课时分层作业(三十三) 抛物线的简单几何性质
说明:单项选择题每题5分,多项选择题每题6分,填空题每题5分,本试卷共91分
一、选择题
1.已知点F为抛物线C:y2=8x的焦点,M为抛物线C上一点,且|MF|=4,则M到x轴的距离为( )
A.4 B.4
C.8 D.16
2.已知抛物线C:y2=4x,过焦点F且斜率为的直线与抛物线C交于两个不同的点A,B,则线段AB的长为( )
A.2 B.4
C.40 D.20
3.(多选)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,O为坐标原点,点M(x0,y0)在抛物线C上,若|MF|=5,则( )
A.F的坐标为(1,0) B.y0=4
C.|OM|=4 D.S△OFM=2
4.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F且斜率大于0的直线l交C于A,B两点,若|AB|=,则l的斜率为( )
A.
C.
5.已知P(2,4)是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,过C的焦点F的直线l与C交于A,B两点,则|AF|+9|BF|的最小值为( )
A.24 B.28
C.30 D.32
二、填空题
6.设P是抛物线y2=4x上任意一点,A(3,0),则|PA|的最小值为________.
7.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若|AB|=12,那么x1+x2=________.
8.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,且C经过点A(x0,2),O为坐标原点,若|AF|=3|OF|,则p的值为________.
三、解答题
9.已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点.
(1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值;
(2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离.
10.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦AB,其中点A在第一象限,若|AF|=4|BF|,则直线AB的斜率为( )
A.
C.
11.(多选)在直角坐标系Oxy中,已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的倾斜角为的直线l与C相交于A,B两点,且点A在第一象限,△OAB的面积是2,则( )
A.p=2 B.|AB|=9
C.=1 D.|AF|=2+
12.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=________ .
13.已知抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线的方程.
14.(多选)已知点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,AB,CD是经过点F的弦且AB⊥CD,直线AB的斜率k>0,B,C两点在x轴上方,O为坐标原点,则下列结论中正确的是( )
A.=-p2
B.四边形ACBD面积的最小值为16p2
C.=
D.若|AF|·|BF|=4p2,则直线CD的斜率为-
21世纪教育网(www.21cnjy.com)3.3.2 抛物线的简单几何性质
第1课时 抛物线的简单几何性质
[学习目标]
1.掌握抛物线的几何性质.(数学抽象)
2.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦等问题.(逻辑推理、数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1.抛物线有哪些几何性质?
问题2.如何求过抛物线的焦点的弦的弦长?
探究1 抛物线的几何性质
问题1 已知抛物线C的方程为y2=2x,根据这个方程完成下列任务.
(1)观察方程中x与y是否有取值范围,由此指出抛物线C在平面直角坐标系中的位置特征;
(2)指出抛物线C是否具有对称性;
(3)指出抛物线C与坐标轴是否有交点,如果有,求出交点坐标.
[提示] (1)由y2=2x知y∈R,x≥0,抛物线C位于y轴及y轴右侧.
(2)抛物线C关于x轴对称,不关于y轴对称,也不关于原点对称.
(3)抛物线C与x轴、y轴都只有一个交点,交点都是原点(0,0).
[新知生成]
标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
图形
性 质 焦点
准线 x=- x= y=- y=
范围 x≥0, y∈R x≤0, y∈R y≥0, x∈R y≤0, x∈R
对称 轴 x轴 y轴
顶点 (0,0)
离心率 e=1
【教用·微提醒】 (1)抛物线没有渐近线,在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状,因为双曲线的开口越来越开阔,而抛物线的开口越来越扁平.
(2)抛物线的顶点只有一个,抛物线的焦点总在对称轴上,抛物线的准线始终与对称轴垂直.
(3)影响抛物线开口大小的量是参数p,p值越大,抛物线的开口越大,反之,开口越小.
[典例讲评] 【链接教材P134例3】
1.求适合下列条件的抛物线的标准方程,并写出焦点坐标与准线方程.
(1)焦点F关于准线的对称点为M(0,-9);
(2)关于y轴对称,与直线y=-12相交所得线段的长为12.
[解] (1)由题意知,可设抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),F,准线方程为y=-.
因为焦点F关于准线的对称点为M(0,-9),
所以=-,解得p=6,
所以所求抛物线的标准方程为x2=12y,焦点坐标为(0,3),准线方程为y=-3.
(2)设所求抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),设直线y=-12与抛物线交于M,N两点,将点N(6,-12)代入抛物线方程可得p=,所以所求抛物线的标准方程为x2=-3y,焦点坐标为,准线方程为y=.
【教材原题·P134例3】
例3 已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在原点,并且经过点M(2,-2),求它的标准方程.
[解] 因为抛物线关于x轴对称,它的顶点在原点,并且经过点M(2,-2),所以可设它的标准方程为
y2=2px(p>0).
因为点M在抛物线上,所以
(-2)2=2p×2,
解得p=2.
