第2节 简谐运动的回复力及能量
核心素养导学
物理观念 理解简谐运动的回复力和能量的概念。
科学思维 (1)会用动力学方法分析简谐运动中位移、速度、回复力和加速度的变化规律及相互联系。 (2)会用能量观点分析弹簧振子动能、势能的变化情况,知道简谐运动中机械能守恒。
科学探究 探究弹簧振子的势能、动能与弹簧形变量的关系,能定性地说明弹簧振子系统的机械能守恒。
一、回复力
1.定义:当小球偏离平衡位置时,受到的指向 的力,叫作回复力。
2.表达式:F=-kx。“-”号表示回复力的方向与位移方向 。
3.简谐运动:如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成 ,并且总是指向 ,质点的运动就是简谐运动。
[微点拨]
物体做简谐运动的条件是受到的回复力与位移大小成正比,回复力方向与位移方向相反。
二、简谐运动的能量转化
1.小球远离平衡位置时, 增大, 减小。
2.小球在最大位移时,势能最大,动能为0。
3.小球在平衡位置时, 最大, 为0。
4.简谐运动的能量特点:在弹簧振子运动的任意位置,系统的动能和势能之和都是一定的,遵守 定律。
5.简谐运动的振幅越大,系统的 越大。
[微点拨]
对于一个确定的振动系统,简谐运动的能量由振幅决定,振幅越大,系统的能量越大。
1.如图所示,一弹簧振子在CB之间做简谐运动,O为平衡位置,当振子运动到D点且正向B点方向振动时:
(1)振子的回复力由 力提供;
(2)振子所受回复力的方向由D点指向 点;
(3)振子所受回复力的大小与 的长度成正比。
2.如图所示,一弹簧振子在光滑水平面的A、B两点间做简谐运动,平衡位置为O,已知振子的质量为m。
简谐运动的能量取决于什么 试简述本题中振子振动过程中的能量转化关系。
新知学习(一)|对回复力的理解
[任务驱动]
如图甲所示为水平方向的弹簧振子,如图乙所示为竖直方向的弹簧振子,如图丙所示为m随M一起振动的系统。
请思考:
(1)图甲中水平方向的弹簧振子的回复力的来源是什么
(2)图乙中竖直方向的弹簧振子的回复力的来源是什么
(3)图丙中水平方向m与M整体的回复力的来源是什么 m的回复力的来源是什么
[重点释解]
1.回复力的来源
(1)回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力,同向心力一样是按照力的作用效果来命名的。
(2)回复力可以由某一个力提供,如水平弹簧振子的回复力即为弹簧的弹力;也可能是几个力的合力,如竖直悬挂的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力;还可能是某一力的分力。归纳起来,回复力一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。分析物体的受力时不能再加上回复力。
2.关于k值
公式F=-kx中的k指的是回复力与位移的比例系数,而不一定是弹簧的劲度系数,系数k由振动系统自身决定。
3.加速度的特点
根据牛顿第二定律得a==-x,表明弹簧振子做简谐运动时,振子的加速度大小与位移大小成正比,加速度方向与位移方向相反。
4.回复力的规律
因x=Asin(ωt+φ),故回复力F=-kx=-kAsin(ωt+φ),可见回复力随时间按正弦规律变化。
[典例体验]
[典例] 一质量为m的小球,通过一根轻质弹簧悬挂在天花板上,如图所示。
(1)小球在振动过程中的回复力实际上是 。
(2)该小球的振动是否为简谐运动
尝试解答:
/方法技巧/
判断是否为简谐运动的方法
根据简谐运动的特征进行判断,由此可总结为:
(1)通过对位移的分析,列出位移—时间表达式或利用位移—时间图像是否满足正弦规律来判断。
(2)对物体进行受力分析,求解物体所受力在振动方向上的合力,利用物体所受到的回复力是否满足F=-kx进行判断。
(3)根据运动学知识,分析求解振动物体的加速度,利用简谐运动的运动学特征a=-x进行判断。
[针对训练]
1.对于弹簧振子的回复力F与位移x的关系图像,下列正确的是 ( )
2.(多选)如图所示,弹簧振子B上放一个物块A,在A与B一起做简谐运动的过程中,关于物块A受力的说法中正确的是 ( )
A.物块A受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力
B.物块A受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力
C.物块A做简谐振动的回复力是B对它的摩擦力
D.物块A受重力、支持力及B对它的大小和方向都随时间变化的摩擦力
新知学习(二)|简谐运动中各物理量的变化规律
如图所示,O点为振子的平衡位置,A、B分别是振子运动的最右端和最左端。
(1)振子在振动过程中通过O点时速度最大还是最小
(2)振子在振动过程中由A→B的过程中加速度如何变化
[重点释解]
1.根据水平弹簧振子图,可分析各个物理量的变化关系如下表所示:
振子的运动 A→O O→A' A'→O O→A
位移 向右减小 向左增大 向左减小 向右增大
回复力 向左减小 向右增大 向右减小 向左增大
速度 向左增大 向左减小 向右增大 向右减小
动能 增大 减小 增大 减小
势能 减小 增大 减小 增大
系统总能量 不变 不变 不变 不变
2.各个物理量对应关系不同:位置不同,位移不同,加速度、回复力不同,但是速度、动能、势能可能相同,也可能不同。
特征 公式表达 物理含义
动力学特征 F=-kx 回复力是根据效果命名的力,不是独立性质的力,它由物体所受力在振动方向上的合力提供
运动学特征 a=-x 简谐运动是一个加速度时刻变化的变加速运动
能量特征 Ek+Ep=恒量 振动系统的动能和势能相互转化,总量保持不变
[典例体验]
[典例] (2024·北京高考)图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况,以向上为正方向,得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线,如图乙所示。下列说法正确的是 ( )
A.t=0时,弹簧弹力为0
B.t=0.2 s时,手机位于平衡位置上方
C.从t=0至t=0.2 s,手机的动能增大
D.a随t变化的关系式为a=4sin(2.5πt)m/s2
听课记录:
/方法技巧/
简谐运动的各物理量变化的两种分析顺序
(1)位移x回复力F加速度a速度v动能Ek势能Ep。
(2)位移x→势能Ep→动能Ek→速度v。
[针对训练]
1.弹簧振子在水平方向上做简谐运动的过程中,下列说法正确的是 ( )
A.弹簧振子在平衡位置时它的机械能最大
B.弹簧振子在最大位移处时它的弹性势能最大
C.弹簧振子从平衡位置到最大位移处它的动能增大
