3.1.2 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质
[学习目标]
1．掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质．(数学抽象)
2．能利用椭圆的简单几何性质求标准方程．(数学运算)
3．能运用椭圆的简单几何性质分析和解决问题．(逻辑推理)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．椭圆的几何性质有哪些？
问题2．观察不同的椭圆，其扁平程度各不相同，如何刻画椭圆的扁平程度呢？
探究1 椭圆的几何性质
问题1 观察椭圆＝1(a＞b＞0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上有哪些特殊点？坐标是什么？
[提示] 范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴、y轴，对称中心为原点；特殊点：顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)．
[新知生成]
1．椭圆的几何性质：范围、顶点、焦点、对称性．
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准 方程 ＝1(a＞b＞0) (a>b>0)
范围 －a≤x≤a且 －b≤y≤b －b≤x≤b且 －a≤y≤a
对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长 短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
a，b，c的关系 c2＝a2－b2
2．椭圆的离心率
(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比．
(2)记法：e＝∈(0，1)．
【教用·微提醒】 (1)椭圆的焦点一定在它的长轴上．
(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点．
(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c．
[典例讲评] 1．(源自北师大版教材)求椭圆9x2＋25y2＝225的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．
[解] 将已知方程化为椭圆的标准方程为＝1，
则a＝5，b＝3，c＝＝4．因此，椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝10，2b＝6．
离心率是e＝＝．
两个焦点分别是F1(－4，0)，F2(4，0)．
椭圆的四个顶点分别是 A1(－5，0)，A2(5，0)，B1(0，－3)，B2(0，3)．
将方程变形为y＝±，
由y＝，在0≤x≤5的范围内计算出一些点的坐标(x，y)，如表(y的值精确到0.1)．
x 0 1 2 3 4 5
y 3.0 2.9 2.7 2.4 1.8 0
先用描点法画出椭圆在第一象限内的图形，再利用对称性画出整个椭圆(如图所示)．
试总结根据椭圆方程研究其几何性质的步骤．
[提示] (1)将椭圆方程化为标准形式．
(2)确定焦点位置(焦点位置不确定的要分类讨论)．
(3)求出a，b，c．
(4)写出椭圆的几何性质．
[学以致用] 【链接教材P112例4】
1．已知椭圆C1：＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其范围、对称性、顶点、焦点、焦距、离心率．
[解] (1)由椭圆C1：＝1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8，
焦点坐标为(6，0)，(－6，0)，离心率e＝．
(2)椭圆C2：＝1．
①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：对称轴为x轴、y轴；对称中心为原点；③顶点：长轴端点为(0，10)，(0，－10)，短轴端点为(－8，0)，(8，0)；④焦点：(0，6)，(0，－6)，焦距为12；⑤离心率：e＝．
【教材原题·P112例4】
例4 求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
[解] 把原方程化成标准方程，得＝1，
于是a＝5，b＝4，c＝＝3．
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a＝10和2b＝8，离心率e＝＝，两个焦点坐标分别是F1(－3，0)和F2(3，0)，四个顶点坐标分别是A1(－5，0)，A2(5，0)，B1(0，－4)和B2(0，4)．
探究2 由椭圆的几何性质求标准方程
[典例讲评] 2．(1)焦点在y轴上，且长轴长与短轴长之比为2∶1，焦距为2的椭圆方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＋y2＝1 D．＋x2＝1
(2)已知椭圆C过点(3，0)，且离心率为，则椭圆C的标准方程为( )
A．＝1
B．＝1
C．＝1或＝1
D．＝1或＝1
(1)D (2)D [(1)∵焦距为2c＝2，∴c＝，
∵长轴长与短轴长之比为2∶1，
∴2a∶2b＝2∶1，即a＝2b，
且a2＝b2＋c2＝b2＋3，联立解得a＝2，b＝1，
∵焦点在y轴上，∴椭圆方程为＋x2＝1．