因此,所求抛物线的标准方程是
y2=4x.
把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
(1)开口:由抛物线的标准方程看图象开口,关键是看准一次项是x还是y,一次项的系数是正还是负.
(2)关系:顶点位于焦点与准线中间,准线垂直于对称轴.
(3)定值:焦点到准线的距离为p;过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p;离心率恒等于1.
[学以致用] 1.已知抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交的公共弦长为2,求抛物线的方程.
[解] 设所求抛物线的方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0),抛物线与圆的交点A(x1,y1),B(x2,y2)(y1>0,y2<0),则|y1|+|y2|=2,即y1-y2=2.由对称性,知y2=-y1,代入上式,得y1=,把y1=代入x2+y2=4,得x1=±1,所以点(1,)在抛物线y2=2px(p>0)上,点(-1,)在抛物线y2=-2px(p>0)上,可得p=,所以所求抛物线的方程为y2=3x或y2=-3x.
探究2 抛物线的焦点弦长
[典例讲评] 【链接教材P135例4】
2.经过抛物线x2=4y的焦点的直线与抛物线相交于A,B两点,若|AB|=4,则△OAB(O为坐标原点)的面积为________.
2 [由题意知,直线的斜率存在,抛物线x2=4y的焦点F(0,1),设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB:y=kx+1,联立方程消去x可得y2-(2+4k2)y+1=0,Δ=(2+4k2)2-4=16k4+16k2≥0,则y1+y2=2+4k2,y1y2=1,
因为|AB|=|AF|+|FB|=y1+y2+2=2+4k2+2=4,所以k2=0,即k=0,
所以直线AB:y=1,所以点O到直线AB的距离为|OF|=1,
所以S△OAB=|OF|·|AB|=×1×4=2.]
【教材原题·P135例4】
例4 斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
[分析] 由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标,又直线l的斜率为1,所以可以求出直线l的方程;与抛物线的方程联立,可以求出A,B两点的坐标;利用两点间的距离公式可以求出|AB|.这种方法思路直接,具有一般性.请你用此方法求|AB|.
下面介绍另外一种方法——数形结合的方法.
在图3.3 4中,设A(x1,y1),B(x2,y2).
由抛物线的定义可知,|AF|等于点A到准线的距离|AA′|.由p=2,=1,得|AA′|=x1+=x1+1,于是|AF|=x1+1.同理,|BF|=|BB′|=x2+=x2+1,于是得
|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=x1+x2+2.
由此可见,只要求出点A,B的横坐标之和x1+x2,就可以求出|AB|.
[解] 由题意可知,p=2,=1,焦点F的坐标为(1,0),准线方程为x=-1.如图3.3 4,设A(x1,y1),B(x2,y2),A,B两点到准线的距离分别为dA,dB.由抛物线的定义,可知
|AF|=dA=x1+1,|BF|=dB=x2+1,
于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2.
因为直线l的斜率为1,且过焦点F(1,0),所以直线l的方程为
y=x-1.①
将①代入方程y2=4x,得(x-1)2=4x,化简,得
x2-6x+1=0.
所以x1+x2=6,|AB|=x1+x2+2=8.
所以,线段AB的长是8.
抛物线焦点弦长
1.AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点的弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p.
2.抛物线的通径
(1)定义:过抛物线的焦点作垂直于对称轴的直线,交抛物线于A,B两点,线段AB被称为抛物线的通径.如图所示,
对于抛物线y2=2px(p>0),由A,B,可得|AB|=2p,所以抛物线的通径长为2p.
(2)通径是所有焦点弦中长度最短的弦.
[学以致用] 2.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(2,0),直线l:y=k(x-2)与抛物线C相交于不同的两点A,B.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若|AB|=9,求k的值.
[解] (1)由抛物线的焦点(2,0),∴=2,∴p=4,
∴抛物线C的方程为y2=8x.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由直线l过抛物线的焦点,
得|AB|=x1+x2+4=9,∴x1+x2=5,
联立方程消去y得k2x2-(8+4k2)x+4k2=0,Δ=64(k2+1)>0,
∴x1+x2==5,∴k=±2.
故k的值为2或-2.
探究3 抛物线焦点弦的性质
[典例讲评] 3.(1)已知抛物线C的顶点是原点O,焦点F在x轴的正半轴上,经过点F的直线与抛物线C交于A,B两点,若=-12,则抛物线C的方程为( )
A.x2=8y B.x2=4y
C.y2=8x D.y2=4x
(2)经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,倾斜角为30°的直线l与C交于A,B两点,若线段AB的中点M的横坐标为7,那么p=________.
(1)C (2)2 [(1)设抛物线C的方程为y2=2px(p>0),A(x1,y1),B(x2,y2).
