课时分层作业(三十一)
1.C [直线l:x+my-m-2=0,即m(y-1)+x-2=0恒过点(2,1),
又双曲线的渐近线方程为y=±x,
则点(2,1)在其中一条渐近线y=x上,
又直线与双曲线只有一个交点,
则直线l过点(2,1)且平行于y=-x或过点(2,1)且与双曲线的右支相切,即满足条件的直线l有2条.
故选C.]
2.A [如图,点F2关于∠F1PF2的角平分线PQ的对称点M在PF1上,故|F1M|=|PF1|-|PM|=|PF1|-|PF2|=2a,又OQ是△F2F1M的中位线,故|OQ|=a,所以点Q的轨迹是以原点为圆心,a为半径的圆.故选A.]
3.B [设A(x1,y1),B(x2,y2),又线段AB的中点为M(3,2),
则x1+x2=6,y1+y2=4,
则 (x1+x2)(x1-x2)-=0,
化简得·=4 =4×=4×=6,
即kAB=6.故选B.]
4.C [易知直线l的斜率存在,设M(x1,y1),N(x2,y2),直线l的斜率为k,
则直线l的方程为y=kx-1,
联立消去y得(5-k2)x2+2kx-2=0,
则Δ=4k2+8(5-k2)>0,即k2<10,所以x1+x2=,①
x1x2=,②
因为,P(0,-1),即(-x1,-1-y1)=2(x2,1+y2),
则-x1=2x2,③
联立①③解得x1=,x2=,
代入②化简得5k2-5=0,解得k=±1,满足k2<10,
所以直线l的方程为y=x-1或y=-x-1.
故选C.]
5.D [因为曲线C:x=≥1,整理得x2-y2=1(x≥1),
所以曲线C是双曲线x2-y2=1的右支,双曲线的右焦点为F(,0),渐近线为y=±x.
由题意知直线l的斜率存在,
设直线l的方程为y=k(x-),|k|>1,故选项A错误;
联立消去y并整理得(k2-1)x2-2k2x+2k2+1=0,
此时Δ>0,由根与系数的关系得xA+xB=,xAxB=,
则|AB|=×
=×,
因为线段AB的垂直平分线交直线l于点N,
所以xN=,又直线MN的斜率为-,
所以|MN|=|xM-xN|=
=·.
因为|AB|=|MN|,所以,|k|>1,
解得k=±(2+).故选D.]
6.2 [令x=-c,得y2=,则|MN|=.
由题意得a+c=,即a2+ac=c2-a2,
∴-2=0,
∴=-1(舍去),即离心率为2.]
7. [由题意,知该双曲线的渐近线方程为y=±x,直线y=k(x-3)过定点(3,0).因为点(3,0)在双曲线内,所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点,则该直线与双曲线的渐近线平行,所以k=±.]
8.±1 [由消去y得x2-2mx-m2-2=0.则Δ=4m2+4m2+8=8m2+8>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=2m,y1+y2=x1+x2+2m=4m,所以线段AB的中点坐标为(m,2m).
又点(m,2m)在圆x2+y2=5上,所以m2+(2m)2=5,得m=±1.]
9.解:(1)因为e=,则,即c=a,
由题意,不妨设焦点F(c,0),其中一条渐近线为bx-ay=0,
则焦点F到渐近线的距离d==1,
则
所以双曲线E的标准方程为x2-y2=1.
(2)设直线l:y=kx-1与双曲线E的左支交于点A(x1,y1),B(x2,y2),
联立化简得(1-k2)x2+2kx-2=0,
因为直线l与双曲线左支交于不同两点,
所以
解得所以实数k的取值范围为(-,-1).
10.ACD [对于A,双曲线C:=1的渐近线方程为y=±x,故A正确;
对于B,由于双曲线的实轴长为2a=4,c=3,
所以过焦点F与左、右两支都相交的直线被双曲线截得的弦长的取值范围是[4,+∞),
所以存在关于x轴对称的两条直线,使其弦长为5,另外当直线垂直于x轴时,经计算可得弦长正好是5,故满足条件的直线有三条,故B错误;
对于C,由于双曲线的渐近线的斜率为±,焦点在x轴上,
若直线l与双曲线C的两支各有一个交点,则直线l的斜率k∈,因为1.1∈,故C正确;
对于D,由于点P(1,2)在双曲线的两条渐近线的上方,如图所示:
故过点P能作4条直线与双曲线C仅有一个交点,其中两条与渐近线平行,另外两条与双曲线相切,故D正确.故选ACD.]
11.3x+4y-5=0 [易知所求直线的斜率存在,设为k,
则该直线的方程为y+1=k(x-3),代入-y2=1,
消去y得
(1-4k2)x2+(24k2+8k)x-36k2-24k-8=0(1-4k2≠0),
∴-=6,∴k=-(满足Δ>0),
∴所求直线方程为3x+4y-5=0.]
