课时分层作业(三十一)
1．C [直线l：x＋my－m－2＝0，即m(y－1)＋x－2＝0恒过点(2，1)，
又双曲线的渐近线方程为y＝±x，
则点(2，1)在其中一条渐近线y＝x上，
又直线与双曲线只有一个交点，
则直线l过点(2，1)且平行于y＝－x或过点(2，1)且与双曲线的右支相切，即满足条件的直线l有2条．
故选C．]
2．A [如图，点F2关于∠F1PF2的角平分线PQ的对称点M在PF1上，故|F1M|＝|PF1|－|PM|＝|PF1|－|PF2|＝2a，又OQ是△F2F1M的中位线，故|OQ|＝a，所以点Q的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆．故选A．]
3．B [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又线段AB的中点为M(3，2)，
则x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，
则 (x1＋x2)(x1－x2)－＝0，
化简得·＝4 ＝4×＝4×＝6，
即kAB＝6．故选B．]
4．C [易知直线l的斜率存在，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线l的斜率为k，
则直线l的方程为y＝kx－1，
联立消去y得(5－k2)x2＋2kx－2＝0，
则Δ＝4k2＋8(5－k2)>0，即k2<10，所以x1＋x2＝，①
x1x2＝，②
因为，P(0，－1)，即(－x1，－1－y1)＝2(x2，1＋y2)，
则－x1＝2x2，③
联立①③解得x1＝，x2＝，
代入②化简得5k2－5＝0，解得k＝±1，满足k2<10，
所以直线l的方程为y＝x－1或y＝－x－1．
故选C．]
5．D [因为曲线C：x＝≥1，整理得x2－y2＝1(x≥1)，
所以曲线C是双曲线x2－y2＝1的右支，双曲线的右焦点为F(，0)，渐近线为y＝±x．
由题意知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y＝k(x－)，|k|>1，故选项A错误；
联立消去y并整理得(k2－1)x2－2k2x＋2k2＋1＝0，
此时Δ>0，由根与系数的关系得xA＋xB＝，xAxB＝，
则|AB|＝×
＝×，
因为线段AB的垂直平分线交直线l于点N，
所以xN＝，又直线MN的斜率为－，
所以|MN|＝|xM－xN|＝
＝·．
因为|AB|＝|MN|，所以，|k|>1，
解得k＝±(2＋)．故选D．]
6．2 [令x＝－c，得y2＝，则|MN|＝．
由题意得a＋c＝，即a2＋ac＝c2－a2，
∴－2＝0，
∴＝－1(舍去)，即离心率为2．]
7． [由题意，知该双曲线的渐近线方程为y＝±x，直线y＝k(x－3)过定点(3，0)．因为点(3，0)在双曲线内，所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线的渐近线平行，所以k＝±．]
8．±1 [由消去y得x2－2mx－m2－2＝0．则Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8>0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，所以线段AB的中点坐标为(m，2m)．
又点(m，2m)在圆x2＋y2＝5上，所以m2＋(2m)2＝5，得m＝±1．]
9．解：(1)因为e＝，则，即c＝a，
由题意，不妨设焦点F(c，0)，其中一条渐近线为bx－ay＝0，
则焦点F到渐近线的距离d＝＝1，
则
所以双曲线E的标准方程为x2－y2＝1．
(2)设直线l：y＝kx－1与双曲线E的左支交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立化简得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
因为直线l与双曲线左支交于不同两点，
所以
解得所以实数k的取值范围为(－，－1)．
10．ACD [对于A，双曲线C：＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确；
对于B，由于双曲线的实轴长为2a＝4，c＝3，
所以过焦点F与左、右两支都相交的直线被双曲线截得的弦长的取值范围是[4，＋∞)，
所以存在关于x轴对称的两条直线，使其弦长为5，另外当直线垂直于x轴时，经计算可得弦长正好是5，故满足条件的直线有三条，故B错误；
对于C，由于双曲线的渐近线的斜率为±，焦点在x轴上，
若直线l与双曲线C的两支各有一个交点，则直线l的斜率k∈，因为1.1∈，故C正确；
对于D，由于点P(1，2)在双曲线的两条渐近线的上方，如图所示：
故过点P能作4条直线与双曲线C仅有一个交点，其中两条与渐近线平行，另外两条与双曲线相切，故D正确．故选ACD．]
11．3x＋4y－5＝0 [易知所求直线的斜率存在，设为k，
则该直线的方程为y＋1＝k(x－3)，代入－y2＝1，
消去y得
(1－4k2)x2＋(24k2＋8k)x－36k2－24k－8＝0(1－4k2≠0)，
∴－＝6，∴k＝－(满足Δ>0)，
∴所求直线方程为3x＋4y－5＝0．]
12．解：(1)双曲线C：＝1(a>0，b>0)的实轴长为2，且过点(3，)，
可得2a＝2，则a＝，
将点(3，)代入＝1，得＝1，解得b＝1，
故双曲线C的方程为－y2＝1．
(2)由(1)知双曲线的右焦点为F(2，0)，
直线l过双曲线C的右焦点F，其斜率为1，可得直线l的方程为y＝x－2，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得2x2－12x＋15＝0，
Δ＝122－4×2×15＝24>0，x1＋x2＝6，x1x2＝，
所以|AB|＝×．
(3)证明：设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
则两式相减得(x3－x4)(x3＋x4)＝3(y3－y4)(y3＋y4)，
设P(x0，y0)，则所以2x0(x3－x4)＝3×2y0(y3－y4)，由直线MN的斜率为2，可得＝2，
所以x0＝3×y0×2，即x0＝6y0，
所以点P在直线x－6y＝0上．
