学情分析
学生已经学过了三角形的初步概念，并且在小学也了解三角形内角和180度和三角形的分类，对三角形这个重要的几何图形也有了一个初步认识．在这个基础上,教材在此安排了这一节，不仅给以前的内容起了承上的作用，而且为以后进一步学习三角形的相关知识作好了铺垫．三角形是学生在生活中常见的图形，通过本堂课对三角形的进一步学习，学生通过三角形的三个内角定理，容易探究出直角三角形两锐角的关系及从角的角度判定直角三角形的方法。但要在较复杂的图形灵活运用，对学生具有很大的挑战性。让学生经历从实物到几何知识，再把几何知识运用到实物中去的过程．使学生对直角三角形的认识有一个螺旋式的提升。
效果分析
通过这堂课的学习在学生的学法上，我发现学生两个方面表现的很好------(1)乐学：在整个学习过程中保持强烈的好奇心和求知欲，使学生全身心投入到学习中去，成为学习的主人；(2)学会：要想对所学的知识熟练掌握，必须通过一定数量的练习。在教师的指点下进行自测自评自纠，不断地总结经验，弥补不足，逐步形成解题的技能。
这节课有四个学习目标：（1）体验直角三角形应用的广泛性，进一步认识直角三角形；（2）学会用符号和字母表示直角三角形；（3）经历“直角三角形两个锐角互余”的探讨，掌握直角三角形两个锐角互余的性质；（4）会用“两锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形及证明几何中的垂直问题。通过情景创设，提出问题学生观察、实验，学会用几何语言表述简单的推理，在三角形内角和定理的基础论证直角三角形的性质与判定。
总体上这节课非常成功。
课后反思
教育不是简单的知识学习和传授过程，它是师生共同成长的生命历程，五彩斑斓、生机勃勃、活力无限。知识也不仅仅是供孩子打开的百宝箱，而是一种可探寻、可分析、可切磋的动态的探究过程，我开始反思自己的教学，并尝试着做一些改变。
首先，要让数学课堂沐浴生活的阳光。从教育理念来讲，数学源于生活而高于生活，数学概念的引入可从生活的需要、数学的需要等方面引入。 此节课以探索直角三角形的内角性质为主，让同学们掌握“直角三角形的两个锐角互余”这点知识，课上可积极鼓励同学们发散思维，探索知识，利用作图工具尽量探索出直角三角形的特性。课堂以小组实践探索为主，最后大家互相展示自己小组探索、找到的直角三角形性质。最后老师归纳强调。此节选用以学为主的教学模式中的启发式教学策略与方法，让学生养成自主探索、合作交流的学习方式，引导学生在已有知识的基础上通过观察来总结理论知识.
其次，从课程理念来讲，直角三角形的性质是三角形内角和定理的延伸，也是以后学习“解直角三角形”必备的基础;直角三角形判定是平面几何中证明垂直问题的一个常用工具；直角三角形两锐角互余和两锐角互余的三角形是直角三角形这两个定理的探究形式体现了由几何实验到几何论证的研究过程．直角三角形的性质与判定的探究形式是以三角形内角和定理为基础，定理的论证方法采取了情景创设，提出问题，动手操作，实验观察，六个过程让学生从背景中经历筛选、提炼出新的数学知识的过程，逐步领悟“化繁为简”的数学研究方法。当然，这里的问题是作为研究“背景”呈现，教学时应作“虚化”处理，以突出主要内容
再次，把课堂还给学生。动手实践，自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式，我们在数学课堂中越来越关注学生的合作交流能力。教师首先要给学生营造一种平等、合作的教学气氛，设置合作小组，创设动态的多向合作模式，形成宽松的合作氛围，最大限度的扩展学生的合作层面，提高学生的合作频率。同时要信任学生，鼓励学生参与交往，教师在学习小组合作活动中，要积极参与引导，维持小组的合作气氛，关注学生的合作心态，并适当调节学生的合作心理，特别是要鼓动学困生以积极的心态参与数学合作活动。这样，在传授数学知识时教师就不是一种自上而下的“给予”，而是与学生一起去探索、去体验，学生在课堂交往中才可能变被动为主动，将学习活动看作是自己主动参与、自我发展的活动，师生之间、生生之间的相互合作、相互作用才可能实现。在这样宽松融洽的气氛下，同学的自尊心得到了满足，同时也调动了大家合作的积极性。
另外，非常重要的一点要注重学生基本数学素养的培养，其中很重要的一点就是数学语言能力的培养。数学语言是一种由数学符号、数学术语和经过改造的自然语言组成的科学语言，是数学知识的重要组成部分。数学语言是数学知识和数学思想的载体，数学知识与数学思想最终要通过数学语言表示出来并获得理解、掌握、合作和应用．
通过不断的磨砺和提高，我要让我的课堂不再是枯燥的图形、证明、计算，而是学生展示自我的大舞台，是一个自主开放的课堂，是一个充满快乐和智慧的课堂。
