贵州省毕节市民族中学2024-2025学年高一下学期6月期末模拟考试数学试卷（含解析）

2025学年毕节市民族中学高一下学期期末模拟考试数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．连续抛掷一枚均匀硬币3次，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（ ）
A．只有2次出现反面 B．至少2次出现正面
C．有2次或3次出现正面 D．有2次或3次出现反面
2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，，则（ ）
A． B．2 C． D．
4．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．托马斯说：“函数是近代数学的思想之花．”根据函数的概念判断：下列对应关系f是集合M＝{－1,1,2}到集合N＝{1,2,4}的函数的是（ ）
A．y＝2x B．y＝x＋1　　　　 C．y＝|x|　　　　 D．y＝x2＋1
6．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
7．某科研团队对某产品的一项新功能进行了8次测试，将不合格、合格、良、优的结果分别用0，1，2，3标记，若8次测试结果中有3次不合格、3次合格、1次良、1次优，则对于标记后的数据，下列结论错误的是（ ）
A．75%分位数为1 B．极差为3 C．平均数为1 D．方差为1
8．已知是方程的两个解，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．复数，则下列说法正确的有（ ）
A． B．的共轭复数
C．的虚部为 D．在复平面内对应的点的坐标在第四象限
10．已知函数，其部分图象如图所示，则下列关于的结论正确的是（ ）
A．
B．在区间上单调递减
C．的图象关于直线对称
D．的图象向右平移个单位长度可以得到函数图象
11．已知四棱锥的高为，底面是边长为的正方形，，则（ ）
A．的面积为定值
B．
C．四棱锥表面积的最小值为
D．若四棱锥存在内切球，则该球半径为
三、填空题（本大题共3小题）
12．记样本、、…、的平均数为，样本、、…、的平均数为（）.若样本、、…、、、、…、的平均数为，则的值为 .
13．某同学的通用技术作品如图所示，该作品由两个相同的正四棱柱制作而成，已知正四棱柱的底面边长为，这两个正四棱柱的公共部分构成的八面体体积为 ．
14．定义：二阶行列式；三阶行列式的某一元素的余子式指的是在中划去所在的行和列后所余下的元素按原来的顺序组成的二阶行列式.现有三阶行列式，若元素1的余子式，则 ；记元素2的余子式为函数，则的单调减区间为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知D是BC上的点，AD平分.
(1)若，，，求的值；
(2)若为锐角三角形，请从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
16．2024年4月25日20时59分，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射成功，实现了两个飞行乘组太空“会师”.下表记录了我国已发射成功的所有神舟飞船的发射时间和飞行时长.
名称 发射时间 飞行时长
神舟一号 1999年11月20日 21小时11分
神舟二号 2001年1月10日 6天18小时22分
神舟三号 2002年3月25日 6天18小时39分
神舟四号 2002年12月30日 6天18小时36分
神舟五号 2003年10月15日 21小时28分
神舟六号 2005年10月12日 4天19小时32分
神舟七号 2008年9月25日 2天20小时30分
神舟八号 2011年11月1日 16天
神舟九号 2012年6月16日 13天
神舟十号 2013年6月11日 15天
神舟十一号 2016年10月17日 32天
神舟十二号 2021年6月17日 3个月
神舟十三号 2021年10月16日 6个月
神舟十四号 2022年6月5日 6个月
神舟十五号 2022年11月29日 6个月
神舟十六号 2023年5月30日 5个月
神舟十七号 2023年10月26日 6个月
神舟十八号 2024年4月25日 预计6个月
为帮助同学们了解我国神舟飞船的发展情况，某学校“航天社团”准备通过绘画、海报、数据统计图表等形式宣传“神舟系列飞船之旅”.
（1）绘画组成员从表中所有的神舟飞船中随机选取1艘进行绘画，求选中的神舟飞船的发射时间恰好是在10月份的概率；
（2）海报组组成员从飞行时长（包括预计飞行时长）大于4个月的神舟飞船中随机选取2艘制作海报；海报组组成员从飞行时长（包括预计飞行时长）小于5天的神舟飞船中随机选取2艘制作海报，两组选择互不影响，求两组选中的两艘神舟飞船的发射时间恰好都在10月或11月份的概率.