故选D．
(2)若焦点在x轴上，则a＝3．由e＝＝，得c＝，所以b2＝a2－c2＝3，此时椭圆C的标准方程为＝1．
若焦点在y轴上，则b＝3．由e＝＝＝＝，得a2＝27，
此时椭圆C的标准方程为＝1．
综上所述，椭圆C的标准方程为＝1或＝1．故选D．]
1．利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
(1)确定焦点位置．
(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)．
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等．
2．在椭圆的简单几何性质中，长轴长、短轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件确定的椭圆的标准方程可能有两个．
[学以致用] 2．求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，c＝6，e＝；
(2)短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3．
[解] (1)由c＝6，e＝，知a＝9，b2＝81－36＝45．又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＝1．
(2)由题意知，a＝5，c＝3，b2＝25－9＝16，焦点所在坐标轴可能是x轴，也可能是y轴，故椭圆的标准方程为＝1或＝1．
探究3 求椭圆的离心率
问题2 观察下图，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用离心率来刻画它吗？
[提示] 利用离心率e＝来刻画椭圆的扁平程度．
如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝，记e＝，则0＜e＜1，e越大，∠BF2O越小，椭圆越扁平；e越小，∠BF2O越大，椭圆越接近于圆．
[新知生成]
【教用·微提醒】 e＝＝．e越接近1，椭圆越扁平；e越接近0，椭圆越接近于圆．(可以结合数字的特点来帮助记忆，“1”很扁平，“0”很圆)
[典例讲评] 3．(2022·全国甲卷)椭圆C：＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为( )
A．
C．
A [已知A(－a，0)，设P(x0，y0)，则Q(－x0，y0)，x0≠±a，kAP＝，kAQ＝，
故kAP·kAQ＝＝，①
＝1，即＝，②
将②代入①整理得＝．
∴e＝＝＝．故选A．]
[母题探究] 本例中，“若直线AP，AQ的斜率之积为”改为“若直线AP，AQ的斜率之积不小于”，求C的离心率的取值范围．
[解] 已知A(－a，0)，设P(x0，y0)，则Q(－x0，y0)，显然，|x0|≠a，
kAP＝，kAQ＝，故kAP·kAQ＝．
>0， ①
＝＝， ②
由①②知，
∴e＝＝．
又e>0，∴离心率的取值范围为．
【教用·备选题】 已知F1，F2分别是椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N，若＝3，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
A [不妨设M在第一象限，由题意，M的横坐标为c，
令＝1，解得y＝，即M，
设N(x，y)，又F1(－c，0)，＝(x＋c，y)，＝，
由＝3可得：解得
又N(x，y)在椭圆上，即＝1＝，整理得＝，解得e＝．故选A．]
求椭圆离心率及其取值范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．
(2)方程法或不等式法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．
[学以致用] 3．开普勒定律揭示了行星环绕太阳运动的规律，其第一定律指出所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．已知某行星在绕太阳运动的过程中，轨道的近日点(距离太阳最近的点)距太阳中心1.47亿千米，远日点(距离太阳最远的点)距太阳中心1.52亿千米，则该行星运动轨迹的离心率为( )
A．
C．
B [设椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，a＞c＞0．
由题意知解得
则该行星运行轨迹的离心率e＝＝＝．
故选B．]
1．若将一个椭圆绕其中心旋转90°，所得椭圆短轴的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”．下列椭圆中是“对偶椭圆”的是( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
A [因为旋转后椭圆短轴的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，即2b＝2c，即b＝c．
A中，a2＝8，b2＝4，所以c2＝a2－b2＝4，
故b＝c，所以A正确；
B中，a2＝5，b2＝3，所以c2＝a2－b2＝2≠3，所以B不正确；
C中，a2＝6，b2＝2，所以c2＝a2－b2＝4≠2，所以C不正确；
D中，a2＝9，b2＝6，所以c2＝a2－b2＝3≠6，所以D不正确．故选A．]
2．若椭圆＝1的离心率为，则m＝( )
A．1 B．4
C．1或4 D．以上都不对
C [椭圆＝1的离心率为，