D.弹簧振子从最大位移处到平衡位置它的机械能减小
2.如图所示是一个弹簧振子在0~0.4 s时间内做简谐运动的图像,由图像可知 ( )
A.在0.25~0.3 s时间内,振子受到的回复力越来越小
B.t=0.7 s时刻,振子的速度最大
C.振子的动能和势能相互转化的周期为0.4 s
D.振子的动能和势能相互转化的周期为0.2 s
新知学习(三)|简谐运动的三大特征
[重点释解]
1.瞬时性
做简谐运动的物体在不同时刻运动到不同的位置,对应不同的位移,由F=-kx可知回复力不同。由牛顿第二定律得a=-x,可知加速度a也不相同,也就是说a、F、x具有瞬时对应性。
2.对称性
(1)物体通过关于平衡位置对称的两点时,加速度(回复力)大小相等,速度大小相等,动能相等,势能相等。
(2)对称性还表现在时间的相等上,如从某点到达最大位置和从最大位置再到该点所需要的时间相等。质点从某点向平衡位置运动时,到达平衡位置的时间和它从平衡位置再运动到该点的对称点所用的时间相等。
3.周期性
简谐运动是一种往复的周期性运动,按其周期性可做如下判断:
(1)若t2-t1=nT,则t1、t2两时刻振动物体在同一位置,运动情况完全相同。
(2)若t2-t1=nT+,则t1、t2两时刻描述运动的物理量(x、F、a、v)大小均相等、方向相反(或均为零)。
[典例体验]
[典例] (多选)如图所示,弹簧下端挂一质量为m的物体,物体在竖直方向上做振幅为A的简谐运动,当物体振动到最高点时,弹簧正好为原长,物体从最高点回到最高点所用时间为2 s,则物体在振动过程中 ( )
A.物体的振动周期为2 s
B.物体的振动周期为 s(n=1,2,3,…)
C.振动物体经过最高点时的加速度为g
D.振动物体经过最低点时的加速度为2g
听课记录:
[变式拓展] 对应[典例]的情境,下列说法正确的是 ( )
A.物体在最低点时所受的弹力大小应为2mg
B.弹簧的弹性势能和物体的动能之和不变
C.弹簧的最大弹性势能等于mgA
D.物体的最大动能应等于mgA
[针对训练]
1.一个做简谐运动的质点,先后以同样的速度通过相距 10 cm的 A、B两点,历时0.5 s(如图所示)。过B点后再经过t=0.5 s质点以大小相等、方向相反的速度再次通过B点,则质点振动的周期是 ( )
A.0.5 s B.1.0 s
C.2.0 s D.4.0 s
2.(多选)公路上匀速行驶的货车受一扰动,车上货物随车厢底板上下振动但不脱离底板。一段时间内货物在竖直方向的振动可视为简谐运动,周期为T。取竖直向上为正方向,以某时刻为计时起点,其振动图像如图所示,则 ( )
A.t=T时,货物对车厢底板的压力最大
B.t=T时,货物对车厢底板的压力最小
C.t=T时,货物对车厢底板的压力最大
D.t=T时,货物对车厢底板的压力最小
一、好素材分享——看其他教材如何落实核心素养
物理观念——竖直方向的弹簧振子
1.(选自鲁科版教材“拓展一步”)如图所示,在弹簧下端挂一重物,上端固定在支架上,这就构成了竖直方向的弹簧振子。重物在竖直方向受到弹力和重力作用,这两个力的合力充当弹簧振子的回复力。当重物处于点O时,重力和弹力相互平衡,因此点O是弹簧振子的平衡位置。将重物向下拉一段距离,然后松手,重物便沿竖直方向振动起来,该振动是否为简谐运动。
科学思维——乘客登船
2.(选自鲁科版教材课后练习)小王在湖边欲乘游船,当日风浪较大,游船上下浮动。若把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动,则其振幅为20 cm,周期为3.0 s。当船上升到最高点时,甲板刚好与码头地面平齐。在地面与甲板的高度差不超过10 cm 时,游客能舒服地登船。求在一个周期内,小王能舒服地登船的时间有多少。
二、新题目精选——品立意深处所蕴含的核心价值
1.一质量为m、侧面积为S的正方体木块,放在水面上静止(平衡),如图所示。现用力向下将其压入水中一段深度后(未全部浸没)撤掉外力,木块在水面上下振动,试判断木块的振动是否为简谐运动。
2.质量为m1和m2的两物块用轻弹簧相连,将它们竖立在水平面上,如图所示。现在用竖直向下的压力压m1,使它们处于静止状态。突然撤去压力,当m1上升到最高点时,m2对地压力恰好为零。则系统静止时竖直向下压力大小等于多少 (提示:撤去力后m1上下做简谐运动)
第2节 简谐运动的回复力及能量
落实必备知识
[预读教材]
一、
1.平衡位置 2.相反 3.正比 平衡位置
二、
1.势能 动能 3.动能 势能 4.机械能守恒 5.机械能
[情境创设]
1.(1)弹 (2)O (3)OD
2.提示:简谐运动的能量取决于振幅,本题中振子振动时只有动能和弹性势能相互转化,总机械能守恒。
强化关键能力
新知学习(一)
[任务驱动]
提示:(1)弹簧的弹力提供回复力。
(2)弹簧的弹力与重力的合力提供回复力。
(3)m与M整体的回复力由弹簧的弹力提供;m的回复力由M对m的静摩擦力提供。
[典例] 解析:(1)此振动过程的回复力实际上是弹簧的弹力与小球重力的合力。
(2)设小球的平衡位置为O,向下为正方向,弹簧处于平衡位置时的伸长量为h,弹簧的劲度系数为k,由平衡条件得kh=mg ①
当小球向下偏离平衡位置的距离为x时,回复力即合外力为F回=mg-k(x+h) ②
将①代入②式得:F回=-kx,可见小球所受合外力与它的位移的关系符合简谐运动的受力特点,该小球的振动是简谐运动。
答案:(1)弹簧弹力和小球重力的合力 (2)是简谐运动
[针对训练]
1.选C 根据公式F=-kx,可判断回复力与位移的关系图线为一条过原点的直线,且斜率为负值,故C正确。
2.选CD 物块A做简谐运动,在水平方向其合外力不断变化,具体受力情况为:竖直方向上受到的重力和支持力是一对平衡力,水平方向只有B物体对它的摩擦力作用,摩擦力提供回复力,C、D正确。
新知学习(二)
[任务驱动]
提示:(1)最大。(2)先减小后反向增大。
[典例] 选D 由题图乙知,t=0时,手机加速度为0,手机位于平衡位置,由平衡条件得弹簧弹力大小等于手机重力大小,A错误;由题图乙知,t=0.2 s时,手机的加速度为正值,则手机受到的合力向上,手机位于平衡位置下方,B错误;由题图乙知,从t=0至t=0.2 s,手机的加速度增大,手机从平衡位置向最大位移处运动,速度减小,动能减小,C错误;由题图乙知,装置振动的周期T=0.8 s,则圆频率ω==2.5π rad/s,则a随t变化的关系式为a=4sin(2.5πt)m/s2,D正确。
[针对训练]
1.选B 弹簧振子做简谐运动时机械能守恒,因此选项A和D均错误;在最大位移处时,弹性势能最大,B选项正确;从平衡位置到最大位移处的运动是振子远离平衡位置的运动,速度减小,动能减小,C选项错误。
