课时分层作业(三十三) 抛物线的简单几何性质
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共91分
一、选择题
1．已知点F为抛物线C：y2＝8x的焦点，M为抛物线C上一点，且|MF|＝4，则M到x轴的距离为( )
A．4 B．4
C．8 D．16
2．已知抛物线C：y2＝4x，过焦点F且斜率为的直线与抛物线C交于两个不同的点A，B，则线段AB的长为( )
A．2 B．4
C．40 D．20
3．(多选)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，O为坐标原点，点M(x0，y0)在抛物线C上，若|MF|＝5，则( )
A．F的坐标为(1，0) B．y0＝4
C．|OM|＝4 D．S△OFM＝2
4．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F且斜率大于0的直线l交C于A，B两点，若|AB|＝，则l的斜率为( )
A．
C．
5．已知P(2，4)是抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，过C的焦点F的直线l与C交于A，B两点，则|AF|＋9|BF|的最小值为( )
A．24 B．28
C．30 D．32
二、填空题
6．设P是抛物线y2＝4x上任意一点，A(3，0)，则|PA|的最小值为________．
7．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若|AB|＝12，那么x1＋x2＝________．
8．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，且C经过点A(x0，2)，O为坐标原点，若|AF|＝3|OF|，则p的值为________．
三、解答题
9．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
10．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的弦AB，其中点A在第一象限，若|AF|＝4|BF|，则直线AB的斜率为( )
A．
C．
11．(多选)在直角坐标系Oxy中，已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过点F的倾斜角为的直线l与C相交于A，B两点，且点A在第一象限，△OAB的面积是2，则( )
A．p＝2 B．|AB|＝9
C．＝1 D．|AF|＝2＋
12．已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________ ．
13．已知抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程．
14．(多选)已知点F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，AB，CD是经过点F的弦且AB⊥CD，直线AB的斜率k>0，B，C两点在x轴上方，O为坐标原点，则下列结论中正确的是( )
A．＝－p2
B．四边形ACBD面积的最小值为16p2
C．＝
D．若|AF|·|BF|＝4p2，则直线CD的斜率为－
21世纪教育网(www.21cnjy.com)3.3.2 抛物线的简单几何性质
第1课时 抛物线的简单几何性质
[学习目标]
1．掌握抛物线的几何性质．(数学抽象)
2．能利用方程及数形结合思想解决焦点弦等问题．(逻辑推理、数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．抛物线有哪些几何性质？
问题2．如何求过抛物线的焦点的弦的弦长？
探究1 抛物线的几何性质
问题1 已知抛物线C的方程为y2＝2x，根据这个方程完成下列任务．
(1)观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出抛物线C在平面直角坐标系中的位置特征；
(2)指出抛物线C是否具有对称性；
(3)指出抛物线C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标．
[提示] (1)由y2＝2x知y∈R，x≥0，抛物线C位于y轴及y轴右侧．
(2)抛物线C关于x轴对称，不关于y轴对称，也不关于原点对称．
(3)抛物线C与x轴、y轴都只有一个交点，交点都是原点(0，0)．
[新知生成]
标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0)
图形
性 质 焦点
准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0， y∈R x≤0， y∈R y≥0， x∈R y≤0， x∈R
对称 轴 x轴 y轴
顶点 (0，0)
离心率 e＝1
【教用·微提醒】 (1)抛物线没有渐近线，在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状，因为双曲线的开口越来越开阔，而抛物线的开口越来越扁平．
(2)抛物线的顶点只有一个，抛物线的焦点总在对称轴上，抛物线的准线始终与对称轴垂直．
(3)影响抛物线开口大小的量是参数p，p值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小．
[典例讲评] 【链接教材P134例3】
1．求适合下列条件的抛物线的标准方程，并写出焦点坐标与准线方程．
(1)焦点F关于准线的对称点为M(0，－9)；
(2)关于y轴对称，与直线y＝－12相交所得线段的长为12．
[解] (1)由题意知，可设抛物线的标准方程为x2＝2py(p＞0)，F，准线方程为y＝－．
因为焦点F关于准线的对称点为M(0，－9)，
所以＝－，解得p＝6，
所以所求抛物线的标准方程为x2＝12y，焦点坐标为(0，3)，准线方程为y＝－3．
(2)设所求抛物线的标准方程为x2＝－2py(p＞0)，设直线y＝－12与抛物线交于M，N两点，将点N(6，－12)代入抛物线方程可得p＝，所以所求抛物线的标准方程为x2＝－3y，焦点坐标为，准线方程为y＝．
【教材原题·P134例3】
例3 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点M(2，－2)，求它的标准方程．
[解] 因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点M(2，－2)，所以可设它的标准方程为
