课时分层作业(二十九) 双曲线及其标准方程的应用
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共102分
一、选择题
1．人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质．从双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点F1．已知双曲线的方程为x2－y2＝1，则当入射光线F2P和反射光线PE(其中P为入射点)互相垂直时，∠F1F2P的余弦值大小为( )
A．
C．
2．已知双曲线C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为C右支上的一点，且|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积等于( )
A．24 B．36
C．48 D．96
3．地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损失．根据Rydelek和Pujol提出的双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点．在一次地震预警中，两地震台A站和B站相距10 km．根据它们收到的信息，可知震中到B站与震中到A站的距离之差为6 km．据此可以判断，震中到地震台B站的距离至少为( )
A．8 km B．6 km
C．4 km D．2 km
4．某农户在自家地块开展生态农家乐，如图所示，建设了三个功能区：△ABC为鱼塘休闲区，矩形BCMN为果园种植区，以CM为直径的半圆为住宿区．现农户欲对果园进行施肥，运来一批肥料放置于点A处，要把这批肥料沿鱼塘两侧的道路AB，AC送到矩形BCMN的果园种植区去，若AB＝CB＝2 km，AC＝1 km，该农户在矩形果园中划定了一条界线，使位于界线一侧的点沿道路AB运送肥料较近，而另一侧的点沿道路AC运送肥料较近，设这条界线是曲线E的一部分，则曲线E为( )
A．圆 B．椭圆
C．抛物线 D．双曲线
5．设双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在C的右支上，且∠MF1F2＝30°，则△MF1F2的面积为( )
A．2 B．
C．2 D．4＋2
二、填空题
6．已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的上、下焦点分别为F1，F2，动点P与点在双曲线上，且满足|PF1|＋|PF2|＝12，|PF1|·|PF2|＝32，则该双曲线的标准方程为________．
7．设F1，F2分别是双曲线C：x2－＝1的左、右焦点，点P在C上且＝0，则△PF1F2面积为________．
8．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且＝0，则||＝________．
三、解答题
9．设F1，F2分别是双曲线＝1的左、右焦点．
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
(2)若P是双曲线左支上一点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．
10．(多选)已知点P在双曲线C：＝1上，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则( )
A．|PF1|－|PF2|＝8
B．|PF1|＋|PF2|＝
C．点P到x轴的距离为4
D．∠F1PF2＝
11．已知双曲线x2－y2＝2的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，点Q(0，2)，则|PQ|＋|PF1|的最小值为( )
A．2 B．4
C．6 D．4
12．从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的黏合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且|AB|＝|BC|＝|CD|＝2，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为________．
13．如图，B地在A地的正东方向6 km处，C地在A地的北偏东60°方向6 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远4 km，则曲线PQ的轨迹方程(以AB中点为原点)是________；现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是________km．
14．某工程队需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处(如图)，|AP|＝100 m，|BP|＝150 m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工．
15．如图，P是双曲线＝1(a＞0，b＞0)上任意一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，当点P，F1，F2不在同一条直线上时，它们构成一个三角形(焦点三角形)．若∠F1PF2＝θ，求证：＝．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第2课时 双曲线及其标准方程的应用
[学习目标]
1．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(逻辑推理、数学运算)
2．了解双曲线在实际生活中的应用．(数学建模、数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．双曲线的定义是什么？
问题2．如何建立实际问题的双曲线模型？
探究1 双曲线的实际生活应用
[典例讲评] 【链接教材P120例2】