2.选D 在0.25~0.3 s时间内,振子的位移增大,受到的回复力越来越大,故A错误;由题图可知,该振子的周期为0.4 s,且t=0.3 s时,振子位移最大,可知在0.7 s时刻振子的位移也是最大,速度为零,故B错误;动能与势能都是标量,它们变化的周期等于简谐振动周期的一半,所以振子的动能和势能相互转化的周期为0.2 s,故C错误,D正确。
新知学习(三)
[典例] 选BC 振动物体做简谐运动具有周期性,其振动周期应为 s(n=1,2,3,…),故A错误,B正确;振动物体经过最高点时,弹簧正好为原长,所以此时物体只受重力,其加速度为g,根据简谐运动的对称性,物体运动到最低点时加速度大小也为g, 故C正确、D错误。
[变式拓展] 选A 物体做简谐运动,最高点和最低点关于平衡位置对称,最高点加速度为g,最低点加速度也为g,方向向上,在最低点有F-mg=ma,a=g,故F=2mg,A正确;根据物体和弹簧总的机械能守恒,弹簧的弹性势能、物体的动能、物体的重力势能之和不变,B错误;物体下落到最低点时,重力势能的减少量全部转化为弹簧的弹性势能,所以弹簧的最大弹性势能为Ep=mg×2A=2mgA,C错误;当弹簧的弹力等于物体的重力时,物体速度最大,动能最大,此时弹簧处于拉伸状态,弹性势能Ep'不为零,根据系统机械能守恒,可知此时物体的动能为Ek=mgA-Ep',即Ek小于mgA,D错误。
[针对训练]
1.选C 根据题意,由振动的对称性可知:AB的中点(设为O)为平衡位置,A、B两点对称分布于O点两侧。质点从平衡位置O点向右运动到B点的时间应为tOB=×0.5 s=0.25 s,质点从B点向右到达最右端位置(设为D点)的时间tBD=×0.5 s=0.25 s,所以质点从O到D的时间tOD=T=0.25 s+0.25 s=0.5 s,得T=2.0 s,C正确。
2.选CD 要使货物对车厢底板的压力最大,则车厢底板对货物的支持力最大,则要求货物向上的加速度最大,由振动图像可知在t=T时,货物向上的加速度最大,则选项A错误,C正确;货物对车厢底板的压力最小,则车厢底板对货物的支持力最小,则要求货物向下的加速度最大,由振动图像可知在t=时,货物向下的加速度最大,所以选项B错误,D正确。
浸润学科素养和核心价值
一、
1.提示:假设重物所受的重力为G,弹簧的劲度系数为k,重物处于平衡位置时弹簧的伸长量为x1,则G=kx1
设重物向下偏离平衡位置的位移为x时,弹簧的伸长量为x2,则x=x2-x1
取竖直向下为正方向,则此时弹簧振子的回复力
F=G-kx2=kx1-kx2=-kx
所以,竖直方向的弹簧振子的运动是简谐运动。
2.解析:甲板的振幅A=20 cm,游船振动周期T=3.0 s,甲板振动的位移表达式x=Asin ωt=20sint(cm),要游客能舒服地登船,需求在x=20sint(cm)≥10 cm所对应的时间。
在一个周期内,临界时刻所对应的角度为
t1=,t2=
解得t1=0.25 s,t2=1.25 s。
故在一个周期内,小王能舒服地登船的时间
Δt=t2-t1=1 s。
答案:1 s
二、
1.解析:以木块为研究对象,设水密度为ρ,静止时木块浸入水中深度为Δx,当木块由静止被压入水中x后所受力如图所示,则F回=mg-F浮
又F浮=ρgS(Δx+x),mg=ρgSΔx
所以F回=-ρgSx
即F回=-kx(k=ρgS),所以木块的振动为简谐运动。
答案:木块的振动是简谐运动
2.解析:当m1运动到最高点时,m2对地压力恰好为零,则此时弹簧弹力为m2g。所以m1简谐运动最大加速度大小为am=,方向竖直向下;根据简谐运动对称性可知,突然撤去压力时m1向上的加速度大小也是a=,方向竖直向上,则压力F=F回=m1a=(m1+m2)g。
答案:(m1+m2)g
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简谐运动的回复力及能量
第 2 节
核心素养导学
物理观念 理解简谐运动的回复力和能量的概念。
科学思维 (1)会用动力学方法分析简谐运动中位移、速度、回复力和加速度的变化规律及相互联系。
(2)会用能量观点分析弹簧振子动能、势能的变化情况，知道简谐运动中机械能守恒。
科学探究 探究弹簧振子的势能、动能与弹簧形变量的关系，能定性地说明弹簧振子系统的机械能守恒。
[四层]学习内容1 落实必备知识
[四层]学习内容2 强化关键能力
01
02
CONTENTS
目录
[四层]学习内容3 ·4 浸润学科素养和核心价值
课时跟踪检测
03
04
[四层]学习内容1 落实必备知识
一、回复力
1.定义：当小球偏离平衡位置时，受到的指向__________的力，叫作回复力。
2.表达式：F=-kx。“-”号表示回复力的方向与位移方向______。
3.简谐运动：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成______，并且总是指向__________，质点的运动就是简谐运动。
平衡位置
相反
正比
平衡位置
[微点拨]
物体做简谐运动的条件是受到的回复力与位移大小成正比，回复力方向与位移方向相反。
二、简谐运动的能量转化
1.小球远离平衡位置时，______增大，______减小。
2.小球在最大位移时，势能最大，动能为0。
3.小球在平衡位置时，______最大，______为0。
4.简谐运动的能量特点：在弹簧振子运动的任意位置，系统的动能和势能之和都是一定的，遵守_____________定律。
5.简谐运动的振幅越大，系统的________越大。
势能
动能
动能
势能
机械能守恒
机械能
[微点拨]
对于一个确定的振动系统，简谐运动的能量由振幅决定，振幅越大，系统的能量越大。
1.如图所示，一弹簧振子在CB之间做简谐运动，
O为平衡位置，当振子运动到D点且正向B点方向振动时：
(1)振子的回复力由____力提供；
(2)振子所受回复力的方向由D点指向____点；
(3)振子所受回复力的大小与_____的长度成正比。
弹
O
OD
2.如图所示，一弹簧振子在光滑水平面的A、B两点间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为m。
简谐运动的能量取决于什么 试简述本题中振子振动过程中的能量转化关系。
提示：简谐运动的能量取决于振幅，本题中振子振动时只有动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒。
[四层]学习内容2 强化关键能力
如图甲所示为水平方向的弹簧振子，如图乙所示为竖直方向的弹簧振子，如图丙所示为m随M一起振动的系统。
新知学习(一)|对回复力的理解
任务驱动
请思考：
(1)图甲中水平方向的弹簧振子的回复力的来源是什么
提示：弹簧的弹力提供回复力。
(2)图乙中竖直方向的弹簧振子的回复力的来源是什么
