3.1.2 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质
[学习目标]
1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.(数学抽象)
2.能利用椭圆的简单几何性质求标准方程.(数学运算)
3.能运用椭圆的简单几何性质分析和解决问题.(逻辑推理)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1.椭圆的几何性质有哪些?
问题2.观察不同的椭圆,其扁平程度各不相同,如何刻画椭圆的扁平程度呢?
探究1 椭圆的几何性质
问题1 观察椭圆=1(a>b>0)的形状,你能从图上看出它的范围吗?它具有怎样的对称性?椭圆上有哪些特殊点?坐标是什么?
[提示] 范围:-a≤x≤a,-b≤y≤b;对称性:对称轴为x轴、y轴,对称中心为原点;特殊点:顶点A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b).
[新知生成]
1.椭圆的几何性质:范围、顶点、焦点、对称性.
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准 方程 =1(a>b>0) (a>b>0)
范围 -a≤x≤a且 -b≤y≤b -b≤x≤b且 -a≤y≤a
对称性 对称轴为坐标轴,对称中心为原点
顶点 A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0)
轴长 短轴长|B1B2|=2b,长轴长|A1A2|=2a
焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
焦距 |F1F2|=2c
a,b,c的关系 c2=a2-b2
2.椭圆的离心率
(1)定义:椭圆的焦距与长轴长的比.
(2)记法:e=∈(0,1).
【教用·微提醒】 (1)椭圆的焦点一定在它的长轴上.
(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点,到中心的距离最大的点是长轴的两个端点.
(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点,最大值为a+c,最小值为a-c.
[典例讲评] 1.(源自北师大版教材)求椭圆9x2+25y2=225的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并用描点法画出它的图形.
[解] 将已知方程化为椭圆的标准方程为=1,
则a=5,b=3,c==4.因此,椭圆的长轴长和短轴长分别是2a=10,2b=6.
离心率是e==.
两个焦点分别是F1(-4,0),F2(4,0).
椭圆的四个顶点分别是 A1(-5,0),A2(5,0),B1(0,-3),B2(0,3).
将方程变形为y=±,
由y=,在0≤x≤5的范围内计算出一些点的坐标(x,y),如表(y的值精确到0.1).
x 0 1 2 3 4 5
y 3.0 2.9 2.7 2.4 1.8 0
先用描点法画出椭圆在第一象限内的图形,再利用对称性画出整个椭圆(如图所示).
试总结根据椭圆方程研究其几何性质的步骤.
[提示] (1)将椭圆方程化为标准形式.
(2)确定焦点位置(焦点位置不确定的要分类讨论).
(3)求出a,b,c.
(4)写出椭圆的几何性质.
[学以致用] 【链接教材P112例4】
1.已知椭圆C1:=1,设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆C2的焦点在y轴上.
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率;
(2)写出椭圆C2的方程,并研究其范围、对称性、顶点、焦点、焦距、离心率.
[解] (1)由椭圆C1:=1,可得其长半轴长为10,短半轴长为8,
焦点坐标为(6,0),(-6,0),离心率e=.
(2)椭圆C2:=1.
①范围:-8≤x≤8,-10≤y≤10;②对称性:对称轴为x轴、y轴;对称中心为原点;③顶点:长轴端点为(0,10),(0,-10),短轴端点为(-8,0),(8,0);④焦点:(0,6),(0,-6),焦距为12;⑤离心率:e=.
【教材原题·P112例4】
例4 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.
[解] 把原方程化成标准方程,得=1,
于是a=5,b=4,c==3.
因此,椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10和2b=8,离心率e==,两个焦点坐标分别是F1(-3,0)和F2(3,0),四个顶点坐标分别是A1(-5,0),A2(5,0),B1(0,-4)和B2(0,4).
探究2 由椭圆的几何性质求标准方程
[典例讲评] 2.(1)焦点在y轴上,且长轴长与短轴长之比为2∶1,焦距为2的椭圆方程为( )
A.=1 B.=1
C.+y2=1 D.+x2=1
(2)已知椭圆C过点(3,0),且离心率为,则椭圆C的标准方程为( )
A.=1
B.=1
C.=1或=1
D.=1或=1
(1)D (2)D [(1)∵焦距为2c=2,∴c=,
∵长轴长与短轴长之比为2∶1,
∴2a∶2b=2∶1,即a=2b,
且a2=b2+c2=b2+3,联立解得a=2,b=1,
∵焦点在y轴上,∴椭圆方程为+x2=1.