当焦点在x轴上时，e＝＝，解得m＝1；
当焦点在y轴上时，e＝＝，解得m＝4．
故选C．]
3．椭圆＝1(a＞b＞0)中，点F2为椭圆的右焦点，点A为椭圆的左顶点，点B为椭圆的短轴上的顶点，若⊥，则此椭圆称为“黄金椭圆”，“黄金椭圆”的离心率为( )
A．
C．
B [设c为椭圆的半焦距，由题意可得A(－a，0)，F2(c，0)，由对称性可设B(0，b)，则＝(－c，b)，＝(a，b)．
因为⊥，所以＝－ac＋b2＝0，所以a2－c2－ac＝0，即e2＋e－1＝0，
解得e＝或e＝(舍去)．故选B．]
4．(教材P112练习T3(1)改编)焦点在x轴上的椭圆C，长轴长为10，离心率为，则椭圆C的标准方程为________．
＝1 [设椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)，
由题意得，2a＝10，∴a＝5，e＝＝，∴c＝3，∴b2＝a2－c2＝25－9＝16，
∴椭圆C的标准方程为＝1．]
1．知识链：
2．方法链：待定系数法、方程法、分类讨论法．
3．警示牌：(1)忽略离心率的取值范围(0，1)．
(2)把椭圆的长轴长误写作a．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．试总结根据椭圆的标准方程研究其几何性质的步骤．
[提示] (1)化标准，把椭圆方程化成标准形式；
(2)定位置，根据标准方程中x2，y2对应分母的大小来确定焦点位置；
(3)求参数，写出a，b的值，并求出c的值；
(4)写性质，按要求写出椭圆的简单几何性质．
2．试总结根据椭圆的几何性质求其标准方程的思路．
[提示] 已知椭圆的几何性质，求其标准方程主要采用待定系数法，解题步骤为：
(1)确定焦点所在的位置，以确定椭圆标准方程的形式；
(2)确立关于a，b，c的方程(组)，求出参数a，b，c；
(3)写出标准方程．
3．试总结求椭圆离心率及其取值范围的方法．
[提示] (1)若已知a，c的值或关系，则可直接利用e＝求解；
(2)若已知a，b的值或关系，则可利用e＝＝求解；
(3)若已知a，b，c的关系，则可转化为关于a，c的方程或不等式，进而得到关于e的方程或不等式进行求解．
课时分层作业(二十六) 椭圆的简单几何性质
一、选择题
1．(多选)已知椭圆C：＝1，则下列说法中正确的是( )
A．椭圆C的焦点在x轴上
B．椭圆C的长轴长是2
C．椭圆C的焦距为4
D．椭圆C的离心率为
ABD [设椭圆C的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，
因为椭圆C的方程为＝1，
所以椭圆C的焦点在x轴上，A正确，且a＝，b＝2，c＝＝，
所以椭圆C的长轴长为2，B正确，椭圆C的焦距为2，C错误；椭圆C的离心率e＝＝＝，D正确．故选ABD．]
2．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的面积为6π，两个焦点分别为F1，F2，直线y＝kx与椭圆C交于A，B两点，若四边形AF1BF2的周长为12，则椭圆C的短半轴长为( )
A．4 B．3
C．2 D．6
C [依题意，ab＝6，由椭圆的对称性得，线段AB，F1F2互相平分于原点，
则四边形AF1BF2为平行四边形，
由椭圆的定义得4a＝2(|AF1|＋|AF2|)＝12，解得a＝3，
所以椭圆C的短半轴长b＝2．
故选C．]
3．已知A为椭圆C：＋x2＝1的右顶点，P为C上一点，则|PA|的最大值为( )
A． B．2
C．3 D．
A [由题意得A(1，0)，设P(x1，y1)，x1∈[－1，1]，则＝，x1∈[－1，1]，
所以|PA|＝＝＝，
当x1＝－时，|PA|取得最大值，最大值为．故选A．]
4．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若＝－2，则椭圆C的方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
B [由离心率e＝＝＝，解得＝，即b2＝a2，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为上顶点，则A1(－a，0)，A2(a，0)，B(0，b)，
于是＝(－a，－b)，＝(a，－b)，而＝－2，
即－a2＋b2＝－2，又b2＝a2，解得a2＝8，b2＝6，
所以椭圆的方程为＝1．故选B．]
5．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，短轴的右端点为B，M(1，0)为线段OB的中点，则椭圆C的标准方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
B [因为M(1，0)为线段OB的中点，且B(b，0)，所以b＝2，又椭圆C的离心率e＝，所以＝＝＝，所以a＝2，所以椭圆C的标准方程为＝1．
]
二、填空题
6．椭圆＝1的长轴长为________．
8 [因为椭圆的标准方程为＝1，所以a2＝16，所以a＝4，
所以椭圆的长轴长为2a＝8．]
7．在平面直角坐标系Oxy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为．过F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的标准方程为________．
＝1 [因为△ABF2的周长为16，所以4a＝16，即a＝4，
又离心率为，所以＝＝，所以c＝2，
所以b＝＝＝2，
所以椭圆C的标准方程为＝1．]
