(共49张PPT)
模块综合测评
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4．一入射光线经过点M(2，6)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(－3，4)，则反射光线所在的直线方程为( )
A．2x－y＋13＝0 B．6x－y＋22＝0
C．x－3y＋15＝0 D．x－6y＋27＝0
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10．已知α∈(0，π)，关于曲线C：x2sin α＋y2cos α＝1，下列说法正确的是( )
A．曲线C不可能是圆
B．曲线C可能是焦点在x轴上的椭圆
C．曲线C不可能是焦点在y轴上的椭圆
D．曲线C可能是双曲线
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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．如图所示，已知双曲线以矩形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为____________．
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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知A(2，1)，B(0，5)，C(1，－2)，圆M是△ABC的外接圆．
(1)求圆M的方程；
(2)若直线l过点(1，－5)，且被圆M截得的弦长为6，求直线l的方程．
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[解] (1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC．
∵PC⊥底面ABCD，BD 平面ABCD，∴PC⊥BD．
又∵AC∩PC＝C，AC，PC 平面PAC，∴BD⊥平面PAC．
∵PA 平面PAC，∴BD⊥PA．
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18．(17分)(2024·天津卷)如图，已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AD⊥AB，AB∥CD，AA1＝2，AB＝2AD＝2，DC＝1，N是B1C1的中点，M是DD1的中点．
(1)求证D1N∥平面CB1M；
(2)求平面CB1M与平面BB1C1C夹角的余弦值；
(3)求点B到平面CB1M的距离．
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19人教A版高中数学选择性必修第一册模块综合测评
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线x＋y－2 025＝0的倾斜角等于( )
A．45° B．60°
C．120° D．150°
2．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点与椭圆＝1的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝－1 B．x＝1
C．x＝2 D．x＝－2
3．直线l：ax＋y－2＝0与圆C：＋＝1的公共点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．1或2
4．一入射光线经过点M(2，6)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(－3，4)，则反射光线所在的直线方程为( )
A．2x－y＋13＝0 B．6x－y＋22＝0
C．x－3y＋15＝0 D．x－6y＋27＝0
5．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则△ABF的面积为( )
A．1 B．2
C．4 D．
6．(2024·上海卷)定义一个集合Ω，其元素是空间内的点，任取P1，P2，P3∈Ω，存在不全为0的实数λ1，λ2，λ3，使得λ1＋λ2＋λ3＝0(其中O为坐标原点)．已知(1，0，0)∈Ω，则(0，0，1) Ω的充分条件是( )
A．∈Ω B．∈Ω
C．∈Ω D．∈Ω
7．若点A(m，n)在圆C：x2＋y2－2x－8y＋1＝0 上，则的取值范围为( )
A．
C．[0，4] D．
