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第1课时 双曲线及其标准方程
第三章
圆锥曲线的方程
3.2 双曲线
3.2.1 双曲线及其标准方程
[学习目标]
1．理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(数学抽象、直观想象)
2．掌握双曲线的标准方程及其求法．(数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．双曲线的定义中有怎样的限制条件？
问题2．双曲线的标准方程如何推导？
问题3．如何根据已知条件求解双曲线的标准方程？
探究建构 关键能力达成
探究1 双曲线的定义
问题1 做下面一个试验．
(1)取一条拉链，拉开一部分．
(2)在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上．
(3)把笔尖放在点M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线．
试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么几何条件？
[提示] 双曲线的一支．曲线上的点满足条件：||MF1|－|MF2||＝常数＜|F1F2|．
[新知生成]
文字
语言 平面内与两个定点F1，F2的距离的__________等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线
符号语言 ||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(2a＜|F1F2|)
焦点 定点__________
焦距 ________的距离
差的绝对值
F1，F2
两焦点间
【教用·微提醒】 (1)常数要小于两个定点间的距离．
(2)如果没有绝对值，动点的轨迹表示双曲线的一支．
(3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)．
(4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(5)当2a＝0时，动点的轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
[学以致用] 1．已知点F1(－5，0)，F2(5，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是( )
A．双曲线和一条直线
B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条直线
D．双曲线的一支和一条射线
√
D [依题意得|F1F2|＝10，
当a＝3时，
因为|PF1|－|PF2|＝2a＝6<|F1F2|，
故点P的轨迹为双曲线的右支；
当a＝5时，2a＝10＝|F1F2|，
故点P的轨迹为一条射线．]
探究2 双曲线的标准方程
问题2 设双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c，双曲线上的动点P满足||PF1|－|PF2||＝2a，其中c＞a＞0，以经过F1，F2两点的直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？
[新知生成]
双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 __________________________ ________________________
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) ___________________
a，b，c的关系 c2＝__________
F1(0，－c)，F2(0，c)
a2＋b2
【教用·微提醒】 (1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上．
记忆口诀：“焦点跟着正项走”．
(2)a与b没有大小关系．
(3)a，b，c满足c2＝a2＋b2．
【教材原题·P120例1】
例1 已知双曲线的两个焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，双曲线上一点P与F1，F2的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．
【教用·备选题】 已知圆C：(x＋3)2＋y2＝4及点A(3，0)，Q为圆周上一点，AQ的垂直平分线交直线CQ于点M，则动点M的轨迹方程为__________________．
发现规律 试总结用待定系数法求双曲线方程的步骤．
[提示] (1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．
(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．
(3)计算：利用题中条件列出方程(组)，求出相关值．
(4)结论：写出双曲线的标准方程．
[学以致用] 2．已知双曲线两个焦点分别为F1(0，－2)，F2(0，2)，并且双曲线经过点P(3，－2)，则该双曲线的标准方程为______________．
√
C [由题意知(k－2)(5－k)＜0，
即(k－2)(k－5)＞0，
解得k＞5或k＜2．
则实数k的取值范围是k＜2或k＞5．
故选C．]
[母题探究] 若该方程表示焦点在x轴上的双曲线，求实数k的取值范围．
√
应用迁移 随堂评估自测
√
√
√
22 [由题意得||PF1|－|PF2||＝2a＝16，
又|PF1|＝6，|PF2|＞0，所以|PF2|＝22．]
22
1．知识链：
2．方法链：待定系数法、分类讨论法．
3．警示牌：(1)易忽略双曲线的定义中的2a＜|F1F2|或把双曲线的一支误认为双曲线的两支．
(2)易忽略对双曲线焦点位置的判断．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．双曲线是如何定义的？请写出它的标准方程．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
一、选择题
1．已知动点P到点M(1，0)，N(－1，0)的距离之差的绝对值为2，则点P的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．两条射线 D．一条射线
课时分层作业(二十八) 双曲线及其标准方程
√
C [由题知||PM|－|PN||＝2，且|MN|＝2，则点P的轨迹是两条射线．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
3．已知点A(1，0)，B(－1，0)．动点M满足|MA|－|MB|＝2，则点M的轨迹方程是( )
A．y＝0(－1≤x≤1) B．y＝0(x≥1)