故选D.
(2)若焦点在x轴上,则a=3.由e==,得c=,所以b2=a2-c2=3,此时椭圆C的标准方程为=1.
若焦点在y轴上,则b=3.由e====,得a2=27,
此时椭圆C的标准方程为=1.
综上所述,椭圆C的标准方程为=1或=1.故选D.]
1.利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时,通常采用待定系数法,其步骤是:
(1)确定焦点位置.
(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程).
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式,利用方程(组)求参数,列方程(组)时常用的关系式有b2=a2-c2,e=等.
2.在椭圆的简单几何性质中,长轴长、短轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置,因此仅依据这些条件确定的椭圆的标准方程可能有两个.
[学以致用] 2.求满足下列条件的椭圆的标准方程:
(1)焦点在y轴上,c=6,e=;
(2)短轴的一个端点到一个焦点的距离为5,焦点到椭圆中心的距离为3.
[解] (1)由c=6,e=,知a=9,b2=81-36=45.又焦点在y轴上,所以椭圆的标准方程为=1.
(2)由题意知,a=5,c=3,b2=25-9=16,焦点所在坐标轴可能是x轴,也可能是y轴,故椭圆的标准方程为=1或=1.
探究3 求椭圆的离心率
问题2 观察下图,我们发现,不同椭圆的扁平程度不同,扁平程度是椭圆的重要形状特征,你能用离心率来刻画它吗?
[提示] 利用离心率e=来刻画椭圆的扁平程度.
如图所示,在Rt△BF2O中,cos∠BF2O=,记e=,则0<e<1,e越大,∠BF2O越小,椭圆越扁平;e越小,∠BF2O越大,椭圆越接近于圆.
[新知生成]
【教用·微提醒】 e==.e越接近1,椭圆越扁平;e越接近0,椭圆越接近于圆.(可以结合数字的特点来帮助记忆,“1”很扁平,“0”很圆)
[典例讲评] 3.(2022·全国甲卷)椭圆C:=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为,则C的离心率为( )
A.
C.
A [已知A(-a,0),设P(x0,y0),则Q(-x0,y0),x0≠±a,kAP=,kAQ=,
故kAP·kAQ==,①
=1,即=,②
将②代入①整理得=.
∴e===.故选A.]
[母题探究] 本例中,“若直线AP,AQ的斜率之积为”改为“若直线AP,AQ的斜率之积不小于”,求C的离心率的取值范围.
[解] 已知A(-a,0),设P(x0,y0),则Q(-x0,y0),显然,|x0|≠a,
kAP=,kAQ=,故kAP·kAQ=.
>0, ①
==, ②
由①②知,
∴e==.
又e>0,∴离心率的取值范围为.
【教用·备选题】 已知F1,F2分别是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N,若=3,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
A [不妨设M在第一象限,由题意,M的横坐标为c,
令=1,解得y=,即M,
设N(x,y),又F1(-c,0),=(x+c,y),=,
由=3可得:解得
又N(x,y)在椭圆上,即=1=,整理得=,解得e=.故选A.]
求椭圆离心率及其取值范围的两种方法
(1)直接法:若已知a,c可直接利用e=求解.若已知a,b或b,c可借助a2=b2+c2求出c或a,再代入公式e=求解.
(2)方程法或不等式法:若a,c的值不可求,则可根据条件建立a,b,c的关系式,借助于a2=b2+c2,转化为关于a,c的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂,得到关于e的方程或不等式,即可求得e的值或取值范围.
[学以致用] 3.开普勒定律揭示了行星环绕太阳运动的规律,其第一定律指出所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上.已知某行星在绕太阳运动的过程中,轨道的近日点(距离太阳最近的点)距太阳中心1.47亿千米,远日点(距离太阳最远的点)距太阳中心1.52亿千米,则该行星运动轨迹的离心率为( )
A.
C.
B [设椭圆的长轴长为2a,焦距为2c,a>c>0.
由题意知解得
则该行星运行轨迹的离心率e===.
故选B.]
1.若将一个椭圆绕其中心旋转90°,所得椭圆短轴的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆中是“对偶椭圆”的是( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
A [因为旋转后椭圆短轴的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,即2b=2c,即b=c.
A中,a2=8,b2=4,所以c2=a2-b2=4,
故b=c,所以A正确;
B中,a2=5,b2=3,所以c2=a2-b2=2≠3,所以B不正确;
C中,a2=6,b2=2,所以c2=a2-b2=4≠2,所以C不正确;
D中,a2=9,b2=6,所以c2=a2-b2=3≠6,所以D不正确.故选A.]