1．(源自北师大版教材)相距2 km的两个哨所A，B听到远处传来的炮弹爆炸声，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所迟4 s．已知当时的声速为340 m/s，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程．
[解] 设爆炸点为P，由已知，得
|PA|－|PB|＝340×4＝1 360(m)．
因为|AB|＝2 km＝2 000 m>1 360 m，|PA|>|PB|，所以点P在以点A，B为焦点的双曲线并靠近点B的那一支上．
以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图所示)．
由2a＝1 360，2c＝2 000，得a＝680，c＝1 000，
b2＝c2－a2＝537 600．
因此，点P所在曲线是双曲线的右支，它的方程是＝1(x>0)．
【教材原题·P120例2】
例2 已知A，B两地相距800 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s，且声速为340 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
[分析] 先根据题意判断轨迹的形状．由声速及A，B两处听到炮弹爆炸声的时间差，可知A，B两处与爆炸点的距离的差为定值，所以爆炸点在以A，B为焦点的双曲线上．因为爆炸点离A处比离B处远，所以爆炸点应在靠近B处的双曲线的一支上．
[解] 如图3.2 5，建立平面直角坐标系Oxy，使A，B两点在x轴上，并且原点O与线段AB的中点重合．
设炮弹爆炸点P的坐标为(x，y)，则
|PA|－|PB|＝340×2＝680，
即2a＝680，a＝340．
又|AB|＝800，所以2c＝800，c＝400，b2＝c2－a2＝44 400．
因为|PA|－|PB|＝680＞0，所以点P的轨迹是双曲线的右支，因此x≥340．
所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为＝1(x≥340)．
利用双曲线解决实际问题的基本步骤
(1)建立适当的坐标系．
(2)求出双曲线的标准方程．
(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义)．
[学以致用] 1．某飞船顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，P为航天员着陆点．某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号．已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A处发现P的方位角．
[解] 如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(3，0)，B(－3，0)，C(－5，2)．
∵|PB|＝|PC|，
∴点P在线段BC的垂直平分线上，
又易知kBC＝－，线段BC的中点D(－4，)，
∴直线PD的方程为y－＝(x＋4)，①
又|PB|－|PA|＝4＜6＝|AB|，
∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，
设双曲线方程为＝1(a＞0，b＞0)，则a＝2，c＝3，
∴点P的轨迹方程为＝1(x≥2)，②
联立①②，得P点坐标为(8，5)，
∴kPA＝＝，
因此在A处发现P的方位角为北偏东30°．
探究2 双曲线定义的应用
[典例讲评] 2．已知双曲线＝1的左、右焦点分别是F1，F2．P是双曲线上一点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
[解] 由双曲线的定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，
所以＝|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2＝×64×＝16．
[母题探究] 若将本例中的“∠F1PF2＝60°”改为“|PF1|·|PF2|＝32”，求△F1PF2的面积．
[解] ||PF2|－|PF1||＝2a＝6，两边平方得＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100．
在△F1PF2中，由余弦定理的推论得cos ∠F1PF2
＝＝＝0，∴∠F1PF2＝90°，
＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16．
在解答与焦点三角形(△PF1F2)有关的问题时，一般地，可由双曲线的定义，得|PF1|与|PF2|的关系式，或利用正弦定理、余弦定理，得 |PF1|与|PF2|的关系式，从而求出|PF1|与|PF2|的值．但是，我们一般不直接求解出|PF1|，|PF2|，而是根据需要，把|PF1|＋|PF2|，|PF1|－|PF2|，|PF1|·|PF2|看作一个整体来处理．
[学以致用] 2．(2024·天津卷)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2．P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
C [如图，由题意可知，点P必落在第四象限，∠F1PF2＝90°，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m－n＝2a，
因为△PF1F2是面积为8的直角三角形，所以m2＋n2＝(2c)2＝4c2，mn＝8，
因为直线PF2的斜率为2，所以tan ∠F1F2P＝＝2，所以m＝2n，
联立解得所以2a＝m－n＝2，即a＝，所以4c2＝m2＋n2＝40，即c2＝10，所以b2＝c2－a2＝10－2＝8，所以双曲线的方程为＝1．故选C．]
探究3 利用双曲线的定义求最值
[典例讲评] 3．已知定点A(3，1)，F是双曲线＝1的右焦点，P是双曲线右支上的动点，则|PA|＋|PF|的最小值为( )
A． B．5＋4
C．5－4 D．＋4