y2＝2px(p＞0)．
因为点M在抛物线上，所以
(－2)2＝2p×2，
解得p＝2．
因此，所求抛物线的标准方程是
y2＝4x．
把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
(1)开口：由抛物线的标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．
(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．
(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1．
[学以致用] 1．已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长为2，求抛物线的方程．
[解] 设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，抛物线与圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，则|y1|＋|y2|＝2，即y1－y2＝2．由对称性，知y2＝－y1，代入上式，得y1＝，把y1＝代入x2＋y2＝4，得x1＝±1，所以点(1，)在抛物线y2＝2px(p＞0)上，点(－1，)在抛物线y2＝－2px(p＞0)上，可得p＝，所以所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x．
探究2 抛物线的焦点弦长
[典例讲评] 【链接教材P135例4】
2．经过抛物线x2＝4y的焦点的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|＝4，则△OAB(O为坐标原点)的面积为________．
2 [由题意知，直线的斜率存在，抛物线x2＝4y的焦点F(0，1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB：y＝kx＋1，联立方程消去x可得y2－(2＋4k2)y＋1＝0，Δ＝(2＋4k2)2－4＝16k4＋16k2≥0，则y1＋y2＝2＋4k2，y1y2＝1，
因为|AB|＝|AF|＋|FB|＝y1＋y2＋2＝2＋4k2＋2＝4，所以k2＝0，即k＝0，
所以直线AB：y＝1，所以点O到直线AB的距离为|OF|＝1，
所以S△OAB＝|OF|·|AB|＝×1×4＝2．]
【教材原题·P135例4】
例4 斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．
[分析] 由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标，又直线l的斜率为1，所以可以求出直线l的方程；与抛物线的方程联立，可以求出A，B两点的坐标；利用两点间的距离公式可以求出|AB|．这种方法思路直接，具有一般性．请你用此方法求|AB|．
下面介绍另外一种方法——数形结合的方法．
在图3.3 4中，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由抛物线的定义可知，|AF|等于点A到准线的距离|AA′|．由p＝2，＝1，得|AA′|＝x1＋＝x1＋1，于是|AF|＝x1＋1．同理，|BF|＝|BB′|＝x2＋＝x2＋1，于是得
|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋2．
由此可见，只要求出点A，B的横坐标之和x1＋x2，就可以求出|AB|．
[解] 由题意可知，p＝2，＝1，焦点F的坐标为(1，0)，准线方程为x＝－1．如图3.3 4，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B两点到准线的距离分别为dA，dB．由抛物线的定义，可知
|AF|＝dA＝x1＋1，|BF|＝dB＝x2＋1，
于是|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2．
因为直线l的斜率为1，且过焦点F(1，0)，所以直线l的方程为
y＝x－1．①
将①代入方程y2＝4x，得(x－1)2＝4x，化简，得
x2－6x＋1＝0．
所以x1＋x2＝6，|AB|＝x1＋x2＋2＝8．
所以，线段AB的长是8．
抛物线焦点弦长
1．AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点的弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p．
2．抛物线的通径
(1)定义：过抛物线的焦点作垂直于对称轴的直线，交抛物线于A，B两点，线段AB被称为抛物线的通径．如图所示，
对于抛物线y2＝2px(p＞0)，由A，B，可得|AB|＝2p，所以抛物线的通径长为2p．
(2)通径是所有焦点弦中长度最短的弦．
[学以致用] 2．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F(2，0)，直线l：y＝k(x－2)与抛物线C相交于不同的两点A，B．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若|AB|＝9，求k的值．
[解] (1)由抛物线的焦点(2，0)，∴＝2，∴p＝4，
∴抛物线C的方程为y2＝8x．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由直线l过抛物线的焦点，
得|AB|＝x1＋x2＋4＝9，∴x1＋x2＝5，
联立方程消去y得k2x2－(8＋4k2)x＋4k2＝0，Δ＝64(k2＋1)＞0，
∴x1＋x2＝＝5，∴k＝±2．
故k的值为2或－2．
探究3 抛物线焦点弦的性质
[典例讲评] 3．(1)已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若＝－12，则抛物线C的方程为( )
A．x2＝8y B．x2＝4y
C．y2＝8x D．y2＝4x
(2)经过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为7，那么p＝________．
(1)C (2)2 [(1)设抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
设直线AB的方程为x＝my＋，
联立
消去x，得y2－2pmy－p2＝0，Δ＞0，
则y1y2＝－p2，x1x2＝＝，
得＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－p2＝－12，
解得p＝4或p＝－4(舍去)，
即抛物线C的方程为y2＝8x．故选C．
(2)法一：抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，直线l的方程为y＝，
联立
可得＝2px，整理得4x2－28px＋p2＝0，Δ＝(－28p)2－4×4p2＝768k2＞0．
设A，B的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2＝7p，
由线段AB的中点M的横坐标为7，
可得p＝7，解得p＝2．
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵AB的中点M的横坐标为7，∴x1＋x2＝14，
∴14＋p＝，∴p＝2．]
【教材原题·P136例5】
例5 经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴．
[分析] 我们用坐标法证明这个结论，即通过建立抛物线及直线的方程，运用方程研究直线DB与抛物线对称轴之间的位置关系．建立如图3.3 5所示的直角坐标系，只要证明点D的纵坐标与点B的纵坐标相等即可．
[证明] 如图3.3 5，以抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系Oxy．设抛物线的方程为
y2＝2px(p＞0)， ①
点A的坐标为(y0≠0)，则直线OA的方程为y＝x， ②
抛物线的准线方程是x＝－． ③
联立②③，可得点D的纵坐标为－．
因为焦点F的坐标是，当≠p2时，直线AF的方程为
y＝．④
联立①④，消去x，可得－p2)y－y0p2＝0，即(y－y0)(y0y＋p2)＝0，
可得点B的纵坐标为－，与点D的纵坐标相等，于是DB平行于x轴．
当＝p2时，易知结论成立．
所以，直线DB平行于抛物线的对称轴．
【教材原题·P137例6】
例6 如图3.3 6，已知定点B(a，－h)，BC⊥x轴于点C，M是线段OB上任意一点，MD⊥x轴于点D，ME⊥BC于点E，OE与MD相交于点P，求点P的轨迹方程．
[解] 设点P(x，y)，M(x，m)，其中0≤x≤a，则点E的坐标为(a，m)．
由题意，直线OB的方程为
y＝－x． ①
因为点M在OB上，将点M的坐标代入①，得
m＝－x， ②
所以点P的横坐标x满足②．
直线OE的方程为
y＝x， ③
因为点P在OE上，所以点P的坐标(x，y)满足③．
将②代入③，消去m，得
x2＝－y(0≤x≤a)，
即点P的轨迹方程．
抛物线焦点弦的性质
如图，AB是抛物线y2＝2px(p＞0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l．
(1)x1·x2＝，y1·y2＝－p2．
(2)以弦AB为直径的圆与准线相切．
(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝2＝(α是直线AB的倾斜角，α≠0°)．
(4)＝为定值．
[学以致用] 3．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A(4，n)(n＞0)为C上一点，且|AF|＝5，直线AF交C于另一点B，记坐标原点为O，则＝( )
A．5 B．－4
C．3 D．－3
D [由抛物线的定义可得，|AF|＝4＋＝5，∴p＝2，
∴抛物线C的方程为y2＝4x，∵A(4，n)为C上一点，
令x＝4，得n2＝16，∵n＞0，∴n＝4，∴A(4，4)，
∵＝＝1，∴|BF|＝，
∴xB＝|BF|－＝－1＝＝1，
∵点A在第一象限，∴点B在第四象限，
∴yB＝－1，∴B，
∵＝(4，4)，＝，∴＝4×－4×1＝－3．
故选D．]
1．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则p＝( )
A．1 B．2
C．2 D．4
B [抛物线的焦点坐标为，其到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝，
解得p＝2或p＝－6(舍去)．故选B．]
2．(多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．x2＝8y D．x2＝－8y
CD [以y轴为对称轴的抛物线的标准方程为x2＝±2py(p＞0)，排除选项A，B．又因为2p＝8，故选CD．]
3．(教材P136练习T4改编)抛物线y2＝2x上有两点A，B，且AB垂直于x轴．若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为( )
A．
C．
A [因为|AB|＝2，AB垂直于x轴，不妨设点A的纵坐标为，代入抛物线方程得x＝1，所以线段AB所在直线方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为1－＝．故选A．]
4．过抛物线y2＝8x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1＋x2＝6，则线段AB的中点M到抛物线的准线的距离为________．
5 [由抛物线方程y2＝8x，得p＝4．
线段AB的中点M的横坐标为，其到准线距离为，又x1＋x2＝6，所以＝5．
故线段AB的中点M到抛物线的准线的距离为5．]
1．知识链：
2．方法链：图象法(数形结合)、待定系数法．
3．警示牌：易忽略焦点位置而出错．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．抛物线有哪些几何性质？
[提示] 范围、对称性、焦点坐标、准线方程、顶点坐标、离心率．
2．利用抛物线的性质可以解决哪些问题？
[提示] (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题．
(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题．
(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题．
(4)焦点弦：解决焦点弦问题．
课时分层作业(三十三) 抛物线的简单几何性质
一、选择题
1．已知点F为抛物线C：y2＝8x的焦点，M为抛物线C上一点，且|MF|＝4，则M到x轴的距离为( )
A．4 B．4
C．8 D．16
A [因为F为抛物线C：y2＝8x的焦点，所以F(2，0)．
设M(x1，y1)，由抛物线的性质，得x1＝4－2＝2，
