人教A版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程探究课2为什么y=±bax是双曲线x2a2-y2b2=1的渐近线课件+学案

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名称 人教A版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程探究课2为什么y=±bax是双曲线x2a2-y2b2=1的渐近线课件+学案
格式 zip
文件大小 1.8MB
资源类型 试卷
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-06-30 16:41:51

文档简介

 为什么y=±x是双曲线=1的渐近线
1.双曲线的渐近线的定义
若存在一条直线l,使得双曲线C趋向无穷远处时与直线l越来越近,则称直线l为双曲线C的一条渐近线.
2.双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线的探讨
当x>0,y>0时,由=1得y=b=x,
当x→+∞时,→1,故猜测渐近线在第一象限内,当x→+∞时,双曲线无限地接近于直线y=x.
3.在第一象限内,如何证明直线l:y=x是双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线?
如图所示,过点M作MQ⊥l于点Q,过点M作PM⊥x轴交l于点P,则|PM|>|QM|.
设M(xM,yM),
则yM=(x>a),yP=xM.
所以|PM|=yP-yM==.
当xM→+∞时→+∞,所以|PM|→0,
即点M到直线l的距离|QM|→0,
故在第一象限内,直线l为双曲线的渐近线.
根据双曲线的对称性,y=±x是双曲线=1的渐近线.
4.共渐近线的双曲线方程的探索
(1)与双曲线=1(a>0,b>0)共渐近线的双曲线方程是=λ(λ≠0),当λ>0时,其焦点在x轴上;当λ<0时,其焦点在y轴上.
(2)方程=λ(λ≠0)中,令λ=0得双曲线=λ(λ≠0)的渐近线方程是±=0,即y=±x.
【典例】 (1)已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为4,则双曲线的渐近线方程为(  )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±4x D.y=±x
(2)如图,已知F1,F2为双曲线=1(a>0,b>0)的焦点,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P,且∠PF1F2=30°,则双曲线的渐近线方程为________.
[尝试解答]                                     
                                    
                                    
                                    
                                    
1.已知双曲线C:=1(m>0)的实轴长等于虚轴长的2倍,则C的渐近线方程为(  )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±2x D.y=±x
2.(2021·全国乙卷)已知双曲线C:-y2=1(m>0)的一条渐近线为x+my=0,则C的焦距为________.
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第三章
圆锥曲线的方程


4
2门世2有
3厚
1.双曲线的渐近线的定义
若存在一条直线1,使得双曲线C趋向无穷远处时与直线越来越近,则称
直线为双曲线C的一条渐近线,
2.双曲线--1(a>0,b>0)的新近线的探讨
当x>0,y>0时,由2
当x→十∞时,
→1,故猜测渐近线在第一象限内,当x→+
时,双曲线无限地接近于直线y
Y
Q
M
X
0
当xM十∞时,xM+Vx2-a2一十∞,所以PM-0,
即点M到直线的距离QM→0,
故在第一象限内,直线为双曲线的渐近线
根据双曲线的对称性,y=士会是双曲线器
62=1的渐近线
4.共渐近线的双曲线方程的探索
()与双曲线兰-多-1(a>0,b0共渐近线的双曲线方程是
2(2≠0),当2>0时,其焦点在x轴上;当2<0时,其焦点在y轴
2)方程器--20≠0)冲,令=0得双曲线若-兰=20≠0)的渐近
线方程是士兰=0,即y=士
x
2如图,已知F,乃为双曲线若-兰=1(a>0,b>0)的焦点,过乃
作垂直于x轴的直线交双曲线于点P,且∠PFF,=30°,则双曲线
的渐近线方程为
Y
P
F
0
F2
X
3y=士V2x
C「因为m>0,所以双曲线C的焦点在y轴上,
设双曲线C的标准方程为后-=1(0>0,b>0),
所以双曲线C的渐近线方程为y=±号,
又因为实轴长等于虚轴长的2倍,所以a=2b,
所以C的渐近线方程为y=±2x.故选C.]
4[双曲线C:兰-y2=1m>0)的渐近线方程为y=±x,即
x±Vmy=0,又双曲线的一条渐近线为V3x+mwy=0,即x+店y=0,
对比两式可得m=3.设双曲线的实半轴长为a,虚半轴长为b,半焦
距为c,则有a2=m=3,b2=1,所以双曲线C的焦距为2c=
2Va2+b2=4.] 为什么y=±x是双曲线=1的渐近线
1.双曲线的渐近线的定义
若存在一条直线l,使得双曲线C趋向无穷远处时与直线l越来越近,则称直线l为双曲线C的一条渐近线.
2.双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线的探讨
当x>0,y>0时,由=1得y=b=x,
当x→+∞时,→1,故猜测渐近线在第一象限内,当x→+∞时,双曲线无限地接近于直线y=x.
3.在第一象限内,如何证明直线l:y=x是双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线?
如图所示,过点M作MQ⊥l于点Q,过点M作PM⊥x轴交l于点P,则|PM|>|QM|.
设M(xM,yM),
则yM=(x>a),yP=xM.
所以|PM|=yP-yM==.
当xM→+∞时→+∞,所以|PM|→0,
即点M到直线l的距离|QM|→0,
故在第一象限内,直线l为双曲线的渐近线.
根据双曲线的对称性,y=±x是双曲线=1的渐近线.
4.共渐近线的双曲线方程的探索
(1)与双曲线=1(a>0,b>0)共渐近线的双曲线方程是=λ(λ≠0),当λ>0时,其焦点在x轴上;当λ<0时,其焦点在y轴上.
(2)方程=λ(λ≠0)中,令λ=0得双曲线=λ(λ≠0)的渐近线方程是±=0,即y=±x.
【典例】 (1)已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为4,则双曲线的渐近线方程为(  )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±4x D.y=±x
(2)如图,已知F1,F2为双曲线=1(a>0,b>0)的焦点,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P,且∠PF1F2=30°,则双曲线的渐近线方程为________.
(1)B (2)y=±x [(1)根据题意,双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为4,
则e==4,即c=4a,
则有b==a,
又由双曲线=1的焦点在x轴上,则其渐近线方程为y=±x,即y=±x.故选B.
(2)设F2(c,0)(c>0),P(c,y0)(y0>0),
则=1,解得y0=,∴|PF2|=.
在Rt△PF2F1中,∠PF1F2=30°,
则|PF1|=2|PF2|,①
由双曲线的定义,得|PF1|-|PF2|=2a,②
由①②得|PF2|=2a.
∴2a=,即b2=2a2.∴=.
∴双曲线的渐近线方程为y=±x.]
1.已知双曲线C:=1(m>0)的实轴长等于虚轴长的2倍,则C的渐近线方程为(  )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±2x D.y=±x
C [因为m>0,所以双曲线C的焦点在y轴上,
设双曲线C的标准方程为=1(a>0,b>0),
所以双曲线C的渐近线方程为y=±x,
又因为实轴长等于虚轴长的2倍,所以a=2b,
所以C的渐近线方程为y=±2x.故选C.]
2.(2021·全国乙卷)已知双曲线C:-y2=1(m>0)的一条渐近线为x+my=0,则C的焦距为________.
4 [双曲线C:-y2=1(m>0)的渐近线方程为y=±x,即x±y=0,又双曲线的一条渐近线为x+my=0,即x+y=0,对比两式可得m=3.设双曲线的实半轴长为a,虚半轴长为b,半焦距为c,则有a2=m=3,b2=1,所以双曲线C的焦距为2c=2=4.]
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