课时分层作业(二十四)
1．A [由题意知圆C1的圆心C1(－1，2)，半径为6，圆C2的圆心C2(2，－2)，半径为1，所以|C1C2|＝＝5＝6－1，所以两圆位置关系为内切．故选A．]
2．A [由题意可知，两圆位置关系是相交，即圆心距小于半径之和且大于半径之差的绝对值，圆O1：(x－a)2＋(y＋1)2＝4，圆O2：(x＋2a)2＋y2＝9，
则圆心O1(a，－1)，半径r1＝2，圆心O2(－2a，0)，半径r2＝3，
故∈(1，5)，
解得a∈∪．故选A．]
3．AD [由圆O1：x2＋y2＝2与圆O2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0，可知r1＝，r2＝，所以A选项正确；
圆心O1(0，0)，圆心O2(2，－1)，所以|O1O2|＝，两圆相交，所以有2条公切线，所以B选项错误；圆O1：x2＋y2＝2与圆O2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0，两个方程相减得4x－2y－5＝0，所以C选项错误；由垂径定理可得，所以|MN|＝，所以D选项正确．
故选AD．]
4．BC [由已知C1(0，0)，半径为r＝1，圆C2的标准方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝1，故C2(3，－4)，半径R＝1，∴圆心距|C1C2|＝＝5，
又∵P在圆C1上，Q在圆C2上，则|PQ|的最小值为|PQ|min＝|C1C2|－R－r＝3，最大值为|PQ|max＝|C1C2|＋R＋r＝7，故A错误、B正确；两圆圆心所在的直线斜率为，C正确；圆心距|C1C2|＝＝5>R＋r＝2，则两圆外离，无相交弦，D错误．故选BC．]
5．ABC [已知圆O：x2＋y2＝1和圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)，
圆O的圆心为原点，半径为1，圆C的圆心为C(3，4)，半径为r，
对于A选项，因为|OC|＝＝5，
若两圆相交，则|r－1|<|OC|
因为r>0，解得4对于B选项，原点到直线x＝－1的距离为1，则直线x＝－1与圆O相切，若直线x＝－1与圆C相切，则r＝3＋1＝4，
即当r＝4时，直线x＝－1是两圆的公切线，故B选项正确；
对于C选项，将两圆方程作差可得6x＋8y＋r2－26＝0，
当直线6x＋8y＋r2－26＝0过原点，即r2＝26，r＝∈(4，6)时，
两圆的相交弦的弦长取最大值2，且此时两圆的相交弦为圆O的一条直径，故C选项正确；
对于D选项，若两圆的相交弦方程为3x＋4y－11＝0，
则有，因为r>0，解得r＝2 (4，6)，不符合题意，故D选项错误．
故选ABC．]
6．(－∞，－)∪(，＋∞) [圆M：x2＋y2－2ay＋a2－4＝0可化为圆M：x2＋(y－a)2＝4，可得圆心为(0，a)，半径为2，圆N：x2＋y2－4x＋3＝0可化为圆N：(x－2)2＋y2＝1，圆心为(2，0)，半径为1，因为两圆有4条公切线，所以两圆外离，
故圆心距|MN|＝>3，解得a∈(－∞，－)∪(，＋∞)．]
7．(1)2x－2y－1＝0 (2)0或－4 [(1)若a＝1，圆O1：x2＋y2－2x＋1＝0，
与圆O2方程相减，整理得2x－2y－1＝0，即为两圆的公共弦AB所在直线的方程．
(2)圆O1：x2＋y2－2x＋a＝0与圆O2：x2＋(y－1)2＝1方程相减，
化简得2x－2y－a＝0，即为直线AB的方程．
圆O2：x2＋(y－1)2＝1的圆心为O2(0，1)，半径r2＝1，
设点O2到直线AB的距离为d，则|AB|＝2，解得d＝．
所以，解得a＝0或a＝－4．
圆O1的方程需满足(－2)2－4a>0，即a<3．
圆O1的圆心为(，0)，半径为，由于两圆相交，所以|＋1，即|＋1，a＝0或a＝－4均符合．]
8．4或－12 [由圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－4x＋4y＋a＝0方程相减并化简得4x－4y－4－a＝0，即两圆相交弦所在直线方程．圆x2＋y2＝4的圆心为(0，0)，半径为2．点(0，0)到直线4x－4y－4－a＝0的距离为，所以＝22．解得a＝4或a＝－12．圆x2＋y2－4x＋4y＋a＝0需满足(－4)2＋42－4a>0 a<8．圆x2＋y2－4x＋4y＋a＝0，即(x－2)2＋(y＋2)2＝8－a，圆心为(2，－2)，半径为，由于两个圆相交，所以|2－，即|2－，a＝4或a＝－12都符合．]
9．解：把圆M的方程化成标准方程为x2＋(y－a)2＝a2，
所以M(0，a)，r1＝a，
所以点M到直线x＋y＝0的距离d＝．
由题意可得＋2＝a2，又a>0，所以a＝2，
所以M(0，2)，r1＝2，又N(1，1)，r2＝1，
所以|MN|＝，所以|r1－r2|<|MN|所以两圆相交．
10．BCD [对于A，由点(1，1)在圆C1的内部，得1＋1＋2m－10＋m2<0，解得－4对于B，若m＝2，则圆C1：x2＋y2＋4x－10y＋4＝0，
将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程是4x－14y＋9＝0，故B正确；
对于C，圆C1的标准方程为(x＋m)2＋(y－5)2＝25，圆心为C1(－m，5)，半径r1＝5，圆C2的标准方程为x2＋(y＋2)2＝9，圆心为C2(0，－2)，半径r2＝3，
若圆C1，C2外切，则|C1C2|＝r1＋r2，即＝5＋3，解得m＝±，故C正确；
对于D，当l的斜率不存在时，l的方程是x＝3，圆心C2到l的距离d＝3＝r2，满足要求．
当l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x－3)＋2，圆心C2到l的距离d＝＝r2＝3，解得k＝，所以l的方程是7x－24y＋27＝0，故D正确．故选BCD．]
11．C [圆C1：x2＋y2－2x＋4y－b2＋5＝0，即为(x－1)2＋(y＋2)2＝b2，即有圆心C1为(1，－2)，半径为|b|，圆C2：x2＋y2－2(a－6)x－2ay＋2a2－12a＋27＝0，
即为[x－(a－6)]2＋(y－a)2＝9，即有圆心C2为(a－6，a)，半径为3．
由＝0，即为，即有|OA|＝|OB|，
由于C1C2垂直平分AB，即有C1C2经过原点，即为，即a＝4．故选C．]
12．2 [圆C2的标准方程为(x－a)2＋y2＝a－2(2则PC2为∠APB的角平分线，所以．
设P(x0，y0)，则(x0－5)2＋＝4，
所以＝2，则＝2，
即a－1＝2(4－a)，解得a＝3，则C2：(x－3)2＋y2＝1，
所以点N与B(4，0)重合，
此时|C2M|＝1，∠MAC2＝30°，可得M，
所以|MN|＝．]
13．x－y＋3＝0 [圆O：(x－1)2＋(y－2)2＝4的圆心为O(1，2)，半径为2，以P(3，0)，O(1，2)为直径端点，则PO的中点坐标为N(2，)，|PO|＝＝4，∴以N为圆心，PO为直径的圆的方程为(x－2)2＋(y－)2＝4，∵过点P(3，0)的圆O：(x－1)2＋(y－2)2＝4的两条切线切点分别为A，B，∴AB是两圆的公共弦，将两圆的方程相减可得公共弦AB所在直线的方程为x－y＋3＝0．]
14．解：(1)由题可得，圆O1的圆心为O1(1，0)，半径r1＝2，
设点O1(1，0)关于直线x＋y＋2＝0对称的点为O2(a，b)，
则
所以圆O2的方程为(x＋2)2＋(y＋3)2＝4．
(2)设圆O2的半径为r，
两圆圆心距|O1O2|＝，
因为圆O2与圆O1相交，则|r－2|<2两圆的方程相减，可得两圆公共弦AB所在的直线的方程为4x＋4y＋r2－16＝0，
可得O1到直线AB的距离d＝，