设直线AB的方程为x=my+,
联立
消去x,得y2-2pmy-p2=0,Δ>0,
则y1y2=-p2,x1x2==,
得=x1x2+y1y2=-p2=-p2=-12,
解得p=4或p=-4(舍去),
即抛物线C的方程为y2=8x.故选C.
(2)法一:抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,直线l的方程为y=,
联立
可得=2px,整理得4x2-28px+p2=0,Δ=(-28p)2-4×4p2=768k2>0.
设A,B的横坐标分别为x1,x2,则x1+x2=7p,
由线段AB的中点M的横坐标为7,
可得p=7,解得p=2.
法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),
∵AB的中点M的横坐标为7,∴x1+x2=14,
∴14+p=,∴p=2.]
【教材原题·P136例5】
例5 经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.
[分析] 我们用坐标法证明这个结论,即通过建立抛物线及直线的方程,运用方程研究直线DB与抛物线对称轴之间的位置关系.建立如图3.3 5所示的直角坐标系,只要证明点D的纵坐标与点B的纵坐标相等即可.
[证明] 如图3.3 5,以抛物线的对称轴为x轴,抛物线的顶点为原点,建立平面直角坐标系Oxy.设抛物线的方程为
y2=2px(p>0), ①
点A的坐标为(y0≠0),则直线OA的方程为y=x, ②
抛物线的准线方程是x=-. ③
联立②③,可得点D的纵坐标为-.
因为焦点F的坐标是,当≠p2时,直线AF的方程为
y=.④
联立①④,消去x,可得-p2)y-y0p2=0,即(y-y0)(y0y+p2)=0,
可得点B的纵坐标为-,与点D的纵坐标相等,于是DB平行于x轴.
当=p2时,易知结论成立.
所以,直线DB平行于抛物线的对称轴.
【教材原题·P137例6】
例6 如图3.3 6,已知定点B(a,-h),BC⊥x轴于点C,M是线段OB上任意一点,MD⊥x轴于点D,ME⊥BC于点E,OE与MD相交于点P,求点P的轨迹方程.
[解] 设点P(x,y),M(x,m),其中0≤x≤a,则点E的坐标为(a,m).
由题意,直线OB的方程为
y=-x. ①
因为点M在OB上,将点M的坐标代入①,得
m=-x, ②
所以点P的横坐标x满足②.
直线OE的方程为
y=x, ③
因为点P在OE上,所以点P的坐标(x,y)满足③.
将②代入③,消去m,得
x2=-y(0≤x≤a),
即点P的轨迹方程.
抛物线焦点弦的性质
如图,AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦点F的一条弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),相应的准线为l.
(1)x1·x2=,y1·y2=-p2.
(2)以弦AB为直径的圆与准线相切.
(3)|AB|=x1+x2+p=2=(α是直线AB的倾斜角,α≠0°).
(4)=为定值.
[学以致用] 3.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A(4,n)(n>0)为C上一点,且|AF|=5,直线AF交C于另一点B,记坐标原点为O,则=( )
A.5 B.-4
C.3 D.-3
D [由抛物线的定义可得,|AF|=4+=5,∴p=2,
∴抛物线C的方程为y2=4x,∵A(4,n)为C上一点,
令x=4,得n2=16,∵n>0,∴n=4,∴A(4,4),
∵==1,∴|BF|=,
∴xB=|BF|-=-1==1,
∵点A在第一象限,∴点B在第四象限,
∴yB=-1,∴B,
∵=(4,4),=,∴=4×-4×1=-3.
故选D.]
1.抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为,则p=( )
A.1 B.2
C.2 D.4
B [抛物线的焦点坐标为,其到直线x-y+1=0的距离d==,
解得p=2或p=-6(舍去).故选B.]
2.(多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为( )
A.y2=8x B.y2=-8x
C.x2=8y D.x2=-8y
CD [以y轴为对称轴的抛物线的标准方程为x2=±2py(p>0),排除选项A,B.又因为2p=8,故选CD.]
3.(教材P136练习T4改编)抛物线y2=2x上有两点A,B,且AB垂直于x轴.若|AB|=2,则抛物线的焦点到直线AB的距离为( )
A.
C.
A [因为|AB|=2,AB垂直于x轴,不妨设点A的纵坐标为,代入抛物线方程得x=1,所以线段AB所在直线方程为x=1,抛物线的焦点坐标为,则焦点到直线AB的距离为1-=.故选A.]
4.过抛物线y2=8x的焦点作直线交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2),若x1+x2=6,则线段AB的中点M到抛物线的准线的距离为________.
5 [由抛物线方程y2=8x,得p=4.
线段AB的中点M的横坐标为,其到准线距离为,又x1+x2=6,所以=5.
故线段AB的中点M到抛物线的准线的距离为5.]
1.知识链:
2.方法链:图象法(数形结合)、待定系数法.
3.警示牌:易忽略焦点位置而出错.
回顾本节知识,自主完成以下问题:
1.抛物线有哪些几何性质?