C．y＝0(x≤－1) D．y＝0(|x|≥1)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
C [∵点A(1，0)，B(－1，0)，∴|AB|＝2．
又动点M满足|MA|－|MB|＝2，
∴点M的轨迹为射线y＝0(x≤－1)．
故选C．]
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
2
1
3
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5
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8
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11
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14
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
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11
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13
14
3
题号
2
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3
4
5
6
8
7
9
10
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±3
11
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
三、解答题
9．已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围下的k值，分别指出方程所表示的曲线类型．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
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题号
2
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3
4
5
6
8
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10
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12
13
14
√
√
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
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10
11
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13
14
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
12．动点P与点F1(0，5)，F2(0，－5)满足|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程为________________________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
143.2 双曲线
3.2.1 双曲线及其标准方程
第1课时 双曲线及其标准方程
[学习目标]
1．理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(数学抽象、直观想象)
2．掌握双曲线的标准方程及其求法．(数学运算)
探究1 双曲线的定义
问题1 做下面一个试验．
(1)取一条拉链，拉开一部分．
(2)在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上．
(3)把笔尖放在点M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线．
试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么几何条件？
[新知生成]
文字 语言 平面内与两个定点F1，F2的距离的______________等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线
符号语言 ||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(2a＜|F1F2|)
焦点 定点______________
焦距 ______________的距离
[学以致用] 1．已知点F1(－5，0)，F2(5，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是( )
A．双曲线和一条直线
B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条直线
D．双曲线的一支和一条射线
探究2 双曲线的标准方程
问题2 设双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c，双曲线上的动点P满足||PF1|－|PF2||＝2a，其中c＞a＞0，以经过F1，F2两点的直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？
[新知生成]
双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ____________ ____________
焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) ______________
a，b，c的关系 c2＝______________
[典例讲评] 【链接教材P120例1】
1．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)c＝6，焦点在x轴上，且过点A(－5，2)；
(2)经过两点A(－7，－6)，B(，－3)．
[尝试解答]
试总结用待定系数法求双曲线方程的步骤．
(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．
(3)计算：利用题中条件列出方程(组)，求出相关值．
(4)结论：写出双曲线的标准方程．
[学以致用] 2．已知双曲线两个焦点分别为F1(0，－2)，F2(0，2)，并且双曲线经过点P(3，－2)，则该双曲线的标准方程为________．
3．与双曲线＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)的双曲线的标准方程为________．
探究3 双曲线标准方程的识别
[典例讲评] 2．若方程＝1表示双曲线，则实数k的取值范围是( )