由弦长|AB|＝2，可得d2＝2，即，可得r2＝4或r2＝20，
所以圆O2的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝4或(x－3)2＋(y－2)2＝20．
15．C [因为圆C1：x2＋y2－kx＋2y＝0与圆C2：x2＋y2＋ky－4＝0的公共弦所在直线为k(x＋y)－4－2y＝0，
由公共弦所在直线过定点可得即a＝2，b＝－2．
即直线过定点(2，－2)．
由题意可得P(2，－2)，所以m＋n＝1，所以(m＋n)2＝1，
即m2＋n2＋2mn＝1，而2mn≤m2＋n2，当且仅当m＝n＝时等号成立，所以1≤2(m2＋n2)，
可得m2＋n2≥．]2.5.2 圆与圆的位置关系
[学习目标]
1．了解圆与圆的位置关系．(数学抽象)
2．掌握圆与圆的位置关系的判定方法．(数学运算)
3．能利用圆与圆的位置关系解决有关问题．(逻辑推理、数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．圆与圆之间有怎样的位置关系，如何判定？
问题2．圆与圆相交时，半径、公共弦、圆心距之间有怎样的数量关系？
探究1 两圆位置关系的判断
问题 观察下面这些生活中常见的图形，感受一下圆与圆之间有哪些位置关系？
(1)圆与圆之间有几种位置关系？
(2)能否借助圆的方程来研究圆与圆的位置关系？
[提示] (1)5种．
(2)可以，借助圆的方程可以通过代数法和几何法两种途径．
[新知生成]
1．几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1，r 2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|2．代数法：设两圆的一般方程为：
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝－4F1>0)，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝－4F2>0)，
联立方程得
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数 2组 1组 0组
两圆的公共点个数 2个 1个 0个
两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含
【教用·微提醒】 判断两圆的位置关系时，应优先使用几何法，因为利用代数法判断两圆位置关系时，若方程组无解或有一组解时，无法准确判断两圆的位置关系．
[典例讲评] 【链接教材P96例5】
1．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a＞0)，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：
(1)相切？(2)相交？(3)外离？(4)内含？
[解] 圆C1，C2的方程，经配方后可得
C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，
C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，
所以圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1＝4，r2＝1．
所以|C1C2|＝＝a．
(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切；
当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．
(2)当3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5时，两圆相交．
(3)当|C1C2|＞5，即a＞5时，两圆外离．
(4)当|C1C2|＜3，即0＜a＜3时，两圆内含．
【教材原题·P96例5】
例5 已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圆C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，试判断圆C1与圆C2的位置关系．
[分析] 思路1：圆C1与圆C2的位置关系由它们有几个公共点确定，而它们有几个公共点又由它们的方程所组成的方程组有几组实数解确定；
思路2：借助图形，可以依据圆心距与两半径的和r1＋r2或两半径的差的绝对值|r1－r2|的大小关系，判断两圆的位置关系．
解法1：将圆C1与圆C2的方程联立，得到方程组
①－②，得
x＋2y－1＝0， ③
由③，得
y＝．
把上式代入①，并整理，得
x2－2x－3＝0． ④
方程④的根的判别式
Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16＞0，
所以，方程④有两个不相等的实数根x1，x2，把x1，x2分别代入方程③，得到y1，y2．
因此圆C1与圆C2有两个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，这两个圆相交．
解法2：把圆C1的方程化成标准方程，得
(x＋1)2＋(y＋4)2＝25，
圆C1的圆心是(－1，－4)，半径r1＝5．
把圆C2的方程化成标准方程，得
(x－2)2＋(y－2)2＝10，
圆C2的圆心是(2，2)，半径r2＝．
圆C1与圆C2的圆心距为
＝3．
圆C1与圆C2的两半径之和r1＋r2＝5＋，两半径长之差r1－r2＝5－．
因为5－＜3＜5＋，即r1－r2＜3＜r1＋r2，所以圆C1与圆C2相交(图2.5-6)，它们有两个公共点A，B．
试总结判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围的步骤．
[提示] (1)将圆的方程化成标准方程，写出圆心和半径．
(2)计算两圆圆心的距离d．
(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可数形结合．
[学以致用] 1．已知圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，则圆C1与C2的位置关系是( )
A．相交 B．外离
C．外切 D．内含
B [法一：画出两圆，如图所示，由图可直观得出两圆外离．
法二：圆C1的半径r1＝1，圆C2的半径r2＝1，且两圆的圆心距d＝＝2＞1＋1，即d＞r1＋r2，故两圆外离．
法三：将两圆的方程联立，得到方程组
消去x2，y2，得x－y－2＝0，将其代入圆C1的方程中，消去y得2x2－4x＋3＝0，所以Δ＝16－4×2×3＝－8＜0，所以方程无实数解，即两圆相离．
因为两圆半径相等，所以不会出现内含的情况，故两圆外离．]
2．已知圆M：x2＋y2－2x－3＝0，若圆M与圆C：x2＋y2－2x－6y－a＝0恰有三条公切线，则实数a＝( )
A．9 B．－9
C．8 D．－8
B [圆M：x2＋y2－2x－3＝0可化为(x－1)2＋y2＝4，圆心为M(1，0)，半径为r1＝2．
圆C：x2＋y2－2x－6y－a＝0可化为(x－1)2＋(y－3)2＝10＋a，圆心为C(1，3)，半径为r2＝，a＞－10．
若圆M与圆C恰有三条公切线，则两圆外切．
由|MC|＝r1＋r2，所以＝2＋，解得a＝－9．
故选B．]
探究2 相交弦及圆系方程问题
[典例讲评] 【链接教材P98习题2.5T8】
2．已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0和C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0．