[提示] 范围、对称性、焦点坐标、准线方程、顶点坐标、离心率.
2.利用抛物线的性质可以解决哪些问题?
[提示] (1)对称性:解决抛物线的内接三角形问题.
(2)焦点、准线:解决与抛物线的定义有关的问题.
(3)范围:解决与抛物线有关的最值问题.
(4)焦点弦:解决焦点弦问题.
课时分层作业(三十三) 抛物线的简单几何性质
一、选择题
1.已知点F为抛物线C:y2=8x的焦点,M为抛物线C上一点,且|MF|=4,则M到x轴的距离为( )
A.4 B.4
C.8 D.16
A [因为F为抛物线C:y2=8x的焦点,所以F(2,0).
设M(x1,y1),由抛物线的性质,得x1=4-2=2,
所以=8×2=16 |y1|=4,故M到x轴的距离为4.
故选A.]
2.已知抛物线C:y2=4x,过焦点F且斜率为的直线与抛物线C交于两个不同的点A,B,则线段AB的长为( )
A.2 B.4
C.40 D.20
D [已知抛物线C:y2=4x,则焦点F的坐标为(1,0),
所以过焦点F且斜率为的直线方程为y=(x-1),
联立消去y可得x2-18x+1=0,Δ>0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=18,
则|AB|=x1+x2+2=20.故选D.]
3.(多选)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,O为坐标原点,点M(x0,y0)在抛物线C上,若|MF|=5,则( )
A.F的坐标为(1,0) B.y0=4
C.|OM|=4 D.S△OFM=2
BCD [由抛物线C:x2=4y,可得p=2,所以=1,且焦点在y轴正半轴上,则焦点F(0,1),所以A错误;
由抛物线的定义,可得|MF|=y0+1=5,解得y0=4,所以B正确;
由y0=4,可得=16,所以x0=±4,则|OM|==4,所以C正确;
由S△OFM=|OF|·|x0|=2,所以D正确.故选BCD.]
4.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F且斜率大于0的直线l交C于A,B两点,若|AB|=,则l的斜率为( )
A.
C.
B [根据题意可知F(1,0),p=2,
∴设直线l的方程为y=k(x-1),k>0,
联立消去y可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,Δ>0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2==2+,
∴|AB|=p+x1+x2=2+2+=,又k>0,
解得k=.故选B.]
5.已知P(2,4)是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,过C的焦点F的直线l与C交于A,B两点,则|AF|+9|BF|的最小值为( )
A.24 B.28
C.30 D.32
D [由题意可得p=4,故抛物线C:y2=8x,F(2,0),准线方程为x=-2.
设A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设y1>0>y2,直线l的斜率不为0,
设直线l的方程为x=my+2,联立可得y2-8my-16=0,Δ>0,
∴y1+y2=8m,y1y2=-16,x1x2=(2+my1)(2+my2)=m2y1y2+2m(y1+y2)+4=4,
则|AF|+9|BF|=x1+2+9(x2+2)=x1+9x2+20≥2+20=32,
当且仅当x1=9x2且x1x2=4时取等号,∴|AF|+9|BF|的最小值为32.故选D.]
二、填空题
6.设P是抛物线y2=4x上任意一点,A(3,0),则|PA|的最小值为________.
2 [设点P的坐标为(x,y),因为y2=4x,x≥0,则|PA|2=(x-3)2+y2=x2-6x+9+4x=x2-2x+9=(x-1)2+8.当x=1时,|PA|取得最小值,为2.]
7.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若|AB|=12,那么x1+x2=________.
10 [由题意可得p=2,故抛物线的准线方程是x=-1,
∵过抛物线 y2=4x 的焦点的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,
∴|AB|=x1+x2+2=12,解得x1+x2=10.]
8.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,且C经过点A(x0,2),O为坐标原点,若|AF|=3|OF|,则p的值为________.
[如图,A(x0,2)在抛物线上,过点A作抛物线的准线的垂线,垂足为G,
由|AF|=3|OF|,得|AG|=3|OF|,
∴x0+=p,即x0=p,可得A(p,2),
代入y2=2px,得4=2p2,解得p=或p=-(舍去).]
三、解答题
9.已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点.
(1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值;
(2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离.
[解] (1)法一:因为直线l的倾斜角为60°,所以其斜率k=tan 60°=,
又F,
所以直线l的方程为y=.
联立
消去y得x2-5x+=0,Δ=16>0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=5,
而|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p,∴|AB|=5+3=8.
法二:由抛物线方程y2=6x,得p=3,
又直线l过焦点且倾斜角为60°,
则|AB|===8.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由抛物线的定义知|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p=x1+x2+3=9,
所以x1+x2=6,
于是线段AB的中点M的横坐标是3,
又准线方程是x=-,
所以中点M到准线的距离等于3+=.
10.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦AB,其中点A在第一象限,若|AF|=4|BF|,则直线AB的斜率为( )
A.