2.若椭圆=1的离心率为,则m=( )
A.1 B.4
C.1或4 D.以上都不对
C [椭圆=1的离心率为,
当焦点在x轴上时,e==,解得m=1;
当焦点在y轴上时,e==,解得m=4.
故选C.]
3.椭圆=1(a>b>0)中,点F2为椭圆的右焦点,点A为椭圆的左顶点,点B为椭圆的短轴上的顶点,若⊥,则此椭圆称为“黄金椭圆”,“黄金椭圆”的离心率为( )
A.
C.
B [设c为椭圆的半焦距,由题意可得A(-a,0),F2(c,0),由对称性可设B(0,b),则=(-c,b),=(a,b).
因为⊥,所以=-ac+b2=0,所以a2-c2-ac=0,即e2+e-1=0,
解得e=或e=(舍去).故选B.]
4.(教材P112练习T3(1)改编)焦点在x轴上的椭圆C,长轴长为10,离心率为,则椭圆C的标准方程为________.
=1 [设椭圆的标准方程为=1(a>b>0),
由题意得,2a=10,∴a=5,e==,∴c=3,∴b2=a2-c2=25-9=16,
∴椭圆C的标准方程为=1.]
1.知识链:
2.方法链:待定系数法、方程法、分类讨论法.
3.警示牌:(1)忽略离心率的取值范围(0,1).
(2)把椭圆的长轴长误写作a.
回顾本节知识,自主完成以下问题:
1.试总结根据椭圆的标准方程研究其几何性质的步骤.
[提示] (1)化标准,把椭圆方程化成标准形式;
(2)定位置,根据标准方程中x2,y2对应分母的大小来确定焦点位置;
(3)求参数,写出a,b的值,并求出c的值;
(4)写性质,按要求写出椭圆的简单几何性质.
2.试总结根据椭圆的几何性质求其标准方程的思路.
[提示] 已知椭圆的几何性质,求其标准方程主要采用待定系数法,解题步骤为:
(1)确定焦点所在的位置,以确定椭圆标准方程的形式;
(2)确立关于a,b,c的方程(组),求出参数a,b,c;
(3)写出标准方程.
3.试总结求椭圆离心率及其取值范围的方法.
[提示] (1)若已知a,c的值或关系,则可直接利用e=求解;
(2)若已知a,b的值或关系,则可利用e==求解;
(3)若已知a,b,c的关系,则可转化为关于a,c的方程或不等式,进而得到关于e的方程或不等式进行求解.
课时分层作业(二十六) 椭圆的简单几何性质
一、选择题
1.(多选)已知椭圆C:=1,则下列说法中正确的是( )
A.椭圆C的焦点在x轴上
B.椭圆C的长轴长是2
C.椭圆C的焦距为4
D.椭圆C的离心率为
ABD [设椭圆C的长半轴长为a,短半轴长为b,半焦距为c,
因为椭圆C的方程为=1,
所以椭圆C的焦点在x轴上,A正确,且a=,b=2,c==,
所以椭圆C的长轴长为2,B正确,椭圆C的焦距为2,C错误;椭圆C的离心率e===,D正确.故选ABD.]
2.阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积,当我们垂直地缩小一个圆时,得到一个椭圆,椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C:=1(a>b>0)的面积为6π,两个焦点分别为F1,F2,直线y=kx与椭圆C交于A,B两点,若四边形AF1BF2的周长为12,则椭圆C的短半轴长为( )
A.4 B.3
C.2 D.6
C [依题意,ab=6,由椭圆的对称性得,线段AB,F1F2互相平分于原点,
则四边形AF1BF2为平行四边形,
由椭圆的定义得4a=2(|AF1|+|AF2|)=12,解得a=3,
所以椭圆C的短半轴长b=2.
故选C.]
3.已知A为椭圆C:+x2=1的右顶点,P为C上一点,则|PA|的最大值为( )
A. B.2
C.3 D.
A [由题意得A(1,0),设P(x1,y1),x1∈[-1,1],则=,x1∈[-1,1],
所以|PA|===,
当x1=-时,|PA|取得最大值,最大值为.故选A.]
4.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若=-2,则椭圆C的方程为( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
B [由离心率e===,解得=,即b2=a2,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为上顶点,则A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),
于是=(-a,-b),=(a,-b),而=-2,
即-a2+b2=-2,又b2=a2,解得a2=8,b2=6,
所以椭圆的方程为=1.故选B.]