A．2＜k＜5 B．k＞5
C．k＜2或k＞5 D．以上答案均不对
[尝试解答]
[母题探究] 若该方程表示焦点在x轴上的双曲线，求实数k的取值范围．
方程表示双曲线的条件
(1)对于方程＝1，当mn<0时表示双曲线，进一步来说，当m>0，n<0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y轴上的双曲线．
(2)对于方程＝1，当mn>0时表示双曲线，且当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y轴上的双曲线．
[学以致用] 4．“m＞2”是“方程＝1表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
1．已知双曲线Γ的方程为＝1，则它的其中一个焦点的坐标为( )
A．(，0) B．(0，)
C．(，0) D．(0，)
2．方程＝4的化简结果为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
3．(教材P121练习T3改编)“a＜”是“方程＝1表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．如果双曲线＝1上一点P到焦点F1的距离等于6，那么点P到另一焦点F2的距离是________．
1．知识链：
2．方法链：待定系数法、分类讨论法．
3．警示牌：(1)易忽略双曲线的定义中的2a＜|F1F2|或把双曲线的一支误认为双曲线的两支．
(2)易忽略对双曲线焦点位置的判断．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(二十八) 双曲线及其标准方程
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共89分
一、选择题
1．已知动点P到点M(1，0)，N(－1，0)的距离之差的绝对值为2，则点P的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．两条射线 D．一条射线
2．若椭圆＝1与双曲线＝1有相同的焦点，则a的值为( )
A．1 B．1或－2
C．1或
3．已知点A(1，0)，B(－1，0)．动点M满足|MA|－|MB|＝2，则点M的轨迹方程是( )
A．y＝0(－1≤x≤1) B．y＝0(x≥1)
C．y＝0(x≤－1) D．y＝0(|x|≥1)
4．若方程＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是( )
A．－2＜m＜－1 B．m＞－1
C．m＜－2 D．m＜－2或m＞－1
5．过点(2，2)且与椭圆9x2＋3y2＝27有相同焦点的双曲线方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
二、填空题
6．若双曲线－y2＝1的焦距为4，则实数m的值为________．
7．若点P在双曲线＝1上，且点P的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，则点P的纵坐标为________，点P与双曲线的左焦点之间的距离为________．
8．经过两点(－3，6)，(2，3)的双曲线的标准方程为________．
三、解答题
9．已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围下的k值，分别指出方程所表示的曲线类型．
10．(多选)已知曲线C：mx2＋ny2＝1，则( )
A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为
C．若mn＜0，则C是双曲线
D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线
11．已知点M为双曲线C：＝1的左支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，则|MF1|＋|F1F2|－|MF2|＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
12．动点P与点F1(0，5)，F2(0，－5)满足|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程为________．
13．在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan∠PMN＝，求以M，N为焦点，且过点P的双曲线的方程．
14．已知P为双曲线＝1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心．若＝＋8，则△MF1F2的面积为( )
A．2 B．10
C．8 D．5
21世纪教育网(www.21cnjy.com)3.2 双曲线
3.2.1 双曲线及其标准方程
第1课时 双曲线及其标准方程
[学习目标]
1．理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(数学抽象、直观想象)
2．掌握双曲线的标准方程及其求法．(数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．双曲线的定义中有怎样的限制条件？
问题2．双曲线的标准方程如何推导？
问题3．如何根据已知条件求解双曲线的标准方程？
探究1 双曲线的定义
问题1 做下面一个试验．
(1)取一条拉链，拉开一部分．
(2)在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上．
(3)把笔尖放在点M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线．
试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么几何条件？
[提示] 双曲线的一支．曲线上的点满足条件：||MF1|－|MF2||＝常数＜|F1F2|．
[新知生成]
文字 语言 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线
符号语言 ||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(2a＜|F1F2|)
焦点 定点F1，F2
焦距 两焦点间的距离
【教用·微提醒】 (1)常数要小于两个定点间的距离．
(2)如果没有绝对值，动点的轨迹表示双曲线的一支．
(3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)．
(4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(5)当2a＝0时，动点的轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