《三角形的内角》教学设计（第2课时）
付 虎
一、内容和内容解析
1．内容
直角三角形的性质及判定．
2．内容解析
直角三角形的性质是三角形内角和定理的延伸，也是以后学习“解直角三角形”必备的基础;直角三角形判定是平面几何中证明垂直问题的一个常用工具；直角三角形两锐角互余和两锐角互余的三角形是直角三角形这两个定理的探究形式体现了由几何实验到几何论证的研究过程．
直角三角形的性质与判定的探究形式是以三角形内角和定理为基础，定理的论证方法采取了情景创设，提出问题，动手操作，实验观察，得出结论，综合应用这样六个过程．
基于以上分析，确定本节课的教学重难点分别为：
教学重点：探索并掌握直角三角的性质定理和判定定理．
教学难点：有关推理表述及性质定理和判定、判定定理的应用．
二、目标和目标解析
1．目标
（1）体验直角三角形应用的广泛性，进一步认识直角三角形．
（2）学会用符号和字母表示直角三角形．
（3）经历“直角三角形两个锐角互余”的探讨，掌握直角三角形两个锐角互余的性质．
（4）会用“两锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形及证明几何中的垂直问题．
2．目标解析
达成目标是：情景创设，提出问题学生观察、实验，学会用几何语言表述简单的推理，在三角形内角和定理的基础论证直角三角形的性质与判定．
三、教学问题诊断分析
几何推理过程的书写，这是学生实现由直观图形思维到逻辑推理能力的过度，学生会感到一定的困难，教学时，教师要让每个学生在数形计算基础上，引导学生总结归纳，从而发现证明思路，进一步规范推理的表述．
四、教学过程设计
1．创设情境? 提出问题
探索并证明直角三角形两个锐角互余定理
问题1要求学生观察图形，找出上图中所包含的直角三角形．
回顾小学已学习的直角三角形知识（直角三角形及相关概念——直角边、斜边等）．由书本图例，让学生体验直角三角形应用的广泛性．
板书：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
问题2 三角形用什么符号表示？那么直角三角形又用什么符号表示呢？三角形ABC表示△ABC，直角三角形可以用符号“Rt△”，如图1，直角△ABC表示方法：Rt△ABC．
问题3 如图2，，在△ABC中∠A= 60°，∠B= 30°，∠C等于多少度？
图2
学生回答：∠C= 90°．
追问：你能用什么知识解决？
师生活动：学生回答——三角形内角和定理．
设计意图：回忆小学已学习的直角三角形知识，复习三角形内角和定理及运用，为直角三角形性质及判定做铺垫．
2．合作探究?? 形成知识
问题3? 请同学们画一个直角△ABC，其中∠C= 90°，用量角器分别量出出∠A、∠B的度数，并且求出∠A+∠B的值．
追问：通过对问题3的计算你发现∠A和∠B有什么关系？
师生活动：学生讨论后，小结得出：
追问：结合图形你能写出已知、求证和证明吗？
师生活动：学生回答，教师板书，师生共同完成证明过程．同时教师指出，经过证明的这个结论被称为“直角三角形性质定理”．
追问：此直角三角形性质用几何语言该怎样表示？
几何推理过程．
如图3，在Rt△ABC中．
∵∠A+∠B + ∠C= 180°(三角形内角和定理）．
而∠C= 90°．
∴ ∠A+∠B= 90°．
∴ 直角三角形的两个锐角互余．
设计意图：让学生亲历推理过程，理顺证明思路，通过严格的逻辑推理证明，感悟几何证明的严密性、规范性，从而写出证明过程．
3．初步应用? 巩固知识
运用直角三角形性质定理解决实际问题
例1 如图4，∠C=∠D=90° ，AD、BC相交与点E． ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
师生活动：（1）要想找出∠CAE与∠DBE有什么关系，它们不在同一个三角形中，通过观察它们在两个不同的直角三角形中的锐角，只要找另外两个锐角的关系即可．（2）学生独立完成解题过程，一名学生板书；（3）师生共同分析板书学生解题过程是否合理规范．
设计意图： “直角三角形两锐角互余”及“同角（或等角）的余角互余”的综合应用，促进学生进一步巩固定理内容．
4．类比猜测 形成知识
直角三角形判定定理
问题4 我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形两锐角互余．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？请你说说理由．
师生活动：学生独立思考，然后小组交流，并汇报交流结果．