C.
D [法一:过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦AB,其中点A在第一象限,F,
设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1>0,y1>0,x2>0,y2<0),
由|AF|=4|BF|,可得=4,
即=4,
所以y1=-4y2,
由题意知,直线AB的斜率存在.
设直线AB的方程为y=k,
联立
消去x得y2-y-p2=0,Δ>0,所以y1·y2=-p2,
即y2=-,x2=,所以y1=2p,x1=2p,可得A(2p,2p),B,所以直线AB的斜率k==.故选D.
法二:由|AF|=4|BF|及=,
得|BF|=p,|AF|=p,
所以|AB|=p=(其中α为AB的倾斜角),
所以sinα=,cos α=(|AF|>|BF|),
所以直线AB的斜率k=.故选D.]
11.(多选)在直角坐标系Oxy中,已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的倾斜角为的直线l与C相交于A,B两点,且点A在第一象限,△OAB的面积是2,则( )
A.p=2 B.|AB|=9
C.=1 D.|AF|=2+
AC [抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,
则直线l的方程为y=x-,代入抛物线方程消去y得x2-3px+=0,Δ=8p2>0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3p,
根据抛物线定义|AF|=x1+,|BF|=x2+,所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=4p.
坐标原点O到直线l的距离d==,所以△OAB的面积为×4p×=2,
解得p=2,所以选项A正确;又因为|AB|=4p=8,所以选项B错误;
由p=2得x2-6x+1=0,解得x1=3+2,x2=3-2,
所以==1,选项C正确;
|AF|=4+2,所以选项D错误.
故选AC.]
12.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=________ .
6 [抛物线的焦点坐标为F,准线方程为y=-.
将y=-代入=1得|x|=.要使△ABF为等边三角形,则tan ===,解得p2=36,p=6.]
13.已知抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线的方程.
[解] 如图所示,依题意可设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则直线方程为y=-x+.
设直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,过A,B两点分别作准线的垂线,垂足分别为C,D,
则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=x1++x2+,即x1+x2+p=8.①
由消去y得x2-3px+=0,Δ=8p2>0,所以x1+x2=3p.
将其代入①,得p=2.故所求的抛物线的方程为y2=4x.
当抛物线方程设为y2=-2px(p>0)时,
同理可求得抛物线的方程为y2=-4x.
综上,抛物线的方程为y2=±4x.
14.(多选)已知点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,AB,CD是经过点F的弦且AB⊥CD,直线AB的斜率k>0,B,C两点在x轴上方,O为坐标原点,则下列结论中正确的是( )
A.=-p2
B.四边形ACBD面积的最小值为16p2
C.=
D.若|AF|·|BF|=4p2,则直线CD的斜率为-
ACD [如图所示,
F,设直线AB的方程为x=y+(k>0),A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的倾斜角为θ,
∴y1y2=-p2,x1x2=,|AB|=,
设C(x3,y3),D(x4,y4),同理可得y3y4=-p2,x3x4=,|CD|=.
对于A,=x3x4+y3y4=-p2=-,故A正确;
对于B,四边形ACBD的面积S=|CD|·|AB|==,故其最小值为8p2,故B错误;
对于C,==,故C正确;
对于D,若|AF|·|BF|==x1x2+(x1+x2)+=4p2,
则(x1+x2)=,∴x1+x2=7p,即7p+p=,
∴sin2θ=,sinθ=(负值舍去),又k>0,∴θ=,
则直线CD的倾斜角为,其斜率为-,故D正确.故选ACD.]
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(三十三)
1.A [因为F为抛物线C:y2=8x的焦点,所以F(2,0).
设M(x1,y1),由抛物线的性质,得x1=4-2=2,
所以=8×2=16 |y1|=4,故M到x轴的距离为4.
故选A.]
2.D [已知抛物线C:y2=4x,则焦点F的坐标为(1,0),
所以过焦点F且斜率为(x-1),
联立消去y可得x2-18x+1=0,Δ>0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=18,
则|AB|=x1+x2+2=20.故选D.]
3.BCD [由抛物线C:x2=4y,可得p=2,所以=1,且焦点在y轴正半轴上,则焦点F(0,1),所以A错误;
由抛物线的定义,可得|MF|=y0+1=5,解得y0=4,所以B正确;
由y0=4,可得=16,所以x0=±4,则|OM|=,所以C正确;
由S△OFM=|OF|·|x0|=2,所以D正确.故选BCD.]
4.B [根据题意可知F(1,0),p=2,
∴设直线l的方程为y=k(x-1),k>0,
联立消去y可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,Δ>0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,
∴|AB|=p+x1+x2=2+2+,又k>0,
解得k=.
故选B.]
5.D [由题意可得p=4,故抛物线C:y2=8x,F(2,0),准线方程为x=-2.