8．在平面直角坐标系Oxy中，F1，F2分别是双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A，B，点T在x轴上，满足＝3，且BF2经过△BF1T的内切圆圆心，则双曲线C的离心率为( )
A． B．2
C．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知圆A：x2＋y2－2x－3＝0，则下列说法正确的是( )
A．圆A的半径为4
B．圆A截y轴所得的弦长为2
C．圆A上的点到直线3x－4y＋12＝0的最小距离为1
D．圆A与圆B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0相离
10．已知α∈(0，π)，关于曲线C：x2sin α＋y2cos α＝1，下列说法正确的是( )
A．曲线C不可能是圆
B．曲线C可能是焦点在x轴上的椭圆
C．曲线C不可能是焦点在y轴上的椭圆
D．曲线C可能是双曲线
11．如图，在棱长为1的正方体ABCD A′B′C′D′中，M为BC的中点，下列结论正确的有( )
A．AM与D′B′所成角的余弦值为
B．AM与平面AB′C′所成角的正弦值为
C．过点A，M，D′的正方体ABCD A′B′C′D′的截面面积为
D．四面体A′C′BD的内切球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．如图所示，已知双曲线以矩形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为________．
13．如图所示，在三棱锥S ABC中，SA＝SC＝2SB，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝，M，N分别是AB，SC的中点．则异面直线SM与BN所成角的余弦值为________．
14．直线mx＋y－2＝0(m∈R)与圆C：x2＋y2－2y－1＝0相交于A，B两点，则弦长|AB|的最小值为________，若△ABC的面积为，则m的值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知A(2，1)，B(0，5)，C(1，－2)，圆M是△ABC的外接圆．
(1)求圆M的方程；
(2)若直线l过点(1，－5)，且被圆M截得的弦长为6，求直线l的方程．
16．(15分)如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PC⊥底面ABCD，且PC＝1．
(1)证明：BD⊥PA；
(2)若＝3，求二面角P AC E的余弦值．
17．(15分)动点M(x，y)与定点F(，0)的距离和它到定直线l：x＝的距离的比是，动点M(x，y)的轨迹记为曲线C．
(1)求动点M的轨迹；
(2)已知直线x－y＋m＝0与曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝20上，求实数m的值．
18．(17分)(2024·天津卷)如图，已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AD⊥AB，AB∥CD，AA1＝2，AB＝2AD＝2，DC＝1，N是B1C1的中点，M是DD1的中点．
(1)求证D1N∥平面CB1M；
(2)求平面CB1M与平面BB1C1C夹角的余弦值；
(3)求点B到平面CB1M的距离．
19．(17分)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的右焦点为F(2，0)，离心率为，O为坐标原点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设点P(3，m)(m>0)，过F作PF的垂线交椭圆于A，B两点，求△OAB面积的最大值．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)人教A版高中数学选择性必修第一册模块综合测评
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线x＋y－2 025＝0的倾斜角等于( )
A．45° B．60°
C．120° D．150°
C [直线x＋y－2 025＝0可化为y＝－x＋2 025，则直线的斜率为－，所以直线的倾斜角等于120°．故选C．]
2．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点与椭圆＝1的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝－1 B．x＝1
C．x＝2 D．x＝－2