提示：弹簧的弹力与重力的合力提供回复力。
(3)图丙中水平方向m与M整体的回复力的来源是什么 m的回复力的来源是什么
提示：m与M整体的回复力由弹簧的弹力提供；m的回复力由M对m的静摩擦力提供。
1.回复力的来源
(1)回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力，同向心力一样是按照力的作用效果来命名的。
(2)回复力可以由某一个力提供，如水平弹簧振子的回复力即为弹簧的弹力；也可能是几个力的合力，如竖直悬挂的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力；还可能是某一力的分力。归纳起来，回复力一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。分析物体的受力时不能再加上回复力。
重点释解
2.关于k值
公式F=-kx中的k指的是回复力与位移的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数，系数k由振动系统自身决定。
3.加速度的特点
根据牛顿第二定律得a==-x，表明弹簧振子做简谐运动时，振子的加速度大小与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反。
4.回复力的规律
因x=Asin(ωt+φ)，故回复力F=-kx=-kAsin(ωt+φ)，可见回复力随时间按正弦规律变化。
[典例] 一质量为m的小球，通过一根轻质弹簧悬挂
在天花板上，如图所示。
(1)小球在振动过程中的回复力实际上是________________________。
典例体验
弹簧弹力和小球重力的合力
[解析] 此振动过程的回复力实际上是弹簧的弹力与小球重力的合力。
(2)该小球的振动是否为简谐运动
[答案] 是简谐运动
[解析] 设小球的平衡位置为O，向下为正方向，弹簧处于平衡位置时的伸长量为h，弹簧的劲度系数为k，由平衡条件得kh=mg ①
当小球向下偏离平衡位置的距离为x时，回复力即合外力为F回=mg-k(x+h) ②
将①代入②式得：F回=-kx，可见小球所受合外力与它的位移的关系符合简谐运动的受力特点，该小球的振动是简谐运动。
/方法技巧/
判断是否为简谐运动的方法
根据简谐运动的特征进行判断，由此可总结为：
(1)通过对位移的分析，列出位移—时间表达式或利用位移—时间图像是否满足正弦规律来判断。
(2)对物体进行受力分析，求解物体所受力在振动方向上的合力，利用物体所受到的回复力是否满足F=-kx进行判断。
(3)根据运动学知识，分析求解振动物体的加速度，利用简谐运动的运动学特征a=-x进行判断。
1.对于弹簧振子的回复力F与位移x的关系图像，下列正确的是 ( )
针对训练
解析：根据公式F=-kx，可判断回复力与位移的关系图线为一条过原点的直线，且斜率为负值，故C正确。
√
2.(多选)如图所示，弹簧振子B上放一个物块A，在
A与B一起做简谐运动的过程中，关于物块A受力的说法
中正确的是 ( )
A.物块A受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力
B.物块A受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力
C.物块A做简谐振动的回复力是B对它的摩擦力
D.物块A受重力、支持力及B对它的大小和方向都随时间变化的摩擦力
√
√
解析：物块A做简谐运动，在水平方向其合外力不断变化，具体受力情况为：竖直方向上受到的重力和支持力是一对平衡力，水平方向只有B物体对它的摩擦力作用，摩擦力提供回复力，C、D正确。
如图所示，O点为振子的平衡位置，A、B分别
是振子运动的最右端和最左端。
(1)振子在振动过程中通过O点时速度最大还是最小
新知学习(二)|简谐运动中各物理量的变化规律
任务驱动
提示：最大。
(2)振子在振动过程中由A→B的过程中加速度如何变化
提示：先减小后反向增大。
1.根据水平弹簧振子图，可分析各个物理量的变化关系如下表所示：
重点释解
振子的运动 A→O O→A' A'→O O→A
位移 向右减小 向左增大 向左减小 向右增大
回复力 向左减小 向右增大 向右减小 向左增大
速度 向左增大 向左减小 向右增大 向右减小
动能 增大 减小 增大 减小
势能 减小 增大 减小 增大
系统总能量 不变 不变 不变 不变
2.各个物理量对应关系不同：位置不同，位移不同，加速度、回复力不同，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同。
特征 公式表达 物理含义
动力学特征 F=-kx 回复力是根据效果命名的力，不是独立性质的力，它由物体所受力在振动方向上的合力提供
运动学特征 a=-x 简谐运动是一个加速度时刻变化的变加速运动
能量特征 Ek+Ep=恒量 振动系统的动能和势能相互转化，总量保持不变
[典例] (2024·北京高考)图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是 ( )
A.t=0时，弹簧弹力为0
B.t=0.2 s时，手机位于平衡位置上方
C.从t=0至t=0.2 s，手机的动能增大
D.a随t变化的关系式为a=4sin(2.5πt)m/s2
典例体验
√
[解析] 由题图乙知，t=0时，手机加速度为0，手机位于平衡位置，由平衡条件得弹簧弹力大小等于手机重力大小，A错误；由题图乙知，t=0.2 s时，手机的加速度为正值，则手机受到的合力向上，手机位于平衡位置下方，B错误；由题图乙知，从t=0至t=0.2 s，手机的加速度增大，手机从平衡位置向最大位移处运动，速度减小，动能减小，C错误；由题图乙知，装置振动的周期T=0.8 s，则圆频率ω==2.5π rad/s，则a随t变化的关系式为a=4sin(2.5πt)m/s2，D正确。
1.弹簧振子在水平方向上做简谐运动的过程中，下列说法正确的是 ( )
A.弹簧振子在平衡位置时它的机械能最大
B.弹簧振子在最大位移处时它的弹性势能最大
C.弹簧振子从平衡位置到最大位移处它的动能增大
D.弹簧振子从最大位移处到平衡位置它的机械能减小
针对训练
√
解析：弹簧振子做简谐运动时机械能守恒，因此选项A和D均错误；在最大位移处时，弹性势能最大，B选项正确；从平衡位置到最大位移处的运动是振子远离平衡位置的运动，速度减小，动能减小，C选项错误。
2.如图所示是一个弹簧振子在0~0.4 s时
间内做简谐运动的图像，由图像可知 ( )
A.在0.25~0.3 s时间内，振子受到的回复力越来越小
B.t=0.7 s时刻，振子的速度最大
C.振子的动能和势能相互转化的周期为0.4 s
D.振子的动能和势能相互转化的周期为0.2 s
