0.
故选D.]
11.过点P(-2,0)作圆x2+y2-4y=1的两条切线,设切点分别为A,B,则△PAB的面积为( )
A.
C.
B [将圆x2+y2-4y=1化成标准形式为x2+(y-2)2=5,设圆心为C(0,2),半径为r=,因为P(-2,0),所以|PC|=2,|PA|=|PB|===,
设AB与PC相交于点D,则PC垂直平分AB,且D为AB的中点,
因为S△PAC=|PA|·|AC|=|PC|·|AD|,
所以|AD|===,|PD|===,
所以|AB|=2|AD|=,
所以S△PAB=|AB|·|PD|==.
故选B.]
12.圆心在直线y=-x+1上,且与直线l:x+y-2=0相切于点P(1,1)的圆的方程是________.
+= [设圆心坐标为C(a,b).
∵圆心在直线y=-x+1上,∴b=-a+1.
又∵圆与直线l:x+y-2=0相切于点P(1,1),
则CP⊥l.
∴kCP====1.
解得a=.
∴b=-a+1=.
∴圆心C.
圆的半径r=|CP|==.
∴圆的方程为+=.]
13.已知点A(-1,0),B(0,2),圆C的方程为x2+y2-4x+4y+4=0,过点B的直线l与圆C相切,点P为圆C上的动点.
(1)求直线l的方程;
(2)求△PAB面积的最大值.
[解] (1)易知圆C的标准方程为(x-2)2+(y+2)2=4,
所以圆心C的坐标为(2,-2),半径r=2.
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,
此时圆心C到l的距离d=2=r,l与圆C相切;
当直线l的斜率存在时,
设直线l的方程为y=kx+2,
因为直线l与圆C相切,
所以d==r=2,解得k=-,
则直线l的方程为3x+4y-8=0,
综上所述,直线l的方程为x=0或3x+4y-8=0.
(2)因为A(-1,0),B(0,2),
所以直线AB的方程为2x-y+2=0,
此时圆心C到直线AB的距离d==,
所以点P到直线AB的距离的最大值为r+d=2+,
因为|AB|==,
所以△PAB的面积的最大值Smax=×|AB|×(r+d)==4+.
14.在平面直角坐标系Oxy中,过点A(0,-3)的直线l与圆C:x2+(y-2)2=9交于M,N两点,若S△AON=S△ACM,则直线l的斜率为________.
± [由题意得C(0,2),直线MN的斜率存在,设M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN的方程为y=kx-3,与x2+(y-2)2=9联立,得(k2+1)x2-10kx+16=0,Δ=100k2-64(k2+1)=36k2-64>0,得k2>,x1+x2=,x1x2=.
因为S△AON=S△ACM,
所以×3×|x2|=×5×|x1|,
则|x2|=2|x1|,
于是x2=2x1,
所以
两式消去x1,得k2=,
满足Δ>0,所以k=±.]
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第二章
直线和圆的方程
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系
第1课时 直线与圆的位置关系
[学习目标]
1.掌握直线与圆的三种位置关系:相交、相切、相离.(直观想象)
2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系.(逻辑推理、数学运算)
3.能用直线与圆的方程解决一些简单的数学问题.(逻辑推理、数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1.如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系?
问题2.用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点?
探究建构 关键能力达成
探究1 直线与圆位置关系的判定
问题 利用直线和圆的方程,如何判断它们的位置关系呢?
[提示] 转化为判断由它们的方程组成的方程组实数解个数的问题.
[新知生成]
直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 __个 __个 __个
判定
方法 d___r d__r d__r
Δ__0 Δ__0 Δ__0
两
一
零
<
=
>
>
=
<
【教用·微提醒】 代数法从方程的角度来考虑,比较直观,但计算较为烦琐;几何法从几何的角度来考虑,方法较为简单,是判断直线与圆的位置关系的常用方法.
[典例讲评] 1.已知圆的方程是x2+y2=2,直线y=x+b,当b为何值时,圆与直线相交、相切、相离?
当-2
0,方程组有两组不同的实数解,因此直线与圆有两个公共点,直线与圆相交;当b=2或b=-2时,Δ=0,方程组有一组实数解,因此直线与圆只有一个公共点,直线与圆相切;当b<-2或b>2时,Δ<0,方程组没有实数解,因此直线与圆没有公共点,直线与圆相离.
综上,当-2
2或b<-2时,直线与圆相离.
发现规律 判断直线和圆的位置关系有哪些方法?
(1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.
(2)代数法:根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断.