C [设F1是双曲线的左焦点，根据双曲线的定义及P是双曲线右支上的动点可得|PF1|－|PF|＝2a，所以|PF|＝|PF1|－2a，所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF1|－2a＝|PA|＋|PF1|－4，结合图形可得|PA|＋|PF1|≥|AF1|＝＝5，当且仅当P，A，F1三点共线时取得等号，所以|PA|＋|PF1|－4≥5－4，所以|PA|＋|PF|的最小值为5－4．
]
在求解与双曲线有关的长度问题时，注意定义的应用，在求距离的和时往往需要利用定义进行转化，注意最值取得的条件，往往在三点共线时取到．
[学以致用] 3．已知A(－4，0)，B是圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝1上的点，点P在双曲线＝1的右支上，则|PA|＋|PB|的最小值为( )
A．9 B．2＋6
C．10 D．12
C [由题知点C(1，4)，点B在圆C上，
则|PB|≥|PC|－r＝|PC|－1，
由点P在双曲线右支上，点A为双曲线左焦点，设A′为双曲线右焦点，
由双曲线定义知|PA|＝|PA′|＋2a＝|PA′|＋6，所以|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|＋6≥|PA′|＋|PC|＋6－1≥|A′C|＋5＝5＋5＝10．]
1．(教材P127习题3.2T9改编)一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s(声速为340 m/s)，则爆炸点的轨迹可能为( )
A．椭圆的一部分 B．双曲线的一支
C．线段 D．圆
B [设爆炸点为P，由声速为340 m/s，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s，
则|PA|－|PB|＝680；当680＜|AB|时，点P的轨迹为双曲线的一支；
当680＝|AB|时，点P的轨迹为一条射线．故选B．]
2．设F1，F2分别是双曲线＝1的上、下焦点，P是该双曲线上的一点，且3|PF1|＝5|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )
A．12 B．24
C．12 D．24
B [由双曲线＝1，得a＝2，b＝2，c＝4，
又3|PF1|＝5|PF2|，且|PF1|－|PF2|＝2a＝4，所以|PF1|＝10，|PF2|＝6，
所以|PF1|2－|PF2|2＝64＝(2c)2＝|F1F2|2，
即△PF1F2为直角三角形，
所以＝|PF2||F1F2|＝×6×8＝24．]
3．已知F1，F2分别为双曲线＝1的左、右焦点，P(3，1)为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则|AP|＋|AF2|的最小值为( )
A．＋4 B．－4
C．－2 ＋2
C [因为|AF1|－|AF2|＝2，所以|AF2|＝|AF1|－2．则|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2，所以要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值．如图，连接F1P交双曲线的右支于点A0．当点A位于点A0处时，|AP|＋|AF1|最小，最小值为|PF1|＝＝．
故|AP|＋|AF2|的最小值为－2．故选C．]
4．双曲线x2－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的点P满足∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝________．
4 [在双曲线x2－y2＝1中，a＝b＝1，c＝，
设点P在右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°
＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|－|PF1|·|PF2|，即4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|，
即|PF1|·|PF2|＝4c2－4a2＝4b2＝4．]
1．知识链：
2．方法链：坐标法、转化法．
3．警示牌：双曲线在实际生活的应用中，建模易出错．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线左支上一点，则|PF1|，|PF2|的最小值分别是多少？
[提示] |PF1|的最小值为c－a，|PF2|的最小值为a＋c．
课时分层作业(二十九) 双曲线及其标准方程的应用
一、选择题
1．人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质．从双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点F1．已知双曲线的方程为x2－y2＝1，则当入射光线F2P和反射光线PE(其中P为入射点)互相垂直时，∠F1F2P的余弦值大小为( )
A．
C．
D [|F1F2|＝2，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m－n＝2，m2＋n2＝(2)2，解得m＝＋1，n＝－1．∴cos ∠F1F2P＝＝．]
2．已知双曲线C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为C右支上的一点，且|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积等于( )
A．24 B．36
C．48 D．96
C [依题意得|PF2|＝|F1F2|＝10，由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a＝6，∴|PF1|＝16．
＝×16×＝48．故选C．]
3．地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损失．根据Rydelek和Pujol提出的双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点．在一次地震预警中，两地震台A站和B站相距10 km．根据它们收到的信息，可知震中到B站与震中到A站的距离之差为6 km．据此可以判断，震中到地震台B站的距离至少为( )