√
解析：在0.25~0.3 s时间内，振子的位移增大，受到的回复力越来越大，故A错误；由题图可知，该振子的周期为0.4 s，且t=0.3 s时，振子位移最大，可知在0.7 s时刻振子的位移也是最大，速度为零，故B错误；动能与势能都是标量，它们变化的周期等于简谐振动周期的一半，所以振子的动能和势能相互转化的周期为0.2 s，故C错误，D正确。
1.瞬时性
做简谐运动的物体在不同时刻运动到不同的位置，对应不同的位移，由F=-kx可知回复力不同。由牛顿第二定律得a=-x，可知加速度a也不相同，也就是说a、F、x具有瞬时对应性。
新知学习(三)|简谐运动的三大特征
重点释解
2.对称性
(1)物体通过关于平衡位置对称的两点时，加速度(回复力)大小相等，速度大小相等，动能相等，势能相等。
(2)对称性还表现在时间的相等上，如从某点到达最大位置和从最大位置再到该点所需要的时间相等。质点从某点向平衡位置运动时，到达平衡位置的时间和它从平衡位置再运动到该点的对称点所用的时间相等。
3.周期性
简谐运动是一种往复的周期性运动，按其周期性可做如下判断：
(1)若t2-t1=nT，则t1、t2两时刻振动物体在同一位置，运动情况完全相同。
(2)若t2-t1=nT+，则t1、t2两时刻描述运动的物理量(x、F、a、v)大小均相等、方向相反(或均为零)。
[典例] (多选)如图所示，弹簧下端挂一质量为m的物体，物体在竖直方向上做振幅为A的简谐a运动，当物体振动到最高点时，弹簧正好为原长，物体从最高点回到最高点所用时间为2 s，则物体在振动过程中 ( )
A.物体的振动周期为2 s
B.物体的振动周期为 s(n=1，2，3，…)
C.振动物体经过最高点时的加速度为g
D.振动物体经过最低点时的加速度为2g
典例体验
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[解析] 振动物体做简谐运动具有周期性，其振动周期应为 s
(n=1，2，3，…)，故A错误，B正确；振动物体经过最高点时，弹簧正好为原长，所以此时物体只受重力，其加速度为g，根据简谐运动的对称性，物体运动到最低点时加速度大小也为g， 故C正确、D错误。
[变式拓展] 对应[典例]的情境，下列说法正确的是 ( )
A.物体在最低点时所受的弹力大小应为2mg
B.弹簧的弹性势能和物体的动能之和不变
C.弹簧的最大弹性势能等于mgA
D.物体的最大动能应等于mgA
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[解析] 物体做简谐运动，最高点和最低点关于平衡位置对称，最高点加速度为g，最低点加速度也为g，方向向上，在最低点有F-mg=ma，a=g，故F=2mg，A正确；根据物体和弹簧总的机械能守恒，弹簧的弹性势能、物体的动能、物体的重力势能之和不变，B错误；物体下落到最低点时，重力势能的减少量全部转化为弹簧的弹性势能，所以弹簧的最大弹性势能为Ep=mg×2A=2mgA，C错误；当弹簧的弹力等于物体的重力时，物体速度最大，动能最大，此时弹簧处于拉伸状态，弹性势能Ep'不为零，根据系统机械能守恒，可知此时物体的动能为Ek=mgA-Ep'，即Ek小于mgA，D错误。
1.一个做简谐运动的质点，先后以同样的速
度通过相距 10 cm的 A、B两点，历时0.5 s(如图所示)。过B点后再经过t=0.5 s质点以大小相等、方向相反的速度再次通过B点，则质点振动的周期是 ( )
A.0.5 s B.1.0 s
C.2.0 s D.4.0 s
针对训练
√
解析：根据题意，由振动的对称性可知：AB的中点(设为O)为平衡位置，A、B两点对称分布于O点两侧。质点从平衡位置O点向右运动到B点的时间应为tOB=×0.5 s=0.25 s，质点从B点向右到达最右端位置(设为D点)的时间tBD=×0.5 s=0.25 s，所以质点从O到D的时间tOD=T=0.25 s+0.25 s=0.5 s，得T=2.0 s，C正确。
2.(多选)公路上匀速行驶的货车受一扰动，车上货物随车厢底板上下振动但不脱离底板。一段时间内货物在竖直方向的振动可视为简谐运动，周期为T。取竖直向上为正方向，以某时刻为计时起点，其振动图像如图所示，则 ( )
A.t=T时，货物对车厢底板的压力最大
B.t=T时，货物对车厢底板的压力最小
C.t=T时，货物对车厢底板的压力最大
D.t=T时，货物对车厢底板的压力最小
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解析：要使货物对车厢底板的压力最大，则车厢底板对货物的支持力最大，则要求货物向上的加速度最大，由振动图像可知在t=T时，货物向上的加速度最大，则选项A错误，C正确；货物对车厢底板的压力最小，则车厢底板对货物的支持力最小，则要求货物向下的加速度最大，由振动图像可知在t=时，货物向下的加速度最大，所以选项B错误，D正确。
[四层] 学习内容3·4浸润
学科素养和核心价值
1.(选自鲁科版教材“拓展一步”)如图所示，在弹簧
下端挂一重物，上端固定在支架上，这就构成了竖直方
向的弹簧振子。重物在竖直方向受到弹力和重力作用，
这两个力的合力充当弹簧振子的回复力。当重物处于点
O时，重力和弹力相互平衡，因此点O是弹簧振子的平
衡位置。将重物向下拉一段距离，然后松手，重物便沿
竖直方向振动起来，该振动是否为简谐运动。
物理观念——竖直方向的弹簧振子
一、好素材分享——看其他教材如何落实核心素养
提示：假设重物所受的重力为G，弹簧的劲度系数为k，重物处于平衡位置时弹簧的伸长量为x1，则G=kx1
设重物向下偏离平衡位置的位移为x时，弹簧的伸长量为x2，则x=x2-x1
取竖直向下为正方向，则此时弹簧振子的回复力
F=G-kx2=kx1-kx2=-kx
所以，竖直方向的弹簧振子的运动是简谐运动。
2.(选自鲁科版教材课后练习)小王在湖边欲乘游船，当日风浪较大，游船上下浮动。若把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，则其振幅为20 cm，周期为3.0 s。当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。在地面与甲板的高度差不超过10 cm 时，游客能舒服地登船。求在一个周期内，小王能舒服地登船的时间有多少。
科学思维——乘客登船
答案：1 s
解析：甲板的振幅A=20 cm，游船振动周期T=3.0 s，甲板振动的位移表达式x=Asin ωt=20sint(cm)，要游客能舒服地登船，需求在x=20sint(cm)≥10 cm所对应的时间。
在一个周期内，临界时刻所对应的角度为t1=t2=
解得t1=0.25 s，t2=1.25 s。