13．P4(－1，－4) [结合题意可知，直线AB的斜率存在且不为零．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，由点A，B在双曲线上，得两式作差，得，
即(x1－x2)(x1＋x2)＝，
＝9，即·＝kAB·＝9，因此kAB＝9·．
由双曲线方程可得渐近线方程为y＝±3x，如图．对于P1(1，1)，因为kAB＝9×＝9>3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于P2(－1，2)，因为kAB＝9×<－3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于P3(1，3)，kAB＝9×＝3，此时直线AB与渐近线y＝3x重合，与双曲线不可能有两个交点，不符合题意；对于P4(－1，－4)，因为kAB＝9×<3，所以直线AB与双曲线有两个交点，满足题意．]
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(三十一) 双曲线的标准方程及其性质的应用
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共84分
一、选择题
1．若直线l：x＋my－m－2＝0与双曲线－y2＝1有且只有一个交点，则满足条件的直线l有( )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
2．已知F1，F2分别是双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P为双曲线C上的动点，过点F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．直线
3．直线l与双曲线x2－＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(3，2)，则直线l的斜率为( )
A．3 B．6
C．8 D．12
4．已知双曲线C的方程为5x2－y2＝1，过点P(0，－1)作直线l与双曲线左、右两支分别交于点M，N．若＝2，则直线l的方程为( )
A．y＝x－1
B．y＝x－1或y＝－x－1
C．y＝x－1或y＝－x－1
D．y＝x－1
5．设曲线C：x＝，过点(，0)的直线l与C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线x＝－和l于点M，N，若|AB|＝|MN|，则l的斜率可以为( )
A．－2 B．
C．2 D．2＋
二、填空题
6．过双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于________．
7．(2024·北京卷)若直线y＝k(x－3)与双曲线－y2＝1只有一个公共点，则k的一个取值为________．
8．已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则实数m的值是________．
三、解答题
9．已知双曲线E：＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，焦点F到渐近线的距离为1．
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)直线l：y＝kx－1与双曲线E的左支交于不同两点，求实数k的取值范围．
10．(多选)已知双曲线C：＝1，点P(1，2)，则( )
A．该双曲线的渐近线方程为y＝±x
B．过点(3，0)的直线与双曲线C交于A，B两点，若|AB|＝5，则满足的直线有1条
C．与双曲线C的两支各有一个交点的直线的斜率可以是1.1
D．过点P能作4条与双曲线C仅有一个交点的直线
11．过点A(3，－1)且被A点平分的双曲线－y2＝1的弦所在的直线方程是________．
12．已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为2，且过点(3，)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过双曲线C的右焦点F作斜率为1的直线l，l与双曲线C交于A，B两点，求|AB|；
(3)若M，N是双曲线C上不同的两点，且直线MN的斜率为2，线段MN的中点为P，证明：点P在直线x－6y＝0上．
13．设A，B为双曲线x2－＝1上两点，如下四个点：P1(1，1)，P2(－1，2)，P3(1，3)，P4(－1，－4)中，可作为线段AB中点的是________．(请将所有满足条件的点填入)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第2课时 双曲线的标准方程及其性质的应用
[学习目标]
1．理解直线与双曲线的位置关系．(数学运算、直观想象)
2．会求解双曲线的弦长问题．(数学运算、逻辑推理)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．直线与双曲线只有1个交点，是不是直线与双曲线相切？
问题2．你了解双曲线的第二定义吗？
探究1 双曲线定义及其应用
问题1 通过学习教材P125例5，你有什么发现？
[提示] 当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比值是常数且大于1时，点M的轨迹是双曲线．
[新知生成]
双曲线的第二定义：当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e＝(e＞1)时，点M的轨迹是双曲线．
【教用·微提醒】 (1)定点和定直线是相对应的，如定点是(c，0)，则定直线为x＝．
(2)距离比是离心率e，若e＞1，则点M的轨迹是双曲线，若0＜e＜1，则点M的轨迹是椭圆．
[典例讲评] 【链接教材P125例5】
1．已知动点M(x，y)到定点F(5，0)的距离和它到定直线l：x＝的距离的比是常数，求动点M的轨迹．
[解] 设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是点的集合P＝，
由此得＝．
将上式两边平方并化简，得9x2－16y2＝144，
即＝1．
所以点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为8、虚轴长为6的双曲线．
