2024/2025学年度第二学期高一年级期终考试
数学参考答案
1．A 2．C 3．A 4．C 5．B 6．D 7．A 8．D
9．BD 10．ACD 11．ACD
12．7 13．3 14．1 ， 13
15. 解：（1）依题意，记“元件的寿命在 [300,.400)内”为事件 A，
则 P(A)
80
0.4 ……………………………………………………………………………………………………………6分
200
（2）记“元件的寿命在 [400,.500) 内”为事件 B，“元件的寿命在 [500,.600]内”为事件C，
“元件的寿命在 400.h 以上”为事件M .
事件 B与C互斥，由互斥事件的概率公式，
P(M ) P(B C) P(B) P(C) 40 30得 0.35 …………………………………………………………12分
200 200
答：元件的寿命在 [300,400)内的概率为 0.4；元件的寿命在 400h以上的概率为 0.35 .……………13分
16. 解：（1） f (x) 2 3 sin x cos x cos 2x 3 sin 2x cos 2x 2sin(2x )…………………………5分
6
由 2x k 1 ,得 x k ，k Z ，
6 2 12
所以 f (x) 1 的对称中心为（ k ，0）k Z .……………………………………………………………10分
2 12
x 0, 2 2x , 7 1（2）由 得，
， sin(2x ) ,1
3 6 6 6 6 2
所以 2sin(2x ) 1,2 ，即函数 f (x)的值域为 1,2 .……………………………………………15分
6
17.（1）证明：连接 AC，交 BD于O，连接OF ，
因为O为菱形 ABCD对角线的交点，所以O为 AC的中点
又因为 F 为 PC的中点，由中位线定理可知OF//PA，
又因为OF 面BDF ,PA 面BDF ,
所以 PA //面BDF .……………………………………………………………………………………………………………4分
（2）证明：在菱形 ABCD中， BAD 60 ，所以 ABD为等边三角形，
又因为 E为 AD的中点，所以 AD BE ,
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因为菱形 ABCD中， AD //BC，所以 BC BE，
同理可得到 BC PE，
又因为 PE BE E， PE,BE 面PEB，
所以 BC 面PBE .……………………………………………………………………………………………………………9分
（3）解：取CD中点H ，连接 FH ， BH .
1
在△ PCD中，由中位线定理可知 FH ∥ PD且 FH PD 1 .
2
则异面直线 PD与 BF 所成角为 FH与BH 所成的锐角或直角. …………………………………………11分
因为△ PAD为正三角形， E为 AD的中点，所以 PE AD .
又因为面PAD 面ABCD ,面PAD 面ABCD AD , PE 面PAD ，
所以 PE 面ABCD，又因为CE 面ABCD，所以 PE EC .
在 ECD中，由余弦定理求出 EC DC2 DE2 2DC DE cos120 7 ,
在 Rt PEC中， PC PE2 CE2 10 . 因为 F为 PC
1 10
中点，所以 BF PC .
2 2
( 10)2 1 ( 3)2
cos BFH 2 10在 BFH 中， FH 1,BH 3，由余弦定理得： ,
10 202 1
2
所以异面直线 PD与 BF 10所成角的余弦值为 .………………………………………………………………15分
20
18. 解：（1） AB 3 AD | AB || AD | cos 2 .……………………………………………………………………………………4分
4
（2）因为 AB AD 1，所以 BAD 120 , ……………………………………………………………………………5分
在 ABD中， BD AB2 AD2 2AB ADcos120 7 .………………………………………………6分
因为四边形 ABCD为圆O的内接四边形，所以 BCD 60 .
在 BCD中， BD2 CB2 CD2 2CB CD cos60 (CB CD)2 3CB CD
即 BD2 (CB CD)2 3 (CB 1 CD)2 (CB CD)2 （当且仅当CB CD时取等号）
4 4
所以CB CD 2 7 ，
所以四边形 ABCD的周长的最大值为 2 7 3 .……………………………………………………………………10分
（3）由 AC 2AB AD得 AC AD DC 2AB，所以 |DC | 2，且 AB //CD，
即 BAD ADC 180 ， BAD BCD 180 ，
所以 BCD ADC ，得到四边形 ABCD为等腰梯形， |BC| 2，
设 BAD ，
在△ ABD中， BD2 AB2 AD2 2AB ADcos 5 4cos ,
在△ BCD中， BD2 BC2 CD2 2CB CDcos( ) 8 8cos ，
所以 cos 1 .
4
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所以 | AC | (2AB AD)2 4 4 1 2 2 2 ( ) 6 . …………………………………………17分
4
19. 解：（1） f (x)与 g(x)是“零点近距函数”. ………………………………………………………………………………………2分
理由：因为 2cos x 1 0， x (0,3)，所以 f (x)的零点是 x1 2 .3
又因为 log3 x 1 0，所以 g(x)的零点是 x2 3 .