故在一个周期内，小王能舒服地登船的时间Δt=t2-t1=1 s。
1.一质量为m、侧面积为S的正方体木块，放在水面上静止(平衡)，如图所示。现用力向下将其压入水中一段深度后(未全部浸没)撤掉外力，木块在水面上下振动，试判断木块的振动是否为简谐运动。
二、新题目精选——品立意深处所蕴含的核心价值
答案：木块的振动是简谐运动
解析：以木块为研究对象，设水密度为ρ，静止时木块浸入水中深度为Δx，当木块由静止被压入水中x后所受力如图所示，则F回=mg-F浮
又F浮=ρgS(Δx+x)，mg=ρgSΔx
所以F回=-ρgSx
即F回=-kx(k=ρgS)，所以木块的振动为简谐运动。
2.质量为m1和m2的两物块用轻弹簧相连，将它们竖立在
水平面上，如图所示。现在用竖直向下的压力压m1，使它
们处于静止状态。突然撤去压力，当m1上升到最高点时，
m2对地压力恰好为零。则系统静止时竖直向下压力大小
等于多少 (提示：撤去力后m1上下做简谐运动)
答案：(m1+m2)g
解析：当m1运动到最高点时，m2对地压力恰好为零，则此时弹簧弹力为m2g。所以m1简谐运动最大加速度大小为am=，方向竖直向下；根据简谐运动对称性可知，突然撤去压力时m1向上的加速度大小也是a=，方向竖直向上，则压力F=F回=m1a=(m1+m2)g。
课时跟踪检测
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1.(多选)关于做简谐运动物体的平衡位置，下列叙述正确的是 ( )
A.是回复力为零的位置
B.是回复力产生的加速度改变方向的位置
C.是速度为零的位置
D.是回复力产生的加速度为零的位置
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解析：平衡位置处，x=0，则回复力F=0，回复力产生的加速度为零，且此处速度最大，势能最小，A、D正确，C错误；在平衡位置两侧位移方向相反，回复力方向相反，对应加速度方向相反，B正确。
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2.(多选)一弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其位移x与时间t的关系曲线如图所示，在t=3.2 s时，振子的 ( )
A.速度正在增大，加速度沿正方向且正在减小
B.速度正在减小，回复力沿负方向且正在增大
C.动能正在转化为势能
D.势能正在转化为动能
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解析：当t=3.2 s时振子正在向最大位移处运动，位移为正，速度正在减小，加速度和回复力沿负方向且正在增大，振子动能减小，弹簧弹性势能增大，动能正在转化为势能，B、C正确，A、D错误。
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3.做简谐运动的弹簧振子质量为0.2 kg，当它运动到平衡位置左侧20 cm时，受到的回复力是4 N；当它运动到平衡位置右侧40 cm时，它的加速度为 ( )
A.20 m/s2，向右 B.20 m/s2，向左
C.40 m/s2，向右 D.40 m/s2，向左
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解析：加速度方向指向平衡位置，因此在平衡位置右侧40 cm时，加速度方向向左。由力和位移的大小关系可知，当x=40 cm时，F=8 N，则加速度a==40 m/s2，D正确。
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4.如图甲所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，如图乙是弹簧振子做简谐运动时的位移—时间图像，则关于弹簧振子的加速度随时间的变化规律，下列四个图像中正确的是 ( )
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解析：加速度与位移的关系为a=-，而x=Asin ωt，所以a=-sin ωt，则可知C选项正确。
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5.做简谐运动的物体，当它每次经过同一位置时，可能不同的物理量是 ( )
A.位移 B.速度
C.动能 D.回复力
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解析：做简谐运动物体的位移是平衡位置指向物体所在位置的有向线段，每次经过同一位置时位移相同，故A错误；由于经过同一位置时速度有两种不同的方向，所以做简谐运动的物体每次经过同一位置时，速度有可能不同，故B正确；经过同一位置时，速度的大小相同，故动能相同，C错误；回复力总与位移大小成正比，方向相反，每次经过同一位置时位移相同，回复力必定相同，故D错误。
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6.一劲度系数为k=200 N/m的轻质弹簧，与质量为0.4 kg 的可看作质点的小球，组成弹簧振子。振子在竖直方向做简谐运动时，规定竖直向上为正方向，坐标原点与平衡位置重合。振子振动图像如图所示，则 ( )
A.在t=1 s时，速度为负向最大值，回复力为零
B.在t=2 s时，速度为负向最大值，弹簧弹力为零
C.在t=3 s时，速度为正向最大值，加速度为1 m/s2
D.在t=4 s时，速度为正向最大值，回复力为零
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解析：当t=1 s时，正向位移最大，速度为零，回复力最大，选项A错误；当t=2 s时，位移为零，而速度最大，速度方向要看该点切线斜率的正负，t=2 s时，速度为负值，此时振子的加速度为零，弹簧弹力等于小球的重力，选项B错误；当t=3 s时，位移负向最大，加速度a=最大，速度为零，选项C错误；当t=4 s时，位移为零，回复力为零，速度最大，方向为正，选项D正确。
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7.(多选)如图所示是某一质点做简谐运动的图像，下列说法正确的是 ( )
A.在第1 s内，质点速度逐渐增大
B.在第2 s内，质点速度逐渐增大
C.在第3 s内，动能转化为势能
D.在第4 s内，动能转化为势能