[母题探究] 动点M(x，y)到定点F(2，0)的距离和它到定直线l：x＝8的距离的比是常数，求动点M的轨迹．
[解] 设d是点M到直线l：x＝8的距离，
根据题意，动点M的轨迹就是点的集合P＝，
由此得＝，将上式两边平方并化简，得3x2＋4y2＝48，即＝1．
所以，点M的轨迹是焦点在x轴上，长轴长为8、短轴长为4的椭圆．
【教材原题·P125例5】
例5 动点M(x，y)与定点F(4，0)的距离和它到定直线l：x＝的距离的比是常数，求动点M的轨迹．
[解] 设d是点M到直线l的距离，根据题意，动点M的轨迹就是点的集合P＝，
由此得＝．
将上式两边平方，并化简，得7x2－9y2＝63，
即＝1．
所以，点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为6、虚轴长为2的双曲线(图3.2 11)．
双曲线和椭圆有统一的定义：点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e＝．当e＞1时，点M的轨迹是双曲线；当0＜e＜1时，点M的轨迹是椭圆．
[学以致用] 【链接教材P127习题3.2T10】
1．双曲线＝1上一点P到右焦点的距离为3，则点P到直线x＝的距离为( )
A． B． C． D．
C [由双曲线＝1知a＝3，b＝2，c＝，
离心率e＝＝，右焦点为F(，0)，设点P到直线x＝＝的距离为d，则＝e，
所以d＝＝＝＝．故选C．]
【教材原题·P127习题3.2T10】设动点M与定点F(c，0)(c＞0)的距离和M到定直线l：x＝的距离的比是(a＜c)，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
[答案] ＝1(a＞0)，轨迹是双曲线．
探究2 直线与双曲线的位置关系
问题2 当直线与双曲线仅有一个公共点时，该直线与双曲线一定相切吗？
[提示] 不一定．当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线仅有一个交点．
[新知生成]
直线与双曲线位置关系的判断
设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①
双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)，②
将①代入②，
得Ax2＋Bx＋C＝0．
a．当A＝0时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点．
b．当A≠0时．
①Δ＞0 直线与双曲线有两个公共点，此时直线与双曲线相交；
②Δ＝0 直线与双曲线有一个公共点，此时直线与双曲线相切；
③Δ＜0 直线与双曲线没有公共点，此时直线与双曲线相离．
【教用·微提醒】 (1)直线与双曲线相交时可能有一个或两个公共点；有一个公共点时，直线与双曲线可能相切或相交．
(2)消元后注意二次项的系数，二次项系数可能为0，此时，直线与双曲线的渐近线平行．
[典例讲评] 2．已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝kx－1，试讨论满足下列条件的实数k的取值范围．
(1)直线l与双曲线有两个公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点．
[解] 由得(1－k2)x2＋2kx－5＝0．①
(1)直线l与双曲线有两个公共点，则方程①有两个不相等的根．
∴
解得－＜k＜，且k≠±1，
∴实数k的取值范围为∪(－1，1)．
(2)直线l与双曲线只有一个公共点，则方程①只有一解．
当1－k2≠0，即k≠±1时，
令Δ＝4k2＋20(1－k2)＝0．
得k＝±，
此时方程①有两个相同的实数解，
即直线l与双曲线有且只有一个公共点；
当1－k2＝0，即k＝±1时，
直线l与双曲线的渐近线平行，方程①化为2x＝5或－2x＝5，故方程①只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，有且只有一个公共点．故当k＝±或k＝±1时，直线l与双曲线有且只有一个公共点．
(3)直线l与双曲线没有公共点，则方程①无解．
∴解得k＞或k＜－．
则实数k的取值范围为．
1．解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况．
2．对于双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行．
3．注意对直线的斜率是否存在进行讨论．
[学以致用] 2．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C过点A(2，0)，且其离心率为．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若直线l：kx－y－1＝0与双曲线C有且只有一个公共点，求实数k的值．
[解] (1)由题意可设双曲线C的标准方程为＝1，其中a＝2，
由e＝＝，得b＝3，
则双曲线C的标准方程为＝1．
(2)联立直线kx－y－1＝0与双曲线方程9x2－4y2＝36，得(9－4k2)x2＋8kx－40＝0，(※)
当9－4k2＝0，即k＝±时，方程(※)有且只有一解，直线l与双曲线C有且只有一个公共点，符合题意；
当9－4k2≠0时，由Δ＝64k2－4(9－4k2)(－40)＝0，
得k＝±，此时方程(※)有且只有一解，直线l与双曲线C有且只有一个公共点，也符合题意．
综上所述，实数k的值为±，±．
探究3 弦长公式及中点弦问题
[典例讲评] 【链接教材P126例6】
3．已知双曲线的方程是－y2＝1．
(1)直线l的倾斜角为，被双曲线截得的弦长为，求直线l的方程；
(2)过点P(3，1)作直线l′，使其被双曲线截得的弦恰被点P平分，求直线l′的方程．
[解] (1)设直线l的方程为y＝x＋m，代入双曲线方程，得3x2＋8mx＋4(m2＋1)＝0，Δ＝(8m)2－4×3×4(m2＋1)＝16(m2－3)>0，∴m2>3．
设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
则x1＋x2＝－m，x1x2＝．
由弦长公式得|AB|＝|x1－x2|＝＝＝，
∴＝，即m＝±5，满足m2>3，