(3)直线系法:若直线恒过定点,可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系.但有一定的局限性,必须是过定点的直线系.
[学以致用] 1.直线l:2x-y-1=0与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关系是( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.不确定
√
√
【教用·备选题】 已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时,圆与直线:
(1)有两个公共点;
(2)只有一个公共点;
(3)没有公共点.
探究2 圆的弦长问题
[典例讲评] 【链接教材P91例1】
2.(源自北师大版教材)已知直线m:3x+4y-2=0与圆P:x2+y2-2x-2y=0.
(1)写出圆P的圆心坐标和半径,并在平面直角坐标系中画出直线m和圆P的图形;
(2)由(1)所画图形,判断直线m与圆P的位置关系,若相交,求直线m被圆P截得的弦长;若相切或相离,给出证明.
【教材原题·P91例1】
例1 已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0,判断直线l与圆C的位置关系;如果相交,求直线l被圆C所截得的弦长.
[分析] 思路1:将判断直线l与圆C的位置关系转化为判断由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解;若相交,可以由方程组解得两交点的坐标,利用两点间的距离公式求得弦长.
思路2:依据圆心到直线的距离与半径的关系,判断直线与圆的位置关系;若相交,则可利用勾股定理求得弦长.
【教材原题·P98习题2.5T3】求直线l:3x-y-6=0被圆C:x2+y2-2x-4y=0截得的弦AB的长.
探究3 直线与圆相切
[典例讲评] 【链接教材P92例2】
3.已知圆C:x2+y2+4x+2y-11=0,过点P(2,1)作圆C的切线m,则m的方程为( )
A.x=2
B.3x+4y-10=0
C.3x+4y-10=0或x=2
D.3x+4y-10=0或3x-4y-2=0
√
[母题探究]
1.在本例条件下,求此切线长.
2.若本例点P的坐标改为(2,-1),其他条件不变,求切线m的方程.
[解] ∵22+(-1)2+4×2+2×(-1)-11=0,
∴点P在圆上,
∴过点P(2,-1)的切线方程为x=2,
即直线m的方程为x=2.
【教材原题·P92例2】
例2 过点P(2,1)作圆O:x2+y2=1的切线l,求切线l的方程.
[分析] 如图2.5-2,容易知道,点P(2,1)位于圆O:x2+y2=1外,经过圆外一点有两条直线与这个圆相切.我们设切线方程为y-1=k(x-2),k为斜率,由直线与圆相切可求出k的值.
(2)过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程的求法
①若切线斜率存在,设切线的斜率为k,则切线方程为y-y0=k(x-x0),由圆心到直线的距离等于半径建立方程,可求得k,也就得切线方程.
②当切线斜率不存在时要加以验证.
③过圆外一点的切线有两条.
√
应用迁移 随堂评估自测
1.(教材P93练习T1(1)改编)直线l:y=x+1与圆C:(x-1)2+y2=4的位置关系是( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.都有可能
√
2.已知直线l:x+my+1=0和圆E:x2+y2-4x+3=0,则圆E上的点P到直线l的距离的最大值为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
√
C [由题知,圆E:(x-2)2+y2=1,其中圆心E(2,0),半径为1,直线l过定点(-1,0),所以点P到直线l的距离的最大值为(-1,0)到圆心的距离加上圆的半径,即3+1=4.故选C.]
√
C [圆心在y轴上的圆C与直线x-y=1相切于点A(1,0),可知圆的圆心在直线y=-(x-1)上,x=0时,y=1,所以圆心C的纵坐标为1.故选C.]
1
1.知识链:
2.方法链:几何法、代数法.
3.警示牌:求直线方程时易忽略直线斜率不存在的情况.
回顾本节知识,自主完成以下问题:
1.判断直线与圆的位置关系有哪些方法?
[提示] (1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.
(2)代数法:根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.
2.如何求过圆外一点或圆上一点的圆的切线?
(2)过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程的求法
①若切线斜率存在,设切线的斜率为k,则切线方程为y-y0=k(x-x0),由圆心到直线的距离等于半径建立方程,可求得k,也就得切线方程.
②当切线斜率不存在时要加以验证.
③过圆外一点的切线有两条.
3.直线与圆相交时,如何求弦长?