12.解:(1)双曲线C:=1(a>0,b>0)的实轴长为2,且过点(3,),
可得2a=2,则a=,
将点(3,)代入=1,得=1,解得b=1,
故双曲线C的方程为-y2=1.
(2)由(1)知双曲线的右焦点为F(2,0),
直线l过双曲线C的右焦点F,其斜率为1,可得直线l的方程为y=x-2,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由得2x2-12x+15=0,
Δ=122-4×2×15=24>0,x1+x2=6,x1x2=,
所以|AB|=×.
(3)证明:设M(x3,y3),N(x4,y4),
则两式相减得(x3-x4)(x3+x4)=3(y3-y4)(y3+y4),
设P(x0,y0),则所以2x0(x3-x4)=3×2y0(y3-y4),由直线MN的斜率为2,可得=2,
所以x0=3×y0×2,即x0=6y0,
所以点P在直线x-6y=0上.
13.P4(-1,-4) [结合题意可知,直线AB的斜率存在且不为零.设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),由点A,B在双曲线上,得两式作差,得,
即(x1-x2)(x1+x2)=,
=9,即·=kAB·=9,因此kAB=9·.
由双曲线方程可得渐近线方程为y=±3x,如图.对于P1(1,1),因为kAB=9×=9>3,所以直线AB与双曲线无交点,不符合题意;对于P2(-1,2),因为kAB=9×<-3,所以直线AB与双曲线无交点,不符合题意;对于P3(1,3),kAB=9×=3,此时直线AB与渐近线y=3x重合,与双曲线不可能有两个交点,不符合题意;对于P4(-1,-4),因为kAB=9×<3,所以直线AB与双曲线有两个交点,满足题意.]
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(三十一) 双曲线的标准方程及其性质的应用
说明:单项选择题每题5分,多项选择题每题6分,填空题每题5分,本试卷共84分
一、选择题
1.若直线l:x+my-m-2=0与双曲线-y2=1有且只有一个交点,则满足条件的直线l有( )
A.4条 B.3条
C.2条 D.1条
2.已知F1,F2分别是双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P为双曲线C上的动点,过点F2作∠F1PF2的角平分线的垂线,垂足为Q,则点Q的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.直线
3.直线l与双曲线x2-=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(3,2),则直线l的斜率为( )
A.3 B.6
C.8 D.12
4.已知双曲线C的方程为5x2-y2=1,过点P(0,-1)作直线l与双曲线左、右两支分别交于点M,N.若=2,则直线l的方程为( )
A.y=x-1
B.y=x-1或y=-x-1
C.y=x-1或y=-x-1
D.y=x-1
5.设曲线C:x=,过点(,0)的直线l与C交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线x=-和l于点M,N,若|AB|=|MN|,则l的斜率可以为( )
A.-2 B.
C.2 D.2+
二、填空题
6.过双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M,N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于________.
7.(2024·北京卷)若直线y=k(x-3)与双曲线-y2=1只有一个公共点,则k的一个取值为________.
8.已知直线l:x-y+m=0与双曲线x2-=1交于不同的两点A,B,若线段AB的中点在圆x2+y2=5上,则实数m的值是________.
三、解答题
9.已知双曲线E:=1(a>0,b>0)的离心率为,焦点F到渐近线的距离为1.
(1)求双曲线E的标准方程;
(2)直线l:y=kx-1与双曲线E的左支交于不同两点,求实数k的取值范围.
10.(多选)已知双曲线C:=1,点P(1,2),则( )
A.该双曲线的渐近线方程为y=±x
B.过点(3,0)的直线与双曲线C交于A,B两点,若|AB|=5,则满足的直线有1条
C.与双曲线C的两支各有一个交点的直线的斜率可以是1.1
D.过点P能作4条与双曲线C仅有一个交点的直线
11.过点A(3,-1)且被A点平分的双曲线-y2=1的弦所在的直线方程是________.
12.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的实轴长为2,且过点(3,).
(1)求双曲线C的方程;
(2)过双曲线C的右焦点F作斜率为1的直线l,l与双曲线C交于A,B两点,求|AB|;
(3)若M,N是双曲线C上不同的两点,且直线MN的斜率为2,线段MN的中点为P,证明:点P在直线x-6y=0上.
13.设A,B为双曲线x2-=1上两点,如下四个点:P1(1,1),P2(-1,2),P3(1,3),P4(-1,-4)中,可作为线段AB中点的是________.(请将所有满足条件的点填入)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第2课时 双曲线的标准方程及其性质的应用
[学习目标]
1.理解直线与双曲线的位置关系.(数学运算、直观想象)
2.会求解双曲线的弦长问题.(数学运算、逻辑推理)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1.直线与双曲线只有1个交点,是不是直线与双曲线相切?
问题2.你了解双曲线的第二定义吗?
探究1 双曲线定义及其应用
问题1 通过学习教材P125例5,你有什么发现?
[提示] 当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比值是常数且大于1时,点M的轨迹是双曲线.