∴直线l的方程为y＝x±5．
(2)设直线l′与双曲线交于A′(x3，y3)，B′(x4，y4)两点，
点P(3，1)为A′B′的中点，则x3＋x4＝6，y3＋y4＝2．
由＝＝4，
两式相减得(x3＋x4)(x3－x4)－4(y3＋y4)(y3－y4)＝0，
∴＝，∴l′的方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0．
把此方程代入双曲线方程，整理得5y2－10y＋＝0，满足Δ>0，
即所求直线l′的方程为3x－4y－5＝0．
【教材原题·P126例6】
例6 如图3.2 12，过双曲线＝1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|．
[解] 由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为F1(－3，0)，F2(3，0)．
因为直线AB的倾斜角是30°，且经过右焦点F2，所以直线AB的方程为
y＝(x－3)． ①
由消去y，得
5x2＋6x－27＝0．
解方程，得x1＝－3，x2＝．
将x1，x2的值分别代入①，得
y1＝－2，y2＝－．
于是，A，B两点的坐标分别为(－3，－2)，．
所以|AB|＝＝＝．
双曲线中有关弦长的问题，解决方法与椭圆中类似．解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围．
[学以致用] 【链接教材P128习题3.2T13】
3．已知双曲线方程为2x2－y2＝2，则以点A(2，3)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为________．
4x－3y＋1＝0 [设弦的两端点分别为P(x1，y1)，
Q(x2，y2)，则＝＝2，
两式相减，得2(x1－x2)·(x1＋x2)－(y1－y2)·(y1＋y2)＝0．
又x1＋x2＝4，y1＋y2＝6，
∴8(x1－x2)－6(y1－y2)＝0 kPQ＝，
因此直线PQ的方程为y－3＝(x－2)，
即4x－3y＋1＝0，经验证，直线4x－3y＋1＝0与双曲线相交于两点．
因此符合题意的直线方程为4x－3y＋1＝0．]
【教材原题·P128习题3.2T13】已知双曲线x2－＝1，过点P(1，1)的直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？
[解] 因为过点P(1，1)的直线l与双曲线x2－＝1相交于A，B两点，易知，直线l的方程不是x＝1．设直线l的方程为y－1＝k(x－1)，即y＝kx＋1－k．
将y＝kx＋1－k代入x2－＝1，得(2－k2)x2－2k(1－k)x－(1－k)2－2＝0(2－k2≠0)．①
设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，可得x1＋x2＝．
若P是线段AB的中点，得＝1．
即＝1，解得k＝2．
将k＝2代入方程①，得2x2－4x＋3＝0．
因为Δ＝16－24＝－8＜0，此方程没有实数解．
所以，P不是线段AB的中点．
4．已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为2，点P(2，)在双曲线C上．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过点P且斜率为2的直线与双曲线C的另一个交点为Q，求|PQ|．
[解] (1)因为双曲线的实轴长为2，
所以2a＝2，解得a＝．
又因为点P(2，)在双曲线C上，所以＝1，解得b＝，
所以双曲线C的标准方程为＝1．
(2)由题可得过点P且斜率为2的直线方程为y－＝2(x－2)，
即y＝2x－3，联立消去y可得
7x2－24x＋20＝0，Δ＞0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，所以x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|PQ|＝＝＝．
1．(教材P145复习参考题3T4改编)若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为( )
A．(－2，2) B．[－2，2)
C．(－2，2] D．[－2，2]
A [易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，由Δ>0可得－22．设A，B为双曲线＝1上的两点，若线段AB的中点为M(3，6)，则直线AB的方程是( )
A．x＋y－3＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x－y＋3＝0 D．x－2y＋3＝0
C [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有两式相减，得＝，
因为线段AB的中点为M(3，6)，所以x1＋x2＝6，y1＋y2＝12，
因此由＝ ＝1，
即直线AB的斜率为1，方程为x－y＋3＝0，经检验，该直线与双曲线交于两点，符合题意，故选C．]
3．经过双曲线x2－y2＝8的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长为( )
A．
C． D．7
B [双曲线x2－y2＝8的右焦点为(4，0)，经过双曲线x2－y2＝8的右焦点且斜率为2的直线方程为y＝2(x－4)，代入x2－y2＝8并整理得3x2－32x＋72＝0，设直线与双曲线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，Δ＞0，则x1＋x2＝，x1x2＝24，所以直线被双曲线截得的线段的长为|x1－x2|＝＝＝．]
4．已知双曲线＝1(a>0，b>0)的右焦点为F．若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是________．
[2，＋∞) [数形结合知，则≥3，所以c2－a2≥3a2，即c2≥4a2，所以e2＝≥4，所以e≥2．]
1．知识链：
2．方法链：定义法、坐标法、点差法．