设A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设y1>0>y2,直线l的斜率不为0,
设直线l的方程为x=my+2,联立可得y2-8my-16=0,Δ>0,
∴y1+y2=8m,y1y2=-16,x1x2=(2+my1)(2+my2)=m2y1y2+2m(y1+y2)+4=4,
则|AF|+9|BF|=x1+2+9(x2+2)=x1+9x2+20≥2+20=32,
当且仅当x1=9x2且x1x2=4时取等号,∴|AF|+9|BF|的最小值为32.故选D.]
6.2 [设点P的坐标为(x,y),因为y2=4x,x≥0,则|PA|2=(x-3)2+y2=x2-6x+9+4x=x2-2x+9=(x-1)2+8.当x=1时,|PA|取得最小值,为2.]
7.10 [由题意可得p=2,故抛物线的准线方程是x=-1,
∵过抛物线 y2=4x 的焦点的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,∴|AB|=x1+x2+2=12,解得x1+x2=10.]
8. [如图,A(x0,2)在抛物线上,过点A作抛物线的准线的垂线,垂足为G,
由|AF|=3|OF|,得|AG|=3|OF|,
∴x0+p,即x0=p,可得A(p,2),
代入y2=2px,得4=2p2,解得p=(舍去).]
9.解:(1)法一:因为直线l的倾斜角为60°,所以其斜率k=tan 60°=,又F,所以直线l的方程为y=.
联立
消去y得x2-5x+=0,Δ=16>0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=5,
而|AB|=|AF|+|BF|=x1+=x1+x2+p,∴|AB|=5+3=8.
法二:由抛物线方程y2=6x,得p=3,
又直线l过焦点且倾斜角为60°,
则|AB|==8.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义知|AB|=|AF|+|BF|=x1+=x1+x2+p=x1+x2+3=9,
所以x1+x2=6,于是线段AB的中点M的横坐标是3,
又准线方程是x=-,
所以中点M到准线的距离等于3+.
10.D [法一:过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦AB,其中点A在第一象限,F,
设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1>0,y1>0,x2>0,y2<0),
由|AF|=4|BF|,可得,
即,
所以y1=-4y2,
由题意知,直线AB的斜率存在.
设直线AB的方程为y=k,
联立y-p2=0,Δ>0,所以y1·y2=-p2,
即y2=-,x2=,所以y1=2p,x1=2p,可得A(2p,2p),B,所以直线AB的斜率k=.故选D.
法二:由|AF|=4|BF|及,
得|BF|=p,|AF|=p,
所以|AB|=(其中α为AB的倾斜角),
所以sin α=,cos α=(|AF|>|BF|),
所以直线AB的斜率k=.故选D.]
11.AC [抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,
则直线l的方程为y=x-,代入抛物线方程消去y得x2-3px+=0,Δ=8p2>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3p,
根据抛物线定义|AF|=x1+,|BF|=x2+,
所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=4p.
坐标原点O到直线l的距离d=,所以△OAB的面积为×4p×,
解得p=2,所以选项A正确;又因为|AB|=4p=8,所以选项B错误;
由p=2得x2-6x+1=0,解得x1=3+2,x2=3-2,
所以=1,选项C正确;
|AF|=4+2,所以选项D错误.
故选AC.]
12.6 [抛物线的焦点坐标为F,准线方程为y=-.
将y=-.要使△ABF为等边三角形,则tan,解得p2=36,p=6.]
13.解:如图所示,依题意可设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则直线方程为y=-x+.
设直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,过A,B两点分别作准线的垂线,垂足分别为C,D,
则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=x1+,即x1+x2+p=8.①
由=0,Δ=8p2>0,所以x1+x2=3p.
将其代入①,得p=2.故所求的抛物线的方程为y2=4x.
当抛物线方程设为y2=-2px(p>0)时,
同理可求得抛物线的方程为y2=-4x.
综上,抛物线的方程为y2=±4x.
14.ACD [如图所示,
F,设直线AB的方程为x=(k>0),A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的倾斜角为θ,
∴y1y2=-p2,x1x2=,|AB|=,
设C(x3,y3),D(x4,y4),同理可得y3y4=-p2,x3x4=,|CD|=.
对于A,·,故A正确;
对于B,四边形ACBD的面积S=|CD|·|AB|=,故其最小值为8p2,故B错误;
对于C,,故C正确;
对于D,若|AF|·|BF|=(x1+x2)+=4p2,
则(x1+x2)=,∴x1+x2=7p,即7p+p=,
∴sin2θ=,sin θ=(负值舍去),又k>0,∴θ=,
则直线CD的倾斜角为,其斜率为-,故D正确.故选ACD.]
21世纪教育网(www.21cnjy.com)3.3.2 抛物线的简单几何性质
第1课时 抛物线的简单几何性质
[学习目标]
1.掌握抛物线的几何性质.(数学抽象)
2.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦等问题.(逻辑推理、数学运算)
探究1 抛物线的几何性质
问题1 已知抛物线C的方程为y2=2x,根据这个方程完成下列任务.