(1)求证：圆C1与圆C2的位置关系是相交；
(2)求公共弦所在直线方程和公共弦长；
(3)求经过点M(1，0)以及圆C1和圆C2交点的圆的方程．
[解] (1)证明：将两圆方程配方化为标准方程，
得C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，
C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，
则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝5，
圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝．
∵|C1C2|＝2，r1＋r2＝5，r1－r2＝5，
∴r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，
∴两圆相交．
(2)将两圆方程相减，
得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0．
法一：圆C1的圆心为(1，－5)，其到公共弦所在直线x－2y＋4＝0的距离d＝＝3，∴公共弦长l＝＝2＝2．
法二：设两圆相交于点A，B，则A，B两点的坐标满足方程组
解得或
即A(－4，0)，B(0，2)，
所以|AB|＝＝2，
即公共弦长为2．
(3)所求圆经过两圆的交点，则可设所求圆的方程为x2＋y2－2x＋10y－24＋λ(x2＋y2＋2x＋2y－8)＝0，其中λ≠－1，
整理得(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋(2λ－2)x＋(10＋2λ)y－24－8λ＝0，
因为圆经过点M(1，0)，代入上述方程，解得λ＝－5．
所以所求圆的方程为x2＋y2＋3x－4＝0．
【教材原题·P98习题2.5T8】
求圆心在直线x－y－4＝0上，并且经过圆x2＋y2＋6x－4＝0与圆x2＋y2＋6y－28＝0的交点的圆的方程．
[解] 法一：如图，设圆x2＋y2＋6x－4＝0和圆x2＋y2＋6y－28＝0相交于点A，B．
解方程组
得或
不妨设A(－1，3)，B(－6，－2)．
因此，线段AB的垂直平分线的方程是x＋y＋3＝0．
联立解得
所求圆的圆心C的坐标是．
|CA|＝＝．
因此，所求圆的方程为＋＝，即x2＋y2－x＋7y－32＝0．
法二：设经过圆x2＋y2＋6x－4＝0和圆x2＋y2＋6y－28＝0的交点的圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0，即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋6x＋6λy－4－28λ＝0，其圆心坐标是．因为圆心在直线x－y－4＝0上，所以有－－4＝0．解得λ＝－7．所以，所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4－7(x2＋y2＋6y－28)＝0，即x2＋y2－x＋7y－32＝0．
1．两圆的公共弦问题
(1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0．
(2)公共弦长的求法
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
2．过两圆的交点的圆的方程
已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．
[学以致用] 3．(多选)已知圆C1：(x＋a)2＋(y－2)2＝4与圆C2：(x－2)2＋(y－a)2＝4，则下列结论正确的是( )
A．若圆C1与圆C2外切，则a＝2或a＝－2
B．当a＝1时，圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为y＝3x
C．若圆C1与圆C2关于点(－1，3)对称，则a＝－4
D．当a＝0时，对任意的λ∈R，曲线W：(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2－4λx－4y＝0恒过圆C1与圆C2的交点
ABD [由题意知圆C1的圆心坐标为(－a，2)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(2，a)，半径r2＝2．
若圆C1与圆C2外切，则＝4，解得a＝2或a＝－2，A正确；
当a＝1时，圆C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4，
将两圆的方程作差可得圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为y＝3x，B正确；
若圆C1与圆C2关于点(－1，3)对称，则解得a＝4，C错误；
当a＝0时，圆C1：x2＋y2－4y＝0，圆C2：x2－4x＋y2＝0，
则(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2－4λx－4y＝x2＋y2－4y＋λ(x2－4x＋y2)＝0，所以对任意的λ∈R，曲线W恒过圆C1与圆C2的交点，D正确．故选ABD．]
探究3 圆与圆的综合问题
[典例讲评] 3．求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
[解] 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，则＝r＋1．①
又所求圆过点M的切线为直线x＋y＝0，
故＝，②
＝r．③
解由①②③组成的方程组，得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6．
故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36．
[母题探究] (变条件)求与圆x2＋y2－2x＝0外切，圆心在x轴上，且过点(3，－)的圆的方程．
[解] 因为圆心在x轴上，所以可设圆心坐标为(a，0)，设半径为r(r＞0)，
则所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2．
又因为与圆x2＋y2－2x＝0外切，且过点(3，－)，
所以解得
所以圆的方程为(x－4)2＋y2＝4．
【教材原题·P97例6】
例6 已知圆O的直径AB＝4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍．试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系．
[分析] 我们可以通过建立适当的平面直角坐标系，求得满足条件的动点M的轨迹方程，从而得到点M的轨迹；通过研究它的轨迹方程与圆O方程的关系，判断这个轨迹与圆O的位置关系．
[解] 如图2.5-7，以线段AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．由AB＝4，得A(－2，0)，B(2，0)．
设点M的坐标为(x，y)，由|MA|＝|MB|，得
＝，
化简，得x2－12x＋y2＋4＝0，即(x－6)2＋y2＝32．
所以点M的轨迹是以P(6，0)为圆心，半径为4的一个圆(图2.5-7)．
因为两圆的圆心距为|PO|＝6，两圆的半径分别为r1＝2，r2＝4，又r2－r1＜|PO|＜r2＋r1，所以点M的轨迹与圆O相交．