17．如图，在直三棱柱中，M N分别为 的中点.
(1)求证：平面；
(2)若，，求证：MN⊥平面.
18．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为200m2的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2m宽的绿化，绿化造价为200元/m2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元m2．
（1）设矩形的长为x（m）将总造价y（元）表示为长度x（m）的函数，并指出定义域；
（2）当x（m）取何值时，总造价最低，并求出最低总造价．
19．已知函数f(x)=x2-(a-2)x+a+1,其中a∈R.
(1)若函数f(x)在(-∞,1]上单调递减,求a的取值范围;
(2)若函数f(x)在[0,1]上的最小值是3,求实数a的值.
参考答案
1．【答案】D
【详解】对立事件是指事件A和事件B必有一件发生，连续抛掷一枚均匀硬币3次，“至少2次出现正面”即有2次或3次出现正面，对立事件为“有2次或3次出现反面”
故选：D
2．【答案】C
【详解】因为，又，
所以.
故选：C
3．【答案】C
【详解】∵，，∴，
∴.
故选C.
4．【答案】A
【详解】依题意，，
所以.
故选：A
5．【答案】C
【详解】根据题意，可知函数的定义域为M＝{－1,1,2}，
对于A选项，由f：x→y＝2x，得函数的值域为E＝{－2,2,4} N，A选项错误；
对于B选项，由f：x→y＝x＋1，得函数的值域为E＝{0,2,3} N，B选项错误；
对于C选项，由f：x→y＝|x|，得函数的值域为E＝{1,2} N，C选项正确；
对于D选项，由f：x→y＝x2＋1，得函数的值域为E＝{2,5} N，D选项错误．
6．【答案】C
【详解】
因为，则，故，
所以，，
故，因此，.
故选：C.
7．【答案】A
【详解】将8次测试结果标记后得到数据0，0，0，1，1，1，2，3，
对于A，因为，所以这组数据的百分位数为，故A错误；
对于B，这组数据的极差为，故B正确；
对于C，平均数为，故C正确；
对于D，方差为，故D正确.
故选A.
8．【答案】B
【详解】设，分别作出两个函数的图象，如图所示：
不妨设，则由图象知，
则，
两式相减得，
因为为减函数，所以，
即0，则.
因为，所以，
可得，
则，即，
因为，所以.
故选.
9．【答案】ABD
【详解】因为，
所以，故A正确；
的共轭复数，故B正确；
的虚部为，故C错误；
在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故D正确.
故选：ABD
10．【答案】AB
【详解】对于A，观察图象，得，周期，则，
又，则，又，于是，
因此，A正确；
对于B，当时，，而正弦函数在上单调递减，
因此在区间上单调递减，B正确；
对于C，，故的图象关于直线不对称，C错误；
对于D，的图象向右平移个单位长度得，故
D错误.
故选AB.
11．【答案】ABD
【详解】对于选项A，因为，所以在底面的射影在直线的垂直平分线上，
过作垂直于，连接，因为面，面，
则，又面，所以面，又面，
则，又底面是边长为的正方形，则，
所以的面积为，故选项A正确，
对于选项B，由选项A易知，则，所以，故选项B正确，
对于选项C，过分别作的垂线，垂足分别为，由选项A知与面积为定值，
易知，，若在正方形内时，
不妨设，则，则，
因为可看成点到点和点的距离之和，
则，
所以，
此时四棱锥表面积的最小值为，
若在正方形外时，不妨设，，
则，
因为可看成点到点和点的距离之和，
则，
所以，
此时四棱锥表面积的最小值为，
综上，四棱锥表面积的最小值为，故选项C错误；
对于选项D，若四棱锥存在内切球，则该球与平面，平面，
平面均相切，过作垂直于，所以的内切圆半径等于该球半径，
又，，设的内切圆半径为，
则，得到，所以选项D正确，

故选ABD.
12．【答案】
【详解】因为样本、、…、的平均数为，可得，
样本、、…、的平均数为，可得，
又因为样本、、…、、、、…、的平均数为
，
且，整理得，即.