[新知生成]
双曲线的第二定义:当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=(e>1)时,点M的轨迹是双曲线.
【教用·微提醒】 (1)定点和定直线是相对应的,如定点是(c,0),则定直线为x=.
(2)距离比是离心率e,若e>1,则点M的轨迹是双曲线,若0<e<1,则点M的轨迹是椭圆.
[典例讲评] 【链接教材P125例5】
1.已知动点M(x,y)到定点F(5,0)的距离和它到定直线l:x=的距离的比是常数,求动点M的轨迹.
[解] 设d是点M到直线l的距离,根据题意,所求轨迹就是点的集合P=,
由此得=.
将上式两边平方并化简,得9x2-16y2=144,
即=1.
所以点M的轨迹是焦点在x轴上,实轴长为8、虚轴长为6的双曲线.
[母题探究] 动点M(x,y)到定点F(2,0)的距离和它到定直线l:x=8的距离的比是常数,求动点M的轨迹.
[解] 设d是点M到直线l:x=8的距离,
根据题意,动点M的轨迹就是点的集合P=,
由此得=,将上式两边平方并化简,得3x2+4y2=48,即=1.
所以,点M的轨迹是焦点在x轴上,长轴长为8、短轴长为4的椭圆.
【教材原题·P125例5】
例5 动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到定直线l:x=的距离的比是常数,求动点M的轨迹.
[解] 设d是点M到直线l的距离,根据题意,动点M的轨迹就是点的集合P=,
由此得=.
将上式两边平方,并化简,得7x2-9y2=63,
即=1.
所以,点M的轨迹是焦点在x轴上,实轴长为6、虚轴长为2的双曲线(图3.2 11).
双曲线和椭圆有统一的定义:点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=.当e>1时,点M的轨迹是双曲线;当0<e<1时,点M的轨迹是椭圆.
[学以致用] 【链接教材P127习题3.2T10】
1.双曲线=1上一点P到右焦点的距离为3,则点P到直线x=的距离为( )
A. B. C. D.
C [由双曲线=1知a=3,b=2,c=,
离心率e==,右焦点为F(,0),设点P到直线x==的距离为d,则=e,
所以d====.故选C.]
【教材原题·P127习题3.2T10】设动点M与定点F(c,0)(c>0)的距离和M到定直线l:x=的距离的比是(a<c),求动点M的轨迹方程,并说明轨迹的形状.
[答案] =1(a>0),轨迹是双曲线.
探究2 直线与双曲线的位置关系
问题2 当直线与双曲线仅有一个公共点时,该直线与双曲线一定相切吗?
[提示] 不一定.当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线仅有一个交点.
[新知生成]
直线与双曲线位置关系的判断
设直线l:y=kx+m(m≠0),①
双曲线C:=1(a>0,b>0),②
将①代入②,
得Ax2+Bx+C=0.
a.当A=0时,直线l与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线C相交于一点.
b.当A≠0时.
①Δ>0 直线与双曲线有两个公共点,此时直线与双曲线相交;
②Δ=0 直线与双曲线有一个公共点,此时直线与双曲线相切;
③Δ<0 直线与双曲线没有公共点,此时直线与双曲线相离.
【教用·微提醒】 (1)直线与双曲线相交时可能有一个或两个公共点;有一个公共点时,直线与双曲线可能相切或相交.
(2)消元后注意二次项的系数,二次项系数可能为0,此时,直线与双曲线的渐近线平行.
[典例讲评] 2.已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=kx-1,试讨论满足下列条件的实数k的取值范围.
(1)直线l与双曲线有两个公共点;
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点;
(3)直线l与双曲线没有公共点.
[解] 由得(1-k2)x2+2kx-5=0.①
(1)直线l与双曲线有两个公共点,则方程①有两个不相等的根.
∴
解得-<k<,且k≠±1,
∴实数k的取值范围为∪(-1,1).
(2)直线l与双曲线只有一个公共点,则方程①只有一解.
当1-k2≠0,即k≠±1时,
令Δ=4k2+20(1-k2)=0.
得k=±,
此时方程①有两个相同的实数解,
即直线l与双曲线有且只有一个公共点;
当1-k2=0,即k=±1时,
直线l与双曲线的渐近线平行,方程①化为2x=5或-2x=5,故方程①只有一个实数解,即直线l与双曲线相交,有且只有一个公共点.故当k=±或k=±1时,直线l与双曲线有且只有一个公共点.
(3)直线l与双曲线没有公共点,则方程①无解.
∴解得k>或k<-.
则实数k的取值范围为.
1.解决直线与双曲线的公共点问题,不仅要考虑判别式,更要注意二次项系数为0时,直线与渐近线平行的特殊情况.
2.对于双曲线与直线只有一个公共点的题目,应分两种情况讨论:直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.
3.注意对直线的斜率是否存在进行讨论.