A．8 km B．6 km
C．4 km D．2 km
A [设震中为P，依题意有
|PB|－|PA|＝6<|AB|＝10，
所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线靠近A的一支，
因为|PA|＋|PB|≥|AB|＝10，当且仅当A，P，B三点共线时取等号，
所以|PB|－6＋|PB|≥10，所以|PB|≥8，
所以震中到地震台B站的距离至少为8 km．]
4．某农户在自家地块开展生态农家乐，如图所示，建设了三个功能区：△ABC为鱼塘休闲区，矩形BCMN为果园种植区，以CM为直径的半圆为住宿区．现农户欲对果园进行施肥，运来一批肥料放置于点A处，要把这批肥料沿鱼塘两侧的道路AB，AC送到矩形BCMN的果园种植区去，若AB＝CB＝2 km，AC＝1 km，该农户在矩形果园中划定了一条界线，使位于界线一侧的点沿道路AB运送肥料较近，而另一侧的点沿道路AC运送肥料较近，设这条界线是曲线E的一部分，则曲线E为( )
A．圆 B．椭圆
C．抛物线 D．双曲线
D [由题意，从点A出发经C到界线上一点P，与从A点出发经B到P所走的路程是一样的．
即|AC|＋|PC|＝|AB|＋|PB|，所以|PC|－|PB|＝|AB|－|AC|．
又由|AB|＝|CB|＝2 km，|AC|＝1 km，
所以|PC|－|PB|＝1＜|CB|＝2．
根据双曲线的定义可知曲线E为双曲线的一部分．故选D．]
5．设双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在C的右支上，且∠MF1F2＝30°，则△MF1F2的面积为( )
A．2 B．
C．2 D．4＋2
C [设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
则|F1F2|＝2＝2，
由双曲线的定义可知，m－n＝2，即n＝m－2，
由余弦定理的推论可得，cos 30°＝＝，
∴m2＋12－n2＝6m，∴m2＋12－(m－2)2＝6m，
解得m＝4，∴△MF1F2的面积为×m×2×sin 30°＝2．
故选C．]
二、填空题
6．已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的上、下焦点分别为F1，F2，动点P与点在双曲线上，且满足|PF1|＋|PF2|＝12，|PF1|·|PF2|＝32，则该双曲线的标准方程为________．
＝1 [∵|PF1|＋|PF2|＝12，|PF1|·|PF2|＝32，
∴(|PF1|－|PF2|)2＝(|PF1|＋|PF2|)2－4|PF1|·|PF2|＝16，
即||PF1|－|PF2||＝4，故a＝2，又点在双曲线上，所以＝1，
解得b2＝5，故双曲线的标准方程为＝1．]
7．设F1，F2分别是双曲线C：x2－＝1的左、右焦点，点P在C上且＝0，则△PF1F2面积为________．
3 [由题意得双曲线C中a＝1，b＝，c＝＝2，
则其焦点坐标F1(－2，0)，F2(2，0)，
根据双曲线对称性，不妨假设点P在第一象限，
设||＝m，||＝m＋2，其中m＞c－a＝1，
因为＝0，所以PF1⊥PF2，
根据勾股定理知||2＋||2＝||2，
即m2＋(m＋2)2＝42，解得m＝－1＋(负值舍去)，则||＝＋1，
则△PF1F2面积为||||＝×(＋1)×(－1)＝3．]
8．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且＝0，则||＝________．
2 [由题意，知双曲线两个焦点的坐标分别为F1(－，0)，F2(，0)．
设点P(x，y)，则＝(－－x，－y)，＝(－x，－y)．
∵＝0，
∴x2＋y2－10＝0，即x2＋y2＝10．
∴||＝
＝＝2．]
三、解答题
9．设F1，F2分别是双曲线＝1的左、右焦点．
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
(2)若P是双曲线左支上一点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．
[解] (1)由题意知a＝3，b＝4，c＝5，
设点M到另一个焦点的距离为m，
由双曲线定义可知|m－16|＝2a＝6，解得m＝10或m＝22，
即点M到另一个焦点的距离为10或22．
(2)P是双曲线左支上的点，则|PF2|－|PF1|＝2a＝6，
则|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＋|PF1|2＝36，
将|PF1|·|PF2|＝32代入，
可得|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2×32＝100，
即|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100，
所以△F1PF2为直角三角形，
所以＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16．
10．(多选)已知点P在双曲线C：＝1上，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则( )
A．|PF1|－|PF2|＝8
B．|PF1|＋|PF2|＝
C．点P到x轴的距离为4
D．∠F1PF2＝
BC [由双曲线C：＝1，得a＝4，b＝3，
则c＝＝5，
由双曲线的定义可知，||PF1|－|PF2||＝2a＝8，故A错误；
设点P(xP，yP)，则＝×2c|yP|＝×10×|yP|＝20，
∴|yP|＝4，故C正确；由双曲线的对称性，不妨取点P，
得|PF2|＝＝，由双曲线的定义，得|PF1|＝|PF2|＋2a＝＋8＝，
∴|PF1|＋|PF2|＝＝，故B正确；
由余弦定理的推论得cos ∠F1PF2＝＝≠，
∴∠F1PF2≠，故D错误．故选BC．]
11．已知双曲线x2－y2＝2的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，点Q(0，2)，则|PQ|＋|PF1|的最小值为( )