通过直线与圆、圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题．
[学以致用] 4．已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是________．
(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36
[设圆C的半径为r，
又圆心距d＝＝5，
∴当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4，
当圆C与圆O内切时，r－1＝5，r＝6，
∴圆C的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36．]
1．(教材P98练习T1改编)圆C1：x2＋y2＋2x－4y－4＝0与圆C2：x2＋y2－2x＝0的位置关系是( )
A．外离 B．相切
C．相交 D．内含
C [圆C1化为标准方程得(x＋1)2＋(y－2)2＝9，圆心为C1(－1，2)，半径为r1＝3，
圆C2化为标准方程得(x－1)2＋y2＝1，圆心为C2(1，0)，半径为r2＝1，
因为|C1C2|＝＝2，|r1－r2|＜|C1C2|＜r2＋r1，
所以圆C1与圆C2的位置关系是相交．
故选C．]
2．圆C：(x－1)2＋y2＝1与圆D：x2＋y2－2x＋8y＋8＝0的公切线的条数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
D [圆C：(x－1)2＋y2＝1的圆心C(1，0)，半径r1＝1，
圆D化为标准方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝9，圆心D(1，－4)，半径r2＝3，
因为圆心距|CD|＝＝4＝r1＋r2，
所以两圆外切，
所以两圆的公切线条数为3．
故选D．]
3．(教材P98习题2.5T9改编)圆O1：(x－1)2＋(y－1)2＝28与O2：x2＋(y－4)2＝18的公共弦长为( )
A．2 B．2
C．3 D．6
D [已知圆O1：(x－1)2＋(y－1)2＝28，圆O2：x2＋(y－4)2＝18，
两圆方程作差，得到其公共弦所在的直线方程为x－3y＋12＝0，
而圆心O1到直线的距离为d＝＝，设公共弦的两端点为A，B，
因为圆O1的半径为2，所以|AB|＝＝3，
所以|AB|＝6．
故选D．]
4．过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程为________．
x2＋y2－3x＋y－1＝0 [设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0(λ≠－1)，
则(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，
把圆心坐标代入直线l的方程2x＋4y－1＝0，可得λ＝，
故所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0．]
1．知识链：
2．方法链：几何法、代数法、待定系数法．
3．警示牌：易混淆内切和外切．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．判断两圆的位置关系有哪些方法？
[提示] (1)几何法：利用两圆半径的和或差的绝对值与圆心距作比较，得到两圆的位置关系；
(2)代数法：把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题，转化为方程组的解的组数问题．
2．两圆相切时，圆心距和两圆半径有怎样的关系？
[提示] 圆O1的半径为r1，圆O2的半径为r2，
两圆外切时，|O1O2|＝r1＋r2；
两圆内切时，|O1O2|＝|r1－r2|．
3．两圆相交时，如何求两圆的公共弦长？
[提示] 求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解．
课时分层作业(二十四) 圆与圆的位置关系
一、选择题
1．圆C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝36与圆C2：(x－2)2＋(y＋2)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．外切
C．相交 D．外离
A [由题意知圆C1的圆心C1(－1，2)，半径为6，圆C2的圆心C2(2，－2)，半径为1，
所以|C1C2|＝＝5＝6－1，所以两圆位置关系为内切．
故选A．]
2．已知圆O1：(x－a)2＋(y＋1)2＝4与圆O2：(x＋2a)2＋y2＝9有两条公切线，则实数a的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
A [由题意可知，两圆位置关系是相交，即圆心距小于半径之和且大于半径之差的绝对值，圆O1：(x－a)2＋(y＋1)2＝4，圆O2：(x＋2a)2＋y2＝9，
则圆心O1(a，－1)，半径r1＝2，圆心O2(－2a，0)，半径r2＝3，
故＝∈(1，5)，解得a∈．
故选A．]
3．(多选)已知圆O1：x2＋y2＝2与圆O2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0交于M，N两点，则( )
A．两圆半径相同
B．两圆有3条公切线
C．直线MN的方程是4x－2y＋5＝0
D．线段MN的长度是
AD [由圆O1：x2＋y2＝2与圆O2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0，可知r1＝，r2＝＝，所以A选项正确；
圆心O1(0，0)，圆心O2(2，－1)，所以|O1O2|＝＜2，两圆相交，所以有2条公切线，所以B选项错误；圆O1：x2＋y2＝2与圆O2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0，两个方程相减得4x－2y－5＝0，所以C选项错误；由垂径定理可得＝－＝2－＝，所以|MN|＝，所以D选项正确．
故选AD．]
4．(多选)点P在圆C1：x2＋y2＝1上，点Q在圆C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0上，则( )
A．|PQ|的最小值为2
B．|PQ|的最大值为7
C．两个圆心所在的直线斜率为－
D．两个圆相交弦所在直线的方程为6x－8y－25＝0
BC [由已知C1(0，0)，半径为r＝1，圆C2的标准方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝1，故C2(3，－4)，半径R＝1，
∴圆心距|C1C2|＝＝5，
又∵P在圆C1上，Q在圆C2上，则|PQ|的最小值为|PQ|min＝|C1C2|－R－r＝3，最大值为|PQ|max＝|C1C2|＋R＋r＝7，故A错误、B正确；两圆圆心所在的直线斜率为＝＝－，C正确；圆心距|C1C2|＝＝5＞R＋r＝2，则两圆外离，无相交弦，D错误．故选BC．]
5．(多选)已知圆O：x2＋y2＝1和圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r＞0)，则( )
A．若两圆相交，则r∈(4，6)
B．直线x＝－1可能是两圆的公切线
C．两圆公共弦长的最大值为2
D．两圆公共弦所在的直线方程可以是3x＋4y－11＝0
ABC [已知圆O：x2＋y2＝1和圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r＞0)，