[学以致用] 2.已知中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线C过点A(2,0),且其离心率为.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)若直线l:kx-y-1=0与双曲线C有且只有一个公共点,求实数k的值.
[解] (1)由题意可设双曲线C的标准方程为=1,其中a=2,
由e==,得b=3,
则双曲线C的标准方程为=1.
(2)联立直线kx-y-1=0与双曲线方程9x2-4y2=36,得(9-4k2)x2+8kx-40=0,(※)
当9-4k2=0,即k=±时,方程(※)有且只有一解,直线l与双曲线C有且只有一个公共点,符合题意;
当9-4k2≠0时,由Δ=64k2-4(9-4k2)(-40)=0,
得k=±,此时方程(※)有且只有一解,直线l与双曲线C有且只有一个公共点,也符合题意.
综上所述,实数k的值为±,±.
探究3 弦长公式及中点弦问题
[典例讲评] 【链接教材P126例6】
3.已知双曲线的方程是-y2=1.
(1)直线l的倾斜角为,被双曲线截得的弦长为,求直线l的方程;
(2)过点P(3,1)作直线l′,使其被双曲线截得的弦恰被点P平分,求直线l′的方程.
[解] (1)设直线l的方程为y=x+m,代入双曲线方程,得3x2+8mx+4(m2+1)=0,Δ=(8m)2-4×3×4(m2+1)=16(m2-3)>0,∴m2>3.
设直线l与双曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,
则x1+x2=-m,x1x2=.
由弦长公式得|AB|=|x1-x2|===,
∴=,即m=±5,满足m2>3,
∴直线l的方程为y=x±5.
(2)设直线l′与双曲线交于A′(x3,y3),B′(x4,y4)两点,
点P(3,1)为A′B′的中点,则x3+x4=6,y3+y4=2.
由==4,
两式相减得(x3+x4)(x3-x4)-4(y3+y4)(y3-y4)=0,
∴=,∴l′的方程为y-1=(x-3),即3x-4y-5=0.
把此方程代入双曲线方程,整理得5y2-10y+=0,满足Δ>0,
即所求直线l′的方程为3x-4y-5=0.
【教材原题·P126例6】
例6 如图3.2 12,过双曲线=1的右焦点F2,倾斜角为30°的直线交双曲线于A,B两点,求|AB|.
[解] 由双曲线的标准方程可知,双曲线的焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0).
因为直线AB的倾斜角是30°,且经过右焦点F2,所以直线AB的方程为
y=(x-3). ①
由消去y,得
5x2+6x-27=0.
解方程,得x1=-3,x2=.
将x1,x2的值分别代入①,得
y1=-2,y2=-.
于是,A,B两点的坐标分别为(-3,-2),.
所以|AB|===.
双曲线中有关弦长的问题,解决方法与椭圆中类似.解决中点弦问题常用判别式法和点差法,注意所求参数的取值范围.
[学以致用] 【链接教材P128习题3.2T13】
3.已知双曲线方程为2x2-y2=2,则以点A(2,3)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为________.
4x-3y+1=0 [设弦的两端点分别为P(x1,y1),
Q(x2,y2),则==2,
两式相减,得2(x1-x2)·(x1+x2)-(y1-y2)·(y1+y2)=0.
又x1+x2=4,y1+y2=6,
∴8(x1-x2)-6(y1-y2)=0 kPQ=,
因此直线PQ的方程为y-3=(x-2),
即4x-3y+1=0,经验证,直线4x-3y+1=0与双曲线相交于两点.
因此符合题意的直线方程为4x-3y+1=0.]
【教材原题·P128习题3.2T13】已知双曲线x2-=1,过点P(1,1)的直线l与双曲线相交于A,B两点,P能否是线段AB的中点?为什么?
[解] 因为过点P(1,1)的直线l与双曲线x2-=1相交于A,B两点,易知,直线l的方程不是x=1.设直线l的方程为y-1=k(x-1),即y=kx+1-k.
将y=kx+1-k代入x2-=1,得(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0(2-k2≠0).①
设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),可得x1+x2=.
若P是线段AB的中点,得=1.
即=1,解得k=2.
将k=2代入方程①,得2x2-4x+3=0.
因为Δ=16-24=-8<0,此方程没有实数解.
所以,P不是线段AB的中点.
4.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的实轴长为2,点P(2,)在双曲线C上.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)过点P且斜率为2的直线与双曲线C的另一个交点为Q,求|PQ|.
[解] (1)因为双曲线的实轴长为2,
所以2a=2,解得a=.
又因为点P(2,)在双曲线C上,所以=1,解得b=,
所以双曲线C的标准方程为=1.
(2)由题可得过点P且斜率为2的直线方程为y-=2(x-2),
即y=2x-3,联立消去y可得
7x2-24x+20=0,Δ>0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),所以x1+x2=,x1x2=,
所以|PQ|===.