A．2 B．4
C．6 D．4
D [双曲线方程变形为＝1，则a＝b＝，c＝2，F1(－2，0)，F2(2，0)，点P在双曲线的右支上，
由题意并结合双曲线的定义可得，|PF1|－|PF2|＝2a＝2，所以|PQ|＋|PF1|＝|PQ|＋|PF2|＋2≥|QF2|＋2＝2＋2＝4，
当且仅当Q，P，F2三点共线时等号成立．
所以|PQ|＋|PF1|的最小值为4．
故选D．]
12．从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的黏合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且|AB|＝|BC|＝|CD|＝2，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为________．
x2－＝1 [设所求双曲线的标准方程为＝1，a＞0，b＞0，则根据题意可得a＝1，点在双曲线上，∴＝1，∴b2＝，
∴所求双曲线的方程为x2－＝1．]
13．如图，B地在A地的正东方向6 km处，C地在A地的北偏东60°方向6 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远4 km，则曲线PQ的轨迹方程(以AB中点为原点)是________；现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是________km．
＝1(x≥2) 6－4 [以AB所在的直线为x轴，
AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图，由题意得|MA|－|MB|＝4＜6，根据双曲线的定义知，曲线PQ的轨迹为双曲线的右支，故2a＝4，a＝2，2c＝6，c＝3，b＝，所以曲线PQ的轨迹方程为＝1(x≥2)．由题意知A(－3，0)，C(6，3)，因为|AC|＝6，所以|MB|＋|MC|＝|MC|＋|MA|－2a≥|AC|－4＝6－4，当且仅当A，M，C三点共线时等号成立．所以这两条公路MB，MC的路程之和最短为(6－4) km．]
14．某工程队需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处(如图)，|AP|＝100 m，|BP|＝150 m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工．
[解] 如图，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．
设点M沿AP，BP到点P的路程相等，则|MA|＋|AP|＝|MB|＋|BP|，
即|MA|－|MB|＝|BP|－|AP|＝150－100＝50，这说明点M的轨迹是以A，B为焦点的双曲线右支上的一段，且a＝25．
在△APB中，|AB|2＝|AP|2＋|BP|2－2|AP|·|BP|cos 60°＝17 500，即|AB|＝50，
从而c2＝＝4 375，b2＝3 750，所以点M所在曲线的方程为＝1(x≥25)，
即在运土时，以点M的轨迹为分界线，将此分界线左侧的土沿道路AP运到P处，右侧的土沿道路BP运到P处最省工．
15．如图，P是双曲线＝1(a＞0，b＞0)上任意一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，当点P，F1，F2不在同一条直线上时，它们构成一个三角形(焦点三角形)．若∠F1PF2＝θ，求证：＝．
[证明] 在△PF1F2中，因为∠F1PF2＝θ，则由双曲线的定义及余弦定理得，
||PF1|－|PF2||＝2a |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a2，①
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos θ＝|F1F2|2＝4c2，②
由②－①得2|PF1|·|PF2|·(1－cos θ)＝4c2－4a2，则|PF1|·|PF2|＝．
又＝|PF1|·|PF2|·sin θ，
从而＝b2·＝．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(二十九)
1．D [|F1F2|＝2，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m－n＝2，m2＋n2＝(2)2，解得m＝＋1，n＝－1．∴cos∠F1F2P＝．]
2．C [依题意得|PF2|＝|F1F2|＝10，由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a＝6，∴|PF1|＝16．
∴×16×＝48．故选C．]
3．A [设震中为P，依题意有|PB|－|PA|＝6<|AB|＝10，
所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线靠近A的一支，
因为|PA|＋|PB|≥|AB|＝10，当且仅当A，P，B三点共线时取等号，
所以|PB|－6＋|PB|≥10，所以|PB|≥8，
所以震中到地震台B站的距离至少为8 km．]
4．D [由题意，从点A出发经C到界线上一点P，与从A点出发经B到P所走的路程是一样的．
即|AC|＋|PC|＝|AB|＋|PB|，所以|PC|－|PB|＝|AB|－|AC|．
又由|AB|＝|CB|＝2 km，|AC|＝1 km，
所以|PC|－|PB|＝1<|CB|＝2．
根据双曲线的定义可知曲线E为双曲线的一部分．故选D．]
5．C [设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
则|F1F2|＝2，
由双曲线的定义可知，m－n＝2，即n＝m－2，
由余弦定理的推论可得，cos 30°＝，
∴m2＋12－n2＝6m，∴m2＋12－(m－2)2＝6m，
解得m＝4，∴△MF1F2的面积为×m×2×sin 30°＝2．
故选C．]
6．＝1 [∵|PF1|＋|PF2|＝12，|PF1|·|PF2|＝32，
∴(|PF1|－|PF2|)2＝(|PF1|＋|PF2|)2－4|PF1|·|PF2|＝16，