[学以致用] 1．已知点F1(－5，0)，F2(5，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是( )
A．双曲线和一条直线
B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条直线
D．双曲线的一支和一条射线
D [依题意得|F1F2|＝10，
当a＝3时，
因为|PF1|－|PF2|＝2a＝6<|F1F2|，
故点P的轨迹为双曲线的右支；
当a＝5时，2a＝10＝|F1F2|，
故点P的轨迹为一条射线．]
探究2 双曲线的标准方程
问题2 设双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c，双曲线上的动点P满足||PF1|－|PF2||＝2a，其中c＞a＞0，以经过F1，F2两点的直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？
[提示] ＝1(a＞0，b＞0)．
[新知生成]
双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程
焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
【教用·微提醒】 (1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上．
记忆口诀：“焦点跟着正项走”．
(2)a与b没有大小关系．
(3)a，b，c满足c2＝a2＋b2．
[典例讲评] 【链接教材P120例1】
1．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)c＝6，焦点在x轴上，且过点A(－5，2)；
(2)经过两点A(－7，－6)，B(，－3)．
[解] (1)由题意，设所求双曲线的标准方程为＝1，a＞0，b＞0，
由题意得
解得a2＝20，b2＝16，
所以所求双曲线的标准方程为＝1．
(2)法一：当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为＝1(a＞0，b＞0)．
因为点A，B在双曲线上，所以
解得所以双曲线的标准方程为x2－＝1．
当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为＝1(a＞0，b＞0)．
因为点A，B在双曲线上，所以
该方程组无解．
所以双曲线的标准方程为x2－＝1．
法二：设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，
因为点A，B在此双曲线上，
所以
解得m＝1，n＝－，
所以所求双曲线的标准方程为x2－＝1．
【教材原题·P120例1】
例1 已知双曲线的两个焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，双曲线上一点P与F1，F2的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．
[解] 因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为
＝1(a＞0，b＞0)．
由2c＝10，2a＝6，得c＝5，又a＝3，因此b2＝52－32＝16．
所以，双曲线的标准方程为
＝1．
【教用·备选题】 已知圆C：(x＋3)2＋y2＝4及点A(3，0)，Q为圆周上一点，AQ的垂直平分线交直线CQ于点M，则动点M的轨迹方程为________．
x2－＝1 [由AQ的垂直平分线交直线CQ于点M，
得|MA|＝|MQ|，又圆C的半径为2，
所以||MC|－|MA||＝2＜|AC|＝6，
故点M的轨迹是以C，A为焦点的双曲线，
所以2a＝2，2c＝6，
所以a＝1，c＝3，b2＝c2－a2＝8．
又双曲线的焦点在x轴上，故动点M的轨迹方程为x2－＝1．]
试总结用待定系数法求双曲线方程的步骤．
[提示] (1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．
(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．
(3)计算：利用题中条件列出方程(组)，求出相关值．
(4)结论：写出双曲线的标准方程．
[学以致用] 2．已知双曲线两个焦点分别为F1(0，－2)，F2(0，2)，并且双曲线经过点P(3，－2)，则该双曲线的标准方程为________．
y2－＝1 [由于双曲线的焦点在y轴上，故可设它的标准方程为＝1(a>0，b>0)．
已知焦点F1，F2及双曲线上一点P，由双曲线的定义可知2a＝|PF2|－|PF1|＝－3＝5－3＝2，因此a＝1．
又因为c＝2，所以b2＝c2－a2＝4－1＝3．
因此，所求双曲线的标准方程为y2－＝1．]
3．与双曲线＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)的双曲线的标准方程为________．
＝1 [法一：因为两双曲线焦点相同，所以设所求双曲线的标准方程为＝1(a＞0，b＞0)，
所以c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20．①
因为双曲线经过点(3，2)，
所以＝1．②
由①②得a2＝12，b2＝8，
所以双曲线的标准方程为＝1．
法二：设所求双曲线的方程为＝1(－4＜λ＜16)．
因为双曲线经过点(3，2)，所以＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
所以所求双曲线的标准方程为＝1．]
探究3 双曲线标准方程的识别
[典例讲评] 2．若方程＝1表示双曲线，则实数k的取值范围是( )
A．2＜k＜5 B．k＞5
C．k＜2或k＞5 D．以上答案均不对
C [由题意知(k－2)(5－k)＜0，
即(k－2)(k－5)＞0，
解得k＞5或k＜2．
则实数k的取值范围是k＜2或k＞5．
故选C．]
[母题探究] 若该方程表示焦点在x轴上的双曲线，求实数k的取值范围．
[解] 方程表示焦点在x轴上的双曲线，
则有解得k＞5．
因此实数k的取值范围是(5，＋∞)．
方程表示双曲线的条件
(1)对于方程＝1，当mn<0时表示双曲线，进一步来说，当m>0，n<0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y轴上的双曲线．
(2)对于方程＝1，当mn>0时表示双曲线，且当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y轴上的双曲线．
[学以致用] 4．“m＞2”是“方程＝1表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [若方程＝1表示双曲线，则(m－2)·(m－1)＞0，解得m＜1或m＞2，所以“m＞2”是“方程＝1表示双曲线”的充分不必要条件．故选A．]
1．已知双曲线Γ的方程为＝1，则它的其中一个焦点的坐标为( )
A．(，0) B．(0，)
C．(，0) D．(0，)