1.(教材P145复习参考题3T4改编)若直线y=kx与双曲线4x2-y2=16相交,则实数k的取值范围为( )
A.(-2,2) B.[-2,2)
C.(-2,2] D.[-2,2]
A [易知k≠±2,将y=kx代入4x2-y2=16得关于x的一元二次方程(4-k2)x2-16=0,由Δ>0可得-22.设A,B为双曲线=1上的两点,若线段AB的中点为M(3,6),则直线AB的方程是( )
A.x+y-3=0 B.2x+y-3=0
C.x-y+3=0 D.x-2y+3=0
C [设A(x1,y1),B(x2,y2),
则有两式相减,得=,
因为线段AB的中点为M(3,6),所以x1+x2=6,y1+y2=12,
因此由= =1,
即直线AB的斜率为1,方程为x-y+3=0,经检验,该直线与双曲线交于两点,符合题意,故选C.]
3.经过双曲线x2-y2=8的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长为( )
A.
C. D.7
B [双曲线x2-y2=8的右焦点为(4,0),经过双曲线x2-y2=8的右焦点且斜率为2的直线方程为y=2(x-4),代入x2-y2=8并整理得3x2-32x+72=0,设直线与双曲线的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),Δ>0,则x1+x2=,x1x2=24,所以直线被双曲线截得的线段的长为|x1-x2|===.]
4.已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F.若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点,则双曲线的离心率e的取值范围是________.
[2,+∞) [数形结合知,则≥3,所以c2-a2≥3a2,即c2≥4a2,所以e2=≥4,所以e≥2.]
1.知识链:
2.方法链:定义法、坐标法、点差法.
3.警示牌:判断直线与双曲线的交点个数时,方程联立消元后,忽视对二次项系数的讨论.代数计算中的运算失误.
回顾本节知识,自主完成以下问题:
1.直线与双曲线相交,有两个交点时,其弦长公式和直线与椭圆相交时的弦长公式是否相同?你能写出来吗?
[提示] 完全相同.直线y=kx+m与双曲线=1相交,其交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=或|AB|=.
2.直线与双曲线只有一个公共点,那么直线与双曲线一定相切吗?
[提示] 不一定.当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线只有一个公共点,此时二者相交,不相切.
课时分层作业(三十一) 双曲线的标准方程及其性质的应用
一、选择题
1.若直线l:x+my-m-2=0与双曲线-y2=1有且只有一个交点,则满足条件的直线l有( )
A.4条 B.3条
C.2条 D.1条
C [直线l:x+my-m-2=0,即m(y-1)+x-2=0恒过点(2,1),
又双曲线的渐近线方程为y=±x,
则点(2,1)在其中一条渐近线y=x上,
又直线与双曲线只有一个交点,
则直线l过点(2,1)且平行于y=-x或过点(2,1)且与双曲线的右支相切,
即满足条件的直线l有2条.
故选C.]
2.已知F1,F2分别是双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P为双曲线C上的动点,过点F2作∠F1PF2的角平分线的垂线,垂足为Q,则点Q的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.直线
A [如图,点F2关于∠F1PF2的角平分线PQ的对称点M在PF1上,故|F1M|=|PF1|-|PM|=|PF1|-|PF2|=2a,又OQ是△F2F1M的中位线,故|OQ|=a,所以点Q的轨迹是以原点为圆心,a为半径的圆.故选A.
]
3.直线l与双曲线x2-=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(3,2),则直线l的斜率为( )
A.3 B.6
C.8 D.12
B [设A(x1,y1),B(x2,y2),又线段AB的中点为M(3,2),
则x1+x2=6,y1+y2=4,
则 (x1+x2)(x1-x2)-=0,
化简得=4 =4×=4×=6,即kAB=6.故选B.]
4.已知双曲线C的方程为5x2-y2=1,过点P(0,-1)作直线l与双曲线左、右两支分别交于点M,N.若=2,则直线l的方程为( )
A.y=x-1
B.y=x-1或y=-x-1
C.y=x-1或y=-x-1
D.y=x-1
C [易知直线l的斜率存在,设M(x1,y1),N(x2,y2),直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=kx-1,
联立消去y得(5-k2)x2+2kx-2=0,则Δ=4k2+8(5-k2)>0,即k2<10,所以x1+x2=,①
x1x2=,②
因为=2,P(0,-1),
即(-x1,-1-y1)=2(x2,1+y2),
则-x1=2x2,③
联立①③解得x1=,x2=,
代入②化简得5k2-5=0,解得k=±1,满足k2<10,
所以直线l的方程为y=x-1或y=-x-1.
故选C.]
5.设曲线C:x=,过点(,0)的直线l与C交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线x=-和l于点M,N,若|AB|=|MN|,则l的斜率可以为( )
A.-2 B.
C.2 D.2+
D [因为曲线C:x=≥1,
整理得x2-y2=1(x≥1),
所以曲线C是双曲线x2-y2=1的右支,双曲线的右焦点为F(,0),渐近线为y=±x.