D [因为椭圆＝1的右焦点坐标为(2，0)，所以抛物线的焦点坐标为(2，0)，所以抛物线的准线方程为x＝－2．故选D．]
3．直线l：ax＋y－2＝0与圆C：＋＝1的公共点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．1或2
C [由直线l：ax＋y－2＝0，可得直线l过定点，
又由圆C：＋＝1，可得点在圆C上，因为直线l的斜率显然存在，所以公共点的个数为2．
故选C．]
4．一入射光线经过点M(2，6)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(－3，4)，则反射光线所在的直线方程为( )
A．2x－y＋13＝0 B．6x－y＋22＝0
C．x－3y＋15＝0 D．x－6y＋27＝0
D [∵光线经过点M(2，6)，设M关于直线l：x－y＋3＝0的对称点K(x，y)，
∴即
∴K(3，5)．
∵N(－3，4)，∴直线NK的斜率为＝，
∴反射光线所在直线的方程为y－4＝(x＋3)，即x－6y＋27＝0．故选D．]
5．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则△ABF的面积为( )
A．1 B．2
C．4 D．
B [由题意得，F(1，0)，则|AF|＝|BF|＝2，即点A到准线x＝－1的距离为2，所以点A的横坐标满足xA＋1＝2，可得xA＝1，所以A(1，±2)，由各点坐标易知∠AFB＝90°，所以S△ABF＝|BF|×|yA|＝×2×2＝2．故选B．]
6．(2024·上海卷)定义一个集合Ω，其元素是空间内的点，任取P1，P2，P3∈Ω，存在不全为0的实数λ1，λ2，λ3，使得λ1＋λ2＋λ3＝0(其中O为坐标原点)．已知(1，0，0)∈Ω，则(0，0，1) Ω的充分条件是( )
A．∈Ω B．∈Ω
C．∈Ω D．∈Ω
C [由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，
对于A，由空间直角坐标系易知，(1，0，0)，(0，0，1)三个向量共面，则当，(1，0，0)∈Ω时，无法推出(0，0，1) Ω，故A错误；
对于B，由空间直角坐标系易知，(1，0，0)，(0，0，1)三个向量共面，则当，(1，0，0)∈Ω时，无法推出(0，0，1) Ω，故B错误；
对于C, 由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底，则由∈Ω能推出 Ω，故C正确；
对于D，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当，(1，0，0)∈Ω时，无法推出(0，0，1) Ω，故D错误．
故选C．]
7．若点A(m，n)在圆C：x2＋y2－2x－8y＋1＝0 上，则的取值范围为( )
A．
C．[0，4] D．
B [因为点A(m，n)在圆C：x2＋y2－2x－8y＋1＝0 上，
则的几何意义为圆上点与定点P(－4，0)的斜率，
圆C：x2＋y2－2x－8y＋1＝0 化为标准方程为(x－1)2＋(y－4)2＝16，如图所示，
由题意可知过点P的圆的切线的斜率存在且PB的斜率为0，设过点P的圆C的切线方程为y＝k(x＋4)，
则＝4，解得k＝0或k＝，故k的取值范围为．故选B．]
8．在平面直角坐标系Oxy中，F1，F2分别是双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A，B，点T在x轴上，满足＝3，且BF2经过△BF1T的内切圆圆心，则双曲线C的离心率为( )
A． B．2
C．
C [设|AF1|＝m，∴|AF2|＝m＋2a，∵＝3，
∴＝＝＝，
∴|AB|＝2m，|BF2|＝3m－2a，|BT|＝3m＋6a，|F2T|＝4c，
∵BF2经过△BF1T的内切圆圆心，∴BF2是∠F1BT的平分线，
∴＝＝，∴3m＋6a＝2×3m，∴m＝2a，
∴|AB|＝|BF2|＝|AF2|，∴△ABF2是正三角形，
在△BF1F2中，由余弦定理有(2c)2＝(6a)2＋(4a)2－2×6a×4a×，
∴4c2＝28a2，∴e＝＝．故选C．]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知圆A：x2＋y2－2x－3＝0，则下列说法正确的是( )
A．圆A的半径为4
B．圆A截y轴所得的弦长为2
C．圆A上的点到直线3x－4y＋12＝0的最小距离为1
D．圆A与圆B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0相离
BC [把圆A的方程x2＋y2－2x－3＝0化成标准方程为(x－1)2＋y2＝4，
所以圆A的圆心坐标为(1，0)，半径r＝2，A错误；