设计思路：能够独立思考获得解决问题的思路，乐于与他人合作，与同伴交流，从中受益，培养学生团结协作的精神．
问题5 参照直角三角形性质的几何推理过程，判定定理几何推理过程又该怎样表示呢？
推理过程如下：
如图5，在△ABC中．
∠A+∠B+∠C=?180°（三角形内角和定理），
∵?∠A+∠B=90°（已知），
∴?∠C=90，
∴?△ABC是直角三角形 (直角三角形定义）．
师生活动：学生独立思考，然后小组交流，并相互批改．
设计思路：能够主动积极参与学习活动，使用数学语言有条理地表达自己的思考过程．
5．综合运用? 深化提高
课堂练习
（1）Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=28°，则∠A=__．
（2）若∠C =∠A+∠B，则△ABC是______三角形．
（3）在△ABC中，∠A=90°，∠B=3∠C，求∠B，∠C的度数．
师生活动：学生口答第（1）、（2）题，第（3）题安排学生演板．
例2? 如图6，在Rt△ABC中， 若∠ACD=∠B，CD⊥AB，△ABC中为直角三角形吗？为什么？
深化提高
如图7，在Rt△ABC中∠ACB＝ 90 °，D、E分别在AB、AC上，若∠AED=∠B，△AED为直角三角形吗？试说明理由．
设计思路：在教师完成例2的证明后由学生独立完成本题，重在锻炼学生知识迁移能力．
6．小结
（1）师生一起回顾本节课所学的主要内容。(直角三角形性质和判定)
（2）这一课我们是怎样探索直角三角形的性质与判定？
（3）利用直角三角形的性质与判定分别可以解决哪些问题？
7．作业
教科书第14页习题第2，第17页习题10题．
课件22张PPT。人教版数学八年级 上册11.2 与三角形有关的角 （第2课时） 邹城市第五中学 付虎 笑笑和淘气来到数学王国,他们很想了解这个神秘的王国,你们想一起去吗?那就帮他们打开这个神秘王国的大门吧,密码是—— ！数学王国欢迎你！谜语: 个子小小三条边，好像彩旗三个尖，并肩孪生两兄弟，测量长度它争先。（打一学习用品）
请你猜一猜！请随我来！数学王国欢迎你！ 1．什么是直角三角形？有一个内角是直角的三角形是直角三角形 我是谁？？？? 问题1. 在△ABC 中，∠A =60°，∠B =30°，∠C 等于多少度？你用了什么知识解决的？探索直角三角形的性质 直角三角形可以用符号“Rt△”表示，
直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ．1. 在Rt△ABC中，∠C=90°两锐角之和： ∠A+∠B=？直角三角形的性质：
直角三角形两锐角互余 解： 在Rt△ABC中，∠C=90°
∵ ∠A +∠B+∠C= 180°，
∴ ∠A +∠B=90°。第一站探索直角三角形性质探索直角三角形的性质在Rt△ABC 中，
∵ ∠C =90°，
∴ ∠A +∠B =90°． 问题2 此性质的几何推理格式该怎样表示？1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝40°，则∠B＝ ( )
A．60° B．50° C．40° D．90°
2．若一个直角三角形的两个锐角度数分别是x°，y°，则x与y的关系是 ( )
A．x＋y＝180 B．x－y＝180
C．x＋y＝90 D．无关系
BC 3.在Rt △ABC中，∠ACB=90 °
如果∠A-∠B=10°,则 ∠ A=____°, ∠B= ___°;50404．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，∠A＝40°，则∠1＝ ( )
A．30° B．40° C．45° D．60°
B例题讲解 例 如图，∠C =∠D =90°，AD，BC 相交于点E， ∠CAE 与∠DBE 有什么关系？为什么？ 分析：两个角的关系是
什么？这两个角分别在什么
三角形中？你如何验证自己
的想法？第二站探索直角三角形的判定 问题3 我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，你能得出什么结论？这个结论成立吗？如何验证你的想法？怎样认识我？ 如图，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？由三角形内角和性质，
∠A +∠B+∠C= 180°，
因为∠A +∠B=90°，
所以∠C=90°，
于是△ABC是直角三角形.有两个角互余的三角形是直角三角形. 直角三角形的判定定理：探索直角三角形的判定探索直角三角形的判定 问题4 类比性质的几何推理格式，判定的几何推理格式又该怎样表示？ 推理格式：