8．设B，F2分别是椭圆C：＝1(a＞b＞0)的右顶点和上焦点，点P在椭圆C上，且＝2，则椭圆C的离心率为________．
[根据题意可得B(b，0)，F2(0，c)，设P(x，y)，
∵＝2，∴(－b，c)＝2(x，y－c)，
∴解得∴P，
又点P在椭圆C：＝1(a＞b＞0)上，
∴＝1，∴＝，
∴椭圆C的离心率为＝．]
三、解答题
9．已知椭圆C的长轴端点是A(－2，0)和B(2，0)，离心率是．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点P在椭圆C上，求点P到点M(0，1)的距离的取值范围．
[解] (1)因为椭圆C的长轴端点是A(－2，0)和B(2，0)，离心率是，
则解得
所以椭圆C的方程为＝1．
(2)设P(x，y)是椭圆上的任意一点，由椭圆的方程可得x2＝8－4y2，所以|PM|＝＝，其中y∈[－]．
所以－1≤|PM|≤．
故点P到点M(0，1)的距离的取值范围是．
10．开普勒第一定律也称椭圆定律、轨道定律，其内容如下：每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳运动，而太阳则处在椭圆的一个焦点上．将某行星H看作一个质点，H绕太阳运动的轨迹近似成曲线＝1(m＞n＞0)，行星在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，距离太阳最远的距离称为远日点距离．若行星H的近日点距离和远日点距离之和是20(距离单位：亿千米)，近日点距离和远日点距离之积是81，则m＋n＝( )
A．181 B．97 C．52 D．19
A [设椭圆方程为＝1，a＞b＞0，
由椭圆的性质可得：椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为[a－c，a＋c]，
又椭圆方程为＝1(m＞n＞0)，则a＝，b＝，c＝，
由题意可得
即
则m＋n＝181．故选A．]
11．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，满足PF1⊥PF2，以C的短轴为直径作圆O，截直线PF1的弦长为b，则椭圆C的离心率为( )
A．
C．
A [∵以椭圆C的短轴为直径作圆O，截直线PF1的弦长为b，
∴圆心O到直线PF1的距离d＝＝，
又PF1⊥PF2，且O为F1F2的中点，∴|PF2|＝2d＝b，
∴|PF1|＝2a－b，又|F1F2|＝2c，
在Rt△PF1F2中，由勾股定理可得，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
∴(2a－b)2＋b2＝4c2＝4(a2－b2)，解得＝，
∴椭圆C的离心率e＝＝＝．故选A．]
12．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2．若椭圆C上存在一点M，使得|F1F2|2＝|MF1|·|MF2|，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A． B．
C．
A [设|MF1|＝m，|MF2|＝n，椭圆C的半焦距为c，则m＋n＝2a，mn＝4c2，所以a2－4c2＝－mn＝＝(m－a)2．因为a－c≤m≤a＋c，所以－c≤m－a≤c．所以a2－4c2＝(m－a)2∈[0，c2]，即4c2≤a2≤5c2，则≤e2≤，所以≤e≤．]
13．已知椭圆＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，左焦点为F，若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e＝，则椭圆的标准方程是________．若点P为椭圆上任意一点，则的取值范围是________．
＝1 [0，12] [因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2，所以a＝2．
因为离心率e＝，所以c＝1，b＝＝，
则椭圆的标准方程为＝1，
所以点A的坐标为(－2，0)，点F的坐标为(－1，0)．
设P(x，y)，则＝(x＋2，y)·(x＋1，y)＝x2＋3x＋2＋y2．
由椭圆的方程，得y2＝3－x2，
所以＝x2＋3x－x2＋5＝(x＋6)2－4．
因为x∈[－2，2]，所以∈[0，12]．]
14．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°．
(1)求椭圆离心率的取值范围；
(2)证明：△F1PF2的面积只与椭圆的短半轴长有关．
[解] (1)不妨设椭圆的方程为＝1(a＞b＞0)，
|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a．
在△PF1F2中，由余弦定理可知，
4c2＝m2＋n2－2mn cos 60°＝(m＋n)2－3mn
＝4a2－3mn≥4a2－3＝4a2－3a2
＝a2(当且仅当m＝n时取等号)，
所以，即e≥．
又因为0＜e＜1，所以e的取值范围是．
(2)证明：由(1)知4c2＝4a2－3mn，所以mn＝b2．
所以＝mn sin 60°＝b2，
即△F1PF2的面积只与椭圆的短半轴长有关．
15．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，若离心率e＝，则椭圆C的离心率的取值范围为( )
A．(0，－1) B．
C． D．[－1，1)
D [因为e＝，所以|PF1|＝e|PF2|，