(1)观察方程中x与y是否有取值范围,由此指出抛物线C在平面直角坐标系中的位置特征;
(2)指出抛物线C是否具有对称性;
(3)指出抛物线C与坐标轴是否有交点,如果有,求出交点坐标.
[新知生成]
标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
图形
性 质 焦点
准线 x=- x= y=- y=
范围 x≥0, y∈R x≤0, y∈R ______________ ______________ ______________ ______________
对称 轴 ______________ ______________
顶点 ______________
离心率 e=______________
[典例讲评] 【链接教材P134例3】
1.求适合下列条件的抛物线的标准方程,并写出焦点坐标与准线方程.
(1)焦点F关于准线的对称点为M(0,-9);
(2)关于y轴对称,与直线y=-12相交所得线段的长为12.
[尝试解答]
把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
(1)开口:由抛物线的标准方程看图象开口,关键是看准一次项是x还是y,一次项的系数是正还是负.
(2)关系:顶点位于焦点与准线中间,准线垂直于对称轴.
(3)定值:焦点到准线的距离为p;过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p;离心率恒等于1.
[学以致用] 1.已知抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交的公共弦长为2,求抛物线的方程.
探究2 抛物线的焦点弦长
[典例讲评] 【链接教材P135例4】
2.经过抛物线x2=4y的焦点的直线与抛物线相交于A,B两点,若|AB|=4,则△OAB(O为坐标原点)的面积为________.
[尝试解答]
抛物线焦点弦长
1.AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点的弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=______________.
2.抛物线的通径
(1)定义:过抛物线的焦点作垂直于对称轴的直线,交抛物线于A,B两点,线段AB被称为抛物线的通径.如图所示,
对于抛物线y2=2px(p>0),由A,B,可得|AB|=______________,所以抛物线的通径长为______________.
(2)通径是所有焦点弦中长度最______________的弦.
[学以致用] 2.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(2,0),直线l:y=k(x-2)与抛物线C相交于不同的两点A,B.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若|AB|=9,求k的值.
探究3 抛物线焦点弦的性质
[典例讲评] 3.(1)已知抛物线C的顶点是原点O,焦点F在x轴的正半轴上,经过点F的直线与抛物线C交于A,B两点,若=-12,则抛物线C的方程为( )
A.x2=8y B.x2=4y
C.y2=8x D.y2=4x
(2)经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,倾斜角为30°的直线l与C交于A,B两点,若线段AB的中点M的横坐标为7,那么p=________.
[尝试解答]
抛物线焦点弦的性质
如图,AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦点F的一条弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),相应的准线为l.
(1)x1·x2=,y1·y2=______________.
(2)以弦AB为直径的圆与准线相切.
(3)|AB|=x1+x2+p=2=(α是直线AB的倾斜角,α≠0°).
(4)=为定值.
[学以致用] 3.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A(4,n)(n>0)为C上一点,且|AF|=5,直线AF交C于另一点B,记坐标原点为O,则=( )
A.5 B.-4
C.3 D.-3
1.抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为,则p=( )
A.1 B.2
C.2 D.4
2.(多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为( )
A.y2=8x B.y2=-8x
C.x2=8y D.x2=-8y
3.(教材P136练习T4改编)抛物线y2=2x上有两点A,B,且AB垂直于x轴.若|AB|=2,则抛物线的焦点到直线AB的距离为( )
A.
C.
4.过抛物线y2=8x的焦点作直线交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2),若x1+x2=6,则线段AB的中点M到抛物线的准线的距离为________.
1.知识链:
2.方法链:图象法(数形结合)、待定系数法.
3.警示牌:易忽略焦点位置而出错.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共70张PPT)
第1课时 抛物线的简单几何性质
第三章
圆锥曲线的方程
3.3 抛物线
3.3.2 抛物线的简单几何性质
[学习目标]
1.掌握抛物线的几何性质.(数学抽象)
2.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦等问题.(逻辑推理、数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1.抛物线有哪些几何性质?
问题2.如何求过抛物线的焦点的弦的弦长?
探究建构 关键能力达成
探究1 抛物线的几何性质
问题1 已知抛物线C的方程为y2=2x,根据这个方程完成下列任务.
(1)观察方程中x与y是否有取值范围,由此指出抛物线C在平面直角坐标系中的位置特征;
(2)指出抛物线C是否具有对称性;
(3)指出抛物线C与坐标轴是否有交点,如果有,求出交点坐标.
[提示] (1)由y2=2x知y∈R,x≥0,抛物线C位于y轴及y轴右侧.
(2)抛物线C关于x轴对称,不关于y轴对称,也不关于原点对称.
(3)抛物线C与x轴、y轴都只有一个交点,交点都是原点(0,0).