所以＝8×2＝16 |y1|＝4，故M到x轴的距离为4．
故选A．]
2．已知抛物线C：y2＝4x，过焦点F且斜率为的直线与抛物线C交于两个不同的点A，B，则线段AB的长为( )
A．2 B．4
C．40 D．20
D [已知抛物线C：y2＝4x，则焦点F的坐标为(1，0)，
所以过焦点F且斜率为的直线方程为y＝(x－1)，
联立消去y可得x2－18x＋1＝0，Δ＞0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝18，
则|AB|＝x1＋x2＋2＝20．故选D．]
3．(多选)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，O为坐标原点，点M(x0，y0)在抛物线C上，若|MF|＝5，则( )
A．F的坐标为(1，0) B．y0＝4
C．|OM|＝4 D．S△OFM＝2
BCD [由抛物线C：x2＝4y，可得p＝2，所以＝1，且焦点在y轴正半轴上，则焦点F(0，1)，所以A错误；
由抛物线的定义，可得|MF|＝y0＋1＝5，解得y0＝4，所以B正确；
由y0＝4，可得＝16，所以x0＝±4，则|OM|＝＝4，所以C正确；
由S△OFM＝|OF|·|x0|＝2，所以D正确．故选BCD．]
4．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F且斜率大于0的直线l交C于A，B两点，若|AB|＝，则l的斜率为( )
A．
C．
B [根据题意可知F(1，0)，p＝2，
∴设直线l的方程为y＝k(x－1)，k＞0，
联立消去y可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ＞0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝＝2＋，
∴|AB|＝p＋x1＋x2＝2＋2＋＝，又k＞0，
解得k＝．故选B．]
5．已知P(2，4)是抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，过C的焦点F的直线l与C交于A，B两点，则|AF|＋9|BF|的最小值为( )
A．24 B．28
C．30 D．32
D [由题意可得p＝4，故抛物线C：y2＝8x，F(2，0)，准线方程为x＝－2．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，不妨设y1＞0＞y2，直线l的斜率不为0，
设直线l的方程为x＝my＋2，联立可得y2－8my－16＝0，Δ＞0，
∴y1＋y2＝8m，y1y2＝－16，x1x2＝(2＋my1)(2＋my2)＝m2y1y2＋2m(y1＋y2)＋4＝4，
则|AF|＋9|BF|＝x1＋2＋9(x2＋2)＝x1＋9x2＋20≥2＋20＝32，
当且仅当x1＝9x2且x1x2＝4时取等号，∴|AF|＋9|BF|的最小值为32．故选D．]
二、填空题
6．设P是抛物线y2＝4x上任意一点，A(3，0)，则|PA|的最小值为________．
2 [设点P的坐标为(x，y)，因为y2＝4x，x≥0，则|PA|2＝(x－3)2＋y2＝x2－6x＋9＋4x＝x2－2x＋9＝(x－1)2＋8．当x＝1时，|PA|取得最小值，为2．]
7．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若|AB|＝12，那么x1＋x2＝________．
10 [由题意可得p＝2，故抛物线的准线方程是x＝－1，
∵过抛物线 y2＝4x 的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
∴|AB|＝x1＋x2＋2＝12，解得x1＋x2＝10．]
8．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，且C经过点A(x0，2)，O为坐标原点，若|AF|＝3|OF|，则p的值为________．
[如图，A(x0，2)在抛物线上，过点A作抛物线的准线的垂线，垂足为G，
由|AF|＝3|OF|，得|AG|＝3|OF|，
∴x0＋＝p，即x0＝p，可得A(p，2)，
代入y2＝2px，得4＝2p2，解得p＝或p＝－(舍去)．]
三、解答题
9．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
[解] (1)法一：因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan 60°＝，
又F，
所以直线l的方程为y＝．
联立
消去y得x2－5x＋＝0，Δ＝16＞0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，
而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，∴|AB|＝5＋3＝8．
法二：由抛物线方程y2＝6x，得p＝3，
又直线l过焦点且倾斜角为60°，
则|AB|＝＝＝8．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由抛物线的定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，
所以x1＋x2＝6，
于是线段AB的中点M的横坐标是3，
又准线方程是x＝－，
所以中点M到准线的距离等于3＋＝．
10．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的弦AB，其中点A在第一象限，若|AF|＝4|BF|，则直线AB的斜率为( )
A．
C．
D [法一：过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的弦AB，其中点A在第一象限，F，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＞0，y1＞0，x2＞0，y2＜0)，
由|AF|＝4|BF|，可得＝4，
即＝4，
所以y1＝－4y2，
由题意知，直线AB的斜率存在．
设直线AB的方程为y＝k，
联立
消去x得y2－y－p2＝0，Δ＞0，所以y1·y2＝－p2，
即y2＝－，x2＝，所以y1＝2p，x1＝2p，可得A(2p，2p)，B，所以直线AB的斜率k＝＝．故选D．
法二：由|AF|＝4|BF|及＝，
得|BF|＝p，|AF|＝p，
所以|AB|＝p＝(其中α为AB的倾斜角)，
所以sinα＝，cos α＝(|AF|＞|BF|)，
所以直线AB的斜率k＝．故选D．]