由椭圆的定义得，|PF1|＋|PF2|＝2a，解得|PF2|＝，
因为a－c≤|PF2|≤a＋c，所以a－c≤≤a＋c，
即1－e≤≤1＋e，解得e≥－1，
因为 0＜e＜1，所以－1≤e＜1，
所以椭圆C的离心率e的取值范围是[－1，1)．
故选D．]
21世纪教育网(www.21cnjy.com)3.1.2 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质
[学习目标]
1．掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质．(数学抽象)
2．能利用椭圆的简单几何性质求标准方程．(数学运算)
3．能运用椭圆的简单几何性质分析和解决问题．(逻辑推理)
探究1 椭圆的几何性质
问题1 观察椭圆＝1(a＞b＞0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上有哪些特殊点？坐标是什么？
[新知生成]
1．椭圆的几何性质：范围、顶点、焦点、对称性．
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准 方程 ＝1(a＞b＞0) ____________ (a>b>0)
范围 ______________ ______________ ______________ ______________
对称性 对称轴为______________，对称中心为______________
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长 短轴长|B1B2|＝______________，长轴长|A1A2|＝______________
焦点 ______________ ______________
焦距 |F1F2|＝______________
a，b，c的关系 c2＝a2－b2
2．椭圆的离心率
(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比．
(2)记法：e＝______∈(0，1)．
[典例讲评] 1．(源自北师大版教材)求椭圆9x2＋25y2＝225的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．
[尝试解答]
试总结根据椭圆方程研究其几何性质的步骤．
[学以致用] 【链接教材P112例4】
1．已知椭圆C1：＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其范围、对称性、顶点、焦点、焦距、离心率．
探究2 由椭圆的几何性质求标准方程
[典例讲评] 2．(1)焦点在y轴上，且长轴长与短轴长之比为2∶1，焦距为2的椭圆方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＋y2＝1 D．＋x2＝1
(2)已知椭圆C过点(3，0)，且离心率为，则椭圆C的标准方程为( )
A．＝1
B．＝1
C．＝1或＝1
D．＝1或＝1
1．利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
(1)确定焦点位置．
(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)．
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等．
2．在椭圆的简单几何性质中，长轴长、短轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件确定的椭圆的标准方程可能有两个．
[学以致用] 2．求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，c＝6，e＝；
(2)短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3．
探究3 求椭圆的离心率
问题2 观察下图，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用离心率来刻画它吗？
[新知生成]
[典例讲评] 3．(2022·全国甲卷)椭圆C：＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为( )
A．
C．
[尝试解答]
[母题探究] 本例中，“若直线AP，AQ的斜率之积为”改为“若直线AP，AQ的斜率之积不小于”，求C的离心率的取值范围．
求椭圆离心率及其取值范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．
(2)方程法或不等式法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．
[学以致用] 3．开普勒定律揭示了行星环绕太阳运动的规律，其第一定律指出所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．已知某行星在绕太阳运动的过程中，轨道的近日点(距离太阳最近的点)距太阳中心1.47亿千米，远日点(距离太阳最远的点)距太阳中心1.52亿千米，则该行星运动轨迹的离心率为( )
A．
C．
1．若将一个椭圆绕其中心旋转90°，所得椭圆短轴的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”．下列椭圆中是“对偶椭圆”的是( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