圆A的圆心(1，0)到y轴的距离d＝1，所以圆A截y轴所得的弦长为2＝2＝2，B正确；
圆心(1，0)到直线3x－4y＋12＝0的距离为＝3，
故圆A上的点到直线3x－4y＋12＝0的最小距离为3－r＝3－2＝1，C正确；
圆B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0的圆心为B(4，4)，半径R＝3，
因为|AB|＝＝5＝r＋R，
所以圆A与圆B相外切，D错误．
故选BC．]
10．已知α∈(0，π)，关于曲线C：x2sin α＋y2cos α＝1，下列说法正确的是( )
A．曲线C不可能是圆
B．曲线C可能是焦点在x轴上的椭圆
C．曲线C不可能是焦点在y轴上的椭圆
D．曲线C可能是双曲线
BD [曲线方程整理为＝1，
当α＝时，sin ＝cos ＝，方程化简为x2＋y2＝，即为圆的方程，故A错误；
当α∈时，>>0，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，故B正确；
当α∈时，>>0，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，故C错误；
当α∈时，<0，>0，曲线C表示双曲线，故D正确．故选BD．]
11．如图，在棱长为1的正方体ABCD A′B′C′D′中，M为BC的中点，下列结论正确的有( )
A．AM与D′B′所成角的余弦值为
B．AM与平面AB′C′所成角的正弦值为
C．过点A，M，D′的正方体ABCD A′B′C′D′的截面面积为
D．四面体A′C′BD的内切球的表面积为
AD [以A′为坐标原点，A′D′，A′B′，A′A所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，1)，M，D′(1，0，0)，B′(0，1，0)，C′(1，1，0)，
∴＝＝(－1，1，0)，
∴cos 〈〉＝＝，
∴AM与D′B′所成角的余弦值为，故A正确；
∵＝(0，1，－1)，＝(1，1，－1)，
设平面AB′C′的法向量n＝(x，y，z)，
则∴令y＝1，得n＝(0，1，1)为平面AB′C′的一个法向量．
设AM与平面AB′C′所成角为α，
则sin α＝|cos 〈，n〉|＝＝，故B错误；
取CC′的中点N，连接MN，D′N，AD′，则MN∥BC′∥AD′，故梯形MND′A为过点A，M，D′的该正方体的截面，
∵MN＝，AD′＝，AM＝D′N＝，
∴梯形MND′A的高为＝，
∴梯形MND′A的面积为＝，故C错误；
四面体A′C′BD的体积为VABCD A′B′C′D′－4VD A′C′D′＝1－4××1×1×1＝，
又四面体A′C′BD的所有棱长均为，
∴四面体A′C′BD的表面积为4××()2＝2，
设四面体A′C′BD的内切球半径为r，则×2×r＝，解得r＝，
∴四面体A′C′BD的内切球的表面积为4πr2＝，故D正确．故选AD．]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．如图所示，已知双曲线以矩形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为________．
x2－＝1 [设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)．由题意得B(2，0)，C(2，3)，
所以解得所以双曲线的标准方程为x2－＝1．]
13．如图所示，在三棱锥S ABC中，SA＝SC＝2SB，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝，M，N分别是AB，SC的中点．则异面直线SM与BN所成角的余弦值为________．
[因为在三棱锥S ABC中，SA＝SC＝2SB，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝，
M，N分别是AB，SC的中点．
所以以S为原点，SA，SB，SC所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设SA＝SC＝2SB＝2，则S(0，0，0)，N(0，0，1)，A(2，0，0)，B(0，1，0)，M，
＝＝(0，－1，1)，
设异面直线SM与BN所成角为θ，
则cos θ＝＝＝．
所以异面直线SM与BN所成角的余弦值为．]
14．直线mx＋y－2＝0(m∈R)与圆C：x2＋y2－2y－1＝0相交于A，B两点，则弦长|AB|的最小值为________，若△ABC的面积为，则m的值为________．
2 ±1 [直线mx＋y－2＝0(m∈R)恒过圆C：x2＋(y－1)2＝2内的定点M(0，2)，又r＝，圆心C(0，1)到直线的距离d≤|CM|＝1，