圆O的圆心为原点，半径为1，圆C的圆心为C(3，4)，半径为r，
对于A选项，因为|OC|＝＝5，
若两圆相交，则|r－1|＜|OC|＜r＋1，即|r－1|＜5＜r＋1，
因为r＞0，解得4＜r＜6，则r∈(4，6)，故A选项正确；
对于B选项，原点到直线x＝－1的距离为1，则直线x＝－1与圆O相切，
若直线x＝－1与圆C相切，则r＝3＋1＝4，
即当r＝4时，直线x＝－1是两圆的公切线，故B选项正确；
对于C选项，将两圆方程作差可得6x＋8y＋r2－26＝0，
当直线6x＋8y＋r2－26＝0过原点，即r2＝26，r＝∈(4，6)时，
两圆的相交弦的弦长取最大值2，且此时两圆的相交弦为圆O的一条直径，故C选项正确；
对于D选项，若两圆的相交弦方程为3x＋4y－11＝0，
则有＝＝，因为r＞0，解得r＝2 (4，6)，不符合题意，故D选项错误．
故选ABC．]
二、填空题
6．已知圆M：x2＋y2－2ay＋a2－4＝0与圆N：x2＋y2－4x＋3＝0有4条公切线，则a的取值范围为________．
(－∞，－)∪(，＋∞) [圆M：x2＋y2－2ay＋a2－4＝0可化为圆M：x2＋(y－a)2＝4，可得圆心为(0，a)，半径为2，圆N：x2＋y2－4x＋3＝0可化为圆N：(x－2)2＋y2＝1，圆心为(2，0)，半径为1，因为两圆有4条公切线，所以两圆外离，
故圆心距|MN|＝＞3，
解得a∈(－∞，－)∪(，＋∞)．]
7．已知圆O1：x2＋y2－2x＋a＝0与圆O2：x2＋(y－1)2＝1相交于点A，B．
(1)若a＝1，则公共弦所在直线方程为________；
(2)若弦长|AB|＝，则a＝________．
(1)2x－2y－1＝0 (2)0或－4 [(1)若a＝1，圆O1：x2＋y2－2x＋1＝0，
与圆O2方程相减，整理得2x－2y－1＝0，即为两圆的公共弦AB所在直线的方程．
(2)圆O1：x2＋y2－2x＋a＝0与圆O2：x2＋(y－1)2＝1方程相减，
化简得2x－2y－a＝0，即为直线AB的方程．
圆O2：x2＋(y－1)2＝1的圆心为O2(0，1)，半径r2＝1，
设点O2到直线AB的距离为d，
则|AB|＝＝，解得d＝．
所以＝，解得a＝0或a＝－4．
圆O1的方程需满足(－2)2－4a＞0，即a＜3．
圆O1的圆心为(，0)，半径为，由于两圆相交，所以|－1|＜|O1O2|＜＋1，即|－1|＜2＜＋1，a＝0或a＝－4均符合．]
8．已知圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－4x＋4y＋a＝0相交，且它们的公共弦的长为2，则a的值为________．
4或－12 [由圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－4x＋4y＋a＝0方程相减并化简得4x－4y－4－a＝0，即两圆相交弦所在直线方程．圆x2＋y2＝4的圆心为(0，0)，半径为2．点(0，0)到直线4x－4y－4－a＝0的距离为，所以＋＝22．解得a＝4或a＝－12．圆x2＋y2－4x＋4y＋a＝0需满足(－4)2＋42－4a＞0 a＜8．圆x2＋y2－4x＋4y＋a＝0，即(x－2)2＋(y＋2)2＝8－a，圆心为(2，－2)，半径为，由于两个圆相交，所以|2－|＜＜2＋，即|2－|＜2＜2＋，a＝4或a＝－12都符合．]
三、解答题
9．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，判断圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系．
[解] 把圆M的方程化成标准方程为x2＋(y－a)2＝a2，
所以M(0，a)，r1＝a，
所以点M到直线x＋y＝0的距离d＝．
由题意可得＋2＝a2，又a＞0，所以a＝2，
所以M(0，2)，r1＝2，又N(1，1)，r2＝1，
所以|MN|＝，所以|r1－r2|＜|MN|＜r1＋r2，
所以两圆相交．
10．(多选)已知圆C1：x2＋y2＋2mx－10y＋m2＝0，圆C2：x2＋y2＋4y－5＝0，则下列说法正确的是( )
A．若点(1，1)在圆C1的内部，则－2＜m＜4
B．若m＝2，则圆C1，C2的公共弦所在的直线方程是4x－14y＋9＝0
C．若圆C1，C2外切，则m＝±
D．过点(3，2)作圆C2的切线l，则l的方程是x＝3或7x－24y＋27＝0
BCD [对于A，由点(1，1)在圆C1的内部，得1＋1＋2m－10＋m2＜0，解得－4＜m＜2，故A错误；
对于B，若m＝2，则圆C1：x2＋y2＋4x－10y＋4＝0，
将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程是4x－14y＋9＝0，故B正确；
对于C，圆C1的标准方程为(x＋m)2＋(y－5)2＝25，圆心为C1(－m，5)，半径r1＝5，圆C2的标准方程为x2＋(y＋2)2＝9，圆心为C2(0，－2)，半径r2＝3，
若圆C1，C2外切，则|C1C2|＝r1＋r2，即＝5＋3，解得m＝±，故C正确；
对于D，当l的斜率不存在时，l的方程是x＝3，圆心C2到l的距离d＝3＝r2，满足要求．
当l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x－3)＋2，圆心C2到l的距离d＝＝r2＝3，解得k＝，所以l的方程是7x－24y＋27＝0，故D正确．故选BCD．]
11．已知a，b∈R，圆C1：x2＋y2－2x＋4y－b2＋5＝0与圆C2：x2＋y2－2(a－6)x－2ay＋2a2－12a＋27＝0交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若＝0，则a＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
C [圆C1：x2＋y2－2x＋4y－b2＋5＝0，即为(x－1)2＋(y＋2)2＝b2，即有圆心C1为(1，－2)，半径为|b|，圆C2：x2＋y2－2(a－6)x－2ay＋2a2－12a＋27＝0，
即为[x－(a－6)]2＋(y－a)2＝9，即有圆心C2为(a－6，a)，半径为3．
由＝0，即为＝，即有|OA|＝|OB|，
由于C1C2垂直平分AB，即有C1C2经过原点，即为＝，即a＝4．
故选C．]
12．已知点P为圆C1：(x－5)2＋y2＝4上位于第一象限内的点，过点P作圆C2：x2＋y2－2ax＋a2－a＋2＝0(2＜a＜5)的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，直线PM，PN分别交x轴于A(1，0)，B(4，0)两点，则＝________，|MN|＝________．
2 [圆C2的标准方程为(x－a)2＋y2＝a－2(2＜a＜5)，圆心C2(a，0)，
则PC2为∠APB的角平分线，所以＝．
设P(x0，y0)，则＝4，
所以＝＝＝2，则＝2，
即a－1＝2(4－a)，解得a＝3，则C2：(x－3)2＋y2＝1，
所以点N与B(4，0)重合，
此时|C2M|＝1，∠MAC2＝30°，可得M，
所以|MN|＝＝．]
13．在平面直角坐标系中，过点P(3，0)作圆O：(x－1)2＋(y－2)2＝4的两条切线，切点分别为A，B．则直线AB的方程为________．
x－y＋3＝0 [圆O：(x－1)2＋(y－2)2＝4的圆心为O(1，2)，半径为2，以P(3，0)，O(1，2)为直径端点，则PO的中点坐标为N(2，)，|PO|＝＝4，∴以N为圆心，PO为直径的圆的方程为(x－2)2＋(y－)2＝4，∵过点P(3，0)的圆O：(x－1)2＋(y－2)2＝4的两条切线切点分别为A，B，∴AB是两圆的公共弦，将两圆的方程相减可得公共弦AB所在直线的方程为x－y＋3＝0．]