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
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课时分层作业(二十二) 直线与圆的位置关系
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2.如果直线mx+ny-4=0与圆C:x2+y2=4有两个不同的交点,则点M(m,n)与圆C的位置关系为( )
A.M在圆C上
B.M在圆C外
C.M在圆C内
D.M与圆C的位置不确定
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4.(多选)若圆x2+y2-2x-6y+a=0(a∈R)上至多存在一点,使得该点到直线3x+4y+5=0的距离为2,则实数a可能为( )
A.5 B.6
C.7 D.10
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二、填空题
6.过点(1,1)的直线l被圆C:x2+y2=4截得的弦长最短,则直线l的斜率为________.
题号
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-1 [由圆x2+y2=4,可得圆心坐标为C(0,0),
根据圆的性质,可得当直线l与过点A(1,1)和圆心C的直线垂直时,此时弦长最短,
因为kAC=1,所以直线l的斜率为k=-1.]
-1
7.直线l:(m+2)x+(m-1)y+m-1=0与圆C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,则|AB|的最小值为________.
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8.已知直线l过点P(2,4),且与圆O:x2+y2=4相切,则直线l的方程为__________________________.
题号
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x=2或3x-4y+10=0
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10.已知直线l过点P(2,5),且与圆C:x2+y2-6x-4y-3=0交于A,B两点,当△ABC面积最大时,l的方程为( )
A.x-3y+13=0
B.x-3y-13=0或x-3y-17=0
C.x-y+3=0
D.x-y+3=0或x+7y-37=0
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12.圆心在直线y=-x+1上,且与直线l:x+y-2=0相切于点P(1,1)的圆的方程是_____________________________.
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13.已知点A(-1,0),B(0,2),圆C的方程为x2+y2-4x+4y+4=0,过点B的直线l与圆C相切,点P为圆C上的动点.
(1)求直线l的方程;
(2)求△PAB面积的最大值.
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[解] (1)易知圆C的标准方程为(x-2)2+(y+2)2=4,
所以圆心C的坐标为(2,-2),半径r=2.
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,
此时圆心C到l的距离d=2=r,l与圆C相切;
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14课时分层作业(二十二)
1.D [已知直线l:x+2y-3=0与圆M:x2+y2-2ax-4y+5=0相离,
将圆M的方程化为标准方程为(x-a)2+(y-2)2=a2-1,
则a2-1>0,解得a<-1或a>1,圆心为M(a,2),半径为r=,
因为直线l与圆M相离,则d=,
整理可得2a2-a-3<0,即(a+1)(2a-3)<0,解得-1
则实数a的取值范围是.
故选D.]
2.B [根据题意,可得x2+y2=4的圆心为C(0,0),半径r=2.
因为直线mx+ny-4=0与圆C:x2+y2=4有两个不同的交点,
所以C到直线mx+ny-4=0的距离d
4,所以点M(m,n)到C(0,0)的距离|MC|=>2,
即|MC|>r,可知点M在圆C:x2+y2=4的外部.
故选B.]
3.BCD [对于A,直线x+my-m-2=0可化为(x-2)+m(y-1)=0,
所以直线经过x-2=0与y-1=0的交点(2,1),故A项不正确;
对于B,圆(x-1)2+(y-2)2=4表示以(1,2)为圆心,半径r=2的圆,故B项正确;
对于C,圆心(1,2)到点(2,1)的距离d=,
由d
对于D,设圆心M(1,2),定点N(2,1),
由C的分析,可知当x+my-m-2=0与MN垂直时,直线与圆相交所截弦长最短.
因为|MN|=d=,所以最短弦长为2,故D项正确.
故选BCD.]
4.BC [根据题意,圆x2+y2-2x-6y+a=0变形可得(x-1)2+(y-3)2=10-a,则有10-a>0,即a<10,其圆心为(1,3),半径r=,
圆心到直线3x+4y+5=0的距离d==4,
若圆x2+y2-2x-6y+a=0(a∈R)上至多存在一点,使得该点到直线3x+4y+5=0的距离为2,则+2≤4,解得a≥6,
而a<10,即a的取值范围为[6,10).
故选BC.]
5.C [圆C:x2+y2=1的圆心为(0,0),半径为1,对于A选项,若l:y=kx+b与圆C:x2+y2=1相切,则=1,可得b2-k2=1,A正确;
对于B选项,若4b2-k2=1,则圆心到直线的距离为,此时直线被圆C截得的弦长为2,B正确;对于C选项,因为4b2-k2=1,圆心到直线的距离为<1,此时圆上有3个点到直线l的距离相等,C错误;
对于D选项,当b=时,直线l的方程为y=kx+,即直线l过定点,又因为02+<1,可得定点在圆内,故直线与圆相交,D正确.故选C.]