3．警示牌：判断直线与双曲线的交点个数时，方程联立消元后，忽视对二次项系数的讨论．代数计算中的运算失误．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．直线与双曲线相交，有两个交点时，其弦长公式和直线与椭圆相交时的弦长公式是否相同？你能写出来吗？
[提示] 完全相同．直线y＝kx＋m与双曲线＝1相交，其交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝或|AB|＝．
2．直线与双曲线只有一个公共点，那么直线与双曲线一定相切吗？
[提示] 不一定．当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个公共点，此时二者相交，不相切．
课时分层作业(三十一) 双曲线的标准方程及其性质的应用
一、选择题
1．若直线l：x＋my－m－2＝0与双曲线－y2＝1有且只有一个交点，则满足条件的直线l有( )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
C [直线l：x＋my－m－2＝0，即m(y－1)＋x－2＝0恒过点(2，1)，
又双曲线的渐近线方程为y＝±x，
则点(2，1)在其中一条渐近线y＝x上，
又直线与双曲线只有一个交点，
则直线l过点(2，1)且平行于y＝－x或过点(2，1)且与双曲线的右支相切，
即满足条件的直线l有2条．
故选C．]
2．已知F1，F2分别是双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P为双曲线C上的动点，过点F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．直线
A [如图，点F2关于∠F1PF2的角平分线PQ的对称点M在PF1上，故|F1M|＝|PF1|－|PM|＝|PF1|－|PF2|＝2a，又OQ是△F2F1M的中位线，故|OQ|＝a，所以点Q的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆．故选A．
]
3．直线l与双曲线x2－＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(3，2)，则直线l的斜率为( )
A．3 B．6
C．8 D．12
B [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又线段AB的中点为M(3，2)，
则x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，
则 (x1＋x2)(x1－x2)－＝0，
化简得＝4 ＝4×＝4×＝6，即kAB＝6．故选B．]
4．已知双曲线C的方程为5x2－y2＝1，过点P(0，－1)作直线l与双曲线左、右两支分别交于点M，N．若＝2，则直线l的方程为( )
A．y＝x－1
B．y＝x－1或y＝－x－1
C．y＝x－1或y＝－x－1
D．y＝x－1
C [易知直线l的斜率存在，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝kx－1，
联立消去y得(5－k2)x2＋2kx－2＝0，则Δ＝4k2＋8(5－k2)＞0，即k2＜10，所以x1＋x2＝，①
x1x2＝，②
因为＝2，P(0，－1)，
即(－x1，－1－y1)＝2(x2，1＋y2)，
则－x1＝2x2，③
联立①③解得x1＝，x2＝，
代入②化简得5k2－5＝0，解得k＝±1，满足k2＜10，
所以直线l的方程为y＝x－1或y＝－x－1．
故选C．]
5．设曲线C：x＝，过点(，0)的直线l与C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线x＝－和l于点M，N，若|AB|＝|MN|，则l的斜率可以为( )
A．－2 B．
C．2 D．2＋
D [因为曲线C：x＝≥1，
整理得x2－y2＝1(x≥1)，
所以曲线C是双曲线x2－y2＝1的右支，双曲线的右焦点为F(，0)，渐近线为y＝±x．
由题意知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y＝k(x－)，|k|＞1，故选项A错误；
联立消去y并整理得
(k2－1)x2－2k2x＋2k2＋1＝0，
此时Δ＞0，由根与系数的关系得xA＋xB＝，xAxB＝，
则|AB|＝|xA－xB|＝
＝＝，
因为线段AB的垂直平分线交直线l于点N，
所以xN＝＝，又直线MN的斜率为－，
所以|MN|＝|xM－xN|＝
＝．
因为|AB|＝|MN|，
所以＝，|k|＞1，
解得k＝±(2＋)．
故选D．]
二、填空题
6．过双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于________．
2 [令x＝－c，得y2＝，则|MN|＝．
由题意得a＋c＝，即a2＋ac＝c2－a2，
∴－－2＝0，
∴＝2或＝－1(舍去)，
即离心率为2．]
7．(2024·北京卷)若直线y＝k(x－3)与双曲线－y2＝1只有一个公共点，则k的一个取值为________．
[由题意，知该双曲线的渐近线方程为y＝±x，直线y＝k(x－3)过定点(3，0)．因为点(3，0)在双曲线内，所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线的渐近线平行，所以k＝±．]
8．已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则实数m的值是________．
±1 [由消去y得x2－2mx－m2－2＝0．则Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8>0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，所以线段AB的中点坐标为(m，2m)．
又点(m，2m)在圆x2＋y2＝5上，所以m2＋(2m)2＝5，得m＝±1．]
三、解答题
9．已知双曲线E：＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，焦点F到渐近线的距离为1．
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)直线l：y＝kx－1与双曲线E的左支交于不同两点，求实数k的取值范围．