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解析：质点在第1 s内，由平衡位置向正向最大位移处运动，做减速运动，A错误；在第2 s 内，质点由正向最大位移处向平衡位置运动，做加速运动，B正确；在第3 s内，质点由平衡位置向负向最大位移处运动，动能转化为势能，C正确；在第4 s内，质点由负向最大位移处向平衡位置运动，加速度减小，速度增大，势能转化为动能，D错误。
8.(多选)如图所示是弹簧振子做简谐运动的振动图像，可以判定 ( )
A.t1到t2时间内系统的动能不断增大，势能不断减小
B.t2到t3时间内动能先增大再减小
C.t3时刻振子处于平衡位置处，动能最大
D.t1、t4时刻振子的动能、速度都相同
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解析：t1到t2时间内，x减小，弹力做正功，系统的动能不断增大，势能不断减小，A正确；t2到t3时间内，动能先减小后增大，B错误；t3时刻振子位移为零，速度最大，动能最大，C正确；t1和t4时刻振子位移相同，即位于同一位置，其速度等大反向，但动能相同，D错误。
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9.(多选)如图所示，物体系在两弹簧之间，弹簧劲度系数分别为k1和k2，且k1=k，k2=2k，两弹簧均处于自然状态。现在向右拉动物体，然后释放，物体在B、C间振动，O为平衡位置(不计阻力)，设向右为正方向，物体相对O点的位移为x，则下列判断正确的是 ( )
A.物体做简谐运动，OC=OB
B.物体做简谐运动，OC≠OB
C.物体所受合力F=-kx
D.物体所受合力F=-3kx
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解析：设物体的位移为x，则物体所受到的合力F=-k1x-k2x=-3kx，D正确，C错误；可见物体做简谐运动，由简谐运动的对称性可知：OC=OB，故A正确，B错误。
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10.某同学在探究简谐振动的规律时做了如下实验：如图，将
弹簧的上端与力传感器相连，下端与一小球连接，小球质量为m，
静止在O点，现让小球做简谐运动，振幅为A，以O点为坐标原点，
竖直向上为正方向，并取小球经过O点向上运动时为计时零点，描绘出了小球所受弹力与时间的变化图像，其中正确的是 ( )
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解析：小球以O点为平衡位置做简谐运动，在O点时弹力F=mg，从O点向上运动时弹力先逐渐减小，后逐渐增大，故B正确。
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11.甲、乙两弹簧振子，振动图像如图所示，
则可知 ( )
A.两弹簧振子完全相同
B.振子的振动频率之比f甲∶f乙=1∶2
C.振子甲速度为零时，振子乙速度也为零
D.两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲∶F乙=2∶1
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解析：由振动图像读出两弹簧振子的振幅和周期不同，则两弹簧振子一定不完全相同，故A错误；两弹簧振子周期之比T甲∶T乙=2∶1，频率之比f甲∶f乙=1∶2，故B正确；由图看出，甲在最大位移处时，乙在平衡位置，即振子甲速度为零时，振子乙速度最大，故C错误；由振动图像读出两振子位移最大值之比x甲∶x乙=2∶1，根据简谐运动的特征F=-kx，由于弹簧的劲度系数k可能不相等，回复力最大值之比F甲∶F乙不一定等于2∶1，故D错误。
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12.(10分)一质点做简谐运动，其位移和时间关
系如图所示。
(1)在t=1.5×10-2s到2×10-2s的振动过程中，质点的位移、回复力、速度、动能、势能如何变化 (5分)
答案：变大 变大 变小 变小 变大
解析：由题图可知在1.5×10-2~2×10-2s内，质点的位移变大，回复力变大，速度变小，动能变小，势能变大。
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(2)在t=0到8.5×10-2s时间内，质点的路程、位移各多大 (5分)
答案：34 cm 2 cm
解析：在0~8.5×10-2s时间内为个周期，质点的路程为s=17A=
34 cm，0时刻质点在负的最大位移处，8.5×10-2s时刻质点在平衡位置，故位移大小为2 cm。
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13.(10分)如图所示，在一倾角为θ的光滑斜板上，
固定着一根原长为l0的轻质弹簧，其劲度系数为k，
弹簧另一端连接着质量为m的小球，此时弹簧被拉长
为l1。现把小球沿斜板向上推至弹簧长度恰好为原长，
然后突然释放，试证明小球的运动为简谐运动。
答案：见解析
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解析：对小球进行受力分析可知，小球处于静止状态时有mgsin θ=k(l1-l0)
设小球离静止状态时位置的距离为x，受力如图所示，滑块受三个力作用，其合力F合=k(l1-l0-x)-mgsin θ
解得F合=-kx，由此可证小球的振动为简谐运动。课时跟踪检测(七) 简谐运动的回复力及能量
1.(多选)关于做简谐运动物体的平衡位置,下列叙述正确的是 ( )
A.是回复力为零的位置
B.是回复力产生的加速度改变方向的位置
C.是速度为零的位置
D.是回复力产生的加速度为零的位置
2.(多选)一弹簧振子在水平方向上做简谐运动,其位移x与时间t的关系曲线如图所示,在t=3.2 s时,振子的 ( )
A.速度正在增大,加速度沿正方向且正在减小
B.速度正在减小,回复力沿负方向且正在增大
C.动能正在转化为势能
D.势能正在转化为动能
3.做简谐运动的弹簧振子质量为0.2 kg,当它运动到平衡位置左侧20 cm时,受到的回复力是4 N;当它运动到平衡位置右侧40 cm时,它的加速度为 ( )
A.20 m/s2,向右 B.20 m/s2,向左
C.40 m/s2,向右 D.40 m/s2,向左
4.如图甲所示,一弹簧振子在A、B间做简谐运动,O为平衡位置,如图乙是弹簧振子做简谐运动时的位移—时间图像,则关于弹簧振子的加速度随时间的变化规律,下列四个图像中正确的是 ( )
5.做简谐运动的物体,当它每次经过同一位置时,可能不同的物理量是 ( )
A.位移 B.速度
C.动能 D.回复力