11．(多选)在直角坐标系Oxy中，已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过点F的倾斜角为的直线l与C相交于A，B两点，且点A在第一象限，△OAB的面积是2，则( )
A．p＝2 B．|AB|＝9
C．＝1 D．|AF|＝2＋
AC [抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，
则直线l的方程为y＝x－，代入抛物线方程消去y得x2－3px＋＝0，Δ＝8p2＞0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3p，
根据抛物线定义|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝4p．
坐标原点O到直线l的距离d＝＝，所以△OAB的面积为×4p×＝2，
解得p＝2，所以选项A正确；又因为|AB|＝4p＝8，所以选项B错误；
由p＝2得x2－6x＋1＝0，解得x1＝3＋2，x2＝3－2，
所以＝＝1，选项C正确；
|AF|＝4＋2，所以选项D错误．
故选AC．]
12．已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________ ．
6 [抛物线的焦点坐标为F，准线方程为y＝－．
将y＝－代入＝1得|x|＝．要使△ABF为等边三角形，则tan ＝＝＝，解得p2＝36，p＝6．]
13．已知抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程．
[解] 如图所示，依题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，则直线方程为y＝－x＋．
设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，过A，B两点分别作准线的垂线，垂足分别为C，D，
则由抛物线定义得|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝x1＋＋x2＋，即x1＋x2＋p＝8．①
由消去y得x2－3px＋＝0，Δ＝8p2＞0，所以x1＋x2＝3p．
将其代入①，得p＝2．故所求的抛物线的方程为y2＝4x．
当抛物线方程设为y2＝－2px(p＞0)时，
同理可求得抛物线的方程为y2＝－4x．
综上，抛物线的方程为y2＝±4x．
14．(多选)已知点F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，AB，CD是经过点F的弦且AB⊥CD，直线AB的斜率k>0，B，C两点在x轴上方，O为坐标原点，则下列结论中正确的是( )
A．＝－p2
B．四边形ACBD面积的最小值为16p2
C．＝
D．若|AF|·|BF|＝4p2，则直线CD的斜率为－
ACD [如图所示，
F，设直线AB的方程为x＝y＋(k＞0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的倾斜角为θ，
∴y1y2＝－p2，x1x2＝，|AB|＝，
设C(x3，y3)，D(x4，y4)，同理可得y3y4＝－p2，x3x4＝，|CD|＝．
对于A，＝x3x4＋y3y4＝－p2＝－，故A正确；
对于B，四边形ACBD的面积S＝|CD|·|AB|＝＝，故其最小值为8p2，故B错误；
对于C，＝＝，故C正确；
对于D，若|AF|·|BF|＝＝x1x2＋(x1＋x2)＋＝4p2，
则(x1＋x2)＝，∴x1＋x2＝7p，即7p＋p＝，
∴sin2θ＝，sinθ＝(负值舍去)，又k>0，∴θ＝，
则直线CD的倾斜角为，其斜率为－，故D正确．故选ACD．]
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(三十三)
1．A [因为F为抛物线C：y2＝8x的焦点，所以F(2，0)．
设M(x1，y1)，由抛物线的性质，得x1＝4－2＝2，
所以＝8×2＝16 |y1|＝4，故M到x轴的距离为4．
故选A．]
2．D [已知抛物线C：y2＝4x，则焦点F的坐标为(1，0)，
所以过焦点F且斜率为(x－1)，
联立消去y可得x2－18x＋1＝0，Δ>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝18，
则|AB|＝x1＋x2＋2＝20．故选D．]
3．BCD [由抛物线C：x2＝4y，可得p＝2，所以＝1，且焦点在y轴正半轴上，则焦点F(0，1)，所以A错误；
由抛物线的定义，可得|MF|＝y0＋1＝5，解得y0＝4，所以B正确；
由y0＝4，可得＝16，所以x0＝±4，则|OM|＝，所以C正确；
由S△OFM＝|OF|·|x0|＝2，所以D正确．故选BCD．]
4．B [根据题意可知F(1，0)，p＝2，
∴设直线l的方程为y＝k(x－1)，k>0，
联立消去y可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，
∴|AB|＝p＋x1＋x2＝2＋2＋，又k>0，
解得k＝．
故选B．]
5．D [由题意可得p＝4，故抛物线C：y2＝8x，F(2，0)，准线方程为x＝－2．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，不妨设y1>0>y2，直线l的斜率不为0，
设直线l的方程为x＝my＋2，联立可得y2－8my－16＝0，Δ>0，
∴y1＋y2＝8m，y1y2＝－16，x1x2＝(2＋my1)(2＋my2)＝m2y1y2＋2m(y1＋y2)＋4＝4，
则|AF|＋9|BF|＝x1＋2＋9(x2＋2)＝x1＋9x2＋20≥2＋20＝32，
当且仅当x1＝9x2且x1x2＝4时取等号，∴|AF|＋9|BF|的最小值为32．故选D．]
6．2 [设点P的坐标为(x，y)，因为y2＝4x，x≥0，则|PA|2＝(x－3)2＋y2＝x2－6x＋9＋4x＝x2－2x＋9＝(x－1)2＋8．当x＝1时，|PA|取得最小值，为2．]
7．10 [由题意可得p＝2，故抛物线的准线方程是x＝－1，
∵过抛物线 y2＝4x 的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝12，解得x1＋x2＝10．]
8． [如图，A(x0，2)在抛物线上，过点A作抛物线的准线的垂线，垂足为G，
由|AF|＝3|OF|，得|AG|＝3|OF|，
∴x0＋p，即x0＝p，可得A(p，2)，
代入y2＝2px，得4＝2p2，解得p＝(舍去)．]