∴|AB|＝2≥2，
即弦长|AB|的最小值为2．
S△ABC＝r2sin ∠ACB＝，∠ACB为三角形内角，取值范围为(0，π)．
即∠ACB＝或．
若∠ACB＝，则圆心到弦AB的距离为＞1＝|CM|，故不符合题意；
若∠ACB＝，
则圆心到弦AB的距离为＜1＝|CM|，符合题意，
此时＝，解得m＝±1．]
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知A(2，1)，B(0，5)，C(1，－2)，圆M是△ABC的外接圆．
(1)求圆M的方程；
(2)若直线l过点(1，－5)，且被圆M截得的弦长为6，求直线l的方程．
[解] (1)设圆M的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为圆M过A(2，1)，B(0，5)，C(1，－2)三点，所以解得
所以圆M的方程为x2＋y2＋6x－2y－15＝0．
(2)由(1)可知圆心为M(－3，1)，半径r＝5，
又直线l被圆M截得的弦长为6，所以圆心M到直线l的距离d＝＝4，
当直线l的斜率不存在时，l过点(1，－5)，所以l的方程为x＝1，圆心M到直线l的距离d＝4，故x＝1满足题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋5＝k(x－1)，即kx－y－k－5＝0，由点到直线的距离公式可得＝4，解得k＝－，直线l的方程为5x＋12y＋55＝0．
综上所述，直线l的方程为x＝1或5x＋12y＋55＝0．
16．(15分)如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PC⊥底面ABCD，且PC＝1．
(1)证明：BD⊥PA；
(2)若＝3，求二面角P AC E的余弦值．
[解] (1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC．
∵PC⊥底面ABCD，BD 平面ABCD，∴PC⊥BD．
又∵AC∩PC＝C，AC，PC 平面PAC，∴BD⊥平面PAC．
∵PA 平面PAC，∴BD⊥PA．
(2)由题意知，CB，CD，CP两两垂直，如图，以C为原点，CB，CD，CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则A(1，1，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，E＝(－1，1，0)，＝＝(1，1，0)．
由(1)知BD⊥平面PAC，则平面PAC的一个法向量为＝(－1，1，0)．
设平面ACE的法向量为n＝(x，y，z)，
则令x＝2，得y＝－2，z＝－1，∴n＝(2，－2，－1)为平面ACE的一个法向量，
∴|cos 〈，n〉|＝＝，
由图可知二面角P AC E是锐角，故二面角P AC E的余弦值为．
17．(15分)动点M(x，y)与定点F(，0)的距离和它到定直线l：x＝的距离的比是，动点M(x，y)的轨迹记为曲线C．
(1)求动点M的轨迹；
(2)已知直线x－y＋m＝0与曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝20上，求实数m的值．
[解] (1)设d是点M到直线l的距离，
则动点M的轨迹就是点的集合
P＝，
由此得＝，两边平方，得2x2－y2＝2，即x2－＝1，
即点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为2、虚轴长为2的双曲线．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去y并整理得x2－2mx－m2－2＝0，
Δ＝8m2＋8＞0，x1＋x2＝2m，
则y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，
则线段AB的中点坐标为(m，2m)，
因为线段AB的中点在圆x2＋y2＝20上，
所以m2＋4m2＝20，
解得m＝±2．
故实数m的值为2或－2．
18．(17分)(2024·天津卷)如图，已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AD⊥AB，AB∥CD，AA1＝2，AB＝2AD＝2，DC＝1，N是B1C1的中点，M是DD1的中点．
(1)求证D1N∥平面CB1M；
(2)求平面CB1M与平面BB1C1C夹角的余弦值；
(3)求点B到平面CB1M的距离．
[解] (1)证明：取CB1中点P，连接NP，MP．
由N是B1C1的中点，故NP∥CC1，且NP＝CC1，由M是DD1的中点，故D1M＝DD1＝CC1，且D1M∥CC1，