2．若椭圆＝1的离心率为，则m＝( )
A．1 B．4
C．1或4 D．以上都不对
3．椭圆＝1(a＞b＞0)中，点F2为椭圆的右焦点，点A为椭圆的左顶点，点B为椭圆的短轴上的顶点，若⊥，则此椭圆称为“黄金椭圆”，“黄金椭圆”的离心率为( )
A．
C．
4．(教材P112练习T3(1)改编)焦点在x轴上的椭圆C，长轴长为10，离心率为，则椭圆C的标准方程为________．
1．知识链：
2．方法链：待定系数法、方程法、分类讨论法．
3．警示牌：(1)忽略离心率的取值范围(0，1)．
(2)把椭圆的长轴长误写作a．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(二十六)
1．ABD [设椭圆C的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，
因为椭圆C的方程为＝1，所以椭圆C的焦点在x轴上，A正确，且a＝，b＝2，c＝，
所以椭圆C的长轴长为2，B正确，椭圆C的焦距为2，C错误；椭圆C的离心率e＝，D正确．故选ABD．]
2．C [依题意，ab＝6，由椭圆的对称性得，线段AB，F1F2互相平分于原点，
则四边形AF1BF2为平行四边形，
由椭圆的定义得4a＝2(|AF1|＋|AF2|)＝12，解得a＝3，
所以椭圆C的短半轴长b＝2．
故选C．]
3．A [由题意得A(1，0)，设P(x1，y1)，x1∈[－1，1]，则，x1∈[－1，1]，
所以|PA|＝
＝，
当x1＝－时，|PA|取得最大值，最大值为．故选A．]
4．B [由离心率e＝，解得，即b2＝a2，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为上顶点，则A1(－a，0)，A2(a，0)，B(0，b)，
于是＝(－a，－b)，＝(a，－b)，而·＝－2，
即－a2＋b2＝－2，又b2＝a2，解得a2＝8，b2＝6，
所以椭圆的方程为＝1．
故选B．]
5．B [因为M(1，0)为线段OB的中点，且B(b，0)，所以b＝2，又椭圆C的离心率e＝，所以，所以a＝2，所以椭圆C的标准方程为＝1．]
6．8 [因为椭圆的标准方程为＝1，所以a2＝16，所以a＝4，
所以椭圆的长轴长为2a＝8．]
7．＝1 [因为△ABF2的周长为16，所以4a＝16，即a＝4，
又离心率为，所以，所以c＝2，
所以b＝，
所以椭圆C的标准方程为＝1．]
8． [根据题意可得B(b，0)，F2(0，c)，设P(x，y)，
∵，∴(－b，c)＝2(x，y－c)，
∴∴P，
又点P在椭圆C：＝1(a>b>0)上，
∴＝1，∴，
∴椭圆C的离心率为．]
9．解：(1)因为椭圆C的长轴端点是A(－2，0)和B(2，0)，离心率是，则
所以椭圆C的方程为＝1．
(2)设P(x，y)是椭圆上的任意一点，由椭圆的方程可得x2＝8－4y2，
所以|PM|＝，其中y∈[－]．
所以－1≤|PM|≤．
故点P到点M(0，1)的距离的取值范围是．
10．A [设椭圆方程为＝1，a>b>0，
由椭圆的性质可得：椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为[a－c，a＋c]，
又椭圆方程为＝1(m>n>0)，
则a＝，b＝，c＝，
由题意可得
即
则m＋n＝181．故选A．]
11．A [∵以椭圆C的短轴为直径作圆O，截直线PF1的弦长为b，
∴圆心O到直线PF1的距离d＝，
又PF1⊥PF2，且O为F1F2的中点，∴|PF2|＝2d＝b，
∴|PF1|＝2a－b，又|F1F2|＝2c，
在Rt△PF1F2中，由勾股定理可得，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
∴(2a－b)2＋b2＝4c2＝4(a2－b2)，解得，
∴椭圆C的离心率e＝．故选A．]
12．A [设|MF1|＝m，|MF2|＝n，椭圆C的半焦距为c，则m＋n＝2a，mn＝4c2，所以a2－4c2＝＝(m－a)2．因为a－c≤m≤a＋c，所以－c≤m－a≤c．所以a2－4c2＝(m－a)2∈[0，c2]，即4c2≤a2≤5c2，则≤e2≤，所以≤e≤．]
13．＝1 [0，12] [因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2，所以a＝2．
因为离心率e＝，所以c＝1，b＝，
则椭圆的标准方程为＝1，
所以点A的坐标为(－2，0)，点F的坐标为(－1，0)．
设P(x，y)，则·＝(x＋2，y)·(x＋1，y)＝x2＋3x＋2＋y2．
由椭圆的方程，得y2＝3－x2，
所以·(x＋6)2－4．
因为x∈[－2，2]，所以·∈[0，12]．]
14．解：(1)不妨设椭圆的方程为＝1(a>b>0)，
|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a．
在△PF1F2中，由余弦定理可知，
4c2＝m2＋n2－2mncos 60°
＝(m＋n)2－3mn
＝4a2－3mn≥4a2－3
＝4a2－3a2
＝a2(当且仅当m＝n时取等号)，
所以≥，即e≥．
又因为0(2)证明：由(1)知4c2＝4a2－3mn，所以mn＝b2．
所以mnsin 60°＝b2，
即△F1PF2的面积只与椭圆的短半轴长有关．
15．D [因为e＝，所以|PF1|＝e|PF2|，
由椭圆的定义得，|PF1|＋|PF2|＝2a，解得|PF2|＝，
因为a－c≤|PF2|≤a＋c，所以a－c≤≤a＋c，