D [已知双曲线Γ的方程为＝1，则双曲线的焦点在y轴上，且a2＝56，b2＝49，
所以c＝＝，则它的其中一个焦点的坐标为(0，)．
故选D．]
2．方程＝4的化简结果为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
A [根据题意可得，方程＝4的几何意义为：平面上一点到两定点(－，0)，(，0)的距离之差的绝对值为4，
则a＝2，c＝，则a2＝4，b2＝2，
则根据双曲线的定义可得标准方程为＝1．
故选A．]
3．(教材P121练习T3改编)“a＜”是“方程＝1表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [若方程＝1表示双曲线，则3a(4a－1)＜0，解得0＜a＜．
当a＜时，方程＝1不一定表示双曲线，例如当a＝－1时；
而当方程＝1表示双曲线时，一定有0＜a＜，即一定满足a＜．
∴“a＜”是“方程＝1表示双曲线”的必要不充分条件．
故选B．]
4．如果双曲线＝1上一点P到焦点F1的距离等于6，那么点P到另一焦点F2的距离是________．
22 [由题意得||PF1|－|PF2||＝2a＝16，
又|PF1|＝6，|PF2|＞0，所以|PF2|＝22．]
1．知识链：
2．方法链：待定系数法、分类讨论法．
3．警示牌：(1)易忽略双曲线的定义中的2a＜|F1F2|或把双曲线的一支误认为双曲线的两支．
(2)易忽略对双曲线焦点位置的判断．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．双曲线是如何定义的？请写出它的标准方程．
[提示] 定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．
标准方程：＝1(a>0，b>0)和＝1(a>0，b>0)．
2．若方程＝1表示双曲线，则m，n满足的条件是什么？若方程表示焦点在x轴(y轴)上的双曲线，则m，n需要满足什么条件？
[提示] (1)若方程表示双曲线，则满足mn>0．
(2)若方程表示焦点在x轴上的双曲线，则满足
(3)若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则满足
课时分层作业(二十八) 双曲线及其标准方程
一、选择题
1．已知动点P到点M(1，0)，N(－1，0)的距离之差的绝对值为2，则点P的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．两条射线 D．一条射线
C [由题知||PM|－|PN||＝2，且|MN|＝2，则点P的轨迹是两条射线．故选C．]
2．若椭圆＝1与双曲线＝1有相同的焦点，则a的值为( )
A．1 B．1或－2
C．1或
A [由题意知解得a＝1．]
3．已知点A(1，0)，B(－1，0)．动点M满足|MA|－|MB|＝2，则点M的轨迹方程是( )
A．y＝0(－1≤x≤1) B．y＝0(x≥1)
C．y＝0(x≤－1) D．y＝0(|x|≥1)
C [∵点A(1，0)，B(－1，0)，∴|AB|＝2．
又动点M满足|MA|－|MB|＝2，
∴点M的轨迹为射线y＝0(x≤－1)．
故选C．]
4．若方程＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是( )
A．－2＜m＜－1 B．m＞－1
C．m＜－2 D．m＜－2或m＞－1
D [若方程＝1表示的曲线为双曲线，
则(2＋m)(m＋1)＞0，
解得m＜－2或m＞－1．
故选D．]
5．过点(2，2)且与椭圆9x2＋3y2＝27有相同焦点的双曲线方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
D [由椭圆9x2＋3y2＝27，得＝1，
所以椭圆焦点在y轴上，且c＝＝，即上焦点坐标为(0，)，
设双曲线的方程为＝1(a＞0，b＞0)，
则解得a2＝2，b2＝4，
故双曲线的方程为＝1．故选D．]
二、填空题
6．若双曲线－y2＝1的焦距为4，则实数m的值为________．
3 [双曲线－y2＝1的焦距为4，所以m＞0，
所以22＝m＋1，解得m＝3．]
7．若点P在双曲线＝1上，且点P的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，则点P的纵坐标为________，点P与双曲线的左焦点之间的距离为________．
±3 11 [记双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，设P(xP，yP)．因为点P的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，所以xP＝＝2，所以＝1，解得yP＝±3，所以|PF2|＝3．由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a＝8，所以|PF1|＝11．]
8．经过两点(－3，6)，(2，3)的双曲线的标准方程为________．
x2－＝1 [设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，
故解得
故双曲线的标准方程为x2－＝1．]
三、解答题
9．已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围下的k值，分别指出方程所表示的曲线类型．
[解] (1)当k＝0时，方程为y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；
(2)当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心为原点，半径为2的圆；
(3)当k＜0时，方程为＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；
(4)当0＜k＜1时，方程为＝1，表示焦点在x轴上的椭圆；
(5)当k＞1时，方程为＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．
10．(多选)已知曲线C：mx2＋ny2＝1，则( )
A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为
C．若mn＜0，则C是双曲线
D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线
ACD [对于A，当m＞n＞0时，有＞＞0，
方程化为＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；
对于B，由m＝n＞0，方程变形为x2＋y2＝，
该方程表示半径为的圆，故B错误；
对于C，由mn＜0知曲线C是双曲线，故C正确；
对于D，当m＝0，n＞0时，方程变为ny2＝1，表示两条直线，故D正确．
故选ACD．]