则有D1M∥NP，D1M＝NP，故四边形D1MPN是平行四边形，故D1N∥MP．
又MP 平面CB1M，D1N 平面CB1M，
故D1N∥平面CB1M．
(2)由题意知，AA1，AB，AD两两垂直，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，B1(2，0，2)，M(0，1，1)，C(1，1，0)，C1(1，1，2)，
则有＝(1，－1，2)，＝(－1，0，1)，＝(0，0，2)．
设平面CB1M与平面BB1C1C的法向量分别为m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)，
则有
分别取x1＝x2＝1，则有y1＝3，z1＝1，y2＝1，z2＝0，
即m＝(1，3，1)为平面CB1M的一个法向量，n＝(1，1，0)为平面BB1C1C的一个法向量，
设平面CB1M与平面BB1C1C的夹角为θ，
则cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝＝＝，
故平面CB1M与平面BB1C1C夹角的余弦值为．
(3)由＝(0，0，2)，平面CB1M的法向量m＝(1，3，1)，
则有＝＝，
即点B到平面CB1M的距离为．
19．(17分)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的右焦点为F(2，0)，离心率为，O为坐标原点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设点P(3，m)(m>0)，过F作PF的垂线交椭圆于A，B两点，求△OAB面积的最大值．
[解] (1)由椭圆C的右焦点为F(2，0)，
可得c＝2，又离心率为，
∴a＝，b2＝a2－c2＝6－4＝2，
∴椭圆C的标准方程为＝1．
(2)由题可知kPF＝＝m，∴kAB＝－，
故直线AB的方程为y＝－(x－2)，即x＝－my＋2，
联立消去x得(3＋m2)y2－4my－2＝0，
所以Δ＝16m2＋8(3＋m2)＞0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝，
∴|y1－y2|＝＝＝，
∴△OAB的面积S＝×|OF|×|y1－y2|＝，
令t＝>1，∴S＝＝＝，
当且仅当＝t，即t＝，m＝1时取等号，
∴△OAB面积的最大值为．
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1．C [直线x＋2 025，
则直线的斜率为－，所以直线的倾斜角等于120°．故选C．]
2．D [因为椭圆＝1的右焦点坐标为(2，0)，所以抛物线的焦点坐标为(2，0)，所以抛物线的准线方程为x＝－2．故选D．]
3．C [由直线l：ax＋y－2＝0，可得直线l过定点，
又由圆C：＝1，可得点在圆C上，
因为直线l的斜率显然存在，所以公共点的个数为2．
故选C．]
4．D [∵光线经过点M(2，6)，设M关于直线l：x－y＋3＝0的对称点K(x，y)，
∴∴K(3，5)．
∵N(－3，4)，∴直线NK的斜率为，
∴反射光线所在直线的方程为y－4＝(x＋3)，即x－6y＋27＝0．故选D．]
5．B [由题意得，F(1，0)，则|AF|＝|BF|＝2，即点A到准线x＝－1的距离为2，所以点A的横坐标满足xA＋1＝2，可得xA＝1，所以A(1，±2)，由各点坐标易知∠AFB＝90°，所以S△ABF＝|BF|×|yA|＝×2×2＝2．故选B．]
6．C [由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，
对于A，由空间直角坐标系易知，(1，0，0)，(0，0，1)三个向量共面，则当，(1，0，0)∈Ω时，无法推出(0，0，1) Ω，故A错误；
对于B，由空间直角坐标系易知，(1，0，0)，(0，0，1)三个向量共面，则当，(1，0，0)∈Ω时，无法推出(0，0，1) Ω，故B错误；
对于C， 由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底，则由∈Ω能推出 Ω，故C正确；
对于D，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当，(1，0，0)∈Ω时，无法推出(0，0，1) Ω，故D错误．
故选C．]
7．B [因为点A(m，n)在圆C：x2＋y2－2x－8y＋1＝0 上，
则的几何意义为圆上点与定点P(－4，0)的斜率，
圆C：x2＋y2－2x－8y＋1＝0 化为标准方程为(x－1)2＋(y－4)2＝16，如图所示，