由题意知直线l的斜率存在,
设直线l的方程为y=k(x-),|k|>1,故选项A错误;
联立消去y并整理得
(k2-1)x2-2k2x+2k2+1=0,
此时Δ>0,由根与系数的关系得xA+xB=,xAxB=,
则|AB|=|xA-xB|=
==,
因为线段AB的垂直平分线交直线l于点N,
所以xN==,又直线MN的斜率为-,
所以|MN|=|xM-xN|=
=.
因为|AB|=|MN|,
所以=,|k|>1,
解得k=±(2+).
故选D.]
二、填空题
6.过双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M,N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于________.
2 [令x=-c,得y2=,则|MN|=.
由题意得a+c=,即a2+ac=c2-a2,
∴--2=0,
∴=2或=-1(舍去),
即离心率为2.]
7.(2024·北京卷)若直线y=k(x-3)与双曲线-y2=1只有一个公共点,则k的一个取值为________.
[由题意,知该双曲线的渐近线方程为y=±x,直线y=k(x-3)过定点(3,0).因为点(3,0)在双曲线内,所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点,则该直线与双曲线的渐近线平行,所以k=±.]
8.已知直线l:x-y+m=0与双曲线x2-=1交于不同的两点A,B,若线段AB的中点在圆x2+y2=5上,则实数m的值是________.
±1 [由消去y得x2-2mx-m2-2=0.则Δ=4m2+4m2+8=8m2+8>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=2m,y1+y2=x1+x2+2m=4m,所以线段AB的中点坐标为(m,2m).
又点(m,2m)在圆x2+y2=5上,所以m2+(2m)2=5,得m=±1.]
三、解答题
9.已知双曲线E:=1(a>0,b>0)的离心率为,焦点F到渐近线的距离为1.
(1)求双曲线E的标准方程;
(2)直线l:y=kx-1与双曲线E的左支交于不同两点,求实数k的取值范围.
[解] (1)因为e=,则=,
即c=a,
由题意,不妨设焦点F(c,0),其中一条渐近线为bx-ay=0,
则焦点F到渐近线的距离d==1,
则解得
所以双曲线E的标准方程为x2-y2=1.
(2)设直线l:y=kx-1与双曲线E的左支交于点A(x1,y1),B(x2,y2),
联立化简得(1-k2)x2+2kx-2=0,
因为直线l与双曲线左支交于不同两点,
所以
解得
即-<k<-1,
所以实数k的取值范围为(-,-1).
10.(多选)已知双曲线C:=1,点P(1,2),则( )
A.该双曲线的渐近线方程为y=±x
B.过点(3,0)的直线与双曲线C交于A,B两点,若|AB|=5,则满足的直线有1条
C.与双曲线C的两支各有一个交点的直线的斜率可以是1.1
D.过点P能作4条与双曲线C仅有一个交点的直线
ACD [对于A,双曲线C:=1的渐近线方程为y=±x,故A正确;
对于B,由于双曲线的实轴长为2a=4,c=3,
所以过焦点F与左、右两支都相交的直线被双曲线截得的弦长的取值范围是[4,+∞),
所以存在关于x轴对称的两条直线,使其弦长为5,另外当直线垂直于x轴时,经计算可得弦长正好是5,故满足条件的直线有三条,故B错误;
对于C,由于双曲线的渐近线的斜率为±,焦点在x轴上,
若直线l与双曲线C的两支各有一个交点,则直线l的斜率k∈,
因为1.1∈,故C正确;
对于D,由于点P(1,2)在双曲线的两条渐近线的上方,如图所示:
故过点P能作4条直线与双曲线C仅有一个交点,其中两条与渐近线平行,另外两条与双曲线相切,故D正确.故选ACD.]
11.过点A(3,-1)且被A点平分的双曲线-y2=1的弦所在的直线方程是________.
3x+4y-5=0 [易知所求直线的斜率存在,设为k,
则该直线的方程为y+1=k(x-3),代入-y2=1,
消去y得
(1-4k2)x2+(24k2+8k)x-36k2-24k-8=0(1-4k2≠0),
∴-=6,∴k=-(满足Δ>0),
∴所求直线方程为3x+4y-5=0.]
12.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的实轴长为2,且过点(3,).
(1)求双曲线C的方程;
(2)过双曲线C的右焦点F作斜率为1的直线l,l与双曲线C交于A,B两点,求|AB|;
(3)若M,N是双曲线C上不同的两点,且直线MN的斜率为2,线段MN的中点为P,证明:点P在直线x-6y=0上.
[解] (1)双曲线C:=1(a>0,b>0)的实轴长为2,且过点(3,),
可得2a=2,则a=,
将点(3,)代入=1,得=1,解得b=1,
故双曲线C的方程为-y2=1.
(2)由(1)知双曲线的右焦点为F(2,0),
直线l过双曲线C的右焦点F,其斜率为1,可得直线l的方程为y=x-2,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由得2x2-12x+15=0,
Δ=122-4×2×15=24>0,x1+x2=6,x1x2=,
所以|AB|==2.