11．已知点M为双曲线C：＝1的左支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，则|MF1|＋|F1F2|－|MF2|＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
A [由于M为双曲线C：＝1的左支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，所以|MF2|－|MF1|＝2a，故|MF1|＋|F1F2|－|MF2|＝2c－2a，由于a＝2，b＝，c＝＝3，
所以|MF1|＋|F1F2|－|MF2|＝2c－2a＝6－4＝2．故选A．]
12．动点P与点F1(0，5)，F2(0，－5)满足|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程为________．
＝1(y≤－3) [由|PF1|－|PF2|＝6＜|F1F2|＝10知，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的下支，故c＝5，2a＝6，∴a＝3，∴b2＝16，
故动点P的轨迹方程是＝1(y≤－3)．]
13．在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan∠PMN＝，求以M，N为焦点，且过点P的双曲线的方程．
[解] 因为△MPN的周长为48，且tan ∠PMN＝，所以设|PN|＝3k，|PM|＝4k，则|MN|＝5k．
由3k＋4k＋5k＝48，得k＝4．所以|PN|＝12，|PM|＝16，|MN|＝20．
若焦点在x轴上，以MN所在直线为x轴，以MN的中点O为原点建立平面直角坐标系，如图所示．
设所求双曲线方程为＝1(a>0，b>0)．
由|PM|－|PN|＝4，得2a＝4，a＝2，a2＝4．
由|MN|＝20，得2c＝20，c＝10，c2＝100，
所以b2＝c2－a2＝100－4＝96，故所求方程为＝1；
若焦点在y轴上，同理可得双曲线的方程为＝1．
综上所述，所求双曲线的方程为＝1或＝1．
14．已知P为双曲线＝1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心．若＝＋8，则△MF1F2的面积为( )
A．2 B．10
C．8 D．5
B [设△PF1F2的内切圆的半径为R，
由双曲线的标准方程可知a＝4，b＝3，c＝5．
因为＝＋8，所以(|PF1|－|PF2|)R＝8，即aR＝8，所以R＝2，所以＝·2c·R＝10．]
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(二十八)
1．C [由题知||PM|－|PN||＝2，且|MN|＝2，则点P的轨迹是两条射线．故选C．]
2．A [由题意知解得a＝1．]
3．C [∵点A(1，0)，B(－1，0)，∴|AB|＝2．
又动点M满足|MA|－|MB|＝2，
∴点M的轨迹为射线y＝0(x≤－1)．
故选C．]
4．D [若方程＝1表示的曲线为双曲线，
则(2＋m)(m＋1)>0，解得m<－2或m>－1．
故选D．]
5．D [由椭圆9x2＋3y2＝27，得＝1，
所以椭圆焦点在y轴上，且c＝，即上焦点坐标为(0，)，设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)，
则解得a2＝2，b2＝4，
故双曲线的方程为＝1．故选D．]
6．3 [双曲线－y2＝1的焦距为4，所以m>0，
所以22＝m＋1，解得m＝3．]
7．±3 11 [记双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，设P(xP，yP)．因为点P的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，所以xP＝，所以＝1，解得yP＝±3，所以|PF2|＝3．由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a＝8，所以|PF1|＝11．]
8．x2－＝1 [设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
故
故双曲线的标准方程为x2－＝1．]
9．解：(1)当k＝0时，方程为y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；
(2)当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心为原点，半径为2的圆；
(3)当k<0时，方程为＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；
(4)当0(5)当k>1时，方程为＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．
10．ACD [对于A，当m>n>0时，有>0，
方程化为＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；
对于B，由m＝n>0，方程变形为x2＋y2＝，
该方程表示半径为的圆，故B错误；
对于C，由mn<0知曲线C是双曲线，故C正确；
对于D，当m＝0，n>0时，方程变为ny2＝1，表示两条直线，故D正确．故选ACD．]
11．A [由于M为双曲线C：＝1的左支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，所以|MF2|－|MF1|＝2a，故|MF1|＋|F1F2|－|MF2|＝2c－2a，
由于a＝2，b＝，c＝＝3，
所以|MF1|＋|F1F2|－|MF2|＝2c－2a＝6－4＝2．故选A．]
12．＝1(y≤－3) [由|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|＝10知，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的下支，故c＝5，2a＝6，∴a＝3，∴b2＝16，故动点P的轨迹方程是＝1(y≤－3)．]
13．解：因为△MPN的周长为48，且tan∠PMN＝，所以设|PN|＝3k，|PM|＝4k，则|MN|＝5k．
由3k＋4k＋5k＝48，得k＝4．
所以|PN|＝12，|PM|＝16，|MN|＝20．
若焦点在x轴上，以MN所在直线为x轴，以MN的中点O为原点建立平面直角坐标系，如图所示．
设所求双曲线方程为＝1(a>0，b>0)．
由|PM|－|PN|＝4，得2a＝4，a＝2，a2＝4．
由|MN|＝20，得2c＝20，c＝10，c2＝100，
所以b2＝c2－a2＝100－4＝96，故所求方程为＝1；
若焦点在y轴上，同理可得双曲线的方程为＝1．
综上所述，所求双曲线的方程为＝1．
14．B [设△PF1F2的内切圆的半径为R，
由双曲线的标准方程可知a＝4，b＝3，c＝5．
因为＋8，
所以(|PF1|－|PF2|)R＝8，即aR＝8，所以R＝2，
所以·2c·R＝10．]
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