为什么y＝±x是双曲线＝1的渐近线
1．双曲线的渐近线的定义
若存在一条直线l，使得双曲线C趋向无穷远处时与直线l越来越近，则称直线l为双曲线C的一条渐近线．
2．双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线的探讨
当x>0，y>0时，由＝1得y＝b＝x，
当x→＋∞时，→1，故猜测渐近线在第一象限内，当x→＋∞时，双曲线无限地接近于直线y＝x．
3．在第一象限内，如何证明直线l：y＝x是双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线？
如图所示，过点M作MQ⊥l于点Q，过点M作PM⊥x轴交l于点P，则|PM|＞|QM|．
设M(xM，yM)，
则yM＝(x＞a)，yP＝xM．
所以|PM|＝yP－yM＝＝．
当xM→＋∞时→＋∞，所以|PM|→0，
即点M到直线l的距离|QM|→0，
故在第一象限内，直线l为双曲线的渐近线．
根据双曲线的对称性，y＝±x是双曲线＝1的渐近线．
4．共渐近线的双曲线方程的探索
(1)与双曲线＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程是＝λ(λ≠0)，当λ>0时，其焦点在x轴上；当λ<0时，其焦点在y轴上．
(2)方程＝λ(λ≠0)中，令λ＝0得双曲线＝λ(λ≠0)的渐近线方程是±＝0，即y＝±x．
【典例】 (1)已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的离心率为4，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±4x D．y＝±x
(2)如图，已知F1，F2为双曲线＝1(a＞0，b＞0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，则双曲线的渐近线方程为________．
[尝试解答]
1．已知双曲线C：＝1(m＞0)的实轴长等于虚轴长的2倍，则C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±x
2．(2021·全国乙卷)已知双曲线C：－y2＝1(m＞0)的一条渐近线为x＋my＝0，则C的焦距为________．
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第三章
圆锥曲线的方程
√
√
4
2门世2有
3厚
1.双曲线的渐近线的定义
若存在一条直线1，使得双曲线C趋向无穷远处时与直线越来越近，则称
直线为双曲线C的一条渐近线，
2.双曲线--1(a>0,b>0)的新近线的探讨
当x>0,y>0时，由2
当x→十∞时，
→1，故猜测渐近线在第一象限内，当x→+
时，双曲线无限地接近于直线y
Y
Q
M
X
0
当xM十∞时，xM+Vx2-a2一十∞，所以PM-0,
即点M到直线的距离QM→0，
故在第一象限内，直线为双曲线的渐近线
根据双曲线的对称性，y=士会是双曲线器
62=1的渐近线
4.共渐近线的双曲线方程的探索
()与双曲线兰-多-1(a>0,b0共渐近线的双曲线方程是
2(2≠0)，当2>0时，其焦点在x轴上；当2<0时，其焦点在y轴
2)方程器--20≠0)冲，令=0得双曲线若-兰=20≠0)的渐近
线方程是士兰=0，即y=士
x
2如图，已知F,乃为双曲线若-兰=1(a>0,b>0)的焦点，过乃
作垂直于x轴的直线交双曲线于点P,且∠PFF,=30°，则双曲线
的渐近线方程为
Y
P
F
0
F2
X
3y=士V2x
C「因为m>0,所以双曲线C的焦点在y轴上，
设双曲线C的标准方程为后-=1(0>0，b>0),
所以双曲线C的渐近线方程为y=±号，
又因为实轴长等于虚轴长的2倍，所以a=2b,
所以C的渐近线方程为y=±2x.故选C.]
4[双曲线C:兰-y2=1m>0)的渐近线方程为y=±x,即
x±Vmy=0,又双曲线的一条渐近线为V3x+mwy=0,即x+店y=0,
对比两式可得m=3.设双曲线的实半轴长为a,虚半轴长为b,半焦
距为c,则有a2=m=3,b2=1,所以双曲线C的焦距为2c=
2Va2+b2=4.] 为什么y＝±x是双曲线＝1的渐近线
1．双曲线的渐近线的定义
若存在一条直线l，使得双曲线C趋向无穷远处时与直线l越来越近，则称直线l为双曲线C的一条渐近线．
2．双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线的探讨
当x>0，y>0时，由＝1得y＝b＝x，
当x→＋∞时，→1，故猜测渐近线在第一象限内，当x→＋∞时，双曲线无限地接近于直线y＝x．
3．在第一象限内，如何证明直线l：y＝x是双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线？
如图所示，过点M作MQ⊥l于点Q，过点M作PM⊥x轴交l于点P，则|PM|＞|QM|．
设M(xM，yM)，
则yM＝(x＞a)，yP＝xM．
所以|PM|＝yP－yM＝＝．
当xM→＋∞时→＋∞，所以|PM|→0，
即点M到直线l的距离|QM|→0，
故在第一象限内，直线l为双曲线的渐近线．
根据双曲线的对称性，y＝±x是双曲线＝1的渐近线．
4．共渐近线的双曲线方程的探索
(1)与双曲线＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程是＝λ(λ≠0)，当λ>0时，其焦点在x轴上；当λ<0时，其焦点在y轴上．
(2)方程＝λ(λ≠0)中，令λ＝0得双曲线＝λ(λ≠0)的渐近线方程是±＝0，即y＝±x．
【典例】 (1)已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的离心率为4，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±4x D．y＝±x
(2)如图，已知F1，F2为双曲线＝1(a＞0，b＞0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，则双曲线的渐近线方程为________．
(1)B (2)y＝±x [(1)根据题意，双曲线＝1(a＞0，b＞0)的离心率为4，
则e＝＝4，即c＝4a，
则有b＝＝a，
又由双曲线＝1的焦点在x轴上，则其渐近线方程为y＝±x，即y＝±x．故选B．
(2)设F2(c，0)(c＞0)，P(c，y0)(y0＞0)，
则＝1，解得y0＝，∴|PF2|＝．
在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，
则|PF1|＝2|PF2|，①
由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a，②
由①②得|PF2|＝2a．
∴2a＝，即b2＝2a2．∴＝．
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x．]
1．已知双曲线C：＝1(m＞0)的实轴长等于虚轴长的2倍，则C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±x
C [因为m＞0，所以双曲线C的焦点在y轴上，
设双曲线C的标准方程为＝1(a＞0，b＞0)，
所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x，
又因为实轴长等于虚轴长的2倍，所以a＝2b，
所以C的渐近线方程为y＝±2x．故选C．]
2．(2021·全国乙卷)已知双曲线C：－y2＝1(m＞0)的一条渐近线为x＋my＝0，则C的焦距为________．
4 [双曲线C：－y2＝1(m＞0)的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，又双曲线的一条渐近线为x＋my＝0，即x＋y＝0，对比两式可得m＝3．设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则有a2＝m＝3，b2＝1，所以双曲线C的焦距为2c＝2＝4．]
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