在Rt△ABC 中，
∵ ∠A +∠B =90°，
∴ △ABC 是直角三角形．相等．
同角的余角相等． 课堂练习 P14 练习 如图，∠ACB =90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD 与∠B 有什么关系？为什么？课堂练习 变式1 若∠ACD =∠B，∠ACB =90°，则CD 是△ACB 的高吗？为什么？ 是．
有两个角互余的三角形
是直角三角形．课堂练习 变式2 若∠ACD =∠B，CD ⊥AB，△ACB 为直角三角形吗？为什么？ 是．
有两个角互余的三角形
是直角三角形．拓展提高 直角三角形的判定 已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.求证：△PEF是直角三角形. 1·直角三角形的性质
2·直角三角形的判定 这节课我们一起学习了什么？
布置作业教科书习题11.2 第1、10题． 教材分析
新课程理念认为，课堂教学不是简单的知识学习过程，它是师生共同成长的生命历程，它五彩斑斓、生机勃勃、活力无限。课程知识不仅仅是供孩子打开的百宝箱，而是一种可探寻、可分析、可切磋的动态的探究过程，新课标里面提到很重要的一点“数形结合”，数形结合思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。
学生已经学过了三角形的初步概念，并且在小学也了解三角形内角和180度和三角形的分类，对三角形这个重要的几何图形也有了一个初步认识．在这个基础上,教材在此安排了这一节，不仅给以前的内容起了承上的作用，而且为以后进一步学习三角形的相关知识作好了铺垫．三角形是学生在生活中常见的图形，通过本堂课对三角形的进一步学习，让学生经历从实物到几何知识，再把几何知识运用到实物中去的过程．使学生对直角三角形的认识有一个螺旋式的提升。
由三角形内角和定理容易得到：直角三角形的两个锐角互余。这是直角三角形的一个重要性质，运用它可以解决直角三角形中角的计算问题。
例3是这个性质与余角的性质“同角（或等角）的余角相等”的综合运用。
反过来，如果一个三角形有两个锐角互余，就可以判定这个三角形是直角三角形。
直角三角形两锐角互余和两锐角互余的三角形是直角三角形这两个定理的探究形式体现了由几何实验到几何论证的研究过程。
课后反思
教育不是简单的知识学习和传授过程，它是师生共同成长的生命历程，五彩斑斓、生机勃勃、活力无限。知识也不仅仅是供孩子打开的百宝箱，而是一种可探寻、可分析、可切磋的动态的探究过程，我开始反思自己的教学，并尝试着做一些改变。
首先，要让数学课堂沐浴生活的阳光。从教育理念来讲，数学源于生活而高于生活，数学概念的引入可从生活的需要、数学的需要等方面引入。 此节课以探索直角三角形的内角性质为主，让同学们掌握“直角三角形的两个锐角互余”这点知识，课上可积极鼓励同学们发散思维，探索知识，利用作图工具尽量探索出直角三角形的特性。课堂以小组实践探索为主，最后大家互相展示自己小组探索、找到的直角三角形性质。最后老师归纳强调。此节选用以学为主的教学模式中的启发式教学策略与方法，让学生养成自主探索、合作交流的学习方式，引导学生在已有知识的基础上通过观察来总结理论知识.
其次，从课程理念来讲，直角三角形的性质是三角形内角和定理的延伸，也是以后学习“解直角三角形”必备的基础;直角三角形判定是平面几何中证明垂直问题的一个常用工具；直角三角形两锐角互余和两锐角互余的三角形是直角三角形这两个定理的探究形式体现了由几何实验到几何论证的研究过程．直角三角形的性质与判定的探究形式是以三角形内角和定理为基础，定理的论证方法采取了情景创设，提出问题，动手操作，实验观察，六个过程让学生从背景中经历筛选、提炼出新的数学知识的过程，逐步领悟“化繁为简”的数学研究方法。当然，这里的问题是作为研究“背景”呈现，教学时应作“虚化”处理，以突出主要内容
再次，把课堂还给学生。动手实践，自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式，我们在数学课堂中越来越关注学生的合作交流能力。教师首先要给学生营造一种平等、合作的教学气氛，设置合作小组，创设动态的多向合作模式，形成宽松的合作氛围，最大限度的扩展学生的合作层面，提高学生的合作频率。同时要信任学生，鼓励学生参与交往，教师在学习小组合作活动中，要积极参与引导，维持小组的合作气氛，关注学生的合作心态，并适当调节学生的合作心理，特别是要鼓动学困生以积极的心态参与数学合作活动。这样，在传授数学知识时教师就不是一种自上而下的“给予”，而是与学生一起去探索、去体验，学生在课堂交往中才可能变被动为主动，将学习活动看作是自己主动参与、自我发展的活动，师生之间、生生之间的相互合作、相互作用才可能实现。在这样宽松融洽的气氛下，同学的自尊心得到了满足，同时也调动了大家合作的积极性。