5.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率e=,短轴的右端点为B,M(1,0)为线段OB的中点,则椭圆C的标准方程为( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
B [因为M(1,0)为线段OB的中点,且B(b,0),所以b=2,又椭圆C的离心率e=,所以===,所以a=2,所以椭圆C的标准方程为=1.
]
二、填空题
6.椭圆=1的长轴长为________.
8 [因为椭圆的标准方程为=1,所以a2=16,所以a=4,
所以椭圆的长轴长为2a=8.]
7.在平面直角坐标系Oxy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为.过F1的直线l交椭圆C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么椭圆C的标准方程为________.
=1 [因为△ABF2的周长为16,所以4a=16,即a=4,
又离心率为,所以==,所以c=2,
所以b===2,
所以椭圆C的标准方程为=1.]
8.设B,F2分别是椭圆C:=1(a>b>0)的右顶点和上焦点,点P在椭圆C上,且=2,则椭圆C的离心率为________.
[根据题意可得B(b,0),F2(0,c),设P(x,y),
∵=2,∴(-b,c)=2(x,y-c),
∴解得∴P,
又点P在椭圆C:=1(a>b>0)上,
∴=1,∴=,
∴椭圆C的离心率为=.]
三、解答题
9.已知椭圆C的长轴端点是A(-2,0)和B(2,0),离心率是.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若点P在椭圆C上,求点P到点M(0,1)的距离的取值范围.
[解] (1)因为椭圆C的长轴端点是A(-2,0)和B(2,0),离心率是,
则解得
所以椭圆C的方程为=1.
(2)设P(x,y)是椭圆上的任意一点,由椭圆的方程可得x2=8-4y2,所以|PM|==,其中y∈[-].
所以-1≤|PM|≤.
故点P到点M(0,1)的距离的取值范围是.
10.开普勒第一定律也称椭圆定律、轨道定律,其内容如下:每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳运动,而太阳则处在椭圆的一个焦点上.将某行星H看作一个质点,H绕太阳运动的轨迹近似成曲线=1(m>n>0),行星在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离,距离太阳最远的距离称为远日点距离.若行星H的近日点距离和远日点距离之和是20(距离单位:亿千米),近日点距离和远日点距离之积是81,则m+n=( )
A.181 B.97 C.52 D.19
A [设椭圆方程为=1,a>b>0,
由椭圆的性质可得:椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为[a-c,a+c],
又椭圆方程为=1(m>n>0),则a=,b=,c=,
由题意可得
即
则m+n=181.故选A.]
11.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一点,满足PF1⊥PF2,以C的短轴为直径作圆O,截直线PF1的弦长为b,则椭圆C的离心率为( )
A.
C.
A [∵以椭圆C的短轴为直径作圆O,截直线PF1的弦长为b,
∴圆心O到直线PF1的距离d==,
又PF1⊥PF2,且O为F1F2的中点,∴|PF2|=2d=b,
∴|PF1|=2a-b,又|F1F2|=2c,
在Rt△PF1F2中,由勾股定理可得,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
∴(2a-b)2+b2=4c2=4(a2-b2),解得=,
∴椭圆C的离心率e===.故选A.]
12.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.若椭圆C上存在一点M,使得|F1F2|2=|MF1|·|MF2|,则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A. B.
C.
A [设|MF1|=m,|MF2|=n,椭圆C的半焦距为c,则m+n=2a,mn=4c2,所以a2-4c2=-mn==(m-a)2.因为a-c≤m≤a+c,所以-c≤m-a≤c.所以a2-4c2=(m-a)2∈[0,c2],即4c2≤a2≤5c2,则≤e2≤,所以≤e≤.]
13.已知椭圆=1(a>b>0)的左顶点为A,左焦点为F,若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2,离心率e=,则椭圆的标准方程是________.若点P为椭圆上任意一点,则的取值范围是________.
=1 [0,12] [因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2,所以a=2.
因为离心率e=,所以c=1,b==,
则椭圆的标准方程为=1,
所以点A的坐标为(-2,0),点F的坐标为(-1,0).
设P(x,y),则=(x+2,y)·(x+1,y)=x2+3x+2+y2.
由椭圆的方程,得y2=3-x2,
所以=x2+3x-x2+5=(x+6)2-4.
因为x∈[-2,2],所以∈[0,12].]
14.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°.
(1)求椭圆离心率的取值范围;
(2)证明:△F1PF2的面积只与椭圆的短半轴长有关.