由题意可知过点P的圆的切线的斜率存在且PB的斜率为0，设过点P的圆C的切线方程为y＝k(x＋4)，
则＝4，解得k＝0或k＝，故k的取值范围为．故选B．]
8．C [设|AF1|＝m，∴|AF2|＝m＋2a，∵，
∴，
∴|AB|＝2m，|BF2|＝3m－2a，|BT|＝3m＋6a，|F2T|＝4c，
∵BF2经过△BF1T的内切圆圆心，∴BF2是∠F1BT的平分线，
∴，∴3m＋6a＝2×3m，∴m＝2a，
∴|AB|＝|BF2|＝|AF2|，∴△ABF2是正三角形，
在△BF1F2中，由余弦定理有(2c)2＝(6a)2＋(4a)2－2×6a×4a×，∴4c2＝28a2，∴e＝．故选C．]
9．BC [把圆A的方程x2＋y2－2x－3＝0化成标准方程为(x－1)2＋y2＝4，
所以圆A的圆心坐标为(1，0)，半径r＝2，A错误；
圆A的圆心(1，0)到y轴的距离d＝1，所以圆A截y轴所得的弦长为2，B正确；
圆心(1，0)到直线3x－4y＋12＝0的距离为＝3，
故圆A上的点到直线3x－4y＋12＝0的最小距离为3－r＝3－2＝1，C正确；
圆B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0的圆心为B(4，4)，半径R＝3，
因为|AB|＝＝5＝r＋R，
所以圆A与圆B相外切，D错误．故选BC．]
10．BD [曲线方程整理为＝1，
当α＝时，sin ，方程化简为x2＋y2＝，即为圆的方程，故A错误；
当α∈时，>0，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，故B正确；
当α∈时，>0，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，故C错误；
当α∈时，<0，>0，曲线C表示双曲线，故D正确．故选BD．]
11．AD [以A'为坐标原点，A'D'，A'B'，A'A所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，1)，M，D'(1，0，0)，B'(0，1，0)，C'(1，1，0)，
∴＝(－1，1，0)，
∴cos<，∴AM与D'B'所成角的余弦值为，故A正确；
∵＝(0，1，－1)，＝(1，1，－1)，
设平面AB'C'的法向量n＝(x，y，z)，
则∴令y＝1，得n＝(0，1，1)为平面AB'C'的一个法向量．
设AM与平面AB'C'所成角为α，
则sin α＝|cos<，n>|＝，故B错误；
取CC'的中点N，连接MN，D'N，AD'，则MN∥BC'∥AD'，故梯形MND'A为过点A，M，D'的该正方体的截面，
∵MN＝，AD'＝，AM＝D'N＝，
∴梯形MND'A的高为，
∴梯形MND'A的面积为××，故C错误；
四面体A'C'BD的体积为VABCD A'B'C'D'－4VD A'C'D'＝1－4×××1×1×1＝，又四面体A'C'BD的所有棱长均为，
∴四面体A'C'BD的表面积为4××()2＝2，
设四面体A'C'BD的内切球半径为r，则×2×r＝，解得r＝，∴四面体A'C'BD的内切球的表面积为4πr2＝，故D正确．故选AD．]
12．x2－＝1 [设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)．由题意得B(2，0)，C(2，3)，所以＝1．]
13． [因为在三棱锥S ABC中，SA＝SC＝2SB，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝，M，N分别是AB，SC的中点．
所以以S为原点，SA，SB，SC所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设SA＝SC＝2SB＝2，则S(0，0，0)，N(0，0，1)，A(2，0，0)，B(0，1，0)，M，
＝(0，－1，1)，
设异面直线SM与BN所成角为θ，
则cos θ＝
＝．
所以异面直线SM与BN所成角的余弦值为．]
14．2 ±1 [直线mx＋y－2＝0(m∈R)恒过圆C：x2＋(y－1)2＝2内的定点M(0，2)，又r＝，圆心C(0，1)到直线的距离d≤|CM|＝1，∴|AB|＝2≥2，即弦长|AB|的最小值为2．
S△ABC＝r2sin∠ACB＝，∠ACB为三角形内角，取值范围为(0，π)．即∠ACB＝．
若∠ACB＝，则圆心到弦AB的距离为>1＝|CM|，故不符合题意；
若∠ACB＝，则圆心到弦AB的距离为<1＝|CM|，符合题意，
此时，解得m＝±1．]
15．解：(1)设圆M的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为圆M过A(2，1)，B(0，5)，C(1，－2)三点，所以
解得