6.一劲度系数为k=200 N/m的轻质弹簧,与质量为0.4 kg 的可看作质点的小球,组成弹簧振子。振子在竖直方向做简谐运动时,规定竖直向上为正方向,坐标原点与平衡位置重合。振子振动图像如图所示,则 ( )
A.在t=1 s时,速度为负向最大值,回复力为零
B.在t=2 s时,速度为负向最大值,弹簧弹力为零
C.在t=3 s时,速度为正向最大值,加速度为1 m/s2
D.在t=4 s时,速度为正向最大值,回复力为零
7.(多选)如图所示是某一质点做简谐运动的图像,下列说法正确的是 ( )
A.在第1 s内,质点速度逐渐增大
B.在第2 s内,质点速度逐渐增大
C.在第3 s内,动能转化为势能
D.在第4 s内,动能转化为势能
8.(多选)如图所示是弹簧振子做简谐运动的振动图像,可以判定 ( )
A.t1到t2时间内系统的动能不断增大,势能不断减小
B.t2到t3时间内动能先增大再减小
C.t3时刻振子处于平衡位置处,动能最大
D.t1、t4时刻振子的动能、速度都相同
9.(多选)如图所示,物体系在两弹簧之间,弹簧劲度系数分别为k1和k2,且k1=k,k2=2k,两弹簧均处于自然状态。现在向右拉动物体,然后释放,物体在B、C间振动,O为平衡位置(不计阻力),设向右为正方向,物体相对O点的位移为x,则下列判断正确的是 ( )
A.物体做简谐运动,OC=OB
B.物体做简谐运动,OC≠OB
C.物体所受合力F=-kx
D.物体所受合力F=-3kx
10.某同学在探究简谐振动的规律时做了如下实验:如图,将弹簧的上端与力传感器相连,下端与一小球连接,小球质量为m,静止在O点,现让小球做简谐运动,振幅为A,以O点为坐标原点,竖直向上为正方向,并取小球经过O点向上运动时为计时零点,描绘出了小球所受弹力与时间的变化图像,其中正确的是 ( )
11.甲、乙两弹簧振子,振动图像如图所示,则可知 ( )
A.两弹簧振子完全相同
B.振子的振动频率之比f甲∶f乙=1∶2
C.振子甲速度为零时,振子乙速度也为零
D.两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲∶F乙=2∶1
12.(10分)一质点做简谐运动,其位移和时间关系如图所示。
(1)在t=1.5×10-2s到2×10-2s的振动过程中,质点的位移、回复力、速度、动能、势能如何变化 (5分)
(2)在t=0到8.5×10-2s时间内,质点的路程、位移各多大 (5分)
13.(10分)如图所示,在一倾角为θ的光滑斜板上,固定着一根原长为l0的轻质弹簧,其劲度系数为k,弹簧另一端连接着质量为m的小球,此时弹簧被拉长为l1。现把小球沿斜板向上推至弹簧长度恰好为原长,然后突然释放,试证明小球的运动为简谐运动。
课时跟踪检测(七)
1.选ABD 平衡位置处,x=0,则回复力F=0,回复力产生的加速度为零,且此处速度最大,势能最小,A、D正确,C错误;在平衡位置两侧位移方向相反,回复力方向相反,对应加速度方向相反,B正确。
2.选BC 当t=3.2 s时振子正在向最大位移处运动,位移为正,速度正在减小,加速度和回复力沿负方向且正在增大,振子动能减小,弹簧弹性势能增大,动能正在转化为势能,B、C正确,A、D错误。
3.选D 加速度方向指向平衡位置,因此在平衡位置右侧40 cm时,加速度方向向左。由力和位移的大小关系可知,当x=40 cm时,F=8 N,则加速度a==40 m/s2,D正确。
4.选C 加速度与位移的关系为a=-,而x=Asin ωt,所以a=-sin ωt,则可知C选项正确。
5.选B 做简谐运动物体的位移是平衡位置指向物体所在位置的有向线段,每次经过同一位置时位移相同,故A错误;由于经过同一位置时速度有两种不同的方向,所以做简谐运动的物体每次经过同一位置时,速度有可能不同,故B正确;经过同一位置时,速度的大小相同,故动能相同,C错误;回复力总与位移大小成正比,方向相反,每次经过同一位置时位移相同,回复力必定相同,故D错误。
6.选D 当t=1 s时,正向位移最大,速度为零,回复力最大,选项A错误;当t=2 s时,位移为零,而速度最大,速度方向要看该点切线斜率的正负,t=2 s时,速度为负值,此时振子的加速度为零,弹簧弹力等于小球的重力,选项B错误;当t=3 s时,位移负向最大,加速度a=最大,速度为零,选项C错误;当t=4 s时,位移为零,回复力为零,速度最大,方向为正,选项D正确。
7.选BC 质点在第1 s内,由平衡位置向正向最大位移处运动,做减速运动,A错误;在第2 s 内,质点由正向最大位移处向平衡位置运动,做加速运动,B正确;在第3 s内,质点由平衡位置向负向最大位移处运动,动能转化为势能,C正确;在第4 s内,质点由负向最大位移处向平衡位置运动,加速度减小,速度增大,势能转化为动能,D错误。
8.选AC t1到t2时间内,x减小,弹力做正功,系统的动能不断增大,势能不断减小,A正确;t2到t3时间内,动能先减小后增大,B错误;t3时刻振子位移为零,速度最大,动能最大,C正确;t1和t4时刻振子位移相同,即位于同一位置,其速度等大反向,但动能相同,D错误。
9.选AD 设物体的位移为x,则物体所受到的合力F=-k1x-k2x=-3kx,D正确,C错误;可见物体做简谐运动,由简谐运动的对称性可知:OC=OB,故A正确,B错误。
10.选B 小球以O点为平衡位置做简谐运动,在O点时弹力F=mg,从O点向上运动时弹力先逐渐减小,后逐渐增大,故B正确。
11.选B 由振动图像读出两弹簧振子的振幅和周期不同,则两弹簧振子一定不完全相同,故A错误;两弹簧振子周期之比T甲∶T乙=2∶1,频率之比f甲∶f乙=1∶2,故B正确;由图看出,甲在最大位移处时,乙在平衡位置,即振子甲速度为零时,振子乙速度最大,故C错误;由振动图像读出两振子位移最大值之比x甲∶x乙=2∶1,根据简谐运动的特征F=-kx,由于弹簧的劲度系数k可能不相等,回复力最大值之比F甲∶F乙不一定等于2∶1,故D错误。
12.解析:(1)由题图可知在1.5×10-2~2×10-2s内,质点的位移变大,回复力变大,速度变小,动能变小,势能变大。
(2)在0~8.5×10-2s时间内为个周期,质点的路程为s=17A=34 cm,0时刻质点在负的最大位移处,8.5×10-2s时刻质点在平衡位置,故位移大小为2 cm。
答案:(1)变大 变大 变小 变小 变大
(2)34 cm 2 cm
13.解析:对小球进行受力分析可知,小球处于静止状态时有mgsin θ=k(l1-l0)
设小球离静止状态时位置的距离为x,受力如图所示,滑块受三个力作用,其合力F合=k(l1-l0-x)-mgsin θ
解得F合=-kx,由此可证小球的振动为简谐运动。
答案:见解析
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