[解] (1)不妨设椭圆的方程为=1(a>b>0),
|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a.
在△PF1F2中,由余弦定理可知,
4c2=m2+n2-2mn cos 60°=(m+n)2-3mn
=4a2-3mn≥4a2-3=4a2-3a2
=a2(当且仅当m=n时取等号),
所以,即e≥.
又因为0<e<1,所以e的取值范围是.
(2)证明:由(1)知4c2=4a2-3mn,所以mn=b2.
所以=mn sin 60°=b2,
即△F1PF2的面积只与椭圆的短半轴长有关.
15.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆C上,若离心率e=,则椭圆C的离心率的取值范围为( )
A.(0,-1) B.
C. D.[-1,1)
D [因为e=,所以|PF1|=e|PF2|,
由椭圆的定义得,|PF1|+|PF2|=2a,解得|PF2|=,
因为a-c≤|PF2|≤a+c,所以a-c≤≤a+c,
即1-e≤≤1+e,解得e≥-1,
因为 0<e<1,所以-1≤e<1,
所以椭圆C的离心率e的取值范围是[-1,1).
故选D.]
21世纪教育网(www.21cnjy.com)3.1.2 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质
[学习目标]
1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.(数学抽象)
2.能利用椭圆的简单几何性质求标准方程.(数学运算)
3.能运用椭圆的简单几何性质分析和解决问题.(逻辑推理)
探究1 椭圆的几何性质
问题1 观察椭圆=1(a>b>0)的形状,你能从图上看出它的范围吗?它具有怎样的对称性?椭圆上有哪些特殊点?坐标是什么?
[新知生成]
1.椭圆的几何性质:范围、顶点、焦点、对称性.
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准 方程 =1(a>b>0) ____________ (a>b>0)
范围 ______________ ______________ ______________ ______________
对称性 对称轴为______________,对称中心为______________
顶点 A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0)
轴长 短轴长|B1B2|=______________,长轴长|A1A2|=______________
焦点 ______________ ______________
焦距 |F1F2|=______________
a,b,c的关系 c2=a2-b2
2.椭圆的离心率
(1)定义:椭圆的焦距与长轴长的比.
(2)记法:e=______∈(0,1).
[典例讲评] 1.(源自北师大版教材)求椭圆9x2+25y2=225的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并用描点法画出它的图形.
[尝试解答]
试总结根据椭圆方程研究其几何性质的步骤.
[学以致用] 【链接教材P112例4】
1.已知椭圆C1:=1,设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆C2的焦点在y轴上.
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率;
(2)写出椭圆C2的方程,并研究其范围、对称性、顶点、焦点、焦距、离心率.
探究2 由椭圆的几何性质求标准方程
[典例讲评] 2.(1)焦点在y轴上,且长轴长与短轴长之比为2∶1,焦距为2的椭圆方程为( )
A.=1 B.=1
C.+y2=1 D.+x2=1
(2)已知椭圆C过点(3,0),且离心率为,则椭圆C的标准方程为( )
A.=1
B.=1
C.=1或=1
D.=1或=1
1.利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时,通常采用待定系数法,其步骤是:
(1)确定焦点位置.
(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程).
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式,利用方程(组)求参数,列方程(组)时常用的关系式有b2=a2-c2,e=等.
2.在椭圆的简单几何性质中,长轴长、短轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置,因此仅依据这些条件确定的椭圆的标准方程可能有两个.
[学以致用] 2.求满足下列条件的椭圆的标准方程:
(1)焦点在y轴上,c=6,e=;
(2)短轴的一个端点到一个焦点的距离为5,焦点到椭圆中心的距离为3.
探究3 求椭圆的离心率
问题2 观察下图,我们发现,不同椭圆的扁平程度不同,扁平程度是椭圆的重要形状特征,你能用离心率来刻画它吗?
[新知生成]
[典例讲评] 3.(2022·全国甲卷)椭圆C:=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为,则C的离心率为( )
A.
C.
[尝试解答]
[母题探究] 本例中,“若直线AP,AQ的斜率之积为”改为“若直线AP,AQ的斜率之积不小于”,求C的离心率的取值范围.
求椭圆离心率及其取值范围的两种方法
(1)直接法:若已知a,c可直接利用e=求解.若已知a,b或b,c可借助a2=b2+c2求出c或a,再代入公式e=求解.
(2)方程法或不等式法:若a,c的值不可求,则可根据条件建立a,b,c的关系式,借助于a2=b2+c2,转化为关于a,c的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂,得到关于e的方程或不等式,即可求得e的值或取值范围.