即1－e≤≤1＋e，解得e≥－1，
因为 0所以椭圆C的离心率e的取值范围是[－1，1)．故选D．]
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共76张PPT)
第1课时 椭圆的简单几何性质
第三章
圆锥曲线的方程
3.1 椭圆
3.1.2 椭圆的简单几何性质
[学习目标]
1．掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质．(数学抽象)
2．能利用椭圆的简单几何性质求标准方程．(数学运算)
3．能运用椭圆的简单几何性质分析和解决问题．(逻辑推理)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．椭圆的几何性质有哪些？
问题2．观察不同的椭圆，其扁平程度各不相同，如何刻画椭圆的扁平程度呢？
探究建构 关键能力达成
[提示] 范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴、y轴，对称中心为原点；特殊点：顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)．
[新知生成]
1．椭圆的几何性质：范围、顶点、焦点、对称性．
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准
方程
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
范围 _____________________ ______________________
对称性 对称轴为______，对称中心为____
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
坐标轴
原点
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
轴长 短轴长|B1B2|＝____，长轴长|A1A2|＝____
焦点 ____________________ ______________________
焦距 |F1F2|＝____
a，b，c的关系 c2＝a2－b2
2b
2a
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
2c
【教用·微提醒】 (1)椭圆的焦点一定在它的长轴上．
(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点．
(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c．
[典例讲评] 1．(源自北师大版教材)求椭圆9x2＋25y2＝225的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．
x 0 1 2 3 4 5
y 3.0 2.9 2.7 2.4 1.8 0
先用描点法画出椭圆在第一象限内的图形，再利用对称性画出整个椭圆(如图所示)．
发现规律 试总结根据椭圆方程研究其几何性质的步骤．
[提示] (1)将椭圆方程化为标准形式．
(2)确定焦点位置(焦点位置不确定的要分类讨论)．
(3)求出a，b，c．
(4)写出椭圆的几何性质．
【教材原题·P112例4】
例4 求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
√
√
2．在椭圆的简单几何性质中，长轴长、短轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件确定的椭圆的标准方程可能有两个．
探究3 求椭圆的离心率
问题2 观察下图，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用离心率来刻画它吗？
[新知生成]
√
√
√
应用迁移 随堂评估自测
√
A [因为旋转后椭圆短轴的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，即2b＝2c，即b＝c．
A中，a2＝8，b2＝4，所以c2＝a2－b2＝4，
故b＝c，所以A正确；
B中，a2＝5，b2＝3，所以c2＝a2－b2＝2≠3，所以B不正确；
C中，a2＝6，b2＝2，所以c2＝a2－b2＝4≠2，所以C不正确；
D中，a2＝9，b2＝6，所以c2＝a2－b2＝3≠6，所以D不正确．故选A．]
√
√
1．知识链：
2．方法链：待定系数法、方程法、分类讨论法．
3．警示牌：(1)忽略离心率的取值范围(0，1)．
(2)把椭圆的长轴长误写作a．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．试总结根据椭圆的标准方程研究其几何性质的步骤．
[提示] (1)化标准，把椭圆方程化成标准形式；
(2)定位置，根据标准方程中x2，y2对应分母的大小来确定焦点位置；
(3)求参数，写出a，b的值，并求出c的值；
(4)写性质，按要求写出椭圆的简单几何性质．
2．试总结根据椭圆的几何性质求其标准方程的思路．
[提示] 已知椭圆的几何性质，求其标准方程主要采用待定系数法，解题步骤为：
(1)确定焦点所在的位置，以确定椭圆标准方程的形式；
(2)确立关于a，b，c的方程(组)，求出参数a，b，c；
(3)写出标准方程．
3．试总结求椭圆离心率及其取值范围的方法．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