6.-1 [由圆x2+y2=4,可得圆心坐标为C(0,0),
根据圆的性质,可得当直线l与过点A(1,1)和圆心C的直线垂直时,此时弦长最短,
因为kAC=1,所以直线l的斜率为k=-1.]
7.2 [直线l:(m+2)x+(m-1)y+m-1=0,即(x+y+1)m+2x-y-1=0,
令所以直线l过定点P(0,-1),
圆C:(x-1)2+y2=4的圆心C(1,0),半径r=2,
因为|PC|=<2,所以点P(0,-1)在圆C内,
则圆心C到直线l的距离d≤|PC|=(PC⊥l时取等号),
所以|AB|=2≥2(PC⊥l时取等号),
所以|AB|的最小值为2.]
8.x=2或3x-4y+10=0 [由22+42=20>4,得点P在圆外,
当过点P的切线斜率存在时,设所求切线的斜率为k,则切线方程为y-4=k(x-2),即kx-y-2k+4=0,
∴=2,解得k=.
故所求切线方程为3x-4y+10=0.
当过点P的切线斜率不存在时,方程为x=2,也满足条件.
则直线l的方程为x=2或3x-4y+10=0.]
9.解:(1)∵直线x+y+3=0与圆C相切,且圆心C的坐标为(1,-1),∴圆C的半径r==3,
则圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=9.
(2)联立
得2x2+2mx+m2+2m-7=0,
由Δ=4m2-8(m2+2m-7)>0,解得-2-3,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-m,x1x2=,
∵OM⊥ON,∴·=x1x2+y1y2=0,
即x1x2+(x1+m)(x2+m)=2x1x2+m(x1+x2)+m2=0,
∴m2+2m-7=0,解得m=-1±2,符合题意,
∴m=-1±2.
10.D [依题意,圆C:(x-3)2+(y-2)2=16的圆心C(3,2),半径r=4,
显然|PC|=<4=r,即点P(2,5)在圆C内,设AB的中点为D,连接CD,
设|BD|=t,则|CD|=,
∴S△ABC=·2t·
=≤=8,
当且仅当t2=16-t2,即t=2时等号成立,
此时,圆心C到直线的距离d=,
故过点P的直线斜率一定存在,设其方程为y=k(x-2)+5,
则d=,解得k=1或k=-,
此时直线方程为x-y+3=0或x+7y-37=0.
故选D.]
11.B [将圆x2+y2-4y=1化成标准形式为x2+(y-2)2=5,设圆心为C(0,2),半径为r=,因为P(-2,0),所以|PC|=2,|PA|=|PB|=,
设AB与PC相交于点D,则PC垂直平分AB,且D为AB的中点,
因为S△PAC=|PA|·|AC|=|PC|·|AD|,
所以|AD|=,
|PD|=,
所以|AB|=2|AD|=,
所以S△PAB=|AB|·|PD|=××.
故选B.]
12. [设圆心坐标为C(a,b).
∵圆心在直线y=-x+1上,∴b=-a+1.
又∵圆与直线l:x+y-2=0相切于点P(1,1),
则CP⊥l.
∴kCP==1.
解得a=.
∴b=-a+1=.
∴圆心C.
圆的半径r=|CP|=.
∴圆的方程为.]
13.解:(1)易知圆C的标准方程为(x-2)2+(y+2)2=4,
所以圆心C的坐标为(2,-2),半径r=2.
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,
此时圆心C到l的距离d=2=r,l与圆C相切;
当直线l的斜率存在时,
设直线l的方程为y=kx+2,
因为直线l与圆C相切,
所以d==r=2,解得k=-,
则直线l的方程为3x+4y-8=0,
综上所述,直线l的方程为x=0或3x+4y-8=0.
(2)因为A(-1,0),B(0,2),
所以直线AB的方程为2x-y+2=0,
此时圆心C到直线AB的距离d=,
所以点P到直线AB的距离的最大值为r+d=2+,
因为|AB|=,
所以△PAB的面积的最大值Smax=×|AB|×(r+d)=××.
14.± [由题意得C(0,2),直线MN的斜率存在,设M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN的方程为y=kx-3,与x2+(y-2)2=9联立,得(k2+1)x2-10kx+16=0,Δ=100k2-64(k2+1)=36k2-64>0,得k2>,x1+x2=,x1x2=.
因为S△AON=S△ACM,所以×3×|x2|=××5×|x1|,
则|x2|=2|x1|,于是x2=2x1,
所以
两式消去x1,得k2=,
满足Δ>0,所以k=±.]