[新知生成]
标准
方程 y2=2px
(p>0) y2=-2px
(p>0) x2=2py
(p>0) x2=-2py
(p>0)
图形
标准
方程 y2=2px
(p>0) y2=-2px
(p>0) x2=2py
(p>0) x2=-2py
(p>0)
性
质 焦点
准线
范围 x≥0,
y∈R x≤0,
y∈R __________ ___________
对称轴 ____ ____
顶点 _______
离心率 e=__
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
x轴
y轴
(0,0)
1
【教用·微提醒】 (1)抛物线没有渐近线,在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状,因为双曲线的开口越来越开阔,而抛物线的开口越来越扁平.
(2)抛物线的顶点只有一个,抛物线的焦点总在对称轴上,抛物线的准线始终与对称轴垂直.
(3)影响抛物线开口大小的量是参数p,p值越大,抛物线的开口越大,反之,开口越小.
[典例讲评] 【链接教材P134例3】
1.求适合下列条件的抛物线的标准方程,并写出焦点坐标与准线方程.
(1)焦点F关于准线的对称点为M(0,-9);
(2)关于y轴对称,与直线y=-12相交所得线段的长为12.
反思领悟 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
(1)开口:由抛物线的标准方程看图象开口,关键是看准一次项是x还是y,一次项的系数是正还是负.
(2)关系:顶点位于焦点与准线中间,准线垂直于对称轴.
(3)定值:焦点到准线的距离为p;过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p;离心率恒等于1.
探究2 抛物线的焦点弦长
[典例讲评] 【链接教材P135例4】
2.经过抛物线x2=4y的焦点的直线与抛物线相交于A,B两点,若|AB|=4,则△OAB(O为坐标原点)的面积为________.
2
【教材原题·P135例4】
例4 斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
[分析] 由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标,又直线l的斜率为1,所以可以求出直线l的方程;与抛物线的方程联立,可以求出A,B两点的坐标;利用两点间的距离公式可以求出|AB|.这种方法思路直接,具有一般性.请你用此方法求|AB|.
下面介绍另外一种方法——数形结合的方法.
x1+x2+p
2p
2p
短
[学以致用] 2.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(2,0),直线l:y=k(x-2)与抛物线C相交于不同的两点A,B.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若|AB|=9,求k的值.
√
(2)经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,倾斜角为30°的直线l与C交于A,B两点,若线段AB的中点M的横坐标为7,那么p=________.
2
【教材原题·P136例5】
例5 经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.
[分析] 我们用坐标法证明这个结论,即通过建立抛物线及直线的方程,运用方程研究直线DB与抛物线对称轴之间的位置关系.建立如图3.3-5所示的直角坐标系,只要证明点D的纵坐标与点B的纵坐标相等即可.
【教材原题·P137例6】
例6 如图3.3-6,已知定点B(a,-h),BC⊥x轴于点C,M是线段OB上任意一点,MD⊥x轴于点D,ME⊥BC于点E,OE与MD相交于点P,求点P的轨迹方程.
-p2
√
应用迁移 随堂评估自测
√
2.(多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为( )
A.y2=8x B.y2=-8x
C.x2=8y D.x2=-8y
√
CD [以y轴为对称轴的抛物线的标准方程为x2=±2py(p>0),排除选项A,B.又因为2p=8,故选CD.]
√
√
4.过抛物线y2=8x的焦点作直线交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2),若x1+x2=6,则线段AB的中点M到抛物线的准线的距离为________.
5
1.知识链:
2.方法链:图象法(数形结合)、待定系数法.
3.警示牌:易忽略焦点位置而出错.
回顾本节知识,自主完成以下问题:
1.抛物线有哪些几何性质?
[提示] 范围、对称性、焦点坐标、准线方程、顶点坐标、离心率.
2.利用抛物线的性质可以解决哪些问题?
[提示] (1)对称性:解决抛物线的内接三角形问题.
(2)焦点、准线:解决与抛物线的定义有关的问题.
(3)范围:解决与抛物线有关的最值问题.
(4)焦点弦:解决焦点弦问题.
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
课时分层作业(三十三) 抛物线的简单几何性质
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
题号
2
1
3
4
5
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8
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题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
√
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
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5.已知P(2,4)是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,过C的焦点F的直线l与C交于A,B两点,则|AF|+9|BF|的最小值为( )
A.24 B.28
C.30 D.32
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题号
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二、填空题
6.设P是抛物线y2=4x上任意一点,A(3,0),则|PA|的最小值为________.
题号
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7.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若|AB|=12,那么x1+x2=________.
题号
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10 [由题意可得p=2,故抛物线的准线方程是x=-1,
∵过抛物线y2=4x 的焦点的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,
∴|AB|=x1+x2+2=12,解得x1+x2=10.]
10
8.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,且C经过点A(x0,2),O为坐标原点,若|AF|=3|OF|,则p的值为________.
题号
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三、解答题
9.已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点.
(1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值;
(2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离.
题号
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13.已知抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线的方程.
题号
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