9．解：(1)法一：因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan 60°＝，又F，所以直线l的方程为y＝．
联立
消去y得x2－5x＋＝0，Δ＝16>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，
而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＝x1＋x2＋p，∴|AB|＝5＋3＝8．
法二：由抛物线方程y2＝6x，得p＝3，
又直线l过焦点且倾斜角为60°，
则|AB|＝＝8．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，
所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，
又准线方程是x＝－，
所以中点M到准线的距离等于3＋．
10．D [法一：过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦AB，其中点A在第一象限，F，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1>0，y1>0，x2>0，y2<0)，
由|AF|＝4|BF|，可得，
即，
所以y1＝－4y2，
由题意知，直线AB的斜率存在．
设直线AB的方程为y＝k，
联立y－p2＝0，Δ>0，所以y1·y2＝－p2，
即y2＝－，x2＝，所以y1＝2p，x1＝2p，可得A(2p，2p)，B，所以直线AB的斜率k＝．故选D．
法二：由|AF|＝4|BF|及，
得|BF|＝p，|AF|＝p，
所以|AB|＝(其中α为AB的倾斜角)，
所以sin α＝，cos α＝(|AF|>|BF|)，
所以直线AB的斜率k＝．故选D．]
11．AC [抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，
则直线l的方程为y＝x－，代入抛物线方程消去y得x2－3px＋＝0，Δ＝8p2>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3p，
根据抛物线定义|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝4p．
坐标原点O到直线l的距离d＝，所以△OAB的面积为×4p×，
解得p＝2，所以选项A正确；又因为|AB|＝4p＝8，所以选项B错误；
由p＝2得x2－6x＋1＝0，解得x1＝3＋2，x2＝3－2，
所以＝1，选项C正确；
|AF|＝4＋2，所以选项D错误．
故选AC．]
12．6 [抛物线的焦点坐标为F，准线方程为y＝－．
将y＝－．要使△ABF为等边三角形，则tan，解得p2＝36，p＝6．]
13．解：如图所示，依题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则直线方程为y＝－x＋．
设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，过A，B两点分别作准线的垂线，垂足分别为C，D，
则由抛物线定义得|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝x1＋，即x1＋x2＋p＝8．①
由＝0，Δ＝8p2>0，所以x1＋x2＝3p．
将其代入①，得p＝2．故所求的抛物线的方程为y2＝4x．
当抛物线方程设为y2＝－2px(p>0)时，
同理可求得抛物线的方程为y2＝－4x．
综上，抛物线的方程为y2＝±4x．
14．ACD [如图所示，
F，设直线AB的方程为x＝(k>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的倾斜角为θ，
∴y1y2＝－p2，x1x2＝，|AB|＝，
设C(x3，y3)，D(x4，y4)，同理可得y3y4＝－p2，x3x4＝，|CD|＝．
对于A，·，故A正确；
对于B，四边形ACBD的面积S＝|CD|·|AB|＝，故其最小值为8p2，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，若|AF|·|BF|＝(x1＋x2)＋＝4p2，
则(x1＋x2)＝，∴x1＋x2＝7p，即7p＋p＝，
∴sin2θ＝，sin θ＝(负值舍去)，又k>0，∴θ＝，
则直线CD的倾斜角为，其斜率为－，故D正确．故选ACD．]
21世纪教育网(www.21cnjy.com)3.3.2 抛物线的简单几何性质
第1课时 抛物线的简单几何性质
[学习目标]
1．掌握抛物线的几何性质．(数学抽象)
2．能利用方程及数形结合思想解决焦点弦等问题．(逻辑推理、数学运算)
探究1 抛物线的几何性质
问题1 已知抛物线C的方程为y2＝2x，根据这个方程完成下列任务．
(1)观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出抛物线C在平面直角坐标系中的位置特征；
(2)指出抛物线C是否具有对称性；
(3)指出抛物线C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标．
[新知生成]
标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0)
图形
性 质 焦点
准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0， y∈R x≤0， y∈R ______________ ______________ ______________ ______________
对称 轴 ______________ ______________
顶点 ______________
离心率 e＝______________
[典例讲评] 【链接教材P134例3】
1．求适合下列条件的抛物线的标准方程，并写出焦点坐标与准线方程．
(1)焦点F关于准线的对称点为M(0，－9)；
(2)关于y轴对称，与直线y＝－12相交所得线段的长为12．
[尝试解答]
把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
(1)开口：由抛物线的标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．
(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．