故答案为：.
13．【答案】
【详解】公共部分是两个正四棱锥且底面重叠的空间几何体，底面是为边长的正方形，
底面积为，其中一个正四棱锥的高为，
则这两个正四棱柱的公共部分构成的八面体体积为．
故答案为：.
14．【答案】 （或）
【详解】由三阶行列式，
根据题意得元素的余子式，
解得；
元素2的余子式，
则函数，
由解得，则定义域为，
令，
易得，
则当，函数单调递增，又单调递增，
所以由复合函数单调性可知在区间上单调递增；
当，函数单调递减，又单调递增，
所以由复合函数单调性可知在区间上单调递减；
故单调减区间为.
15．【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）依题意可得，
可得，
又因为平分，且，所以，
则，
整理可得.
（2）选条件①
∵，
∴，∴，即，
∵，∴，
在中，由正弦定理得，∴，
在中，由正弦定理得，∴，
∵平分，与互补，
∴
.
∵是锐角三角形，∴，∴，
∴，即的取值范围为.
选条件②
∵，
∴，∴，
∴，∴，
∵，∴，
在中，由正弦定理得，∴，
在中，由正弦定理得，∴，
∵平分，与互补，
∴.
∵是锐角三角形，∴，
∴，∴，
∴的取值范围为.
选条件③
∵，
∴，
由正弦定理得，
∴根据余弦定理得，
∵，∴，
在中，由正弦定理得，∴，
在中，由正弦定理得，∴，
∵平分，与互补，
∴.
∵是锐角三角形，∴，
∴，∴，∴，
∴的取值范围为.
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）记名称为神舟第号飞船为，则“从表中所有的神舟飞船中随机选取1艘”的样本空间为，共18个样本点．
设“神舟飞船的发射时间恰好是在10月份”为事件，则，共5个样本点，
所以．
（2）“组从飞行时长（包括预计飞行时长）大于4个月的神舟飞船中随机选取2艘”的样本空间为，，共15个样本点．
“组从飞行时长（包括预计飞行时长）小于5天的神舟飞船中随机选取2艘”的样本空间为，共6个样本点．
设“组选中的神舟飞船的飞行时长（包括预计飞行时长）大于4个月的神舟飞船中随机选取2艘恰好在10月或11月份”为事件，则，共3个样本点，
所以．
设“组选中的神舟飞船的飞行时长（包括预计飞行时长）小于5天的神舟飞船中随机选取2艘恰好在10月或11月份”为事件，则，共3个样本点，
所以
设“两组选中的两艘神舟飞船的发射时间恰好都在10月或11月份”为事件，
两组选择互不影响，所以事件的概率为．
17．【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
(1)
如图，
连接，，
∵三棱柱是直三棱柱，∴四边形为矩形，
∴过的中点M，在中，由中位线性质得，
又平面，平面，
∴∥平面；
(2)
如图，
连接BN，.
由题得，，
∵，∴.
由题可知是正方形，∴，
∵，∴，
∵，平面，
∴MN⊥平面.
18．【答案】（1），；（2）当时，总造价最低为.
【详解】（1）由矩形的长为（m），则矩形的宽为（m），则中间区域的长为（m），宽为（m），则定义域
整理得：，
（2）当且仅当时取等号，即
所以当时，总造价最低为元.
19．【答案】见解析
【详解】(1)因为f(x)=x2-(a-2)x+a+1在(-∞,1]上单调递减,所以 ≥1,解得a≥4,即a的取值范围是[4,+∞).
(2)因为f(x)=x2-(a-2)x+a+1= + ,
当 ＜0,即a＜2时,函数f(x)在[0,1]上单调递增,所以f(x)min=f(0)=a+1=3,得a=2(舍去);
当0≤ ≤1,即2≤a≤4时,f(x)min=f = =3,解得a=2或a=6(舍去);
当 ＞1,即a＞4时,函数f(x)在[0,1]上单调递减,所以f(x)min=f(1)=4≠3,不符合题意.综上,实数a的值为2.