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课时分层作业(二十六) 椭圆的简单几何性质
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C [依题意，ab＝6，由椭圆的对称性得，线段AB，F1F2互相平分于原点，
则四边形AF1BF2为平行四边形，
由椭圆的定义得4a＝2(|AF1|＋|AF2|)＝12，解得a＝3，
所以椭圆C的短半轴长b＝2．
故选C．]
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14．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°．
(1)求椭圆离心率的取值范围；
(2)证明：△F1PF2的面积只与椭圆的短半轴长有关．
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15课时分层作业(二十六) 椭圆的简单几何性质
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共94分
一、选择题
1．(多选)已知椭圆C：＝1，则下列说法中正确的是( )
A．椭圆C的焦点在x轴上
B．椭圆C的长轴长是2
C．椭圆C的焦距为4
D．椭圆C的离心率为
2．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的面积为6π，两个焦点分别为F1，F2，直线y＝kx与椭圆C交于A，B两点，若四边形AF1BF2的周长为12，则椭圆C的短半轴长为( )
A．4 B．3
C．2 D．6
3．已知A为椭圆C：＋x2＝1的右顶点，P为C上一点，则|PA|的最大值为( )
A． B．2
C．3 D．
4．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若＝－2，则椭圆C的方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
5．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，短轴的右端点为B，M(1，0)为线段OB的中点，则椭圆C的标准方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
二、填空题
6．椭圆＝1的长轴长为________．
7．在平面直角坐标系Oxy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为．过F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的标准方程为________．
8．设B，F2分别是椭圆C：＝1(a＞b＞0)的右顶点和上焦点，点P在椭圆C上，且＝2，则椭圆C的离心率为________．
三、解答题
9．已知椭圆C的长轴端点是A(－2，0)和B(2，0)，离心率是．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点P在椭圆C上，求点P到点M(0，1)的距离的取值范围．
10．开普勒第一定律也称椭圆定律、轨道定律，其内容如下：每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳运动，而太阳则处在椭圆的一个焦点上．将某行星H看作一个质点，H绕太阳运动的轨迹近似成曲线＝1(m＞n＞0)，行星在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，距离太阳最远的距离称为远日点距离．若行星H的近日点距离和远日点距离之和是20(距离单位：亿千米)，近日点距离和远日点距离之积是81，则m＋n＝( )
A．181 B．97 C．52 D．19
11．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，满足PF1⊥PF2，以C的短轴为直径作圆O，截直线PF1的弦长为b，则椭圆C的离心率为( )
A．
C．
12．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2．若椭圆C上存在一点M，使得|F1F2|2＝|MF1|·|MF2|，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A． B．
C．
13．已知椭圆＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，左焦点为F，若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e＝，则椭圆的标准方程是________．若点P为椭圆上任意一点，则的取值范围是________．
14．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°．
(1)求椭圆离心率的取值范围；
(2)证明：△F1PF2的面积只与椭圆的短半轴长有关．
15．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，若离心率e＝，则椭圆C的离心率的取值范围为( )
A．(0，－1) B．
C． D．[－1，1)
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