湖北省部分高中协作体2024-2025学年高一下学期6月期末联考数学试卷（含答案）

湖北省部分高中协作体2024—2025学年下学期期末联考
高一数学试题
本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数f(x)=(1+cos 2x)sin2x是( )
A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数
2.为了得到函数y=sin的图象,只需把函数y=sin 2x图象上所有的点( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
3.给出下列命题,正确的命题为( )
A.向量的长度与向量的长度相等
B.向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反
C.|a|+|b|=|a-b| a与b方向相反
D.若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反,则a+b与a,b之一的方向相同
4.已知|b|=2|a|,若a与b的夹角为120°,则2a-b在b上的投影向量为( )
A.-3b B.-b
C.-b D.3b
5.复数z满足|z+1-i|=|z|,若z在复平面内对应的点为(x,y),则( )
A.x-y+1=0 B.x-y-1=0
C.x+y+1=0 D.x+y-1=0
6.某机床厂工人利用实心的圆锥旧零件改造成一个正四棱柱的新零件,且正四棱柱的中心在圆锥的轴上,下底面在圆锥的底面内。已知该圆锥的底面圆半径为3 cm,高为3 cm,则该正四棱柱体积(单位:cm3)的最大值为( )
A.54(10-7) B.8
C. D.9
7.在正方体ABCD A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为( )
A. B.
C. D.
8.若数据x1,x2,…,xn的平均数为,方差为s2,则4x1-3,4x2-3,…,4xn-3的平均数和标准差分别为
( )
A.,s B.4-3,s
C.4-3,4s D.4-3,
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列四个选项中,化简正确的是( )
A.cos(-15°)=
B.cos 15°cos 105°+sin 15°sin 105°=0
C.cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)=
D.sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74°=
10.已知向量a=(1,2),b=(-4,2),则( )
A.(a-b)⊥(a+b)
B.|a-b|=|a+b|
C.向量b-a在向量a上的投影向量是-a
D.向量a在向量a+b上的投影向量是(-3,4)
11.某校随机抽取了100名学生测量体重。经统计,这些学生的体重数据(单位:kg)全部介于45至70之间,将数据整理得到如图所示的频率分布直方图,则( )
A.频率分布直方图中a的值为0.07
B.这100名学生中体重低于60 kg的人数为60
C.据此可以估计该校学生体重的第78百分位数为62
D.据此可以估计该校学生体重的平均数为62.5
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12.已知sin θ+cos θ=2sin α,sin θcos θ=sin2β,则4cos22α-cos22β= 。
13.已知向量a=(1,2),b=(3,x),a与a+b共线,则|a-b|= 。
14.在三棱锥P ABC中,PB=6,AC=3,G为△PAC的重心,过点G作三棱锥的一个截面,使截面平行于PB和AC,则截面的周长为 。
四、解答题：本题共5小题，共77分
15.（本小题满分15分）
已知向量n=(2,sin α),m=(cos α,-1),其中α∈,且n⊥m。
(1)求sin 2α和cos 2α的值;(7分）
(2)若sin(α-β)=,且β∈,求角β。(8分）
16.（本小题满分15分）
设函数f(x)=sin x,x∈R。
(1)已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数,求θ的值;(7分）
(2)求函数y=的值域。(8分）
17.（本小题满分15分）
已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos A),m·n=sin 2C。
(1)求角C的大小;(7分）
(2)若sin A,sin C,sin B成等差数列,且·()=18,求c。(8分）
18.（本小题满分16分）
如图,在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱BB1,BC,CD,DD1的中点。
(1)求证:E,F,G,H四点共面。记过这四点的平面为α,在图中画出平面α与该正方体各面的交线(不必说明画法和理由);(8分）
(2)求证:A1E,DF,AB三线共点。(8分）
19.（本小题满分16分）
某市在全市高中三个年级开展了一次主题为“不负时代,不负韶华,做好社会主义接班人”的演讲比赛。共1 500名学生参与比赛,现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生,并按成绩(单位:分)分成五组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如下频率分布直方图,且第五组中高三年级的学生占。