[解] (1)因为e＝，则＝，
即c＝a，
由题意，不妨设焦点F(c，0)，其中一条渐近线为bx－ay＝0，
则焦点F到渐近线的距离d＝＝1，
则解得
所以双曲线E的标准方程为x2－y2＝1．
(2)设直线l：y＝kx－1与双曲线E的左支交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立化简得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
因为直线l与双曲线左支交于不同两点，
所以
解得
即－＜k＜－1，
所以实数k的取值范围为(－，－1)．
10．(多选)已知双曲线C：＝1，点P(1，2)，则( )
A．该双曲线的渐近线方程为y＝±x
B．过点(3，0)的直线与双曲线C交于A，B两点，若|AB|＝5，则满足的直线有1条
C．与双曲线C的两支各有一个交点的直线的斜率可以是1.1
D．过点P能作4条与双曲线C仅有一个交点的直线
ACD [对于A，双曲线C：＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确；
对于B，由于双曲线的实轴长为2a＝4，c＝3，
所以过焦点F与左、右两支都相交的直线被双曲线截得的弦长的取值范围是[4，＋∞)，
所以存在关于x轴对称的两条直线，使其弦长为5，另外当直线垂直于x轴时，经计算可得弦长正好是5，故满足条件的直线有三条，故B错误；
对于C，由于双曲线的渐近线的斜率为±，焦点在x轴上，
若直线l与双曲线C的两支各有一个交点，则直线l的斜率k∈，
因为1.1∈，故C正确；
对于D，由于点P(1，2)在双曲线的两条渐近线的上方，如图所示：
故过点P能作4条直线与双曲线C仅有一个交点，其中两条与渐近线平行，另外两条与双曲线相切，故D正确．故选ACD．]
11．过点A(3，－1)且被A点平分的双曲线－y2＝1的弦所在的直线方程是________．
3x＋4y－5＝0 [易知所求直线的斜率存在，设为k，
则该直线的方程为y＋1＝k(x－3)，代入－y2＝1，
消去y得
(1－4k2)x2＋(24k2＋8k)x－36k2－24k－8＝0(1－4k2≠0)，
∴－＝6，∴k＝－(满足Δ>0)，
∴所求直线方程为3x＋4y－5＝0．]
12．已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为2，且过点(3，)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过双曲线C的右焦点F作斜率为1的直线l，l与双曲线C交于A，B两点，求|AB|；
(3)若M，N是双曲线C上不同的两点，且直线MN的斜率为2，线段MN的中点为P，证明：点P在直线x－6y＝0上．
[解] (1)双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为2，且过点(3，)，
可得2a＝2，则a＝，
将点(3，)代入＝1，得＝1，解得b＝1，
故双曲线C的方程为－y2＝1．
(2)由(1)知双曲线的右焦点为F(2，0)，
直线l过双曲线C的右焦点F，其斜率为1，可得直线l的方程为y＝x－2，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得2x2－12x＋15＝0，
Δ＝122－4×2×15＝24＞0，x1＋x2＝6，x1x2＝，
所以|AB|＝＝2．
(3)证明：设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
则两式相减得(x3－x4)(x3＋x4)＝3(y3－y4)(y3＋y4)，
设P(x0，y0)，则所以2x0(x3－x4)＝3×2y0(y3－y4)，
由直线MN的斜率为2，可得＝2，
所以x0＝3×y0×2，即x0＝6y0，
所以点P在直线x－6y＝0上．
13．设A，B为双曲线x2－＝1上两点，如下四个点：P1(1，1)，P2(－1，2)，P3(1，3)，P4(－1，－4)中，可作为线段AB中点的是________．(请将所有满足条件的点填入)
P4(－1，－4) [结合题意可知，直线AB的斜率存在且不为零．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，由点A，B在双曲线上，得两式作差，得＝，即(x1－x2)(x1＋x2)＝＝9，即＝kAB·＝9，
因此kAB＝9·．
由双曲线方程可得渐近线方程为y＝±3x，如图．对于P1(1，1)，因为kAB＝9×＝9>3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于P2(－1，2)，因为kAB＝9×＝－<－3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于P3(1，3)，kAB＝9×＝3，此时直线AB与渐近线y＝3x重合，与双曲线不可能有两个交点，不符合题意；对于P4(－1，－4)，因为kAB＝9×＝<3，所以直线AB与双曲线有两个交点，满足题意．]
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第2课时 双曲线的标准方程及其性质的应用
[学习目标]
1．理解直线与双曲线的位置关系．(数学运算、直观想象)
2．会求解双曲线的弦长问题．(数学运算、逻辑推理)
探究1 双曲线定义及其应用
问题1 通过学习教材P125例5，你有什么发现？
[新知生成]
双曲线的第二定义：当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e＝(e＞1)时，点M的轨迹是双曲线．
[典例讲评] 【链接教材P125例5】
1．已知动点M(x，y)到定点F(5，0)的距离和它到定直线l：x＝的距离的比是常数，求动点M的轨迹．
[尝试解答]
[母题探究] 动点M(x，y)到定点F(2，0)的距离和它到定直线l：x＝8的距离的比是常数，求动点M的轨迹．
双曲线和椭圆有统一的定义：点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e＝．当e＞1时，点M的轨迹是双曲线；当0＜e＜1时，点M的轨迹是椭圆．
[学以致用] 【链接教材P127习题3.2T10】
1．双曲线＝1上一点P到右焦点的距离为3，则点P到直线x＝的距离为( )