即||PF1|－|PF2||＝4，故a＝2，又点在双曲线上，所以＝1，解得b2＝5，故双曲线的标准方程为＝1．]
7．3 [由题意得双曲线C中a＝1，b＝，c＝＝2，
则其焦点坐标F1(－2，0)，F2(2，0)，
根据双曲线对称性，不妨假设点P在第一象限，
设||＝m，||＝m＋2，其中m>c－a＝1，
因为·＝0，所以PF1⊥PF2，
根据勾股定理知||2，
即m2＋(m＋2)2＝42，解得m＝－1＋(负值舍去)，则|＋1，
则△PF1F2面积为×(＋1)(－1)＝3．]
8．2 [由题意，知双曲线两个焦点的坐标分别为F1(－，0)，F2(，0)．
设点P(x，y)，则＝(－－x，－y)，＝(－x，－y)．
∵·＝0，∴x2＋y2－10＝0，即x2＋y2＝10．
∴|
＝．]
9．解：(1)由题意知a＝3，b＝4，c＝5，
设点M到另一个焦点的距离为m，
由双曲线定义可知|m－16|＝2a＝6，解得m＝10或m＝22，
即点M到另一个焦点的距离为10或22．
(2)P是双曲线左支上的点，则|PF2|－|PF1|＝2a＝6，
则|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＋|PF1|2＝36，
将|PF1|·|PF2|＝32代入，
可得|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2×32＝100，
即|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100，
所以△F1PF2为直角三角形，
所以|PF1|·|PF2|＝×32＝16．
10．BC [由双曲线C：＝1，得a＝4，b＝3，
则c＝＝5，
由双曲线的定义可知，||PF1|－|PF2||＝2a＝8，故A错误；
设点P(xP，yP)，则×2c|yP|＝×10×|yP|＝20，
∴|yP|＝4，故C正确；由双曲线的对称性，不妨取点P，
得|PF2|＝，由双曲线的定义，得|PF1|＝|PF2|＋2a＝，∴|PF1|＋|PF2|＝，故B正确；
由余弦定理的推论得cos∠F1PF2＝≠，∴∠F1PF2≠，故D错误．故选BC．]
11．D [双曲线方程变形为＝1，则a＝b＝，c＝2，F1(－2，0)，F2(2，0)，点P在双曲线的右支上，
由题意并结合双曲线的定义可得，|PF1|－|PF2|＝2a＝2，所以|PQ|＋|PF1|＝|PQ|＋|PF2|＋2≥|QF2|＋2，
当且仅当Q，P，F2三点共线时等号成立．
所以|PQ|＋|PF1|的最小值为4．故选D．]
12．x2－＝1 [设所求双曲线的标准方程为＝1，a>0，b>0，则根据题意可得a＝1，点在双曲线上，∴＝1，∴b2＝，∴所求双曲线的方程为x2－＝1．]
13．＝1(x≥2) 6－4 [以AB所在的直线为x轴，
AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图，由题意得|MA|－|MB|＝4<6，根据双曲线的定义知，曲线PQ的轨迹为双曲线的右支，故2a＝4，a＝2，2c＝6，c＝3，b＝，所以曲线PQ的轨迹方程为＝1(x≥2)．由题意知A(－3，0)，C(6，3)，因为|AC|＝6，所以|MB|＋|MC|＝|MC|＋|MA|－2a≥|AC|－4＝6－4，当且仅当A，M，C三点共线时等号成立．所以这两条公路MB，MC的路程之和最短为(6－4) km．]
14．解：如图，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．
设点M沿AP，BP到点P的路程相等，
则|MA|＋|AP|＝|MB|＋|BP|，
即|MA|－|MB|＝|BP|－|AP|＝150－100＝50，这说明点M的轨迹是以A，B为焦点的双曲线右支上的一段，且a＝25．
在△APB中，|AB|2＝|AP|2＋|BP|2－2|AP|·|BP|cos 60°＝17 500，即|AB|＝50，
从而c2＝＝4 375，b2＝3 750，
所以点M所在曲线的方程为＝1(x≥25)，
即在运土时，以点M的轨迹为分界线，将此分界线左侧的土沿道路AP运到P处，右侧的土沿道路BP运到P处最省工．
15．证明：在△PF1F2中，因为∠F1PF2＝θ，则由双曲线的定义及余弦定理得，
||PF1|－|PF2||＝2a |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a2，①
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos θ＝|F1F2|2＝4c2，②
由②－①得2|PF1|·|PF2|·(1－cos θ)＝4c2－4a2，
则|PF1|·|PF2|＝．
又|PF1|·|PF2|·sin θ，
从而＝b2·．
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第2课时 双曲线及其标准方程的应用
第三章
圆锥曲线的方程
3.2 双曲线
3.2.1 双曲线及其标准方程
[学习目标]
1．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(逻辑推理、数学运算)
2．了解双曲线在实际生活中的应用．(数学建模、数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．双曲线的定义是什么？
问题2．如何建立实际问题的双曲线模型？
探究建构 关键能力达成
探究1 双曲线的实际生活应用
[典例讲评] 【链接教材P120例2】
1．(源自北师大版教材)相距2 km的两个哨所A，B听到远处传来的炮弹爆炸声，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所迟4 s．已知当时的声速为340 m/s，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程．
[解] 设爆炸点为P，由已知，得
|PA|－|PB|＝340×4＝1 360(m)．
因为|AB|＝2 km＝2 000 m>1 360 m，|PA|>|PB|，所以点P在以点A，B为焦点的双曲线并靠近点B的那一支上．
以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图所示)．