所以圆M的方程为x2＋y2＋6x－2y－15＝0．
(2)由(1)可知圆心为M(－3，1)，半径r＝5，
又直线l被圆M截得的弦长为6，所以圆心M到直线l的距离d＝＝4，
当直线l的斜率不存在时，l过点(1，－5)，所以l的方程为x＝1，圆心M到直线l的距离d＝4，故x＝1满足题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋5＝k(x－1)，即kx－y－k－5＝0，由点到直线的距离公式可得＝4，解得k＝－，直线l的方程为5x＋12y＋55＝0．
综上所述，直线l的方程为x＝1或5x＋12y＋55＝0．
16．解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC．
∵PC⊥底面ABCD，BD 平面ABCD，∴PC⊥BD．
又∵AC∩PC＝C，AC，PC 平面PAC，∴BD⊥平面PAC．
∵PA 平面PAC，∴BD⊥PA．
(2)由题意知，CB，CD，CP两两垂直，如图，以C为原点，CB，CD，CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则A(1，1，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，E＝(－1，1，0)，＝(1，1，0)．
由(1)知BD⊥平面PAC，则平面PAC的一个法向量为＝(－1，1，0)．
设平面ACE的法向量为n＝(x，y，z)，
则令x＝2，得y＝－2，z＝－1，∴n＝(2，－2，－1)为平面ACE的一个法向量，
∴|cos<，n>|＝，由图可知二面角P AC E是锐角，故二面角P AC E的余弦值为．
17．解：(1)设d是点M到直线l的距离，
则动点M的轨迹就是点的集合P＝，
由此得，两边平方，得2x2－y2＝2，即x2－＝1，即点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为2、虚轴长为2的双曲线．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去y并整理得x2－2mx－m2－2＝0，
Δ＝8m2＋8>0，x1＋x2＝2m，
则y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，
则线段AB的中点坐标为(m，2m)，
因为线段AB的中点在圆x2＋y2＝20上，
所以m2＋4m2＝20，解得m＝±2．
故实数m的值为2或－2．
18．解：(1)证明：取CB1中点P，连接NP，MP．
由N是B1C1的中点，故NP∥CC1，且NP＝CC1，由M是DD1的中点，故D1M＝CC1，且D1M∥CC1，
则有D1M∥NP，D1M＝NP，故四边形D1MPN是平行四边形，故D1N∥MP．又MP 平面CB1M，D1N 平面CB1M，
故D1N∥平面CB1M．
(2)由题意知，AA1，AB，AD两两垂直，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，B1(2，0，2)，M(0，1，1)，C(1，1，0)，C1(1，1，2)，
则有＝(1，－1，2)，＝(－1，0，1)，＝(0，0，2)．
设平面CB1M与平面BB1C1C的法向量分别为m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)，
则有
分别取x1＝x2＝1，则有y1＝3，z1＝1，y2＝1，z2＝0，
即m＝(1，3，1)为平面CB1M的一个法向量，n＝(1，1，0)为平面BB1C1C的一个法向量，
设平面CB1M与平面BB1C1C的夹角为θ，
则cos θ＝|cos|＝，
故平面CB1M与平面BB1C1C夹角的余弦值为．
(3)由＝(0，0，2)，平面CB1M的法向量m＝(1，3，1)，
则有，
即点B到平面CB1M的距离为．
19．解：(1)由椭圆C的右焦点为F(2，0)，
可得c＝2，又离心率为，
∴a＝，b2＝a2－c2＝6－4＝2，
∴椭圆C的标准方程为＝1．
(2)由题可知kPF＝＝m，∴kAB＝－，
故直线AB的方程为y＝－(x－2)，即x＝－my＋2，
联立消去x得(3＋m2)y2－4my－2＝0，
所以Δ＝16m2＋8(3＋m2)>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝，
∴|y1－y2|＝＝，
∴△OAB的面积S＝×|OF|×|y1－y2|＝，
令t＝>1，∴S＝≤，
当且仅当＝t，即t＝，m＝1时取等号，
∴△OAB面积的最大值为．
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