(1)求抽取的200名学生的平均成绩(同一组数据用该组区间的中点值为代表);(5分）
(2)若在第五组中,按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人,再从中选取2人组成宣讲组,在校内进行义务宣讲,求这2人都是高三年级学生的概率;(5分）
(3)若比赛成绩x>+s(s为样本数据的标准差),则认为成绩优秀,试估计参赛的1 500名学生中成绩优秀的人数。(6分）
参考公式:s=(fi是第i组的频率)。参考数据:≈5.5。
高一数学试题答案
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分=。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C A B A B D C
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.答案：BCD 10.答案：BC 11.答案：AC
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12.答案：0 13.答案：2 14.答案：8
四、解答题：本题共5小题，共77分
15.（本小题满分15分）
解　(1)因为n=(2,sin α),m=(cos α,-1),且n⊥m,所以2cos α-sin α=0,即sin α=2cos α。
代入sin2α+cos2α=1,得5cos2α=1,因为α∈,所以cos α=,则sin α=。
所以sin 2α=2sin αcos α=2×,cos 2α=2cos2α-1=2×。(7分）
(2)因为α∈,β∈,所以α-β∈。又sin(α-β)=,所以α-β∈,所以cos(α-β)=。故sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=。
因为β∈,所以β=。(8分）
16.（本小题满分15分）
解　(1)因为f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以对任意实数x都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),
即sin xcos θ+cos xsin θ=-sin xcos θ+cos xsin θ,所以2sin xcos θ=0,所以cos θ=0。
又θ∈[0,2π),因此θ=或θ=。(7分）
(2)y=
。
因此,所求函数的值域是。(8分）
17.（本小题满分15分）
解　(1)m·n=sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B),在△ABC中,A+B=π-C,0所以sin(A+B)=sin C,所以m·n=sin C。又m·n=sin 2C,所以sin 2C=sin C,得cos C=。
又因为C∈(0,π),故C=。(7分）
(2)由sin A,sin C,sin B成等差数列,可得2sin C=sin A+sin B,由正弦定理,得2c=a+b。因为·()=18,所以·=18,即abcos C=18,所以ab=36。由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab,所以c2=4c2-3×36,所以c2=36,所以c=6。(8分）
18.（本小题满分16分）
证明　(1)如图①,连接BD,EH,FG。因为E,H分别是棱BB1,DD1的中点,
所以EH∥BD,又F,G分别是棱BC,CD的中点,所以FG∥BD,故EH∥FG,
所以E,F,G,H四点共面。平面α与该正方体各面的交线如图①(多边形EFGHIJ)所示。(8分）
(2)如图②,易知EF∥B1C∥A1D,且EF≠A1D,所以A1E与DF必相交,设交点为P。
又由P∈DF,DF 平面ABCD,得P∈平面ABCD。同理P∈平面A1B1BA。
又因为平面A1B1BA∩平面ABCD=AB,所以P∈AB,所以A1E,DF,AB三线共点。(8分）
　
① ②
19.（本小题满分16分）
解　(1)抽取的200名学生的平均成绩=55×0.11+65×0.2+75×0.34+85×0.28+95×0.07=75(分)。
(5分）
(2)由题意可知,第五组中共有200×0.07=14(人)。其中,高三年级的学生有14×=6(人),高一、高二年级的学生有14×=8(人)。按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人,则在高三年级的学生中抽取3人,高一、高二年级的学生中抽取4人。在这7人中选取2人组成宣讲组,共有=21(种)情况。选取的2人都是高三年级学生有=3(种)情况。所以选取的2人都是高三年级学生的概率为。(5分）
(3)s2=(55-75)2×0.11+(65-75)2×0.2+(75-75)2×0.34+(85-75)2×0.28+(95-75)2×0.07=120,
所以s=≈2×5.5=11。由+s≈86可知,比赛成绩x>86认为成绩优秀,
又1 500×[(90-86)×0.028+10×0.007]=273,所以估计参赛的1 500名学生中成绩优秀的人数为273。(6分）