另外，非常重要的一点要注重学生基本数学素养的培养，其中很重要的一点就是数学语言能力的培养。数学语言是一种由数学符号、数学术语和经过改造的自然语言组成的科学语言，是数学知识的重要组成部分。数学语言是数学知识和数学思想的载体，数学知识与数学思想最终要通过数学语言表示出来并获得理解、掌握、合作和应用．
通过不断的磨砺和提高，我要让我的课堂不再是枯燥的图形、证明、计算，而是学生展示自我的大舞台，是一个自主开放的课堂，是一个充满快乐和智慧的课堂。
课堂练习
（1）Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=28°，则∠A=__．
（2）若∠C =∠A+∠B，则△ABC是______三角形．
（3）在△ABC中，∠A=90°，∠B=3∠C，求∠B，∠C的度数．
师生活动：学生口答第（1）、（2）题，第（3）题安排学生演板．
例2? 如图6，在Rt△ABC中， 若∠ACD=∠B，CD⊥AB，△ABC中为直角三角形吗？为什么？
深化提高
如图7，在Rt△ABC中∠ACB＝ 90 °，D、E分别在AB、AC上，若∠AED=∠B，△AED为直角三角形吗？试说明理由．
课后反思
教育不是简单的知识学习和传授过程，它是师生共同成长的生命历程，五彩斑斓、生机勃勃、活力无限。知识也不仅仅是供孩子打开的百宝箱，而是一种可探寻、可分析、可切磋的动态的探究过程，我开始反思自己的教学，并尝试着做一些改变。
首先，要让数学课堂沐浴生活的阳光。从教育理念来讲，数学源于生活而高于生活，数学概念的引入可从生活的需要、数学的需要等方面引入。 此节课以探索直角三角形的内角性质为主，让同学们掌握“直角三角形的两个锐角互余”这点知识，课上可积极鼓励同学们发散思维，探索知识，利用作图工具尽量探索出直角三角形的特性。课堂以小组实践探索为主，最后大家互相展示自己小组探索、找到的直角三角形性质。最后老师归纳强调。此节选用以学为主的教学模式中的启发式教学策略与方法，让学生养成自主探索、合作交流的学习方式，引导学生在已有知识的基础上通过观察来总结理论知识.
其次，从课程理念来讲，直角三角形的性质是三角形内角和定理的延伸，也是以后学习“解直角三角形”必备的基础;直角三角形判定是平面几何中证明垂直问题的一个常用工具；直角三角形两锐角互余和两锐角互余的三角形是直角三角形这两个定理的探究形式体现了由几何实验到几何论证的研究过程．直角三角形的性质与判定的探究形式是以三角形内角和定理为基础，定理的论证方法采取了情景创设，提出问题，动手操作，实验观察，六个过程让学生从背景中经历筛选、提炼出新的数学知识的过程，逐步领悟“化繁为简”的数学研究方法。当然，这里的问题是作为研究“背景”呈现，教学时应作“虚化”处理，以突出主要内容
再次，把课堂还给学生。动手实践，自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式，我们在数学课堂中越来越关注学生的合作交流能力。教师首先要给学生营造一种平等、合作的教学气氛，设置合作小组，创设动态的多向合作模式，形成宽松的合作氛围，最大限度的扩展学生的合作层面，提高学生的合作频率。同时要信任学生，鼓励学生参与交往，教师在学习小组合作活动中，要积极参与引导，维持小组的合作气氛，关注学生的合作心态，并适当调节学生的合作心理，特别是要鼓动学困生以积极的心态参与数学合作活动。这样，在传授数学知识时教师就不是一种自上而下的“给予”，而是与学生一起去探索、去体验，学生在课堂交往中才可能变被动为主动，将学习活动看作是自己主动参与、自我发展的活动，师生之间、生生之间的相互合作、相互作用才可能实现。在这样宽松融洽的气氛下，同学的自尊心得到了满足，同时也调动了大家合作的积极性。
另外，非常重要的一点要注重学生基本数学素养的培养，其中很重要的一点就是数学语言能力的培养。数学语言是一种由数学符号、数学术语和经过改造的自然语言组成的科学语言，是数学知识的重要组成部分。数学语言是数学知识和数学思想的载体，数学知识与数学思想最终要通过数学语言表示出来并获得理解、掌握、合作和应用．
通过不断的磨砺和提高，我要让我的课堂不再是枯燥的图形、证明、计算，而是学生展示自我的大舞台，是一个自主开放的课堂，是一个充满快乐和智慧的课堂。