(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1．
[学以致用] 1．已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长为2，求抛物线的方程．
探究2 抛物线的焦点弦长
[典例讲评] 【链接教材P135例4】
2．经过抛物线x2＝4y的焦点的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|＝4，则△OAB(O为坐标原点)的面积为________．
[尝试解答]
抛物线焦点弦长
1．AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点的弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝______________．
2．抛物线的通径
(1)定义：过抛物线的焦点作垂直于对称轴的直线，交抛物线于A，B两点，线段AB被称为抛物线的通径．如图所示，
对于抛物线y2＝2px(p＞0)，由A，B，可得|AB|＝______________，所以抛物线的通径长为______________．
(2)通径是所有焦点弦中长度最______________的弦．
[学以致用] 2．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F(2，0)，直线l：y＝k(x－2)与抛物线C相交于不同的两点A，B．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若|AB|＝9，求k的值．
探究3 抛物线焦点弦的性质
[典例讲评] 3．(1)已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若＝－12，则抛物线C的方程为( )
A．x2＝8y B．x2＝4y
C．y2＝8x D．y2＝4x
(2)经过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为7，那么p＝________．
[尝试解答]
抛物线焦点弦的性质
如图，AB是抛物线y2＝2px(p＞0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l．
(1)x1·x2＝，y1·y2＝______________．
(2)以弦AB为直径的圆与准线相切．
(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝2＝(α是直线AB的倾斜角，α≠0°)．
(4)＝为定值．
[学以致用] 3．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A(4，n)(n＞0)为C上一点，且|AF|＝5，直线AF交C于另一点B，记坐标原点为O，则＝( )
A．5 B．－4
C．3 D．－3
1．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则p＝( )
A．1 B．2
C．2 D．4
2．(多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．x2＝8y D．x2＝－8y
3．(教材P136练习T4改编)抛物线y2＝2x上有两点A，B，且AB垂直于x轴．若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为( )
A．
C．
4．过抛物线y2＝8x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1＋x2＝6，则线段AB的中点M到抛物线的准线的距离为________．
1．知识链：
2．方法链：图象法(数形结合)、待定系数法．
3．警示牌：易忽略焦点位置而出错．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共70张PPT)
第1课时 抛物线的简单几何性质
第三章
圆锥曲线的方程
3.3 抛物线
3.3.2 抛物线的简单几何性质
[学习目标]
1．掌握抛物线的几何性质．(数学抽象)
2．能利用方程及数形结合思想解决焦点弦等问题．(逻辑推理、数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．抛物线有哪些几何性质？
问题2．如何求过抛物线的焦点的弦的弦长？
探究建构 关键能力达成
探究1 抛物线的几何性质
问题1 已知抛物线C的方程为y2＝2x，根据这个方程完成下列任务．
(1)观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出抛物线C在平面直角坐标系中的位置特征；
(2)指出抛物线C是否具有对称性；
(3)指出抛物线C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标．
[提示] (1)由y2＝2x知y∈R，x≥0，抛物线C位于y轴及y轴右侧．
(2)抛物线C关于x轴对称，不关于y轴对称，也不关于原点对称．
(3)抛物线C与x轴、y轴都只有一个交点，交点都是原点(0，0)．
[新知生成]
标准
方程 y2＝2px
(p＞0) y2＝－2px
(p＞0) x2＝2py
(p＞0) x2＝－2py
(p＞0)
图形
标准
方程 y2＝2px
(p＞0) y2＝－2px
(p＞0) x2＝2py
(p＞0) x2＝－2py
(p＞0)
性
质 焦点
准线
范围 x≥0，
y∈R x≤0，
y∈R __________ ___________
对称轴 ____ ____
顶点 _______
离心率 e＝__
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
x轴
y轴
(0，0)
1
【教用·微提醒】 (1)抛物线没有渐近线，在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状，因为双曲线的开口越来越开阔，而抛物线的开口越来越扁平．
(2)抛物线的顶点只有一个，抛物线的焦点总在对称轴上，抛物线的准线始终与对称轴垂直．
(3)影响抛物线开口大小的量是参数p，p值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小．
[典例讲评] 【链接教材P134例3】
1．求适合下列条件的抛物线的标准方程，并写出焦点坐标与准线方程．
(1)焦点F关于准线的对称点为M(0，－9)；
(2)关于y轴对称，与直线y＝－12相交所得线段的长为12．