A． B． C． D．
探究2 直线与双曲线的位置关系
问题2 当直线与双曲线仅有一个公共点时，该直线与双曲线一定相切吗？
[新知生成]
直线与双曲线位置关系的判断
设直线l：y＝kx＋m(m≠0)， ①
双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)， ②
将①代入②，
得Ax2＋Bx＋C＝0．
a．当A＝0时，直线l与双曲线的______________平行，直线与双曲线C相交于一点．
b．当A≠0时．
①Δ＞0 直线与双曲线有______________公共点，此时直线与双曲线相交；
②Δ＝0 直线与双曲线有______________公共点，此时直线与双曲线相切；
③Δ＜0 直线与双曲线______________公共点，此时直线与双曲线相离．
[典例讲评] 2．已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝kx－1，试讨论满足下列条件的实数k的取值范围．
(1)直线l与双曲线有两个公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点．
[尝试解答]
1．解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况．
2．对于双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行．
3．注意对直线的斜率是否存在进行讨论．
[学以致用] 2．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C过点A(2，0)，且其离心率为．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若直线l：kx－y－1＝0与双曲线C有且只有一个公共点，求实数k的值．
[尝试解答]
探究3 弦长公式及中点弦问题
[典例讲评] 【链接教材P126例6】
3．已知双曲线的方程是－y2＝1．
(1)直线l的倾斜角为，被双曲线截得的弦长为，求直线l的方程；
(2)过点P(3，1)作直线l′，使其被双曲线截得的弦恰被点P平分，求直线l′的方程．
[尝试解答]
双曲线中有关弦长的问题，解决方法与椭圆中类似．解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围．
[学以致用] 【链接教材P128习题3.2T13】
3．已知双曲线方程为2x2－y2＝2，则以点A(2，3)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为________．
4．已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为2，点P(2，)在双曲线C上．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过点P且斜率为2的直线与双曲线C的另一个交点为Q，求|PQ|．
1．(教材P145复习参考题3T4改编)若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为( )
A．(－2，2) B．[－2，2)
C．(－2，2] D．[－2，2]
2．设A，B为双曲线＝1上的两点，若线段AB的中点为M(3，6)，则直线AB的方程是( )
A．x＋y－3＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x－y＋3＝0 D．x－2y＋3＝0
3．经过双曲线x2－y2＝8的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长为( )
A．
C． D．7
4．已知双曲线＝1(a>0，b>0)的右焦点为F．若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是________．
1．知识链：
2．方法链：定义法、坐标法、点差法．
3．警示牌：判断直线与双曲线的交点个数时，方程联立消元后，忽视对二次项系数的讨论．代数计算中的运算失误．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．直线与双曲线相交，有两个交点时，其弦长公式和直线与椭圆相交时的弦长公式是否相同？你能写出来吗？
2．直线与双曲线只有一个公共点，那么直线与双曲线一定相切吗？
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共80张PPT)
第2课时 双曲线的标准方程及其性质的应用
3.2 双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
第三章
圆锥曲线的方程
[学习目标]
1．理解直线与双曲线的位置关系．(数学运算、直观想象)
2．会求解双曲线的弦长问题．(数学运算、逻辑推理)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．直线与双曲线只有1个交点，是不是直线与双曲线相切？
问题2．你了解双曲线的第二定义吗？
探究建构 关键能力达成
探究1 双曲线定义及其应用
问题1 通过学习教材P125例5，你有什么发现？
[提示] 当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比值是常数且大于1时，点M的轨迹是双曲线．
√
探究2 直线与双曲线的位置关系
问题2 当直线与双曲线仅有一个公共点时，该直线与双曲线一定相切吗？
[提示] 不一定．当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线仅有一个交点．
a．当A＝0时，直线l与双曲线的______平行，直线与双曲线C相交于一点．
b．当A≠0时．
①Δ＞0 直线与双曲线有____公共点，此时直线与双曲线相交；
②Δ＝0 直线与双曲线有____公共点，此时直线与双曲线相切；
③Δ＜0 直线与双曲线____公共点，此时直线与双曲线相离．
渐近线
两个
一个
没有
【教用·微提醒】 (1)直线与双曲线相交时可能有一个或两个公共点；有一个公共点时，直线与双曲线可能相切或相交．