(3)证明:设M(x3,y3),N(x4,y4),
则两式相减得(x3-x4)(x3+x4)=3(y3-y4)(y3+y4),
设P(x0,y0),则所以2x0(x3-x4)=3×2y0(y3-y4),
由直线MN的斜率为2,可得=2,
所以x0=3×y0×2,即x0=6y0,
所以点P在直线x-6y=0上.
13.设A,B为双曲线x2-=1上两点,如下四个点:P1(1,1),P2(-1,2),P3(1,3),P4(-1,-4)中,可作为线段AB中点的是________.(请将所有满足条件的点填入)
P4(-1,-4) [结合题意可知,直线AB的斜率存在且不为零.设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),由点A,B在双曲线上,得两式作差,得=,即(x1-x2)(x1+x2)==9,即=kAB·=9,
因此kAB=9·.
由双曲线方程可得渐近线方程为y=±3x,如图.对于P1(1,1),因为kAB=9×=9>3,所以直线AB与双曲线无交点,不符合题意;对于P2(-1,2),因为kAB=9×=-<-3,所以直线AB与双曲线无交点,不符合题意;对于P3(1,3),kAB=9×=3,此时直线AB与渐近线y=3x重合,与双曲线不可能有两个交点,不符合题意;对于P4(-1,-4),因为kAB=9×=<3,所以直线AB与双曲线有两个交点,满足题意.]
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第2课时 双曲线的标准方程及其性质的应用
[学习目标]
1.理解直线与双曲线的位置关系.(数学运算、直观想象)
2.会求解双曲线的弦长问题.(数学运算、逻辑推理)
探究1 双曲线定义及其应用
问题1 通过学习教材P125例5,你有什么发现?
[新知生成]
双曲线的第二定义:当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=(e>1)时,点M的轨迹是双曲线.
[典例讲评] 【链接教材P125例5】
1.已知动点M(x,y)到定点F(5,0)的距离和它到定直线l:x=的距离的比是常数,求动点M的轨迹.
[尝试解答]
[母题探究] 动点M(x,y)到定点F(2,0)的距离和它到定直线l:x=8的距离的比是常数,求动点M的轨迹.
双曲线和椭圆有统一的定义:点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=.当e>1时,点M的轨迹是双曲线;当0<e<1时,点M的轨迹是椭圆.
[学以致用] 【链接教材P127习题3.2T10】
1.双曲线=1上一点P到右焦点的距离为3,则点P到直线x=的距离为( )
A. B. C. D.
探究2 直线与双曲线的位置关系
问题2 当直线与双曲线仅有一个公共点时,该直线与双曲线一定相切吗?
[新知生成]
直线与双曲线位置关系的判断
设直线l:y=kx+m(m≠0), ①
双曲线C:=1(a>0,b>0), ②
将①代入②,
得Ax2+Bx+C=0.
a.当A=0时,直线l与双曲线的______________平行,直线与双曲线C相交于一点.
b.当A≠0时.
①Δ>0 直线与双曲线有______________公共点,此时直线与双曲线相交;
②Δ=0 直线与双曲线有______________公共点,此时直线与双曲线相切;
③Δ<0 直线与双曲线______________公共点,此时直线与双曲线相离.
[典例讲评] 2.已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=kx-1,试讨论满足下列条件的实数k的取值范围.
(1)直线l与双曲线有两个公共点;
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点;
(3)直线l与双曲线没有公共点.
[尝试解答]
1.解决直线与双曲线的公共点问题,不仅要考虑判别式,更要注意二次项系数为0时,直线与渐近线平行的特殊情况.
2.对于双曲线与直线只有一个公共点的题目,应分两种情况讨论:直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.
3.注意对直线的斜率是否存在进行讨论.
[学以致用] 2.已知中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线C过点A(2,0),且其离心率为.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)若直线l:kx-y-1=0与双曲线C有且只有一个公共点,求实数k的值.
[尝试解答]
探究3 弦长公式及中点弦问题
[典例讲评] 【链接教材P126例6】
3.已知双曲线的方程是-y2=1.
(1)直线l的倾斜角为,被双曲线截得的弦长为,求直线l的方程;
(2)过点P(3,1)作直线l′,使其被双曲线截得的弦恰被点P平分,求直线l′的方程.
[尝试解答]
双曲线中有关弦长的问题,解决方法与椭圆中类似.解决中点弦问题常用判别式法和点差法,注意所求参数的取值范围.
[学以致用] 【链接教材P128习题3.2T13】
3.已知双曲线方程为2x2-y2=2,则以点A(2,3)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为________.
4.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的实轴长为2,点P(2,)在双曲线C上.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)过点P且斜率为2的直线与双曲线C的另一个交点为Q,求|PQ|.