[学以致用] 3.开普勒定律揭示了行星环绕太阳运动的规律,其第一定律指出所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上.已知某行星在绕太阳运动的过程中,轨道的近日点(距离太阳最近的点)距太阳中心1.47亿千米,远日点(距离太阳最远的点)距太阳中心1.52亿千米,则该行星运动轨迹的离心率为( )
A.
C.
1.若将一个椭圆绕其中心旋转90°,所得椭圆短轴的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆中是“对偶椭圆”的是( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
2.若椭圆=1的离心率为,则m=( )
A.1 B.4
C.1或4 D.以上都不对
3.椭圆=1(a>b>0)中,点F2为椭圆的右焦点,点A为椭圆的左顶点,点B为椭圆的短轴上的顶点,若⊥,则此椭圆称为“黄金椭圆”,“黄金椭圆”的离心率为( )
A.
C.
4.(教材P112练习T3(1)改编)焦点在x轴上的椭圆C,长轴长为10,离心率为,则椭圆C的标准方程为________.
1.知识链:
2.方法链:待定系数法、方程法、分类讨论法.
3.警示牌:(1)忽略离心率的取值范围(0,1).
(2)把椭圆的长轴长误写作a.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(二十六)
1.ABD [设椭圆C的长半轴长为a,短半轴长为b,半焦距为c,
因为椭圆C的方程为=1,所以椭圆C的焦点在x轴上,A正确,且a=,b=2,c=,
所以椭圆C的长轴长为2,B正确,椭圆C的焦距为2,C错误;椭圆C的离心率e=,D正确.故选ABD.]
2.C [依题意,ab=6,由椭圆的对称性得,线段AB,F1F2互相平分于原点,
则四边形AF1BF2为平行四边形,
由椭圆的定义得4a=2(|AF1|+|AF2|)=12,解得a=3,
所以椭圆C的短半轴长b=2.
故选C.]
3.A [由题意得A(1,0),设P(x1,y1),x1∈[-1,1],则,x1∈[-1,1],
所以|PA|=
=,
当x1=-时,|PA|取得最大值,最大值为.故选A.]
4.B [由离心率e=,解得,即b2=a2,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为上顶点,则A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),
于是=(-a,-b),=(a,-b),而·=-2,
即-a2+b2=-2,又b2=a2,解得a2=8,b2=6,
所以椭圆的方程为=1.
故选B.]
5.B [因为M(1,0)为线段OB的中点,且B(b,0),所以b=2,又椭圆C的离心率e=,所以,所以a=2,所以椭圆C的标准方程为=1.]
6.8 [因为椭圆的标准方程为=1,所以a2=16,所以a=4,
所以椭圆的长轴长为2a=8.]
7.=1 [因为△ABF2的周长为16,所以4a=16,即a=4,
又离心率为,所以,所以c=2,
所以b=,
所以椭圆C的标准方程为=1.]
8. [根据题意可得B(b,0),F2(0,c),设P(x,y),
∵,∴(-b,c)=2(x,y-c),
∴∴P,
又点P在椭圆C:=1(a>b>0)上,
∴=1,∴,
∴椭圆C的离心率为.]
9.解:(1)因为椭圆C的长轴端点是A(-2,0)和B(2,0),离心率是,则
所以椭圆C的方程为=1.
(2)设P(x,y)是椭圆上的任意一点,由椭圆的方程可得x2=8-4y2,
所以|PM|=,其中y∈[-].
所以-1≤|PM|≤.
故点P到点M(0,1)的距离的取值范围是.
10.A [设椭圆方程为=1,a>b>0,
由椭圆的性质可得:椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为[a-c,a+c],
又椭圆方程为=1(m>n>0),
则a=,b=,c=,
由题意可得
即
则m+n=181.故选A.]
11.A [∵以椭圆C的短轴为直径作圆O,截直线PF1的弦长为b,
∴圆心O到直线PF1的距离d=,
又PF1⊥PF2,且O为F1F2的中点,∴|PF2|=2d=b,
∴|PF1|=2a-b,又|F1F2|=2c,
在Rt△PF1F2中,由勾股定理可得,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
∴(2a-b)2+b2=4c2=4(a2-b2),解得,
∴椭圆C的离心率e=.故选A.]