(2)消元后注意二次项的系数，二次项系数可能为0，此时，直线与双曲线的渐近线平行．
[典例讲评] 2．已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝kx－1，试讨论满足下列条件的实数k的取值范围．
(1)直线l与双曲线有两个公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点．
反思领悟 1．解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况．
2．对于双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行．
3．注意对直线的斜率是否存在进行讨论．
反思领悟 双曲线中有关弦长的问题，解决方法与椭圆中类似．解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围．
[学以致用] 【链接教材P128习题3.2T13】
3．已知双曲线方程为2x2－y2＝2，则以点A(2，3)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为__________________．
4x－3y＋1＝0
应用迁移 随堂评估自测
1．(教材P145复习参考题3T4改编)若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为( )
A．(－2，2) B．[－2，2)
C．(－2，2] D．[－2，2]
√
A [易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，由Δ>0可得－2√
√
[2，＋∞)
1．知识链：
2．方法链：定义法、坐标法、点差法．
3．警示牌：判断直线与双曲线的交点个数时，方程联立消元后，忽视对二次项系数的讨论．代数计算中的运算失误．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．直线与双曲线相交，有两个交点时，其弦长公式和直线与椭圆相交时的弦长公式是否相同？你能写出来吗？
2．直线与双曲线只有一个公共点，那么直线与双曲线一定相切吗？
[提示] 不一定．当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个公共点，此时二者相交，不相切．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
课时分层作业(三十一) 双曲线的标准方程及其性质的应用
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
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题号
2
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12
13
√
A [如图，点F2关于∠F1PF2的角平分线PQ的对称点M在PF1上，故|F1M|＝|PF1|－|PM|＝|PF1|－|PF2|＝2a，又OQ是△F2F1M的中位线，故|OQ|＝a，所以点Q的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆．故选A．]
题号
2
1
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4
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8
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√
√
题号
2
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13
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
±1
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
题号
2
1
3
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6
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7
9
10
11
12
13
√
√
题号
2
1
3
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5
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7
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11
12
13
题号
2
1
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13
题号
2
1
3
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5
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13
3x＋4y－5＝0
题号
2
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13
题号
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题号
2
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13
题号
2
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题号
2
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12
13
P4(－1，－4)
题号
2
1
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题号
2
1
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13