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系
第1课时 直线与圆的位置关系
[学习目标] 1.掌握直线与圆的三种位置关系:相交、相切、相离.(直观想象) 2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系.(逻辑推理、数学运算) 3.能用直线与圆的方程解决一些简单的数学问题.(逻辑推理、数学运算)
探究1 直线与圆位置关系的判定
问题 利用直线和圆的方程,如何判断它们的位置关系呢?
[新知生成]
直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 __________个 __________个 __________个
判定 方法 几何法:设圆心到直线的距离d= d_________r d_________r d_________r
代数法:由 消元得到一元二次方程,计算方程的判别式Δ Δ________0 Δ________0 Δ_______0
[典例讲评] 1.已知圆的方程是x2+y2=2,直线y=x+b,当b为何值时,圆与直线相交、相切、相离?
[尝试解答]
判断直线和圆的位置关系有哪些方法?
(1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.
(2)代数法:根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断.
(3)直线系法:若直线恒过定点,可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系.但有一定的局限性,必须是过定点的直线系.
[学以致用] 1.直线l:2x-y-1=0与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关系是( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.不确定
2.已知直线ax-y+2=0与圆(x-3)2+y2=9只有一个公共点,则a=( )
A.-
C.-
探究2 圆的弦长问题
[典例讲评] 【链接教材P91例1】
2.(源自北师大版教材)已知直线m:3x+4y-2=0与圆P:x2+y2-2x-2y=0.
(1)写出圆P的圆心坐标和半径,并在平面直角坐标系中画出直线m和圆P的图形;
(2)由(1)所画图形,判断直线m与圆P的位置关系,若相交,求直线m被圆P截得的弦长;若相切或相离,给出证明.
[尝试解答]
求弦长常用的三种方法
(1)几何法:利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,弦长l之间的关系+d2=r2解题.
(2)交点坐标法:若直线与圆的交点坐标易求出,求出交点坐标后,直接用两点间的距离公式计算弦长.
(3)公式法:设直线y=kx+b,与圆的两交点为(x1,y1),(x2,y2),将直线方程代入圆的方程,消元后利用根与系数的关系得弦长l=|x1-x2|=.
[学以致用] 【链接教材P98习题2.5T3】
3.求直线x-y+2=0被圆x2+y2=4截得的弦长.
探究3 直线与圆相切
[典例讲评] 【链接教材P92例2】
3.已知圆C:x2+y2+4x+2y-11=0,过点P(2,1)作圆C的切线m,则m的方程为( )
A.x=2
B.3x+4y-10=0
C.3x+4y-10=0或x=2
D.3x+4y-10=0或3x-4y-2=0
[母题探究]
1.在本例条件下,求此切线长.
求过某一点的圆的切线方程
(1)过圆上一点(x0,y0)的圆的切线方程的求法
①若切线斜率存在且不为0,则先求切点和圆心连线所在直线的斜率k(k≠0),由垂直关系得切线的斜率为-,由点斜式方程可得切线方程.
②若切线斜率为零或不存在,则由图形可直接得切线方程y=y0或x=x0.
(2)过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程的求法
①若切线斜率存在,设切线的斜率为k,则切线方程为y-y0=k(x-x0),由圆心到直线的距离等于半径建立方程,可求得k,也就得切线方程.
②当切线斜率不存在时要加以验证.
③过圆外一点的切线有两条.
[学以致用] 4.过点(-1,0)与圆x2+y2-4x-m=0相切的两条直线垂直,则m=( )
A.- B.-1
C.1 D.
1.(教材P93练习T1(1)改编)直线l:y=x+1与圆C:(x-1)2+y2=4的位置关系是( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.都有可能
2.已知直线l:x+my+1=0和圆E:x2+y2-4x+3=0,则圆E上的点P到直线l的距离的最大值为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
3.圆心在y轴上的圆C与直线x-y=1相切于点A(1,0),则圆心C的纵坐标为( )
A.2 B.
C.1 D.0
4.直线3x+y+a=0截圆(x+1)2+(y-2)2=5所得的弦长为2,则a的值为________.
1.知识链:
2.方法链:几何法、代数法.
3.警示牌:求直线方程时易忽略直线斜率不存在的情况.
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同课章节目录
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.2 空间向量基本定理
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.4 空间向量的应用
第二章 直线和圆的方程
2.1 直线的倾斜角与斜率
2.2 直线的方程
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.4 圆的方程
2.5 直线与圆、圆与圆的位置
第三章 圆锥曲线的方程
3.1 椭圆
3.2 双曲线
3.3 抛物线
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