【教材原题·P120例2】
例2 已知A，B两地相距800 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚
2 s，且声速为340 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
[分析] 先根据题意判断轨迹的形状．由声速及A，B两处听到炮弹爆炸声的时间差，可知A，B两处与爆炸点的距离的差为定值，所以爆炸点在以A，B为焦点的双曲线上．因为爆炸点离A处比离B处远，所以爆炸点应在靠近B处的双曲线的一支上．
反思领悟 利用双曲线解决实际问题的基本步骤
(1)建立适当的坐标系．
(2)求出双曲线的标准方程．
(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义)．
[学以致用] 1．某飞船顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，P为航天员着陆点．某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号．已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A处发现P的方位角．
[母题探究] 若将本例中的“∠F1PF2＝60°”改为“|PF1|·|PF2|＝32”，求△F1PF2的面积．
反思领悟 在解答与焦点三角形(△PF1F2)有关的问题时，一般地，可由双曲线的定义，得|PF1|与|PF2|的关系式，或利用正弦定理、余弦定理，得 |PF1|与|PF2|的关系式，从而求出|PF1|与|PF2|的值．但是，我们一般不直接求解出|PF1|，|PF2|，而是根据需要，把|PF1|＋|PF2|，|PF1|－|PF2|，|PF1|·|PF2|看作一个整体来处理．
√
√
反思领悟 在求解与双曲线有关的长度问题时，注意定义的应用，在求距离的和时往往需要利用定义进行转化，注意最值取得的条件，往往在三点共线时取到．
√
C [由题知点C(1，4)，点B在圆C上，
则|PB|≥|PC|－r＝|PC|－1，
由点P在双曲线右支上，点A为双曲线左
焦点，设A′为双曲线右焦点，
由双曲线定义知|PA|＝|PA′|＋2a＝|PA′|＋6，所以|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|＋6≥|PA′|＋|PC|＋6－1≥|A′C|＋5＝5＋5＝10．]
应用迁移 随堂评估自测
1．(教材P127习题3.2T9改编)一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s(声速为340 m/s)，则爆炸点的轨迹可能为( )
A．椭圆的一部分 B．双曲线的一支
C．线段 D．圆
√
B [设爆炸点为P，由声速为340 m/s，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s，
则|PA|－|PB|＝680；当680＜|AB|时，点P的轨迹为双曲线的一支；
当680＝|AB|时，点P的轨迹为一条射线．故选B．]
√
√
4．双曲线x2－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的点P满足∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝________．
4
1．知识链：
2．方法链：坐标法、转化法．
3．警示牌：双曲线在实际生活的应用中，建模易出错．
[提示] |PF1|的最小值为c－a，|PF2|的最小值为a＋c．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
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课时分层作业(二十九) 双曲线及其标准方程的应用
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3．地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损失．根据Rydelek和Pujol提出的双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点．在一次地震预警中，两地震台A站和B站相距10 km．根据它们收到的信息，可知震中到B站与震中到A站的距离之差为6 km．据此可以判断，震中到地震台B站的距离至少为( )
A．8 km B．6 km
C．4 km D．2 km
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A [设震中为P，依题意有
|PB|－|PA|＝6<|AB|＝10，
所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线靠近A的一支，
因为|PA|＋|PB|≥|AB|＝10，当且仅当A，P，B三点共线时取等号，
所以|PB|－6＋|PB|≥10，所以|PB|≥8，
所以震中到地震台B站的距离至少为8 km．]
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4．某农户在自家地块开展生态农家乐，如图所示，建设了三个功能区：△ABC为鱼塘休闲区，矩形BCMN为果园种植区，以CM为直径的半圆为住宿区．现农户欲对果园进行施肥，运来一批肥料放置于点A处，要把这批肥料沿鱼塘两侧的道路AB，AC送到矩形BCMN的果园种植区去，若AB＝CB＝2 km，AC＝
1 km，该农户在矩形果园中划定了一条界线，使位于界线一侧的点沿道路AB运送肥料较近，而另一侧的点沿道路AC运送肥料较近，设这条界线是曲线E的一部分，则曲线E为( )
A．圆 B．椭圆
C．抛物线 D．双曲线
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D [由题意，从点A出发经C到界线上一点P，与从A点出发经B到P所走的路程是一样的．
即|AC|＋|PC|＝|AB|＋|PB|，所以|PC|－|PB|＝|AB|－|AC|．