12.A [设|MF1|=m,|MF2|=n,椭圆C的半焦距为c,则m+n=2a,mn=4c2,所以a2-4c2==(m-a)2.因为a-c≤m≤a+c,所以-c≤m-a≤c.所以a2-4c2=(m-a)2∈[0,c2],即4c2≤a2≤5c2,则≤e2≤,所以≤e≤.]
13.=1 [0,12] [因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2,所以a=2.
因为离心率e=,所以c=1,b=,
则椭圆的标准方程为=1,
所以点A的坐标为(-2,0),点F的坐标为(-1,0).
设P(x,y),则·=(x+2,y)·(x+1,y)=x2+3x+2+y2.
由椭圆的方程,得y2=3-x2,
所以·(x+6)2-4.
因为x∈[-2,2],所以·∈[0,12].]
14.解:(1)不妨设椭圆的方程为=1(a>b>0),
|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a.
在△PF1F2中,由余弦定理可知,
4c2=m2+n2-2mncos 60°
=(m+n)2-3mn
=4a2-3mn≥4a2-3
=4a2-3a2
=a2(当且仅当m=n时取等号),
所以≥,即e≥.
又因为0(2)证明:由(1)知4c2=4a2-3mn,所以mn=b2.
所以mnsin 60°=b2,
即△F1PF2的面积只与椭圆的短半轴长有关.
15.D [因为e=,所以|PF1|=e|PF2|,
由椭圆的定义得,|PF1|+|PF2|=2a,解得|PF2|=,
因为a-c≤|PF2|≤a+c,所以a-c≤≤a+c,
即1-e≤≤1+e,解得e≥-1,
因为 0所以椭圆C的离心率e的取值范围是[-1,1).故选D.]
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第1课时 椭圆的简单几何性质
第三章
圆锥曲线的方程
3.1 椭圆
3.1.2 椭圆的简单几何性质
[学习目标]
1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.(数学抽象)
2.能利用椭圆的简单几何性质求标准方程.(数学运算)
3.能运用椭圆的简单几何性质分析和解决问题.(逻辑推理)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1.椭圆的几何性质有哪些?
问题2.观察不同的椭圆,其扁平程度各不相同,如何刻画椭圆的扁平程度呢?
探究建构 关键能力达成
[提示] 范围:-a≤x≤a,-b≤y≤b;对称性:对称轴为x轴、y轴,对称中心为原点;特殊点:顶点A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b).
[新知生成]
1.椭圆的几何性质:范围、顶点、焦点、对称性.
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准
方程
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
范围 _____________________ ______________________
对称性 对称轴为______,对称中心为____
顶点 A1(-a,0),A2(a,0),
B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a),
B1(-b,0),B2(b,0)
-a≤x≤a且-b≤y≤b
-b≤x≤b且-a≤y≤a
坐标轴
原点
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
轴长 短轴长|B1B2|=____,长轴长|A1A2|=____
焦点 ____________________ ______________________
焦距 |F1F2|=____
a,b,c的关系 c2=a2-b2
2b
2a
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
2c
【教用·微提醒】 (1)椭圆的焦点一定在它的长轴上.
(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点,到中心的距离最大的点是长轴的两个端点.
(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点,最大值为a+c,最小值为a-c.
[典例讲评] 1.(源自北师大版教材)求椭圆9x2+25y2=225的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并用描点法画出它的图形.
x 0 1 2 3 4 5
y 3.0 2.9 2.7 2.4 1.8 0
先用描点法画出椭圆在第一象限内的图形,再利用对称性画出整个椭圆(如图所示).
发现规律 试总结根据椭圆方程研究其几何性质的步骤.
[提示] (1)将椭圆方程化为标准形式.
(2)确定焦点位置(焦点位置不确定的要分类讨论).
(3)求出a,b,c.
(4)写出椭圆的几何性质.
【教材原题·P112例4】
例4 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.
√
√
2.在椭圆的简单几何性质中,长轴长、短轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置,因此仅依据这些条件确定的椭圆的标准方程可能有两个.
探究3 求椭圆的离心率
问题2 观察下图,我们发现,不同椭圆的扁平程度不同,扁平程度是椭圆的重要形状特征,你能用离心率来刻画它吗?
[新知生成]
√
√
√
应用迁移 随堂评估自测
√
A [因为旋转后椭圆短轴的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,即2b=2c,即b=c.
A中,a2=8,b2=4,所以c2=a2-b2=4,
故b=c,所以A正确;
B中,a2=5,b2=3,所以c2=a2-b2=2≠3,所以B不正确;
C中,a2=6,b2=2,所以c2=a2-b2=4≠2,所以C不正确;
D中,a2=9,b2=6,所以c2=a2-b2=3≠6,所以D不正确.故选A.]