于是 x1 x2 =1.故 f (x)与 g(x)是“零点近距函数”. …………………………………………………………4分
（2）证明：当 x 0时，由 f (x) 2x 2 0，得 x 1 .
当 x 0时，由 f (x) x2 x 2 0，得 x 1， x 2 (舍) .
所以 f (x)的零点为 x1 1， x2 1，……………………………………………………………………………………6分
1 充分性
当 a 2时，由 g(x) 4x 2x 2 (2x 2)(2x 1) 0 ，得到 x 0，
所以 g(x)的零点为 x3 0，所以 x1 x3 1， x2 x3 1，
所以 f (x)与 g(x)为“零点近距函数”. …………………………………………………………………………………8分
2 必要性
因为 f (x)与 g(x)为“零点近距函数”，所以 g(x)存在零点，
又因为 g(x)为 R上的增函数，所以 g(x)存在唯一的零点，设为 x0 .
1 x0 1
所以 ，可得 x
1 x 1 0
0 .
0
于是 g(x0 ) g(0) 0，所以 a 2 .……………………………………………………………………………………10分
综上，由①，②得 f (x)与 g(x)是“零点近距函数”的充要条件为 a 2 .
1 a
（3）由 f (x) x 1 ln 2 a 0得 x 1 ln（1 a) ln x 2 a 0 .
x
即 x 1 ln x 2 a ln（1 a) .
令F(x) x 1 ln x，则 F (x) F (1 a)
又因为F (x)在（0， ）为增函数， x 0,1 a 0
所以 x 1 a，即 f (x)存在唯一的零点为1 a .………………………………………………………………13分
令G ( x ) e x x 1 ,G(x)在（ ， ）为增函数，且G(0) 0 .
所以G(x)存在唯一的零点 0.………………………………………………………………………………………………15分
又因为 g ( x ) e x a x 1 a G ( x a ) ，所以 g(x)存在唯一的零点为 a .
由函数 y f x 与函数 y g x 是“零点近距函数”可知， 1 a a 1
即 2a 1 1，又因为1 a 0，所以实数 a的取值范围 0，1 .…………………………………………17分
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数学试卷
注意事项：
1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.
2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.
3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用05毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题
卡上
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的)
1.已知复数z=1+2i,则|z乍
A.5
B.3
C.5
D.1
2.若集合U={-1,2,3,6},N={-1,6},则CwN=
A.{-1,3}
B.{-1,6}
C.{2,3}
D.{26
3.函数f(x)=x3的奇偶性为
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数
4.样本数据5,5,6,7,9的80百分位数为
A.6.5
B.7
C.8
D.9
5.已知m,n是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，则下列命题正确的是
A.若a∥B,m∥a,则m∥B
B.若a∥B,nc,则n∥B
C.若m⊥n,n⊥a,则m∥a
D.若a⊥B，,mca,ncB,则m⊥n
6.设a=g2,b=1g3,则log1210=
C.
1
A.2a+b
B.26+a
D,1
2b+a
2a+b
7.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足c=3,(2a-b)co3C=ccosB,
则△ABC外接圆的半径为
A.3
B,3
C.25
D.6
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8.已知定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足对任意的正数x,y,都有f(x)+f(y)=f(y),
若分+f9)=6,则f202)=
A.12
B.6
C.-6
D.-12
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分)
9.下列选项中，正确的是
A.若两个相等的非零向量的起点相同，则它们的终点可能不同
B.若向量a=i,则ac=ic
C.若向量a,b满足|aHb1,则a=b或a=-
D.若非零向量AB与AC共线，则A,B,C三点共线
10.已知AC为圆锥P0底面圆的直径，母线PA与圆锥底面所成角为二，母线PA,PB互
6
相垂直，PA=2,则
A.圆锥的侧面积为2√3元
B.三棱锥P-ABC的体积为2√2
C.二面角P-AB-0的大小为牙
D.圆锥的外接球体积为兰刀
11.在斜三角形ABC中，cosA=sinB,则
A.角B为钝角
B.sin A=cosB
C.若b=1,则a=anA
D.cosA+cosB+cosC的最大值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.己知数据x，2,…,0的平均数为2，那么数据2x+3,2x2+3,…,2x0+3的平
均数为
13.已知tana=2,则ina+cosc
sina-cosa
14.已知非零向量a,的夹角为，|a4.对于任意的元eR,a+以a-21恒成立，
则1=_，|xa-+1xa-3(x∈R)的最小值为·（第一空2分，第二空3分）
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