14．已知圆O1的方程为(x－1)2＋y2＝4．
(1)若圆O2与圆O1关于直线x＋y＋2＝0对称，求圆O2的方程；
(2)若O2(3，2)，圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．
[解] (1)由题可得，圆O1的圆心为O1(1，0)，半径r1＝2，
设点O1(1，0)关于直线x＋y＋2＝0对称的点为O2(a，b)，
则解得
所以圆O2的方程为(x＋2)2＋(y＋3)2＝4．
(2)设圆O2的半径为r，
两圆圆心距|O1O2|＝＝2，
因为圆O2与圆O1相交，则|r－2|＜2＜r＋2，所以2－2＜r＜2＋2，
两圆的方程相减，可得两圆公共弦AB所在的直线的方程为4x＋4y＋r2－16＝0，
可得O1到直线AB的距离d＝＝，
由弦长|AB|＝2＝2，可得d2＝2，即＝，可得r2＝4或r2＝20，
所以圆O2的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝4或(x－3)2＋(y－2)2＝20．
15．已知圆C1：x2＋y2－kx＋2y＝0与圆C2：x2＋y2＋ky－4＝0的公共弦所在直线恒过定点P(a，b)，且点P在直线mx－ny－2＝0上，则m2＋n2的取值范围是( )
A．
C．
C [因为圆C1：x2＋y2－kx＋2y＝0与圆C2：x2＋y2＋ky－4＝0的公共弦所在直线为k(x＋y)－4－2y＝0，
由公共弦所在直线过定点可得解得即a＝2，b＝－2．
即直线过定点(2，－2)．
由题意可得P(2，－2)，
所以m＋n＝1，
所以(m＋n)2＝1，
即m2＋n2＋2mn＝1，而2mn≤m2＋n2，当且仅当m＝n＝时等号成立，所以1≤2(m2＋n2)，
可得m2＋n2≥．]
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第二章
直线和圆的方程
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.2 圆与圆的位置关系
[学习目标]
1．了解圆与圆的位置关系．(数学抽象)
2．掌握圆与圆的位置关系的判定方法．(数学运算)
3．能利用圆与圆的位置关系解决有关问题．(逻辑推理、数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．圆与圆之间有怎样的位置关系，如何判定？
问题2．圆与圆相交时，半径、公共弦、圆心距之间有怎样的数量关系？
探究建构 关键能力达成
探究1 两圆位置关系的判断
问题 观察下面这些生活中常见的图形，感受一下圆与圆之间有哪些位置关系？
(1)圆与圆之间有几种位置关系？
(2)能否借助圆的方程来研究圆与圆的位置关系？
[提示] (1)5种．
(2)可以，借助圆的方程可以通过代数法和几何法两种途径．
[新知生成]
1．几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1，r 2的关系 _________ _________ |r1－r2|<________ _________ _________
d>r1＋r2
d＝r1＋r2
r1＋r2
d＝|r1－r2|
d<|r1－r2|
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数 2组 1组 0组
两圆的公共点个数 __个 __个 __个
两圆的位置关系 ____ ____或____ ____或____
2
1
0
相交
外切
内切
外离
内含
【教用·微提醒】 判断两圆的位置关系时，应优先使用几何法，因为利用代数法判断两圆位置关系时，若方程组无解或有一组解时，无法准确判断两圆的位置关系．
[典例讲评] 【链接教材P96例5】
1．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a＞0)，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：
(1)相切？(2)相交？(3)外离？(4)内含？
(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切；
当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．
(2)当3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5时，两圆相交．
(3)当|C1C2|＞5，即a＞5时，两圆外离．
(4)当|C1C2|＜3，即0＜a＜3时，两圆内含．
【教材原题·P96例5】
例5 已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圆C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，试判断圆C1与圆C2的位置关系．
[分析] 思路1：圆C1与圆C2的位置关系由它们有几个公共点确定，而它们有几个公共点又由它们的方程所组成的方程组有几组实数解确定；
思路2：借助图形，可以依据圆心距与两半径的和r1＋r2或两半径的差的绝对值|r1－r2|的大小关系，判断两圆的位置关系．
把上式代入①，并整理，得
x2－2x－3＝0． ④
方程④的根的判别式
Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16＞0，
所以，方程④有两个不相等的实数根x1，x2，把x1，x2分别代入方程③，得到y1，y2．
因此圆C1与圆C2有两个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，这两个圆相交．
发现规律 试总结判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围的步骤．
[提示] (1)将圆的方程化成标准方程，写出圆心和半径．
(2)计算两圆圆心的距离d．
(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可数形结合．
[学以致用] 1．已知圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，则圆C1与C2的位置关系是( )
A．相交 B．外离
C．外切 D．内含
√
2．已知圆M：x2＋y2－2x－3＝0，若圆M与圆C：x2＋y2－2x－6y－a＝0恰有三条公切线，则实数a＝( )
A．9 B．－9
C．8 D．－8
√
探究2 相交弦及圆系方程问题
[典例讲评] 【链接教材P98习题2.5T8】
2．已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0和C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0．
(1)求证：圆C1与圆C2的位置关系是相交；
(2)求公共弦所在直线方程和公共弦长；
(3)求经过点M(1，0)以及圆C1和圆C2交点的圆的方程．
(3)所求圆经过两圆的交点，则可设所求圆的方程为x2＋y2－2x＋10y－24＋λ(x2＋y2＋2x＋2y－8)＝0，其中λ≠－1，
整理得(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋(2λ－2)x＋(10＋2λ)y－24－8λ＝0，
因为圆经过点M(1，0)，代入上述方程，解得λ＝－5．
所以所求圆的方程为x2＋y2＋3x－4＝0．
【教材原题·P98习题2.5T8】