√
√
1.知识链:
2.方法链:待定系数法、方程法、分类讨论法.
3.警示牌:(1)忽略离心率的取值范围(0,1).
(2)把椭圆的长轴长误写作a.
回顾本节知识,自主完成以下问题:
1.试总结根据椭圆的标准方程研究其几何性质的步骤.
[提示] (1)化标准,把椭圆方程化成标准形式;
(2)定位置,根据标准方程中x2,y2对应分母的大小来确定焦点位置;
(3)求参数,写出a,b的值,并求出c的值;
(4)写性质,按要求写出椭圆的简单几何性质.
2.试总结根据椭圆的几何性质求其标准方程的思路.
[提示] 已知椭圆的几何性质,求其标准方程主要采用待定系数法,解题步骤为:
(1)确定焦点所在的位置,以确定椭圆标准方程的形式;
(2)确立关于a,b,c的方程(组),求出参数a,b,c;
(3)写出标准方程.
3.试总结求椭圆离心率及其取值范围的方法.
章末综合测评(一) 动量守恒定律
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课时分层作业(二十六) 椭圆的简单几何性质
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C [依题意,ab=6,由椭圆的对称性得,线段AB,F1F2互相平分于原点,
则四边形AF1BF2为平行四边形,
由椭圆的定义得4a=2(|AF1|+|AF2|)=12,解得a=3,
所以椭圆C的短半轴长b=2.
故选C.]
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14.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°.
(1)求椭圆离心率的取值范围;
(2)证明:△F1PF2的面积只与椭圆的短半轴长有关.
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15课时分层作业(二十六) 椭圆的简单几何性质
说明:单项选择题每题5分,多项选择题每题6分,填空题每题5分,本试卷共94分
一、选择题
1.(多选)已知椭圆C:=1,则下列说法中正确的是( )
A.椭圆C的焦点在x轴上
B.椭圆C的长轴长是2
C.椭圆C的焦距为4
D.椭圆C的离心率为
2.阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积,当我们垂直地缩小一个圆时,得到一个椭圆,椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C:=1(a>b>0)的面积为6π,两个焦点分别为F1,F2,直线y=kx与椭圆C交于A,B两点,若四边形AF1BF2的周长为12,则椭圆C的短半轴长为( )
A.4 B.3
C.2 D.6
3.已知A为椭圆C:+x2=1的右顶点,P为C上一点,则|PA|的最大值为( )
A. B.2
C.3 D.
4.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若=-2,则椭圆C的方程为( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
5.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率e=,短轴的右端点为B,M(1,0)为线段OB的中点,则椭圆C的标准方程为( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
二、填空题
6.椭圆=1的长轴长为________.
7.在平面直角坐标系Oxy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为.过F1的直线l交椭圆C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么椭圆C的标准方程为________.
8.设B,F2分别是椭圆C:=1(a>b>0)的右顶点和上焦点,点P在椭圆C上,且=2,则椭圆C的离心率为________.
三、解答题
9.已知椭圆C的长轴端点是A(-2,0)和B(2,0),离心率是.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若点P在椭圆C上,求点P到点M(0,1)的距离的取值范围.
10.开普勒第一定律也称椭圆定律、轨道定律,其内容如下:每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳运动,而太阳则处在椭圆的一个焦点上.将某行星H看作一个质点,H绕太阳运动的轨迹近似成曲线=1(m>n>0),行星在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离,距离太阳最远的距离称为远日点距离.若行星H的近日点距离和远日点距离之和是20(距离单位:亿千米),近日点距离和远日点距离之积是81,则m+n=( )
A.181 B.97 C.52 D.19
11.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一点,满足PF1⊥PF2,以C的短轴为直径作圆O,截直线PF1的弦长为b,则椭圆C的离心率为( )
A.
C.
12.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.若椭圆C上存在一点M,使得|F1F2|2=|MF1|·|MF2|,则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A. B.
C.
13.已知椭圆=1(a>b>0)的左顶点为A,左焦点为F,若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2,离心率e=,则椭圆的标准方程是________.若点P为椭圆上任意一点,则的取值范围是________.
14.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°.
(1)求椭圆离心率的取值范围;
(2)证明:△F1PF2的面积只与椭圆的短半轴长有关.
15.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆C上,若离心率e=,则椭圆C的离心率的取值范围为( )
A.(0,-1) B.
C. D.[-1,1)
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