反思领悟 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
(1)开口：由抛物线的标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．
(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．
(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1．
探究2 抛物线的焦点弦长
[典例讲评] 【链接教材P135例4】
2．经过抛物线x2＝4y的焦点的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|＝4，则△OAB(O为坐标原点)的面积为________．
2
【教材原题·P135例4】
例4 斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．
[分析] 由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标，又直线l的斜率为1，所以可以求出直线l的方程；与抛物线的方程联立，可以求出A，B两点的坐标；利用两点间的距离公式可以求出|AB|．这种方法思路直接，具有一般性．请你用此方法求|AB|．
下面介绍另外一种方法——数形结合的方法．
x1＋x2＋p
2p
2p
短
[学以致用] 2．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F(2，0)，直线l：y＝k(x－2)与抛物线C相交于不同的两点A，B．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若|AB|＝9，求k的值．
√
(2)经过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为7，那么p＝________．
2
【教材原题·P136例5】
例5 经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴．
[分析] 我们用坐标法证明这个结论，即通过建立抛物线及直线的方程，运用方程研究直线DB与抛物线对称轴之间的位置关系．建立如图3.3-5所示的直角坐标系，只要证明点D的纵坐标与点B的纵坐标相等即可．
【教材原题·P137例6】
例6 如图3.3-6，已知定点B(a，－h)，BC⊥x轴于点C，M是线段OB上任意一点，MD⊥x轴于点D，ME⊥BC于点E，OE与MD相交于点P，求点P的轨迹方程．
－p2
√
应用迁移 随堂评估自测
√
2．(多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．x2＝8y D．x2＝－8y
√
CD [以y轴为对称轴的抛物线的标准方程为x2＝±2py(p＞0)，排除选项A，B．又因为2p＝8，故选CD．]
√
√
4．过抛物线y2＝8x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1＋x2＝6，则线段AB的中点M到抛物线的准线的距离为________．
5
1．知识链：
2．方法链：图象法(数形结合)、待定系数法．
3．警示牌：易忽略焦点位置而出错．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．抛物线有哪些几何性质？
[提示] 范围、对称性、焦点坐标、准线方程、顶点坐标、离心率．
2．利用抛物线的性质可以解决哪些问题？
[提示] (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题．
(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题．
(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题．
(4)焦点弦：解决焦点弦问题．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
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课时分层作业(三十三) 抛物线的简单几何性质
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5．已知P(2，4)是抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，过C的焦点F的直线l与C交于A，B两点，则|AF|＋9|BF|的最小值为( )
A．24 B．28
C．30 D．32
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二、填空题
6．设P是抛物线y2＝4x上任意一点，A(3，0)，则|PA|的最小值为________．
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7．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若|AB|＝12，那么x1＋x2＝________．
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10 [由题意可得p＝2，故抛物线的准线方程是x＝－1，
∵过抛物线y2＝4x 的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
∴|AB|＝x1＋x2＋2＝12，解得x1＋x2＝10．]
10
8．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，且C经过点A(x0，2)，O为坐标原点，若|AF|＝3|OF|，则p的值为________．
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三、解答题
9．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
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13．已知抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程．
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