求圆心在直线x－y－4＝0上，并且经过圆x2＋y2＋6x－4＝0与圆x2＋y2＋6y－28＝0的交点的圆的方程．
反思领悟 1．两圆的公共弦问题
(1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0．
(2)公共弦长的求法
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
2．过两圆的交点的圆的方程
已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．
[学以致用] 3．(多选)已知圆C1：(x＋a)2＋(y－2)2＝4与圆C2：(x－2)2＋(y－a)2＝4，则下列结论正确的是( )
A．若圆C1与圆C2外切，则a＝2或a＝－2
B．当a＝1时，圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为y＝3x
C．若圆C1与圆C2关于点(－1，3)对称，则a＝－4
D．当a＝0时，对任意的λ∈R，曲线W：(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2－4λx－4y＝0恒过圆C1与圆C2的交点
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[分析] 我们可以通过建立适当的平面直角坐标系，求得满足条件的动点M的轨迹方程，从而得到点M的轨迹；通过研究它的轨迹方程与圆O方程的关系，判断这个轨迹与圆O的位置关系．
反思领悟 通过直线与圆、圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题．
[学以致用] 4．已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是______________________________________．
(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36
应用迁移 随堂评估自测
1．(教材P98练习T1改编)圆C1：x2＋y2＋2x－4y－4＝0与圆C2：x2＋y2－2x＝0的位置关系是( )
A．外离 B．相切
C．相交 D．内含
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2．圆C：(x－1)2＋y2＝1与圆D：x2＋y2－2x＋8y＋8＝0的公切线的条数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
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4．过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程为________________________．
x2＋y2－3x＋y－1＝0
1．知识链：
2．方法链：几何法、代数法、待定系数法．
3．警示牌：易混淆内切和外切．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．判断两圆的位置关系有哪些方法？
[提示] (1)几何法：利用两圆半径的和或差的绝对值与圆心距作比较，得到两圆的位置关系；
(2)代数法：把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题，转化为方程组的解的组数问题．
2．两圆相切时，圆心距和两圆半径有怎样的关系？
[提示] 圆O1的半径为r1，圆O2的半径为r2，
两圆外切时，|O1O2|＝r1＋r2；
两圆内切时，|O1O2|＝|r1－r2|．
3．两圆相交时，如何求两圆的公共弦长？
[提示] 求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
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一、选择题
1．圆C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝36与圆C2：(x－2)2＋(y＋2)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．外切
C．相交 D．外离
课时分层作业(二十四) 圆与圆的位置关系
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5．(多选)已知圆O：x2＋y2＝1和圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r＞0)，则( )
A．若两圆相交，则r∈(4，6)
B．直线x＝－1可能是两圆的公切线
C．两圆公共弦长的最大值为2
D．两圆公共弦所在的直线方程可以是3x＋4y－11＝0
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二、填空题
6．已知圆M：x2＋y2－2ay＋a2－4＝0与圆N：x2＋y2－4x＋3＝0有4条公切线，则a的取值范围为__________________________．
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15课时分层作业(二十四) 圆与圆的位置关系
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共97分
一、选择题
1．圆C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝36与圆C2：(x－2)2＋(y＋2)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．外切
C．相交 D．外离
2．已知圆O1：(x－a)2＋(y＋1)2＝4与圆O2：(x＋2a)2＋y2＝9有两条公切线，则实数a的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
3．(多选)已知圆O1：x2＋y2＝2与圆O2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0交于M，N两点，则( )
A．两圆半径相同
B．两圆有3条公切线
C．直线MN的方程是4x－2y＋5＝0
D．线段MN的长度是
4．(多选)点P在圆C1：x2＋y2＝1上，点Q在圆C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0上，则( )
A．|PQ|的最小值为2
B．|PQ|的最大值为7
C．两个圆心所在的直线斜率为－
D．两个圆相交弦所在直线的方程为6x－8y－25＝0
5．(多选)已知圆O：x2＋y2＝1和圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r＞0)，则( )
A．若两圆相交，则r∈(4，6)
B．直线x＝－1可能是两圆的公切线
C．两圆公共弦长的最大值为2
D．两圆公共弦所在的直线方程可以是3x＋4y－11＝0
二、填空题
6．已知圆M：x2＋y2－2ay＋a2－4＝0与圆N：x2＋y2－4x＋3＝0有4条公切线，则a的取值范围为________．
7．已知圆O1：x2＋y2－2x＋a＝0与圆O2：x2＋(y－1)2＝1相交于点A，B．
(1)若a＝1，则公共弦所在直线方程为________；
(2)若弦长|AB|＝，则a＝________．