又由|AB|＝|CB|＝2 km，|AC|＝1 km，
所以|PC|－|PB|＝1＜|CB|＝2．
根据双曲线的定义可知曲线E为双曲线的一部分．故选D．]
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[解] (1)由题意知a＝3，b＝4，c＝5，
设点M到另一个焦点的距离为m，
由双曲线定义可知|m－16|＝2a＝6，解得m＝10或m＝22，
即点M到另一个焦点的距离为10或22．
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12．从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的黏合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且|AB|＝|BC|＝|CD|＝2，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为____________．
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14．某工程队需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处(如图)，|AP|＝100 m，|BP|＝150 m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工．
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15第2课时 双曲线及其标准方程的应用
[学习目标]
1．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(逻辑推理、数学运算)
2．了解双曲线在实际生活中的应用．(数学建模、数学运算)
探究1 双曲线的实际生活应用
[典例讲评] 【链接教材P120例2】
1．(源自北师大版教材)相距2 km的两个哨所A，B听到远处传来的炮弹爆炸声，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所迟4 s．已知当时的声速为340 m/s，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程．
[尝试解答]
利用双曲线解决实际问题的基本步骤
(1)建立适当的坐标系．
(2)求出双曲线的标准方程．
(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义)．
[学以致用] 1．某飞船顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，P为航天员着陆点．某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号．已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A处发现P的方位角．
探究2 双曲线定义的应用
[典例讲评] 2．已知双曲线＝1的左、右焦点分别是F1，F2．P是双曲线上一点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
[尝试解答]
[母题探究] 若将本例中的“∠F1PF2＝60°”改为“|PF1|·|PF2|＝32”，求△F1PF2的面积．
在解答与焦点三角形(△PF1F2)有关的问题时，一般地，可由双曲线的定义，得|PF1|与|PF2|的关系式，或利用正弦定理、余弦定理，得 |PF1|与|PF2|的关系式，从而求出|PF1|与|PF2|的值．但是，我们一般不直接求解出|PF1|，|PF2|，而是根据需要，把|PF1|＋|PF2|，|PF1|－|PF2|，|PF1|·|PF2|看作一个整体来处理．
[学以致用] 2．(2024·天津卷)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2．P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
探究3 利用双曲线的定义求最值
[典例讲评] 3．已知定点A(3，1)，F是双曲线＝1的右焦点，P是双曲线右支上的动点，则|PA|＋|PF|的最小值为( )
A． B．5＋4
C．5－4 D．＋4
在求解与双曲线有关的长度问题时，注意定义的应用，在求距离的和时往往需要利用定义进行转化，注意最值取得的条件，往往在三点共线时取到．
[学以致用] 3．已知A(－4，0)，B是圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝1上的点，点P在双曲线＝1的右支上，则|PA|＋|PB|的最小值为( )
A．9 B．2＋6
C．10 D．12
1．(教材P127习题3.2T9改编)一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s(声速为340 m/s)，则爆炸点的轨迹可能为( )
A．椭圆的一部分 B．双曲线的一支
C．线段 D．圆
2．设F1，F2分别是双曲线＝1的上、下焦点，P是该双曲线上的一点，且3|PF1|＝5|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )
A．12 B．24
C．12 D．24
3．已知F1，F2分别为双曲线＝1的左、右焦点，P(3，1)为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则|AP|＋|AF2|的最小值为( )
A．＋4 B．－4
C．－2 ＋2
4．双曲线x2－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的点P满足∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝________．
1．知识链：
2．方法链：坐标法、转化法．
3．警示牌：双曲线在实际生活的应用中，建模易出错．
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