1.(教材P145复习参考题3T4改编)若直线y=kx与双曲线4x2-y2=16相交,则实数k的取值范围为( )
A.(-2,2) B.[-2,2)
C.(-2,2] D.[-2,2]
2.设A,B为双曲线=1上的两点,若线段AB的中点为M(3,6),则直线AB的方程是( )
A.x+y-3=0 B.2x+y-3=0
C.x-y+3=0 D.x-2y+3=0
3.经过双曲线x2-y2=8的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长为( )
A.
C. D.7
4.已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F.若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点,则双曲线的离心率e的取值范围是________.
1.知识链:
2.方法链:定义法、坐标法、点差法.
3.警示牌:判断直线与双曲线的交点个数时,方程联立消元后,忽视对二次项系数的讨论.代数计算中的运算失误.
回顾本节知识,自主完成以下问题:
1.直线与双曲线相交,有两个交点时,其弦长公式和直线与椭圆相交时的弦长公式是否相同?你能写出来吗?
2.直线与双曲线只有一个公共点,那么直线与双曲线一定相切吗?
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共80张PPT)
第2课时 双曲线的标准方程及其性质的应用
3.2 双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
第三章
圆锥曲线的方程
[学习目标]
1.理解直线与双曲线的位置关系.(数学运算、直观想象)
2.会求解双曲线的弦长问题.(数学运算、逻辑推理)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1.直线与双曲线只有1个交点,是不是直线与双曲线相切?
问题2.你了解双曲线的第二定义吗?
探究建构 关键能力达成
探究1 双曲线定义及其应用
问题1 通过学习教材P125例5,你有什么发现?
[提示] 当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比值是常数且大于1时,点M的轨迹是双曲线.
√
探究2 直线与双曲线的位置关系
问题2 当直线与双曲线仅有一个公共点时,该直线与双曲线一定相切吗?
[提示] 不一定.当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线仅有一个交点.
a.当A=0时,直线l与双曲线的______平行,直线与双曲线C相交于一点.
b.当A≠0时.
①Δ>0 直线与双曲线有____公共点,此时直线与双曲线相交;
②Δ=0 直线与双曲线有____公共点,此时直线与双曲线相切;
③Δ<0 直线与双曲线____公共点,此时直线与双曲线相离.
渐近线
两个
一个
没有
【教用·微提醒】 (1)直线与双曲线相交时可能有一个或两个公共点;有一个公共点时,直线与双曲线可能相切或相交.
(2)消元后注意二次项的系数,二次项系数可能为0,此时,直线与双曲线的渐近线平行.
[典例讲评] 2.已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=kx-1,试讨论满足下列条件的实数k的取值范围.
(1)直线l与双曲线有两个公共点;
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点;
(3)直线l与双曲线没有公共点.
反思领悟 1.解决直线与双曲线的公共点问题,不仅要考虑判别式,更要注意二次项系数为0时,直线与渐近线平行的特殊情况.
2.对于双曲线与直线只有一个公共点的题目,应分两种情况讨论:直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.
3.注意对直线的斜率是否存在进行讨论.
反思领悟 双曲线中有关弦长的问题,解决方法与椭圆中类似.解决中点弦问题常用判别式法和点差法,注意所求参数的取值范围.
[学以致用] 【链接教材P128习题3.2T13】
3.已知双曲线方程为2x2-y2=2,则以点A(2,3)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为__________________.
4x-3y+1=0
应用迁移 随堂评估自测
1.(教材P145复习参考题3T4改编)若直线y=kx与双曲线4x2-y2=16相交,则实数k的取值范围为( )
A.(-2,2) B.[-2,2)
C.(-2,2] D.[-2,2]
√
A [易知k≠±2,将y=kx代入4x2-y2=16得关于x的一元二次方程(4-k2)x2-16=0,由Δ>0可得-2√
√
[2,+∞)
1.知识链:
2.方法链:定义法、坐标法、点差法.
3.警示牌:判断直线与双曲线的交点个数时,方程联立消元后,忽视对二次项系数的讨论.代数计算中的运算失误.
回顾本节知识,自主完成以下问题:
1.直线与双曲线相交,有两个交点时,其弦长公式和直线与椭圆相交时的弦长公式是否相同?你能写出来吗?
2.直线与双曲线只有一个公共点,那么直线与双曲线一定相切吗?
[提示] 不一定.当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线只有一个公共点,此时二者相交,不相切.
章末综合测评(一) 动量守恒定律
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课时分层作业(三十一) 双曲线的标准方程及其性质的应用
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A [如图,点F2关于∠F1PF2的角平分线PQ的对称点M在PF1上,故|F1M|=|PF1|-|PM|=|PF1|-|PF2|=2a,又OQ是△F2F1M的中位线,故|OQ|=a,所以点Q的轨迹是以原点为圆心,a为半径的圆.故选A.]
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11
12
13
题号
2
1
3
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6
8
7
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10
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13
3x+4y-5=0
题号
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3
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题号
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题号
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题号
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题号
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13
P4(-1,-4)
题号
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题号
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