8．已知圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－4x＋4y＋a＝0相交，且它们的公共弦的长为2，则a的值为________．
三、解答题
9．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，判断圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系．
10．(多选)已知圆C1：x2＋y2＋2mx－10y＋m2＝0，圆C2：x2＋y2＋4y－5＝0，则下列说法正确的是( )
A．若点(1，1)在圆C1的内部，则－2＜m＜4
B．若m＝2，则圆C1，C2的公共弦所在的直线方程是4x－14y＋9＝0
C．若圆C1，C2外切，则m＝±
D．过点(3，2)作圆C2的切线l，则l的方程是x＝3或7x－24y＋27＝0
11．已知a，b∈R，圆C1：x2＋y2－2x＋4y－b2＋5＝0与圆C2：x2＋y2－2(a－6)x－2ay＋2a2－12a＋27＝0交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若＝0，则a＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
12．已知点P为圆C1：(x－5)2＋y2＝4上位于第一象限内的点，过点P作圆C2：x2＋y2－2ax＋a2－a＋2＝0(2＜a＜5)的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，直线PM，PN分别交x轴于A(1，0)，B(4，0)两点，则＝________，|MN|＝________．
13．在平面直角坐标系中，过点P(3，0)作圆O：(x－1)2＋(y－2)2＝4的两条切线，切点分别为A，B．则直线AB的方程为________．
14．已知圆O1的方程为(x－1)2＋y2＝4．
(1)若圆O2与圆O1关于直线x＋y＋2＝0对称，求圆O2的方程；
(2)若O2(3，2)，圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．
15．已知圆C1：x2＋y2－kx＋2y＝0与圆C2：x2＋y2＋ky－4＝0的公共弦所在直线恒过定点P(a，b)，且点P在直线mx－ny－2＝0上，则m2＋n2的取值范围是( )
A．
C．2.5.2 圆与圆的位置关系
[学习目标]
1．了解圆与圆的位置关系．(数学抽象)
2．掌握圆与圆的位置关系的判定方法．(数学运算)
3．能利用圆与圆的位置关系解决有关问题．(逻辑推理、数学运算)
探究1 两圆位置关系的判断
问题 观察下面这些生活中常见的图形，感受一下圆与圆之间有哪些位置关系？
(1)圆与圆之间有几种位置关系？
(2)能否借助圆的方程来研究圆与圆的位置关系？
[新知生成]
1．几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1，r 2的关系 ______________ ______________ |r1－r2|2．代数法：设两圆的一般方程为：
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝－4F1>0)，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝－4F2>0)，
联立方程得
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数 2组 1组 0组
两圆的公共点个数 ___________个 ___________个 ___________个
两圆的位置关系 ______________ ____________或____________ ___________或____________
[典例讲评] 【链接教材P96例5】
1．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a＞0)，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：
(1)相切？(2)相交？(3)外离？(4)内含？
[尝试解答]
试总结判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围的步骤．
[学以致用] 1．已知圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，则圆C1与C2的位置关系是( )
A．相交 B．外离
C．外切 D．内含
2．已知圆M：x2＋y2－2x－3＝0，若圆M与圆C：x2＋y2－2x－6y－a＝0恰有三条公切线，则实数a＝( )
A．9 B．－9
C．8 D．－8
探究2 相交弦及圆系方程问题
[典例讲评] 【链接教材P98习题2.5T8】
2．已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0和C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0．
(1)求证：圆C1与圆C2的位置关系是相交；
(2)求公共弦所在直线方程和公共弦长；
(3)求经过点M(1，0)以及圆C1和圆C2交点的圆的方程．
[尝试解答]
1．两圆的公共弦问题
(1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0．
(2)公共弦长的求法
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
2．过两圆的交点的圆的方程
已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．
[学以致用] 3．(多选)已知圆C1：(x＋a)2＋(y－2)2＝4与圆C2：(x－2)2＋(y－a)2＝4，则下列结论正确的是( )
A．若圆C1与圆C2外切，则a＝2或a＝－2
B．当a＝1时，圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为y＝3x
C．若圆C1与圆C2关于点(－1，3)对称，则a＝－4
D．当a＝0时，对任意的λ∈R，曲线W：(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2－4λx－4y＝0恒过圆C1与圆C2的交点
探究3 圆与圆的综合问题
[典例讲评] 3．求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
[尝试解答]
[母题探究] (变条件)求与圆x2＋y2－2x＝0外切，圆心在x轴上，且过点(3，－)的圆的方程．
1．(教材P98练习T1改编)圆C1：x2＋y2＋2x－4y－4＝0与圆C2：x2＋y2－2x＝0的位置关系是( )
A．外离 B．相切
C．相交 D．内含
2．圆C：(x－1)2＋y2＝1与圆D：x2＋y2－2x＋8y＋8＝0的公切线的条数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
3．(教材P98习题2.5T9改编)圆O1：(x－1)2＋(y－1)2＝28与O2：x2＋(y－4)2＝18的公共弦长为( )
A．2 B．2
C．3 D．6
4．过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程为________．
1．知识链：
2．方法链：几何法、代数法、待定系数法．
3．警示牌：易混淆内切和外切．
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